چگونه عدد پیشروی حسابی را پیدا کنیم. پیشروی حسابی - دنباله اعداد

سطح اول

پیشرفت حسابی. نظریه تفصیلیبا مثال (2019)

دنباله عددی

پس بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند به تعداد دلخواه (در مورد ما، آنها) باشد. مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام یک از آنها اول است، کدام دوم و به همین ترتیب تا آخرین، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله عددی
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک شماره دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد -امین) همیشه یکسان است.
به عددی که دارای عدد است، -امین عضو دنباله گفته می شود.

ما معمولاً کل دنباله را یک حرف می نامیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله را - همان حرف با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

بیایید بگوییم که داریم دنباله عددی، که در آن تفاوت بین اعداد همسایه یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
چنین دنباله عددی را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح «پیشرفت» در اوایل قرن ششم توسط نویسنده رومی بوئتیوس معرفی شد و در معنای وسیع‌تر به عنوان یک دنباله عددی بی پایان شناخته شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که یونانیان باستان به آن مشغول بودند منتقل شد.

این یک دنباله عددی است که هر عضو آن برابر با قبلی است که با همان عدد اضافه می شود. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و نشان می دهند.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیدم؟ پاسخ های ما را مقایسه کنید:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار عضو آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می توانیم به مقدار قبلی عدد پیشرفت اضافه کنیم تا زمانی که به ترم امین پیشرفت برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، عضو -مین پیشرفت حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم چه می‌شود؟ جمع بندی بیش از یک ساعت زمان می برد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نمی کردیم.
البته، ریاضیدانان راهی را ارائه کرده اند که در آن نیازی نیست تفاوت یک پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنید. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید ... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید ، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که چه چیزی مقدار عضو -امین این پیشروی حسابی را تشکیل می‌دهد:

به عبارت دیگر:

سعی کنید به طور مستقل از این طریق مقدار یکی از اعضای این پیشروی حسابی را بیابید.

محاسبه شد؟ نوشته های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را که در روش قبلی وجود داشت، دریافت کردید، زمانی که اعضای یک پیشروی حسابی را متوالی به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصیت" کنیم - آن را به شکل کلی در می آوریم و می گیریم:

معادله پیشرفت حسابی.

پیشروی های حسابی یا در حال افزایش یا کاهش هستند.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
مثلا:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید آن را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک پیشرفت حسابی داده می شود که شامل شماره های زیر: بیایید بررسی کنیم که اگر از فرمول خود هنگام محاسبه آن استفاده کنیم، عدد -امین این پیشروی حسابی چه خواهد شد:

از آن به بعد:

بنابراین، ما متقاعد شدیم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشرفت حسابی کار می کند.
سعی کنید اعضای -ام و -ام این پیشروی حسابی را خودتان پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت حسابی

بیایید کار را پیچیده کنیم - ما ویژگی یک پیشرفت حسابی را استخراج می کنیم.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
شما می گویید آسان است و بر اساس فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش کنید:

اجازه دهید، a، سپس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال فکر کنید آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته، بله، و ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را ارائه دهیم.

بیایید عبارت مورد نظر پیشروی حسابی را به این صورت مشخص کنیم که فرمول پیدا کردن آن را می‌دانیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

عضو قبلی پیشرفت این است:
ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید اعضای قبلی و بعدی پیشرفت را جمع آوری کنیم:

معلوم می شود که مجموع اعضای قبلی و بعدی پیشرفت دو برابر مقدار عضو پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عضو پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرد و بر آن تقسیم کرد.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را درست کنیم. مقدار پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، زیرا اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم که طبق افسانه ها، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس، به راحتی برای خود استنباط کرد ...

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلم که مشغول بررسی کار دانش آموزان در کلاس های دیگر بود، در درس این کار را پرسید: "مجموع همه را محاسبه کنید. اعداد طبیعیاز به (طبق منابع دیگر تا) شامل. تعجب معلم چه بود وقتی یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) بعد از یک دقیقه پاسخ صحیح به تکلیف را داد در حالی که اکثر همکلاسی های جسور پس از محاسبات طولانی نتیجه اشتباه را دریافت کردند ...

کارل گاوس جوان متوجه الگویی شد که به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک تصاعد حسابی داریم که از اعضای -ti تشکیل شده است: باید مجموع اعضای داده شده پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر لازم باشد مجموع عبارت‌های آن را همانطور که گاوس به دنبال آن بود، در کار پیدا کنیم، چه؟

بیایید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده دقت کنید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی انجام دهید.

تلاش کرد؟ چه چیزی را متوجه شدید؟ به درستی! مجموع آنها مساوی است

حالا پاسخ دهید، چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده می شود وجود خواهد داشت؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو عضو یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مساوی مشابه، به این نتیجه می رسیم که مبلغ کلبرابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی مسائل، ترم هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید در فرمول جمع، فرمول عضو هفتم را جایگزین کنید.
چی به دست آوردی؟

آفرین! حالا بیایید به مسئله ای که به کارل گاوس داده شد برگردیم: خودتان محاسبه کنید مجموع اعدادی که از -th شروع می شوند و مجموع اعدادی که از -th شروع می شوند چقدر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس معلوم شد که مجموع شرایط برابر است و مجموع شرایط. اینطوری تصمیم گرفتی؟

در واقع، فرمول مجموع اعضای یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در تمام این مدت، افراد شوخ طبع از خواص یک پیشروی حسابی با قدرت و اصلی استفاده می کردند.
مثلا تصور کنید مصر باستانو بزرگترین سایت ساخت و ساز آن زمان - ساخت یک هرم ... شکل یک طرف آن را نشان می دهد.

اینجا که میگی پیشرفت کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.

چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار داده شوند، شمارش کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم با حرکت انگشت روی مانیتور بشمارید، آخرین فرمول و هر چیزی که در مورد پیشروی حسابی گفتیم را به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به صورت زیر است:
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اعضای یک پیشرفت حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش می شماریم).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور نیز محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. موافق بود؟ آفرین، شما بر مجموع ترم های یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم از بلوک های پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

تمرین

وظایف:

ماشا برای تابستان در حال خوش فرم شدن است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته ها چمباتمه خواهد زد.
مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
هنگام ذخیره کنده‌ها، چوب‌برها آن‌ها را به‌گونه‌ای روی هم می‌چینند که هر لایه بالایی یک کنده کمتر از لایه قبلی داشته باشد. اگر پایه سنگ تراشی کنده است، در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد.

پاسخ ها:

اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
(هفته = روز).
پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز چمباتمه بزند.
اولین عدد فرد، آخرین عدد.
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اعداد فرد در - نصف، با این حال، این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن عضو -امین یک پیشرفت حسابی بررسی کنید:
اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
داده های موجود را با فرمول جایگزین می کنیم:
پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است با.
مشکل اهرام را به خاطر بیاورید. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی با یک لاگ کاهش می یابد، تنها یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
داده ها را در فرمول جایگزین کنید:
پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

جمع بندی

- دنباله عددی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. در حال افزایش و کاهش است.
یافتن فرمولامین عضو یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در پیشرفت است.
ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - کجا - تعداد اعداد در پیشرفت.
مجموع اعضای یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:

، تعداد مقادیر کجاست.

پیشرفت حسابی. سطح متوسط

دنباله عددی

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند باشد. اما شما همیشه می توانید تشخیص دهید که کدام یک از آنها اول است، کدام دوم و به همین ترتیب، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله عددیمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد را می توان با یک عدد طبیعی خاص و فقط یک عدد مرتبط کرد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، -امین عضو دنباله گفته می شود.

بسیار راحت است اگر بتوان عضو -امین دنباله را با فرمولی به دست آورد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشرفت حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما فرمولی را تکراری می نامیم که در آن، برای یافتن عبارت -ام، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال، برای یافتن ترم پیشروی با استفاده از چنین فرمولی، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر سطر، به عددی ضرب می کنیم. برای چی؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

عضو اول برابر است. و چه تفاوتی دارد؟ و این چیزی است که:

(به هر حال به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف اعضای متوالی پیشرفت).

پس فرمول این است:

سپس جمله صدم این است:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه ها، ریاضیدان بزرگ کارل گاوس که پسری 9 ساله بود، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. متوجه شد که مجموع اول و روز گذشتهبرابر است، جمع دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع سومین و سومین از آخر یکسان است و غیره. چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه را بیابید اعداد دو رقمی، مضرب.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر بعدی با اضافه کردن یک عدد به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعداد مورد علاقه ما یک پیشرفت حسابی را با جمله اول و تفاوت تشکیل می دهند.

فرمول ترم برای این پیشرفت عبارت است از:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

هر روز ورزشکار 1 متر بیشتر از روز قبل می دود. اگر روز اول کیلومتر متر را بدود چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
یک دوچرخه‌سوار هر روز مایل‌های بیشتری را نسبت به دوچرخه‌سوار قبلی طی می‌کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. چند روز باید رانندگی کند تا یک کیلومتر را طی کند؟ روز آخر سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
قیمت یخچال در فروشگاه هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
.
پاسخ:
در اینجا داده شده است:، لازم است پیدا شود.
بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
.
مقادیر را جایگزین کنید:
ریشه بدیهی است که مناسب نیست، بنابراین پاسخ.
بیایید مسافت طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول عضو -م محاسبه کنیم:
(کیلومتر).
پاسخ:
داده شده: . پیدا کردن: .
ساده تر نمی شود:
(مالیدن).
پاسخ:

پیشرفت حسابی. به طور خلاصه در مورد اصلی

این یک دنباله عددی است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت حسابی در حال افزایش () و کاهش () است.

مثلا:

فرمول یافتن عضو n یک پیشرفت حسابی

به عنوان یک فرمول نوشته شده است، که در آن تعداد اعداد در پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

اگر اعضای همسایه آن شناخته شده باشند یافتن عضوی از پیشرفت را آسان می کند - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع اعضای یک تصاعد حسابی

دو راه برای یافتن مجموع وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

دستورالعمل

پیشروی حسابی دنباله ای به شکل a1، a1+d، a1+2d...، a1+(n-1)d است. گام شماره d پیشرفت ها.بدیهی است که مجموع یک nامین جمله دلخواه حسابی پیشرفت هاشکل دارد: An = A1+(n-1)d. سپس شناخت یکی از اعضا پیشرفت ها، عضو پیشرفت هاو قدم پیشرفت ها، می تواند باشد، یعنی تعداد عبارت پیشرفت. بدیهی است که با فرمول n = (An-A1+d)/d تعیین خواهد شد.

بگذارید اصطلاح mth اکنون شناخته شود پیشرفت هاو چند عضو دیگر پیشرفت ها- n-th، اما n، مانند مورد قبلی، اما مشخص است که n و m مطابقت ندارند. مرحله پیشرفت هارا می توان با فرمول محاسبه کرد: d = (An-Am)/(n-m). سپس n = (An-Am+md)/d.

اگر مجموع چند عنصر یک حساب پیشرفت هاو همچنین اولین و آخرین آن، سپس تعداد این عناصر را نیز می توان تعیین کرد. پیشرفت هابرابر خواهد بود با: S = ((A1+An)/2)n. سپس n = 2S/(A1+An) chdenov هستند پیشرفت ها. با استفاده از این واقعیت که An = A1+(n-1)d، این فرمول را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: n = 2S/(2A1+(n-1)d). از این می توان n را با حل بیان کرد معادله درجه دوم.

دنباله حسابی مجموعه ای مرتب از اعداد است که هر عضو آن به جز اولین مورد، به همان میزان با قبلی تفاوت دارد. این ثابت را تفاضل پیشرفت یا گام آن می نامند و می توان آن را از اعضای شناخته شده پیشروی حسابی محاسبه کرد.

دستورالعمل

اگر مقادیر اول و دوم یا هر جفت ترم همسایه دیگری از شرایط مسئله مشخص باشد، برای محاسبه اختلاف (d) کافی است جمله قبلی را از جمله بعدی کم کنید. مقدار حاصل می تواند مثبت یا منفی باشد - بستگی به این دارد که آیا پیشرفت در حال افزایش است یا خیر. AT فرم کلیراه حل یک جفت دلخواه (aᵢ و aᵢ₊1) از اعضای همسایه پیشرفت را به صورت زیر بنویسید: d = aᵢ₊1 - aᵢ.

برای یک جفت از اعضای چنین پیشرفتی که یکی از آنها اولین (a1) و دیگری هر عضو دیگری است که خودسرانه انتخاب شده است، می توان فرمولی برای یافتن تفاوت (d) نیز ایجاد کرد. با این حال، در این مورد، شماره سریال (i) یک عضو انتخاب شده دلخواه از دنباله باید شناخته شود. برای محاسبه تفاوت، هر دو عدد را جمع کنید، و نتیجه را بر عدد ترتیبی یک جمله دلخواه تقسیم کنید. AT نمای کلیاین فرمول را به این صورت بنویسید: d = (a1+ aᵢ)/(i-1).

اگر علاوه بر یک عضو دلخواه از پیشروی حسابی با عدد ترتیبی i، عضو دیگری با شماره ترتیبی u شناخته شده است، فرمول مرحله قبل را مطابق با آن تغییر دهید. در این صورت، تفاوت (d) پیشرفت حاصل جمع این دو عبارت تقسیم بر اختلاف اعداد ترتیبی آنها خواهد بود: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

فرمول محاسبه اختلاف (d) تا حدودی پیچیده‌تر می‌شود اگر در شرایط مسئله، مقدار اولین عضو آن (a1) و مجموع (Sᵢ) یک عدد معین (i) از اولین اعضای آن باشد. دنباله حسابی داده شده است. برای به دست آوردن مقدار مورد نظر، مجموع را بر تعداد عبارت هایی که آن را تشکیل می دهند تقسیم کنید، مقدار اولین عدد را در دنباله کم کنید و نتیجه را دو برابر کنید. مقدار به دست آمده را بر تعداد عبارت هایی که مجموع را به یک کاهش می دهد تقسیم کنید. به طور کلی، فرمول محاسبه ممیز را به صورت زیر بنویسید: d = 2*(Sᵢ/i-a1)/(i-1).

چی نکته اصلیفرمول ها؟

این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هر با شماره او" n" .

البته باید ترم اول را بدانید یک 1و تفاوت پیشرفت دخوب، بدون این پارامترها، نمی توانید یک پیشرفت خاص را یادداشت کنید.

حفظ کردن (یا تقلب) این فرمول کافی نیست. لازم است جوهر آن را جذب کرد و فرمول را در مسائل مختلف به کار برد. بله، و در زمان مناسب فراموش نکنید، بله ...) چگونه فراموش نکن- نمی دانم. ولی چگونه به خاطر بسپاریمدر صورت نیاز به شما راهنمایی می کنم. برای کسانی که تا آخر درس را تسلط دارند.)

بنابراین، اجازه دهید با فرمول n-امین یک پیشروی حسابی بپردازیم.

به طور کلی فرمول چیست - ما تصور می کنیم.) پیشرفت حسابی، عدد عضو، اختلاف پیشروی چیست - در درس قبل به وضوح بیان شده است. اگر نخوانده اید نگاه کنید. آنجا همه چیز ساده است. باقی مانده است که بفهمیم چه چیزی نهمین عضو.

به طور کلی پیشرفت را می توان به صورت یک سری اعداد نوشت:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

یک 1- نشان دهنده اولین جمله یک پیشرفت حسابی است، یک 3- عضو سوم یک 4- چهارم و غیره. اگر به دوره پنجم علاقه مندیم، فرض کنیم که با آن کار می کنیم یک 5، اگر صد و بیستم - از یک 120.

چگونه به طور کلی تعریف کنیم هرعضو یک پیشرفت حسابی، s هرعدد؟ بسیار ساده! مثل این:

a n

همین است n-امین عضو یک پیشرفت حسابی.زیر حرف n همه اعداد اعضا به طور همزمان پنهان می شوند: 1، 2، 3، 4 و غیره.

و چنین رکوردی چه چیزی به ما می دهد؟ فقط فکر کن به جای عدد، یک نامه نوشتند...

این نماد یک ابزار قدرتمند برای کار با پیشرفت های حسابی به ما می دهد. با استفاده از نماد a n، ما می توانیم به سرعت پیدا کنیم هرعضو هرپیشرفت حسابی و مجموعه ای از کارها برای حل در حال پیشرفت. در ادامه خواهید دید.

در فرمول عضو n یک پیشرفت حسابی:

a n = a 1 + (n-1)d

یک 1- اولین عضو پیشروی حسابی؛

n- شماره عضو

فرمول پارامترهای کلیدی هر پیشرفتی را به هم مرتبط می کند: a n ; a 1 ; دو n. حول این پارامترها، تمام پازل ها در حال چرخش هستند.

از فرمول ترم n نیز می توان برای نوشتن یک پیشرفت خاص استفاده کرد. به عنوان مثال، در مسئله می توان گفت که پیشرفت با شرط داده می شود:

a n = 5 + (n-1) 2.

چنین مشکلی حتی می تواند گیج شود ... هیچ سری وجود ندارد، هیچ تفاوتی وجود ندارد ... اما، با مقایسه شرایط با فرمول، به راحتی می توان فهمید که در این پیشرفت a 1 \u003d 5 و d \u003d 2.

و حتی می تواند عصبانی تر باشد!) اگر همین شرط را در نظر بگیریم: a n = 5 + (n-1) 2،بله، براکت ها را باز کنید و مشابه آن را بدهید؟ ما یک فرمول جدید دریافت می کنیم:

an = 3 + 2n.

آی تی فقط نه کلی، بلکه برای یک پیشرفت خاص. این همان جایی است که دام نهفته است. برخی از مردم فکر می کنند که ترم اول یک سه است. اگر چه در واقع اولین عضو پنج ... کمی پایین تر ما با چنین فرمول اصلاح شده کار خواهیم کرد.

در وظایف پیشرفت، نماد دیگری وجود دارد - یک n+1. حدس زدید این عبارت "n به اضافه اولین" پیشروی است. معنی آن ساده و بی ضرر است.) این عضوی از پیشروی است که تعداد آن تعداد بیشتر n به یک به عنوان مثال، اگر در برخی از مشکل ما برای a nترم پنجم، پس یک n+1ششمین عضو خواهد بود. و غیره.

اغلب تعیین یک n+1در فرمول های بازگشتی رخ می دهد. از این کلمه وحشتناک نترسید!) این فقط راهی برای بیان یک اصطلاح یک پیشرفت حسابی است. از طریق قبلیفرض کنید با استفاده از فرمول مکرر، یک پیشرفت حسابی به این شکل داده شده است:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

چهارم - از طریق سوم، پنجم - از طریق چهارم، و غیره. و چگونه فوراً بشماریم، بگوییم ترم بیستم، یک 20? اما به هیچ وجه!) در حالی که ترم 19 مشخص نیست، 20 ام قابل شمارش نیست. در این است تفاوت اساسیفرمول مکرر از فرمول ترم n. بازگشتی فقط از طریق کار می کند قبلیترم، و فرمول ترم n - از طریق اولینو اجازه می دهد فوراهر عضوی را با شماره آن پیدا کنید. بدون شمارش کل سری اعداد به ترتیب.

در یک پیشرفت حسابی، یک فرمول بازگشتی به راحتی می تواند به یک فرمول معمولی تبدیل شود. یک جفت عبارت متوالی بشمارید، تفاوت را محاسبه کنید د،در صورت لزوم، اولین ترم را پیدا کنید یک 1فرمول را به شکل معمول بنویسید و با آن کار کنید. در GIA، چنین وظایفی اغلب یافت می شود.

استفاده از فرمول n-امین عضو یک پیشروی حسابی.

برای شروع، در نظر بگیرید کاربرد مستقیمفرمول ها. در پایان درس قبلی یک مشکل وجود داشت:

با توجه به پیشرفت حسابی (a n). اگر 1=3 و d=1/6 باشد عدد 121 را پیدا کنید.

این مشکل را می توان بدون هیچ فرمولی، به سادگی بر اساس معنای پیشروی حسابی حل کرد. اضافه کنید، بله اضافه کنید... یک یا دو ساعت.)

و طبق فرمول حل کمتر از یک دقیقه طول خواهد کشید. شما می توانید آن را زمان بندی کنید.) ما تصمیم می گیریم.

شرایط تمام داده ها را برای استفاده از فرمول فراهم می کند: a 1 \u003d 3، d \u003d 1/6.باید دید چه چیزی nمشکلی نیست! ما باید پیدا کنیم یک 121. در اینجا می نویسیم:

لطفا توجه کنید! به جای شاخص nیک عدد مشخص ظاهر شد: 121. که کاملاً منطقی است.) ما به عضوی از پیشروی حسابی علاقه مند هستیم. شماره یکصد و بیست و یکاین ما خواهد بود nاین معناست n= 121 ما بیشتر در فرمول، در پرانتز جایگزین خواهیم کرد. تمام اعداد فرمول را جایگزین کرده و محاسبه کنید:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد. به همین سرعت می توان پانصد و دهمین عضو و هزار و سومین عضو را پیدا کرد. به جای آن قرار دادیم n شماره مورد نظردر فهرست نامه " آ"و در پرانتز، و در نظر می گیریم.

اجازه دهید ماهیت را به شما یادآوری کنم: این فرمول به شما امکان می دهد پیدا کنید هراصطلاح یک پیشرفت حسابی با شماره او" n" .

بیایید مشکل را هوشمندتر حل کنیم. فرض کنید مشکل زیر را داریم:

جمله اول پیشروی حسابی (a n) را بیابید اگر a 17 =-2; d=-0.5.

اگر مشکلی دارید، قدم اول را پیشنهاد می کنم. فرمول n ام یک پیشروی حسابی را بنویسید!بله بله. درست در دفترچه یادداشت خود بنویسید:

a n = a 1 + (n-1)d

و حالا با نگاه کردن به حروف فرمول، متوجه می شویم که چه داده هایی داریم و چه چیزی کم است؟ در دسترس d=-0.5،یک عضو هفدهم وجود دارد ... همه چیز؟ اگر فکر می کنید این همه است، پس نمی توانید مشکل را حل کنید، بله ...

یک عدد هم داریم n! در شرایط a 17 =-2پنهان شده است دو گزینه.این هم مقدار عضو هفدهم (-2) و هم عدد آن (17) است. آن ها n=17.این «چیز کوچک» اغلب از سر می‌گذرد و بدون آن، (بدون «چیز کوچک»، نه سر!) مشکل حل نمی‌شود. اگرچه ... و بدون سر نیز.)

اکنون می توانیم داده های خود را احمقانه با فرمول جایگزین کنیم:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

آه بله، یک 17ما می دانیم که -2 است. خوب، بیایید آن را وارد کنیم:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

این، در اصل، همه چیز است. باقی مانده است که عبارت اول پیشرفت حسابی را از فرمول بیان کنیم و محاسبه کنیم. جواب میگیرید: a 1 = 6.

چنین تکنیکی - نوشتن یک فرمول و جایگزینی ساده داده های شناخته شده - در کارهای ساده بسیار کمک می کند. خوب، البته شما باید بتوانید یک متغیر را از یک فرمول بیان کنید، اما چه باید کرد!؟ بدون این مهارت، ریاضیات اصلا قابل مطالعه نیست...

یکی دیگر از مشکلات رایج:

تفاوت پیشروی حسابی (a n) را در صورت 1 =2 بیابید. a 15 = 12.

ما چه کار می کنیم؟ شگفت زده خواهید شد، ما فرمول را می نویسیم!)

a n = a 1 + (n-1)d

آنچه را که می دانیم در نظر بگیرید: a 1 = 2; a 15 = 12; و (برجستگی ویژه!) n=15. با خیال راحت در فرمول جایگزین کنید:

12=2 + (15-1) روز

بیایید حساب را انجام دهیم.)

12=2 + 14 روز

د=10/14 = 5/7

این جواب درست است.

بنابراین، وظایف a n، a 1و دتصمیم گرفت. باقی مانده است که یاد بگیرید چگونه شماره را پیدا کنید:

عدد 99 عضوی از یک تصاعد حسابی (a n) است که در آن 1 =12; d=3. شماره این عضو را پیدا کنید.

ما مقادیر شناخته شده را به فرمول n ام جایگزین می کنیم:

a n = 12 + (n-1) 3

در نگاه اول، دو کمیت ناشناخته در اینجا وجود دارد: a n و nولی a nبرخی از اعضای پیشرفت با شماره است n... و این عضو از پیشرفت ما می دانیم! 99 است. شماره او را نمی دانیم. nبنابراین این عدد نیز باید پیدا شود. عبارت پیشرفت 99 را با فرمول جایگزین کنید:

99 = 12 + (n-1) 3

از فرمول بیان می کنیم n، ما فکر می کنیم. جواب میگیریم: n=30.

و اکنون یک مشکل در همان موضوع، اما خلاقانه تر):

تعیین کنید که آیا عدد 117 عضوی از پیشروی حسابی (an) خواهد بود یا خیر:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

بیایید دوباره فرمول را بنویسیم. چه، هیچ گزینه ای وجود ندارد؟ هوم... چرا به چشم نیاز داریم؟) آیا اولین عضو پیشرفت را می بینیم؟ می بینیم. این -3.6 است. می توانید با خیال راحت بنویسید: a 1 \u003d -3.6.تفاوت داز سریال مشخص میشه؟ اگر بدانید تفاوت یک پیشرفت حسابی چیست آسان است:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

بله، ما ساده ترین کار را انجام دادیم. باقی مانده است که با یک شماره ناشناخته مقابله کنیم nو عدد نامفهوم 117. در مسئله قبلی حداقل معلوم بود که اصطلاح پیشروی داده شده است. اما اینجا ما حتی نمی دانیم که ... چگونه باشیم!؟ خوب، چگونه بودن، چگونه بودن... روشن کنید مهارت های خلاقانه!)

ما فرض کنیدبالاخره 117 عضوی از پیشرفت ماست. با شماره نامعلوم n. و درست مانند مشکل قبلی، بیایید سعی کنیم این عدد را پیدا کنیم. آن ها ما فرمول را می نویسیم (بله-بله!)) و اعداد خود را جایگزین می کنیم:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

دوباره از فرمول بیان می کنیمn، می شماریم و می گیریم:

اوه! شماره معلوم شد کسری!صد و یک و نیم. و اعداد کسری در پیشرفت نمیتونه باشه.چه نتیجه ای می گیریم؟ آره! شماره 117 نیستعضو پیشرفت ما جایی بین 101 و 102 عضو است. اگر عدد طبیعی بود، یعنی. عدد صحیح مثبت، آنگاه عدد عضوی از پیشرفت با عدد یافت شده خواهد بود. و در مورد ما، پاسخ به این مشکل خواهد بود: نه

بر اساس وظیفه نسخه واقعی GIA:

پیشروی محاسباتی با شرط داده می شود:

a n \u003d -4 + 6.8n

عبارت اول و دهم پیشرفت را پیدا کنید.

در اینجا پیشرفت به روشی غیرعادی تنظیم شده است. نوعی فرمول ... این اتفاق می افتد.) با این حال، این فرمول (همانطور که در بالا نوشتم) - همچنین فرمول n-امین یک پیشروی حسابی!او هم اجازه می دهد هر عضوی از پیشرفت را با تعداد آن پیدا کنید.

ما به دنبال اولین عضو هستیم. اونی که فکر میکنه این که عبارت اول منهای چهار است، به طرز مهلکی اشتباه است!) زیرا فرمول در مسئله اصلاح شده است. اولین جمله یک پیشرفت حسابی در آن پنهان شده است.هیچی، الان پیداش می کنیم.)

همانطور که در کارهای قبلی جایگزین می کنیم n=1به این فرمول:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

اینجا! جمله اول 2.8 است نه -4!

به همین ترتیب، ما به دنبال ترم دهم هستیم:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

این تمام چیزی است که در آن وجود دارد.

و اکنون، برای کسانی که تا این سطور خوانده اند، پاداش وعده داده شده است.)

فرض کنید، در یک موقعیت رزمی دشوار GIA یا آزمون یکپارچه دولتی، فرمول مفید n-امین یک پیشرفت حسابی را فراموش کرده اید. چیزی به ذهن می رسد، اما به نحوی نامشخص ... آیا nوجود دارد، یا n+1 یا n-1...چگونه باشیم!؟

آرام! این فرمول به راحتی قابل استخراج است. خیلی سخت نیست، اما قطعا برای اطمینان و تصمیم درست کافی است!) برای نتیجه گیری، کافی است معنای ابتدایی پیشروی حسابی را به خاطر بسپارید و چند دقیقه وقت داشته باشید. شما فقط باید یک تصویر بکشید. برای شفافیت.

یک محور عددی رسم می کنیم و اولی را روی آن علامت می زنیم. دوم، سوم و غیره اعضا. و به تفاوت توجه کنید دبین اعضا مثل این:

به تصویر نگاه می کنیم و فکر می کنیم: جمله دوم برابر است با چیست؟ دومین یکی د:

آ 2 =a 1 + 1 د

ترم سوم چیست؟ سومترم برابر با ترم اول به اضافه است دو د.

آ 3 =a 1 + 2 د

متوجه شدي؟ من بعضی از کلمات را بیهوده به صورت پررنگ نمی نویسم. خوب، یک قدم دیگر.)

ترم چهارم چیست؟ چهارمترم برابر با ترم اول به اضافه است سه د.

آ 4 =a 1 + 3 د

وقت آن رسیده است که متوجه شویم تعداد شکاف ها، یعنی. د، همیشه یک کمتر از تعداد عضو مورد نظر شما n. یعنی تا تعداد n، تعداد شکاف هاخواهد بود n-1.بنابراین، فرمول (بدون گزینه!):

a n = a 1 + (n-1)d

به طور کلی، تصاویر بصری در حل بسیاری از مسائل در ریاضیات بسیار مفید هستند. از تصاویر غافل نشوید اما اگر کشیدن یک تصویر دشوار است، پس ... فقط یک فرمول!) علاوه بر این، فرمول ترم n به شما امکان می دهد کل زرادخانه قدرتمند ریاضیات را به راه حل متصل کنید - معادلات، نابرابری ها، سیستم ها و غیره. شما نمی توانید یک تصویر را در یک معادله قرار دهید ...

وظایف برای تصمیم گیری مستقل

برای گرم کردن:

1. در پیشرفت حسابی (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3 را پیدا کنید.

نکته: طبق تصویر، مشکل در 20 ثانیه حل می شود ... طبق فرمول، دشوارتر می شود. اما برای تسلط بر فرمول مفیدتر است.) در قسمت 555 این مشکل هم با تصویر و هم با فرمول حل می شود. تفاوت را احساس کنید!)

و این دیگر گرم کردن نیست.)

2. در پیشرفت حسابی (a n) a 85 \u003d 19.1؛ a 236 = 49، 3. یک 3 را پیدا کنید.

چه، بی میلی به کشیدن نقاشی؟) هنوز! در فرمول بهتر است، بله ...

3. پیشرفت محاسباتی با شرط داده می شود:a 1 \u003d -5.5؛ a n+1 = a n +0.5. جمله صد و بیست و پنجم این پیشروی را پیدا کنید.

در این کار، پیشرفت به صورت مکرر داده می شود. اما شمردن تا ترم صد و بیست و پنجم... همه نمی توانند چنین شاهکاری کنند.) اما فرمول ترم n در توان همه است!

4. با توجه به پیشروی حسابی (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

عدد کوچکترین جمله مثبت پیشرفت را پیدا کنید.

5. با توجه به شرط تکلیف 4، مجموع کوچکترین اعضای مثبت و بزرگترین اعضای منفی پیشروی را پیدا کنید.

6. حاصل ضرب جمله های پنجم و دوازدهم یک تصاعد حسابی فزاینده 5/2- است و مجموع جمله های سوم و یازدهم صفر است. 14 را پیدا کنید.

ساده ترین کار نیست، بله ...) در اینجا روش "روی انگشتان" کار نخواهد کرد. شما باید فرمول بنویسید و معادلات را حل کنید.

پاسخ ها (به هم ریخته):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

اتفاق افتاد؟ خوبه!)

همه چیز درست نمی شود؟ اتفاق می افتد. به هر حال، در آخرین کار یک نکته ظریف وجود دارد. دقت در هنگام خواندن مشکل مورد نیاز خواهد بود. و منطق.

راه‌حل همه این مشکلات به تفصیل در بخش 555 مورد بحث قرار گرفته است. و عنصر فانتزی برای چهارم، و لحظه ظریف برای ششم، و رویکردهای کلی برای حل هر مشکلی برای فرمول ترم n - همه چیز نقاشی شده است. من توصیه می کنم.

اگر این سایت را دوست دارید ...

به هر حال، من چند سایت جالب دیگر برای شما دارم.)

می توانید حل مثال ها را تمرین کنید و سطح خود را پیدا کنید. تست با تایید فوری یادگیری - با علاقه!)

می توانید با توابع و مشتقات آشنا شوید.

مفهوم دنباله عددی به این معنی است که هر عدد طبیعی با مقداری واقعی مطابقت دارد. چنین سری از اعداد هم می توانند دلخواه باشند و هم ویژگی های خاصی داشته باشند - یک پیشرفت. در مورد دوم، هر عنصر بعدی (عضو) دنباله را می توان با استفاده از عنصر قبلی محاسبه کرد.

پیشروی حسابی دنباله ای از مقادیر عددی است که در آن اعضای همسایه آن با یک عدد متفاوت با یکدیگر متفاوت هستند (همه عناصر سری، از 2 شروع می شوند، دارای ویژگی مشابهی هستند). این عدد - تفاوت بین عضو قبلی و بعدی - ثابت است و به آن اختلاف پیشروی می گویند.

تفاوت پیشرفت: تعریف

دنباله ای متشکل از مقادیر j را در نظر بگیرید A = a(1)، a(2)، a(3)، a(4) … a(j)، j متعلق به مجموعه اعداد طبیعی N است. یک پیشرفت حسابی، با توجه به تعریف آن، دنباله ای است که در آن a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. مقدار d تفاوت مورد نظر این پیشرفت است.

d = a (j) - a (j-1).

اختصاص دهید:

یک پیشرفت فزاینده، در این حالت d> 0. مثال: 4، 8، 12، 16، 20، …
کاهش پیشرفت، سپس d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

تفاوت پیشرفت و عناصر دلخواه آن

اگر 2 عضو دلخواه از پیشروی (i-th، k-th) شناخته شده باشند، می توان تفاوت این دنباله را بر اساس رابطه ایجاد کرد:

a(i) = a(k) + (i - k)*d، بنابراین d = (a(i) - a(k))/(i-k).

تفاوت پیشرفت و اولین ترم آن

این عبارت تنها در مواردی که تعداد عنصر دنباله مشخص است به تعیین مقدار مجهول کمک می کند.

تفاوت پیشرفت و مجموع آن

مجموع یک پیشروی مجموع عبارات آن است. برای محاسبه مقدار کل اولین عناصر j آن، از فرمول مربوطه استفاده کنید:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j، اما از آنجا که a(j) = a(1) + d(j – 1)، سپس S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j.