حل از طریق ممیز اگر برابر با 0 باشد. ریشه های معادله درجه دوم

ما به مطالعه موضوع ادامه می دهیم حل معادلات". قبلا با معادلات خطی آشنا شدیم و اکنون قصد داریم با آن آشنا شویم معادلات درجه دوم.

ابتدا، ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که یک معادله درجه دوم چیست، چگونه در آن نوشته شده است نمای کلی، و تعاریف مرتبط را ارائه دهید. پس از آن، با استفاده از مثال ها، نحوه حل معادلات درجه دوم ناقص را به تفصیل تحلیل خواهیم کرد. در مرحله بعد، به حل معادلات کامل می رویم، فرمول ریشه ها را بدست می آوریم، با ممیز یک معادله درجه دوم آشنا می شویم و راه حل هایی را برای مثال های معمولی در نظر می گیریم. در نهایت، ما ارتباط بین ریشه ها و ضرایب را دنبال می کنیم.

پیمایش صفحه.

معادله درجه دوم چیست؟ انواع آنها

ابتدا باید به وضوح درک کنید که معادله درجه دوم چیست. بنابراین منطقی است که صحبت از معادلات درجه دوم را با تعریف معادله درجه دوم و همچنین تعاریف مرتبط با آن آغاز کنیم. پس از آن می توانید انواع اصلی را در نظر بگیرید معادلات درجه دوم: معادلات کاهش یافته و غیر تقلیل یافته و همچنین معادلات کامل و ناقص.

تعریف و مثال هایی از معادلات درجه دوم

تعریف.

معادله درجه دوممعادله ای از فرم است a x 2 +b x+c=0، جایی که x یک متغیر است، a، b و c برخی از اعداد هستند و a با صفر متفاوت است.

بیایید بلافاصله بگوییم که معادلات درجه دوم اغلب معادلات درجه دوم نامیده می شوند. این به این دلیل است که معادله درجه دوم است معادله جبری درجه دوم

تعریف صدا به ما اجازه می دهد تا مثال هایی از معادلات درجه دوم بیاوریم. بنابراین 2 x 2 +6 x+1=0، 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0، و غیره. معادلات درجه دوم هستند

تعریف.

شماره a، b و c نامیده می شوند ضرایب معادله درجه دوم a x 2 +b x + c=0 و ضریب a اولین یا ارشد یا ضریب در x 2 نامیده می شود، b ضریب دوم یا ضریب x و c عضو آزاد است.

برای مثال، بیایید یک معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x−3=0 در نظر بگیریم، در اینجا ضریب پیشرو 5، ضریب دوم −2 و جمله آزاد −3 است. توجه داشته باشید که وقتی ضرایب b و/یا c مانند مثالی که ارائه شد، منفی هستند، پس شکل مختصرنوشتن یک معادله درجه دوم به شکل 5 x 2 −2 x−3=0 و نه 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0.

شایان ذکر است که وقتی ضرایب a و / یا b برابر با 1 یا -1 هستند ، معمولاً به صراحت در نماد معادله درجه دوم وجود ندارند ، که به دلیل ویژگی های نمادگذاری چنین است. به عنوان مثال، در معادله درجه دوم y 2 −y+3=0، ضریب پیشرو یک و ضریب در y −1 است.

معادلات درجه دوم کاهش یافته و غیر کاهش یافته

بسته به مقدار ضریب پیشرو، معادلات درجه دوم کاهش یافته و غیر کاهش یافته متمایز می شوند. اجازه دهید تعاریف مربوطه را ارائه دهیم.

تعریف.

معادله درجه دومی که در آن ضریب پیشرو 1 است نامیده می شود معادله درجه دوم کاهش یافته. در غیر این صورت، معادله درجه دوم است کاهش نیافته.

مطابق با این تعریف، معادلات درجه دوم x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 و غیره. - کاهش می یابد، در هر یک از آنها ضریب اول برابر با یک است. و 5 x 2 −x−1=0 و غیره. - معادلات درجه دوم کاهش نیافته، ضرایب پیشرو آنها با 1 متفاوت است.

از هر معادله درجه دوم غیر کاهشی، با تقسیم هر دو قسمت آن بر ضریب پیشرو، می توانید به سمت کاهش یافته بروید. این عمل یک تبدیل معادل است، یعنی معادله درجه دوم کاهش یافته به دست آمده از این طریق دارای ریشه های معادل معادله درجه دوم غیر کاهش یافته اصلی است یا مانند آن ریشه ندارد.

بیایید مثالی از نحوه انتقال از یک معادله درجه دوم کاهش‌یافته به یک معادله کاهش‌یافته را مثال بزنیم.

مثال.

از معادله 3 x 2 +12 x−7=0، به معادله درجه دوم کاهش یافته مربوطه بروید.

راه حل.

کافی است تقسیم هر دو قسمت معادله اصلی را بر ضریب پیشرو 3 انجام دهیم، غیر صفر است، بنابراین می توانیم این عمل را انجام دهیم. داریم (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 که همان (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 و به همین ترتیب (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0، از آنجا . بنابراین معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست آوردیم که معادل معادله اصلی است.

پاسخ:

معادلات درجه دوم کامل و ناقص

در تعریف معادله درجه دوم شرط a≠0 وجود دارد. این شرط برای اینکه معادله a x 2 +b x+c=0 دقیقاً مربع باشد ضروری است، زیرا با a=0 در واقع به یک معادله خطی به شکل b x+c=0 تبدیل می شود.

در مورد ضرایب b و c هم به صورت جداگانه و هم با هم می توانند برابر با صفر باشند. در این موارد معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود.

تعریف.

معادله درجه دوم a x 2 +b x+c=0 نامیده می شود ناقص، اگر حداقل یکی از ضرایب b ، c برابر با صفر باشد.

در نوبتش

تعریف.

معادله درجه دوم کاملمعادله ای است که در آن همه ضرایب با صفر متفاوت هستند.

این نام ها تصادفی نیست. این از بحث بعدی روشن خواهد شد.

اگر ضریب b برابر با صفر باشد، معادله درجه دوم به شکل a x 2 + 0 x+c=0 است و معادل معادله a x 2 +c=0 است. اگر c=0، یعنی معادله درجه دوم به شکل a x 2 +b x+0=0 باشد، می توان آن را به صورت x 2 +b x=0 بازنویسی کرد. و با b=0 و c=0 معادله درجه دوم a·x 2 =0 را بدست می آوریم. معادلات به دست آمده با معادله درجه دوم کامل تفاوت دارند زیرا در سمت چپ آنها عبارتی با متغیر x یا عبارت آزاد یا هر دو وجود ندارد. از این رو نام آنها - معادلات درجه دوم ناقص است.

بنابراین معادلات x 2 +x+1=0 و −2 x 2 −5 x+0,2=0 نمونه‌هایی از معادلات درجه دوم هستند و x 2 = 0، −2 x 2 = 0، 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 معادلات درجه دوم ناقص هستند.

حل معادلات درجه دوم ناقص

از اطلاعات پاراگراف قبل چنین بر می آید که وجود دارد سه نوع معادله درجه دوم ناقص:

• a x 2 = 0، ضرایب b=0 و c=0 با آن مطابقت دارد.
• a x 2 +c=0 وقتی b=0 ;
• و x 2 +b x=0 وقتی c=0 .

اجازه دهید به ترتیب تجزیه و تحلیل کنیم که چگونه معادلات درجه دوم ناقص هر یک از این انواع حل می شوند.

a x 2 \u003d 0

بیایید با حل معادلات درجه دوم ناقص شروع کنیم که در آنها ضرایب b و c برابر با صفر هستند، یعنی با معادلاتی به شکل a x 2 = 0. معادله a·x 2 = 0 معادل معادله x 2 = 0 است که با تقسیم هر دو قسمت آن بر یک عدد غیر صفر a از معادله اصلی به دست می آید. بدیهی است که ریشه معادله x 2 \u003d 0 صفر است زیرا 0 2 \u003d 0 است. این معادله هیچ ریشه دیگری ندارد، که توضیح داده شده است، در واقع، برای هر عدد غیر صفر p، نابرابری p 2 > 0 رخ می دهد، که نشان می دهد که برای p≠0، تساوی p 2 = 0 هرگز به دست نمی آید.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a x 2 \u003d 0 دارای یک ریشه واحد x \u003d 0 است.

به عنوان مثال، حل یک معادله درجه دوم ناقص −4·x 2 =0 را می‌دهیم. معادل معادله x 2 \u003d 0 است، تنها ریشه آن x \u003d 0 است، بنابراین، معادله اصلی دارای یک ریشه واحد صفر است.

یک راه حل کوتاه در این مورد می تواند به شرح زیر صادر شود:
−4 x 2 \u003d 0،
x 2 \u003d 0،
x=0.

a x 2 + c=0

حال در نظر بگیرید که چگونه معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند که ضریب b برابر با صفر و c≠0 یعنی معادلات به شکل a x 2 +c=0 است. می دانیم که انتقال یک جمله از یک طرف معادله به طرف دیگر با علامت مخالف و همچنین تقسیم دو طرف معادله بر یک عدد غیر صفر، معادله ای معادل به دست می دهد. بنابراین، تبدیل‌های معادل زیر معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 را می‌توان انجام داد:

• انتقال c به سمت راست، که معادله x 2 =−c را به دست می دهد،
• و هر دو قسمت آن را بر a تقسیم کنیم، بدست می آوریم.

معادله به دست آمده به ما امکان می دهد در مورد ریشه های آن نتیجه گیری کنیم. بسته به مقادیر a و c، مقدار عبارت می تواند منفی (به عنوان مثال، اگر a=1 و c=2، سپس ) یا مثبت باشد، (به عنوان مثال، اگر a=−2 و c=6 باشد. , سپس ) برابر با صفر نیست زیرا با شرط c≠0 . موارد و موارد را جداگانه تحلیل خواهیم کرد.

اگر، پس معادله ریشه ندارد. این عبارت از این واقعیت ناشی می شود که مربع هر عدد یک عدد غیر منفی است. از این نتیجه می شود که وقتی , پس برای هر عدد p برابری نمی تواند صادق باشد.

اگر، پس وضعیت با ریشه های معادله متفاوت است. در این مورد، اگر به یاد بیاوریم، ریشه معادله بلافاصله آشکار می شود، این عدد است، زیرا. به راحتی می توان حدس زد که عدد نیز ریشه معادله است، در واقع، . این معادله ریشه دیگری ندارد که مثلاً با تناقض نشان داده شود. بیایید آن را انجام دهیم.

بیایید ریشه های معادله را به صورت x 1 و −x1 نشان دهیم. فرض کنید که معادله یک ریشه دیگر x 2 متفاوت از ریشه های نشان داده شده x 1 و −x 1 دارد. مشخص است که جایگزینی معادله به جای x از ریشه های آن، معادله را به یک برابری عددی واقعی تبدیل می کند. برای x 1 و −x 1 داریم و برای x 2 داریم. ویژگی‌های تساوی‌های عددی به ما این امکان را می‌دهند که تفریق ترم به ترم برابری‌های عددی واقعی را انجام دهیم، بنابراین با تفریق بخش‌های مربوطه برابری‌ها x 1 2 − x 2 2 = 0 به دست می‌آید. ویژگی‌های عملیات با اعداد به ما اجازه می‌دهد تساوی حاصل را به صورت (x 1 - x 2)·(x 1 + x 2)=0 بازنویسی کنیم. می دانیم که حاصل ضرب دو عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر حداقل یکی از آنها برابر با صفر باشد. بنابراین، از تساوی به‌دست‌آمده چنین برمی‌آید که x 1 −x 2 = 0 و/یا x 1 +x 2 =0، که یکسان است، x 2 =x 1 و/یا x 2 = −x 1. بنابراین ما به یک تناقض رسیدیم، زیرا در ابتدا گفتیم که ریشه معادله x 2 با x 1 و −x 1 متفاوت است. این ثابت می کند که معادله هیچ ریشه دیگری جز و ندارد.

بیایید اطلاعات این پاراگراف را خلاصه کنیم. معادله درجه دوم ناقص a x 2 +c=0 معادل معادله ای است که

• ریشه ندارد اگر،
• دو ریشه دارد و اگر .

مثال هایی از حل معادلات درجه دوم ناقص به شکل a·x 2 +c=0 را در نظر بگیرید.

بیایید با معادله درجه دوم 9 x 2 +7=0 شروع کنیم. پس از انتقال عبارت آزاد به سمت راست معادله، به شکل 9·x 2 =−7 خواهد بود. با تقسیم دو طرف معادله به دست آمده بر 9 ، به . از آنجایی که یک عدد منفی در سمت راست به دست می آید، این معادله ریشه ندارد، بنابراین معادله درجه دوم ناقص اولیه 9 x 2 +7=0 ریشه ندارد.

بیایید یک معادله درجه دوم ناقص دیگر را حل کنیم -x 2 +9=0. ما نه را به سمت راست منتقل می کنیم: -x 2 \u003d -9. حالا هر دو قسمت را بر 1- تقسیم می کنیم، x 2 =9 به دست می آید. سمت راست شامل یک عدد مثبت است که از آن نتیجه می گیریم که یا . بعد از اینکه جواب نهایی را یادداشت کردیم: معادله درجه دوم ناقص −x 2 +9=0 دو ریشه x=3 یا x=−3 دارد.

a x 2 +b x=0

باقی مانده است که به حل آخرین نوع معادلات درجه دوم ناقص برای c=0 بپردازیم. معادلات درجه دوم ناقص شکل a x 2 +b x=0 به شما امکان می دهد حل کنید روش فاکتورسازی. بدیهی است که می‌توانیم در سمت چپ معادله قرار داشته باشیم که برای آن کافی است ضریب مشترک x را از پرانتز خارج کنیم. این به ما امکان می دهد از معادله درجه دوم ناقص اصلی به یک معادله معادل به شکل x·(a·x+b)=0 حرکت کنیم. و این معادله معادل مجموعه دو معادله x=0 و یک x+b=0 است که آخرین آنها خطی و دارای ریشه x=−b/a است.

بنابراین، معادله درجه دوم ناقص a x 2 +b x=0 دارای دو ریشه x=0 و x=−b/a است.

برای ادغام مطالب، راه حل یک مثال خاص را تجزیه و تحلیل می کنیم.

مثال.

معادله را حل کنید.

راه حل.

x را از پرانتز خارج می کنیم، این معادله را نشان می دهد. معادل دو معادله x=0 و . دریافتی را حل می کنیم معادله خطی: و تقسیم عدد مختلط بر کسر مشترک، ما پیدا می کنیم . بنابراین، ریشه های معادله اصلی x=0 و .

پس از تمرين لازم مي توان جواب اين گونه معادلات را به طور خلاصه نوشت:

پاسخ:

x=0، .

متمایز، فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

برای حل معادلات درجه دوم یک فرمول ریشه وجود دارد. بیایید بنویسیم فرمول ریشه های معادله درجه دوم: ، جایی که D=b 2-4 a c- باصطلاح تمایز یک معادله درجه دوم. نماد در اصل به این معنی است که .

دانستن اینکه فرمول ریشه چگونه به دست آمده و چگونه در یافتن ریشه معادلات درجه دوم کاربرد دارد مفید است. بیایید به این موضوع بپردازیم.

استخراج فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم

اجازه دهید معادله درجه دوم a·x 2 +b·x+c=0 را حل کنیم. بیایید چند تبدیل معادل را انجام دهیم:

• می‌توانیم هر دو بخش این معادله را بر یک عدد غیر صفر a تقسیم کنیم، در نتیجه معادله درجه دوم کاهش یافته را به دست می‌آوریم.
• اکنون مربع کامل را انتخاب کنیددر سمت چپ آن: . پس از آن، معادله شکل می گیرد.
• در این مرحله می توان انتقال دو ترم آخر را به سمت راست با علامت مخالف انجام داد.
• و همچنین عبارت سمت راست را تبدیل کنیم: .

در نتیجه به معادله ای می رسیم که معادل معادله درجه دوم اصلی a·x 2 +b·x+c=0 است.

ما قبلاً معادلات مشابه در شکل را در پاراگراف های قبلی هنگام تجزیه و تحلیل حل کرده ایم. این به ما امکان می دهد تا در مورد ریشه های معادله نتایج زیر را بدست آوریم:

• اگر ، پس معادله هیچ راه حل واقعی ندارد.
• اگر، پس معادله شکلی دارد، بنابراین، که تنها ریشه آن قابل مشاهده است.
• اگر، آنگاه یا، که همان یا است، یعنی معادله دو ریشه دارد.

بنابراین، وجود یا عدم وجود ریشه های معادله، و از این رو معادله درجه دوم اصلی، به علامت عبارت در سمت راست بستگی دارد. به نوبه خود، علامت این عبارت با علامت صورت تعیین می شود، زیرا مخرج 4 a 2 همیشه مثبت است، یعنی علامت عبارت b 2 −4 a c . این عبارت b 2 −4 a c نامیده می شود تمایز یک معادله درجه دومو با حرف مشخص شده است D. از اینجا ماهیت ممیز مشخص می شود - با مقدار و علامت آن به این نتیجه می رسد که آیا معادله درجه دوم ریشه واقعی دارد و اگر چنین است تعداد آنها چند است - یک یا دو.

ما به معادله برمی گردیم، آن را با استفاده از نماد ممیز بازنویسی می کنیم: . و نتیجه می گیریم:

• اگر D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• اگر D=0 باشد، این معادله یک ریشه دارد.
• در نهایت اگر D>0 باشد، معادله دارای دو ریشه یا می باشد که می توان آن ها را به شکل یا بازنویسی کرد و پس از بسط و کاهش کسرها به مخرج مشترک، به دست می آید.

بنابراین ما فرمول‌های ریشه‌های معادله درجه دوم را استخراج کردیم، به نظر می‌رسند که در آن ممیز D با فرمول D=b 2-4 a c محاسبه می‌شود.

با کمک آنها، با یک ممیز مثبت، می توانید هر دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را محاسبه کنید. وقتی تفکیک کننده برابر با صفر باشد، هر دو فرمول مقدار ریشه یکسانی را به دست می دهند تنها راه حلمعادله درجه دوم. و با یک ممیز منفی، هنگام استفاده از فرمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم، با استخراج جذر از یک عدد منفی مواجه می شویم که ما را فراتر می برد و برنامه آموزشی مدرسه. با یک ممیز منفی، معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد، اما دارای یک جفت است مزدوج پیچیدهریشه‌ها را می‌توان با استفاده از همان فرمول‌های ریشه‌ای که ما به دست آوردیم پیدا کرد.

الگوریتم حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول ریشه

در عمل، هنگام حل یک معادله درجه دوم، می توانید بلافاصله از فرمول ریشه استفاده کنید که با آن مقادیر آنها را محاسبه کنید. اما این بیشتر در مورد یافتن ریشه های پیچیده است.

با این حال، در یک دوره جبر مدرسه، ما معمولا در مورد پیچیده نیست، بلکه در مورد ریشه های واقعی یک معادله درجه دوم صحبت می کنیم. در این مورد، توصیه می شود ابتدا قبل از استفاده از فرمول های ریشه های معادله درجه دوم، ممیز را پیدا کنید، از منفی نبودن آن اطمینان حاصل کنید (در غیر این صورت می توانیم نتیجه بگیریم که معادله ریشه واقعی ندارد) و بعد از آن مقادیر ریشه ها را محاسبه کنید.

استدلال بالا به ما اجازه نوشتن را می دهد الگوریتم حل معادله درجه دوم. برای حل معادله درجه دوم a x 2 + b x + c \u003d 0، شما نیاز دارید:

• با استفاده از فرمول متمایز D=b 2-4 a c مقدار آن را محاسبه کنید.
• نتیجه بگیرید که معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد اگر ممیز منفی باشد.
• تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید اگر D=0 ;
• اگر ممیز مثبت باشد، دو ریشه واقعی یک معادله درجه دوم را با استفاده از فرمول ریشه پیدا کنید.

در اینجا فقط توجه می کنیم که اگر ممیز برابر با صفر باشد، از فرمول نیز می توان استفاده کرد، همان مقدار را به دست می دهد.

می توانید به سراغ مثال هایی از استفاده از الگوریتم حل معادلات درجه دوم بروید.

نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم

راه حل های سه معادله درجه دوم با تفکیک مثبت، منفی و صفر را در نظر بگیرید. پس از پرداختن به حل آنها، بر اساس قیاس، حل هر معادله درجه دوم دیگری امکان پذیر خواهد بود. بیا شروع کنیم.

مثال.

ریشه های معادله x 2 +2 x−6=0 را بیابید.

راه حل.

در این حالت، ضرایب زیر را از معادله درجه دوم داریم: a=1، b=2 و c=−6. طبق الگوریتم، ابتدا باید تفکیک کننده را محاسبه کنید، برای این کار، a، b و c نشان داده شده را در فرمول تفکیک جایگزین می کنیم. D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (-6)=4+24=28. از آنجایی که 28> 0، یعنی ممیز بزرگتر از صفر است، معادله درجه دوم دو ریشه واقعی دارد. بیایید آنها را با فرمول ریشه ها پیدا کنیم، می گیریم، در اینجا می توانیم عبارات به دست آمده را با انجام دادن ساده کنیم فاکتور گرفتن علامت ریشهبه دنبال آن کاهش کسری:

پاسخ:

بیایید به مثال معمولی بعدی برویم.

مثال.

معادله درجه دوم −4 x 2 +28 x−49=0 را حل کنید.

راه حل.

ما با یافتن متمایز شروع می کنیم: D=28 2-4 (-4) (-49)=784-784=0. بنابراین، این معادله درجه دوم یک ریشه دارد که ما آن را به صورت، یعنی

پاسخ:

x=3.5

باقی مانده است که حل معادلات درجه دوم را با ممیز منفی در نظر بگیریم.

مثال.

معادله 5 y 2 +6 y+2=0 را حل کنید.

راه حل.

در اینجا ضرایب معادله درجه دوم آمده است: a=5 , b=6 و c=2 . جایگزینی این مقادیر در فرمول تفکیک کننده، داریم D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. ممیز منفی است، بنابراین، این معادله درجه دوم ریشه واقعی ندارد.

اگر نیاز به تعیین ریشه های پیچیده دارید، از فرمول شناخته شده برای ریشه های معادله درجه دوم استفاده می کنیم و اقدامات با اعداد مختلط :

پاسخ:

هیچ ریشه واقعی وجود ندارد، ریشه های پیچیده عبارتند از: .

یک بار دیگر متذکر می شویم که اگر ممیز معادله درجه دوم منفی باشد، مدرسه معمولاً بلافاصله پاسخ را یادداشت می کند که در آن نشان می دهد که ریشه واقعی وجود ندارد و ریشه های پیچیده پیدا نمی کنند.

فرمول ریشه برای ضرایب حتی دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، که در آن D=b 2-4 a c به شما امکان می دهد فرمول فشرده تری به دست آورید که به شما امکان می دهد معادلات درجه دوم را با ضریب زوج در x (یا به سادگی با ضریب 2 n حل کنید. برای مثال، یا 14 ln5=2 7 ln5). بیا بیرونش کنیم

فرض کنید باید یک معادله درجه دوم از شکل a x 2 + 2 n x + c=0 را حل کنیم. بیایید ریشه های آن را با استفاده از فرمولی که برای ما شناخته شده است پیدا کنیم. برای این کار تفکیک کننده را محاسبه می کنیم D=(2 n) 2-4 a c=4 n 2-4 a c=4 (n 2-a c)، و سپس از فرمول ریشه استفاده می کنیم:

عبارت n 2 − a c را با D 1 نشان دهید (گاهی اوقات با D" نشان داده می شود. سپس فرمول ریشه های معادله درجه دوم در نظر گرفته شده با ضریب دوم 2 n شکل می گیرد. ، که در آن D 1 = n 2 -a c .

به راحتی می توان دید که D=4·D 1 یا D 1 =D/4 . به عبارت دیگر D 1 قسمت چهارم ممیز است. واضح است که علامت D 1 همان علامت D است. یعنی علامت D 1 نیز نشانگر وجود یا عدم وجود ریشه های معادله درجه دوم است.

بنابراین، برای حل یک معادله درجه دوم با ضریب دوم 2 n، شما نیاز دارید

• محاسبه D 1 = n 2 −a·c ;
• اگر D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• اگر D 1 = 0، سپس تنها ریشه معادله را با استفاده از فرمول محاسبه کنید.
• اگر D 1 > 0 باشد، با استفاده از فرمول دو ریشه واقعی پیدا کنید.

حل مثال را با استفاده از فرمول ریشه به دست آمده در این پاراگراف در نظر بگیرید.

مثال.

معادله درجه دوم 5 x 2 −6 x−32=0 را حل کنید.

راه حل.

ضریب دوم این معادله را می توان به صورت 2·(-3) نشان داد. یعنی می توانید معادله درجه دوم اصلی را به شکل 5 x 2 +2 (-3) x−32=0، در اینجا a=5، n=−3 و c=−32 بازنویسی کنید و قسمت چهارم را محاسبه کنید. متمایز کننده: D 1 =n 2 -a c=(-3) 2-5 (-32)=9+160=169. از آنجایی که مقدار آن مثبت است، معادله دو ریشه واقعی دارد. ما آنها را با استفاده از فرمول ریشه مربوطه پیدا می کنیم:

توجه داشته باشید که استفاده از فرمول معمول برای ریشه های یک معادله درجه دوم امکان پذیر بود، اما در این صورت باید کارهای محاسباتی بیشتری انجام شود.

پاسخ:

ساده سازی شکل معادلات درجه دوم

گاهی اوقات، قبل از شروع به محاسبه ریشه های یک معادله درجه دوم با استفاده از فرمول ها، این سوال به درد نمی خورد: "آیا می توان شکل این معادله را ساده کرد؟" موافق باشید که از نظر محاسبات، حل معادله درجه دوم 11 x 2 −4 x −6=0 آسان تر از 1100 x 2 −400 x−600=0 خواهد بود.

معمولاً ساده‌سازی شکل یک معادله درجه دوم با ضرب یا تقسیم هر دو طرف آن در مقداری حاصل می‌شود. به عنوان مثال، در پاراگراف قبل، با تقسیم هر دو طرف بر 100، به ساده‌سازی معادله 1100 x 2 −400 x −600=0 رسیدیم.

یک تبدیل مشابه با معادلات درجه دوم انجام می شود که ضرایب آن نیست. در این حالت معمولاً هر دو بخش معادله بر مقادیر مطلق ضرایب آن تقسیم می شوند. برای مثال، اجازه دهید معادله درجه دوم 12 x 2 −42 x+48=0 را در نظر بگیریم. مقادیر مطلق ضرایب آن: gcd(12، 42، 48) = gcd(gcd(12، 42)، 48) = gcd(6، 48) = 6. با تقسیم دو طرف معادله درجه دوم بر 6، به معادله درجه دوم معادل 2 x 2 −7 x+8=0 می رسیم.

و معمولاً ضرب هر دو قسمت معادله درجه دوم برای خلاص شدن از شر ضرایب کسری انجام می شود. در این حالت، ضرب بر روی مخرج ضرایب آن انجام می شود. به عنوان مثال، اگر هر دو طرف یک معادله درجه دوم در LCM(6, 3, 1)=6 ضرب شوند، آنگاه شکل ساده تری به خود می گیرد x 2 +4 x−18=0 .

در پایان این پاراگراف، یادآور می‌شویم که تقریباً همیشه با تغییر علائم همه عبارت‌ها، که مربوط به ضرب (یا تقسیم) هر دو قسمت در -1 است، از منهای بالاترین ضریب معادله درجه دوم خلاص شوید. به عنوان مثال، معمولاً از معادله درجه دوم −2·x 2 −3·x+7=0 به جواب 2·x 2 +3·x−7=0 بروید.

رابطه بین ریشه ها و ضرایب یک معادله درجه دوم

فرمول ریشه های یک معادله درجه دوم، ریشه های یک معادله را بر حسب ضرایب آن بیان می کند. بر اساس فرمول ریشه ها، می توانید روابط دیگری بین ریشه ها و ضرایب بدست آورید.

شناخته شده ترین و کاربردی ترین فرمول ها از قضیه Vieta شکل و . به ویژه، برای معادله درجه دوم داده شده، مجموع ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و حاصل ضرب ریشه ها عبارت آزاد است. به عنوان مثال، با شکل معادله درجه دوم 3 x 2 −7 x+22=0 بلافاصله می توان گفت که مجموع ریشه های آن 7/3 و حاصل ضرب ریشه ها 22/3 است.

با استفاده از فرمول های قبلاً نوشته شده، می توانید تعدادی رابطه دیگر بین ریشه ها و ضرایب معادله درجه دوم بدست آورید. برای مثال می توانید مجموع مجذورات یک معادله درجه دوم را بر حسب ضرایب آن بیان کنید: .

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر:کتاب درسی برای 8 سلول آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م : آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : بیمار - شابک 978-5-09-019243-9.
• موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - م.: Mnemozina، 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.

این موضوع ممکن است در ابتدا به دلیل موارد زیاد دشوار به نظر برسد فرمول های ساده. نه تنها خود معادلات درجه دوم ورودی های طولانی دارند، بلکه ریشه ها نیز از طریق ممیز یافت می شوند. در کل سه فرمول جدید وجود دارد. به خاطر سپردن خیلی آسان نیست. این تنها پس از حل مکرر چنین معادلاتی امکان پذیر است. سپس تمام فرمول ها توسط خودشان به خاطر سپرده می شوند.

نمای کلی معادله درجه دوم

در اینجا نماد صریح آنها پیشنهاد می شود، زمانی که بزرگترین درجه ابتدا نوشته می شود، و سپس - به ترتیب نزولی. اغلب شرایطی وجود دارد که شرایط از هم جدا می شوند. سپس بهتر است معادله را به ترتیب نزولی درجه متغیر بازنویسی کنید.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم. آنها در جدول زیر ارائه شده اند.

اگر این نمادها را بپذیریم، تمام معادلات درجه دوم به نماد زیر کاهش می یابد.

علاوه بر این، ضریب a ≠ 0. اجازه دهید این فرمول با عدد یک نشان داده شود.

وقتی معادله داده می شود، مشخص نیست که چند ریشه در پاسخ خواهد بود. زیرا یکی از سه گزینه همیشه ممکن است:

• راه حل دو ریشه خواهد داشت.
• پاسخ یک عدد خواهد بود.
• معادله اصلا ریشه ندارد.

و در حالی که تصمیم به پایان نرسیده است، درک اینکه کدام یک از گزینه ها در یک مورد خاص از بین می رود دشوار است.

انواع رکوردهای معادلات درجه دوم

وظایف ممکن است ورودی های متفاوتی داشته باشند. آنها همیشه شبیه فرمول کلی یک معادله درجه دوم نیستند. گاهی اوقات فاقد برخی شرایط است. آنچه در بالا نوشته شده است معادله کامل. اگر عبارت دوم یا سوم را در آن حذف کنید، چیز متفاوتی دریافت خواهید کرد. به این رکوردها معادلات درجه دوم نیز گفته می شود، فقط ناقص.

علاوه بر این، فقط عباراتی که برای آنها ضرایب "b" و "c" می توانند ناپدید شوند. عدد "الف" در هیچ شرایطی نمی تواند برابر با صفر باشد. زیرا در این حالت فرمول به یک معادله خطی تبدیل می شود. فرمول شکل ناقص معادلات به صورت زیر خواهد بود:

بنابراین، فقط دو نوع وجود دارد، علاوه بر کامل، معادلات درجه دوم ناقص نیز وجود دارد. بگذارید فرمول اول شماره دو و فرمول دوم شماره سه باشد.

تمایز و وابستگی تعداد ریشه ها به مقدار آن

برای محاسبه ریشه های معادله باید این عدد را دانست. همیشه می توان آن را محاسبه کرد، مهم نیست که فرمول معادله درجه دوم چیست. برای محاسبه ممیز باید از تساوی نوشته شده در زیر استفاده کنید که عدد چهار را خواهد داشت.

پس از جایگزینی مقادیر ضرایب در این فرمول، می توانید اعداد را با آن بدست آورید نشانه های مختلف. اگر پاسخ مثبت است، پاسخ معادله دو ریشه متفاوت خواهد بود. با عدد منفی، ریشه های معادله درجه دوم وجود ندارد. اگر برابر با صفر باشد جواب یک خواهد بود.

چگونه یک معادله درجه دوم کامل حل می شود؟

در واقع بررسی این موضوع از قبل آغاز شده است. زیرا ابتدا باید متمایز کننده را پیدا کنید. پس از اینکه مشخص شد که معادله درجه دوم ریشه هایی وجود دارد و تعداد آنها مشخص شد، باید از فرمول های متغیرها استفاده کنید. اگر دو ریشه وجود دارد، پس باید چنین فرمولی را اعمال کنید.

از آنجایی که حاوی علامت "±" است، دو مقدار وجود خواهد داشت. عبارت زیر علامت جذر ممیز است. بنابراین، فرمول را می توان به روش دیگری بازنویسی کرد.

فرمول پنج از همان رکورد می توان دریافت که اگر ممیز صفر باشد، هر دو ریشه مقادیر یکسانی خواهند داشت.

اگر حل معادلات درجه دوم هنوز کار نشده است، بهتر است قبل از اعمال فرمول های متمایز و متغیر، مقادیر همه ضرایب را یادداشت کنید. بعداً این لحظه مشکلی ایجاد نخواهد کرد. اما در همان ابتدا سردرگمی وجود دارد.

چگونه یک معادله درجه دوم ناقص حل می شود؟

همه چیز در اینجا بسیار ساده تر است. حتی نیازی به فرمول های اضافی نیست. و شما به مواردی که قبلاً برای ممیز و ناشناخته نوشته شده است نیاز نخواهید داشت.

ابتدا در نظر بگیرید معادله ناقصدر شماره دو در این برابری قرار است مقدار مجهول را از براکت خارج کرده و معادله خطی را حل کند که در براکت ها باقی می ماند. پاسخ دو ریشه خواهد داشت. اولین مورد لزوماً برابر با صفر است، زیرا عاملی متشکل از خود متغیر وجود دارد. دومی با حل یک معادله خطی به دست می آید.

معادله ناقص شماره سه با انتقال عدد از سمت چپ معادله به راست حل می شود. سپس باید بر ضریب مجهول تقسیم کنید. فقط برای استخراج ریشه مربع باقی می ماند و فراموش نکنید که آن را دو بار با علائم مخالف بنویسید.

در زیر اقداماتی وجود دارد که به شما کمک می‌کند یاد بگیرید چگونه انواع برابری‌هایی را که به معادلات درجه دوم تبدیل می‌شوند، حل کنید. آنها به دانش آموز کمک می کنند تا از اشتباهات ناشی از بی توجهی جلوگیری کند. این کمبودها دلیل آن است نمرات بدهنگام مطالعه مبحث گسترده "معادلات چهارگانه (پایه هشتم)". پس از آن، این اقدامات نیازی به انجام مداوم نخواهند داشت. زیرا یک عادت پایدار وجود خواهد داشت.

• ابتدا باید معادله را به شکل استاندارد بنویسید. یعنی ابتدا عبارت با بیشترین درجه متغیر و سپس - بدون درجه و آخرین - فقط یک عدد.

• اگر یک منهای قبل از ضریب "a" ظاهر شود، می تواند کار را برای یک مبتدی برای مطالعه معادلات درجه دوم پیچیده کند. بهتر است از شر آن خلاص شوید. برای این منظور، تمام تساوی باید در "-1" ضرب شود. این بدان معنی است که همه اصطلاحات علامت آن را به مخالف تغییر می دهند.

• به همین ترتیب، توصیه می شود از شر کسری خلاص شوید. به سادگی معادله را در ضریب مناسب ضرب کنید تا مخرج ها باطل شوند.

مثال ها

حل معادلات درجه دوم زیر لازم است:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

معادله اول: x 2 - 7x \u003d 0. ناقص است، بنابراین همانطور که برای فرمول شماره دو توضیح داده شد حل می شود.

پس از براکت کردن، معلوم می شود: x (x - 7) \u003d 0.

ریشه اول مقدار x 1 \u003d 0 را می گیرد. دومی از معادله خطی پیدا می شود: x - 7 \u003d 0. به راحتی می توان فهمید که x 2 \u003d 7.

معادله دوم: 5x2 + 30 = 0. باز هم ناقص. فقط همانطور که برای فرمول سوم توضیح داده شد حل می شود.

پس از انتقال 30 به سمت راست معادله: 5x 2 = 30. اکنون باید بر 5 تقسیم کنید. معلوم می شود: x 2 = 6. پاسخ ها اعداد خواهند بود: x 1 = √6، x 2 = - √ 6.

معادله سوم: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. در اینجا و در زیر، حل معادلات درجه دوم با بازنویسی مجدد آنها به شکل استاندارد آغاز می شود: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. اکنون زمان استفاده از دومی است. مشاوره مفیدو همه چیز را در منهای یک ضرب کنید. به نظر می رسد x 2 + 2x - 15 \u003d 0. طبق فرمول چهارم، باید تمایز را محاسبه کنید: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. این یک عدد مثبت از آنچه در بالا گفته شد، معلوم می شود که معادله دو ریشه دارد. آنها باید طبق فرمول پنجم محاسبه شوند. با توجه به آن، معلوم می شود که x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. سپس x 1 \u003d 3، x 2 \u003d - 5.

معادله چهارم x 2 + 8 + 3x \u003d 0 به این تبدیل می شود: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. ممیز آن برابر با این مقدار است: -23. از آنجایی که این عدد منفی است، پاسخ به این کار ورودی زیر خواهد بود: "ریشه ای وجود ندارد."

معادله پنجم 12x + x 2 + 36 = 0 باید به صورت زیر بازنویسی شود: x 2 + 12x + 36 = 0. پس از اعمال فرمول برای ممیز، عدد صفر به دست می آید. این بدان معنی است که یک ریشه دارد، یعنی: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

معادله ششم (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) نیاز به تبدیل‌هایی دارد که شامل این واقعیت است که قبل از باز کردن پرانتزها باید عبارت‌های مشابهی را بیاورید. به جای عبارت اول چنین عبارتی وجود خواهد داشت: x 2 + 2x + 1. پس از برابری، این ورودی ظاهر می شود: x 2 + 3x + 2. پس از شمارش عبارت های مشابه، معادله به شکل x 2 خواهد بود. - x \u003d 0. ناقص شده است. مشابه آن قبلاً کمی بالاتر در نظر گرفته شده است. ریشه این اعداد 0 و 1 خواهد بود.

با هم کار کنیم معادلات درجه دوم. این معادلات بسیار محبوب هستند! در کلی ترین شکل آن، معادله درجه دوم به صورت زیر است:

مثلا:

اینجا آ =1; ب = 3; ج = -4

اینجا آ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

اینجا آ =-3; ب = 6; ج = -18

خوبه، تو ایده ای داری...

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم؟اگر یک معادله درجه دوم به این شکل دارید، پس همه چیز ساده است. ما به یاد می آوریم واژه جادویی ممیز . دانش آموز کمیاب دبیرستانی این کلمه را نشنیده است! عبارت «تصمیم گیری از طریق متمایزکننده» اطمینان بخش و اطمینان بخش است. زیرا نیازی به انتظار نیرنگ از سوی ممیز نیست! استفاده از آن ساده و بدون دردسر است. بنابراین، فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

عبارت زیر علامت ریشه یکسان است ممیز. همانطور که می بینید، برای یافتن x از آن استفاده می کنیم فقط الف، ب و ج. آن ها ضرایب از معادله درجه دوم. فقط با دقت مقادیر را جایگزین کنید الف، ب و جرا وارد این فرمول کرده و در نظر بگیرید. جایگزین با نشانه های تو! مثلا برای معادله اول آ =1; ب = 3; ج= -4. در اینجا می نویسیم:

مثال تقریباً حل شد:

همین.

چه مواردی در هنگام استفاده از این فرمول امکان پذیر است؟ فقط سه مورد وجود دارد.

1. ممیز مثبت است. این بدان معنی است که می توانید ریشه را از آن استخراج کنید. اینکه ریشه به خوبی استخراج شود یا بد، سوال دیگری است. این مهم است که در اصل چه چیزی استخراج می شود. سپس معادله درجه دوم شما دو ریشه دارد. دو راه حل متفاوت

2. ممیز صفر است. سپس شما یک راه حل دارید. به طور دقیق، این یک ریشه واحد نیست، بلکه دو تا یکسان. اما این در نابرابری ها نقش دارد، جایی که ما موضوع را با جزئیات بیشتری بررسی خواهیم کرد.

3. ممیز منفی است. از یک عدد منفی ریشه دوماستخراج نمی شود. بسیار خوب. این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

همه چیز بسیار ساده است. و چه فکر می کنید، نمی توانید اشتباه کنید؟ خب آره چطوری...
رایج ترین اشتباهات اشتباه گرفتن با نشانه های ارزش است الف، ب و ج. یا بهتر است بگوییم، نه با علائم آنها (کجا وجود دارد که گیج شوید؟)، بلکه با جایگزینی مقادیر منفیدر فرمول محاسبه ریشه در اینجا، یک رکورد دقیق از فرمول با اعداد خاص ذخیره می شود. در صورت وجود مشکل در محاسبات، پس انجامش بده!

فرض کنید باید مثال زیر را حل کنیم:

اینجا a = -6; b = -5; c=-1

فرض کنید می دانید که به ندرت بار اول پاسخ می گیرید.

خب تنبل نباش نوشتن یک خط اضافی و تعداد خطاها 30 ثانیه طول می کشد به شدت کاهش خواهد یافت. بنابراین ما با تمام پرانتزها و علائم به تفصیل می نویسیم:

به نظر می رسد نقاشی با این دقت بسیار دشوار است. اما فقط به نظر می رسد. آن را امتحان کنید. خوب یا انتخاب کن کدام بهتر است، سریع یا درست؟ علاوه بر این، من شما را خوشحال خواهم کرد. بعد از مدتی دیگر نیازی به رنگ آمیزی همه چیز با این همه دقت نخواهد بود. فقط درست خواهد شد. به خصوص اگر از تکنیک های عملی استفاده کنید که در زیر توضیح داده شده است. این مثال شیطانی با یک سری معایب به راحتی و بدون خطا حل خواهد شد!

بنابراین، چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیماز طریق تمایزی که به یاد آوردیم. یا آموخته که آن هم خوب است. میشه درست تشخیص بدی الف، ب و ج. آیا می دانید چگونه با دقتآنها را به فرمول ریشه جایگزین کنید و با دقتنتیجه را بشمار آیا آن را متوجه شدید کلمه کلیدیاینجا - با دقت؟

با این حال، معادلات درجه دوم اغلب کمی متفاوت به نظر می رسند. به عنوان مثال، مانند این:

آی تی معادلات درجه دوم ناقص . آنها همچنین می توانند از طریق تفکیک حل شوند. شما فقط باید به درستی بفهمید که چه چیزی در اینجا برابر است الف، ب و ج.

متوجه شد؟ در مثال اول a = 1; b = -4;آ ج? اصلا وجود نداره! خوب، بله، درست است. در ریاضیات این به این معنی است c = 0 ! همین. به جای صفر در فرمول جایگزین کنید جو همه چیز برای ما درست خواهد شد. به طور مشابه با مثال دوم. فقط صفر که اینجا نداریم با، آ ب !

اما معادلات درجه دوم ناقص را می توان بسیار ساده تر حل کرد. بدون هیچ تبعیضی. اولین معادله ناقص را در نظر بگیرید. در سمت چپ چه کاری می توان انجام داد؟ شما می توانید X را از پرانتز خارج کنید! بیا بیرونش کنیم

و از آن چه؟ و اینکه حاصل برابر صفر است اگر و فقط در صورتی که هر یک از عوامل برابر با صفر باشد! باور نمی کنی؟ خوب پس دو عدد غیر صفر بیاورید که با ضرب آنها صفر می شود!
کار نمی کند؟ یه چیزی...
بنابراین، می توانیم با اطمینان بنویسیم: x = 0، یا x = 4

همه چيز. اینها ریشه های معادله ما خواهند بود. هر دو مناسب هستند. هنگامی که هر یک از آنها را در معادله اصلی جایگزین می کنیم، هویت صحیح 0 = 0 را به دست می آوریم. همانطور که می بینید، راه حل بسیار ساده تر از روش تشخیص است.

معادله دوم را نیز می توان به راحتی حل کرد. 9 را به سمت راست حرکت می دهیم. ما گرفتیم:

باقی مانده است که ریشه را از 9 استخراج کنیم و تمام. گرفتن:

همچنین دو ریشه . x = +3 و x = -3.

به این ترتیب تمام معادلات درجه دوم ناقص حل می شوند. یا با خارج کردن X از براکت، یا با انتقال شماره به سمت راست و سپس استخراج ریشه.
اشتباه گرفتن این روش ها بسیار دشوار است. فقط به این دلیل که در حالت اول باید ریشه را از X استخراج کنید که به نوعی نامفهوم است و در مورد دوم چیزی برای خارج کردن از براکت وجود ندارد ...

اکنون به تکنیک های عملی که به طور چشمگیری تعداد خطاها را کاهش می دهد توجه داشته باشید. همان هایی که ناشی از بی توجهی است ... برای آنها دردناک و توهین آمیز است ...

اولین پذیرایی. قبل از حل یک معادله درجه دوم تنبلی نکنید تا آن را به فرم استاندارد برسانید. این یعنی چی؟
فرض کنید بعد از هر تغییری معادله زیر بدست می آید:

برای نوشتن فرمول ریشه ها عجله نکنید! تقریباً مطمئناً شانس ها را با هم مخلوط خواهید کرد الف، ب و ج.مثال را درست بسازید. ابتدا x مربع، سپس بدون مربع، سپس یک عضو آزاد. مثل این:

و باز هم عجله نکنید! منهای قبل از مربع x می تواند شما را بسیار ناراحت کند. فراموش کردن آن آسان است ... از شر منهای خلاص شوید. چگونه؟ بله همانطور که در مبحث قبل آموزش داده شد! باید کل معادله را در -1 ضرب کنیم. ما گرفتیم:

و اکنون می توانید با خیال راحت فرمول ریشه ها را بنویسید، تفکیک کننده را محاسبه کرده و مثال را کامل کنید. خودت تصمیم بگیر شما باید به ریشه های 2 و -1 برسید.

پذیرایی دوم.ریشه های خود را بررسی کنید! طبق قضیه ویتا. نگران نباش، همه چیز را توضیح می دهم! چک کردن آخرین چیزمعادله. آن ها فرمول ریشه ها را با آن نوشتیم. اگر (مانند این مثال) ضریب a = 1، ریشه ها را به راحتی بررسی کنید. کافی است آنها را ضرب کنیم. شما باید یک ترم رایگان دریافت کنید، یعنی. در مورد ما -2. توجه کنید، نه 2، بلکه -2! عضو رایگان با علامت شما . اگر درست نشد، به این معنی است که آنها قبلاً جایی را خراب کرده اند. به دنبال خطا باشید. اگر درست شد، باید ریشه ها را تا کنید. آخرین و آخرین بررسی باید یک نسبت باشد ببا مقابل امضاء کردن. در مورد ما -1+2 = +1. یک ضریب بکه قبل از x است برابر با 1- است. بنابراین، همه چیز درست است!
حیف است که فقط برای مثال هایی که x مجذور خالص است، با ضریب، اینقدر ساده است a = 1.اما حداقل در چنین معادلاتی بررسی کنید! اشتباهات کمتری وجود خواهد داشت.

پذیرایی سوم. اگر معادله شما دارای ضرایب کسری است، از شر کسرها خلاص شوید! معادله را در مخرج مشترک ضرب کنید که در قسمت قبل توضیح داده شد. هنگام کار با کسرها، خطاها، به دلایلی، صعود ...

ضمناً من قول یک مثال شیطانی با یک سری موارد منفی را دادم که ساده کنم. لطفا! او اینجا است.

برای اینکه در منفی ها گیج نشویم، معادله را در -1 ضرب می کنیم. ما گرفتیم:

همین! تصمیم گیری سرگرم کننده است!

پس بیایید موضوع را دوباره مرور کنیم.

نکات کاربردی:

1. قبل از حل، معادله درجه دوم را به فرم استاندارد می آوریم، آن را می سازیم درست.

2. اگر جلوی x در مربع ضریب منفی باشد با ضرب کل معادله در -1 آن را حذف می کنیم.

3. اگر ضرایب کسری باشند، با ضرب کل معادله در ضریب مربوطه، کسرها را حذف می کنیم.

4. اگر x مجذور خالص باشد، ضریب آن برابر با یک است، جواب را می توان به راحتی با قضیه ویتا بررسی کرد. انجام دهید!

معادلات کسری ODZ.

ما به تسلط بر معادلات ادامه می دهیم. ما قبلاً می دانیم که چگونه با معادلات خطی و درجه دوم کار کنیم. آخرین نمای باقی مانده است معادلات کسری. یا آنها را بسیار محکم تر نیز می نامند - کسری معادلات منطقی . این هم همینطور.

معادلات کسری

همانطور که از نام آن پیداست، این معادلات لزوماً شامل کسری هستند. اما نه فقط کسری، بلکه کسری که دارد مجهول در مخرج. حداقل در یکی. مثلا:

اجازه دهید به شما یادآوری کنم، اگر فقط در مخرج باشد شماره، این معادلات خطی هستند.

نحوه تصمیم گیری معادلات کسری? اول از همه از شر کسرها خلاص شوید! پس از آن، معادله، اغلب، به یک معادله خطی یا درجه دوم تبدیل می شود. و سپس می دانیم چه باید بکنیم... در برخی موارد، می تواند به یک هویت تبدیل شود، مانند 5=5 یا عبارتی نادرست، مانند 7=2. اما این به ندرت اتفاق می افتد. در زیر به آن اشاره خواهم کرد.

اما چگونه می توان از شر کسری خلاص شد!؟ بسیار ساده. اعمال همه تبدیل های یکسان یکسان.

باید کل معادله را در همان عبارت ضرب کنیم. به طوری که همه مخرج ها کاهش می یابد! همه چیز بلافاصله آسان تر خواهد شد. با یک مثال توضیح می دهم. فرض کنید باید معادله را حل کنیم:

در دوره ابتدایی چگونه تدریس می شد؟ ما همه چیز را در یک جهت منتقل می کنیم، آن را به یک مخرج مشترک کاهش می دهیم و غیره. فراموش کن چه خواب بدی! این همان کاری است که باید هنگام جمع یا تفریق عبارات کسری انجام دهید. یا با نابرابری ها کار کنید. و در معادلات، فوراً هر دو قسمت را در یک عبارت ضرب می کنیم که به ما فرصت می دهد همه مخرج ها را کاهش دهیم (یعنی در اصل با یک مخرج مشترک). و این بیان چیست؟

در سمت چپ، برای کاهش مخرج، باید در آن ضرب کنید x+2. و در سمت راست، ضرب در 2 مورد نیاز است، بنابراین، معادله باید در ضرب شود 2 (x+2). ضرب می کنیم:

این ضرب معمول کسری است، اما من به طور مفصل می نویسم:

لطفا توجه داشته باشید که من هنوز پرانتز را باز نمی کنم. (x + 2)! بنابراین، به طور کامل آن را می نویسم:

در سمت چپ، به طور کامل کاهش یافته است (x+2)، و در سمت راست 2. همانطور که لازم است! پس از کاهش می گیریم خطیمعادله:

هر کسی می تواند این معادله را حل کند! x = 2.

بیایید مثال دیگری را حل کنیم، کمی پیچیده تر:

اگر به یاد داشته باشیم که 3 = 3/1، و 2x = 2x/ 1 را می توان نوشت:

و دوباره از آنچه واقعاً دوست نداریم خلاص می شویم - از کسری.

می بینیم که برای کاهش مخرج x باید کسر را در ضرب کنیم (x - 2). و واحدها مانعی برای ما نیستند. خوب بیایید ضرب کنیم. همهسمت چپ و همهسمت راست:

دوباره براکت (x - 2)فاش نمی کنم من با براکت به طور کلی کار می کنم، انگار یک عدد است! این باید همیشه انجام شود، در غیر این صورت چیزی کاهش نمی یابد.

با احساس رضایت عمیق، بریدیم (x - 2)و معادله را بدون هیچ کسری در یک خط کش به دست می آوریم!

و حالا پرانتزها را باز می کنیم:

ما موارد مشابه را می دهیم، همه چیز را به سمت چپ منتقل می کنیم و می گیریم:

معادله درجه دوم کلاسیک. اما منهای پیش رو خوب نیست. همیشه می توانید با ضرب یا تقسیم بر 1 از شر آن خلاص شوید. اما اگر به مثال دقت کنید متوجه می شوید که بهتر است این معادله را بر 2- تقسیم کنید! در یک لحظه، منهای ناپدید می شوند و ضرایب زیباتر می شوند! تقسیم بر -2 می کنیم. در سمت چپ - ترم به جمله، و در سمت راست - فقط صفر را بر -2 تقسیم کنید، صفر و بدست آورید:

ما از طریق تفکیک حل می کنیم و طبق قضیه Vieta بررسی می کنیم. ما گرفتیم x=1 و x=3. دو ریشه

همانطور که می بینید در حالت اول معادله بعد از تبدیل خطی شد و در اینجا درجه دوم است. این اتفاق می افتد که پس از خلاص شدن از کسرها، تمام x ها کاهش می یابد. چیزی باقی مانده است، مانند 5=5. معنیش اینه که x می تواند هر چیزی باشد. هر چه هست باز هم کم می شود. و حقیقت محض را دریافت کنید، 5=5. اما، پس از خلاص شدن از کسر، ممکن است کاملاً نادرست باشد، مانند 2=7. و این به این معنی است بدون راه حل! با هر x، نادرست است.

متوجه راه اصلی حل شد معادلات کسری ? ساده و منطقی است. عبارت اصلی را تغییر می دهیم تا هر چیزی که دوست نداریم ناپدید شود. یا دخالت کنند. در این مورد، کسری است. با همه همین کار را خواهیم کرد نمونه های پیچیدهبا لگاریتم ها، سینوس ها و دیگر وحشت ها. ما همیشهما از شر همه اینها خلاص خواهیم شد

با این حال، باید عبارت اصلی را در جهتی که نیاز داریم تغییر دهیم طبق قوانین، بله ... که توسعه آن آمادگی برای امتحان ریاضی است. اینجا داریم یاد میگیریم

اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه یکی از آنها را دور بزنیم کمین های اصلی در امتحان! اما اول، بیایید ببینیم که آیا شما در آن قرار می گیرید یا نه؟

بیایید یک مثال ساده بزنیم:

موضوع از قبل آشناست، هر دو قسمت را در ضرب می کنیم (x - 2)، ما گرفتیم:

به یاد داشته باشید، با پرانتز (x - 2)ما مانند یک عبارت یکپارچه کار می کنیم!

در اینجا من دیگر آن را در مخرج ننوشتم، بی ارزش است ... و در مخرج ها پرانتز نکشیدم، به جز x - 2چیزی وجود ندارد، شما نمی توانید نقاشی کنید. کوتاه می کنیم:

براکت ها را باز می کنیم، همه چیز را به سمت چپ حرکت می دهیم، موارد مشابه را می دهیم:

حل می کنیم، بررسی می کنیم، دو ریشه می گیریم. x = 2و x = 3. عالی

فرض کنید وظیفه می‌گوید اگر بیش از یک ریشه وجود دارد، ریشه یا مجموع آنها را بنویسید. چه خواهیم نوشت؟

اگر تصمیم گرفتید که پاسخ 5 باشد، شما در کمین قرار گرفتند. و وظیفه برای شما محاسبه نمی شود. بیهوده کار کردند... پاسخ صحیح 3 است.

موضوع چیه؟! و شما سعی می کنید بررسی کنید. مقادیر مجهول را جایگزین کنید اصلیمثال. و اگر در x = 3همه چیز به طرز شگفت انگیزی با هم رشد می کند، ما 9 = 9، سپس با x = 2تقسیم بر صفر! کاری که مطلقا نمی توان انجام داد. به معنای x = 2راه حل نیست و در پاسخ به آن توجه نمی شود. این به اصطلاح ریشه اضافی یا اضافی است. ما فقط آن را دور می اندازیم. تنها یک ریشه نهایی وجود دارد. x = 3.

چطور؟! من تعجب های عصبانی را می شنوم. به ما یاد دادند که یک معادله را می توان در یک عبارت ضرب کرد! این همان دگرگونی است!

بله یکسان تحت یک شرایط کوچک - عبارتی که در آن ضرب (تقسیم) می کنیم - متفاوت از صفر. ولی x - 2در x = 2برابر با صفر است! بنابراین همه چیز منصفانه است.

و حالا چیکار میتونم بکنم؟! با بیان ضرب نمی شود؟ آیا هر بار چک می کنید؟ باز هم نامشخص!

با آرامش! وحشت نکنید!

در این شرایط سخت، سه حرف جادویی ما را نجات خواهند داد. میدونم به چی فکر میکردی به درستی! آی تی ODZ . حوزه ارزش های معتبر

امیدوارم پس از مطالعه این مقاله، نحوه یافتن ریشه یک معادله درجه دوم را یاد بگیرید.

با کمک تفکیک کننده فقط معادلات درجه دوم کامل حل می شوند؛ برای حل معادلات درجه دوم ناقص از روش های دیگری استفاده می شود که در مقاله حل معادلات درجه دوم ناقص خواهید دید.

به کدام معادلات درجه دوم کامل می گویند؟ آی تی معادلات شکل ax 2 + b x + c = 0، جایی که ضرایب a، b و c برابر با صفر نیستند. بنابراین، برای حل معادله درجه دوم، باید تفکیک D را محاسبه کنید.

D \u003d b 2 - 4ac.

بسته به اینکه ممیز چه ارزشی داشته باشد، پاسخ را یادداشت می کنیم.

اگر ممیز یک عدد منفی باشد (D< 0),то корней нет.

اگر تمایز صفر باشد، x \u003d (-b) / 2a. هنگامی که ممیز یک عدد مثبت باشد (D > 0)،

سپس x 1 = (-b - √D)/2a، و x 2 = (-b + √D)/2a.

مثلا. معادله را حل کنید x 2- 4x + 4 = 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

جواب: 2.

حل معادله 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

پاسخ: بدون ریشه.

حل معادله 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

پاسخ: - 3.5; یکی.

پس بیایید حل معادلات درجه دوم کامل را با طرح شکل 1 تصور کنیم.

از این فرمول ها می توان برای حل هر معادله درجه دوم کامل استفاده کرد. شما فقط باید مراقب باشید معادله به صورت چند جمله ای با فرم استاندارد نوشته شد

آ x 2 + bx + c،در غیر این صورت ممکن است اشتباه کنید به عنوان مثال، در نوشتن معادله x + 3 + 2x 2 = 0، می توانید به اشتباه تصمیم بگیرید که

a = 1، b = 3 و c = 2. سپس

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 و سپس معادله دو ریشه دارد. و این درست نیست. (به مثال 2 راه حل بالا مراجعه کنید).

بنابراین، اگر معادله به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته نشده باشد، ابتدا باید معادله درجه دوم کامل به صورت چند جمله ای از فرم استاندارد نوشته شود (در وهله اول باید یک تک جمله ای با بالاترین شاخصدرجه، یعنی آ x 2 ، سپس با کمتر – bx، و سپس مدت آزاد با.

هنگام حل معادله درجه دوم بالا و معادله درجه دوم با ضریب زوج برای جمله دوم می توان از فرمول های دیگری نیز استفاده کرد. بیایید با این فرمول ها آشنا شویم. اگر در معادله درجه دوم کامل با جمله دوم ضریب زوج (b = 2k) باشد، می توان معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل 2 حل کرد.

یک معادله درجه دوم کامل را کاهش می گویند اگر ضریب در x 2 برابر با وحدت است و معادله شکل می گیرد x 2 + px + q = 0. چنین معادله ای را می توان حل کرد، یا از تقسیم تمام ضرایب معادله بر ضریب بدست می آید. آایستاده در x 2 .

شکل 3 نمودار حل مربع کاهش یافته را نشان می دهد
معادلات مثالی از کاربرد فرمول های مورد بحث در این مقاله را در نظر بگیرید.

مثال. معادله را حل کنید

3x 2 + 6x - 6 = 0.

بیایید این معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در شکل 1 حل کنیم.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

پاسخ: -1 - √3; –1 + √3

می بینید که ضریب x در این معادله یک عدد زوج است، یعنی b \u003d 6 یا b \u003d 2k، از آنجا k \u003d 3 است. سپس بیایید سعی کنیم معادله را با استفاده از فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل حل کنیم. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

پاسخ: -1 - √3; –1 + √3. با توجه به اینکه همه ضرایب در این معادله درجه دوم بر 3 بخش پذیر هستند و با تقسیم، معادله درجه دوم کاهش یافته را بدست می آوریم x 2 + 2x - 2 = 0 این معادله را با استفاده از فرمول های درجه دوم کاهش یافته حل می کنیم.
معادلات شکل 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

پاسخ: -1 - √3; –1 + √3.

همانطور که می بینید، هنگام حل این معادله با استفاده از فرمول های مختلف، به یک جواب رسیدیم. بنابراین، با تسلط کامل بر فرمول های نشان داده شده در نمودار شکل 1، همیشه می توانید هر معادله درجه دوم کامل را حل کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

به عنوان مثال، برای مثلث \(3x^2+2x-7\)، ممیز \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) خواهد بود. و برای مثلث \(x^2-5x+11\) برابر با \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\ خواهد بود.

تمایز با حرف \(D\) نشان داده می شود و اغلب هنگام حل استفاده می شود. همچنین، با مقدار متمایز، می توانید بفهمید که نمودار چگونه به نظر می رسد (به زیر مراجعه کنید).

ممیز و ریشه های معادله درجه دوم

مقدار تفکیک کننده مقدار معادله درجه دوم را نشان می دهد:
- اگر \(D\) مثبت باشد، معادله دو ریشه خواهد داشت.
- اگر \(D\) برابر با صفر باشد - فقط یک ریشه.
- اگر \(D\) منفی باشد، هیچ ریشه ای وجود ندارد.

این نیازی به آموزش ندارد، به راحتی می توان به چنین نتیجه ای رسید، صرفاً دانستن اینکه از ممیز (یعنی \(\sqrt(D)\) در فرمول محاسبه ریشه های معادله درجه دوم گنجانده شده است. : \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D ))(2a)\) بیایید به هر مورد بیشتر نگاه کنیم.

اگر ممیز مثبت باشد

در این صورت، ریشه آن مقداری عدد مثبت است، یعنی \(x_(1)\) و \(x_(2)\) از نظر مقدار متفاوت خواهند بود، زیرا در فرمول اول \(\sqrt(D) \) اضافه می شود و در دومی - کم می شود. و ما دو ریشه متفاوت داریم.

مثال : ریشه های معادله \(x^2+2x-3=0\) را پیدا کنید
راه حل :

پاسخ : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

اگر ممیز صفر باشد

و اگر ممیز صفر باشد چند ریشه خواهد بود؟ بیایید استدلال کنیم.

فرمول های ریشه شبیه به این هستند: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) و \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . و اگر ممیز صفر باشد، ریشه آن نیز صفر است. سپس معلوم می شود:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

یعنی مقادیر ریشه های معادله یکسان خواهد بود، زیرا جمع یا تفریق صفر چیزی را تغییر نمی دهد.

مثال : ریشه های معادله \(x^2-4x+4=0\) را پیدا کنید
راه حل :

\(x^2-4x+4=0\)		ضرایب را می نویسیم:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		با استفاده از فرمول \(D=b^2-4ac\) تفکیک کننده را محاسبه کنید.
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		پیدا کردن ریشه های معادله
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ما دو ریشه یکسان داریم، بنابراین نوشتن آنها به طور جداگانه معنی ندارد - آنها را به عنوان یکی می نویسیم.

پاسخ : \(x=2\)