با هم کار کنیم معادلات درجه دوم. این معادلات بسیار محبوب هستند! در بسیار نمای کلیمعادله درجه دوم به صورت زیر است:

مثلا:

اینجا آ =1; ب = 3; ج = -4

اینجا آ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا آ =-3; ب = 6; ج = -18

خوب فهمیدی...

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم؟اگر یک معادله درجه دوم به این شکل در مقابل خود دارید، پس همه چیز ساده است. به یاد بیاوریم واژه جادویی ممیز . به ندرت دانش آموز دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت "ما از طریق یک متمایز حل می کنیم" اعتماد و اطمینان را القا می کند. چون نیازی به حیله از ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است. بنابراین، فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

بیان زیر علامت ریشه یکی است ممیز. همانطور که می بینید، برای یافتن X از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از یک معادله درجه دوم فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جاین فرمولی است که ما محاسبه می کنیم. جایگزین کنیم با نشانه های خودت! مثلا برای معادله اول آ =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا ما آن را یادداشت می کنیم:

مثال تقریباً حل شده است:

همین.

هنگام استفاده از این فرمول چه مواردی امکان پذیر است؟ فقط سه مورد وجود دارد.

1. ممیز مثبت است. این بدان معنی است که ریشه را می توان از آن استخراج کرد. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا ضعیف، سوال دیگری است. مهم این است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. ممیز صفر است. سپس شما یک راه حل دارید. به بیان دقیق، این یک ریشه نیست، بلکه دو تا یکسان. اما این در نابرابری ها نقش دارد، جایی که ما موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

3. ممیز منفی است. از یک عدد منفی ریشه دوماستخراج نشده است. بسیار خوب. این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

همه چیز بسیار ساده است. و چه، به نظر شما اشتباه کردن غیرممکن است؟ خب آره چطوری...
رایج ترین اشتباهات، اشتباه گرفتن با مقادیر علامت است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا گیج شویم؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفی در فرمول محاسبه ریشه ها. چیزی که در اینجا کمک می کند، ضبط دقیق فرمول با اعداد خاص است. در صورت وجود مشکل در محاسبات، انجام این کار!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا a = -6; b = -5; c = -1

فرض کنید می دانید که به ندرت بار اول پاسخ می گیرید.

خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها حدود 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:

به نظر می رسد نوشتن با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن چه چیزی بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی به نوشتن همه چیز با این همه دقت نخواهد بود. به خودی خود درست عمل خواهد کرد. به خصوص اگر از تکنیک های عملی استفاده کنید که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانی با یکسری معایب را می توان به راحتی و بدون خطا حل کرد!

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردیم. یا یاد گرفتند که این هم خوب است. شما می دانید که چگونه به درستی تعیین کنید الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه؟ با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار آیا آن را فهمیدی کلمه کلیدیاینجا - با دقت؟

با این حال، معادلات درجه دوم اغلب کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

این معادلات درجه دوم ناقص . آنها همچنین می توانند از طریق یک تفکیک حل شوند. شما فقط باید به درستی درک کنید که آنها در اینجا با چه چیزی برابر هستند. الف، ب و ج.

آیا آن را فهمیده اید؟ در مثال اول a = 1; b = -4;آ ج? اصلا اونجا نیست! خوب بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین. به جای آن صفر را به فرمول جایگزین کنید جو ما موفق خواهیم شد. با مثال دوم هم همینطور. فقط ما اینجا صفر نداریم با، آ ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ تبعیضی. بیایید اولی را در نظر بگیریم معادله ناقص. در سمت چپ چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم

و از این چی؟ و این که حاصل ضرب صفر می شود اگر و فقط اگر هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب، پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ خودشه...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x = 0، یا x = 4

همه. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از استفاده از تفکیک کننده است.

معادله دوم را نیز می توان به سادگی حل کرد. حرکت 9 به سمت راست. ما گرفتیم:

تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از 9 است و تمام. معلوم خواهد شد:

همچنین دو ریشه . x = +3 و x = -3.

به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با قرار دادن X خارج از براکت، یا با حرکت دادن عدد به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این تکنیک ها بسیار دشوار است. فقط به این دلیل که در حالت اول باید ریشه X را استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...

اکنون به تکنیک های عملی توجه داشته باشید که تعداد خطاها را به طور چشمگیری کاهش می دهد. همان هایی که ناشی از بی توجهی است... که بعداً دردناک و توهین آمیز می شود...

اولین قرار. قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبل نباشید و آن را به شکل استاندارد بیاورید. این یعنی چی؟
فرض کنید بعد از همه تبدیل ها معادله زیر را به دست می آورید:

برای نوشتن فرمول ریشه عجله نکنید! تقریباً مطمئناً احتمالات را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا X مربع، سپس بدون مربع، سپس عبارت آزاد. مثل این:

و باز هم عجله نکنید! یک منهای جلوی یک مربع X می تواند واقعا شما را ناراحت کند. فراموش کردن آسان است... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:

اما اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را بنویسید، تفکیک کننده را محاسبه کنید و حل مثال را تمام کنید. خودت تصمیم بگیر اکنون باید ریشه های 2 و -1 داشته باشید.

پذیرایی دوم.ریشه ها را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نترس همه چیز رو توضیح میدم! چک کردن آخرین چیزمعادله. آن ها همانی که برای نوشتن فرمول ریشه استفاده کردیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، بررسی ریشه ها آسان است. کافی است آنها را ضرب کنیم. نتیجه باید یک عضو رایگان باشد، یعنی. در مورد ما -2. لطفا توجه داشته باشید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که آنها قبلاً جایی را خراب کرده اند. به دنبال خطا باشید اگر کار کرد، باید ریشه ها را اضافه کنید. آخرین و آخرین بررسی ضریب باید باشد ببا مقابل آشنا در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب بکه قبل از X است برابر با 1- است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف که این فقط برای مثال هایی که x مجذور خالص است، با ضریب بسیار ساده است. a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! خطاهای کمتر و کمتری وجود خواهد داشت.

پذیرایی سوم. اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! معادله را در یک مخرج مشترک ضرب کنید که در قسمت قبل توضیح داده شد. هنگام کار با کسرها، به دلایلی خطاها همچنان به وجود می آیند...

اتفاقا من قول دادم مثال شیطانی را با یک سری موارد منفی ساده کنم. لطفا! او اینجا است.

برای اینکه با منفی ها اشتباه نگیریم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

همین! حل کردن یک لذت است!

بنابراین، اجازه دهید موضوع را خلاصه کنیم.

توصیه عملی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم و می سازیم درست.

2. اگر جلوی مربع X ضریب منفی باشد با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، با استفاده از قضیه Vieta می توان جواب را به راحتی تأیید کرد. انجام دهید!

معادلات کسری ODZ.

ما به تسلط بر معادلات ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه با معادلات خطی و درجه دوم کار کنیم. آخرین نمای باقی مانده - معادلات کسری. یا به آنها بسیار محترمانه تر نیز گفته می شود - معادلات گویا کسری. این همان است.

معادلات کسری

همانطور که از نام آن پیداست، این معادلات لزوماً شامل کسری هستند. اما نه فقط کسری، بلکه کسری که دارد مجهول در مخرج. حداقل در یکی. مثلا:

به شما یادآوری کنم که اگر مخرج ها فقط باشند شماره، این معادلات خطی هستند.

نحوه تصمیم گیری معادلات کسری? اول از همه، از شر کسرها خلاص شوید! پس از این، معادله اغلب به خطی یا درجه دوم تبدیل می شود. و سپس می دانیم چه باید بکنیم... در برخی موارد می تواند به یک هویت تبدیل شود، مانند 5=5 یا یک عبارت نادرست، مانند 7=2. اما این به ندرت اتفاق می افتد. در زیر به این موضوع اشاره خواهم کرد.

اما چگونه از شر کسری خلاص شویم!؟ بسیار ساده. اعمال همان تبدیل های یکسان.

باید کل معادله را در همان عبارت ضرب کنیم. به طوری که همه مخرج ها کاهش می یابد! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. بگذارید با یک مثال توضیح دهم. اجازه دهید معادله را حل کنیم:

در دبستان چگونه آموزش می دیدید؟ ما همه چیز را به یک طرف منتقل می کنیم، آن را به یک مخرج مشترک می آوریم و غیره. مثل یک رویای بد فراموشش کن! این همان کاری است که هنگام جمع یا تفریق کسرها باید انجام دهید. یا با نابرابری ها کار می کنید. و در معادلات، ما بلافاصله هر دو طرف را در یک عبارت ضرب می کنیم که به ما فرصت می دهد همه مخرج ها را کاهش دهیم (یعنی در اصل با یک مخرج مشترک). و این بیان چیست؟

در سمت چپ، برای کاهش مخرج نیاز به ضرب در x+2. و در سمت راست ضرب در 2 مورد نیاز است یعنی معادله باید در ضرب شود 2 (x+2). تکثیر کردن:

این یک ضرب معمولی کسری است، اما من آن را با جزئیات شرح می دهم:

لطفا توجه داشته باشید که من هنوز براکت را باز نمی کنم (x + 2)! بنابراین، به طور کامل آن را می نویسم:

در سمت چپ کاملا منقبض می شود (x+2)و در سمت راست 2. چیزی که لازم بود! پس از کاهش می گیریم خطیمعادله:

و همه می توانند این معادله را حل کنند! x = 2.

بیایید مثال دیگری را حل کنیم، کمی پیچیده تر:

اگر به یاد داشته باشیم که 3 = 3/1، و 2x = 2x/ 1، می توانیم بنویسیم:

و دوباره از چیزهایی که واقعاً دوست نداریم خلاص می شویم - کسری.

می بینیم که برای کاهش مخرج با X، باید کسر را در ضرب کنیم (x - 2). و چند مورد مانعی برای ما نیستند. خوب بیایید ضرب کنیم. همهسمت چپ و همهسمت راست:

دوباره پرانتز (x - 2)من فاش نمی کنم. من با کل براکت طوری کار می کنم که انگار یک عدد است! این باید همیشه انجام شود، در غیر این صورت چیزی کاهش نمی یابد.

با احساس رضایت عمیق ما را کاهش می دهیم (x - 2)و معادله ای بدون کسری با خط کش می گیریم!

حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم:

موارد مشابه را می آوریم، همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و می گیریم:

معادله درجه دوم کلاسیک اما منهای پیش رو خوب نیست. همیشه می توانید با ضرب یا تقسیم بر 1 از شر آن خلاص شوید. اما اگر به مثال دقت کنید متوجه می شوید که بهتر است این معادله را بر 2- تقسیم کنید! در یک لحظه، منهای ناپدید می شوند و شانس ها جذاب تر می شوند! تقسیم بر -2 در سمت چپ - ترم به جمله، و در سمت راست - به سادگی صفر را بر -2 تقسیم کنید، صفر و به دست می آوریم:

ما از طریق تفکیک حل می کنیم و با استفاده از قضیه Vieta بررسی می کنیم. ما گرفتیم x = 1 و x = 3. دو ریشه

همانطور که می بینید، در حالت اول معادله بعد از تبدیل خطی شد، اما در اینجا به درجه دوم تبدیل می شود. این اتفاق می افتد که پس از خلاص شدن از کسری، تمام X کاهش می یابد. چیزی باقی می ماند، مانند 5=5. این به آن معنا است x می تواند هر چیزی باشد. هر چه هست باز هم کم می شود. و معلوم می شود که حقیقت محض 5=5 است. اما، پس از خلاص شدن از شر کسرها، ممکن است کاملاً نادرست باشد، مانند 2=7. و این به این معنی است بدون راه حل! هر X نادرست است.

متوجه راه حل اصلی شد معادلات کسری ? ساده و منطقی است. عبارت اصلی را تغییر می دهیم تا هر چیزی که دوست نداریم ناپدید شود. یا دخالت می کند. در این مورد اینها کسری هستند. ما همین کار را با انواع مختلف انجام خواهیم داد نمونه های پیچیدهبا لگاریتم ها، سینوس ها و دیگر وحشت ها. ما همیشهبیایید از شر همه اینها خلاص شویم.

با این حال، باید عبارت اصلی را در جهتی که نیاز داریم تغییر دهیم طبق قوانین، بله ... که تسلط آن آمادگی برای آزمون دولتی واحد ریاضی است. بنابراین ما در حال تسلط بر آن هستیم.

اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه یکی از آنها را دور بزنیم کمین اصلی در آزمون دولتی واحد! اما اول، بیایید ببینیم که آیا شما در آن قرار می گیرید یا نه؟

بیایید به یک مثال ساده نگاه کنیم:

موضوع از قبل آشناست، ما هر دو طرف را ضرب می کنیم (x - 2)، ما گرفتیم:

با پرانتز یادآوری می کنم (x - 2)ما طوری کار می کنیم که گویی با یک عبارت یکپارچه کار می کنیم!

اینجا دیگر یکی در مخرج ننوشتم، بی ارزش است... و در مخرج ها پرانتز نکشیدم، به جز x – 2چیزی وجود ندارد، شما مجبور نیستید نقاشی کنید. کوتاه کنیم:

پرانتزها را باز کنید، همه چیز را به سمت چپ ببرید و موارد مشابه را بدهید:

حل می کنیم، بررسی می کنیم، دو ریشه می گیریم. x = 2و x = 3. عالی.

فرض کنید تکلیف می گوید که ریشه را یادداشت کنید، یا اگر بیش از یک ریشه وجود دارد، مجموع آنها را بنویسید. قراره چی بنویسیم؟

اگر تصمیم گرفتید که پاسخ 5 باشد، شما در کمین قرار گرفتند. و وظیفه به شما اعتبار داده نمی شود. بیهوده کار کردند... پاسخ صحیح 3 است.

موضوع چیه؟! و شما سعی می کنید بررسی کنید. مقادیر مجهول را جایگزین کنید اصلیمثال. و اگر در x = 3همه چیز با هم به طرز شگفت انگیزی رشد خواهد کرد، ما 9 = 9، سپس چه زمانی x = 2تقسیم بر صفر خواهد شد! کاری که شما مطلقاً نمی توانید انجام دهید. به معنای x = 2راه حل نیست و در پاسخ به آن توجه نمی شود. این به اصطلاح ریشه اضافی یا اضافی است. ما به سادگی آن را کنار می گذاریم. ریشه نهایی یکی است. x = 3.

چطور؟! - من تعجب های خشمگین می شنوم. به ما یاد دادند که یک معادله را می توان در یک عبارت ضرب کرد! این یک تحول یکسان است!

بله یکسان تحت یک شرایط کوچک - عبارتی که در آن ضرب (تقسیم) می کنیم - متفاوت از صفر. آ x – 2در x = 2برابر با صفر است! پس همه چیز منصفانه است.

و حالا چیکار میتونم بکنم؟! با بیان ضرب نکنیم؟ آیا باید هر بار چک کنم؟ بازم معلوم نیست!

با آرامش! وحشت نکنید!

در این شرایط سخت، سه حرف جادویی ما را نجات خواهند داد. میدونم به چی فکر میکنی درست! این ODZ . حوزه ارزش های قابل قبول

با این برنامه ریاضی می توانید حل معادله درجه دوم.

این برنامه نه تنها به مشکل پاسخ می دهد، بلکه روند حل را به دو صورت نمایش می دهد:
- استفاده از تمایز
- با استفاده از قضیه Vieta (در صورت امکان).

علاوه بر این، پاسخ به صورت دقیق و نه تقریبی نمایش داده می شود.
به عنوان مثال، برای معادله \(81x^2-16x-1=0\) پاسخ به شکل زیر نمایش داده می شود:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81)، \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ و نه مانند این: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

این برنامه ممکن است برای دانش آموزان دبیرستانی مفید باشد مدارس متوسطهدر آماده سازی برای تست هاو امتحانات، هنگام آزمایش دانش قبل از آزمون دولتی واحد، برای والدین برای کنترل حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و جبر. یا شاید استخدام معلم یا خرید کتاب های درسی جدید برای شما گران باشد؟ یا فقط می خواهید آن را در سریع ترین زمان ممکن انجام دهید؟ مشق شبدر ریاضیات یا جبر؟ در این صورت می توانید از برنامه های ما با راه حل های دقیق نیز استفاده کنید.

به این ترتیب شما می توانید آموزش و یا آموزش برادران یا خواهران کوچکتر خود را انجام دهید، در حالی که سطح تحصیلات در زمینه حل مشکلات افزایش می یابد.

اگر با قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم آشنایی ندارید، توصیه می کنیم با آنها آشنا شوید.

قوانین وارد کردن چند جمله ای درجه دوم

هر حرف لاتین می تواند به عنوان یک متغیر عمل کند.
به عنوان مثال: \(x، y، z، a، b، c، o، p، q\) و غیره.

اعداد را می توان به صورت اعداد کامل یا کسری وارد کرد.
علاوه بر این، اعداد کسری را می توان نه تنها به صورت اعشاری، بلکه در قالب یک کسری معمولی نیز وارد کرد.

قوانین وارد کردن کسرهای اعشاری
در کسرهای اعشاری، قسمت کسری را می توان با نقطه یا کاما از کل قسمت جدا کرد.
برای مثال می توانید وارد شوید اعداد اعشاریمانند این: 2.5x - 3.5x^2

قوانین وارد کردن کسرهای معمولی
فقط یک عدد کامل می تواند به عنوان صورت، مخرج و جزء صحیح یک کسر عمل کند.

مخرج نمی تواند منفی باشد.

هنگام وارد کردن کسر عددی، صورت با یک علامت تقسیم از مخرج جدا می شود: /
کل بخشبا آمپرسند از کسر جدا می شود: &
ورودی: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
نتیجه: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

هنگام وارد کردن یک عبارت می توانید از پرانتز استفاده کنید. در این حالت، هنگام حل یک معادله درجه دوم، ابتدا عبارت معرفی شده ساده می شود.
به عنوان مثال: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

تصميم گرفتن

مشخص شد که برخی از اسکریپت های لازم برای حل این مشکل بارگیری نشده اند و ممکن است برنامه کار نکند.
ممکن است AdBlock را فعال کرده باشید.
در این صورت آن را غیرفعال کرده و صفحه را Refresh کنید.

جاوا اسکریپت در مرورگر شما غیرفعال است.
برای اینکه راه حل ظاهر شود، باید جاوا اسکریپت را فعال کنید.
در اینجا دستورالعمل هایی در مورد نحوه فعال کردن جاوا اسکریپت در مرورگر خود آورده شده است.

زیرا افراد زیادی مایل به حل مشکل هستند، درخواست شما در صف قرار گرفته است.
پس از چند ثانیه راه حل در زیر ظاهر می شود.
لطفا صبر کنید ثانیه...

اگر شما متوجه خطا در راه حل شد، سپس می توانید در این مورد در فرم بازخورد بنویسید.
فراموش نکن مشخص کنید کدام کارشما تصمیم می گیرید چه چیزی در فیلدها وارد کنید.

بازی ها، پازل ها، شبیه سازهای ما:

کمی تئوری

معادله درجه دوم و ریشه های آن. معادلات درجه دوم ناقص

هر یک از معادلات
\(-x^2+6x+1.4=0، \quad 8x^2-7x=0، \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
به نظر می رسد
\(ax^2+bx+c=0، \)
جایی که x یک متغیر است، a، b و c اعداد هستند.
در رابطه اول a = -1، b = 6 و c = 1.4، در رابطه دوم a = 8، b = -7 و c = 0، در رابطه سوم a = 1، b = 0 و c = 4/9. چنین معادلاتی نامیده می شوند معادلات درجه دوم.

تعریف.
معادله درجه دوممعادله ای به شکل ax 2 +bx+c=0 نامیده می شود که x یک متغیر است، a، b و c برخی اعداد هستند و \(a \neq 0 \).

اعداد a، b و c ضرایب معادله درجه دوم هستند. عدد a را ضریب اول، عدد b ضریب دوم و عدد c را جمله آزاد می نامند.

در هر یک از معادلات شکل ax 2 +bx+c=0 که \(a\neq 0\) بزرگترین توان متغیر x یک مربع است. از این رو نام: معادله درجه دوم.

توجه داشته باشید که یک معادله درجه دوم معادله درجه دوم نیز نامیده می شود، زیرا سمت چپ آن چند جمله ای درجه دوم است.

معادله درجه دومی که در آن ضریب x 2 برابر با 1 باشد نامیده می شود معادله درجه دوم داده شده. به عنوان مثال، معادلات درجه دوم داده شده، معادلات هستند
\(x^2-11x+30=0، \quad x^2-6x=0، \چهارار x^2-8=0 \)

اگر در یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 حداقل یکی از ضرایب b یا c برابر با صفر باشد، چنین معادله ای نامیده می شود. معادله درجه دوم ناقص. بنابراین، معادلات -2x 2 +7=0، 3x 2 -10x=0، -4x 2 =0 معادلات درجه دوم ناقص هستند. در اولی b=0، در دومی c=0، در سومی b=0 و c=0.

سه نوع معادله درجه دوم ناقص وجود دارد:
1) ax 2 +c=0، که در آن \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0، که در آن \(b \neq 0 \);
3) تبر 2 = 0.

بیایید حل معادلات هر یک از این انواع را در نظر بگیریم.

برای حل یک معادله ناقص درجه دوم از شکل ax 2 +c=0 برای \(c \neq 0 \(c\neq 0\)، جمله آزاد آن را به سمت راست ببرید و دو طرف معادله را بر a تقسیم کنید:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \راست فلش x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

از آنجایی که \(c \neq 0 \)، سپس \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

اگر \(-\frac(c)(a)>0\)، معادله دو ریشه دارد.

اگر \(-\frac(c)(a) برای حل یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 +bx=0 با \(b \neq 0 \) سمت چپ آن را عامل کنید و معادله را بدست آورید.
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (آرایه)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end (آرایه) \راست. \)

این بدان معنی است که یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 +bx=0 برای \(b \neq 0 \) همیشه دو ریشه دارد.

یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است و بنابراین دارای یک ریشه واحد 0 است.

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

حال بیایید نحوه حل معادلات درجه دوم را در نظر بگیریم که در آن ضرایب مجهولات و جمله آزاد غیر صفر هستند.

اجازه دهید معادله درجه دوم را به صورت کلی حل کنیم و در نتیجه فرمول ریشه ها را به دست آوریم. سپس می توان از این فرمول برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 را حل کنید

با تقسیم هر دو ضلع بر a، معادله درجه دوم کاهش یافته معادل را بدست می آوریم
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

بیایید این معادله را با انتخاب مربع دو جمله ای تبدیل کنیم:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ فلش راست \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\راست)^ 2 - \frac(c)(a) \پیکان راست \) \(\چپ(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( ج)(الف) \پیکان راست \چپ(x+\frac(b)(2a)\راست)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \پیکان راست \) \(x+\frac(b )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \پیکان راست \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

بیان رادیکال نامیده می شود تمایز یک معادله درجه دوم ax 2 +bx+c=0 ("ممیز" در لاتین - تشخیص دهنده). با حرف D مشخص می شود، یعنی.
\(D = b^2-4ac\)

اکنون با استفاده از نماد تفکیک، فرمول ریشه های معادله درجه دوم را بازنویسی می کنیم:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \)، جایی که \(D= b^2-4ac \)

بدیهی است که:
1) اگر D>0 باشد، معادله درجه دوم دو ریشه دارد.
2) اگر D=0 باشد، معادله درجه دوم یک ریشه دارد \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) اگر D بنابراین، بسته به مقدار ممیز، یک معادله درجه دوم می تواند دو ریشه داشته باشد (برای D > 0)، یک ریشه (برای D = 0) یا بدون ریشه (برای D هنگام حل یک معادله درجه دوم با استفاده از این فرمول، توصیه می شود به روش زیر انجام شود:
1) متمایز را محاسبه کنید و آن را با صفر مقایسه کنید.
2) اگر ممیز مثبت یا مساوی صفر است، از فرمول ریشه استفاده کنید و اگر ممیز منفی است، بنویسید که ریشه وجود ندارد.

قضیه ویتا

معادله درجه دوم داده شده ax 2 -7x+10=0 دارای ریشه های 2 و 5 است. مجموع ریشه ها 7 و حاصلضرب برابر با 10 است. علامت، و حاصل ضرب ریشه ها برابر با عبارت آزاد است. هر معادله درجه دوم کاهش یافته ای که ریشه داشته باشد این خاصیت را دارد.

مجموع ریشه های معادله درجه دوم فوق برابر با ضریب دوم است که با علامت مخالف گرفته می شود و حاصل ضرب ریشه ها برابر با جمله آزاد است.

آن ها قضیه ویتا بیان می کند که ریشه های x 1 و x 2 معادله درجه دوم کاهش یافته x 2 +px+q=0 دارای این ویژگی هستند:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \راست. \)

شرح کتابشناختی: Gasanov A. R.، Kuramshin A. A.، Elkov A. A.، Shilnenkov N. V.، Ulanov D. D.، Shmeleva O. V. روش های حل معادلات درجه دوم// دانشمند جوان. 2016. شماره 6.1. ص 17-20..03.2019).



پروژه ما در مورد راه هایی برای حل معادلات درجه دوم است. هدف پروژه: یادگیری حل معادلات درجه دوم به روش هایی که در برنامه درسی مدرسه گنجانده نشده است. وظیفه: تمام راه های ممکن برای حل معادلات درجه دوم را پیدا کنید و نحوه استفاده از آنها را خودتان یاد بگیرید و این روش ها را به همکلاسی های خود معرفی کنید.

"معادلات درجه دوم" چیست؟

معادله درجه دوم- معادله فرم تبر2 + bx + c = 0، جایی که آ, ب, ج- تعدادی اعداد ( a ≠ 0), ایکس- ناشناخته.

اعداد a، b، c را ضرایب معادله درجه دوم می نامند.

• a ضریب اول نامیده می شود.
• b ضریب دوم نامیده می شود.
• ج - عضو رایگان.

اولین کسی که معادلات درجه دوم را اختراع کرد چه کسی بود؟

برخی از تکنیک های جبری برای حل معادلات خطی و درجه دوم 4000 سال پیش در بابل باستان شناخته شده بود. کشف الواح گلی بابلی باستان که مربوط به حدود 1800 تا 1600 قبل از میلاد است، اولین شواهد از مطالعه معادلات درجه دوم را ارائه می دهد. همین لوح ها حاوی روش هایی برای حل انواع خاصی از معادلات درجه دوم هستند.

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دو حتی در دوران باستان، ناشی از نیاز به حل مشکلات مربوط به یافتن مساحت زمین ها و انجام عملیات حفاری با ماهیت نظامی بوده است. مانند توسعه خود نجوم و ریاضیات.

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها. با وجود سطح بالاتوسعه جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های عمومیحل معادلات درجه دوم

ریاضیدانان بابلی از حدود قرن چهارم قبل از میلاد. از روش متمم مربع برای حل معادلات با ریشه مثبت استفاده کرد. حدود 300 ق.م اقلیدس روش حل هندسی کلی تری ارائه کرد. اولین ریاضیدانی که راه حل معادلات با ریشه های منفی را در قالب فرمول جبری یافت، دانشمند هندی بود. براهماگوپتا(هند، قرن هفتم میلادی).

براهماگوپتا یک قاعده کلی برای حل معادلات درجه دوم که به یک شکل متعارف منفرد کاهش یافته است، ارائه کرد:

ax2 + bx = c، a>0

ضرایب در این معادله نیز می تواند منفی باشد. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

مسابقات عمومی برای حل مسائل دشوار در هند رایج بود. یکی از کتاب های قدیمی هندی در مورد چنین مسابقاتی چنین می گوید: «همانطور که خورشید با درخشندگی خود ستاره ها را می گیرد، بنابراین انسان آموختهبا طرح و حل مسائل جبری شکوه خود را در مجامع عمومی تحت الشعاع قرار خواهد داد. مشکلات غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

در یک رساله جبری خوارزمیطبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم داده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع برابر با ریشه است"، یعنی ax2 = bx.

2) "مربع ها مساوی اعداد هستند" یعنی ax2 = c.

3) "ریشه ها برابر با عدد هستند" یعنی ax2 = c.

4) "مربع و اعداد برابر با ریشه هستند" یعنی ax2 + c = bx.

5) "مربع و ریشه برابر با عدد هستند" یعنی ax2 + bx = c.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی bx + c == ax2.

برای خوارزمی که از استفاده از اعداد منفی پرهیز کرده است، عبارات هر یک از این معادلات جمع هستند و نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المکبل ارائه می کند. البته تصمیم او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً در حل یک معادله درجه دوم ناقص از نوع اول، الخوارزمی مانند همه ریاضیدانان تا قرن هفدهم، جواب صفر را در نظر نمی گیرد. احتمالاً به این دلیل که به طور خاص مشکلات عملیمهم نیست خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قواعد حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی آنها را تعیین می کند.

اشکال برای حل معادلات درجه دوم به پیروی از مدل خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 نوشته شده است، ارائه شد. ریاضیدان ایتالیایی لئونارد فیبوناچی. نویسنده به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد.

این کتاب به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از این کتاب تقریباً در تمام کتاب های درسی اروپای قرن 14-17 مورد استفاده قرار گرفت. قانون کلیحل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد x2 + bх = с برای همه ترکیبات ممکن از علائم و ضرایب b, c در اروپا در سال 1544 فرموله شد. ام. استیفل.

اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Viète در دسترس است، اما Viète فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلیاز جمله اولین ها در قرن شانزدهم. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. با تشکر از زحمات ژیرار، دکارت، نیوتنو سایر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم شکل مدرن به خود می گیرد.

بیایید به چندین روش برای حل معادلات درجه دوم نگاه کنیم.

روش های استاندارد برای حل معادلات درجه دوم از برنامه آموزشی مدرسه:

1. فاکتورگیری سمت چپ معادله.
2. روش انتخاب مربع کامل
3. حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول
4. راه حل گرافیکیمعادله درجه دوم.
5. حل معادلات با استفاده از قضیه ویتا.

اجازه دهید با جزئیات بیشتر در مورد حل معادلات درجه دوم کاهش یافته و کاهش نیافته با استفاده از قضیه ویتا صحبت کنیم.

به یاد بیاورید که برای حل معادلات درجه دوم بالا، کافی است دو عدد را پیدا کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد و مجموع آنها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است.

مثال.ایکس 2 -5x+6=0

شما باید اعدادی را پیدا کنید که حاصلضرب آنها 6 و مجموع آنها 5 باشد. این اعداد 3 و 2 خواهند بود.

پاسخ: x 1 = 2، x 2 =3.

اما می توانید از این روش برای معادلاتی که ضریب اول آن ها برابر با یک نیست نیز استفاده کنید.

مثال.3 برابر 2 +2x-5=0

ضریب اول را بگیرید و آن را در جمله آزاد ضرب کنید: x 2 +2x-15=0

ریشه های این معادله اعدادی خواهند بود که حاصلضرب آنها برابر با - 15 و حاصل جمع آنها برابر با - 2 است. این اعداد 5 و 3 هستند. برای یافتن ریشه های معادله اصلی، ریشه های حاصل را بر ضریب اول تقسیم کنید.

پاسخ: x 1 =-5/3، x 2 =1

6. حل معادلات به روش «پرتاب».

معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 را در نظر بگیرید که a≠0.

با ضرب هر دو طرف در a، معادله a 2 x 2 + abx + ac = 0 را به دست می آوریم.

اجازه دهید ax = y، از آنجا x = y/a; سپس به معادله y 2 + by + ac = 0 می رسیم که معادل معادله داده شده است. ما ریشه های آن را برای 1 و 2 با استفاده از قضیه Vieta پیدا می کنیم.

در نهایت x 1 = y 1 /a و x 2 = y 2 /a بدست می آوریم.

با این روش، ضریب a در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن «پرتاب» می شود، به همین دلیل به آن روش «پرتاب» می گویند. این روش زمانی استفاده می‌شود که ریشه‌های معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.

مثال.2 برابر 2 - 11x + 15 = 0.

بیایید ضریب 2 را به جمله آزاد "پرتاب" کنیم و یک جایگزین انجام دهیم و معادله y 2 - 11y + 30 = 0 را بدست آوریم.

طبق قضیه معکوس ویتا

y 1 = 5، x 1 = 5/2، x 1 = 2.5؛ y ​​2 = 6، x 2 = 6/2، x 2 = 3.

پاسخ: x 1 =2.5; ایکس 2 = 3.

7. خواص ضرایب یک معادله درجه دوم.

اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0، a ≠ 0 داده شود.

1. اگر a+ b + c = 0 (یعنی مجموع ضرایب معادله صفر باشد)، آنگاه x 1 = 1.

2. اگر a - b + c = 0، یا b = a + c، آنگاه x 1 = - 1.

مثال.345x 2 - 137x - 208 = 0.

از آنجایی که a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)، پس x 1 = 1، x 2 = -208/345.

پاسخ: x 1 =1; ایکس 2 = -208/345 .

مثال.132x 2 + 247x + 115 = 0

زیرا a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0)، سپس x 1 = - 1، x 2 = - 115/132

پاسخ: x 1 = - 1; ایکس 2 =- 115/132

خواص دیگری از ضرایب یک معادله درجه دوم وجود دارد. اما استفاده از آنها پیچیده تر است.

8. حل معادلات درجه دوم با استفاده از نوموگرام.

شکل 1. نوموگرام

این یک روش قدیمی و فراموش شده در حل معادلات درجه دوم است که در ص 83 مجموعه: Bradis V.M. جداول ریاضی چهار رقمی - م.، آموزش و پرورش، 1369.

جدول XXII. نوموگرام برای حل معادله z 2 + pz + q = 0. این نوموگرام اجازه می دهد تا بدون حل معادله درجه دوم، ریشه های معادله را از روی ضرایب آن تعیین کنیم.

مقیاس منحنی نوموگرام بر اساس فرمول (شکل 1) ساخته شده است:

باور کردن OS = p، ED = q، OE = a(همه بر حسب سانتی متر)، از شکل 1 شباهت های مثلث ها SANو CDFنسبت را می گیریم

که پس از تعویض و ساده سازی، معادله به دست می آید z 2 + pz + q = 0،و نامه zبه معنی علامت هر نقطه در مقیاس منحنی است.

برنج. 2 حل معادلات درجه دوم با استفاده از نوموگرام

مثال ها.

1) برای معادله z 2 - 9z + 8 = 0نوموگرام ریشه های z 1 = 8.0 و z 2 = 1.0 را می دهد

پاسخ: 8.0; 1.0.

2) با استفاده از نوموگرام معادله را حل می کنیم

2z 2 - 9z + 2 = 0.

ضرایب این معادله را بر 2 تقسیم کنید، معادله z 2 - 4.5z + 1 = 0 به دست می آید.

نوموگرام ریشه های z 1 = 4 و z 2 = 0.5 را می دهد.

پاسخ: 4; 0.5.

9. روش هندسی برای حل معادلات درجه دوم.

مثال.ایکس 2 + 10x = 39.

در اصل، این مشکل به صورت زیر است: "مربع و ده ریشه برابر با 39 است."

مربعی را با ضلع x در نظر بگیرید، در اضلاع آن مستطیل هایی ساخته شده است که ضلع دیگر هر یک از آنها 2.5 باشد، بنابراین مساحت هر یک 2.5x است. سپس شکل حاصل به یک مربع جدید ABCD تکمیل می شود و چهار مربع در گوشه ها اضافه می شود. مربع مساویضلع هر کدام 2.5 و مساحت 6.25 است

برنج. 3 روش گرافیکیراه حل های معادله x 2 + 10x = 39

مساحت S مربع ABCD را می توان به صورت مجموع مساحت های زیر نشان داد: مربع اصلی x 2، چهار مستطیل (4∙2.5x = 10x) و چهار مربع اضافی (6.25∙4 = 25)، یعنی. S = x 2 + 10x = 25. با جایگزینی x 2 + 10x با عدد 39، دریافت می کنیم که S = 39 + 25 = 64، به این معنی که ضلع مربع ABCD است، یعنی. قطعه AB = 8. برای ضلع x مورد نیاز مربع اصلی بدست می آوریم

10. حل معادلات با استفاده از قضیه بزوت.

قضیه بزوت. باقیمانده تقسیم چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای x - α برابر است با P(α) (یعنی مقدار P(x) در x = α).

اگر عدد α ریشه چند جمله ای P(x) باشد، این چند جمله ای بدون باقیمانده بر x-α بخش پذیر است.

مثال.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3، α: ±1،±3، α =1، 1-4+3=0. P(x) را بر (x-1) تقسیم کنید: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3)، (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1، یا x-3=0، x=3; پاسخ: x1 = 2، x2 =3.

نتیجه:توانایی حل سریع و منطقی معادلات درجه دوم به سادگی برای حل بیشتر ضروری است معادلات پیچیده، مثلا، معادلات گویا کسری، معادلات درجات بالاتر، معادلات دو درجه ای، و در دبیرستان مثلثاتی، نمایی و معادلات لگاریتمی. با مطالعه تمام روش های یافت شده برای حل معادلات درجه دوم، می توانیم به همکلاسی های خود توصیه کنیم علاوه بر روش های استاندارد، با روش انتقال (6) حل کنند و معادلات را با استفاده از خاصیت ضرایب (7) حل کنند، زیرا در دسترس تر هستند. به درک

ادبیات:

1. بردیس وی.ام. جداول ریاضی چهار رقمی - م.، آموزش و پرورش، 1369.
2. جبر پایه هشتم: کتاب درسی پایه هشتم. آموزش عمومی مؤسسات Makarychev Yu. N.، Mindyuk N. G.، Neshkov K. I.، Suvorova S. B. ed. S.A. Telyakovsky ویرایش 15، تجدید نظر شده. - م.: آموزش و پرورش، 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه کتابچه راهنمای معلمان. / اد. V.N. جوان تر. - م.: آموزش و پرورش، 1964.

سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

در اصطلاح "معادله درجه دوم"، کلمه کلیدی "معادل درجه دوم" است. این به این معنی است که معادله لزوماً باید دارای یک متغیر (همان x) مربع باشد و نباید X برای توان سوم (یا بیشتر) وجود داشته باشد.

حل بسیاری از معادلات به حل معادلات درجه دوم ختم می شود.

بیایید یاد بگیریم که تعیین کنیم که این یک معادله درجه دوم است و نه یک معادله دیگر.

مثال 1.

بیایید از مخرج خلاص شویم و هر جمله معادله را در ضرب کنیم

بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم و اصطلاحات را به ترتیب نزولی توان های X مرتب کنیم

حالا با اطمینان می توان گفت که این معادله درجه دوم است!

مثال 2.

ضلع چپ و راست را در:

این معادله با اینکه در اصل در آن بود، درجه دوم نیست!

مثال 3.

بیایید همه چیز را ضرب کنیم:

ترسناک؟ درجه چهارم و دوم ... اما اگر جایگزینی انجام دهیم می بینیم که یک معادله درجه دوم ساده داریم:

مثال 4.

به نظر می رسد وجود دارد، اما اجازه دهید نگاهی دقیق تر بیندازیم. بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

می بینید، کوچک شده است - و اکنون ساده است معادله خطی!

حال سعی کنید خودتان تعیین کنید که کدام یک از معادلات زیر درجه دوم هستند و کدام یک نیستند:

مثال ها:

پاسخ ها:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. مربع نیست؛
4. مربع نیست؛
5. مربع نیست؛
6. مربع؛
7. مربع نیست؛
8. مربع.

ریاضیدانان به طور معمول تمام معادلات درجه دوم را به انواع زیر تقسیم می کنند:

• معادلات درجه دوم را کامل کنید- معادلاتی که در آنها ضرایب و همچنین عبارت آزاد c برابر با صفر نیستند (مانند مثال). علاوه بر این، در میان معادلات درجه دوم کامل وجود دارد داده شده- اینها معادلاتی هستند که در آنها ضریب (معادله مثال یک نه تنها کامل است، بلکه کاهش می یابد!)

• معادلات درجه دوم ناقص- معادلاتی که در آنها ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

  آنها ناقص هستند زیرا برخی از عناصر را از دست داده اند. اما معادله باید همیشه x مربع باشد!!! در غیر این صورت، دیگر معادله درجه دوم نخواهد بود، بلکه معادله دیگری خواهد بود.

چرا چنین تقسیم بندی کردند؟ به نظر می رسد که یک X مربع وجود دارد، و خوب است. این تقسیم بندی با روش های حل تعیین می شود. بیایید به هر یک از آنها با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

حل معادلات درجه دوم ناقص

اول، بیایید روی حل معادلات درجه دوم ناقص تمرکز کنیم - آنها بسیار ساده تر هستند!

انواع معادلات درجه دوم ناقص وجود دارد:

1. ، در این معادله ضریب برابر است.
2. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.
3. ، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

1. من. از آنجایی که می دانیم چگونه جذر را بگیریم، بیایید از این معادله بیان کنیم

عبارت می تواند منفی یا مثبت باشد. یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا هنگام ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود، بنابراین: اگر، پس معادله هیچ جوابی ندارد.

و اگر، پس دو ریشه می گیریم. نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی این است که باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که نمی تواند کمتر باشد.

بیایید سعی کنیم چند مثال را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را حل کنید

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از سمت چپ و راست است. پس از همه، شما به یاد دارید که چگونه ریشه ها را استخراج کنید؟

پاسخ:

ریشه های دارای علامت منفی را هرگز فراموش نکنید!!!

مثال 6:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را حل کنید

اوه! مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلاتی که ریشه ندارند، ریاضیدانان نماد خاصی را ارائه کردند - (مجموعه خالی). و پاسخ را می توان اینگونه نوشت:

پاسخ:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد، زیرا ما ریشه را استخراج نکردیم.
مثال 8:

معادله را حل کنید

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

بدین ترتیب،

این معادله دو ریشه دارد.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات درجه دوم ناقص (اگرچه همه آنها ساده هستند، درست است؟). بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

در اینجا از ذکر مثال صرف نظر می کنیم.

حل معادلات درجه دوم کامل

یادآوری می کنیم که یک معادله درجه دوم کامل معادله ای از معادله فرم است که در آن

حل معادلات درجه دوم کمی دشوارتر از اینها (فقط کمی) است.

یاد آوردن، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

روش‌های دیگر به شما کمک می‌کنند این کار را سریع‌تر انجام دهید، اما اگر با معادلات درجه دوم مشکل دارید، ابتدا با استفاده از تفکیک کننده به حل مسلط شوید.

1. حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز.

حل معادلات درجه دوم با استفاده از این روش بسیار ساده است؛ نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید.

اگر، پس معادله ریشه دارد، باید به مرحله توجه ویژه ای داشته باشید. متمایز () تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، فرمول موجود در مرحله به کاهش می یابد. بنابراین، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت.
• اگر، پس نمی‌توانیم ریشه ممیز را در مرحله استخراج کنیم. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلات خود برگردیم و به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 9:

معادله را حل کنید

مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله دو ریشه دارد.

مرحله 3.

پاسخ:

مثال 10:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

این بدان معنی است که ما نمی توانیم ریشه تمایز را استخراج کنیم. هیچ ریشه ای از معادله وجود ندارد.

اکنون می دانیم که چگونه چنین پاسخ هایی را به درستی یادداشت کنیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا.

اگر به خاطر داشته باشید، یک نوع معادله وجود دارد که به آن کاهش می گویند (زمانی که ضریب a برابر باشد):

حل چنین معادلاتی با استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است:

مجموع ریشه ها داده شدهمعادله درجه دوم برابر است و حاصل ضرب ریشه ها برابر است.

مثال 12:

معادله را حل کنید

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا .

مجموع ریشه های معادله برابر است، یعنی. معادله اول را بدست می آوریم:

و محصول برابر است با:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را حل کنید

معادله داده شده است که به این معنی است:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله درجه دوم چیست؟

به عبارت دیگر، یک معادله درجه دوم معادله ای از شکل است که در آن - مجهول، - برخی اعداد، و.

عدد بالاترین یا نامیده می شود ضریب اولمعادله درجه دوم، - ضریب دوم، آ - عضو رایگان.

چرا؟ زیرا اگر معادله بلافاصله خطی شود، زیرا ناپدید خواهد شد.

در این مورد، و می تواند برابر با صفر باشد. در این صندلی معادله ناقص نامیده می شود. اگر همه عبارت ها سر جای خود باشند، یعنی معادله کامل است.

راه حل برای انواع مختلف معادلات درجه دوم

روش های حل معادلات درجه دوم ناقص:

ابتدا، بیایید به روش هایی برای حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کنیم - آنها ساده تر هستند.

ما می توانیم انواع معادلات زیر را تشخیص دهیم:

I.، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

II. ، در این معادله ضریب برابر است.

III. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.

حال بیایید راه حل هر یک از این زیرگروه ها را بررسی کنیم.

بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا وقتی دو عدد منفی یا دو عدد مثبت را ضرب کنید، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود. از همین رو:

اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.

اگر دو ریشه داشته باشیم

نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که نمی تواند کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

هرگز ریشه های دارای علامت منفی را فراموش نکنید!

مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه

برای اینکه به طور خلاصه بنویسیم که یک مشکل راه حلی ندارد، از نماد مجموعه خالی استفاده می کنیم.

پاسخ:

بنابراین، این معادله دو ریشه دارد: و.

پاسخ:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. این به این معنی است که معادله یک راه حل دارد که:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد: و.

مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

بیایید سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم و ریشه ها را پیدا کنیم:

پاسخ:

روش های حل معادلات درجه دوم:

1. ممیز

حل معادلات درجه دوم از این طریق آسان است، نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید. به یاد داشته باشید، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

آیا متوجه ریشه از متمایز کننده در فرمول ریشه ها شده اید؟ اما تمایز می تواند منفی باشد. چه باید کرد؟ ما باید به مرحله 2 توجه ویژه ای داشته باشیم. تفکیک کننده تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، پس معادله دارای ریشه است:
• اگر، پس معادله دارای ریشه های یکسان و در واقع یک ریشه است:

  به این گونه ریشه ها، ریشه دوتایی می گویند.

• اگر، پس ریشه ممیز استخراج نمی شود. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

چرا تعداد ریشه های مختلف ممکن است؟ بیایید به حس هندسیمعادله درجه دوم. نمودار تابع یک سهمی است:

در یک حالت خاص که یک معادله درجه دوم است، . این بدان معنی است که ریشه های یک معادله درجه دوم، نقاط تقاطع با محور آبسیسا (محور) هستند. یک سهمی ممکن است اصلاً محور را قطع نکند، یا ممکن است آن را در یک (زمانی که راس سهمی روی محور قرار دارد) یا دو نقطه قطع کند.

علاوه بر این، ضریب مسئول جهت شاخه های سهمی است. اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا و اگر به سمت پایین هدایت می شوند.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ: .

پاسخ:

این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: .

2. قضیه ویتا

استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است: فقط باید یک جفت اعدادی را انتخاب کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد معادله باشد و مجموع آن برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته شده است.

مهم است که به یاد داشته باشید که قضیه ویتا را فقط می توان در آن اعمال کرد معادلات درجه دوم کاهش یافته ().

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال شماره 1:

معادله را حل کنید.

راه حل:

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا . سایر ضرایب: ; .

مجموع ریشه های معادله برابر است با:

و محصول برابر است با:

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است و بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین، و ریشه های معادله ما هستند.

پاسخ: ؛ .

مثال شماره 2:

راه حل:

بیایید جفت‌هایی از اعداد را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند، و سپس بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

و: در مجموع می دهند.

و: در مجموع می دهند. برای به دست آوردن، کافی است به سادگی علائم ریشه های فرضی را تغییر دهید: و در نهایت، محصول.

پاسخ:

مثال شماره 3:

راه حل:

جمله آزاد معادله منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها یک عدد منفی است. این تنها در صورتی امکان پذیر است که یکی از ریشه ها منفی و دیگری مثبت باشد. بنابراین مجموع ریشه ها برابر است با تفاوت ماژول های آنها.

اجازه دهید جفت‌هایی از اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند و تفاوت آنها برابر است با:

و: تفاوت آنها برابر است - مناسب نیست;

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب. تنها چیزی که باقی می ماند این است که به یاد داشته باشید که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجایی که مجموع آنها باید برابر باشد، ریشه با مدول کوچکتر باید منفی باشد: . بررسی می کنیم:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

عبارت آزاد منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه معادله منفی و دیگری مثبت باشد.

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است، و سپس تعیین کنیم که کدام ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است که فقط ریشه ها و برای شرایط اول مناسب هستند:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

مجموع ریشه ها منفی است، به این معنی که، با توجه به حداقل، یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجایی که محصول آنها مثبت است، به این معنی است که هر دو ریشه یک علامت منفی دارند.

اجازه دهید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر با:

بدیهی است که ریشه ها اعداد و.

پاسخ:

موافقم، به جای شمردن این تمایز ناخوشایند، خیلی راحت است که به صورت شفاهی به ریشه ها بپردازیم. سعی کنید تا حد امکان از قضیه ویتا استفاده کنید.

اما قضیه ویتا برای تسهیل و تسریع یافتن ریشه ها مورد نیاز است. برای اینکه بتوانید از استفاده از آن بهره مند شوید، باید اقدامات را به صورت خودکار انجام دهید. و برای این، پنج مثال دیگر را حل کنید. اما تقلب نکنید: شما نمی توانید از تمایز استفاده کنید! فقط قضیه ویتا:

راه حل های وظایف برای کار مستقل:

کار 1. ((x)^(2))-8x+12=0

طبق قضیه ویتا:

طبق معمول، انتخاب را با این قطعه شروع می کنیم:

مناسب نیست زیرا مقدار;

: مقدار آن چیزی است که شما نیاز دارید.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 2.

و دوباره قضیه مورد علاقه ما Vieta: مجموع باید برابر باشد، و حاصلضرب باید برابر باشد.

اما چون نباید باشد، اما، نشانه های ریشه ها را تغییر می دهیم: و (در مجموع).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 3.

هوم... اون کجاست؟

شما باید تمام اصطلاحات را به یک قسمت منتقل کنید:

مجموع ریشه ها برابر است با حاصل ضرب.

باشه بس کن معادله داده نشده است. اما قضیه ویتا فقط در معادلات داده شده قابل اجرا است. بنابراین ابتدا باید یک معادله ارائه دهید. اگر نمی توانید رهبری کنید، این ایده را رها کنید و آن را به روش دیگری حل کنید (مثلاً از طریق یک ممیز). اجازه دهید به شما یادآوری کنم که برای دادن یک معادله درجه دوم به معنای برابر کردن ضریب پیشرو است:

عالی. سپس مجموع ریشه ها برابر و حاصلضرب می شود.

در اینجا انتخاب کردن به آسانی گلابی پوست کنده است: به هر حال، این یک عدد اول است (با عرض پوزش برای توتولوژی).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 4.

عضو رایگان منفی است. این چه ویژگی خاصی دارد؟ و واقعیت این است که ریشه ها نشانه های متفاوتی خواهند داشت. و اکنون، در حین انتخاب، ما نه مجموع ریشه ها، بلکه تفاوت ماژول های آنها را بررسی می کنیم: این تفاوت برابر است، اما یک محصول.

بنابراین، ریشه ها برابر هستند با و، اما یکی از آنها منهای است. قضیه ویتا به ما می گوید که مجموع ریشه ها برابر است با ضریب دوم با علامت مخالف، یعنی. این به این معنی است که ریشه کوچکتر یک منفی خواهد داشت: and, since.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 5.

اول باید چی کار کنید؟ درست است، معادله را ارائه دهید:

باز هم: فاکتورهای عدد را انتخاب می کنیم و اختلاف آنها باید برابر باشد:

ریشه ها برابر هستند و اما یکی از آنها منهای است. کدام؟ مجموع آنها باید برابر باشد، به این معنی که منهای یک ریشه بزرگتر خواهد داشت.

پاسخ: ؛ .

بگذارید خلاصه کنم:

1. قضیه ویتا فقط در معادلات درجه دوم داده شده استفاده می شود.
2. با استفاده از قضیه ویتا، می توانید ریشه ها را با انتخاب، به صورت شفاهی پیدا کنید.
3. اگر معادله داده نشود یا هیچ جفت عامل مناسبی از جمله آزاد پیدا نشود، هیچ ریشه کاملی وجود ندارد و باید آن را به روش دیگری (مثلاً از طریق ممیز) حل کنید.

3. روش انتخاب مربع کامل

اگر همه عبارت‌های حاوی مجهول به صورت عبارت از فرمول‌های ضرب اختصاری - مجذور مجموع یا تفاوت - نشان داده شوند، پس از جایگزینی متغیرها، می‌توان معادله را در قالب یک معادله درجه دوم ناقص از نوع ارائه کرد.

مثلا:

مثال 1:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

به طور کلی، تبدیل به این صورت خواهد بود:

این دلالت می کنه که: .

شما را به یاد چیزی نمی اندازد؟ این یک چیز تبعیض آمیز است! این دقیقاً چگونه است که ما فرمول تشخیص را دریافت کردیم.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

معادله درجه دوم- این یک معادله شکل است، جایی که - مجهول، - ضرایب معادله درجه دوم، - عبارت آزاد.

معادله درجه دوم کامل- معادله ای که در آن ضرایب برابر با صفر نیستند.

معادله درجه دوم کاهش یافته است- معادله ای که در آن ضریب، یعنی: .

معادله درجه دوم ناقص- معادله ای که در آن ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

• اگر ضریب باشد، معادله به نظر می رسد:
• اگر یک جمله آزاد وجود داشته باشد، معادله به شکل زیر است:
• اگر و، معادله به نظر می رسد: .

1. الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص

1.1. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) مجهول را بیان کنیم:

2) علامت عبارت را بررسی کنید:

• اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد،
• اگر، پس معادله دو ریشه دارد.

1.2. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) عامل مشترک را از پرانتز خارج می کنیم:

2) اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. بنابراین، معادله دو ریشه دارد:

1.3. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن:

این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد: .

2. الگوریتم حل معادلات درجه دوم کامل فرم Where

2.1. راه حل با استفاده از تشخیص

1) بیایید معادله را به شکل استاندارد برسانیم:

2) بیایید تفکیک کننده را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: که تعداد ریشه های معادله را نشان می دهد:

3) ریشه های معادله را پیدا کنید:

• اگر، پس معادله دارای ریشه هایی است که با فرمول پیدا می شوند:
• اگر، پس معادله یک ریشه دارد که با فرمول پیدا می شود:
• اگر، پس معادله ریشه ندارد.

2.2. حل با استفاده از قضیه Vieta

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته (معادله شکل که در آن) برابر است، و حاصل ضرب ریشه ها برابر است، یعنی. ، آ.

2.3. حل با روش انتخاب مربع کامل

اگر معادله درجه دوم فرم دارای ریشه باشد، می توان آن را به شکل زیر نوشت:

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای اتمام موفقیت آمیزآزمون یکپارچه دولتی، برای پذیرش در کالج با بودجه و از همه مهمتر، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل، تجزیه و تحلیل دقیق و تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید - 299 روبل.
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - 499 روبل.

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

در میان کل برنامه درسی جبر مدرسه، یکی از گسترده ترین مباحث، مبحث معادلات درجه دوم است. در این مورد، یک معادله درجه دوم به عنوان معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 درک می شود، که در آن a ≠ 0 (بخوانید: ضرب در x مجذور به علاوه x به علاوه ce برابر با صفر است، جایی که a نیست. برابر با صفر). در این حالت، مکان اصلی را فرمول هایی برای یافتن ممیز یک معادله درجه دوم اشغال می کنند. نوع مشخص شده، که به عنوان عبارتی درک می شود که به شما امکان می دهد وجود یا عدم وجود ریشه ها را در یک معادله درجه دوم و همچنین تعداد آنها (در صورت وجود) را تعیین کنید.

فرمول (معادله) ممیز یک معادله درجه دوم

فرمول عمومی پذیرفته شده برای تشخیص معادله درجه دوم به شرح زیر است: D = b 2 – 4ac. با محاسبه ممیز با استفاده از فرمول مشخص شده، نه تنها می توانید حضور و تعداد ریشه های یک معادله درجه دوم را تعیین کنید، بلکه روشی را نیز برای یافتن این ریشه ها انتخاب کنید که بسته به نوع معادله درجه دوم، چندین روش وجود دارد.

اگر ممیز صفر باشد به چه معناست \ فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم اگر ممیز صفر باشد؟

متمایز کننده، به شرح زیر از فرمول، نشان داده شده است حرف لاتیند) در موردی که ممیز برابر با صفر است، باید نتیجه گرفت که معادله درجه دوم به شکل ax 2 + bx + c = 0 که a ≠ 0، فقط یک ریشه دارد که با استفاده از فرمول ساده شده محاسبه می شود. . این فرمول فقط زمانی اعمال می شود که ممیز صفر باشد و به این صورت است: x = –b/2a، که در آن x ریشه معادله درجه دوم است، b و a متغیرهای متناظر معادله درجه دوم هستند. برای پیدا کردن ریشه یک معادله درجه دوم نیاز دارید معنی منفیمتغیر b تقسیم بر دو برابر مقدار متغیر a. عبارت به دست آمده جواب یک معادله درجه دوم خواهد بود.

حل معادله درجه دوم با استفاده از ممیز

اگر هنگام محاسبه ممیز با استفاده از فرمول فوق معلوم شود ارزش مثبت(D بزرگتر از صفر است)، سپس معادله درجه دوم دارای دو ریشه است که با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود: x 1 = (–b + vD)/2a، x 2 = (–b – vD)/2a. بیشتر اوقات، متمایز به طور جداگانه محاسبه نمی شود، اما بیان رادیکال در قالب یک فرمول متمایز به سادگی به مقدار D که ریشه از آن استخراج می شود، جایگزین می شود. اگر متغیر b دارای مقدار زوج باشد، برای محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم به شکل ax 2 + bx + c = 0، که در آن a ≠ 0، می توانید از فرمول های زیر نیز استفاده کنید: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a، x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a، که k = b/2.

در برخی موارد، برای حل عملی معادلات درجه دوم، می توانید از قضیه ویتا استفاده کنید، که بیان می کند برای مجموع ریشه های یک معادله درجه دوم به شکل x 2 + px + q = 0 مقدار x 1 + x 2 = –p است. درست خواهد بود، و برای حاصل ضرب ریشه های معادله مشخص شده - عبارت x 1 x x 2 = q.

آیا ممیز می تواند کمتر از صفر باشد؟

هنگام محاسبه مقدار متمایز، ممکن است با وضعیتی روبرو شوید که تحت هیچ یک از موارد توصیف شده قرار نمی گیرد - زمانی که ممیز دارای مقدار منفی (یعنی کمتر از صفر) باشد. در این مورد، به طور کلی پذیرفته شده است که یک معادله درجه دوم به شکل ax 2 + bx + c = 0، که در آن a ≠ 0، ریشه واقعی ندارد، بنابراین، حل آن به محاسبه ممیز و فرمول های بالا محدود می شود. برای ریشه های یک معادله درجه دوم در این مورد وجود خواهد داشت. در همان زمان در پاسخ معادله درجه دوم نوشته شده است که «معادله ریشه واقعی ندارد».

ویدئوی توضیحی: