یک سیستم معادلات خطی یک راه حل منحصر به فرد دارد اگر. ماشین حساب آنلاین

حل سیستم های خطی معادلات جبری(SLAU) بدون شک است مهمترین موضوعدرس جبر خطی تعداد زیادی از مسائل از همه شاخه های ریاضیات به حل سیستم ها می رسد معادلات خطی. این عوامل دلیل این مقاله را توضیح می دهند. مطالب مقاله به گونه ای انتخاب و ساختار بندی شده است که با کمک آن بتوانید

• سوار کردن روش بهینهراه حل های سیستم معادلات جبری خطی شما،
• مطالعه تئوری روش انتخاب شده،
• سیستم معادلات خطی خود را با در نظر گرفتن راه حل های دقیق برای مثال ها و مسائل معمولی حل کنید.

شرح مختصری از مطالب مقاله

ابتدا تمام تعاریف، مفاهیم لازم را ارائه می کنیم و نمادها را معرفی می کنیم.

در مرحله بعد، روش هایی را برای حل سیستم های معادلات جبری خطی در نظر خواهیم گرفت که در آنها تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و دارای تنها تصمیم. اولاً ما روی روش Cramer تمرکز خواهیم کرد و در مرحله دوم نشان خواهیم داد روش ماتریسیحل چنین سیستم های معادلات، ثالثا، ما روش گاوس (روش حذف متوالیمتغیرهای ناشناخته). برای تثبیت نظریه، قطعاً چندین SLAE را به روش های مختلف حل خواهیم کرد.

پس از این به حل سیستم معادلات جبری خطی خواهیم پرداخت نمای کلی، که در آن تعداد معادلات با تعداد متغیرهای مجهول منطبق نیست یا ماتریس اصلی سیستم منفرد است. اجازه دهید قضیه کرونکر-کاپلی را فرموله کنیم، که به ما امکان می دهد سازگاری SLAE ها را تعیین کنیم. اجازه دهید راه حل سیستم ها را (در صورت سازگاری) با استفاده از مفهوم پایه ماتریس تحلیل کنیم. ما همچنین روش گاوس را در نظر خواهیم گرفت و راه حل های مثال ها را با جزئیات شرح خواهیم داد.

ما قطعاً به ساختار حل کلی سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی خواهیم پرداخت. اجازه دهید مفهوم یک سیستم اساسی از راه حل ها را ارائه دهیم و نشان دهیم که چگونه جواب کلی یک SLAE با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها نوشته می شود. برای درک بهتر، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم.

در پایان، ما سیستم‌هایی از معادلات را در نظر خواهیم گرفت که می‌توان آنها را به خطی تقلیل داد، و همچنین مشکلات مختلفی را که در حل آنها SLAE ایجاد می‌شود، در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

تعاریف، مفاهیم، ​​تعاریف.

ما سیستم هایی از معادلات جبری خطی p را با n متغیر مجهول (p می تواند برابر با n باشد) در نظر خواهیم گرفت.

متغیرهای ناشناخته - ضرایب (برخی واقعی یا اعداد مختلط، - اصطلاحات آزاد (همچنین اعداد واقعی یا مختلط).

این شکل از ثبت SLAE نامیده می شود هماهنگ كردن.

که در فرم ماتریسینوشتن این سیستم معادلات به شکل زیر است:
جایی که - ماتریس اصلی سیستم، - ماتریس ستونی از متغیرهای مجهول، - ماتریس ستونی از عبارت‌های آزاد.

اگر ماتریس-ستون از عبارت های آزاد را به عنوان ستون (n+1) به ماتریس A اضافه کنیم، به اصطلاح به ماتریس A اضافه می کنیم. ماتریس توسعه یافتهسیستم های معادلات خطی به طور معمول، یک ماتریس توسعه یافته با حرف T نشان داده می شود و ستون عبارت های آزاد با یک خط عمودی از ستون های باقی مانده جدا می شود، یعنی:

حل سیستم معادلات جبری خطیمجموعه ای از مقادیر متغیرهای مجهول نامیده می شود که تمام معادلات سیستم را به هویت تبدیل می کند. معادله ماتریسیبرای مقادیر داده شده از متغیرهای ناشناخته نیز به یک هویت تبدیل می شود.

اگر یک سیستم معادلات حداقل یک جواب داشته باشد، آن را نامیده می شود مفصل.

اگر سیستم معادلات هیچ جوابی نداشته باشد، آن را می نامند غیر مشترک.

اگر یک SLAE راه حل منحصر به فردی داشته باشد، آنگاه نامیده می شود مسلم - قطعی; اگر بیش از یک راه حل وجود دارد، پس - نا معلوم.

اگر عبارات آزاد تمام معادلات سیستم برابر با صفر باشد ، سپس سیستم فراخوانی می شود همگن، در غیر این صورت - ناهمگون.

حل سیستم های ابتدایی معادلات جبری خطی.

اگر تعداد معادلات یک سیستم برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد و تعیین کننده ماتریس اصلی آن برابر با صفر نباشد، این گونه SLAE ها نامیده می شوند. ابتدایی. چنین سیستم‌هایی از معادلات راه‌حل منحصربه‌فردی دارند، و در مورد سیستم همگنهمه متغیرهای مجهول صفر هستند.

ما مطالعه این گونه SLAE ها را در دبیرستان شروع کردیم. هنگام حل آنها، یک معادله را برداشتیم، یک متغیر مجهول را بر حسب بقیه بیان کردیم و آن را با معادلات باقیمانده جایگزین کردیم، سپس معادله بعدی را گرفتیم، متغیر مجهول بعدی را بیان کردیم و آن را با معادلات دیگر جایگزین کردیم و به همین ترتیب. یا از روش جمع استفاده کردند، یعنی دو یا چند معادله اضافه کردند تا برخی از متغیرهای مجهول را حذف کنند. ما در مورد این روش ها به طور مفصل صحبت نخواهیم کرد، زیرا آنها اساساً اصلاحات روش گاوس هستند.

روش های اصلی برای حل سیستم های ابتدایی معادلات خطی روش کرامر، روش ماتریسی و روش گاوس است. بیایید آنها را مرتب کنیم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش کرامر.

فرض کنید باید یک سیستم معادلات جبری خطی را حل کنیم

که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد متغیرهای مجهول است و تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم با صفر، یعنی .

بگذارید تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم باشد، و - تعیین کننده های ماتریس هایی که با جایگزینی از A به دست می آیند 1، 2، ...، نهمستون به ترتیب به ستون اعضای آزاد:

با این نماد، متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول های روش کرامر به عنوان محاسبه می شوند . به این صورت است که راه حل یک سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش کرامر پیدا می شود.

مثال.

روش کرامر .

راه حل.

ماتریس اصلی سیستم دارای فرم است . بیایید تعیین کننده آن را محاسبه کنیم (در صورت لزوم، مقاله را ببینید):

از آنجایی که تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم غیر صفر است، سیستم راه حل منحصر به فردی دارد که می توان آن را با روش کرامر پیدا کرد.

بیایید تعیین کننده های لازم را بسازیم و محاسبه کنیم (با جایگزینی ستون اول در ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را با جایگزینی ستون دوم با ستونی از عبارت های آزاد و با جایگزینی ستون سوم ماتریس A با ستونی از عبارت های آزاد، تعیین کننده را به دست می آوریم) :

یافتن متغیرهای ناشناخته با استفاده از فرمول :

پاسخ:

عیب اصلی روش کرامر (اگر بتوان آن را نقطه ضعف نامید) پیچیدگی محاسبه دترمیناتورها در زمانی است که تعداد معادلات در سیستم بیش از سه باشد.

حل سیستم معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس (با استفاده از ماتریس معکوس).

اجازه دهید یک سیستم معادلات جبری خطی به صورت ماتریسی داده شود، که در آن ماتریس A دارای بعد n در n و تعیین کننده آن غیر صفر است.

از آنجایی که پس ماتریس A معکوس پذیر است، یعنی وجود دارد ماتریس معکوس. اگر هر دو طرف تساوی را در سمت چپ ضرب کنیم، فرمولی برای یافتن یک ماتریس-ستون از متغیرهای مجهول به دست می آید. به این صورت است که با استفاده از روش ماتریسی، جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی به دست آوردیم.

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش ماتریسی

راه حل.

بیایید سیستم معادلات را به صورت ماتریسی بازنویسی کنیم:

زیرا

سپس SLAE را می توان با استفاده از روش ماتریس حل کرد. با استفاده از ماتریس معکوس، راه حل این سیستم را می توان به صورت پیدا کرد .

بیایید با استفاده از ماتریس از، ماتریس معکوس بسازیم اضافات جبریعناصر ماتریس A (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید):

باقی مانده است که ماتریس متغیرهای مجهول را با ضرب ماتریس معکوس محاسبه کنیم به یک ماتریس-ستون از اعضای آزاد (در صورت لزوم، به مقاله مراجعه کنید):

پاسخ:

یا در نماد دیگری x 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

مشکل اصلی هنگام یافتن راه‌حل برای سیستم‌های معادلات جبری خطی با استفاده از روش ماتریس، پیچیدگی یافتن ماتریس معکوس است، به‌ویژه برای ماتریس‌های مربعی با مرتبه بالاتر از سوم.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.

فرض کنید باید برای سیستمی متشکل از n معادله خطی با n متغیر مجهول راه حلی پیدا کنیم
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسمتشکل از حذف متوالی متغیرهای مجهول است: اول، x 1 از تمام معادلات سیستم حذف می شود، از معادلات دوم شروع می شود، سپس x 2 از تمام معادلات حذف می شود، از سوم شروع می شود، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول x n باقی بماند. در آخرین معادله این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل حرکت رو به جلو روش گاوسی، x n از آخرین معادله، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخر، x n-1 محاسبه می شود و به همین ترتیب، x 1 از معادله اول به دست می آید. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. بیایید متغیر مجهول x 1 را از تمام معادلات سیستم حذف کنیم و از دومی شروع کنیم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، اولین را با ضرب در، به معادله سوم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر x 1 را بر حسب سایر متغیرهای مجهول در اولین معادله سیستم بیان می کردیم و عبارت حاصل را جایگزین تمام معادلات دیگر می کردیم، به همان نتیجه می رسیدیم. بنابراین، متغیر x 1 از معادلات دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین، متغیر x 2 از معادلات سوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به حذف مجهول x 3 ادامه می دهیم، در حالی که با بخشی از سیستم که در شکل مشخص شده است، به طور مشابه عمل می کنیم.

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: x n را از آخرین معادله به صورت محاسبه می کنیم، با استفاده از مقدار بدست آمده از x n، x n-1 را از معادله ماقبل آخر می یابیم، و به همین ترتیب، x 1 را از معادله اول می یابیم. .

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوس

راه حل.

اجازه دهید متغیر مجهول x 1 را از معادلات دوم و سوم سیستم حذف کنیم. برای انجام این کار، به هر دو طرف معادله دوم و سوم، قسمت های مربوط به معادله اول را به ترتیب در و در ضرب اضافه می کنیم:

اکنون x 2 را از معادله سوم حذف می کنیم، با اضافه کردن سمت چپ و راست معادله دوم به سمت چپ و راست آن، ضرب در:

این کار حرکت رو به جلو روش گاوس را کامل می کند؛ ما حرکت معکوس را شروع می کنیم.

از آخرین معادله سیستم معادلات حاصل، x 3 را پیدا می کنیم:

از معادله دوم بدست می آوریم.

از معادله اول، متغیر مجهول باقیمانده را پیدا می کنیم و در نتیجه معکوس روش گاوس را تکمیل می کنیم.

پاسخ:

X 1 = 4، x 2 = 0، x 3 = -1.

حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی.

که در مورد کلیتعداد معادلات سیستم p با تعداد متغیرهای مجهول n منطبق نیست:

چنین SLAE هایی ممکن است هیچ راه حلی نداشته باشند، یک راه حل واحد داشته باشند یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشند. این عبارت برای سیستم های معادلاتی که ماتریس اصلی آنها مربع و مفرد است نیز صدق می کند.

قضیه کرونکر-کاپلی.

قبل از یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، لازم است سازگاری آن مشخص شود. پاسخ به این سوال که چه زمانی SLAE سازگار است و چه زمانی ناسازگار است توسط داده می شود قضیه کرونکر-کاپلی:
برای اینکه یک سیستم از معادلات p با n مجهول (p می تواند برابر با n باشد) سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر با رتبه ماتریس توسعه یافته باشد. , Rank(A)=Rank(T).

اجازه دهید، به عنوان مثال، کاربرد قضیه کرونکر-کاپلی را برای تعیین سازگاری یک سیستم معادلات خطی در نظر بگیریم.

مثال.

دریابید که آیا سیستم معادلات خطی دارد یا خیر راه حل ها

راه حل.

. بیایید از روش مرزبندی خردسالان استفاده کنیم. جزئی از مرتبه دوم متفاوت از صفر بیایید به مینورهای مرتبه سوم همسایه آن نگاه کنیم:

از آنجایی که تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، رتبه ماتریس اصلی برابر با دو است.

به نوبه خود، رتبه ماتریس توسعه یافته برابر با سه است، زیرا جزئی درجه سوم است

متفاوت از صفر

بدین ترتیب، Rang(A)، بنابراین، با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توان نتیجه گرفت که سیستم اصلی معادلات خطی ناسازگار است.

پاسخ:

سیستم هیچ راه حلی ندارد.

بنابراین، ما یاد گرفتیم که ناسازگاری یک سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مشخص کنیم.

اما چگونه می توان راه حلی برای SLAE در صورت وجود سازگاری آن پیدا کرد؟

برای انجام این کار، به مفهوم پایه ماتریس و یک قضیه در مورد رتبه یک ماتریس نیاز داریم.

مینور بالاترین مرتبه ماتریس A، متفاوت از صفر، نامیده می شود پایه ای.

از تعریف پایه مینور به دست می آید که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس است. برای ماتریس غیر صفرو می تواند چندین فرعی اساسی وجود داشته باشد؛ همیشه یک مینور اساسی وجود دارد.

به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید .

همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند، زیرا عناصر ردیف سوم این ماتریس مجموع عناصر مربوط به ردیف اول و دوم هستند.

مینورهای مرتبه دوم زیر پایه هستند، زیرا غیر صفر هستند

خردسالان پایه نیستند، زیرا برابر با صفر هستند.

قضیه رتبه ماتریس.

اگر رتبه یک ماتریس از مرتبه p در n برابر با r باشد، آنگاه تمام عناصر سطر (و ستون) ماتریس که مینور پایه انتخابی را تشکیل نمی دهند، به صورت خطی بر حسب عناصر تشکیل دهنده ردیف (و ستون) مربوطه بیان می شوند. پایه جزئی

قضیه رتبه ماتریس به ما چه می گوید؟

اگر طبق قضیه کرونکر-کاپلی، سازگاری سیستم را مشخص کرده باشیم، آنگاه هر پایه مینور از ماتریس اصلی سیستم را انتخاب می کنیم (ترتیب آن برابر با r است) و تمام معادلات را از سیستم حذف می کنیم. پایه انتخابی جزئی را تشکیل نمی دهند. SLAE به‌دست‌آمده از این طریق معادل معادل اصلی خواهد بود، زیرا معادلات دور ریخته شده هنوز اضافی هستند (طبق قضیه رتبه ماتریس، آنها ترکیبی خطی از معادلات باقی‌مانده هستند).

در نتیجه پس از کنار گذاشتن معادلات غیر ضروری سیستم، دو حالت امکان پذیر است.

اگر تعداد معادلات r در سیستم حاصل با تعداد متغیرهای مجهول برابر باشد، قطعی خواهد بود و تنها راه حل را می توان با روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

مثال.

.

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم برابر دو است، زیرا مینور مرتبه دوم است متفاوت از صفر رتبه ماتریس توسعه یافته همچنین برابر با دو است، زیرا تنها مرتبه سوم جزئی صفر است

و مینور مرتبه دوم در نظر گرفته شده در بالا با صفر متفاوت است. بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی، می‌توانیم سازگاری سیستم اصلی معادلات خطی را اثبات کنیم، زیرا Rank(A)=Rank(T)=2.

ما به عنوان پایه جزئی در نظر می گیریم . از ضرایب معادله اول و دوم تشکیل می شود:


معادله سوم سیستم در تشکیل مبنا مینور شرکت نمی کند، بنابراین آن را بر اساس قضیه رتبه ماتریس از سیستم حذف می کنیم:


به این ترتیب ما یک سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی به دست آوردیم. بیایید آن را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


پاسخ:

x 1 = 1، x 2 = 2.

اگر تعداد معادلات r در SLAE حاصل شود تعداد کمترمتغیرهای مجهول n، سپس در سمت چپ معادلات، عبارت هایی که پایه را تشکیل می دهند را مینور می گذاریم و عبارت های باقی مانده را با علامت مخالف به سمت راست معادلات سیستم منتقل می کنیم.

متغیرهای مجهول (r از آنها) باقی مانده در سمت چپ معادلات نامیده می شوند اصلی.

متغیرهای ناشناخته (n - r قطعه وجود دارد) که در سمت راست قرار دارند فراخوانی می شوند رایگان.

اکنون ما معتقدیم که متغیرهای مجهول آزاد می توانند مقادیر دلخواه بگیرند، در حالی که متغیرهای مجهول اصلی r از طریق متغیرهای مجهول آزاد به روشی منحصر به فرد بیان می شوند. بیان آنها را می توان با حل SLAE حاصل با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس یافت.

بیایید با یک مثال به آن نگاه کنیم.

مثال.

حل یک سیستم معادلات جبری خطی .

راه حل.

بیایید رتبه ماتریس اصلی سیستم را پیدا کنیم به روش مرزبندی خردسالان. بیایید 1 1 = 1 را به عنوان مینور غیر صفر مرتبه اول در نظر بگیریم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور غیر صفر درجه دوم در حاشیه این مینور کنیم:


به این ترتیب ما یک مینور غیر صفر درجه دوم را پیدا کردیم. بیایید شروع به جستجوی یک مینور مرزی غیر صفر از مرتبه سوم کنیم:


بنابراین، رتبه ماتریس اصلی سه است. رتبه ماتریس توسعه یافته نیز برابر با سه است، یعنی سیستم سازگار است.

ما مینور غیر صفر یافت شده مرتبه سوم را به عنوان پایه یک در نظر می گیریم.

برای وضوح، ما عناصری را نشان می‌دهیم که پایه جزئی را تشکیل می‌دهند:


عبارات مربوط به مبنا مینور را در سمت چپ معادلات سیستم رها می کنیم و بقیه را با علائم مخالف به سمت راست منتقل می کنیم:


بیایید به متغیرهای مجهول مجهول x 2 و x 5 مقادیر دلخواه بدهیم، یعنی قبول می کنیم ، جایی که اعداد دلخواه هستند. در این صورت، SLAE شکل خواهد گرفت


اجازه دهید سیستم ابتدایی معادلات جبری خطی را با استفاده از روش کرامر حل کنیم:


از این رو، .

در پاسخ خود فراموش نکنید که متغیرهای مجهول رایگان را مشخص کنید.

پاسخ:

اعداد دلخواه کجا هستند

خلاصه کنید.

برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی عمومی، ابتدا سازگاری آن را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی تعیین می کنیم. اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر نباشد، نتیجه می گیریم که سیستم ناسازگار است.

اگر رتبه ماتریس اصلی با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد، یک پایه مینور را انتخاب می کنیم و معادلات سیستم را که در تشکیل ماتریس اصلی انتخابی شرکت نمی کنند، کنار می گذاریم.

اگر ترتیب پایه مینور برابر با تعداد متغیرهای مجهول باشد، SLAE یک راه حل منحصر به فرد دارد که می توان آن را با هر روشی که برای ما شناخته شده است پیدا کرد.

اگر ترتیب پایه مینور کمتر از تعداد متغیرهای مجهول باشد، در سمت چپ معادلات سیستم، عبارت ها را با متغیرهای مجهول اصلی رها می کنیم، عبارت های باقی مانده را به سمت راست منتقل می کنیم و مقادیر دلخواه را به آن می دهیم. متغیرهای مجهول رایگان از سیستم معادلات خطی حاصل، متغیرهای مجهول اصلی را با استفاده از روش کرامر، روش ماتریسی یا روش گاوس پیدا می کنیم.

روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی با فرم عمومی.

روش گاوس را می توان برای حل سیستم های معادلات جبری خطی از هر نوع بدون آزمایش اولیه آنها برای سازگاری استفاده کرد. فرآیند حذف متوالی متغیرهای ناشناخته امکان نتیجه گیری در مورد سازگاری و ناسازگاری SLAE را فراهم می کند و در صورت وجود راه حل، یافتن آن را ممکن می سازد.

از دیدگاه محاسباتی، روش گاوسی ارجحیت دارد.

تماشاش کن توصیف همراه با جزئیاتو نمونه هایی را در مقاله روش گاوس برای حل سیستم های معادلات جبری خطی با فرم کلی تحلیل کرد.

نوشتن یک جواب کلی برای سیستم های جبری خطی همگن و ناهمگن با استفاده از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها.

در این بخش در مورد سیستم های همگن و ناهمگن معادلات جبری خطی که تعداد بی نهایت جواب دارند صحبت خواهیم کرد.

اجازه دهید ابتدا به سیستم های همگن بپردازیم.

سیستم بنیادی راه حل هاسیستم همگن p معادلات جبری خطی با n متغیر مجهول مجموعه ای از (n – r) راه حل های مستقل خطی این سیستم است که r ترتیب مینور پایه ماتریس اصلی سیستم است.

اگر راه حل های مستقل خطی یک SLAE همگن را به صورت X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2), ..., X (n-r) ستونی نشان دهیم. ماتریس هایی با ابعاد n در 1) ، سپس جواب کلی این سیستم همگن به صورت ترکیبی خطی از بردارهای سیستم اساسی راه حل ها با دلخواه نمایش داده می شود. ضرایب ثابت C 1، C 2، ...، C (n-r)، یعنی .

اصطلاح حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (اوروسلاو) به چه معناست؟

معنی ساده است: فرمول تمام راه حل های ممکن SLAE اصلی را مشخص می کند، به عبارت دیگر، با گرفتن هر مجموعه ای از مقادیر ثابت دلخواه C 1، C 2، ...، C (n-r)، با استفاده از فرمولی که ما خواهیم کرد. یکی از محلول های SLAE همگن اصلی را بدست آورید.

بنابراین، اگر ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم، می توانیم تمام راه حل های این SLAE همگن را به عنوان تعریف کنیم.

اجازه دهید روند ساخت یک سیستم اساسی از راه حل ها را برای یک SLAE همگن نشان دهیم.

ما مینور اصلی سیستم اصلی معادلات خطی را انتخاب می کنیم، تمام معادلات دیگر را از سیستم حذف می کنیم و تمام عبارت های حاوی متغیرهای مجهول آزاد را به سمت راست معادلات سیستم با علائم مخالف منتقل می کنیم. بیایید به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر 1,0,0,...,0 بدهیم و مجهولات اصلی را با حل سیستم ابتدایی معادلات خطی به هر شکلی مثلاً با استفاده از روش کرامر محاسبه کنیم. این منجر به X (1) می شود - اولین راه حل سیستم بنیادی. اگر به مجهولات رایگان مقادیر 0,1,0,0,…,0 بدهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (2) به دست می آید. و غیره. اگر مقادیر 0.0،…،0.1 را به متغیرهای مجهول آزاد نسبت دهیم و مجهولات اصلی را محاسبه کنیم، X (n-r) را به دست می آوریم. به این ترتیب، یک سیستم اساسی از راه حل های یک SLAE همگن ساخته می شود و جواب کلی آن را می توان به شکل نوشتار کرد.

برای سیستم‌های ناهمگن معادلات جبری خطی، جواب کلی به شکل نشان داده می‌شود، جایی که جواب کلی سیستم همگن مربوطه است، و حل خاص SLAE ناهمگن اصلی است که با دادن مقادیر مجهولات آزاد به دست می‌آییم. 0,0,...,0 و محاسبه مقادیر مجهولات اصلی.

بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

مثال.

سیستم اساسی راه حل ها و حل کلی یک سیستم همگن معادلات جبری خطی را بیابید .

راه حل.

رتبه ماتریس اصلی سیستم های همگن معادلات خطی همیشه با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر است. بیایید رتبه ماتریس اصلی را با استفاده از روش مرزبندی مینورها پیدا کنیم. به عنوان مینور غیر صفر درجه اول، عنصر a 1 1 = 9 از ماتریس اصلی سیستم را می گیریم. بیایید مینور غیر صفر مرزی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

یک مینور از مرتبه دوم، متفاوت از صفر، پیدا شده است. بیایید در جست‌وجوی یک غیرصفر، از مینورهای مرتبه سوم که در حاشیه آن قرار دارند عبور کنیم:

همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه ماتریس اصلی و توسعه یافته برابر با دو است. بگیریم. برای وضوح، اجازه دهید به عناصر سیستمی که آن را تشکیل می دهند توجه کنیم:

معادله سوم SLAE اصلی در تشکیل پایه مینور شرکت نمی کند، بنابراین، می توان آن را حذف کرد:

عبارت‌های حاوی مجهولات اصلی را در سمت راست معادلات رها می‌کنیم و عبارت‌های مجهول آزاد را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

اجازه دهید یک سیستم اساسی از راه حل های سیستم همگن اصلی معادلات خطی بسازیم. سیستم اساسی راه حل های این SLAE از دو راه حل تشکیل شده است، زیرا SLAE اصلی شامل چهار متغیر ناشناخته است و ترتیب پایه مینور آن برابر با دو است. برای یافتن X (1)، به متغیرهای مجهول آزاد مقادیر x 2 = 1، x 4 = 0 می دهیم، سپس مجهولات اصلی را از سیستم معادلات می یابیم.
.

راه حل. A= . بیایید r(A) را پیدا کنیم. زیرا ماتریسو دارای سفارش 3x4 است، سپس بالاترین مرتبهمینورها برابر با 3 است. علاوه بر این، همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند (خودتان آن را بررسی کنید). به معنای، r(A)< 3. Возьмем главный جزئی اولیه = -5-4 = -9 ≠ 0. بنابراین r(A) =2.

در نظر بگیریم ماتریس با = .

سوم جزئی سفارش ≠ 0. پس r(C) = 3.

از آنجایی که r(A) ≠ r(C)، پس سیستم ناسازگار است.

مثال 2.تعیین سازگاری یک سیستم معادلات

اگر این سیستم ثابت شد حل کنید.

راه حل.

A = ، C = . واضح است که r(A) ≤ 3، r(C) ≤ 4. از آنجایی که detC = 0، پس r(C)< 4. در نظر بگیریم جزئی سوم سفارش، واقع در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A و C: = -23 ≠ 0. پس r(A) = r(C) = 3.

عدد ناشناخته در سیستم n=3. این به این معنی است که سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. در این حالت معادله چهارم مجموع سه مورد اول را نشان می دهد و می توان از آن چشم پوشی کرد.

طبق فرمول های کرامر x 1 = -98/23، x 2 = -47/23، x 3 = -123/23 را دریافت می کنیم.

2.4. روش ماتریسی. روش گاوسی

سیستم nمعادلات خطیبا nمجهولات قابل حل است روش ماتریسیطبق فرمول X = A -1 B (در Δ ≠ 0) که از (2) با ضرب هر دو قسمت در A -1 بدست می آید.

مثال 1. حل یک سیستم معادلات

روش ماتریسی (در بخش 2.2 این سیستم با استفاده از فرمول های کرامر حل شد)

راه حل. Δ = 10 ≠ 0 A = - ماتریس غیر منحط.

= (این مورد را خودتان با انجام محاسبات لازم بررسی کنید).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x=.

پاسخ: .

از نقطه نظر عملیروش و فرمول های ماتریسی کرامربا مقدار زیادی از محاسبات مرتبط هستند، بنابراین اولویت داده می شود روش گاوسی، که شامل حذف متوالی مجهولات است. برای انجام این کار، سیستم معادلات به یک سیستم معادل با یک ماتریس توسعه یافته مثلثی کاهش می یابد (همه عناصر زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند). به این اعمال حرکت رو به جلو می گویند. از سیستم مثلثی به دست آمده، متغیرها با استفاده از تعویض های متوالی (معکوس) یافت می شوند.

مثال 2. سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

(در بالا، این سیستم با استفاده از فرمول کرامر و روش ماتریس حل شد).

راه حل.

حرکت مستقیم بیایید ماتریس توسعه یافته را بنویسیم و با استفاده از آن تحولات ابتداییبیایید آن را به شکل مثلثی در آوریم:

~ ~ ~ ~ .

ما گرفتیم سیستم

حرکت معکوساز آخرین معادله ای که پیدا می کنیم ایکس 3 = -6 و این مقدار را با معادله دوم جایگزین کنید:

ایکس 2 = - 11/2 - 1/4ایکس 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

ایکس 1 = 2 -ایکس 2 + ایکس 3 = 2+4-6 = 0.

پاسخ: .

2.5. حل کلی یک سیستم معادلات خطی

اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود = b i(من=). اجازه دهید r(A) = r(C) = r، یعنی. سیستم مشارکتی است هر جزئی از مرتبه r غیر از صفر است جزئی اولیهبدون از دست دادن کلیت، فرض می کنیم که مینور پایه در اولین ردیف و ستون r (1≤ r ≤ min(m,n)) ماتریس A قرار دارد. حذف آخرین معادلات m-rسیستم ها، یک سیستم کوتاه شده می نویسیم:

که معادل اصلی است. مجهولات را نام ببریم x 1،….x rاساسی، و x r +1،…، x rآزاد کنید و عبارت های حاوی مجهولات رایگان را به سمت راست معادلات سیستم کوتاه منتقل کنید. ما یک سیستم با توجه به مجهولات اساسی بدست می آوریم:

که برای هر مجموعه ای از مقادیر مجهولات رایگان x r +1 = С 1،…، x n = С n-rتنها یک راه حل دارد x 1 (C 1،…، C n-r)،…، x r (C 1،…، C n-r)،توسط قانون کرامر پیدا شد.

راه حل مربوطهکوتاه شده و بنابراین سیستم اصلی به شکل زیر است:

X(C 1،…، C n-r) = - راه حل کلی سیستم

اگر در راه حل کلی مقداری عددی به مجهولات آزاد نسبت دهیم، جواب را به دست می آوریم سیستم خطی، خصوصی نامیده می شود.

مثال. ایجاد سازگاری و یافتن یک راه حل کلی برای سیستم

راه حل. A = ، C = .

بنابراین چگونه r(A)= r(C) = 2 (این را خودتان ببینید)، سپس سیستم اصلی سازگار است و تعداد بی نهایت راه حل دارد (از r< 4).

سیستم های معادلات به طور گسترده ای در بخش اقتصادی برای مدل سازی ریاضی فرآیندهای مختلف استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام حل مشکلات مدیریت تولید و برنامه ریزی، مسیرهای لجستیک (مشکل حمل و نقل) یا قرار دادن تجهیزات.

سیستم های معادلات نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک، شیمی و زیست شناسی، هنگام حل مسائل مربوط به یافتن اندازه جمعیت مورد استفاده قرار می گیرند.

سیستم معادلات خطی دو یا چند معادله با چندین متغیر است که برای آنها باید یک جواب مشترک پیدا کرد. چنین دنباله ای از اعداد که برای آن همه معادلات به برابری های واقعی تبدیل می شوند یا ثابت می کنند که دنباله وجود ندارد.

معادله خطی

معادلات شکل ax+by=c را خطی می نامند. عناوین x، y مجهولی هستند که مقدار آنها را باید پیدا کرد، b، a ضرایب متغیرها، c عبارت آزاد معادله است.
حل یک معادله با رسم آن مانند یک خط مستقیم به نظر می رسد که همه نقاط آن راه حل چند جمله ای هستند.

انواع سیستم های معادلات خطی

ساده‌ترین مثال‌ها، سیستم‌های معادلات خطی با دو متغیر X و Y هستند.

F1(x,y) = 0 و F2(x,y) = 0 که در آن F1,2 توابع و (x,y) متغیرهای تابع هستند.

حل سیستم معادلات - این به معنای یافتن مقادیر (x, y) است که در آن سیستم به یک برابری واقعی تبدیل می‌شود یا ایجاد آن مقادیر مناسب x و y وجود ندارند.

یک جفت مقدار (x, y) که به صورت مختصات یک نقطه نوشته می شود، راه حل یک سیستم معادلات خطی نامیده می شود.

اگر سیستم ها یک راه حل مشترک داشته باشند یا هیچ راه حلی وجود نداشته باشد، معادل نامیده می شوند.

سیستم های همگن معادلات خطی سیستم هایی هستند قسمت راستکه برابر با صفر است. اگر قسمت سمت راست بعد از علامت مساوی دارای مقدار باشد یا با تابعی بیان شود، چنین سیستمی ناهمگن است.

تعداد متغیرها می تواند بسیار بیشتر از دو باشد، پس باید در مورد مثالی از یک سیستم معادلات خطی با سه یا چند متغیر صحبت کنیم.

در مواجهه با سیستم‌ها، دانش‌آموزان تصور می‌کنند که تعداد معادلات لزوماً باید با تعداد مجهول‌ها منطبق باشد، اما اینطور نیست. تعداد معادلات در سیستم به متغیرها بستگی ندارد، می تواند به تعداد دلخواه وجود داشته باشد.

روش های ساده و پیچیده برای حل سیستم معادلات

هیچ روش تحلیلی کلی برای حل چنین سیستم هایی وجود ندارد، همه روش ها بر اساس آن هستند راه حل های عددی. درس ریاضیات مدرسه به تفصیل روش هایی مانند جایگشت، جمع جبری، جایگزینی و همچنین گرافیکی و روش ماتریسیحل به روش گاوسی.

وظیفه اصلی هنگام آموزش روش های راه حل، آموزش نحوه تجزیه و تحلیل صحیح سیستم و یافتن است الگوریتم بهینهراه حل برای هر مثال نکته اصلی حفظ سیستمی از قوانین و اقدامات برای هر روش نیست، بلکه درک اصول استفاده از یک روش خاص است.

حل نمونه سیستم های معادلات خطی برنامه پایه هفتم مدرسه راهنماییبسیار ساده و با جزئیات زیاد توضیح داده شده است. در هر کتاب ریاضی به این بخش توجه کافی شده است. حل نمونه‌هایی از سیستم‌های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس و کرامر در سال‌های اول تحصیلات عالی با جزئیات بیشتری مورد بررسی قرار می‌گیرد.

حل سیستم ها با استفاده از روش جایگزینی

اقدامات روش جایگزینی با هدف بیان مقدار یک متغیر بر حسب متغیر دوم است. عبارت در معادله باقی مانده جایگزین می شود، سپس به شکلی با یک متغیر کاهش می یابد. این عمل بسته به تعداد مجهولات در سیستم تکرار می شود

اجازه دهید برای مثالی از یک سیستم معادلات خطی کلاس 7 با استفاده از روش جایگزینی راه حلی ارائه دهیم:

همانطور که از مثال مشخص است، متغیر x از طریق F(X) = 7 + Y بیان شده است. . حل این مثال آسان است و به شما امکان می دهد مقدار Y را بدست آورید. آخرین مرحلهاین بررسی مقادیر دریافتی است.

همیشه نمی توان نمونه ای از یک سیستم معادلات خطی را با جایگزینی حل کرد. معادلات می توانند پیچیده باشند و بیان متغیر بر حسب مجهول دوم برای محاسبات بیشتر دست و پا گیر خواهد بود. هنگامی که بیش از 3 مجهول در سیستم وجود دارد، حل با جایگزینی نیز نامناسب است.

حل یک مثال از سیستم معادلات ناهمگن خطی:

حل با استفاده از جمع جبری

هنگام جستجوی راه حل برای سیستم ها با استفاده از روش جمع، معادلات عبارت به ترم اضافه می شوند و در اعداد مختلف ضرب می شوند. هدف نهایی عملیات ریاضی معادله ای در یک متغیر است.

برای برنامه های کاربردی این روشتمرین و مشاهده لازم است. حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جمع زمانی که 3 یا بیشتر متغیر وجود دارد آسان نیست. هنگامی که معادلات حاوی کسری و اعشاری هستند، استفاده از جمع جبری راحت است.

الگوریتم حل:

1. دو طرف معادله را در عدد معینی ضرب کنید. در نتیجه عملیات حسابی، یکی از ضرایب متغیر باید برابر با 1 شود.
2. عبارت حاصل را ترم به ترم اضافه کنید و یکی از مجهولات را پیدا کنید.
3. مقدار حاصل را در معادله دوم سیستم جایگزین کنید تا متغیر باقیمانده را پیدا کنید.

روش حل با معرفی یک متغیر جدید

در صورتی که سیستم نیاز به یافتن راه حلی برای حداکثر دو معادله داشته باشد، می توان یک متغیر جدید معرفی کرد؛ همچنین تعداد مجهول ها نباید بیشتر از دو معادله باشد.

این روش برای ساده سازی یکی از معادلات با معرفی یک متغیر جدید استفاده می شود. معادله جدید برای مجهول معرفی شده حل می شود و مقدار حاصل برای تعیین متغیر اصلی استفاده می شود.

مثال نشان می دهد که با معرفی یک متغیر جدید t، می توان معادله 1 سیستم را به یک مثلث درجه دوم استاندارد کاهش داد. شما می توانید یک چند جمله ای را با پیدا کردن ممیز حل کنید.

لازم است مقدار ممیز را با استفاده از فرمول معروف بدست آوریم: D = b2 - 4*a*c که D ممیز مورد نظر است، b، a، c عوامل چند جمله ای هستند. در مثال داده شده، a=1، b=16، c=39، بنابراین D=100. اگر ممیز بزرگتر از صفر باشد، دو راه حل وجود دارد: t = -b±√D / 2*a، اگر ممیز کمتر از صفر باشد، یک راه حل وجود دارد: x = -b / 2*a.

راه حل برای سیستم های حاصل با روش جمع یافت می شود.

روش بصری برای حل سیستم ها

مناسب برای 3 سیستم معادله. این روش شامل ساخت نمودارهای هر معادله موجود در سیستم بر روی محور مختصات است. مختصات نقاط تقاطع منحنی ها راه حل کلی سیستم خواهد بود.

روش گرافیکی دارای تعدادی تفاوت ظریف است. بیایید به چند نمونه از حل سیستم معادلات خطی به صورت تصویری نگاه کنیم.

همانطور که از مثال مشخص است، برای هر خط دو نقطه ساخته شد، مقادیر متغیر x به صورت دلخواه انتخاب شدند: 0 و 3. بر اساس مقادیر x، مقادیر y پیدا شد: 3 و 0. نقاط با مختصات (0، 3) و (3، 0) روی نمودار مشخص شده و با یک خط به هم متصل شدند.

مراحل باید برای معادله دوم تکرار شوند. نقطه تلاقی خطوط راه حل سیستم است.

مثال زیر نیاز به یافتن دارد راه حل گرافیکیسیستم های معادلات خطی: 0.5x-y+2=0 و 0.5x-y-1=0.

همانطور که از مثال مشخص است، سیستم هیچ راه حلی ندارد، زیرا نمودارها موازی هستند و در تمام طول خود قطع نمی کنند.

سیستم‌های مثال‌های 2 و 3 مشابه هستند، اما وقتی ساخته می‌شوند، مشخص می‌شود که راه‌حل‌های آنها متفاوت است. باید به خاطر داشت که همیشه نمی توان گفت که آیا یک سیستم راه حل دارد یا خیر، همیشه باید یک نمودار ساخت.

ماتریس و انواع آن

از ماتریس ها برای نوشتن مختصر یک سیستم معادلات خطی استفاده می شود. ماتریس یک جدول است نوع خاصپر از اعداد n*m دارای n - سطر و m - ستون است.

یک ماتریس زمانی مربع است که تعداد ستون ها و ردیف ها برابر باشد. ماتریس-بردار ماتریسی از یک ستون با تعداد بی نهایت ممکن سطر است. ماتریسی که در امتداد یکی از مورب ها و سایر عناصر صفر باشد هویت نامیده می شود.

ماتریس معکوس، ماتریسی است که در ضرب آن، ماتریس اصلی به یک ماتریس واحد تبدیل می شود؛ چنین ماتریسی فقط برای ماتریس مربع اصلی وجود دارد.

قوانین تبدیل سیستم معادلات به ماتریس

در رابطه با سیستم های معادلات، ضرایب و عبارت های آزاد معادلات به صورت اعداد ماتریسی نوشته می شوند؛ یک معادله یک ردیف از ماتریس است.

اگر حداقل یکی از عناصر سطر صفر نباشد، به یک ردیف ماتریسی غیرصفر گفته می شود. بنابراین، اگر در هر یک از معادلات تعداد متغیرها متفاوت باشد، باید به جای مجهول گمشده، صفر وارد شود.

ستون های ماتریس باید کاملاً با متغیرها مطابقت داشته باشند. این بدان معنی است که ضرایب متغیر x را می توان فقط در یک ستون نوشت، برای مثال اولی، ضریب مجهول y - فقط در ستون دوم.

هنگام ضرب یک ماتریس، تمام عناصر ماتریس به صورت متوالی در یک عدد ضرب می شوند.

گزینه هایی برای یافتن ماتریس معکوس

فرمول برای یافتن ماتریس معکوس بسیار ساده است: K -1 = 1 / |K|، که در آن K -1 ماتریس معکوس است و |K| تعیین کننده ماتریس است. |K| نباید برابر با صفر باشد، پس سیستم یک راه حل دارد.

تعیین کننده به راحتی برای یک ماتریس دو در دو محاسبه می شود؛ فقط باید عناصر مورب را در یکدیگر ضرب کنید. برای گزینه "سه در سه" فرمولی وجود دارد |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . می توانید از فرمول استفاده کنید یا به یاد داشته باشید که باید از هر سطر و هر ستون یک عنصر بگیرید تا تعداد ستون ها و ردیف های عناصر در کار تکرار نشود.

حل نمونه هایی از سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش ماتریسی

روش ماتریسی برای یافتن راه حل به شما امکان می دهد هنگام حل سیستم هایی با تعداد زیادی متغیر و معادلات، ورودی های دست و پا گیر را کاهش دهید.

در مثال، a nm ضرایب معادلات است، ماتریس یک بردار است x n متغیر هستند و b n عبارت‌های آزاد هستند.

حل سیستم ها با استفاده از روش گاوسی

در ریاضیات عالی، روش گاوسی همراه با روش کرامر مورد مطالعه قرار می گیرد و فرآیند یافتن راه حل برای سیستم ها، روش حل گاوس-کرامر نامیده می شود. از این روش ها برای یافتن متغیرهای سیستم هایی با تعداد معادلات خطی زیاد استفاده می شود.

روش گاوس بسیار شبیه به راه حل های با استفاده از جایگزینی و جمع جبری، اما سیستماتیک تر. در دوره مدرسه، حل به روش گاوسی برای سیستم های معادله 3 و 4 استفاده می شود. هدف از این روش کاهش سیستم به شکل ذوزنقه معکوس است. با استفاده از تبدیل ها و جانشینی های جبری، مقدار یک متغیر در یکی از معادلات سیستم پیدا می شود. معادله دوم عبارتی است با 2 مجهول، در حالی که 3 و 4 به ترتیب دارای 3 و 4 متغیر هستند.

پس از آوردن سیستم به شکل توصیف شده، راه حل بعدی به جایگزینی متوالی متغیرهای شناخته شده در معادلات سیستم کاهش می یابد.

که در کتاب های درسی مدرسهبرای درجه 7، نمونه ای از راه حل با روش گاوسی به شرح زیر است:

همانطور که از مثال مشخص است، در مرحله (3) دو معادله به دست آمد: 3x 3 -2x 4 =11 و 3x 3 +2x 4 =7. حل هر یک از معادلات به شما امکان می دهد یکی از متغیرهای x n را پیدا کنید.

قضیه 5 که در متن به آن اشاره شده است، بیان می کند که اگر یکی از معادلات سیستم با معادلی جایگزین شود، سیستم حاصل نیز معادل معادله اصلی خواهد بود.

درک روش گاوسی برای دانش آموزان دشوار است دبیرستان، اما یکی از بیشتر است راه های جالببرای توسعه نبوغ کودکانی که در برنامه های تحصیلی پیشرفته در کلاس های ریاضی و فیزیک ثبت نام کرده اند.

برای سهولت ثبت، محاسبات معمولاً به صورت زیر انجام می شود:

ضرایب معادلات و عبارت های آزاد به صورت ماتریسی نوشته می شوند که هر ردیف از ماتریس با یکی از معادلات سیستم مطابقت دارد. سمت چپ معادله را از سمت راست جدا می کند. اعداد رومی تعداد معادلات موجود در سیستم را نشان می دهد.

ابتدا ماتریسی را که باید با آن کار کنید، یادداشت کنید، سپس تمام اقدامات انجام شده با یکی از ردیف ها را بنویسید. ماتریس حاصل پس از علامت "فلش" نوشته می شود و به انجام موارد لازم ادامه می دهد عملیات جبریتا زمانی که نتیجه حاصل شود.

نتیجه باید ماتریسی باشد که در آن یکی از مورب ها برابر با 1 است و سایر ضرایب برابر با صفر هستند، یعنی ماتریس به یک فرم واحد کاهش می یابد. نباید فراموش کنیم که محاسبات را با اعداد در دو طرف معادله انجام دهیم.

این روش ضبط کمتر دست و پا گیر است و به شما امکان می دهد با فهرست کردن مجهولات متعدد حواس شما پرت نشود.

استفاده رایگان از هر روش راه حلی نیاز به مراقبت و کمی تجربه دارد. همه روش ها ماهیت کاربردی ندارند. برخی از روش‌های یافتن راه‌حل در حوزه خاصی از فعالیت‌های انسانی ارجحیت دارند، در حالی که برخی دیگر برای اهداف آموزشی وجود دارند.

با این حال، در عمل دو مورد دیگر گسترده است:

- سیستم ناسازگار است (راه حلی ندارد).
- سیستم سازگار است و راه حل های بی نهایت زیادی دارد.

توجه داشته باشید : اصطلاح سازگاری به این معناست که سیستم حداقل راه حلی دارد. در تعدادی از مشکلات، لازم است ابتدا سیستم از نظر سازگاری بررسی شود؛ نحوه انجام این کار، به مقاله رتبه ماتریس ها.

برای این سیستم ها، جهانی ترین روش حل استفاده می شود - روش گاوسی. در واقع روش "مدرسه" نیز به پاسخ خواهد رسید، اما در ریاضیات عالی مرسوم است که از روش گاوسی حذف متوالی مجهولات استفاده شود. کسانی که با الگوریتم روش گاوس آشنایی ندارند لطفا ابتدا درس را مطالعه کنند روش گاوسی برای آدمک ها.

خود تبدیل‌های ماتریس ابتدایی دقیقاً یکسان هستند، تفاوت در پایان راه حل خواهد بود. ابتدا، اجازه دهید به چند مثال نگاه کنیم که سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار).

مثال 1

چه چیزی بلافاصله در مورد این سیستم نظر شما را جلب می کند؟ تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها است. اگر تعداد معادلات کمتر از تعداد متغیرها باشد، بلافاصله می توان گفت که سیستم یا ناسازگار است یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد. و تنها چیزی که باقی می ماند این است که بفهمیم.

شروع راه حل کاملاً معمولی است - ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های اولیه، آن را به شکل گام به گام در می آوریم:

(1) در مرحله بالا سمت چپ باید 1+ یا –1 را دریافت کنیم. چنین اعدادی در ستون اول وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را به همراه نخواهد داشت. واحد باید خود را سازماندهی کند و این کار به چند روش قابل انجام است. من این کار را کردم: به خط اول، خط سوم را در -1 ضرب می کنیم.

(2) حالا در ستون اول دو صفر می گیریم. به سطر دوم سطر اول ضرب در 3 را اضافه می کنیم به سطر سوم سطر اول ضرب در 5 را اضافه می کنیم.

(3) پس از تکمیل تبدیل، همیشه توصیه می شود ببینید که آیا می توان رشته های حاصل را ساده کرد؟ می توان. خط دوم را بر 2 تقسیم می کنیم و در همان زمان 1- مورد نیاز را در مرحله دوم بدست می آوریم. خط سوم را بر -3 تقسیم کنید.

(4) خط دوم را به خط سوم اضافه کنید.

احتمالاً همه متوجه خط بد ناشی از تحولات ابتدایی شده اند: . واضح است که چنین چیزی نمی تواند باشد. در واقع، اجازه دهید ماتریس حاصل را بازنویسی کنیم بازگشت به سیستم معادلات خطی:

اگر در نتیجه تبدیل های ابتدایی، رشته ای از فرم به دست آید که عددی غیر از صفر باشد، آنگاه سیستم ناسازگار است (راه حلی ندارد).

چگونه پایان یک کار را یادداشت کنیم؟ بیایید با گچ سفید رسم کنیم: "در نتیجه تبدیل های ابتدایی، رشته ای از شکل، جایی که " به دست می آید و پاسخ می دهیم: سیستم هیچ راه حلی ندارد (ناسازگار).

اگر طبق شرایط، نیاز به تحقیق در سیستم برای سازگاری باشد، لازم است راه حل را به سبک محکم تر با استفاده از مفهوم رسمی کنید. رتبه ماتریس و قضیه کرونکر-کاپلی.

لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا هیچ تغییری از الگوریتم گاوسی وجود ندارد - هیچ راه حلی وجود ندارد و به سادگی چیزی برای یافتن وجود ندارد.

مثال 2

حل یک سیستم معادلات خطی

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس. دوباره به شما یادآوری می‌کنم که راه‌حل شما ممکن است با راه‌حل من متفاوت باشد؛ الگوریتم گاوسی «سفتی» قوی ندارد.

یکی دیگر از ویژگی های فنی راه حل: تحولات ابتدایی را می توان متوقف کرد فورا، به محض اینکه یک خط مانند ، کجا . در نظر بگیریم مثال شرطی: فرض کنید پس از اولین تبدیل ماتریس به دست می آید . ماتریس هنوز به شکل پله ای کاهش نیافته است، اما نیازی به تبدیل های ابتدایی بیشتر نیست، زیرا خطی از فرم ظاهر شده است، که در آن . بلافاصله باید پاسخ داد که سیستم ناسازگار است.

هنگامی که یک سیستم معادلات خطی هیچ راه حلی ندارد، این تقریبا یک هدیه است، به دلیل این واقعیت است که یک راه حل کوتاه، گاهی اوقات به معنای واقعی کلمه در 2-3 مرحله به دست می آید.

اما همه چیز در این دنیا متعادل است و مشکلی که در آن سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد طولانی تر است.

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی

4 معادله و 4 مجهول وجود دارد، بنابراین سیستم می تواند یا یک راه حل داشته باشد، یا هیچ راه حلی نداشته باشد، یا راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشد. به هر حال، روش گاوسی در هر صورت ما را به پاسخ خواهد رساند. این همه کاره بودن آن است.

شروع دوباره استاندارد است. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

همین و شما می ترسیدید.

(1) لطفاً توجه داشته باشید که همه اعداد در ستون اول بر 2 بخش پذیر هستند، بنابراین 2 در مرحله بالا سمت چپ خوب است. به خط دوم، خط اول را در 4- ضرب می کنیم. به خط سوم، خط اول را در 2- ضرب می کنیم. به خط چهارم، خط اول را در -1 ضرب می کنیم.

توجه!بسیاری ممکن است توسط خط چهارم وسوسه شوند تفریق کردنخط اول. این کار می تواند انجام شود، اما لازم نیست؛ تجربه نشان می دهد که احتمال خطا در محاسبات چندین برابر افزایش می یابد. فقط اضافه کنید: به خط چهارم، اولین سطر ضرب در -1 را اضافه کنید. دقیقا!

(2) سه خط آخر متناسب هستند، دو تا از آنها قابل حذف است.

در اینجا دوباره باید نشان دهیم افزایش توجه، اما آیا خطوط واقعاً متناسب هستند؟ برای اطمینان (مخصوصاً برای قوری)، ایده خوبی است که خط دوم را در -1 ضرب کنید و خط چهارم را بر 2 تقسیم کنید و در نتیجه سه خط یکسان ایجاد شود. و تنها پس از آن دو تا از آنها را حذف کنید.

در نتیجه تبدیل های اولیه، ماتریس توسعه یافته سیستم به شکل گام به گام کاهش می یابد:

هنگام نوشتن یک کار در دفترچه یادداشت، توصیه می شود که همان یادداشت ها را با مداد برای وضوح ایجاد کنید.

اجازه دهید سیستم معادلات مربوطه را بازنویسی کنیم:

در اینجا هیچ بویی از یک راه حل واحد "معمولی" برای سیستم وجود ندارد. خط بدی هم وجود ندارد. این بدان معنی است که این سومین مورد باقی مانده است - سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد. گاهی اوقات با توجه به شرایط لازم است که سازگاری سیستم را بررسی کنید (یعنی ثابت کنید که اصلاً یک راه حل وجود دارد) می توانید در پاراگراف آخر مقاله در این مورد مطالعه کنید. چگونه رتبه یک ماتریس را پیدا کنیم؟اما فعلا اجازه دهید به اصول اولیه بپردازیم:

مجموعه نامتناهی از راه حل های یک سیستم به طور خلاصه در قالب به اصطلاح نوشته شده است راه حل کلی سیستم .

تصمیم مشترکما سیستم را با استفاده از معکوس روش گاوسی پیدا خواهیم کرد.

ابتدا باید تعریف کنیم که چه متغیرهایی داریم پایه ایو چه متغیرهایی رایگان. لازم نیست خود را با اصطلاحات جبر خطی آزار دهید، فقط به یاد داشته باشید که چنین مواردی وجود دارد متغیرهای اساسیو متغیرهای رایگان.

متغیرهای اصلی همیشه به طور دقیق روی مراحل ماتریس می نشینند.
در این مثال، متغیرهای پایه عبارتند از و

متغیرهای رایگان همه چیز هستند باقی مانده استمتغیرهایی که یک مرحله دریافت نکردند. در مورد ما دو مورد از آنها وجود دارد: - متغیرهای آزاد.

حالا شما نیاز دارید همه متغیرهای اساسیبیان فقط از طریق متغیرهای رایگان.

معکوس الگوریتم گاوسی به طور سنتی از پایین به بالا کار می کند.
از معادله دوم سیستم، متغیر اصلی را بیان می کنیم:

حالا به معادله اول نگاه کنید: . ابتدا عبارت یافت شده را در آن جایگزین می کنیم:

باقی مانده است که متغیر اصلی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم:

در پایان به آنچه نیاز داشتیم رسیدیم - همهمتغیرهای اساسی (و) بیان می شوند فقط از طریقمتغیرهای رایگان:

در واقع، راه حل کلی آماده است:

چگونه جواب کلی را به درستی بنویسیم؟
متغیرهای رایگان در راه حل کلی "به خودی خود" و دقیقاً در جای خود نوشته می شوند. در این حالت متغیرهای آزاد باید در جایگاه دوم و چهارم نوشته شوند:
.

عبارات به دست آمده برای متغیرهای اساسی و بدیهی است که باید در جایگاه اول و سوم نوشته شود:

دادن متغیرهای رایگان مقادیر دلخواه، بی نهایت می توانید پیدا کنید راه حل های خصوصی. محبوب ترین مقادیر صفر هستند، زیرا راه حل خاص ساده ترین است. بیایید راه حل کلی را جایگزین کنیم:

- راه حل خصوصی

یکی دیگر از جفت های شیرین یکی هستند، بیایید آنها را در راه حل کلی جایگزین کنیم:

- یک راه حل خصوصی دیگر

به راحتی می توان فهمید که سیستم معادلات دارد راه حل های بی نهایت زیاد(از آنجایی که می توانیم متغیرهای رایگان بدهیم هرارزش های)

هر یکراه حل خاص باید ارضا شود به هرمعادله سیستم این مبنایی برای بررسی "سریع" صحت راه حل است. به عنوان مثال، یک راه حل خاص را در نظر بگیرید و آن را در سمت چپ هر معادله سیستم اصلی جایگزین کنید:

همه چیز باید با هم جمع شود. و با هر راه حل خاصی که دریافت می کنید، همه چیز نیز باید موافق باشد.

اما، به طور دقیق، بررسی یک راه حل خاص گاهی اوقات فریبنده است، یعنی. برخی از راه حل های خاص ممکن است هر معادله سیستم را برآورده کند، اما خود راه حل کلی در واقع نادرست یافت می شود.

بنابراین، تأیید راه حل کلی دقیق تر و قابل اعتمادتر است. چگونه می توان راه حل کلی حاصل را بررسی کرد ?

سخت نیست، اما کاملا خسته کننده است. ما باید عباراتی را در نظر بگیریم پایه ایمتغیرها در این مورد و، و آنها را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین کنید.

در سمت چپ معادله اول سیستم:

در سمت چپ معادله دوم سیستم:


سمت راست معادله اصلی به دست می آید.

مثال 4

سیستم را با استفاده از روش گاوسی حل کنید. راه حل کلی و دو راه حل خاص را پیدا کنید. راه حل کلی را بررسی کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در اینجا، اتفاقا، دوباره تعداد معادلات کمتر از تعداد مجهولات است، یعنی بلافاصله مشخص می شود که سیستم یا ناسازگار خواهد بود یا تعداد بی نهایت راه حل دارد. چه چیزی در خود فرآیند تصمیم گیری مهم است؟ توجه، و دوباره توجه. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

و چند مثال دیگر برای تقویت مطالب

مثال 5

حل یک سیستم معادلات خطی. اگر سیستم بی نهایت راه حل دارد، دو راه حل خاص پیدا کنید و راه حل کلی را بررسی کنید

راه حل: بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

(1) خط اول را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم سطر اول ضرب در 2 را اضافه می کنیم به خط چهارم اولین سطر ضرب در 3 را اضافه می کنیم.
(2) به خط سوم، خط دوم را در 5- ضرب می کنیم. به خط چهارم، خط دوم را در 7- ضرب می کنیم.
(3) خط سوم و چهارم یکسان است، یکی از آنها را حذف می کنیم.

این چنین زیبایی است:

متغیرهای اساسی روی مراحل می‌نشینند، بنابراین - متغیرهای اساسی.
تنها یک متغیر رایگان وجود دارد که یک مرحله دریافت نکرده است:

معکوس:
بیایید متغیرهای اصلی را از طریق یک متغیر آزاد بیان کنیم:
از معادله سوم:

بیایید معادله دوم را در نظر بگیریم و عبارت پیدا شده را جایگزین آن کنیم:

بیایید معادله اول را در نظر بگیریم و عبارات یافت شده را جایگزین و در آن قرار دهیم:

بله، ماشین حسابی که کسرهای معمولی را محاسبه می کند هنوز هم راحت است.

بنابراین راه حل کلی این است:

یک بار دیگر چطور شد؟ متغیر رایگان به تنهایی در جایگاه چهارم قرار دارد. عبارات حاصل برای متغیرهای پایه نیز جایگاه ترتیبی خود را گرفتند.

اجازه دهید بلافاصله راه حل کلی را بررسی کنیم. کار برای سیاه پوستان است، اما من قبلاً آن را انجام داده ام، پس آن را بگیرید =)

ما سه قهرمان، را در سمت چپ هر معادله سیستم جایگزین می کنیم:

سمت راست معادلات مربوطه به دست می آید، بنابراین جواب کلی به درستی پیدا می شود.

اکنون از راه حل کلی یافت شده ما دو راه حل خاص به دست می آوریم. تنها متغیر رایگان اینجا سرآشپز است. نیازی نیست که مغز خود را جمع و جور کنید.

بگذار آن وقت باشد - راه حل خصوصی
بگذار آن وقت باشد - یک راه حل خصوصی دیگر

پاسخ: تصمیم مشترک: راه حل های خصوصی: , .

نباید سیاه‌پوستان را به یاد می‌آورم... چون انواع انگیزه‌های سادیستی به ذهنم خطور می‌کرد و یاد فتوشاپ معروفی افتادم که در آن مردان کوکلاکس کلنس با لباس‌های سفید در سراسر زمین به دنبال یک فوتبالیست سیاه‌پوست می‌دویدند. می نشینم و آرام لبخند می زنم. میدونی چقدر حواس پرت میکنه...

بسیاری از ریاضیات مضر است، بنابراین یک مثال نهایی مشابه برای حل آن توسط خودتان.

مثال 6

جواب کلی سیستم معادلات خطی را پیدا کنید.

من قبلاً راه حل کلی را بررسی کرده ام، می توان به پاسخ اعتماد کرد. راه حل شما ممکن است با راه حل من متفاوت باشد، نکته اصلی این است که راه حل های کلی مطابقت دارند.

احتمالاً بسیاری متوجه یک لحظه ناخوشایند در تصمیم گیری شده اند: اغلب اوقات زمانی که سکته مغزی معکوسروش گاوسی که ما مجبور بودیم با آن دستکاری کنیم کسرهای معمولی. در عمل، واقعاً چنین است؛ مواردی که کسری وجود ندارد بسیار کمتر رایج است. از نظر ذهنی و مهمتر از همه از نظر فنی آماده باشید.

من در مورد برخی از ویژگی های راه حل که در مثال های حل شده یافت نشد صحبت خواهم کرد.

راه حل کلی سیستم ممکن است گاهی اوقات شامل یک ثابت (یا ثابت) باشد، به عنوان مثال: . در اینجا یکی از متغیرهای اساسی برابر با یک عدد ثابت است: . هیچ چیز عجیب و غریبی در این مورد وجود ندارد، این اتفاق می افتد. بدیهی است که در این حالت، هر راه حل خاصی حاوی یک پنج در موقعیت اول خواهد بود.

به ندرت، اما سیستم هایی وجود دارند که در آنها تعداد معادلات مقدار بیشترمتغیرها. روش گاوسی بیشترین کارایی را دارد شرایط سخت، باید با آرامش ماتریس توسعه یافته سیستم را با استفاده از یک الگوریتم استاندارد به شکل گام به گام کاهش داد. چنین سیستمی ممکن است ناسازگار باشد، ممکن است راه حل های بی نهایت زیادی داشته باشد، و به طرز عجیبی ممکن است یک راه حل واحد داشته باشد.

روش گاوسی دارای تعدادی معایب است: تا زمانی که تمام تغییرات لازم در روش گاوسی انجام نشده باشد، نمی توان فهمید که آیا سیستم سازگار است یا خیر. روش گاوس برای سیستم هایی با ضرایب حرف مناسب نیست.

بیایید روش های دیگری را برای حل سیستم های معادلات خطی در نظر بگیریم. این روش ها از مفهوم رتبه ماتریسی استفاده می کنند و جواب را به هر یک کاهش می دهند سیستم مشترکبرای حل سیستمی که قانون کرامر در مورد آن اعمال می شود.

مثال 1.برای سیستم معادلات خطی زیر با استفاده از سیستم اصلی راه حل های سیستم همگن کاهش یافته و یک راه حل خاص برای سیستم ناهمگن، یک راه حل کلی پیدا کنید.

1. ساخت ماتریس آو ماتریس سیستم توسعه یافته (1)

2. سیستم را کاوش کنید (1) برای با هم بودن برای این کار، رتبه های ماتریس ها را پیدا می کنیم آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">. اگر معلوم شد که سیستم (1) ناسازگار اگر ما آن را دریافت کنیم ، سپس این سیستم سازگار است و ما آن را حل خواهیم کرد. (مطالعه سازگاری بر اساس قضیه کرونکر-کاپلی است).

آ. ما پیدا می کنیم rA.

برای پیدا کردن rA، ما به ترتیب مینورهای غیر صفر ترتیبات اول، دوم و غیره ماتریس را در نظر خواهیم گرفت. آو خردسالان اطراف آنها

M1=1≠0 (از گوشه سمت چپ بالای ماتریس 1 می گیریم آ).

ما مرز داریم M1سطر دوم و ستون دوم این ماتریس. . به مرز ادامه می دهیم M1خط دوم و ستون سوم..gif" width="37" height="20 src=">. حالا مینور غیر صفر را حاشیه می کنیم. M2′مرتبه دوم.

ما داریم: (چون دو ستون اول یکسان هستند)

(چون خط دوم و سوم متناسب هستند).

ما آن را می بینیم rA=2، a مینور پایه ماتریس است آ.

ب ما پیدا می کنیم.

جزئی نسبتا ابتدایی M2′ماتریس ها آبا ستونی از عبارت‌های آزاد و همه ردیف‌ها مرز (فقط آخرین ردیف را داریم).

. نتیجه می شود که M3′′مینور اصلی ماتریس باقی می ماند https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

زیرا M2′- مینور پایه ماتریس آسیستم های (2) ، پس این سیستم معادل سیستم است (3) ، که از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (2) (برای M2′در دو ردیف اول ماتریس A قرار دارد).

(3)

از ابتدایی ترین مرحله https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

در این سیستم دو مجهول رایگان وجود دارد ( x2 و x4 ). از همین رو FSR سیستم های (4) از دو راه حل تشکیل شده است برای پیدا کردن آنها، مجهولات رایگان را در آن اختصاص می دهیم (4) اول ارزش ها x2=1 , x4=0 ، و سپس - x2=0 , x4=1 .

در x2=1 , x4=0 ما گرفتیم:

.

این سیستم قبلاً دارد تنها چیزی راه حل (می توان آن را با استفاده از قانون کرامر یا هر روش دیگری پیدا کرد). با کم کردن معادله اول از معادله دوم به دست می آید:

راه حل او خواهد بود x1= -1 , x3=0 . با توجه به مقادیر x2 و x4 ، که دادیم، اولین را می گیریم راه حل اساسیسیستم های (2) : .

حالا ما ایمان داریم (4) x2=0 , x4=1 . ما گرفتیم:

.

ما این سیستم را با استفاده از قضیه کرامر حل می کنیم:

.

ما دومین راه حل اساسی سیستم را به دست می آوریم (2) : .

راه حل ها β1 , β2 و آرایش کنید FSR سیستم های (2) . سپس راه حل کلی آن خواهد بود

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1، 1، 0، 0)+С2(5، 0، 4، 1)=(‑С1+5С2، С1، 4С2، С2)

اینجا C1 , C2 - ثابت های دلخواه

4. بیایید یکی را پیدا کنیم خصوصی راه حل سیستم ناهمگن(1) . همانطور که در پاراگراف است 3 ، به جای سیستم (1) بیایید یک سیستم معادل را در نظر بگیریم (5) ، که از دو معادله اول سیستم تشکیل شده است (1) .

(5)

اجازه دهید مجهولات رایگان را به سمت راست منتقل کنیم x2و x4.

(6)

مجهولات مجانی بدهیم x2 و x4 مقادیر دلخواه، برای مثال، x2=2 , x4=1 و آنها را در آن قرار دهید (6) . بیایید سیستم را دریافت کنیم

این سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (از آنجایی که تعیین کننده است M2′0). با حل آن (با استفاده از قضیه کرامر یا روش گاوس)، به دست می آوریم x1=3 , x3=3 . با توجه به مقادیر مجهولات رایگان x2 و x4 ، ما گرفتیم راه حل خاص یک سیستم ناهمگن(1)α1=(3،2،3،1).

5. اکنون فقط نوشتن آن باقی مانده است راه حل کلی α یک سیستم ناهمگن(1) : برابر با جمع است راه حل خصوصیاین سیستم و راه حل کلی سیستم همگن کاهش یافته آن (2) :

α=α1+γ=(3، 2، 3، 1)+(‑С1+5С2، С1، 4С2، С2).

این یعنی: (7)

6. معاینه.برای بررسی اینکه آیا سیستم را به درستی حل کرده اید یا خیر (1) ، ما به یک راه حل کلی نیاز داریم (7) جایگزین در (1) . اگر هر معادله به هویت تبدیل شود ( C1 و C2 باید نابود شود)، سپس راه حل به درستی پیدا می شود.

جایگزین می کنیم (7) به عنوان مثال، تنها آخرین معادله سیستم (1) (ایکس1 + ایکس2 + ایکس3 ‑9 ایکس4 =‑1) .

دریافت می کنیم: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

جایی که –1=–1. ما هویت گرفتیم ما این کار را با تمام معادلات دیگر سیستم انجام می دهیم (1) .

اظهار نظر.چک معمولاً بسیار سنگین است. "بررسی جزئی" زیر را می توان توصیه کرد: در راه حل کلی سیستم (1) مقادیری را به ثابت های دلخواه اختصاص دهید و جواب جزئی حاصل را فقط در معادلات حذف شده جایگزین کنید (یعنی در آن معادلات از (1) ، که در آن گنجانده نشدند (5) ). اگر هویت پیدا کردید، پس احتمال بیشتری داردراه حل سیستم (1) به درستی یافت شده است (اما چنین چکی تضمین کاملی برای صحت ندارد!). به عنوان مثال، اگر در (7) قرار دادن C2=- 1 , C1=1، سپس دریافت می کنیم: x1=-3، x2=3، x3=-1، x4=0. با جایگزینی به آخرین معادله سیستم (1)، داریم: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ، یعنی –1=–1. ما هویت گرفتیم

مثال 2.یک راه حل کلی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنید (1) ، مجهولات اساسی را بر حسب مجهولات آزاد بیان می کند.

راه حل.همانطور که در مثال 1، ماتریس ها را بنویسید آو https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> از این ماتریس ها حالا فقط آن معادلات سیستم را باقی می گذاریم. (1) ، که ضرایب آن در این مینور اصلی قرار می گیرد (یعنی دو معادله اول را داریم) و سیستمی متشکل از آنها را معادل سیستم (1) در نظر می گیریم.

اجازه دهید مجهولات آزاد را به سمت راست این معادلات منتقل کنیم.

سیستم (9) ما با روش گاوسی حل می کنیم و سمت راست را به عنوان عبارت آزاد در نظر می گیریم.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

گزینه 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

گزینه 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

گزینه 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

گزینه 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">