راه حل های کلی و خاص روابط مکرر. روابط مکرر

یک رابطه بازگشتی (معادله، فرمول بازگشتی) یک رابطه از فرم است

که به شما امکان می دهد تمام شرایط دنباله را محاسبه کنید آ 0 ,آ 1 , آ 2 ،...، اگر اولین باشد ک اعضا.

کترتیب معادله بازگشتی است.

مثال ها. 1)آ n +1 = آ n + د- پیشرفت حسابی

2) آ n +1 = q ∙ آ n- پیشرفت هندسی

3) آ n +2 = آ n + آ n +1 دنباله ای از اعداد فیبوناچی است.

1.4.2. حل یک معادله همگن خطی بازگشتی

در حالتی که معادله بازگشتی خطی و همگن باشد، یعنی رابطه شکل

دنباله آ 0 , آ 1 , آ 2 ، .. ارضای این معادله نامیده می شود قابل برگشت.

چند جمله ای

تماس گرفت چند جمله ای مشخصهبرای دنباله بازگشت .

ریشه های این چند جمله ای را مشخصه می گویند. مجموعه تمام دنباله هایی که معادله بازگشتی (1) را برآورده می کنند، جواب کلی آن نامیده می شود.

جواب کلی یک معادله بازگشتی خطی همگن با حل یک معادله دیفرانسیل خطی قیاس دارد. یعنی قضایا صادق هستند.

قضیه 1. اجازه دهید ریشه چند جمله ای مشخصه (2) و سپس دنباله است
، جایی که جیک ثابت مشتق است، معادله (1) را برآورده می کند.

قضیه 2. اگر یک
ریشه های ساده چند جمله ای مشخصه (2) هستند تصمیم مشترکمعادله مکرر (1) به شکل زیر است:

جایی که ج 1 ,ج 2 ,..,ج کثابت دلخواه هستند

قضیه 3. اگر یک - ریشه کثرت (من = 1,2,..,س) از چند جمله ای مشخصه (2)، سپس جواب کلی معادله بازگشتی (1) به شکل زیر است:

جایی که ج ij ثابت دلخواه هستند

دانستن جواب کلی معادله بازگشتی (1)، با توجه به شرایط اولیه آ 0 ,آ 1 ,..,آ ک -1 ، می توان ثابت های تعریف نشده را پیدا کرد ج ij، و در نتیجه یک معادله خاص (1) با شرایط داده شده به دست می آید.

مثال. دنباله را پیدا کن ( آ n) برآورده کردن معادله بازگشتی

چند جمله ای مشخصه

1(2).4.3. حل یک معادله بازگشتی ناهمگن خطی

معادله بازگشتی ناهمگن خطی را در نظر بگیرید

آ n+k +صفحه 1 آ n+k-1 + … + ص ک آ n = f(n)، (n = 0، 1، 2،…)(3)

اجازه دهید ( ب n) جواب کلی معادله همگن (1) است. ( ج n) یک راه حل خاص (بتنی) از معادله ناهمگن (3) است.

سپس دنباله ( ب n +ج n) یک راه حل کلی از معادله (3) را تشکیل می دهد. بنابراین، قضیه صادق است.

قضیه 4. حل کلی یک معادله بازگشتی ناهمگن خطی به صورت مجموع جواب کلی معادله بازگشتی همگن خطی مربوطه و برخی از راه حل های خاص معادله ناهمگن نشان داده می شود.

در نتیجه، مسئله یافتن یک راه حل کلی برای معادله ناهمگن (3) به یافتن جواب خاص آن کاهش می یابد. در برخی موارد، دستور العمل هایی برای یافتن یک راه حل خاص وجود دارد.

1) اگر f(n) = β n، (جایی که β ریشه معادله مشخصه نیست)، پس باید در فرم به دنبال راه حل خاصی بود ج n = سیβ n . سپس با جایگزین کردن آن به (3)، دریافت می کنیم:

در نتیجه، راه حل خاص با فرمول داده می شود

2) اجازه دهید f(n) - چند جمله ای درجه r از یک متغیر n، و عدد 1 یک ریشه مشخصه نیست. سپس راه حل خاص را نیز باید در فرم جستجو کرد

جایگزین کردن ج n در (3) به جای آ n، ما گرفتیم

با مقایسه ضرایب قسمت های چپ و راست برابری حاصل، نسبت های اعداد را پیدا می کنیم. د مناجازه می دهد تا این اعداد تعیین شوند.

مثال. برای یک معادله بازگشتی راه حل پیدا کنید

با شرایط اولیه .

راه حل.چند جمله ای مشخصه معادله مکرر داده شده را در نظر بگیرید

ریشه آن. سپس، با قضیه 1، حل کلی معادله همگن بازگشتی مربوطه با فرمول، که در آن یک ثابت دلخواه است، داده می شود.

از آنجایی که، یعنی وحدت ریشه چند جمله ای مشخصه نیست و سمت راست یک چند جمله ای درجه اول است، سپس راه حل خاصی از معادله ناهمگن به شکل چند جمله ای درجه اول با ضرایب نامشخص جستجو می شود، جایی که و ناشناخته هستند. ضرایب با جایگزینی در معادله اصلی، یا می گیریم. با معادل سازی ضرایب قسمت های چپ و راست آخرین تساوی، سیستمی از معادلات برای تعیین مجهولات و .

حاشیه نویسی: قرار دادن بدون تکرار جایگشت. ترکیبات. روابط مکرر روش اثباتی دیگر فرآیند پارتیشن های متوالی وظیفه: "مشکل ماژوردومو".

قرار دادن بدون تکرار

موارد مختلفی وجود دارد. چند تا از آنها را می توان ساخت - صورت فلکی؟ در این حالت، دو آرایش در صورتی متفاوت در نظر گرفته می شوند که یا حداقل یک عنصر با یکدیگر تفاوت داشته باشند، یا از عناصر یکسان تشکیل شده باشند، اما به ترتیب متفاوتی چیده شده باشند. چنین ترتیباتی نامیده می شود قرار دادن بدون تکرار، و تعداد آنها با نشان داده می شود. هنگام کامپایل قرار دادن بدون تکرار موارد، باید انتخاب کنیم. در مرحله اول می توانید هر یک از موارد موجود را انتخاب کنید. اگر این انتخاب قبلا انجام شده است، در مرحله دوم باید از بین موارد باقیمانده انتخاب کنید. موارد روی - m. بنابراین، با توجه به قاعده محصول، به دست می آوریم که تعداد مکان های - بدون تکرار از اشیا به صورت زیر بیان می شود:

جایگشت

هنگام کامپایل آرایش بدون تکرار از عناصر po، ترتیباتی به دست آوردیم که هم از نظر ترکیب و هم از نظر ترتیب عناصر با یکدیگر متفاوت هستند. اما اگر ترتیباتی را در نظر بگیریم که همه عناصر را شامل می شود، آنگاه آنها می توانند تنها در ترتیب عناصر موجود در آنها با یکدیگر متفاوت باشند. چنین ترتیباتی نامیده می شود جایگشت های n عنصر، یا، به طور خلاصه، با جایگشت.

ترکیبات

در مواردی که ما به ترتیب عناصر در یک ترکیب علاقه نداریم، بلکه فقط به ترکیب آن علاقه داریم، از ترکیب صحبت می کنیم. بنابراین، - به انواع ترکیب عناصر - ترتیباتی که از این عناصر تشکیل شده و از نظر ترکیب با یکدیگر متفاوت هستند، می گویند، اما نه در ترتیب عناصر. تعداد ترکیباتی که می توانند از عناصر تشکیل شوند با نشان داده می شود.

فرمول تعداد ترکیب ها از فرمول تعداد قرارگیری ها گرفته شده است. در واقع، ما ابتدا همه چیز را ترکیب می کنیم - ترکیبی از عناصر، و سپس عناصر موجود در هر ترکیب را به همه روش های ممکن بازآرایی می کنیم. در این مورد، معلوم می شود که همه مکان های عناصر، و هر یک فقط یک بار. اما از هر کدام - ترکیب هایی می توان ساخت! جایگشت، و تعداد این ترکیبات است. پس فرمول معتبر است

از این فرمول متوجه می شویم که

روابط مکرر

هنگام حل بسیاری از مسائل ترکیبی، آنها از روش کاهش یک مسئله معین به مسئله ای استفاده می کنند که به تعداد کمتری از اشیاء مربوط می شود. روش کاهش به یک مسئله مشابه برای تعداد کمتری از اشیاء نامیده می شود روش رابطه عود(از لاتین "recurrere" - "بازگشت").

اجازه دهید مفهوم روابط عود را با یک مسئله کلاسیک که در حدود سال 1202 توسط لئوناردو پیزا، معروف به فیبوناچی مطرح شد، توضیح دهیم. اهمیت اعداد فیبوناچی برای تحلیل الگوریتم های ترکیبی این مثال را بسیار مناسب می کند.

فیبوناچی این مشکل را در قالب داستانی در مورد نرخ رشد جمعیت خرگوش با مفروضات زیر مطرح کرد. همه چیز با یک جفت خرگوش شروع می شود. هر جفت بعد از یک ماه بارور می شود و پس از آن هر جفت هر ماه یک جفت خرگوش جدید به دنیا می آورد. خرگوش ها هرگز نمی میرند و تولید مثل آنها هرگز متوقف نمی شود.

اجازه دهید - تعداد جفت خرگوش ها در جمعیت پس از ماه ها، و اجازه دهید این جمعیت شامل جفت از فرزندان و جفت "قدیمی"، است،. بدین ترتیب در ماه آینده اتفاقات زیر رخ خواهد داد: . جمعیت پیر در آن لحظه به تعداد تولدها در آن زمان افزایش می یابد. . هر جفت پیر در یک زمان یک جفت فرزند تولید می کند. ماه بعد، این الگو تکرار می شود:

با ترکیب این برابری ها، رابطه عود زیر را بدست می آوریم:

(7.1)

انتخاب شرایط اولیه برای دنباله فیبوناچی مهم نیست. ویژگی اساسی این دنباله با رابطه عود تعیین می شود. ما فرض خواهیم کرد (گاهی ).

بیایید کمی متفاوت به این مشکل نگاه کنیم..

یک جفت خرگوش یک بار در ماه فرزندانی از دو خرگوش (ماده و نر) به دنیا می آورد و خرگوش های تازه متولد شده دو ماه پس از تولد فرزندانشان را به دنیا می آورند. اگر در ابتدای سال یک جفت خرگوش وجود داشته باشد، در یک سال چند خرگوش ظاهر می شود؟

از وضعیت مشکل نتیجه می شود که در یک ماه دو جفت خرگوش وجود خواهد داشت. بعد از دو ماه فقط اولین جفت خرگوش بچه دار می شود و 3 جفت به دست می آید. و در یک ماه، هم جفت خرگوش اصلی و هم جفت خرگوشی که دو ماه پیش ظاهر شدند، نسل خواهند داشت. بنابراین در مجموع 5 جفت خرگوش وجود خواهد داشت. با تعداد جفت خرگوش های بعد از ماه های پس از آغاز سال نشان دهید. واضح است که در ماه‌ها این جفت‌ها و تعداد جفت‌های تازه متولد شده خرگوش در پایان ماه وجود خواهند داشت، یعنی تعداد جفت‌های خرگوش بیشتر. به عبارت دیگر، یک رابطه عود وجود دارد

(7.2)

از آنجایی که، با شرط، و، ما پی در پی پیدا می کنیم

به خصوص، .

اعداد نامیده می شوند اعداد فیبوناچی. آنها تعدادی خواص شگفت انگیز دارند. حال بیان این اعداد را از طریق . برای این کار بین اعداد فیبوناچی و مسئله ترکیبی زیر ارتباط برقرار می کنیم.

تعداد دنباله های 0 و 1 را بیابید که در آنها دو عدد 1 متوالی نباشد..

برای برقراری این ارتباط، هر دنباله ای از این قبیل را می گیریم و آن را با یک جفت خرگوش مطابقت می دهیم قانون بعدی: واحدها مربوط به ماه های تولد یکی از جفت های "اجداد" این جفت (از جمله اصلی) و صفر - همه ماه های دیگر است. به عنوان مثال، دنباله 010010100010 "شجره نامه" زیر را ایجاد می کند: خود زوج در پایان ماه یازدهم ظاهر شدند، والدین او - در پایان ماه هفتم، "پدربزرگ" - در پایان ماه 5 و "بزرگ" -بزرگ" - در پایان ماه دوم. سپس جفت خرگوش اصلی با دنباله 000000000000 رمزگذاری می شود.

واضح است که در این مورد دو واحد در یک ردیف نمی توانند در هر دنباله ای باشند - یک جفت که به تازگی ظاهر شده است، طبق شرط نمی تواند در یک ماه فرزندان بیاورد. علاوه بر این، تحت قانون ذکر شده، جفت های مختلف خرگوش با توالی های مختلف مطابقت دارند، و بالعکس، دو جفت خرگوش مختلف همیشه "شجره نامه" متفاوتی دارند، زیرا، طبق شرط، یک خرگوش ماده متولد می شود که فقط از یک جفت تشکیل شده است. از خرگوش ها

رابطه ایجاد شده نشان می دهد که تعداد دنباله های - با ویژگی مشخص شده برابر است.

حالا این را ثابت کنیم

(7.3)

کجا، اگر فرد، و، اگر زوج. به عبارت دیگر، - کل بخشاعداد (از این پس قسمت صحیح عدد را با نشان می دهیم؛ بنابراین، ).

در واقع، تعداد همه - دنباله های 0 و 1 است که در آنها هیچ دو 1 مجاور وجود ندارد. تعداد چنین دنباله هایی که دقیقاً شامل 1 و 0 هستند برابر است با . از آنجایی که این کار باید انجام شود

راه حل کلیرابطه بازگشتی (1) مجموعه ای از تمام دنباله هایی است که این رابطه را برآورده می کند.

تصمیم خصوصیرابطه (1) یکی از دنباله هایی که این رابطه را برآورده می کند نامیده می شود.

مثال 1¢.دنباله a n=آ 0 +nd a n=a n - 1 +د. این فرمول اصطلاح کلی است پیشرفت حسابیبا تفاوت دو با عضو اولیه پیشرفت آ 0 .

مثال 2¢.دنباله b n=ب 0 × q nیک راه حل کلی از رابطه است b n=b n - 1 ×q. این فرمول اصطلاح کلی است پیشرفت هندسیبا مخرج q¹0 و با عضو اولیه پیشرفت ب 0 .

مثال 3¢.باصطلاح فرمول بینه j n= راه حل خاصی از رابطه j است n=j n-2+j n- 1 برای j 0 =j 1 =1.

3. روابط بازگشتی خطی.نسبت نمایش

a n + ک+پ 1 a n + ک - 1 +…+p k a n=ساعت(n) (2)

جایی که ساعت(n) تابعی از عدد و است ، نامیده میشود رابطه عود خطی.

رابطه عود خطی نامیده می شود همگن، اگر f(n)=0:

a n + ک+پ 1 a n + ک - 1 +…+p k a n=0. (3)

چند جمله ای x k+پ 1 x k - 1 +…+p k - 1 ایکس+p kتماس گرفت مشخصهبرای رابطه (2).

ساده، اگر بر بخش پذیر باشد اما بر آن بخش پذیر نباشد.

ریشه a چند جمله ای نامیده می شود چندگانه, اگر قابل تقسیم بر اما غیر قابل تقسیم بر , .

شماره تماس گرفته می شود کثرتریشه .

قضیه اساسی جبر: یک چند جمله ای درجه با ضرایب مختلط، با توجه به تعدد آنها، دارای ریشه های پیچیده است.

قضیه 1 nریشه های ساده a 1، …، a n

, (4)

جایی که ج 1 ,…,c kÎ سی.

اثبات. بررسی دو ادعای زیر آسان است.

(آ) دنباله cx n، جایی که جÎ سی، راه حلی از رابطه بازگشتی (3) است.

(ب) اگر دنباله ها a nو b nراه حل های رابطه (3) و سپس دنباله هستند a n+b nهمچنین راه حل رابطه (3) است.

از جانب ( آ) و ( ب) نتیجه می شود که هر دنباله ای از شکل (4) حل رابطه (3) است.

برعکس، هر راه حلی از رابطه (3) دارای شکل (4) است.

در n=0,1,…,ک-1، از برابری (4) سیستم را بدست می آوریم معادلات خطیبه طور نسبی ج 1 ,…,c k:

(5)

تعیین کننده سیستم (5) تعیین کننده Vandermonde است که در جبر شناخته می شود:

.

از آنجایی که ریشه های ساده ایکس 1 ,…,x kبه صورت جفتی متمایز، سپس D¹0. از این رو، سیستم (5) یک راه حل (منحصر به فرد) دارد.

وظیفه 1.عبارت مشترک یک پیشروی هندسی را با استفاده از فرمول (4) پیدا کنید.

راه حل b n=qb n- 1 به نظر می رسد. از همین رو .

وظیفه 2.جواب کلی نسبت فیبوناچی را پیدا کنید a n + 2 =a n+a n + 1 .

راه حل. چند جمله ای مشخصه رابطه عود a n + 2 =a n+a n+ 1 فرم دارد. از همین رو .

ما بدون دلیل تعمیم زیر را از قضیه 1 ارائه می دهیم.

قضیه 2. اجازه دهید چند جمله ای مشخصه رابطه عود خطی همگن (3) داشته باشد کریشه: a 1 ضرب، …، a ککثرت ها، . سپس راه حل کلی رابطه عود (3) به شکل زیر است:

وظیفه 3.جواب کلی رابطه را پیدا کنید.

راه حل.چند جمله ای مشخصه دارای ریشه 2 از تعدد 3. بنابراین .

اظهار نظر. جواب کلی رابطه خطی ناهمگن (2) را می توان به صورت مجموع جواب کلی رابطه خطی همگن (3) و حل خاص رابطه خطی ناهمگن (2) یافت.

4. تولید توابع.سریال رسمی آ 0 +آ 1 ایکس+آ 2 ایکس 2 +…+a k x k+… تماس گرفت تابع تولید دنباله a 0 ,آ 1 ,آ 2 ,…,یک ک,…

تابع مولد یا یک سری همگرا یا یک سری واگرا است. دو سری واگرا ممکن است به عنوان توابع برابر باشند، اما توابعی از دنباله های مختلف تولید شوند. به عنوان مثال، ردیف های 1+2 ایکس+2 2 ایکس 2 +…+2k x k+… و 1+3 ایکس+3 2 ایکس 2 +…+3k x k+… همان تابع را تعریف کنید (برابر با 1 در نقطه ایکس=1، نامشخص در نقاط ایکس>1)، اما توابع توالی های مختلف را تولید می کنند.

ویژگی های تولید توابع دنباله ها:

مجموع (تفاوت) توابع مولد دنباله ها a nو b nبرابر است با تابع مولد مجموع (تفاوت) دنباله ها a n+b n;

محصول تولید توابع دنباله ها a nو b nتابع تولید پیچیدگی دنباله است a nو b n:

c n=آ 0 b n+آ 1 b n - 1 +…+a n - 1 ب 1 +a n b 0 .

مثال 1عملکرد برای دنباله ایجاد می کند

مثال 2عملکرد برای دنباله 1، 1، 1، …

رابطه عود دارد سفارش ک ، اگر اجازه بیان f(n+k) را بر حسب f(n)، f(n+1)، …، f(n+k-1) بدهد.

مثال.

f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 یک رابطه تکراری مرتبه دوم است.

f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) یک رابطه بازگشتی مرتبه سوم است.

اگر یک رابطه بازگشتی از مرتبه k داده شود، بی‌نهایت دنباله‌های زیادی می‌توانند آن را برآورده کنند، زیرا اولین k عناصر دنباله را می‌توان خودسرانه تنظیم کرد - هیچ رابطه‌ای بین آنها وجود ندارد. اما اگر k عبارت اول داده شود، تمام عناصر دیگر به طور منحصر به فرد تعیین می شوند.

با استفاده از رابطه تکرار و اصطلاحات اولیه می توان عبارت های دنباله را یکی یکی نوشت و دیر یا زود به هر یک از اعضای آن خواهیم رسید. با این حال، اگر شما نیاز به دانستن تنها یک عضو خاص از دنباله دارید، محاسبه همه موارد قبلی منطقی نیست. در این مورد، داشتن فرمولی برای محاسبه ترم n راحت تر است.

راه حل رابطه عودهر دنباله ای که رابطه داده شده به طور یکسان برای آن برقرار باشد، فراخوانی می شود.

مثال. دنباله 2، 4، 8، ...، 2 n راه حل رابطه f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n) است.

اثبات. جمله مشترک دنباله f(n)=2 n است. بنابراین f(n+2)= 2 n+2، f(n+1)= 2n+1. برای هر n، هویت 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n برقرار است. بنابراین، هنگام جایگزینی دنباله 2 n به فرمول f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n)، این رابطه به طور یکسان انجام می شود. بنابراین، 2 n حل رابطه نشان داده شده است.

حل رابطه عوددستور kth نامیده می شود عمومیاگر به k ثابت دلخواه α 1 , α 2 , … α k بستگی داشته باشد و با انتخاب این ثابت ها هر جوابی از این رابطه بدست آید.

مثال. رابطه عود داده شده است: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). اجازه دهید ثابت کنیم که جواب کلی آن به شکل: f(n)= α 2 n + β3 n است.

1. ابتدا ثابت می کنیم که دنباله f(n)=α 2 n + β3 n راه حلی برای رابطه عود است. این دنباله را با رابطه عود جایگزین کنید.

f(n)= α 2 n + β 3 n، بنابراین f(n+1)= (α 2 n + 1 + β 3 n + 1)، f(n + 2) = α 2 n + 2 + β 3 n +2، سپس

5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n) = α (5 2 n+1 -6 2 n)+ β (5 3 n + 1 –6 3 n)= =α2 n ∙(10-6)+ β 3 n ∙(15 - 6) = α 2 n + 2 + β 3 n + 2 = f( n+2).

رابطه عود برقرار است، بنابراین، α 2 n + β 3 n راه حل این رابطه عود است.

2. اجازه دهید ثابت کنیم که هر جوابی از رابطه f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) را می توان به صورت f(n)= α 2 n + β 3 n نوشت. اما هر راه حلی از رابطه تکرار مرتبه دوم به طور منحصر به فرد توسط مقادیر دو عبارت اول دنباله تعیین می شود. بنابراین، کافی است نشان دهیم که برای هر a=f(1) و b=f(2) α و β وجود دارد به طوری که 2 α +3 β =a و 4 α +9 β =b. به راحتی می توان فهمید که سیستم معادلات برای هر مقدار a و b راه حل دارد.

بنابراین، f(n)= α 2 n + β 3 n راه حل کلی رابطه بازگشتی f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) است.

روابط عود خطی با ضرایب ثابت

برای حل روابط تکراری قوانین عمومینه، اما یک کلاس از روابط تکراری وجود دارد که اغلب با آن مواجه می‌شویم که الگوریتمی برای حل آنها شناخته شده است. اینها روابط بازگشتی خطی با ضرایب ثابت هستند، به عنوان مثال. نسبت های نوع:

f(n+k)=c 1 f(n+k-1)+c 2 f(n+k-2)+…+c k f(n).

اجازه دهید راه حل رابطه عود خطی کلی را با ضرایب ثابت مرتبه اول پیدا کنیم.

یک رابطه عود خطی با ضرایب ثابت مرتبه اول به شکل: f(n+1)=c f(n) است.

بگذارید f(1)=a، سپس f(2)=c∙f(1)=c∙a، f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a، شبیه f(4)=c 3 ∙a و غیره، توجه داشته باشید که f(n)=c n -1 ∙f(1).

اجازه دهید ثابت کنیم که دنباله c n -1 ∙f(1) راه حل رابطه تکرار مرتبه اول است. f(n)=c n -1 ∙f(1)، بنابراین f(n+1)=c n f(1). با جایگزینی این عبارت به رابطه، هویت c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1) را بدست می آوریم.

بیایید اکنون با جزئیات بیشتری در نظر بگیریم روابط عود خطی با ضرایب ثابت مرتبه دوم ، یعنی روابط شکل

f(n+2)=C 1 ∙f(n+1)+C 2 ∙f(n). (*).

توجه داشته باشید که همه ملاحظات برای روابط درجه بالاتر نیز صادق است.

ویژگی های راه حل:

1) اگر دنباله x n یک راه حل (*) باشد، دنباله a∙x n نیز یک راه حل است.

اثبات

x n راه حلی برای (*) است، بنابراین x n +2 =C 1 x n +1 + C 2 x n . هر دو طرف تساوی را در a ضرب می کنیم. ما a∙x n +2 =a∙(С 1 ∙x n +1 + С 2 ∙x n)= С 1 ∙a∙x n +1 + С 2 ∙a∙x n به دست می آوریم. این بدان معنی است که ax n راه حل (*) است.

2) اگر دنباله های x n و y n راه حل (*) باشند، دنباله x n +y n نیز یک راه حل است.

اثبات

x n و y n راه حل هستند، بنابراین هویت های زیر برقرار است:

x n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n.

y n +2 =C 1 y n +1 +C 2 y n .

بیایید دو برابری را ترم به ترم اضافه کنیم:

x n +2 + y n +2 \u003d C 1 ∙ x n +1 + C 2 ∙ x n + C 1 ∙ y n +1 + C 2 ∙ y n \u003d C 1 ∙ (x n +1 + y n + 2 ♈ + C (x n +yn). این بدان معنی است که x n +y n راه حل (*) است.

3) اگر r 1 جوابی برای معادله درجه دوم r 2 = С 1 r + С 2 باشد، آنگاه دنباله (r 1) n جواب رابطه (*) است.

r 1 حل معادله درجه دوم r 2 = C 1 r + C 2 است، بنابراین (r 1) 2 = C 1 r 1 + C 2 . بیایید هر دو طرف تساوی را در (r 1) n ضرب کنیم. گرفتن

r 1 2 r 1 n \u003d (C 1 r 1 + C 2) r n.

r 1 n +2 \u003d C 1 r 1 n +1 + C 2 r 1 n.

این بدان معنی است که دنباله (r 1) n راه حل (*) است.

از این خواص به دست می آید راه حلروابط عود خطی با ضرایب ثابت مرتبه دوم:

1. معادله مشخصه (دومتری) r 2 =C 1 r+C 2 را بسازید. بیایید ریشه های آن r 1, r 2 را پیدا کنیم. اگر ریشه ها متفاوت باشند، جواب کلی f(n)= ar 1 n +βr 2 n است.

2. ضرایب a و β را بیابید. فرض کنید f(0)=a، f(1)=b. سیستم معادلات

راه حلی برای هر a و b دارد. این راه حل ها هستند

یک وظیفه . بیایید فرمولی برای عبارت رایج دنباله فیبوناچی پیدا کنیم.

راه حل . معادله مشخصه به شکل x 2 \u003d x + 1 یا x 2 -x-1 \u003d 0 است، ریشه های آن اعداد هستند، به این معنی که راه حل کلی به شکل f (n) \u003d است. . همانطور که به راحتی می توان مشاهده کرد، از شرایط اولیه f(0)=0، f(1)=1 نتیجه می شود که a=-b=1/Ö5، و در نتیجه، جواب کلی دنباله فیبوناچی شکل دارد. :

.

با کمال تعجب، این عبارت برای تمام مقادیر طبیعی n مقادیر صحیح می گیرد.

رونوشت

1 حل معادلات مکرر زمانی که یک عدد صحیح جایگزین آن می شود با مقدار یک عبارت مشخص کنید سپس وابستگی یک عضو دنباله به اعضای دنباله F F با مقادیر آرگومان کوچکتر را معادله بازگشتی می نامند. به عنوان مثال می توان به آن اشاره کرد. معادله ای به شکل: F یک معادله تکراری اگر اجازه بیان عضوی از دنباله F از طریق اعضای F F را بدهد، ترتیب دارد بنابراین، معادله دارای ترتیب و معادله F 3 6 دارای مرتبه 3 است، حل معادله بازگشتی نشان داده شده است. در شکل توجه داشته باشید که معادله به اصطلاح دنباله اعداد فیبوناچی را توصیف می کند: 3 F 4 3 F 5 5 F F 8 معادله داده شدهما ترم بعدی دنباله را محاسبه می کنیم با این روش عمل می کنیم، دیر یا زود هر جمله ای از دنباله را به دست می آوریم، اما در این مورد، باید تمام عبارت های قبلی را محاسبه کنیم در بسیاری از موارد داشتن یک فرمول صریح راحت تر است. برای ترم سوم دنباله آخرین معادله آن به یک هویت تبدیل می شود مثلاً دنباله 4 8 یکی از راه حل های معادله تکراری 3 است در واقع عبارت کلی این دنباله شکل دارد اما برای هر کدام هویت به خود می گیرد. محل پس 3 بنابراین حل معادله بازگشتی است حل معادله عود کننده اگر به ثابت های دلخواه C C بستگی داشته باشد کلی نامیده می شود و با انتخاب این ثابت ها می توانید هر جوابی برای این معادله بدست آورید مثلا برای معادله 5 6، راه حل کلی F C C 3 3 خواهد بود به راحتی می توان بررسی کرد که دنباله 3 به یک هویت تبدیل می شود راه حل جنگی را می توان به شکل 3 اما هر کدام نشان داد

2 راه حل منحصراً توسط مقادیر تعیین می شود و بنابراین باید نشان داد که برای هر اعداد و C وجود دارد که F C C 3C C 3 C تعیین کننده سیستم برای هر است و سیستم دارای راه حل است بنابراین ، 3 در واقع راه حلی برای F است. F; I: FFF FF; FF; F Fig الگوریتم برای تولید دنباله ای از اعداد فیبوناچی

3 معادلات تکراری خطی هیچ قانون کلی برای حل معادلات تکراری دلخواه وجود ندارد، اما یک کلاس بسیار رایج از معادلات وجود دارد که می توان آنها را با یک روش یکنواخت حل کرد. ضرایب ثابتو f تابعی از این معادلات خطی نامیده می شوند زیرا عناصر دنباله F با یک وابستگی خطی به هم متصل می شوند اگر علاوه بر این تابع f باشد، معادلات این شکل را معادلات همگن یا همگن با ضرایب ثابت می نامند در غیر این صورت معادلات همگن خطی نامتجانس معادلات بازگشتی همگن خطی معادلات بازگشتی همگن خطی با ضرایب ثابت به شکل F 5 هستند که در آن - برخی اعداد بدیهی است که دنباله همیشه جواب هر معادله همگن خواهد بود به چنین جوابی جواب بی اهمیت می گویند. ابتدا در نظر بگیرید که چگونه چنین معادلاتی حل می شوند، یعنی معادلات به شکل F 6 را مطالعه می کنیم. حل این معادلات بر اساس دو عبارت زیر است: اگر F و F راه حل های معادله بازگشتی 6 هستند، برای هر عدد A و B دنباله F AF BF نیز راه حلی برای این معادله است واقعاً با شرط F F F F این برابری ها را در هویت ها ضرب کنید در نتیجه به دست می آید: A و F F B به ترتیب [ AF BF ] [ AF BF ] AF BF به دست آمده را اضافه کنید و این بدان معنی است که F AF BF راه حل معادله 6 است اگر عدد ریشه معادله باشد.

4 سپس دنباله حل معادله بازگشتی F است بیایید این جمله را ثابت کنیم و سپس با جایگزینی این مقادیر به 6 برابری بدست می آوریم یا درست است زیرا با شرط For یک راه حل جزئی داریم هر دنباله ای از شکل که در آن توجه داشته باشید که همراه با دنباله ( ) نیز حل معادله 6 است برای اثبات این حقیقت، کافی است از عبارت A B در آن استفاده کنید. معادله مکرر 6 F داده شود.یک معادله درجه دوم 7 بسازید که معادله مشخصه این معادله تکراری نامیده می شود.معادله 6 به شکل C C است. راه حل های معادله F مکرر داده شده A با عبارت و C C راه حل آن است ما فقط باید نشان دهیم که هر یک حل شده است معادله 6 را می توان به این شکل نوشت اما هر جوابی از یک معادله مرتبه دوم با مقادیر مشخص می شود و بنابراین کافی است نشان دهیم که سیستم معادلات C C C C برای هر یک راه حل دارد و بدیهی است که این جواب ها برای C F C، سیستم همیشه یک راه حل دارد مثالی را در نظر بگیرید همانطور که قبلا ذکر شد، دنباله اعداد فیبوناچی 3583 را می توان با استفاده از معادله بازگشتی F 8 به دست آورد، معادله مشخصه به شکلی است که ریشه های این معادله درجه دوم اعداد هستند.

5 5 5 و بنابراین جواب کلی معادله فیبوناچی به شکل 5 5 C C 9 است که شرایط اولیه مقادیر F F مطابق با این شرایط اولیه برای و C سیستم معادلات C C C 5 C را حل می کنیم. در این سیستم معادلات، متوجه می شویم که C C و بنابراین F 5 بنابراین، این عبارت برای همه مقادیر طبیعی مقادیر صحیح می گیرد. معادله مشخصههمزمان: در این حالت عبارت C C دیگر جواب کلی نخواهد بود زیرا این جواب را می توان به شکل C C C نوشت در نتیجه فقط یک ثابت C باقی می ماند و آن را طوری انتخاب می کنیم که معادله دو شرط اولیه را برآورده کند و به طور کلی صحبت کردن، غیرممکن است، بنابراین، باید راه حل دیگری متفاوت از آن پیدا کرد، چنین راه حلی در واقع، اگر یک معادله درجه دوم F دو ریشه متقابل داشته باشد، پس با قضیه a ویتا، معادله به صورت زیر نوشته می شود: و سپس معادله مکرر معادله شکل دارد بیایید بررسی کنیم که F هویت F F واقعاً راه حل آن است. با جایگزینی مقادیر F در معادله، نتیجه بدیهی را دریافت می کنیم بنابراین - این جواب معادله بازگشتی ما است بنابراین، ما از قبل دو راه حل برای این معادله بازگشتی می دانیم: و سپس جواب کلی را می توان به صورت زیر نوشت: F F C C C C اکنون می توان ضرایب C و C را طوری انتخاب کرد که هر دو شرط اولیه برای F برآورده شود.

6 C C C C معادلات بازگشتی خطی از مرتبه بزرگتر از 2 به همین ترتیب حل می شوند معادله را به شکل F بسازید اگر تمام ریشه های این معادله جبری درجه هفتم متفاوت باشد، جواب کلی معادله را بسازید. معادله به شکل F C C معادله است در جواب کلی، این ریشه مربوط به قسمت C C C است. با نوشتن چنین عباراتی برای تمام ریشه ها و جمع آنها، جواب کلی معادله s را به دست می آوریم که در آن تعدد ریشه s عدد است. از ریشه های مختلف P یک چند جمله ای درجه است با توجه به مثال به شکل C C C C ما یک سیستم معادلات را برای یافتن می سازیم و C: C C C C 4 با حل سیستم، به دست می آوریم که C و C بنابراین، حل معادله بازگشتی دارای فرم

7 جست‌وجوی ریشه‌های یک چندجمله‌ای هنگام یافتن ریشه‌های یک معادله مشخصه، غالباً نیاز به حل معادلات درجه بزرگتر است. برای حل این مشکل می‌توانید از روش انتخاب استفاده کنید و یک عدد تصادفی بگیرید و بررسی کنید که آیا این معادله است یا خیر. ریشه یک چند جمله ای معین. در این حالت، شما می توانید خیلی سریع به یک ریشه برخورد کنید و هرگز نمی توانید آن را پیدا کنید، به هر حال، بررسی همه اعداد غیرممکن است، زیرا تعداد آنها بی نهایت است. چیز دیگر این است که اگر ما موفق شویم برای محدود کردن منطقه جستجو، به عنوان مثال، برای دانستن اینکه ریشه های مورد نظر، به عنوان مثال، بین سی عدد مشخص شده A برای سی عدد هستند، می توانید A را در این رابطه بررسی کنید، عبارت مهم است. قضیه اگر کسری غیر قابل تقلیل / اعداد صحیح ریشه چند جمله ای F x با ضرایب صحیح است، سپس ضریب پیشرو این چند جمله ای بر و جمله آزاد بر قابل تقسیم است در واقع، اگر x x x x اعداد صحیح هستند و / ریشه آن است، پس F / آن ها / / / هر دو را ضرب کنید. طرفهای تساوی توسط ما به این نتیجه می رسیم که واضح است که یک عدد صحیح بر قابل بخش است اما / کسر غیر قابل تقلیل است، آن اعداد هم اول هستند، و سپس، همانطور که از نظریه بخش پذیری اعداد صحیح مشخص است، اعداد و همچنین هم اول هستند، بنابراین، بر و هم اول با آن بخش پذیر است، پس بر آن بخش پذیر است به همین ترتیب، ثابت کرد که بر تقسیم پذیر است قضیه اثبات شده به ما اجازه می دهد تا منطقه جستجوی ریشه های گویا یک چند جمله ای را با ضرایب صحیح به طور قابل توجهی محدود کنیم. با توجه به قضیه اثبات شده، ریشه های گویا این چند جمله ای از کسرهای غیر قابل تقلیل شکل هستند / منفی سپس علامت - به عنوان مثال به صورت آن اشاره می کنیم، یعنی می توان گفت که مقسوم علیه عدد 8 a است. مقسوم علیه عدد 6 از آنجایی که مقسوم علیه های عدد 8 48 ± و مقسوم علیه های مثبت عدد 6 برابر با 36 خواهد بود، پس ریشه های گویا چند جمله ای مورد بررسی جزو اعداد ± / / 3 / 6 / 344 / هستند. 388/3 کسرهای قابل جابجایی بنابراین، ما بیست عدد داریم که "نامزد" برای ریشه هستند. فقط باید هر یک از آنها را بررسی کنیم و آنهایی را که واقعا ریشه هستند انتخاب کنیم. اما باز هم باید بررسی های بسیار زیادی انجام شود. قضیه زیر ساده می کند. این کار

8 قضیه اگر کسر تقلیل ناپذیر / ریشه چند جمله ای F x با ضرایب صحیح باشد، F برای هر عدد صحیح قابل بخش است، مشروط بر اینکه برای اثبات این قضیه، F x را با باقیمانده بر x تقسیم کنیم، F x x s x از x به دست می آید. یک چند جمله ای با ضرایب صحیح است، پس همان است و s x a یک عدد صحیح است اجازه دهید s x b x b x b x b سپس x x b x b x b x b در این برابری x قرار می دهیم / با در نظر گرفتن اینکه F / می گیریم / b b b b هر دو طرف آخرین تساوی را در: b b b b ضرب می کنیم و بنابراین F بر تقسیم پذیر است قضیه ثابت می شود حال به مثال خود بازگردیم و با استفاده از این قضیه جستجوی ریشه های گویا را بیشتر محدود می کنیم بیایید قضیه را برای مقادیر و آنهایی که کسر تقلیل ناپذیر ریشه چند جمله ای x است اعمال کنیم. بر بخش پذیر است و F بر بخش پذیر است بدیهی است در مورد ما F 5 a 5 توجه داشته باشید که در عین حال واحد را از در نظر گرفتن حذف کردیم بنابراین ریشه های گویا چند جمله ای ما را باید در محیط جستجو کرد. اعداد di / / 3 / 6 / / 3 8 8/3 در نظر بگیرید / / سپس F 5 نیز بر این عدد بخش پذیر است سپس 3 و 5 نیز بر 3 بخش پذیر هستند بنابراین کسر / در بین نامزدهای ریشه ها باقی می ماند اکنون / / در این حالت 3 و F 5 بر 3 - بخش پذیر نیستند یعنی کسر / نمی تواند ریشه این چند جمله ای باشد پس از بررسی هر یک از کسری که در بالا نوشته شده است ، می گیریم که ریشه های مورد نظر جزو اعداد / / 3 هستند. 4 بنابراین، با استفاده از یک ترفند نسبتاً ساده، ما موفق شدیم منطقه جستجوی ریشه های گویا چند جمله ای در نظر گرفته شده را به طور قابل توجهی محدود کنیم با بررسی 4 3 نامزد باقی مانده، مطمئن خواهیم شد که چند جمله ای x 6x 3x 4x 8x 8 دارای دو ریشه منطقی است / و / 3 روشی که در بالا توضیح داده شد به شما این امکان را می دهد که فقط ریشه های گویا یک چند جمله ای را با ضرایب صحیح پیدا کنید.در ضمن یک چند جمله ای می تواند ریشه های غیر منطقی نیز داشته باشد.مثلاً چند جمله ای در نظر گرفته شده در مثال دو ریشه دیگر دارد: ± 5 اینها ریشه ها هستند. از چند جمله ای x x 4 توجه داشته باشید که هنگام آزمایش کاندیداها برای ریشه ها با استفاده از آخرین قضیه، ما معمولا مورد ± را در نظر می گیریم. اگر / کاندیدای ریشه ها باشد، بررسی می کنند که آیا و F به ترتیب بر و بخش پذیر هستند یا خیر، اما ممکن است اتفاق بیفتد که مثلاً آن واحد ریشه باشد و سپس بر هر عددی بخش پذیر باشد و چک ما معنای خود را از دست بدهد. در این صورت باید x را بر x تقسیم کنیم و x x s x را بدست آوریم و برای چند جمله‌ای sx تست‌هایی تولید کنیم در این صورت نباید فراموش کرد که یک ریشه x ریشه x قبلاً پیدا شده است.

9 در برخی موارد، زمانی که معادله مشخصه به معادلات اشاره دارد نوع خاصریشه های آن را می توان با جایگزینی یافت.اینگونه معادلات شامل معادلات متقارن و متقابل هستند.متقارن معادله ای از درجه است - حتی به شکل x bx cx cx bx 3 معادلات متقارن مورد خاصی از معادلات متقابل هستند. به شکل x bx cx / c x / / b x که در آن - مقداری ضریب مثلاً حل معادلات متقارن و متقابل درجه چهارم را در نظر بگیرید. اجازه دهید معادله متقارن 4 x 3 bx cx bx داده شود. ابتدا آن را کاهش می دهیم. درجه با تقسیم هر دو قسمت بر x. با توجه به اینکه t x / x عبارت 4 را می توان به صورت t bt c نوشت. 6 حل معادله 6 به عنوان یک معادله درجه دوم معمولی، دو ریشه t و t به دست می آوریم. حال با جایگزینی متناوب ریشه های t و t در معادله 5، دو معادله درجه دوم بدست آورید x tx x t x 7 حل معادلات 7 هر چهار ریشه معادله اصلی را به ما می دهد 3 بنابراین، حل معادله متقارن درجه چهارم کاهش می یابد. برای حل سه معادلات درجه دوممعادلات معکوس نیز به همین صورت حل می شوند.اگر معادله درجه چهارم را بتوان به صورت 4 x 3 bx cx bx 8 نشان داد، حل آن را می توان با جایگزینی tx / x 9 مانند حالت قبل، درجه معادله را با مقدار کمتر به دست آورد. تقسیم هر دو قسمت بر x برای معادله به دست آمده x bx c b / x / x از جایگزینی 9 استفاده می کنیم سپس معادله را می توان به صورت t bt c بازنویسی کرد همانطور که در مثال قبل، معادله را حل می کنیم و دو ریشه t و t به دست می آوریم. حال، با جایگزینی متناوب ریشه های t و t در معادله 9، دو معادله درجه دوم x tx x t x به دست می آوریم.

10 حل معادلات بازگشتی خطی غیرهمگن یک معادله بازگشتی خطی ناهمگن نامیده می شود اگر بتوان آن را به شکل زیر نشان داد: f 3 که در آن f تابعی از یک معادله بازگشتی خطی همگن OLRU است که مربوط به یک معادله خطی ناهمگن F3 است. 4 و جواب کلی آن را با FO نشان می دهیم با قیاس با روش های حل معادلات دیفرانسیل، ابتدا شرایط اولیه را نادیده می گیریم و فرض می کنیم که یک راه حل برای معادله 3 قبلاً پیدا شده است. حل CLRS به شکل مجموع F راه حل خاص آن و جواب کلی OLRS F 5 3 O مربوطه نشان می دهد که 5 در واقع یک راه حل برای RLSR 3 است. یک هویت از آنجایی که FO FO F O F F F F f که b یک عدد صحیح است ثابت عددی ما به دنبال جواب خاصی از معادله 6 به شکل ثابت F c 7 خواهیم بود، یعنی c نیز یک عدد صحیح است جانشین 7 در 6 c c c c b b c 8 ثابت یک جواب خاص از معادله 6 خواهد بود به شرطی که مخرج فرمول 8 باشد. معادل صفر نیست که معادله 6 راه حل خاصی داشته باشد

b F h b F h h مثال حل معادله 5 با F 35 RLRS F را بنویسید h 3 معادله مشخصه را حل کنید 4 حل کلی RLRS را بنویسید F C C C C 5 جواب خاص RLRS 5 F 5 h را بنویسید h 6 جواب کلی RLRS F F C C 5 7 با در نظر گرفتن شرایط اولیه، ضرایبی را در راه حل NLRU می یابیم.

12 C C 5 C C 5 35 ما C C 8 می گیریم حل NLRU F 5 را یادداشت می کنیم بنابراین یک فرمول صریح برای محاسبه جمله -امین دنباله به دست آورده ایم در نتیجه، خود دنباله را محاسبه می کنیم: درجه در سمت راست. سمت F c 34 با جایگزینی 34 به 33، قانون محاسبه ضرایب چند جمله ای j c j b 35 j با معادل سازی ضرایب سمت چپ و راست با عبارت های حاوی، به دست می آوریم ضرایب باقیمانده c c b b c در h h به طور مشابه با معادل سازی پیدا می شوند. ضرایب در 35 اگر ریشه معادله مشخصه h تعدد باشد، باید راه حل خاصی از NLRT را به شکل F c SOLUTION از NLRT تحت تابع توان جستجو کرد. ما به دنبال جواب خاصی از NLRT خواهیم بود. F bα 37 به شکل 36 جایگزینی 38 به 37 داریم

13 bα F h α اگر α ریشه معادله مشخصه h نباشد اگر α ریشه معادله تعدد مشخصه باشد، باید راه حل خاص 37 را به شکل F dα جستجو کرد که در آن d مقداری ثابت تعداد تکرارها در آن است. با ساخت ماتریس بررسی کد M M 4 3 با M 7، راه حل خاص پیشنهادی به اشتباه تعریف شده است، زیرا ریشه معادله مشخصه است. e 3 d بنابراین M C 3 و با در نظر گرفتن شرایط اولیه C 3 پس حل معادله اصلی M 3 3 معادلات غیر از معادلات بازگشتی خطی با ضرایب ثابت روش حل کلی ندارند می توان آنها را حل کرد، به عنوان مثال، با آزمون و خطا F F b b b در;

14 b b b F F در 3 حال می توانیم فرض کنیم که جواب معادله 39 4 og b F است که با جایگزینی 4 به 39 ، og og og b b b b b b b F F og og j j b b داریم بنابراین 4 در واقع جوابی برای معادله 39 است.

سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت کاهش به یک معادله منفرد مرتبه هفتم از دیدگاه عملی، سیستم های خطی با ضرایب ثابت بسیار مهم هستند.

مبحث 14 " معادلات جبریو سیستم های معادلات غیر خطی "چند جمله ای درجه n چند جمله ای است به شکل P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n، که در آن a 0، a 1، a n-1 ، a n اعداد داده می شود، a 0،

سخنرانی معادلات دیفرانسیل مرتبه ام (DE-) فرم کلیمعادله دیفرانسیل مرتبه n نوشته خواهد شد: (n) F, = 0 () معادله مرتبه هفتم (n =) به شکل F(,) = 0 معادلات مشابه خواهد بود.

تمرین ادغام کسرهای گویا کسر گویاکسری از شکل P Q نامیده می شود که در آن P و Q چند جمله ای هستند. کسر گویا اگر درجه چند جمله ای P کمتر از درجه باشد، مناسب نامیده می شود.

پایه 10، سطح پایه تکلیف 1 گزینه 0 (نمایش، همراه با راه حل) مدرسه ریاضی مکاتباتی 009/010 سال تحصیلی 1 عبارت را به صورت چند جمله ای استاندارد بنویسید و آن را پیدا کنید

اشتغال. درجه با توان واقعی دلخواه، خواص آن. تابع قدرت، خواص آن، گرافیک .. خصوصیات یک درجه با توان گویا را به یاد بیاورید. a a a a برای زمان های طبیعی

آژانس فدرالتوسط آموزش و پرورش تومسک دانشگاه دولتیسیستم های کنترل و رادیو الکترونیک گروه ریاضیات عالی (HM) Prikhodovsky M.A. عملگرهای خطی و فرم های درجه دوم عملی

سخنرانی N معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر، روش های حل مسئله کوشی معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه بالاتر معادلات دیفرانسیل خطی همگن معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر،

معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول مفاهیم اساسی معادله دیفرانسیلمعادله به معادله ای گفته می شود که در آن تابع مجهول زیر علامت مشتق یا دیفرانسیل وارد می شود.

مبحث 7 رتبه ماتریس پایه جزئی قضیه رتبه ماتریس و پیامدهای آن سیستم های معادلات خطی m با مجهولات قضیه کرونکر-کاپلی سیستم راه حل های اساسی سیستم همگنخطی

وزارت آموزش و پرورش فدراسیون روسیهدانشگاه دولتی نفت و گاز گوبکین روسیه VI ایوانف رهنمودهابرای مطالعه مبحث "معادلات دیفرانسیل" (برای دانش آموزان

کتابچه راهنمای ریاضیات 5 9 کلاس MOSCOW "VAKO" 201 UDC 32.851 BBK 4.262.22 C4 6+ این نشریه برای استفاده در فرآیند آموزشیبر اساس دستور وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

معادلات دیفرانسیل مفاهیم کلی معادلات دیفرانسیل کاربردهای متعدد و بسیار متنوعی در مکانیک، فیزیک، نجوم، فناوری و سایر شاخه های ریاضیات عالی دارند (به عنوان مثال،

جبر کاربردی. بخش اول: میدان های محدود یا گالوا. II 1 / 78 قسمت اول میدانهای محدود یا گالوا. جبر کاربردی II. بخش اول: میدان های محدود یا گالوا. II 2 / 78 زمینه های باقیمانده مدول

جبر کاربردی. بخش اول: میدان های محدود (میدان های گالوا). II 1 / 78 قسمت اول میدانهای محدود (میدانهای گالوا). جبر کاربردی II. بخش اول: میدان های محدود (میدان های گالوا). II 2 / 78 فیلدهای باقیمانده modulo prime

سخنرانی 7 2 معادلات فردهولم از نوع دوم با هسته های منحط این مورد از این جهت متفاوت است که حل معادله انتگرال به حل یک سیستم جبری خطی کاهش می یابد و می توان به راحتی به دست آورد.

8 معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب متغیر 8 مفاهیم اساسی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه هفتم با ضرایب متغیر یک معادله است.

سخنرانی ادغام کسرهای گویا کسرهای گویا ادغام کسرهای گویا ساده تجزیه کسر گویا به کسرهای ساده ادغام کسرهای گویا گویا

سخنرانی ها -6 فصل معادلات دیفرانسیل معمولی مفاهیم اساسی مسائل مختلف مهندسی علوم طبیعی اقتصاد منجر به حل معادلاتی می شود که در آنها مجهول تابعی از

سخنرانی. عناصر نظریه چند جمله ای ها. چند جمله ای (برخی اطلاعات پس زمینه) تابع شکل: 1 P (x) a0x a1x... a 1x a = + + + + + (1) که در آن عدد طبیعی a i (i = 01...) ضرایب ثابت

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه موسسه تحصیلی آموزش عالی"دانشگاه علوم انسانی و تربیتی دولتی اورال جنوبی"

درس 4 ادغام توابع گویا (ادامه) یک تابع گویا (یا، به سادگی، کسری) نسبت دو چند جمله ای است، یعنی تابعی به شکل R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

مبحث 1-8: اعداد مختلط A. Ya. Ovsyannikov Uralsky دانشگاه فدرالموسسه ریاضیات و علوم کامپیوتر گروه جبر و ریاضیات گسسته جبر و هندسه مکانیک (1 ترم)

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی معماری و عمران سنت پترزبورگ V B SMIRNOV, L E MOROZOV معادلات دیفرانسیل معمولی آموزشی

آژانس فدرال آموزش GOU VPO "ایالت اورال دانشگاه فنی UPI» NM Kravchenko معادلات و سری های دیفرانسیل کمک آموزشیویراستار علمی Assoc., Ph.D.

معادلات و نابرابری های غیر منطقی فهرست مطالب معادلات غیر منطقی روش افزایش دو طرف معادله به توان یکسان معادله غیر منطقیمختلط

مبحث 2-19: اشکال دوخطی و درجه دوم A. Ya. Ovsyannikov دانشگاه فدرال اورال موسسه ریاضیات و علوم کامپیوتر گروه جبر و ریاضیات گسسته جبر و هندسه برای مکانیک

I گزینه 8B class, 4 اکتبر 007 1 کلمات گم شده را وارد کنید: تعریف 1 حساب ریشه دوماز عددی که a برابر است از عدد a (a 0) به صورت زیر نشان داده می شود: با عبارت The action of finding

قضایای "سه گانه فیثاغورث" مورسیف میخائیل پتروویچ وجود دارد روش های مختلفتعاریف انواع "مثلث فیثاغورثی" گاهی اوقات آنها را "سه گانه فیثاغورثی" یا "مثلث مصر" می نامند.

مبحث انتگرال نامعین روشهای اساسی ادغام ادغام با قطعات اجازه دهید u و v دو تابع متمایزپذیر از یک آرگومان باشند مشخص است که d(u v) udv vdu (77) از هر دو استفاده کنید

مبحث 4. حل عددی معادلات غیرخطی -1- مبحث 4. حل عددی معادلات غیرخطی 4.0. بیان مسئله مشکل یافتن ریشه ها معادله غیر خطیبه شکل y=f() اغلب در علم علمی یافت می شود

کار پژوهشی موضوع "تجزیه چند جمله ای درجه پنجم به عوامل درجه دوم با استفاده از چند جمله ای درونیابی لاگرانژ" تکمیل شده توسط: شابونویچ ادوارد اولگوویچ دانشجو

~ ~ معادلات دیفرانسیل اطلاعات کلیدر مورد معادلات دیفرانسیل وظیفه نوشتن معادلات دیفرانسیل تعریف: معادله دیفرانسیل معادله ای است که

فصل نامعین انتگرال مستقیم یک تابع F() یک پاد مشتق برای تابع f() نامیده می شود اگر برابری F"() f() مجموعه تمام پاد مشتق های یک تابع معین f()

وزارت علوم و آموزش و پرورش فدراسیون روسیه آکادمی مهندسی رادیو دولتی ریازان GS LUKYANOVA AINOVIKOV معادلات و نابرابری های منطقی و غیر منطقی وزارت ریازان

سخنرانی 9 خطی سازی معادلات دیفرانسیل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه بالاتر معادلات همگنخواص محلول های آنها ویژگی های محلول ها معادلات ناهمگنتعریف 9 خطی

اولین راه حل SLE را طبق قانون کرامر برای یک سیستم سه معادله با سه مجهول در نظر بگیرید: پاسخ با استفاده از فرمول های کرامر محاسبه می شود: D، D1، D2، D3 تعیین کننده هستند.

سخنرانی 3 مادون تابعی از چندین متغیر اجازه دهید تابعی از چندین متغیر u = f (x, x) در دامنه D تعریف شود و نقطه x (x, x) = متعلق به این دامنه باشد تابع u = f ( x، x) دارد

چند جمله ای های جبری 1 چند جمله ای های جبری درجه n بر روی یک میدان K تعریف 1.1 یک چند جمله ای با درجه n، n N (0)، در یک متغیر z روی یک فیلد عددی K عبارتی به شکل: fz = a n z n است.

حل مسائل ششمین المپیاد دانش آموزی جبر مسئله 1 ثابت کنید که اگر همه عناصر یک ماتریس مربع واقعی از مرتبه بزرگتر از دو غیر صفر باشند، می توان آنها را در مثبت ضرب کرد.

مبحث 1 اعداد واقعی و اعمال روی آنها 4 ساعت 11 توسعه مفهوم عدد 1 در ابتدا اعداد فقط به عنوان اعداد طبیعی درک می شدند که برای شمارش اشیاء منفرد کافی هستند.

انستیتو ریاضیات و مکانیک دانشگاه فدرال کازان IM. N.I.LOBACHEVSKY گروه تئوری و فناوری های تدریس ریاضیات و انفورماتیک Falileeva M.V. گام های اول در حل معادلات و

95 دوخطی و توابع درجه دومتابع دوخطی تعریف تابع دوخطی (شکل دوخطی) در فضای خطی L تابعی از دو بردار از L است که در هر یک از آن ها خطی است.

موسسه آموزش عالی بودجه ایالتی فدرال آموزش حرفه ای"دانشگاه دولتی تحقیقات ملی نووسیبیرسک" سیستم های دیفرانسیل خطی

راهنما برخی از نشانه های تقسیم پذیری اعداد طبیعیاعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش استفاده می شوند: اعداد طبیعی مجموعه ای را تشکیل می دهند که به آن مجموعه اعداد طبیعی می گویند.

57 ادغام ساده ترین کسر گویا از نوع چهارم (M N) d () p q p را در نظر بگیرید بیایید با تنظیم d تغییری در متغیر ایجاد کنیم. جایی که یک p q. سپس انتگرال M N d p p p q q a، M p N Mp q d M (p q) p

1 UDC 517 96 1. حل معادله ریکاتی و کاربرد آن در معادلات خطی مرتبه دوم چوچیف تیموفی زاخارویچ، کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی، محقق ارشد

سیستم های معادلات دیفرانسیل مقدمه همانند معادلات دیفرانسیل معمولی، از سیستم های معادلات دیفرانسیل برای توصیف بسیاری از فرآیندها در زندگی واقعی استفاده می شود.

دانشگاه فنی دولتی مسکو به نام N.E. باومن دانشکده علوم بنیادی گروه مدل سازی ریاضی А.Н. کاناتنیکوف،

دستورالعمل های روشی برای انجام وظایف محاسباتی در درس ریاضی عالی "معادلات دیفرانسیل معمولی سری انتگرال های چندگانه" قسمت سوم موضوع ضرایب دیفرانسیل معمولی

وزارت آموزش عمومی و حرفه ای فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی روستوف E. Ya. Fine

سخنرانی 2 سیستم های معادلات خطی تعیین کننده های مرتبه های کوچک 1 معادل سازی سیستم های خطی اجازه دهید یکی دیگر به ما داده شود سیستم خطیهم اندازه a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

{ مفاهیم کلی- قضیه کوشی - عملگر دیفرانسیل خطی - قضایای پایه - استقلال خطی جوابها - تعیین کننده رونسکی - ورونسکی معادله دیفرانسیل خطی همگن

تجزیه و تحلیل ریاضیبخش: انتگرال نامعین موضوع: ادغام کسرهای گویا مدرس پاخوموا E.G. 0 5. ادغام کسرهای گویا تعریف. کسر گویا نامیده می شود

فصل معادلات دیفرانسیل مفاهیم و تعاریف اساسی معادله دیفرانسیل معادله ای است که متغیر مستقل x را با تابع مورد نظر (y f (x و مشتقات تابع مورد نظر) متصل می کند.

روش تفکیک متغیرها (روش فوریه) اصول کلی روش جداسازی متغیرها برای ساده ترین معادله دیفرانسیل جزئی، جداسازی متغیرها جستجوی جوابهای شکل فقط از t است. u (x, t

موضوع: نظریه عمومی سیستم های معادلات خطی A. Ya. Ovsyannikov دانشگاه فدرال اورال موسسه ریاضیات و علوم کامپیوتر گروه جبر و ریاضیات گسسته جبر و هندسه برای

در مورد حل در اعداد طبیعی معادلات فرم در تجزیه و تحلیل دیوفانتین، معادلات شکل از جمله معادلاتی هستند که حل آنها دشوار است. در حال حاضر ناشناخته است روش کلی راه حل کاملحتی ساده ترین معادلات این

جبر: پایه هفتم. درس 2. عبارات عددی. عبارات با متغیر بعد از ظهر بخیر، بچه ها! در درس آخر مطالب آموخته شده در کلاس ششم را مرور کردیم. به یاد آورد که چگونه اعمال را با معمولی و

فصل 2 فضاهای برداری 9 فضای برداری بر روی یک فیلد 91 بدیهیات اجازه دهید یک فیلد P داده شود که عناصر آن را اسکالر می نامیم و تعدادی مجموعه V که عناصر آن را می نامیم.

کسرهای ادامه دار کسرهای متناهی ادامه یافته تعریف عبارتی از شکل a 0 + a + a + + a m که در آن 0 Z a m N a m N/() کسر ادامه یافته نامیده می شود و m طول کسر ادامه یافته a 0 a a m خواهد بود. ضرایب کسر ادامه دار نامیده می شود

محتویات نظریه ابتدایی خطاها. راه حل SLAU. 4. هنجارها در فضاهای بعد محدود... 4. شرطی سازی SLAE ها.................. 5.3 روش های تکراری برای حل سیستم های خطی......... .............

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه دانشگاه دولتی اورال اقتصاد Yu. B. Melnikov Field. بخش پسوند فیلد کتاب درسی الکترونیکبرای همراهی با سخنرانی ها اد. چهارم، برگردان و اضافی

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه تحقیقات ملی دانشگاه ساخت و ساز دولتی مسکو گروه مکانیک کاربردی و ریاضیات متفاوت معمولی

فصل 7 مفهوم روش‌های مجانبی سخنرانی مسائل آشفته منظم و منفرد هنگام ساخت مدل‌های ریاضی از اشیاء فیزیکی که با مقیاس‌های مختلف در فضا مشخص می‌شوند،