مجموع یک تصاعد حسابی.

مجموع یک تصاعد حسابی چیز ساده ای است. هم در معنا و هم در فرمول. اما انواع و اقسام وظایف در این موضوع وجود دارد. از ابتدایی تا کاملا جامد.

ابتدا به معنی و فرمول جمع می پردازیم. و بعد تصمیم می گیریم برای دلخوشی خودت.) معنی جمع به همین سادگی است. برای یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، فقط باید تمام اعضای آن را با دقت اضافه کنید. اگر این عبارات کم هستند، می توانید بدون هیچ فرمولی اضافه کنید. اما اگر زیاد باشد، یا زیاد ... اضافه آزاردهنده است.) در این صورت، فرمول ذخیره می کند.

فرمول جمع ساده است:

بیایید بفهمیم که چه نوع حروفی در فرمول گنجانده شده است. این خیلی چیزها را روشن خواهد کرد.

S n مجموع یک پیشرفت حسابی است. نتیجه اضافه همهاعضا، با اولینبر آخر.مهم است. دقیقا جمع کنید همهاعضا در یک ردیف، بدون شکاف و پرش. و دقیقاً شروع از اولین.در پازل ها، مانند یافتن مجموع ترم های سوم و هشتم، یا مجموع عبارت های پنجم تا بیستم - کاربرد مستقیمفرمول ها ناامید کننده هستند.)

یک 1 - اولینعضو پیشرفت اینجا همه چیز واضح است، ساده است اولینشماره ردیف.

a n- آخرعضو پیشرفت آخرین شمارهردیف نام چندان آشنا نیست، اما، هنگامی که به مقدار اعمال می شود، بسیار مناسب است. بعد خودت خواهی دید.

n شماره آخرین عضو است. درک این نکته مهم است که در فرمول این عدد با تعداد اعضای اضافه شده منطبق است.

بیایید مفهوم را تعریف کنیم آخرعضو a n. سوال تکمیلی: چه نوع عضوی خواهد بود آخر،اگر داده شود بی پایانپیشرفت حسابی؟

برای یک پاسخ مطمئن، باید معنای ابتدایی یک پیشرفت حسابی را درک کنید و ... تکلیف را با دقت بخوانید!)

در کار یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، آخرین جمله همیشه ظاهر می شود (مستقیم یا غیر مستقیم)، که باید محدود شود.در غیر این صورت، یک مقدار محدود و مشخص فقط وجود نداردبرای حل، مهم نیست که چه نوع پیشرفتی داده می شود: متناهی یا نامتناهی. فرقی نمی کند چگونه داده شود: با یک سری اعداد یا با فرمول عضو n ام.

مهمترین چیز این است که درک کنید که فرمول از اولین ترم پیشرفت به ترم با عدد کار می کند nدر واقع، نام کامل فرمول به صورت زیر است: مجموع n جمله اول یک پیشرفت حسابی.تعداد این اعضای اولیه، یعنی. n، صرفاً توسط وظیفه تعیین می شود. در کار، همه این اطلاعات ارزشمند اغلب رمزگذاری می شوند، بله ... اما هیچ، در مثال های زیر ما این اسرار را فاش خواهیم کرد.)

نمونه هایی از کارها برای مجموع یک پیشرفت حسابی.

در درجه اول، اطلاعات مفید:

مشکل اصلی در کارها برای مجموع یک پیشرفت حسابی، تعیین صحیح عناصر فرمول است.

نویسندگان تکالیف این عناصر را با تخیل بی حد و حصر رمزگذاری می کنند.) نکته اصلی در اینجا این است که نترسید. با درک ماهیت عناصر، فقط رمزگشایی آنها کافی است. بیایید به چند نمونه با جزئیات نگاه کنیم. بیایید با یک کار مبتنی بر یک GIA واقعی شروع کنیم.

1. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود: a n = 2n-3.5. مجموع 10 جمله اول را پیدا کنید.

آفرین. آسان.) برای تعیین مقدار طبق فرمول چه چیزهایی باید بدانیم؟ عضو اول یک 1، ترم آخر a n، بله شماره ترم آخر n

آخرین شماره عضو را از کجا می توان دریافت کرد n? بله، در همان مکان، در شرایط! میگه جمع رو پیدا کن 10 عضو اولخوب، چه عددی خواهد بود آخر،عضو دهم؟) باور نمی کنید، شماره او دهم است!) بنابراین، به جای a nما به فرمول جایگزین می کنیم یک 10، اما به جای آن n- ده باز هم تعداد آخرین عضو با تعداد اعضا یکسان است.

باید مشخص شود یک 1و یک 10. این به راحتی با فرمول جمله n که در بیان مسئله آورده شده است محاسبه می شود. نمی دانید چگونه آن را انجام دهید؟ از درس قبلی دیدن کنید، بدون این - هیچ چیز.

یک 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

یک 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

S n = S 10.

ما معنی تمام عناصر فرمول را برای مجموع یک پیشرفت حسابی فهمیدیم. باقی مانده است که آنها را جایگزین کنیم و بشماریم:

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. جواب: 75.

وظیفه دیگری بر اساس GIA است. کمی پیچیده تر:

2. با توجه به یک تصاعد حسابی (an)، که اختلاف آن 3.7 است. a 1 \u003d 2.3. مجموع 15 جمله اول را پیدا کنید.

بلافاصله فرمول جمع را می نویسیم:

این فرمول به ما اجازه می دهد تا مقدار هر عضو را با تعداد آن پیدا کنیم. ما به دنبال یک جایگزین ساده هستیم:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

باقی مانده است که تمام عناصر موجود در فرمول را برای مجموع یک پیشرفت حسابی جایگزین کنیم و پاسخ را محاسبه کنیم:

جواب: 423.

به هر حال، اگر در فرمول جمع به جای a nفقط فرمول جمله n را جایگزین کنید، دریافت می کنیم:

ما موارد مشابه را ارائه می دهیم، یک فرمول جدید برای مجموع اعضای یک پیشرفت حسابی دریافت می کنیم:

همانطور که می بینید نیازی نیست نهمین عضو a n. در برخی کارها این فرمول کمک زیادی می کند، بله... می توانید این فرمول را به خاطر بسپارید. و شما به سادگی می توانید آن را در زمان مناسب پس بگیرید، مانند اینجا. از این گذشته ، فرمول جمع و فرمول ترم n را باید از هر نظر به خاطر بسپارید.)

اکنون کار به صورت رمزگذاری کوتاه:

3. مجموع همه مثبت ها را بیابید اعداد دو رقمیمضرب سه.

چگونه! نه عضو اول، نه آخرین، نه هیچ پیشرفتی... چگونه زندگی کنیم!؟

شما باید با سر خود فکر کنید و تمام عناصر حاصل از جمع یک پیشرفت حسابی را از شرایط بیرون بکشید. اعداد دو رقمی چیست - ما می دانیم. آنها از دو عدد تشکیل شده اند.) چه عددی دو رقمی خواهد بود اولین? 10، احتمالا.) آخرین چیزعدد دو رقمی؟ 99 البته! سه رقمی ها دنبالش می آیند...

مضرب سه... هوم... اینها اعدادی هستند که به طور مساوی بر سه بخش پذیرند، در اینجا! ده بر سه بخش پذیر نیست، 11 بخش پذیر نیست... 12... بخش پذیر است! بنابراین، چیزی در حال ظهور است. شما می توانید با توجه به شرایط مشکل یک سری بنویسید:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

آیا این سریال یک پیشروی حسابی خواهد بود؟ البته! هر ترم با ترم قبلی به شدت سه تفاوت دارد. اگر 2 یا 4 به عبارت اضافه شود، مثلاً نتیجه، یعنی. یک عدد جدید دیگر بر 3 تقسیم نمی شود. می توانید فوراً تفاوت پیشرفت حسابی به پشته را تعیین کنید: d = 3.مفید!)

بنابراین، می توانیم با خیال راحت برخی از پارامترهای پیشرفت را بنویسیم:

چه عددی خواهد بود nآخرین عضو؟ هر کسی که فکر می کند 99 به شدت در اشتباه است ... اعداد - آنها همیشه پشت سر هم می روند و اعضای ما از سه نفر برتر می پرند. آنها مطابقت ندارند.

در اینجا دو راه حل وجود دارد. یکی از راه ها برای افراد فوق العاده سخت کوش است. می توانید پیشرفت، کل سری اعداد را رنگ آمیزی کنید و تعداد عبارت ها را با انگشت خود بشمارید.) راه دوم برای افراد متفکر است. شما باید فرمول ترم n را به خاطر بسپارید. اگر فرمول برای مشکل ما اعمال شود، دریافت می کنیم که 99 سی امین عضو پیشرفت است. آن ها n = 30.

ما به فرمول مجموع یک پیشرفت حسابی نگاه می کنیم:

ما نگاه می کنیم و خوشحال می شویم.) ما هر چیزی را که برای محاسبه مقدار لازم بود از شرط مشکل بیرون کشیدیم:

یک 1= 12.

یک 30= 99.

S n = S 30.

آنچه باقی می ماند، حساب ابتدایی است. اعداد موجود در فرمول را جایگزین کرده و محاسبه کنید:

جواب: 1665

نوع دیگری از پازل های محبوب:

4. یک پیشرفت حسابی داده می شود:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

مجموع عبارت های بیستم تا سی و چهارم را پیدا کنید.

فرمول جمع را نگاه می کنیم و ... ناراحت می شویم.) فرمول، یادآوری کنم، جمع را محاسبه می کند. از اولعضو و در مسئله باید مجموع را محاسبه کنید از بیستم ...فرمول کار نخواهد کرد

البته می توانید تمام مراحل را پشت سر هم رنگ کنید و اعضا را از 20 تا 34 قرار دهید. اما ... به نوعی احمقانه و برای مدت طولانی معلوم می شود، درست است؟)

راه حل ظریف تری وجود دارد. بیایید سریال خود را به دو قسمت تقسیم کنیم. قسمت اول خواهد بود از ترم اول تا نوزدهمبخش دوم - بیست تا سی و چهارواضح است که اگر مجموع عبارات قسمت اول را محاسبه کنیم S 1-19، آن را به مجموع اعضای قسمت دوم اضافه می کنیم S 20-34، مجموع پیشرفت از ترم اول تا سی و چهارم را بدست می آوریم S 1-34. مثل این:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

این نشان می دهد که برای پیدا کردن مجموع S 20-34می توان با تفریق ساده انجام داد

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

هر دو مبلغ سمت راست در نظر گرفته شده است از اولعضو، یعنی فرمول جمع استاندارد کاملاً برای آنها قابل اجرا است. داریم شروع می کنیم؟

ما پارامترهای پیشرفت را از شرط وظیفه استخراج می کنیم:

d = 1.5.

یک 1= -21,5.

برای محاسبه مجموع 19 ترم اول و 34 ترم اول به ترم های 19 و 34 نیاز داریم. آنها را مطابق با فرمول n ام می شماریم، مانند مسئله 2:

یک 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

یک 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

چیزی باقی نمانده است. مجموع 19 جمله را از مجموع 34 جمله کم کنید:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

جواب: 262.5

یک نکته مهم! یک ویژگی بسیار مفید در حل این مشکل وجود دارد. به جای محاسبه مستقیم آنچه شما نیاز دارید (S 20-34)،ما شمردیم چیزی که به نظر می رسد مورد نیاز نیست - S 1-19.و سپس تعیین کردند S 20-34، دور انداختن موارد غیر ضروری از نتیجه کامل. چنین "تظاهری با گوش" اغلب در پازل های شیطانی صرفه جویی می کند.)

در این درس، مسائلی را بررسی کردیم که برای درک معنای مجموع یک پیشروی حسابی کافی است. خوب، شما باید چند فرمول را بدانید.)

توصیه عملی:

هنگام حل هر مسئله ای برای مجموع یک پیشرفت حسابی، توصیه می کنم فوراً دو فرمول اصلی را از این مبحث بنویسید.

فرمول nامین عضو:

این فرمول ها بلافاصله به شما می گویند که به دنبال چه چیزی باشید، در کدام جهت فکر کنید تا مشکل را حل کنید. کمک می کند.

و اکنون وظایف برای راه حل مستقل.

5- مجموع تمام اعداد دو رقمی که بر سه بخش پذیر نیستند را بیابید.

جالب است؟) اشاره در یادداشت مشکل 4 پنهان است. خوب، مشکل 3 کمک خواهد کرد.

6. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. مجموع 24 جمله اول را پیدا کنید.

غیر معمول؟) این یک فرمول تکراری است. می توانید در درس قبلی در مورد آن مطالعه کنید. پیوند را نادیده نگیرید، چنین پازل هایی اغلب در GIA یافت می شوند.

7. واسیا برای تعطیلات پول پس انداز کرد. به اندازه 4550 روبل! و تصمیم گرفتم به عزیزترین فرد (خودم) چند روز خوشبختی بدهم. زیبا زندگی کن بدون اینکه چیزی از خودت انکار کنی. در روز اول 500 روبل خرج کنید و در هر روز بعد 50 روبل بیشتر از روز قبل خرج کنید! تا زمانی که پول تمام شود. واسیا چند روز خوشبختی داشت؟

آیا دشوار است؟) یک فرمول اضافی از کار 2 کمک خواهد کرد.

پاسخ ها (به هم ریخته): 7، 3240، 6.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

کسی با کلمه "پیشرفت" به عنوان یک اصطلاح بسیار پیچیده از بخش های ریاضیات عالی با احتیاط برخورد می کند. در همین حال، ساده ترین پیشروی حسابی کار تاکسی پیشخوان است (جایی که هنوز باقی مانده اند). و درک ماهیت (و در ریاضیات هیچ چیز مهمتر از "درک ماهیت" نیست) یک دنباله حسابی با تجزیه و تحلیل چند مفهوم ابتدایی چندان دشوار نیست.

دنباله اعداد ریاضی

مرسوم است که یک دنباله عددی را مجموعه ای از اعداد نامیده می شود که هر کدام شماره مخصوص به خود را دارند.

و 1 اولین عضو دنباله است.

و 2 دومین عضو دنباله است.

و 7 هفتمین عضو دنباله است.

و n n امین عضو دنباله است.

با این حال، هیچ مجموعه ای از ارقام و اعداد دلخواه ما را مورد توجه قرار نمی دهد. ما توجه خود را بر روی یک دنباله عددی متمرکز خواهیم کرد که در آن مقدار عضو n با یک وابستگی که می تواند به وضوح به صورت ریاضی فرموله شود با عدد ترتیبی آن مرتبط است. به عبارت دیگر: مقدار عددی عدد n تابعی از n است.

a - مقدار عضوی از دنباله عددی؛

n شماره سریال آن است.

f(n) تابعی است که در آن ترتیبی در دنباله عددی n آرگومان است.

تعریف

یک پیشروی حسابی معمولاً دنباله ای عددی نامیده می شود که در آن هر جمله بعدی با همان عدد بزرگتر (کمتر) از جمله قبلی است. فرمول n ام یک دنباله حسابی به شرح زیر است:

a n - مقدار عضو فعلی پیشرفت حسابی.

a n+1 - فرمول عدد بعدی؛

د - تفاوت (عدد معین).

به راحتی می توان تعیین کرد که اگر اختلاف مثبت باشد (d>0)، آنگاه هر عضو بعدی از سری مورد نظر بزرگتر از قبلی خواهد بود و چنین پیشرفت حسابی افزایش می یابد.

در نمودار زیر، به راحتی می توان دلیل آن را فهمید دنباله عددیبه نام "افزایش".

در مواردی که تفاوت منفی است (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

مقدار عضو مشخص شده

گاهی اوقات لازم است مقدار یک جمله دلخواه a n یک پیشرفت حسابی تعیین شود. شما می توانید این کار را با محاسبه متوالی مقادیر تمام اعضای پیشروی حسابی، از اول تا مورد نظر، انجام دهید. با این حال، این راه همیشه قابل قبول نیست، به عنوان مثال، نیاز به یافتن ارزش عبارت پنج هزارم یا هشت میلیونی است. محاسبه سنتی زمان زیادی می برد. با این حال، یک پیشرفت محاسباتی خاص را می توان با استفاده از فرمول های خاصی بررسی کرد. همچنین فرمولی برای جمله n وجود دارد: مقدار هر عضو یک پیشرفت حسابی را می توان به عنوان مجموع اولین عضو پیشرفت با اختلاف پیشروی، ضرب در تعداد عضو مورد نظر، منهای یک تعیین کرد. .

فرمول جهانی برای افزایش و کاهش پیشرفت است.

مثالی از محاسبه مقدار یک عضو معین

بیایید مشکل زیر را در یافتن مقدار عضو n یک پیشرفت حسابی حل کنیم.

شرط: یک پیشرفت حسابی با پارامترها وجود دارد:

اولین عضو دنباله 3 است.

تفاوت در سری اعداد 1.2 است.

وظیفه: باید مقدار 214 عبارت را پیدا کرد

راه حل: برای تعیین مقدار یک عضو معین، از فرمول استفاده می کنیم:

a(n) = a1 + d(n-1)

با جایگزینی داده های دستور مشکل به عبارت، داریم:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

پاسخ: عضو 214 دنباله برابر با 258.6 است.

مزایای این روش محاسبه واضح است - کل راه حل بیش از 2 خط طول نمی کشد.

مجموع تعداد معینی از اعضا

اغلب اوقات، در یک سری حسابی معین، لازم است که مجموع مقادیر برخی از بخش های آن تعیین شود. همچنین نیازی به محاسبه مقادیر هر عبارت و سپس جمع بندی آنها نیست. این روش در صورتی قابل اجرا است که تعداد عباراتی که جمع آنها باید یافت شود کم باشد. در موارد دیگر، استفاده از فرمول زیر راحت تر است.

مجموع اعضای یک پیشروی حسابی از 1 به n برابر است با مجموع اعضای اول و n ام که در عدد عضو n ضرب و بر دو تقسیم می شود. اگر در فرمول مقدار عضو n با عبارت پاراگراف قبلی مقاله جایگزین شود، دریافت می کنیم:

مثال محاسبه

به عنوان مثال، اجازه دهید یک مشکل را با شرایط زیر حل کنیم:

جمله اول دنباله صفر است.

تفاوت 0.5 است.

در مسئله باید مجموع عبارت های سری از 56 تا 101 مشخص شود.

راه حل. بیایید از فرمول برای تعیین مجموع پیشرفت استفاده کنیم:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

ابتدا مجموع مقادیر 101 عضو پیشرفت را با جایگزین کردن شرایط داده شده مسئله خود در فرمول تعیین می کنیم:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

بدیهی است که برای فهمیدن مجموع شرایط پیشرفت از 56 به 101 باید S 55 را از S 101 کم کرد.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

بنابراین مجموع پیشروی حسابی برای این مثال به صورت زیر است:

s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5

مثالی از کاربرد عملی پیشروی حسابی

در پایان مقاله، اجازه دهید به مثال دنباله حسابی ارائه شده در پاراگراف اول - یک تاکسی متر (تاکسی متر) برگردیم. بیایید چنین مثالی را در نظر بگیریم.

سوار شدن به تاکسی (که شامل 3 کیلومتر است) 50 روبل هزینه دارد. هر کیلومتر بعدی با نرخ 22 روبل در کیلومتر پرداخت می شود. مسافت سفر 30 کیلومتر. هزینه سفر را محاسبه کنید.

1. بیایید 3 کیلومتر اول را که قیمت آن در هزینه فرود گنجانده شده است.

30 - 3 = 27 کیلومتر.

2. محاسبه بیشتر چیزی نیست جز تجزیه یک سری اعداد حسابی.

شماره عضو تعداد کیلومترهای طی شده (منهای سه اول) است.

ارزش عضو جمع است.

اولین عبارت در این مشکل برابر با 1 = 50 روبل خواهد بود.

اختلاف پیشرفت d = 22 p.

تعداد مورد علاقه ما - مقدار (27 + 1)امین عضو پیشرفت حسابی - قرائت متر در پایان کیلومتر 27 - 27.999 ... = 28 کیلومتر.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

محاسبات داده های تقویم برای یک دوره دلخواه طولانی بر اساس فرمول هایی است که توالی های عددی خاصی را توصیف می کند. در نجوم، طول مدار از نظر هندسی به فاصله جسم آسمانی تا نور بستگی دارد. علاوه بر این، سری های عددی مختلف با موفقیت در آمار و سایر شاخه های کاربردی ریاضیات استفاده می شود.

نوع دیگری از دنباله اعداد هندسی است

یک پیشرفت هندسی با یک نرخ تغییر بزرگ در مقایسه با یک تغییر حسابی مشخص می شود. تصادفی نیست که در سیاست، جامعه شناسی، پزشکی، اغلب برای نشان دادن سرعت بالای گسترش یک پدیده خاص، مثلاً یک بیماری در طول یک بیماری همه گیر، می گویند که این روند به طور تصاعدی توسعه می یابد.

عضو N-امین سری اعداد هندسی با شماره قبلی متفاوت است زیرا در یک عدد ثابت ضرب می شود - مخرج، به عنوان مثال، اولین عضو 1 است، مخرج به ترتیب 2 است، سپس:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32،

b n - مقدار عضو فعلی پیشرفت هندسی.

b n+1 - فرمول عضو بعدی پیشرفت هندسی.

q مخرج یک تصاعد هندسی (عدد ثابت) است.

اگر نمودار یک پیشروی حسابی یک خط مستقیم باشد، نمودار هندسی یک تصویر کمی متفاوت ترسیم می کند:

همانطور که در مورد حساب، یک پیشرفت هندسی فرمولی برای مقدار یک عضو دلخواه دارد. هر جمله n ام یک تصاعد هندسی برابر است با حاصل ضرب جمله اول و مخرج پیشرفت به توان n یک کاهش می یابد:

مثال. ما یک تصاعد هندسی داریم که جمله اول برابر با 3 و مخرج پیشروی برابر با 1.5 است. جمله پنجم پیشرفت را پیدا کنید

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875

مجموع تعداد معینی از اعضا نیز با استفاده از فرمول خاصی محاسبه می شود. مجموع n عضو اول یک پیشرفت هندسی برابر است با تفاوت بین حاصلضرب عضو n پیشرفت و مخرج آن و اولین عضو پیشرفت، تقسیم بر مخرج تقلیل شده بر یک:

اگر b n با استفاده از فرمول مورد بحث در بالا جایگزین شود، مقدار مجموع n عضو اول سری اعداد در نظر گرفته شده به شکل زیر خواهد بود:

مثال. پیشروی هندسی با جمله اول برابر با 1 شروع می شود. مخرج برابر با 3 است. بیایید مجموع هشت جمله اول را پیدا کنیم.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

بله، بله: پیشرفت حسابی برای شما اسباب بازی نیست :)

خوب، دوستان، اگر شما این متن را می خوانید، پس شواهد سرپوش داخلی به من می گوید که شما هنوز نمی دانید پیشروی حسابی چیست، اما واقعا (نه، مانند این: SOOOOO!) می خواهید بدانید. بنابراین، من شما را با معرفی طولانی عذاب نمی دهم و بلافاصله دست به کار خواهم شد.

برای شروع، چند مثال. چندین مجموعه از اعداد را در نظر بگیرید:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

وجه اشتراک همه این مجموعه ها چیست؟ در نگاه اول هیچی. اما در واقع چیزی وجود دارد. برای مثال: هر عنصر بعدی با یک عدد قبلی متفاوت است.

خودت قضاوت کن مجموعه اول فقط اعداد متوالی است که هر کدام از مجموعه قبلی بیشتر است. در حالت دوم، تفاوت بین اعداد مجاور در حال حاضر برابر با پنج است، اما این تفاوت همچنان ثابت است. در مورد سوم به طور کلی ریشه وجود دارد. با این حال، $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$، در حالی که $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$، یعنی. در این صورت هر عنصر بعدی به سادگی $\sqrt(2)$ افزایش می یابد (و نترسید که این عدد غیرمنطقی است).

بنابراین: همه این دنباله ها را فقط پیشروی های حسابی می نامند. بیایید یک تعریف دقیق ارائه دهیم:

تعریف. دنباله ای از اعداد که در آن هر عدد بعدی دقیقاً به همان مقدار با اعداد قبلی متفاوت است، پیشرفت حسابی نامیده می شود. همان مقداری که اعداد با هم تفاوت دارند، اختلاف پیشروی نامیده می شود و اغلب با حرف $d$ نشان داده می شود.

نماد: $\left(((a)_(n)) \right)$ خود پیشرفت است، $d$ تفاوت آن است.

و فقط چند نکته مهم. اول، پیشرفت فقط در نظر گرفته می شود منظمدنباله ای از اعداد: آنها مجاز به خواندن دقیق به ترتیبی که نوشته شده اند - و نه چیز دیگر. شما نمی توانید اعداد را دوباره مرتب کنید یا عوض کنید.

ثانیاً خود دنباله می تواند متناهی یا نامتناهی باشد. برای مثال، مجموعه (1؛ 2؛ 3) آشکارا یک پیشرفت محاسباتی محدود است. اما اگر چیزی شبیه به (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...) بنویسید - این یک پیشرفت بی نهایت است. بیضی بعد از چهار، همانطور که بود، نشان می دهد که تعداد زیادی از اعداد فراتر می روند. مثلا بی نهایت زیاد. :)

من همچنین می خواهم توجه داشته باشم که پیشرفت ها در حال افزایش و کاهش است. ما قبلاً شاهد افزایش آنها بوده ایم - همان مجموعه (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ ...). در اینجا نمونه هایی از کاهش پیشرفت ها آورده شده است:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

خوب، خوب: آخرین مثال ممکن است بیش از حد پیچیده به نظر برسد. اما بقیه، فکر می کنم، متوجه می شوید. بنابراین تعاریف جدیدی را معرفی می کنیم:

تعریف. یک پیشرفت حسابی نامیده می شود:

1. اگر هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی باشد افزایش می یابد.
2. کاهش می یابد، اگر برعکس، هر عنصر بعدی کمتر از عنصر قبلی باشد.

علاوه بر این، توالی های به اصطلاح "ایستا" وجود دارد - آنها از همان تعداد تکرار شونده تشکیل شده اند. به عنوان مثال، (3; 3; 3; ...).

فقط یک سوال باقی می ماند: چگونه یک پیشرفت فزاینده را از یک روند کاهشی تشخیص دهیم؟ خوشبختانه، همه چیز در اینجا فقط به علامت عدد $d$ بستگی دارد، یعنی. تفاوت های پیشرفت:

1. اگر $d \gt 0$ باشد، آنگاه پیشرفت در حال افزایش است.
2. اگر $d \lt 0$، آنگاه پیشرفت آشکارا در حال کاهش است.
3. در نهایت، حالت $d=0$ وجود دارد - در این مورد کل پیشرفت به دنباله ای ثابت از اعداد یکسان کاهش می یابد: (1؛ 1؛ 1؛ 1؛ ...) و غیره.

بیایید سعی کنیم تفاوت $d$ را برای سه روند کاهشی بالا محاسبه کنیم. برای انجام این کار، کافی است هر دو عنصر مجاور (به عنوان مثال، اول و دوم) را بردارید و از عدد سمت راست، عدد سمت چپ را کم کنید. شبیه این خواهد شد:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

همانطور که می بینید، در هر سه مورد تفاوت واقعا منفی بود. و اکنون که کم و بیش تعاریف را فهمیدیم، زمان آن رسیده است که بفهمیم پیشرفت ها چگونه توصیف می شوند و چه ویژگی هایی دارند.

اعضای پیشرفت و فرمول مکرر

از آنجایی که عناصر دنباله های ما قابل تعویض نیستند، می توان آنها را شماره گذاری کرد:

\[\left(((a)_(n)) \راست)=\چپ\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 ))،... \درست\)\]

عناصر منفرد این مجموعه را اعضای پیشروی می نامند. آنها به این ترتیب با کمک یک عدد نشان داده می شوند: عضو اول، عضو دوم و غیره.

علاوه بر این، همانطور که قبلاً می دانیم، اعضای همسایه پیشرفت با فرمول مرتبط هستند:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ فلش راست ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

به طور خلاصه، برای یافتن $n$th ترم پیشروی، باید ترم $n-1$th و تفاوت $d$ را بدانید. چنین فرمولی تکراری نامیده می شود، زیرا با کمک آن می توانید هر عددی را پیدا کنید، تنها با دانستن شماره قبلی (و در واقع، تمام موارد قبلی). این بسیار ناخوشایند است، بنابراین فرمول پیچیده تری وجود دارد که هر گونه محاسبه را به ترم اول و تفاوت کاهش می دهد:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\چپ(n-1 \راست)d\]

احتمالاً قبلاً با این فرمول برخورد کرده اید. آنها دوست دارند آن را در انواع کتاب های مرجع و رشبنیک ها ارائه دهند. و در هر کتاب درسی معقولی در مورد ریاضیات، یکی از اولین هاست.

با این حال پیشنهاد می کنم کمی تمرین کنید.

کار شماره 1. سه جمله اول پیشروی حسابی $\left(((a)_(n)) \right)$ را بنویسید اگر $((a)_(1))=8,d=-5$.

راه حل. بنابراین، اولین عبارت $((a)_(1))=8$ و تفاوت پیشرفت $d=-5$ را می دانیم. بیایید از فرمول ارائه شده استفاده کنیم و $n=1$، $n=2$ و $n=3$ را جایگزین کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\چپ(2-1 \راست)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\چپ(3-1 \راست)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: (8؛ 3؛ -2)

همین! توجه داشته باشید که پیشرفت ما در حال کاهش است.

البته، $n=1$ نمی‌توانست جایگزین شود - ما قبلاً عبارت اول را می‌دانیم. با این حال، با جایگزین کردن واحد، مطمئن شدیم که حتی برای ترم اول فرمول ما کار می کند. در موارد دیگر، همه چیز به حساب پیش پا افتاده بود.

کار شماره 2. اگر جملۀ هفتم آن 40- و جملۀ هفدهم آن 50- باشد، سه جمله اول یک تصاعد حسابی را بنویسید.

راه حل. ما شرط مسئله را با عبارات معمول می نویسیم:

\[((a)_(7))=-40;\چهار ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end (تراز کردن) \درست.\]

من علامت سیستم را گذاشتم زیرا این الزامات باید به طور همزمان برآورده شوند. و اکنون توجه می کنیم که اگر معادله اول را از معادله دوم کم کنیم (حق انجام این کار را داریم، زیرا سیستم داریم)، ​​به این نتیجه می رسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \پایان (تراز کردن)\]

درست مثل آن، ما تفاوت پیشرفت را پیدا کردیم! باقی مانده است که عدد پیدا شده را در هر یک از معادلات سیستم جایگزین کنیم. به عنوان مثال، در مورد اول:

\[\begin(ماتریس) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \پایان (ماتریس)\]

حال، با دانستن عبارت اول و تفاوت، باقی مانده است که عبارت دوم و سوم را بیابیم:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \پایان (تراز کردن)\]

آماده! مشکل حل شد.

پاسخ: (-34؛ -35؛ -36)

به ویژگی عجیبی از پیشرفتی که کشف کردیم توجه کنید: اگر عبارت‌های $n$th و $m$th را بگیریم و آنها را از یکدیگر کم کنیم، تفاوت پیشرفت را در عدد $n-m$ ضرب می‌کنیم:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \چپ(n-m \راست)\]

یک ویژگی ساده اما بسیار مفید که قطعاً باید بدانید - با کمک آن می توانید حل بسیاری از مشکلات پیشرفت را به میزان قابل توجهی سرعت بخشید. در اینجا یک مثال بارز از این است:

کار شماره 3. ترم پنجم پیشروی حسابی 8.4 و جمله دهم آن 14.4 است. عبارت پانزدهم این پیشرفت را بیابید.

راه حل. از آنجایی که $((a)_(5))=8.4$، $((a)_(10))=14.4$، و ما باید $((a)_(15))$ را پیدا کنیم، به موارد زیر توجه می کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اما طبق شرط $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$، بنابراین $5d=6$، از این رو داریم:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

پاسخ: 20.4

همین! ما نیازی به ساختن هیچ سیستم معادله ای نداشتیم و اولین جمله و تفاوت را محاسبه می کردیم - همه چیز فقط در چند خط تصمیم گرفت.

اکنون بیایید نوع دیگری از مشکل را در نظر بگیریم - جستجوی اعضای منفی و مثبت پیشرفت. بر کسی پوشیده نیست که اگر پیشرفت افزایش یابد، در حالی که اولین ترم آن منفی است، دیر یا زود اصطلاحات مثبت در آن ظاهر می شود. و بالعکس: شرایط یک پیشرفت کاهشی دیر یا زود منفی خواهد شد.

در عین حال ، یافتن این لحظه "روی پیشانی" همیشه امکان پذیر نیست و به طور متوالی عناصر را مرتب می کند. اغلب، مشکلات به گونه‌ای طراحی می‌شوند که بدون دانستن فرمول‌ها، محاسبات چندین برگه می‌گیرد - تا زمانی که پاسخ را پیدا کنیم، فقط به خواب می‌رویم. بنابراین سعی خواهیم کرد این مشکلات را با سرعت بیشتری حل کنیم.

کار شماره 4. چند عبارت منفی در یک تصاعد حسابی -38.5; -35.8; …؟

راه حل. بنابراین، $((a)_(1))=-38.5$، $((a)_(2))=-35.8$، که ما بلافاصله تفاوت را پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که تفاوت مثبت است، بنابراین پیشرفت در حال افزایش است. جمله اول منفی است، بنابراین در برخی مواقع به اعداد مثبت برخورد خواهیم کرد. تنها سوال این است که چه زمانی این اتفاق خواهد افتاد.

بیایید سعی کنیم دریابیم: منفی بودن عبارات برای چه مدت (یعنی تا چه عدد طبیعی $n$) حفظ می شود:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \راست. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خط آخر نیاز به توضیح دارد. بنابراین می دانیم که $n \lt 15\frac(7)(27)$. از طرف دیگر، فقط مقادیر صحیح عدد برای ما مناسب است (به علاوه: $n\in \mathbb(N)$)، بنابراین بزرگترین عدد مجاز دقیقاً $n=15$ است و در هیچ موردی 16 است.

کار شماره 5. در پیشروی حسابی $(()_(5))=-150،(()_(6))=-147$. عدد اولین جمله مثبت این پیشرفت را بیابید.

این دقیقاً همان مشکل قبلی خواهد بود، اما ما $((a)_(1))$ را نمی دانیم. اما اصطلاحات همسایه شناخته شده اند: $((a)_(5))$ و $((a)_(6))$، بنابراین ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

علاوه بر این، بیایید سعی کنیم جمله پنجم را بر حسب اول و تفاوت با استفاده از فرمول استاندارد بیان کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اکنون به قیاس با مشکل قبلی پیش می رویم. ما متوجه می شویم که اعداد مثبت در چه نقطه ای از دنباله ما ظاهر می شوند:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ فلش راست ((n)_(\min ))=56. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حداقل جواب عدد صحیح این نابرابری عدد 56 است.

لطفاً توجه داشته باشید که در آخرین کار همه چیز به نابرابری شدید کاهش یافت، بنابراین گزینه $n=55$ برای ما مناسب نیست.

اکنون که یاد گرفتیم چگونه مسائل ساده را حل کنیم، بیایید به مسائل پیچیده تر برویم. اما ابتدا بیایید یکی دیگر از ویژگی های بسیار مفید پیشرفت های حسابی را بیاموزیم که در آینده باعث صرفه جویی در زمان و سلول های نابرابر خواهد شد. :)

میانگین حسابی و تورفتگی مساوی

چندین عبارت متوالی از پیشرفت محاسباتی فزاینده $\left(((a)_(n)) \right)$ را در نظر بگیرید. بیایید سعی کنیم آنها را روی یک خط اعداد علامت گذاری کنیم:

اعضای پیشروی حسابی روی خط اعداد

من به طور خاص به اعضای دلخواه $((a)_(n-3))،...،((a)_(n+3))$ اشاره کردم، و نه هیچ $((a)_(1))، \ ((a)_(2))،\ ((a)_(3))$ و غیره. زیرا قاعده ای که اکنون به شما خواهم گفت، برای هر «بخشی» یکسان عمل می کند.

و قانون بسیار ساده است. بیایید فرمول بازگشتی را به خاطر بسپاریم و آن را برای همه اعضای علامت‌گذاری شده بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این برابری ها را می توان به طور متفاوت بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \پایان (تراز کردن)\]

خب پس چی؟ اما این واقعیت که عبارت‌های $((a)_(n-1))$ و $((a)_(n+1))$ در فاصله یکسانی از $((a)_(n)) قرار دارند. . و این فاصله برابر با $d$ است. همین امر را می توان در مورد عبارات $((a)_(n-2))$ و $((a)_(n+2))$ گفت - آنها نیز از $((a)_(n) حذف شده اند. )$ با همان فاصله برابر با $2d$. شما می توانید به طور نامحدود ادامه دهید، اما تصویر معنی را به خوبی نشان می دهد

اعضای پیشرفت در همان فاصله از مرکز دراز می کشند

معنی این برای ما چیست؟ این بدان معنی است که اگر اعداد مجاور شناخته شده باشند، می توانید $((a)_(n))$ را پیدا کنید:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

ما یک جمله باشکوه استنباط کرده ایم: هر عضو یک پیشرفت حسابی برابر است با میانگین حسابی اعضای همسایه! علاوه بر این، ما می توانیم از $((a)_(n))$ خود به چپ و راست نه با یک قدم، بلکه با $k$ انحراف داشته باشیم - و همچنان فرمول صحیح خواهد بود:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

آن ها ما به راحتی می توانیم مقداری $((a)_(150))$ پیدا کنیم اگر $((a)_(100))$ و $((a)_(200))$ را بدانیم، زیرا $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که این واقعیت چیز مفیدی به ما نمی دهد. با این حال، در عمل، بسیاری از وظایف به طور ویژه برای استفاده از میانگین حسابی "تیز" می شوند. نگاهی بیاندازید:

کار شماره 6. همه مقادیر $x$ را پیدا کنید به طوری که اعداد $-6((x)^(2))$، $x+1$ و $14+4((x)^(2))$ اعضای متوالی باشند یک پیشرفت حسابی (به ترتیب مشخص).

راه حل. از آنجایی که این اعداد اعضای یک پیشرفت هستند، شرط میانگین حسابی برای آنها برآورده می شود: عنصر مرکزی $x+1$ را می توان بر حسب عناصر همسایه بیان کرد:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

نتیجه یک معادله درجه دوم کلاسیک است. ریشه های آن: $x=2$ و $x=-3$ پاسخ هستند.

پاسخ: -3; 2.

کار شماره 7. مقادیر $$ را به گونه ای بیابید که اعداد $-1;4-3;(()^(2))+1$ یک پیشرفت حسابی (به ترتیب) تشکیل دهند.

راه حل. باز هم عبارت میانی را بر حسب میانگین حسابی اصطلاحات همسایه بیان می کنیم:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\راست. \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \پایان (تراز کردن)\]

یک معادله درجه دوم دیگر. و دوباره دو ریشه: $x=6$ و $x=1$.

پاسخ 1؛ 6.

اگر در روند حل یک مشکل تعدادی اعداد بی رحمانه به دست می آورید یا کاملاً از صحت پاسخ های یافت شده مطمئن نیستید، ترفند فوق العاده ای وجود دارد که به شما امکان می دهد بررسی کنید: آیا ما مشکل را به درستی حل کردیم؟

فرض کنید در مسئله 6 به پاسخ های -3 و 2 رسیدیم. چگونه می توانیم درستی این پاسخ ها را بررسی کنیم؟ بیایید آنها را به حالت اولیه وصل کنیم و ببینیم چه اتفاقی می افتد. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که ما سه عدد ($-6(()^(2))$، $+1$ و $14+4(()^(2))$ داریم که باید یک پیشروی حسابی تشکیل دهند. جایگزین $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \پایان (تراز کردن)\]

ما اعداد -54 را گرفتیم. −2; 50 که با 52 تفاوت دارند بدون شک یک پیشرفت حسابی است. همین اتفاق برای $x=2$ نیز می افتد:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \پایان (تراز کردن)\]

دوباره یک پیشرفت، اما با اختلاف 27. بنابراین، مشکل به درستی حل می شود. کسانی که مایل هستند می توانند کار دوم را به تنهایی بررسی کنند، اما من فوراً می گویم: آنجا هم همه چیز درست است.

به طور کلی، در حین حل آخرین مشکلات، به واقعیت جالب دیگری برخوردیم که باید به خاطر بسپاریم:

اگر سه عدد به گونه ای باشد که دومی میانگین عدد اول و آخر باشد، این اعداد یک تصاعد حسابی را تشکیل می دهند.

در آینده، درک این بیانیه به ما این امکان را می دهد که به معنای واقعی کلمه پیشرفت های لازم را بر اساس شرایط مشکل "ساخت" کنیم. اما قبل از پرداختن به چنین "ساختمانی"، باید به یک واقعیت دیگر توجه کنیم، که مستقیماً از آنچه قبلاً در نظر گرفته شده است ناشی می شود.

گروه بندی و مجموع عناصر

بیایید دوباره به خط اعداد برگردیم. ما در آنجا چندین عضو از پیشرفت را یادداشت می کنیم که شاید بین آنها وجود داشته باشد. ارزش بسیاری از اعضای دیگر:

6 عنصر مشخص شده در خط اعداد

بیایید سعی کنیم "دم چپ" را برحسب $((a)_(n))$ و $d$، و "دم سمت راست" را برحسب $((a)_(k))$ و $ بیان کنیم. d$. خیلی ساده است:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \پایان (تراز کردن)\]

حالا توجه داشته باشید که مجموع زیر برابر است:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= اس. \پایان (تراز کردن)\]

به بیان ساده، اگر دو عنصر پیشرفت را که در مجموع برابر با مقداری $S$ هستند، به عنوان شروع در نظر بگیریم و سپس از این عناصر در جهت مخالف (به سمت یکدیگر یا برعکس برای دور شدن) قدم برداریم. سپس مجموع عناصری که به آنها برخورد خواهیم کرد نیز برابر خواهد بود$S$. این را می توان به بهترین شکل به صورت گرافیکی نشان داد:

همان تورفتگی ها مجموع مساوی را به دست می دهند

درک این واقعیت به ما این امکان را می دهد که مشکلاتی را با سطح پیچیدگی اساساً بالاتر از مواردی که در بالا در نظر گرفتیم حل کنیم. مثلاً اینها:

کار شماره 8. تفاوت یک تصاعد حسابی را که جمله اول 66 و حاصل ضرب جمله دوم و دوازدهم کوچکترین است را تعیین کنید.

راه حل. بیایید همه چیزهایی را که می دانیم بنویسیم:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=؟ \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ما تفاوت پیشرفت $d$ را نمی دانیم. در واقع، کل راه حل حول این تفاوت ساخته می شود، زیرا محصول $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \راست)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \پایان (تراز کردن)\]

برای کسانی که در مخزن هستند: من فاکتور مشترک 11 را از براکت دوم حذف کردم. بنابراین، محصول مورد نظر یک تابع درجه دوم با توجه به متغیر $d$ است. بنابراین، تابع $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ را در نظر بگیرید - نمودار آن یک سهمی با شاخه‌های بالا خواهد بود، زیرا اگر پرانتزها را باز کنیم، دریافت می کنیم:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

همانطور که می بینید، ضریب با بالاترین جمله 11 است - این یک عدد مثبت است، بنابراین ما واقعاً با یک سهمی با شاخه های بالا سر و کار داریم:

نمودار یک تابع درجه دوم - سهمی

لطفاً توجه داشته باشید: این سهمی حداقل مقدار خود را در رأس خود با آبسیسا $((d)_(0))$ می گیرد. البته، می‌توانیم این آبسیسا را ​​طبق طرح استاندارد محاسبه کنیم (فرمول $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ وجود دارد)، اما بسیار معقول‌تر خواهد بود که توجه داشته باشید که راس مورد نظر روی تقارن محور سهمی قرار دارد، بنابراین نقطه $((d)_(0))$ از ریشه های معادله $f\left(d \right)=0$ مساوی است:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\چهار ((د)_(2))=-6. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به همین دلیل است که من عجله ای برای باز کردن براکت ها نداشتم: در شکل اصلی، ریشه ها بسیار بسیار آسان بود. بنابراین، آبسیسا برابر است با میانگین حسابی اعداد -66 و -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

چه چیزی عدد کشف شده را به ما می دهد؟ با آن، محصول مورد نیاز کوچکترین مقدار را می گیرد (به هر حال، ما $((y)_(\min ))$ را محاسبه نکردیم - این مورد نیاز نیست). در عین حال، این عدد تفاوت پیشرفت اولیه است، یعنی. ما جواب را پیدا کردیم. :)

پاسخ: -36

کار شماره 9. سه عدد را بین اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac(1)(6)$ قرار دهید تا همراه با اعداد داده شده یک تصاعد حسابی تشکیل دهند.

راه حل. در واقع باید دنباله ای از پنج عدد بسازیم که اولین و آخرین عدد از قبل مشخص شده باشد. اعداد گمشده را با متغیرهای $x$، $y$ و $z$ نشان دهید:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

توجه داشته باشید که عدد $y$ "وسط" دنباله ما است - از اعداد $x$ و $z$ و از اعداد $-\frac(1)(2)$ و $-\frac فاصله دارد. (1) (6) دلار. و اگر در حال حاضر نتوانیم $y$ را از اعداد $x$ و $z$ بدست آوریم، در این صورت وضعیت با انتهای پیشرفت متفاوت است. میانگین حسابی را به خاطر بسپار:

اکنون با دانستن $y$، اعداد باقیمانده را خواهیم یافت. توجه داشته باشید که $x$ بین $-\frac(1)(2)$ و $y=-\frac(1)(3)$ که تازه پیدا شده است قرار دارد. از همین رو

با استدلال مشابه، عدد باقیمانده را پیدا می کنیم:

آماده! ما هر سه عدد را پیدا کردیم. بیایید آنها را به ترتیبی که باید بین اعداد اصلی درج شوند، در پاسخ بنویسیم.

پاسخ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

کار شماره 10. بین اعداد 2 و 42، چند عدد درج کنید که همراه با اعداد داده شده، یک تصاعد حسابی تشکیل دهند، اگر معلوم شود که مجموع اعداد اول، دوم و آخر 56 است.

راه حل. یک کار حتی دشوارتر، که با این حال، به همان روش قبلی - از طریق میانگین حسابی حل می شود. مشکل این است که ما دقیقا نمی دانیم چند عدد را وارد کنیم. بنابراین، برای قطعیت، فرض می کنیم که پس از درج دقیقاً اعداد $n$ وجود خواهد داشت که اولین آنها 2 و آخرین آن 42 است. در این حالت، پیشرفت محاسباتی مورد نظر را می توان به صورت زیر نشان داد:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \راست\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

البته توجه داشته باشید که اعداد $((a)_(2))$ و $((a)_(n-1))$ از اعداد 2 و 42 که در لبه ها ایستاده اند یک قدم به سمت یکدیگر به دست می آیند. ، یعنی . به مرکز دنباله و این به این معنی است

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

اما سپس عبارت فوق را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \پایان (تراز کردن)\]

با دانستن $((a)_(3))$ و $((a)_(1))$، ما به راحتی می توانیم تفاوت پیشرفت را پیدا کنیم:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\چپ(3-1 \راست)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\arrow d=5. \\ \پایان (تراز کردن)\]

تنها برای یافتن اعضای باقی مانده باقی مانده است:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، در مرحله نهم به انتهای سمت چپ دنباله خواهیم رسید - عدد 42. در مجموع، فقط 7 عدد باید درج می شد: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

پاسخ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

تکالیف متنی با پیشرفت

در پایان، من می خواهم چند مشکل نسبتا ساده را در نظر بگیرم. خب، به همین سادگی: برای اکثر دانش‌آموزانی که در مدرسه ریاضی می‌خوانند و آنچه در بالا نوشته شده است را نخوانده‌اند، این کارها ممکن است یک حرکت به نظر برسد. با این وجود، دقیقاً چنین وظایفی در OGE و USE در ریاضیات دیده می شود، بنابراین توصیه می کنم که با آنها آشنا شوید.

کار شماره 11. این تیم در ژانویه 62 قسمت تولید کرد و در هر ماه بعد 14 قسمت بیشتر از ماه قبل تولید کرد. تیپ در آبان چند قطعه تولید کرد؟

راه حل. بدیهی است که تعداد قطعات رنگ آمیزی شده بر حسب ماه، یک پیشرفت محاسباتی فزاینده خواهد بود. و:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\چپ(n-1 \راست)\cdot 14. \\ \end (تراز کردن)\]

نوامبر یازدهمین ماه سال است، بنابراین باید $((a)_(11))$ را پیدا کنیم:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

بنابراین در آبان ماه 202 قطعه ساخته خواهد شد.

کار شماره 12. کارگاه صحافی در دی ماه 216 جلد کتاب صحافی کرد و هر ماه 4 جلد کتاب بیشتر از ماه قبل صحافی کرد. کارگاه در آذرماه چند کتاب صحافی کرد؟

راه حل. همه یکسان:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \راست)\cdot 4. \\ \end (تراز کردن)$

دسامبر آخرین و دوازدهمین ماه سال است، بنابراین ما به دنبال $((a)_(12))$ هستیم:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

پاسخ این است - 260 کتاب در دسامبر صحافی می شود.

خوب، اگر تا اینجا خوانده اید، عجله می کنم به شما تبریک بگویم: شما "دوره مبارزان جوان" را در پیشرفت های حسابی با موفقیت به پایان رساندید. می توانیم با خیال راحت به درس بعدی برویم، جایی که فرمول جمع پیشرفت و همچنین پیامدهای مهم و بسیار مفید آن را مطالعه خواهیم کرد.

ماهیت فرمول چیست؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او" n" .

البته باید ترم اول را بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها، نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.

حفظ کردن (یا تقلب) این فرمول کافی نیست. لازم است جوهر آن را جذب کرد و فرمول را در مسائل مختلف به کار برد. بله، و در زمان مناسب فراموش نکنید، بله ...) چگونه فراموش نکن- نمی دانم. ولی چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت نیاز به شما راهنمایی می کنم. برای کسانی که تا آخر درس را تسلط دارند.)

بنابراین، اجازه دهید با فرمول n-امین یک پیشروی حسابی بپردازیم.

به طور کلی فرمول چیست - ما تصور می کنیم.) پیشرفت حسابی، عدد عضو، اختلاف پیشروی چیست - در درس قبل به وضوح بیان شده است. اگر نخوانده اید نگاه کنید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی نهمین عضو

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم یک 4- چهارم و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم - از یک 120.

چگونه به طور کلی تعریف کنیم هرعضو یک پیشرفت حسابی، s هرعدد؟ بسیار ساده! مثل این:

a n

همین است n-امین عضو یک پیشرفت حسابی.زیر حرف n همه اعداد اعضا به طور همزمان پنهان می شوند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای عدد، یک نامه نوشتند...

این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت های حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و مجموعه ای از کارها برای حل در حال پیشرفت. در ادامه خواهید دید.

در فرمول عضو n یک پیشرفت حسابی:

a n = a 1 + (n-1)d

یک 1- اولین عضو پیشروی حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفتی را به هم مرتبط می کند: a n ; a 1 ; دو n. حول این پارامترها، تمام پازل ها در حال چرخش هستند.

از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، در مسئله می توان گفت که پیشرفت با شرط داده می شود:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین مشکلی حتی می تواند گیج شود ... هیچ سری وجود ندارد، هیچ تفاوتی وجود ندارد ... اما، با مقایسه شرایط با فرمول، به راحتی می توان فهمید که در این پیشرفت a 1 \u003d 5 و d \u003d 2.

و حتی می تواند عصبانی تر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله، براکت ها را باز کنید و مشابه آن را بدهید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:

an = 3 + 2n.

آی تی فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. این همان جایی است که دام نهفته است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگر چه در واقع اولین عضو پنج ... کمی پایین تر ما با چنین فرمول اصلاح شده کار خواهیم کرد.

در وظایف پیشرفت، نماد دیگری وجود دارد - یک n+1. حدس زدید این عبارت "n به اضافه اولین" پیشروی است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشروی است که تعداد آن از عدد n در یک بیشتر است. به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما برای a nترم پنجم، پس یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و غیره.

اغلب تعیین یک n+1در فرمول های بازگشتی رخ می دهد. از این کلمه وحشتناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان یک اصطلاح یک پیشرفت حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از فرمول مکرر، یک پیشرفت حسابی به این شکل داده شده است:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. و چگونه فوراً بشماریم، بگوییم ترم بیستم، یک 20? اما به هیچ وجه!) در حالی که ترم 19 مشخص نیست، 20 ام قابل شمارش نیست. این تفاوت اساسی بین فرمول بازگشتی و فرمول ترم n است. بازگشتی فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n - از طریق اولینو اجازه می دهد فوراهر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون شمارش کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، یک فرمول بازگشتی به راحتی می تواند به یک فرمول معمولی تبدیل شود. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمول بنویسید و با آن کار کنید. در GIA، چنین وظایفی اغلب یافت می شود.

استفاده از فرمول n-امین عضو یک پیشروی حسابی.

ابتدا به کاربرد مستقیم فرمول نگاه می کنیم. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:

با توجه به پیشرفت حسابی (a n). اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی، به سادگی بر اساس معنای پیشروی حسابی حل کرد. اضافه کنید، بله اضافه کنید... یک یا دو ساعت.)

و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) ما تصمیم می گیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 \u003d 3، d \u003d 1/6.باید دید چه چیزی nمشکلی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. در اینجا می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مند هستیم. شماره یکصد و بیست و یکاین ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. تمام اعداد فرمول را جایگزین کرده و محاسبه کنید:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. به همین سرعت می توان پانصد و دهمین عضو و هزار و سومین عضو را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم nعدد مورد نظر در نمایه حرف " آ"و در پرانتز، و در نظر می گیریم.

اجازه دهید ماهیت را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هراصطلاح یک پیشرفت حسابی با شماره او" n" .

بیایید مشکل را هوشمندتر حل کنیم. فرض کنید مشکل زیر را داریم:

جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بیابید اگر a 17 =-2; d=-0.5.

اگر مشکلی دارید، قدم اول را پیشنهاد می کنم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله بله. درست در دفترچه یادداشت خود بنویسید:

a n = a 1 + (n-1)d

و حالا با نگاه کردن به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ در دسترس d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد ... همه چیز؟ اگر فکر می کنید این همه است، پس نمی توانید مشکل را حل کنید، بله ...

یک عدد هم داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو گزینه.این هم مقدار عضو هفدهم (-2) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این «چیز کوچک» اغلب از سر می‌گذرد و بدون آن، (بدون «چیز کوچک»، نه سر!) مشکل حل نمی‌شود. اگرچه ... و بدون سر نیز.)

اکنون می توانیم داده های خود را احمقانه با فرمول جایگزین کنیم:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

آه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید آن را وارد کنیم:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

این، در اصل، همه چیز است. باقی مانده است که عبارت اول پیشرفت حسابی را از فرمول بیان کنیم و محاسبه کنیم. جواب میگیرید: a 1 = 6.

چنین تکنیکی - نوشتن یک فرمول و جایگزینی ساده داده های شناخته شده - در کارهای ساده بسیار کمک می کند. خوب، البته شما باید بتوانید یک متغیر را از یک فرمول بیان کنید، اما چه باید کرد!؟ بدون این مهارت، ریاضیات اصلا قابل مطالعه نیست...

یکی دیگر از مشکلات رایج:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را در صورت 1 =2 بیابید. a 15 = 12.

ما چه کار می کنیم؟ شگفت زده خواهید شد، ما فرمول را می نویسیم!)

a n = a 1 + (n-1)d

آنچه می دانیم را در نظر بگیرید: a 1 = 2; a 15 = 12; و (برجستگی ویژه!) n=15. با خیال راحت در فرمول جایگزین کنید:

12=2 + (15-1) روز

بیایید حساب را انجام دهیم.)

12=2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این جواب درست است.

بنابراین، وظایف a n، a 1و دتصمیم گرفت. باقی مانده است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از یک تصاعد حسابی (a n) است که در آن 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را به فرمول n ام جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nولی a nبرخی از اعضای پیشرفت با شماره است n... و این عضو از پیشرفت ما می دانیم! 99 است. شماره او را نمی دانیم. nبنابراین این عدد نیز باید پیدا شود. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین کنید:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.

و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ گزینه ای وجود ندارد؟ هوم... چرا به چشم نیاز داریم؟) آیا اولین عضو پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 \u003d -3.6.تفاوت داز سریال مشخص میشه؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بله، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. باقی مانده است که با یک شماره ناشناخته مقابله کنیم nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم که ... چگونه باشیم!؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن... توانایی های خلاقانه خود را روشن کنید!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله-بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت نمیتونه باشه.چه نتیجه ای می گیریم؟ آره! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین 101 و 102 عضو است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. عدد صحیح مثبت، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ به این مشکل خواهد بود: نه

وظیفه مبتنی بر نسخه واقعی GIA:

پیشروی محاسباتی با شرط داده می شود:

a n \u003d -4 + 6.8n

عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول n-امین یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه است!) زیرا فرمول در مسئله اصلاح شده است. اولین جمله یک پیشرفت حسابی در آن پنهان شده است.هیچی، الان پیداش می کنیم.)

همانطور که در کارهای قبلی جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

به همین ترتیب، ما به دنبال ترم دهم هستیم:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد.

و اکنون، برای کسانی که تا این سطور خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)

فرض کنید، در یک موقعیت رزمی دشوار GIA یا آزمون یکپارچه دولتی، فرمول مفید n-امین یک پیشرفت حسابی را فراموش کرده اید. چیزی به ذهن می رسد، اما به نحوی نامشخص ... آیا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. خیلی سخت نیست، اما قطعا برای اطمینان و تصمیم درست کافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی پیشروی حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای شفافیت.

یک محور عددی رسم می کنیم و اولی را روی آن علامت می زنیم. دوم، سوم و غیره اعضا. و به تفاوت توجه کنید دبین اعضا مثل این:

به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: جمله دوم برابر است با چیست؟ دومین یکی د:

آ 2 =a 1 + 1 د

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

آ 3 =a 1 + 2 د

متوجه شدي؟ من بعضی از کلمات را بیهوده به صورت پررنگ نمی نویسم. خوب، یک قدم دیگر.)

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

آ 4 =a 1 + 3 د

وقت آن رسیده است که متوجه شویم تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی تا تعداد n، تعداد شکاف هاخواهد بود n-1.بنابراین، فرمول (بدون گزینه!):

a n = a 1 + (n-1)d

به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر کشیدن یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید یک تصویر را در یک معادله قرار دهید ...

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

برای گرم کردن:

1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: طبق تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) در قسمت 555 این مشکل هم با تصویر و هم با فرمول حل می شود. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشرفت حسابی (a n) a 85 \u003d 19.1؛ a 236 = 49، 3. یک 3 را پیدا کنید.

چه، بی میلی به کشیدن نقاشی؟) هنوز! در فرمول بهتر است، بله ...

3. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود:a 1 \u003d -5.5؛ a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت مکرر داده می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه نمی توانند چنین شاهکاری کنند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.

5. با توجه به شرط تکلیف 4، مجموع کوچکترین اعضای مثبت و بزرگترین اعضای منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک تصاعد حسابی فزاینده 5/2- است و مجموع جمله های سوم و یازدهم صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله ...) در اینجا روش "روی انگشتان" کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

اتفاق افتاد؟ خوبه!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، در آخرین کار یک نکته ظریف وجود دارد. دقت در هنگام خواندن مشکل مورد نیاز خواهد بود. و منطق.

راه حل همه این مشکلات به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و لحظه ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی برای فرمول ترم n - همه چیز نقاشی شده است. من توصیه می کنم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

سطح اول

پیشرفت حسابی نظریه تفصیلی با مثال (2019)

دنباله عددی

پس بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند به تعداد دلخواه (در مورد ما، آنها) باشد. مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام یک از آنها اول است، کدام دوم و به همین ترتیب تا آخرین، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله عددی
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک شماره دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد -امین) همیشه یکسان است.
به عددی که دارای عدد است، -امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را یک حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله را - همان حرف با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
چنین دنباله عددی را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح «پیشرفت» در اوایل قرن ششم توسط نویسنده رومی بوئتیوس معرفی شد و در معنای وسیع‌تر به عنوان یک دنباله عددی بی پایان شناخته شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که یونانیان باستان به آن مشغول بودند منتقل شد.

این یک دنباله عددی است که هر عضو آن برابر با قبلی است که با همان عدد اضافه می شود. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و نشان می دهند.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیدم؟ پاسخ های ما را مقایسه کنید:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار عضو آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می توانیم به مقدار قبلی عدد پیشرفت اضافه کنیم تا زمانی که به ترم امین پیشرفت برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، عضو -مین پیشرفت حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم چه می‌شود؟ جمع بندی بیش از یک ساعت زمان می برد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نمی کردیم.
البته، ریاضیدانان راهی را ارائه کرده اند که در آن نیازی نیست تفاوت یک پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنید. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید ... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید ، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که چه چیزی مقدار عضو -امین این پیشروی حسابی را تشکیل می‌دهد:


به عبارت دیگر:

سعی کنید به طور مستقل از این طریق مقدار یکی از اعضای این پیشروی حسابی را بیابید.

محاسبه شد؟ نوشته های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را که در روش قبلی وجود داشت، دریافت کردید، زمانی که اعضای یک پیشرفت حسابی را به صورت متوالی به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصیت" کنیم - آن را به شکل کلی در می آوریم و می گیریم:

معادله پیشرفت حسابی.

پیشروی های حسابی یا در حال افزایش یا کاهش هستند.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
مثلا:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک پیشرفت حسابی داده می شود که از اعداد زیر تشکیل شده است:

از آن به بعد:

بنابراین، ما متقاعد شدیم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشرفت حسابی کار می کند.
سعی کنید اعضای -ام و -ام این پیشروی حسابی را خودتان پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت حسابی

بیایید کار را پیچیده کنیم - ما ویژگی یک پیشرفت حسابی را استخراج می کنیم.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
شما می گویید آسان است و بر اساس فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش کنید:

اجازه دهید، a، سپس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال فکر کنید آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته، بله، و ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را ارائه دهیم.

بیایید عبارت مورد نظر پیشروی حسابی را به این صورت مشخص کنیم که فرمول پیدا کردن آن را می‌دانیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

• عضو قبلی پیشرفت این است:
• ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید اعضای قبلی و بعدی پیشرفت را جمع آوری کنیم:

معلوم می شود که مجموع اعضای قبلی و بعدی پیشرفت دو برابر مقدار عضو پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عضو پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرد و بر آن تقسیم کرد.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را درست کنیم. مقدار پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، زیرا اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم، که طبق افسانه ها، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس، به راحتی برای خود استنباط کرد ...

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلم که مشغول بررسی کار دانش‌آموزان کلاس‌های دیگر بود، این کار را در درس پرسید: «مجموع تمام اعداد طبیعی از تا (بر اساس منابع دیگر تا) را محاسبه کنید. " تعجب معلم چه بود وقتی یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) بعد از یک دقیقه پاسخ صحیح به تکلیف را داد در حالی که اکثر همکلاسی های جسور پس از محاسبات طولانی نتیجه اشتباه را دریافت کردند ...

کارل گاوس جوان متوجه الگویی شد که به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک تصاعد حسابی داریم که از اعضای -ti تشکیل شده است: باید مجموع اعضای داده شده پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر لازم باشد مجموع عبارت‌های آن را همانطور که گاوس به دنبال آن بود، در کار پیدا کنیم، چه؟

بیایید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده دقت کنید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی انجام دهید.


تلاش کرد؟ چه چیزی را متوجه شدید؟ به درستی! مجموع آنها برابر است

حالا پاسخ دهید، چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده می شود وجود خواهد داشت؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو جمله یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مساوی مشابه، به این نتیجه می رسیم که مجموع کل برابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی مسائل، ترم هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید در فرمول جمع، فرمول عضو هفتم را جایگزین کنید.
چی به دست آوردی؟

آفرین! حالا بیایید به مسئله ای که به کارل گاوس داده شد برگردیم: خودتان محاسبه کنید مجموع اعدادی که از -th شروع می شوند و مجموع اعدادی که از -th شروع می شوند چقدر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس معلوم شد که مجموع شرایط برابر است و مجموع شرایط. اینطوری تصمیم گرفتی؟

در واقع، فرمول مجموع اعضای یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در تمام این مدت، افراد شوخ طبع از خواص یک پیشروی حسابی با قدرت و اصلی استفاده می کردند.
به عنوان مثال، مصر باستان و بزرگترین سایت ساخت و ساز آن زمان را تصور کنید - ساخت یک هرم ... شکل یک طرف آن را نشان می دهد.

اینجا که میگی پیشرفت کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار داده شوند، شمارش کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم با حرکت انگشت روی مانیتور بشمارید، آخرین فرمول و هر چیزی که در مورد پیشروی حسابی گفتیم را به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به صورت زیر است:
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اعضای یک پیشرفت حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش می شماریم).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور نیز محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. موافق بود؟ آفرین، شما بر مجموع ترم های یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم از بلوک های پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

تمرین

وظایف:

1. ماشا برای تابستان در حال خوش فرم شدن است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته ها چمباتمه خواهد زد.
2. مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
3. هنگام ذخیره کنده‌ها، چوب‌برها آن‌ها را به‌گونه‌ای روی هم می‌چینند که هر لایه بالایی یک کنده کمتر از لایه قبلی داشته باشد. اگر پایه سنگ تراشی کنده است، در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد.

پاسخ ها:

1. اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
   (هفته = روز).

   پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز چمباتمه بزند.

2. اولین عدد فرد، آخرین عدد.
   تفاوت پیشروی حسابی
   تعداد اعداد فرد در - نصف، با این حال، این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن عضو -امین یک پیشرفت حسابی بررسی کنید:

   اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
   داده های موجود را با فرمول جایگزین می کنیم:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است با.

3. مشکل اهرام را به خاطر بیاورید. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی با یک لاگ کاهش می یابد، تنها یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
   داده ها را در فرمول جایگزین کنید:

   پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

جمع بندی

1. - دنباله عددی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. در حال افزایش و کاهش است.
2. یافتن فرمولامین عضو یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در پیشرفت است.
3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - کجا - تعداد اعداد در پیشرفت.
4. مجموع اعضای یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:
   
   ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشروی حسابی. سطح متوسط

دنباله عددی

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند باشد. اما شما همیشه می توانید تشخیص دهید که کدام یک از آنها اول است، کدام دوم و به همین ترتیب، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله عددیمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد را می توان با یک عدد طبیعی خاص و فقط یک عدد مرتبط کرد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، -امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را یک حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله را - همان حرف با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

بسیار راحت است اگر بتوان عضو -امین دنباله را با فرمولی به دست آورد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشرفت حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما فرمولی را تکراری می نامیم که در آن، برای یافتن عبارت -ام، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال، برای یافتن ترم پیشروی با استفاده از چنین فرمولی، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر سطر، به عددی ضرب می کنیم. برای چی؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

عضو اول برابر است. و چه تفاوتی دارد؟ و این چیزی است که:

(به هر حال به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف اعضای متوالی پیشرفت).

پس فرمول این است:

سپس جمله صدم این است:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه ها، ریاضیدان بزرگ کارل گاوس که پسری 9 ساله بود، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. او متوجه شد که مجموع عدد اول و آخر برابر است، مجموع عدد دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع عدد سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه مضرب های دو رقمی را پیدا کنید.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر بعدی با اضافه کردن یک عدد به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعداد مورد علاقه ما یک پیشرفت حسابی را با جمله اول و تفاوت تشکیل می دهند.

فرمول ترم برای این پیشرفت عبارت است از:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. هر روز ورزشکار 1 متر بیشتر از روز قبل می دود. اگر روز اول کیلومتر متر را بدود چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
2. یک دوچرخه‌سوار هر روز مایل‌های بیشتری را نسبت به دوچرخه‌سوار قبلی طی می‌کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. چند روز باید رانندگی کند تا یک کیلومتر را طی کند؟ روز آخر سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
3. قیمت یخچال در فروشگاه هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده شده است:، لازم است پیدا شود.
   بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
   .
   مقادیر را جایگزین کنید:

   ریشه بدیهی است که مناسب نیست، بنابراین پاسخ.
   بیایید مسافت طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول عضو -م محاسبه کنیم:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. داده شده: . پیدا کردن: .
   ساده تر نمی شود:
   (مالیدن).
   پاسخ:

پیشروی حسابی. به طور خلاصه در مورد اصلی

این یک دنباله عددی است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت حسابی در حال افزایش () و کاهش () است.

مثلا:

فرمول یافتن عضو n یک پیشرفت حسابی

به عنوان یک فرمول نوشته شده است، که در آن تعداد اعداد در پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

اگر اعضای همسایه آن شناخته شده باشند، یافتن عضوی از پیشرفت را آسان می کند - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع اعضای یک تصاعد حسابی

دو راه برای یافتن مجموع وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.