نمونه ای از حل یک سیستم جفت شده با استفاده از روش گاوسی. روش گاوسی برای آدمک ها: حل آسان لجن

یکی از ساده ترین راه ها برای حل سیستم معادلات خطییک تکنیک مبتنی بر محاسبه عوامل تعیین کننده است ( قانون کرامر). مزیت آن این است که به شما امکان می دهد بلافاصله راه حل را ضبط کنید؛ به ویژه در مواردی که ضرایب سیستم اعداد نیست، بلکه برخی از پارامترها هستند راحت است. عیب آن دست و پا گیر بودن محاسبات در مورد است تعداد زیادیمعادلات؛ علاوه بر این، قانون کرامر به طور مستقیم برای سیستم هایی که در آن تعداد معادلات با تعداد مجهولات منطبق نیست، قابل اجرا نیست. در چنین مواردی معمولا استفاده می شود روش گاوسی.

سیستم های معادلات خطی که مجموعه راه حل های یکسانی دارند نامیده می شوند معادل. بدیهی است که راه حل های زیادی وجود دارد سیستم خطیاگر معادله ای مبادله شود، یا اگر یکی از معادلات در عددی غیر صفر ضرب شود، یا اگر یک معادله به معادله دیگر اضافه شود، تغییر نمی کند.

روش گاوس (روش حذف متوالیناشناخته) این است که با کمک تبدیل های ابتدایی سیستم به یک سیستم معادل از نوع پله ای کاهش می یابد. ابتدا با استفاده از معادله 1 حذف می کنیم ایکس 1 از تمام معادلات بعدی سیستم. سپس با استفاده از معادله 2 حذف می کنیم ایکس 2 از 3 و تمام معادلات بعدی. این فرآیند، به نام روش گاوسی مستقیم، ادامه می یابد تا زمانی که در سمت چپ آخرین معادله تنها یک مجهول باقی بماند x n. بعد از این کار انجام می شود سکته مغزی معکوسروش گاوس– با حل آخرین معادله، پیدا می کنیم x n; پس از آن، با استفاده از این مقدار، از معادله ماقبل آخر محاسبه می کنیم x n-1 و غیره آخرین مورد را پیدا می کنیم ایکس 1 از معادله اول.

انجام تبدیل های گاوسی با انجام تبدیل نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس ضرایب آنها راحت است. ماتریس را در نظر بگیرید:

تماس گرفت منبسط ماتریس سیستم, زیرا علاوه بر ماتریس اصلی سیستم، شامل ستونی از اصطلاحات آزاد می باشد. روش گاوسی مبتنی بر کاهش ماتریس اصلی سیستم به شکل مثلثی (یا شکل ذوزنقه ای در مورد سیستم های غیر مربعی) با استفاده از تبدیل های ردیف ابتدایی (!) ماتریس توسعه یافته سیستم است.

مثال 5.1.حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از ردیف اول، پس از آن عناصر باقی مانده را بازنشانی کنیم:

در ردیف های 2، 3 و 4 ستون اول، صفر می گیریم:

حالا باید تمام عناصر ستون دوم زیر ردیف دوم برابر با صفر باشند. برای این کار می توانید خط دوم را در 4/7- ضرب کرده و به خط 3 اضافه کنید. با این حال، برای اینکه با کسرها سروکار نداشته باشیم، اجازه دهید یک واحد در ردیف دوم ستون دوم ایجاد کنیم و فقط

حال برای به دست آوردن یک ماتریس مثلثی باید عنصر ردیف چهارم از ستون 3 را ریست کنید؛ برای این کار می توانید سطر سوم را در 8/54 ضرب کرده و به ردیف چهارم اضافه کنید. اما برای اینکه با کسرها کار نکنیم، سطرهای 3 و 4 و ستون های 3 و 4 را با هم عوض می کنیم و تنها پس از آن عنصر مشخص شده را ریست می کنیم. توجه داشته باشید که هنگام تنظیم مجدد ستون ها، متغیرهای مربوطه جای خود را تغییر می دهند و این باید به خاطر داشته باشید. دیگر تحولات ابتداییبا ستون (جمع و ضرب در یک عدد) نمی توان انجام داد!

آخرین ماتریس ساده شده مربوط به سیستمی از معادلات معادل معادله اصلی است:

از اینجا با استفاده از معکوس روش گاوسی از معادله چهارم به دست می آوریم ایکس 3 = -1; از سوم ایکس 4 = -2، از دوم ایکس 2 = 2 و از معادله اول ایکس 1 = 1. در فرم ماتریسی، پاسخ به صورت نوشته می شود

ما موردی را در نظر گرفتیم که سیستم قطعی باشد، یعنی. زمانی که تنها یک راه حل وجود دارد. بیایید ببینیم اگر سیستم ناسازگار یا نامطمئن باشد چه اتفاقی می افتد.

مثال 5.2.کاوش سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم

ما یک سیستم معادلات ساده شده می نویسیم:

در اینجا، در آخرین معادله معلوم شد که 0=4، یعنی. تناقض. در نتیجه، سیستم هیچ راه حلی ندارد، یعنی. او ناسازگار. à

مثال 5.3.کاوش و حل سیستم با استفاده از روش گاوسی:

راه حل. ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و تبدیل می کنیم:

در نتیجه تبدیل ها، آخرین خط فقط شامل صفر است. این بدان معنی است که تعداد معادلات یک کاهش یافته است:

بنابراین، پس از ساده سازی، دو معادله باقی می ماند و چهار مجهول، یعنی. دو ناشناخته "اضافی". بگذارید آنها "زائد" باشند، یا، همانطور که می گویند، متغیرهای رایگان، اراده ایکس 3 و ایکس 4 . سپس

باور کردن ایکس 3 = 2آو ایکس 4 = ب، ما گرفتیم ایکس 2 = 1–آو ایکس 1 = 2ب–آ; یا به صورت ماتریسی

راه حلی که به این شکل نوشته می شود نامیده می شود عمومی، زیرا، دادن پارامترها آو ب معانی مختلف، می توان تمام راه حل های ممکن سیستم را شرح داد. آ

یکی از روش های جهانی و موثر برای حل سیستم های جبری خطی می باشد روش گاوسی ، شامل حذف متوالی مجهولات است.

به یاد بیاورید که این دو سیستم نامیده می شوند معادل (معادل) اگر مجموعه راه حل های آنها منطبق باشد. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس. سیستم های معادل زمانی بدست می آیند که تحولات ابتدایی معادلات سیستم:

ضرب دو طرف معادله در عددی غیر از صفر؛

افزودن قسمتهای متناظر معادله دیگر، ضرب در عددی غیر از صفر به معادله ای.

تنظیم مجدد دو معادله

اجازه دهید یک سیستم معادلات داده شود

فرآیند حل این سیستم با استفاده از روش گاوسی شامل دو مرحله است. در مرحله اول (حرکت مستقیم)، سیستم با استفاده از تبدیلات اولیه به کاهش می یابد گام به گام , یا مثلثی شکل، و در مرحله دوم (معکوس) یک ترتیب، با شروع از آخرین عدد متغیر، تعیین مجهولات از سیستم گام به دست آمده وجود دارد.

فرض کنید ضریب این سیستم است
، در غیر این صورت در سیستم می توان ردیف اول را با هر ردیف دیگری تعویض کرد به طوری که ضریب با صفر متفاوت بود

بیایید سیستم را با حذف مجهولات متحول کنیم در تمام معادلات به جز معادلات اول برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید. سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و آن را به معادله سوم سیستم اضافه کنید. با ادامه این روند، سیستم معادل را بدست می آوریم

اینجا
- مقادیر جدید ضرایب و عبارات آزاد که پس از مرحله اول به دست می آیند.

به همین ترتیب، با توجه به عنصر اصلی
، ناشناخته را حذف کنید از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول و دوم. بیایید این روند را تا جایی که ممکن است ادامه دهیم و در نتیجه یک سیستم گام به گام به دست خواهیم آورد

,

جایی که ,
,…,- عناصر اصلی سیستم
.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات ظاهر شوند، یعنی برابری های شکل
، آنها دور انداخته می شوند زیرا با هر مجموعه ای از اعداد ارضا می شوند
. من چاقم
پدیدار خواهد شد معادله فرم، که هیچ راه حلی ندارد، پس این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

در طول حرکت معکوس، اولین مجهول از آخرین معادله سیستم گام تبدیل شده بیان می شود از طریق تمام مجهولات دیگر
که نامیده می شوند رایگان . سپس عبارت متغیر از آخرین معادله سیستم به معادله ماقبل آخر جایگزین شده و متغیر از آن بیان می شود.
. متغیرها به صورت متوالی به روشی مشابه تعریف می شوند
. متغیرها
، که از طریق متغیرهای آزاد بیان می شود، نامیده می شوند پایه ای (وابسته). نتیجه این است تصمیم مشترکسیستم های معادلات خطی

برای پیدا کردن راه حل خصوصی سیستم های مجهول مجهول
در حل کلی مقادیر دلخواه تخصیص داده شده و مقادیر متغیرها محاسبه می شود
.

از نظر فنی راحت‌تر است که نه خود معادلات سیستم، بلکه ماتریس توسعه‌یافته سیستم را تحت تبدیل‌های اولیه قرار دهیم.

.

روش گاوس یک روش جهانی است که به شما امکان می دهد نه تنها سیستم های مربعی، بلکه مستطیلی را نیز حل کنید که در آن تعداد مجهولات وجود دارد.
با تعداد معادلات برابر نیست
.

مزیت این روش همچنین این است که در فرآیند حل، ما به طور همزمان سیستم را از نظر سازگاری بررسی می کنیم، زیرا با دادن ماتریس توسعه یافته
به شکل گام به گام، تعیین رتبه های ماتریس آسان است و ماتریس توسعه یافته
و اعمال کنید قضیه کرونکر-کاپلی .

مثال 2.1سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

راه حل. تعداد معادلات
و تعداد مجهولات
.

بیایید با اختصاص ضرایبی به سمت راست ماتریس، یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ایجاد کنیم. ستون اعضای رایگان .

بیایید ماتریس را ارائه دهیم به نمای مثلثی؛ برای انجام این کار، ما "0" را در زیر عناصر واقع در مورب اصلی با استفاده از تبدیل های ابتدایی بدست می آوریم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت دوم ستون اول، ردیف اول را در (-1) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید.

این تبدیل را به صورت عدد (-1) در برابر خط اول می نویسیم و آن را با فلشی که از خط اول به خط دوم می رود نشان می دهیم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت سوم ستون اول، ردیف اول را در (-3) ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. بیایید این عمل را با استفاده از یک فلش از خط اول به سوم نشان دهیم.

.

در ماتریس به دست آمده که در زنجیره ماتریس‌ها دوم نوشته می‌شود، در ستون دوم در موقعیت سوم "0" به دست می‌آید. برای این کار خط دوم را در (4-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه می کنیم. در ماتریس به دست آمده، ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید و ردیف سوم را بر (8-) تقسیم کنید. تمام عناصر این ماتریس که در زیر عناصر مورب قرار دارند، صفر هستند.

زیرا , سیستم مشارکتی و تعریف شده است.

سیستم معادلات مربوط به آخرین ماتریس شکل مثلثی دارد:

از آخرین (سومین) معادله
. معادله دوم را جایگزین کنید و دریافت کنید
.

جایگزین کنیم
و
در معادله اول می یابیم


.

این ماشین حساب آنلاینبا استفاده از روش گاوسی راه حلی برای سیستم معادلات خطی (SLE) پیدا می کند. داده شده راه حل دقیق. برای محاسبه، تعداد متغیرها و تعداد معادلات را انتخاب کنید. سپس داده ها را وارد سلول ها کرده و بر روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

نمایش شماره:

تعداد مکان ها بعد از جداکننده اعشاری

×

هشدار

تمام سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود داده هااعداد به صورت اعداد صحیح (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b وارد شود که a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعداد اعشاری. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

روش گاوس

روش گاوس روشی برای انتقال از سیستم معادلات خطی اصلی (با استفاده از تبدیل‌های معادل) به سیستمی است که حل آن آسان‌تر از سیستم اصلی است.

تبدیل معادل یک سیستم معادلات خطی عبارتند از:

• مبادله دو معادله در سیستم،
• ضرب هر معادله ای در سیستم در یک عدد واقعی غیر صفر،
• اضافه کردن به یک معادله معادله دیگر ضرب در یک عدد دلخواه.

یک سیستم معادلات خطی را در نظر بگیرید:

اجازه دهید سیستم (1) را به صورت ماتریسی بنویسیم:

(3)

آ- به نام ماتریس ضرایب سیستم، ب- سمت راست محدودیت ها، ایکس- بردار متغیرهایی که باید پیدا شوند. بگذارید رتبه ( آ)=پ.

تبدیل های معادل رتبه ماتریس ضرایب و رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم را تغییر نمی دهد. مجموعه راه حل های سیستم نیز تحت تبدیل های معادل تغییر نمی کند. ماهیت روش گاوس کاهش ماتریس ضرایب است آبه مورب یا پله ای.

بیایید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم بسازیم:

در مرحله بعد، تمام عناصر ستون 2 را در زیر عنصر تنظیم مجدد می کنیم. اگر این عنصر صفر باشد، این ردیف با ردیفی که در زیر این سطر قرار دارد و یک عنصر غیر صفر در ستون دوم دارد، مبادله می شود. در مرحله بعد، تمام عناصر ستون 2 را در زیر عنصر اصلی تنظیم مجدد کنید آ 22. برای این کار، خطوط 3 را اضافه کنید، ... متربا رشته 2 ضرب در - آ 32 /آ 22 , ..., −آ m2/ آ 22 به ترتیب. در ادامه روش، ماتریسی به شکل مورب یا پله ای به دست می آوریم. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته به شکل زیر باشد:

زیرا rangA=رنگ(الف|ب، سپس مجموعه راه حل های (7) برابر است با ( n-p)– تنوع. از این رو n-pمجهولات را می توان خودسرانه انتخاب کرد. مجهولات باقی مانده از سیستم (7) به صورت زیر محاسبه می شوند. از آخرین معادله ای که بیان می کنیم ایکس p را از طریق متغیرهای باقیمانده و در عبارات قبلی وارد کنید. بعد از معادله ماقبل آخری که بیان می کنیم ایکس p-1 را از طریق متغیرهای باقیمانده و در عبارات قبلی و غیره وارد کنید. بیایید با استفاده از مثال های خاص به روش گاوس نگاه کنیم.

نمونه هایی از حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

مثال 1. با استفاده از روش گاوس یک راه حل کلی برای یک سیستم معادلات خطی پیدا کنید:

اجازه دهید با نشان دادن آعناصر ij من-خط و jستون هفتم

آیازده . برای انجام این کار، خطوط 2،3 را با خط 1، به ترتیب در -2/3،-1/2 ضرب کنید:

نوع ضبط ماتریسی: تبر = ب، جایی که

اجازه دهید با نشان دادن آعناصر ij من-خط و jستون هفتم

بیایید عناصر ستون 1 ماتریس زیر عنصر را حذف کنیم آیازده . برای انجام این کار، خطوط 2،3 را با خط 1، به ترتیب در -1/5،-6/5 ضرب کنید:

ما هر ردیف از ماتریس را بر عنصر اصلی مربوطه تقسیم می کنیم (در صورت وجود عنصر اصلی):

جایی که ایکس 3 , ایکس

با جایگزینی عبارات بالا با عبارات پایین، راه حل را به دست می آوریم.

سپس راه حل برداری را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که ایکس 3 , ایکس 4 اعداد واقعی دلخواه هستند.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس.فرض کنید باید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم nمعادلات خطی با nمتغیرهای ناشناخته
تعیین کننده ماتریس اصلی آن با صفر متفاوت است.

ماهیت روش گاوسشامل حذف متوالی متغیرهای ناشناخته است: ابتدا حذف x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم، بیشتر حذف می شود x 2از تمام معادلات، از معادله سوم، و به همین ترتیب، تا زمانی که فقط متغیر مجهول در آخرین معادله باقی بماند. x n. این فرآیند تبدیل معادلات سیستم برای حذف متوالی متغیرهای مجهول نامیده می شود روش گاوسی مستقیم. پس از تکمیل پیشروی رو به جلو روش گاوسی، از آخرین معادله پیدا می کنیم x n، با استفاده از این مقدار از معادله ماقبل آخری که محاسبه می کنیم xn-1و به همین ترتیب از اولین معادله ای که پیدا کردیم x 1. فرآیند محاسبه متغیرهای مجهول در هنگام حرکت از آخرین معادله سیستم به اولین معادله نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

اجازه دهید به طور خلاصه الگوریتم حذف متغیرهای ناشناخته را شرح دهیم.

ما این را فرض می کنیم، زیرا همیشه می توانیم با تنظیم مجدد معادلات سیستم به این امر دست یابیم. متغیر ناشناخته را حذف کنید x 1از تمام معادلات سیستم، با شروع از دوم. برای انجام این کار، به معادله دوم سیستم، معادله اول را با ضرب در و به معادله سوم، اولین، ضرب در و غیره را اضافه می کنیم. نهمیناولی را به معادله اضافه می کنیم، ضرب در . سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و .

اگر بیان می کردیم به همین نتیجه می رسیدیم x 1از طریق سایر متغیرهای ناشناخته در معادله اول سیستم و عبارت حاصل با تمام معادلات جایگزین شد. بنابراین متغیر x 1از تمام معادلات، از معادله دوم حذف می شود.

در مرحله بعد، به روشی مشابه ادامه می دهیم، اما فقط با بخشی از سیستم حاصل که در شکل مشخص شده است

برای انجام این کار، به معادله سوم سیستم، دومی را با ضرب در، به معادله چهارم اضافه می کنیم، دومی را ضرب می کنیم و به همین ترتیب. نهمینبه معادله دومی را ضرب می کنیم. سیستم معادلات پس از چنین تبدیل ها شکل خواهد گرفت

کجا و . بنابراین متغیر x 2از تمام معادلات که از سوم شروع می شود حذف می شوند.

در ادامه به حذف ناشناخته ها می پردازیم x 3، در این حالت با قسمتی از سیستم که در شکل مشخص شده است به طور مشابه عمل می کنیم

بنابراین پیشروی مستقیم روش گاوسی را تا زمانی که سیستم شکل بگیرد ادامه می دهیم

از این لحظه معکوس روش گاوسی را شروع می کنیم: محاسبه می کنیم x nاز آخرین معادله به عنوان، با استفاده از مقدار به دست آمده x nما پیدا می کنیم xn-1از معادله ماقبل آخر و غیره پیدا می کنیم x 1از معادله اول

مثال.

حل سیستم معادلات خطی روش گاوس

تعریف و توصیف روش گاوسی

روش تبدیل گاوسی (همچنین به عنوان حذف متوالی متغیرهای مجهول از یک معادله یا ماتریس شناخته می شود) روش برای حل سیستم های معادلات خطی یک روش کلاسیک برای حل یک سیستم است. معادلات جبری(SLAU). از این روش کلاسیک برای حل مسائلی مانند به دست آوردن نیز استفاده می شود ماتریس های معکوسو تعیین رتبه ماتریس.

تبدیل با استفاده از روش گاوسی شامل ایجاد تغییرات متوالی کوچک (بنیادی) در یک سیستم معادلات جبری خطی است که منجر به حذف متغیرها از آن از بالا به پایین با تشکیل یک سیستم مثلثی جدید از معادلات می شود که معادل معادلات اصلی است. یکی

تعریف 1

این بخش از محلول راه حل گاوسی پیشرو نامیده می شود، زیرا کل فرآیند از بالا به پایین انجام می شود.

پس از تقلیل سیستم اصلی معادلات به یک مثلثی، همه متغیرهای سیستم از پایین به بالا پیدا می شوند (یعنی اولین متغیرهای یافت شده دقیقاً در آخرین خطوط سیستم یا ماتریس قرار دارند). این قسمت از محلول به عنوان معکوس راه حل گاوسی نیز شناخته می شود. الگوریتم او به این صورت است: ابتدا متغیرهای نزدیک به انتهای سیستم معادلات یا ماتریس محاسبه می‌شوند، سپس مقادیر به‌دست‌آمده بالاتر جایگزین می‌شوند و بنابراین متغیر دیگری پیدا می‌شود و به همین ترتیب.

شرح الگوریتم روش گاوسی

دنباله ای از اقدامات برای حل کلی یک سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی شامل اعمال متناوب ضربه های رو به جلو و عقب به ماتریس بر اساس SLAE است. فرض کنید سیستم معادلات اولیه به شکل زیر باشد:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(موارد)$

برای حل SLAE ها با استفاده از روش گاوسی، لازم است که سیستم اصلی معادلات را به صورت ماتریس بنویسیم:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

ماتریس $A$ ماتریس اصلی نامیده می شود و نشان دهنده ضرایب متغیرهای نوشته شده به ترتیب است و $b$ ستون عبارت های آزاد آن نامیده می شود. ماتریس $A$ که از طریق یک نوار با ستونی از عبارت های آزاد نوشته می شود، ماتریس توسعه یافته نامیده می شود:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(آرایه)$

اکنون لازم است با استفاده از تبدیل های ابتدایی در سیستم معادلات (یا روی ماتریس ، زیرا این راحت تر است) آن را به شکل زیر در آورید:

$\begin(موارد) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(موارد)$ (1)

ماتریسی که از ضرایب سیستم تبدیل شده معادله (1) به دست می آید، ماتریس پله ای نامیده می شود؛ ماتریس های گام معمولاً به این صورت هستند:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

این ماتریس ها با مجموعه ای از ویژگی های زیر مشخص می شوند:

1. تمام خطوط صفر آن پس از خطوط غیر صفر آمده است
2. اگر ردیفی از یک ماتریس با عدد $k$ غیر صفر باشد، آنگاه سطر قبلی همان ماتریس صفرهای کمتری نسبت به این ماتریس با عدد $k$ دارد.

پس از به دست آوردن ماتریس گام، لازم است متغیرهای حاصل را جایگزین معادلات باقیمانده (شروع از انتها) کرده و مقادیر باقیمانده متغیرها را بدست آوریم.

قوانین اساسی و تبدیل های مجاز هنگام استفاده از روش گاوس

هنگام ساده سازی یک ماتریس یا سیستم معادلات با استفاده از این روش، فقط باید از تبدیل های ابتدایی استفاده کنید.

چنین تبدیل‌هایی به عنوان عملیاتی در نظر گرفته می‌شوند که می‌توانند بدون تغییر معنای آن، روی یک ماتریس یا سیستم معادلات اعمال شوند:

• تنظیم مجدد چندین خط،
• اضافه کردن یا کم کردن یک ردیف از ماتریس یک ردیف دیگر از آن،
• ضرب یا تقسیم یک رشته در یک ثابت که برابر با صفر نیست،
• خطی متشکل از تنها صفرها که در فرآیند محاسبه و ساده سازی سیستم به دست آمده است، باید حذف شود،
• شما همچنین باید خطوط متناسب غیر ضروری را حذف کنید و برای سیستم تنها موردی را با ضرایب انتخاب کنید که برای محاسبات بیشتر مناسب تر و راحت تر است.

تمام تحولات ابتدایی برگشت پذیر هستند.

تجزیه و تحلیل سه مورد اصلی که هنگام حل معادلات خطی با استفاده از روش تبدیل ساده گاوس به وجود می آیند.

هنگام استفاده از روش گاوسی برای حل سیستم ها سه مورد وجود دارد:

1. وقتی یک سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد
2. سیستم معادلات یک راه حل و یک حل منحصر به فرد و کمیت دارد رشته های غیر صفرو ستون های ماتریس با یکدیگر برابر هستند.
3. این سیستم دارای تعداد معینی یا مجموعه ای از راه حل های ممکن است و تعداد ردیف های موجود در آن کمتر از تعداد ستون ها است.

نتیجه یک راه حل با یک سیستم ناسازگار

برای این گزینه، هنگام حل معادله ماتریسیروش گاوس با به دست آوردن مقداری خط با عدم امکان تحقق برابری مشخص می شود. بنابراین، اگر حداقل یک برابری نادرست رخ دهد، سیستم های منتج و اصلی، بدون توجه به معادلات دیگری که دارند، راه حلی ندارند. مثالی از یک ماتریس ناسازگار:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

در خط آخر یک برابری غیرممکن به وجود آمد: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

سیستمی از معادلات که تنها یک راه حل دارد

این سیستم ها پس از کاهش به یک ماتریس پله ای و حذف سطرهای با صفر، تعداد سطرها و ستون های یکسانی در ماتریس اصلی دارند. اینجا ساده ترین مثالچنین سیستمی:

$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end (موارد)$

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

برای به صفر رساندن سلول اول ردیف دوم، ردیف بالا را در 2-$ ضرب می کنیم و آن را از ردیف پایین ماتریس کم می کنیم و ردیف بالایی را به شکل اصلی خود می گذاریم، در نتیجه موارد زیر را داریم. :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

این مثال را می توان به صورت یک سیستم نوشت:

$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end (موارد)$

از معادله پایینی به دست می آید مقدار بعدی$x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. این مقدار را در معادله بالایی جایگزین کنید: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$، ما x_1$ = 1 \frac(2)(3)$ را دریافت می کنیم.

سیستمی با راه حل های ممکن

این سیستم با تعداد کمتری از ردیف های مهم نسبت به تعداد ستون های موجود در آن مشخص می شود (ردیف های ماتریس اصلی در نظر گرفته می شوند).

متغیرها در چنین سیستمی به دو نوع اساسی و رایگان تقسیم می شوند. هنگام تبدیل چنین سیستمی، متغیرهای اصلی موجود در آن باید تا علامت "=" در ناحیه سمت چپ باقی بمانند و متغیرهای باقی مانده باید به سمت راستبرابری

چنین سیستمی فقط یک راه حل کلی خاص دارد.

اجازه دهید سیستم معادلات زیر را تجزیه و تحلیل کنیم:

$\begin(موارد) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end (موارد)$

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end (array)$

وظیفه ما یافتن یک راه حل کلی برای سیستم است. برای این ماتریس، متغیرهای پایه $y_1$ و $y_3$ خواهند بود (برای $y_1$ - چون اول می‌آید، و در مورد $y_3$ - بعد از صفرها قرار دارد).

به عنوان متغیرهای پایه، دقیقاً آنهایی را انتخاب می کنیم که اولین ردیف هستند و برابر با صفر نیستند.

متغیرهای باقیمانده رایگان نامیده می شوند که باید از طریق آنها متغیرهای اساسی را بیان کنیم.

با استفاده از اصطلاح reverse stroke، سیستم را از پایین به بالا تجزیه و تحلیل می کنیم؛ برای این کار ابتدا $y_3$ را از خط پایین سیستم بیان می کنیم:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

اکنون $y_3$ بیان شده را در معادله بالایی سیستم $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ جایگزین می کنیم: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 دلار

$y_1$ را بر حسب متغیرهای رایگان $y_2$ و $y_4$ بیان می‌کنیم:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

محلول آماده است.

مثال 1

حل کردن لجن با استفاده از روش گاوسی. مثال ها. مثالی از حل یک سیستم معادلات خطی که با ماتریس 3 در 3 به روش گاوسی ارائه شده است.

$\begin(موارد) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(موارد)$

بیایید سیستم خود را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بنویسیم:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

اکنون، برای راحتی و عملی بودن، باید ماتریس را طوری تبدیل کنید که $1$ در گوشه بالای بیرونی ترین ستون باشد.

برای انجام این کار، به خط 1 باید خط را از وسط، ضرب در $-1$ اضافه کنید، و خط وسط را همانطور که هست بنویسید، معلوم می شود:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end (آرایه) $

خطوط بالا و آخر را در $-1 دلار ضرب کنید و همچنین خطوط آخر و وسط را عوض کنید:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

و خط آخر را بر 3 دلار تقسیم کنید:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

ما سیستم معادلات زیر را معادل معادله اصلی بدست می آوریم:

$\begin(موارد) x_1 + x_2 - x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \پایان (موارد)$

از معادله بالا $x_1$ را بیان می کنیم:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

مثال 2

مثالی از حل یک سیستم تعریف شده با استفاده از ماتریس 4 در 4 با استفاده از روش گاوسی

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.

در ابتدا، خطوط بالایی را به دنبال آن عوض می کنیم تا 1 دلار در گوشه سمت چپ بالا به دست آوریم:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.

حالا خط بالایی را در -2$ ضرب کنید و به 2 و 3 اضافه کنید. به خط 4، ما خط 1 را، ضرب در $-3$ اضافه می کنیم:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 و 3 و -1 و 4 \\ \end(آرایه)$

حالا به خط شماره 3، خط 2 را ضرب در 4$ اضافه می کنیم و به خط 4، خط 2 را ضرب در $1$ اضافه می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(آرایه)$

خط 2 را در $-1$ ضرب می کنیم و خط 4 را بر $3$ تقسیم می کنیم و خط 3 را جایگزین می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 و 10 \\ \end (آرایه)$

حالا ماقبل آخر را ضربدر 5$ به خط آخر اضافه می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 و 0 \\ \پایان (آرایه)$

ما سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم:

$\begin(موارد) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\ پایان (موارد)$