حل انواع معادلات مثلثاتی ساده. معادلات مثلثاتی

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای موفقیت است قبولی در امتحاندر ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام وظایف 1-13 امتحان پروفایلریاضیات همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای حیله گر برای حل، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. پایه حل مسائل پیچیده قسمت 2 آزمون.

مثال ها:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

نحوه حل معادلات مثلثاتی:

هر معادله مثلثاتی باید به یکی از انواع زیر کاهش یابد:

\(\sin⁡t=a\)، \(\cos⁡t=a\)، tg\(t=a\)، ctg\(t=a\)

جایی که \(t\) یک عبارت با x است، \(a\) یک عدد است. چنین معادلات مثلثاتی نامیده می شوند تک یاخته ها. حل آنها با استفاده از () یا فرمول های خاص آسان است:

مثال . معادله مثلثاتی \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) را حل کنید.
راه حل:

پاسخ: \(\چپ[ \شروع(جمع‌شده)x=-\frac(π)(6)+2πk، \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn، \پایان (جمع‌شده)\راست.\) \(k,n∈Z\)

هر نماد در فرمول ریشه به چه معناست؟ معادلات مثلثاتینگاه کن .

توجه!معادلات \(\sin⁡x=a\) و \(\cos⁡x=a\) هیچ جوابی ندارند اگر \(a ε (-∞;-1)∪(1;∞)\). زیرا سینوس و کسینوس برای هر x بزرگتر یا مساوی \(-1\) و کوچکتر یا مساوی \(1\) است:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

مثال . معادله \(\cos⁡x=-1,1\) را حل کنید.
راه حل: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
پاسخ : بدون راه حل

مثال . معادله مثلثاتی tg\(⁡x=1\) را حل کنید.
راه حل:

معادله را با استفاده از دایره عددی حل کنید. برای این:
1) بیایید یک دایره بسازیم)
2) محورهای \(x\) و \(y\) و محور مماس ها را بسازید (از نقطه \((0;1)\) موازی با محور \(y\) می گذرد).
3) روی محور مماس ها نقطه \(1\) را علامت بزنید.
4) این نقطه و مبدا را به هم وصل کنید - یک خط مستقیم.
5) به نقاط تقاطع این خط و دایره عددی توجه کنید.
6) بیایید مقادیر این نقاط را امضا کنیم: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) تمام مقادیر این نقاط را یادداشت کنید. از آنجایی که آنها دقیقا \(π\) جدا از یکدیگر هستند، همه مقادیر را می توان در یک فرمول نوشت:

پاسخ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\)، \(k∈Z\).

مثال . معادله مثلثاتی \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\ را حل کنید.
راه حل:

بیایید دوباره از دایره اعداد استفاده کنیم.
1) یک دایره، محورهای \(x\) و \(y\) بسازیم.
2) روی محور کسینوس (محور \(x\)) \(0\) را علامت بزنید.
3) از این نقطه عمود بر محور کسینوس بکشید.
4) نقاط تلاقی عمود و دایره را مشخص کنید.
5) بیایید مقادیر این نقاط را امضا کنیم: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) بیایید کل مقدار این نقاط را بنویسیم و آنها را با کسینوس (با آنچه در داخل کسینوس است) برابر کنیم.

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)، \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) طبق معمول، \(x\) را در معادلات بیان می کنیم.
به یاد داشته باشید که اعداد را با \(π\) و همچنین \(1\)، \(2\)، \(\frac(1)(4)\) و غیره رفتار کنید. این اعداد همان اعداد هستند. بدون تبعیض عددی!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

پاسخ: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

کاهش معادلات مثلثاتی به ساده ترین آنها یک کار خلاقانه است، در اینجا شما باید از هر دو و روش های ویژه برای حل معادلات استفاده کنید:
- روش (محبوب ترین در آزمون).
- روش.
- روش آرگومان های کمکی.

مثالی از حل معادله مربع مثلثاتی را در نظر بگیرید

مثال . حل معادله مثلثاتی \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
راه حل:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	بیایید تغییر \(t=\cos⁡x\) را ایجاد کنیم.

	معادله ما معمولی شده است. می توانید آن را با .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	جایگزین می کنیم.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	معادله اول را با استفاده از دایره عددی حل می کنیم. از آن زمان معادله دوم هیچ راه حلی ندارد \(\cos⁡x∈[-1;1]\) و نمی تواند برای هر x برابر دو باشد.
	بیایید تمام اعدادی را که در این نقاط وجود دارد بنویسیم.

پاسخ: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\)، \(k∈Z\).

مثالی از حل معادله مثلثاتی با مطالعه ODZ:

مثال (استفاده) . حل معادله مثلثاتی \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	یک کسری وجود دارد و یک کوتانژانت وجود دارد - بنابراین باید یادداشت کنید. اجازه دهید یادآوری کنم که کوتانژانت در واقع کسری است: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) بنابراین، DPV برای ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	به "غیر راه حل" در دایره اعداد توجه کنید.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	بیایید مخرج معادله را با ضرب آن در ctg\(x\) از شر آن خلاص کنیم. ما می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا در بالا نوشتیم که ctg\(x≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	فرمول زاویه دوتایی را برای سینوس اعمال کنید: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	اگر دستان شما برای تقسیم بر کسینوس دراز شد - آنها را به عقب بکشید! اگر یک عبارت با یک متغیر قطعاً برابر با صفر نباشد، می توانید آن را بر روی یک عبارت تقسیم کنید (به عنوان مثال: \(x^2+1,5^x\)). در عوض، \(\cos⁡x\) را از پرانتز خارج می کنیم.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	بیایید معادله را به دو قسمت تقسیم کنیم.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	معادله اول را با استفاده از دایره عددی حل می کنیم. معادله دوم را بر \(2\) تقسیم کرده و \(\sin⁡x\) را به سمت راست حرکت دهید.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ریشه هایی که معلوم شد در ODZ گنجانده نشده اند. بنابراین در پاسخ آنها را یادداشت نمی کنیم. معادله دوم معمولی است. تقسیم آن بر \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) نمی تواند راه حلی برای معادله باشد زیرا در این حالت \(\cos⁡x=1\) یا \(\cos⁡ x =-1\)).
	دوباره از دایره استفاده می کنیم.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\)، \(n∈Z\)	این ریشه ها توسط ODZ حذف نمی شوند، بنابراین می توان آنها را به عنوان یک پاسخ نوشت.

پاسخ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

داده های مرجع در مورد توابع مثلثاتی سینوس (sin x) و کسینوس (cos x). تعریف هندسی، خواص، نمودارها، فرمول ها. جدول سینوس ها و کسینوس ها، مشتقات، انتگرال ها، بسط های سری، سکانت، کوسکانت. عبارات از طریق متغیرهای پیچیده ارتباط با توابع هذلولی

تعریف هندسی سینوس و کسینوس

|BD|- طول کمان دایره ای که در مرکز یک نقطه قرار دارد آ.
α زاویه ای است که بر حسب رادیان بیان می شود.

تعریف
سینوسیتابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مقابل | BC| به طول هیپوتنوز |AC|.

کسینوس (cos α)تابع مثلثاتی است بسته به زاویه α بین هیپوتنوز و ساق مثلث قائم الزاویه، برابر با نسبت طول پایه مجاور |AB| به طول هیپوتنوز |AC|.

نامگذاری های پذیرفته شده

;
;
.

نمودار تابع سینوس، y = sin x

نمودار تابع کسینوس، y = cos x

خواص سینوس و کسینوس

دوره ای

توابع y= گناه xو y= cos xدوره ای با دوره 2 π.

برابری

تابع سینوس فرد است. تابع کسینوس زوج است.

دامنه تعریف و ارزش، افراط، افزایش، کاهش

توابع سینوس و کسینوس در دامنه تعریف خود، یعنی برای همه x پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آنها در جدول (n - عدد صحیح) ارائه شده است.

	y= گناه x	y= cos x
دامنه و تداوم	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
محدوده ارزش ها	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
صعودی
نزولی
حداکثر، y= 1
حداقل، y = - 1
صفر، y= 0
نقاط تقاطع با محور y، x = 0	y= 0	y= 1

فرمول های پایه

مجموع مجذور سینوس و کسینوس

فرمول های سینوس و کسینوس برای مجموع و تفاوت

;
;

فرمول های حاصلضرب سینوس ها و کسینوس ها

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

بیان سینوس از طریق کسینوس

;
;
;
.

بیان کسینوس از طریق سینوس

;
;
;
.

بیان بر حسب مماس

; .

برای، ما داریم:
; .

در:
; .

جدول سینوس ها و کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها

این جدول مقادیر سینوس ها و کسینوس ها را برای برخی از مقادیر آرگومان نشان می دهد.

عبارات از طریق متغیرهای پیچیده

;

فرمول اویلر

{ -∞ < x < +∞ }

سکانت، متقاطع

توابع معکوس

توابع معکوس سینوس و کسینوس به ترتیب آرکسین و آرکوزین هستند.

آرکسین، آرکسین

آرکوزین، آرکوس

منابع:
که در. برونشتاین، ک.ا. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسان و دانشجویان مؤسسات آموزش عالی، لان، 2009.

مفهوم حل معادلات مثلثاتی.

برای حل یک معادله مثلثاتی، آن را به یک یا چند معادله مثلثاتی اصلی تبدیل کنید. حل معادله مثلثاتی در نهایت به حل چهار معادله مثلثاتی اصلی ختم می شود.

حل معادلات مثلثاتی پایه.

4 نوع معادلات مثلثاتی اساسی وجود دارد:
گناه x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
حل معادلات مثلثاتی اولیه شامل نگاه کردن به موقعیت های x مختلف در دایره واحد و همچنین استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب) است.
مثال 1. sin x = 0.866. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت می کنید: x = π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: 2π/3. به یاد داشته باشید: همه توابع مثلثاتی دوره ای هستند، یعنی مقادیر آنها تکرار می شود. برای مثال، تناوب sin x و cos x 2πn است و تناوب tg x و ctg x πn است. پس جواب به این صورت نوشته می شود:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
مثال 2 cos x = -1/2. با استفاده از جدول تبدیل (یا ماشین حساب)، پاسخ را دریافت می کنید: x = 2π/3. دایره واحد پاسخ دیگری می دهد: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
مثال 3. tg (x - π/4) = 0.
پاسخ: x \u003d π / 4 + πn.
مثال 4. ctg 2x = 1.732.
پاسخ: x \u003d π / 12 + πn.

تبدیل های مورد استفاده در حل معادلات مثلثاتی.

برای تبدیل معادلات مثلثاتی از تبدیل های جبری (فاکتورگیری، کاهش عبارت های همگن و ...) و هویت های مثلثاتی استفاده می شود.
مثال 5. با استفاده از هویت های مثلثاتی، معادله sin x + sin 2x + sin 3x = 0 به معادله 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 تبدیل می شود. بنابراین، معادلات مثلثاتی اساسی زیر باید حل شود: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
یافتن زاویه از مقادیر شناخته شده توابع.
- قبل از یادگیری نحوه حل معادلات مثلثاتی، باید یاد بگیرید که چگونه زاویه ها را از مقادیر شناخته شده توابع پیدا کنید. این را می توان با استفاده از جدول تبدیل یا ماشین حساب انجام داد.
- مثال: cos x = 0.732. ماشین حساب پاسخ x = 42.95 درجه را می دهد. دایره واحد زوایای اضافی می دهد که کسینوس آن نیز برابر با 0.732 است.
محلول را روی دایره واحد کنار بگذارید.
- می توانید جواب های معادله مثلثاتی را روی دایره واحد قرار دهید. جواب های معادله مثلثاتی روی دایره واحد رئوس یک چندضلعی منتظم هستند.
- مثال: جواب های x = π/3 + πn/2 روی دایره واحد رئوس مربع هستند.
- مثال: جواب های x = π/4 + πn/3 روی دایره واحد رئوس یک شش ضلعی منتظم هستند.
روش های حل معادلات مثلثاتی.
- اگر معادله مثلثاتی داده شده فقط یک تابع مثلثاتی داشته باشد، این معادله را به عنوان یک معادله مثلثاتی پایه حل کنید. اگر یک معادله داده شده شامل دو یا چند تابع مثلثاتی باشد، 2 روش برای حل چنین معادله ای (بسته به امکان تبدیل آن) وجود دارد.
  - روش 1
- این معادله را به معادله ای به این شکل تبدیل کنید: f(x)*g(x)*h(x) = 0، که در آن f(x)، g(x)، h(x) معادلات مثلثاتی اولیه هستند.
- مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- راه حل. با استفاده از فرمول دو زاویه sin 2x = 2*sin x*cos x، جایگزین sin 2x کنید.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. حالا دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
- مثال 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای به شکل cos 2x(2cos x + 1) = 0 تبدیل کنید. حال دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
- مثال 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- راه حل: با استفاده از هویت های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای به شکل: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 تبدیل کنید. اکنون دو معادله مثلثاتی اصلی را حل کنید: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
  - روش 2
- معادله مثلثاتی داده شده را به معادله ای که فقط یک تابع مثلثاتی دارد تبدیل کنید. سپس این تابع مثلثاتی را با مقداری مجهول جایگزین کنید، برای مثال t (sin x = t؛ cos x = t؛ cos 2x = t، tg x = t؛ tg (x/2) = t و غیره).
- مثال 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- راه حل. در این معادله (cos^2 x) را با (1 - sin^2 x) (با توجه به هویت) جایگزین کنید. معادله تبدیل شده به صورت زیر است:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x را با t جایگزین کنید. اکنون معادله به نظر می رسد: 5t^2 - 4t - 9 = 0. این یک معادله درجه دوم با دو ریشه است: t1 = -1 و t2 = 9/5. ریشه دوم t2 محدوده تابع (-1) را برآورده نمی کند< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- مثال 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- راه حل. tg x را با t جایگزین کنید. معادله اصلی را به صورت زیر بازنویسی کنید: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. حالا t را پیدا کنید و سپس x را برای t = tg x پیدا کنید.

یک بار شاهد مکالمه دو متقاضی بودم:

- چه زمانی باید 2πn و چه زمانی - πn اضافه کنید؟ یادم نمی آید!

- و من هم همین مشکل را دارم.

می خواستم به آنها بگویم: "حفظ کردن لازم نیست، بلکه برای فهمیدن!"

این مقاله عمدتاً به دانش آموزان دبیرستانی می پردازد و امیدوارم به آنها در "درک" برای حل ساده ترین معادلات مثلثاتی کمک کند:

دایره اعداد

در کنار مفهوم خط عددی، مفهوم دایره عددی نیز وجود دارد. همانطور که می دانیم، در یک سیستم مختصات مستطیلی، دایره ای با مرکز در نقطه (0; 0) و شعاع 1 دایره واحد نامیده می شود.یک خط عددی را با یک نخ نازک تصور کنید و آن را به دور این دایره بپیچید: نقطه مرجع (نقطه 0)، آن را به نقطه "راست" دایره واحد متصل کنید، نیم محور مثبت را در خلاف جهت عقربه های ساعت بپیچید و نیم محور منفی را در جهت ( عکس. 1). چنین دایره واحدی دایره عددی نامیده می شود.

خواص دایره اعداد

هر عدد واقعی در یک نقطه از دایره اعداد قرار دارد.
در هر نقطه از دایره اعداد بی نهایت تعداد واقعی وجود دارد. از آنجایی که طول دایره واحد 2π است، تفاوت بین هر دو عدد در یک نقطه از دایره برابر با یکی از اعداد ±2π است. ± 4π; ± 6π; …

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد نقطه A می توانیم تمام اعداد نقطه A را پیدا کنیم.

بیایید قطر AC را رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که x_0 یکی از اعداد نقطه A است، پس اعداد x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... و فقط آنها اعداد نقطه C خواهند بود. بیایید یکی از این اعداد را انتخاب کنیم، مثلا x_0+π، و از آن برای نوشتن تمام اعداد نقطه C استفاده کنیم: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ز. توجه داشته باشید که اعداد در نقاط A و C را می توان در یک فرمول ترکیب کرد: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (برای k = 0; ±2; ±4; ... ما اعداد نقطه A، و برای k = 1±، 3±، 5±، ... اعداد نقطه C هستند).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد روی یکی از نقاط A یا C قطر AC، می توانیم تمام اعداد روی این نقاط را پیدا کنیم.

دو عدد متضاد بر روی نقاطی از دایره قرار دارند که حول محور آبسیسا متقارن هستند.

بیایید یک وتر عمودی AB رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که نقاط A و B در مورد محور Ox متقارن هستند، عدد -x_0 در نقطه B قرار دارد و بنابراین، تمام اعداد نقطه B با فرمول: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z داده می‌شوند. اعداد را در نقاط A و B با یک فرمول می نویسیم: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا B وتر عمودی AB، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. وتر افقی AD را در نظر بگیرید و اعداد نقطه D را بیابید (شکل 2). از آنجایی که BD قطر است و عدد -x_0 متعلق به نقطه B است، پس -x_0 + π یکی از اعداد نقطه D است و بنابراین، تمام اعداد این نقطه با فرمول x_D=-x_0+π+2πk به دست می‌آیند. ، k∈Z. اعداد در نقاط A و D را می توان با استفاده از یک فرمول نوشت: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk,k∈Z. (برای k= 0؛ ± 2؛ ± 4؛ ... اعداد نقطه A را می گیریم و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ ... - اعداد نقطه D).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا D وتر افقی AD، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

شانزده نقطه اصلی دایره اعداد

در عمل، حل اکثر ساده ترین معادلات مثلثاتی با شانزده نقطه از دایره مرتبط است (شکل 3). این نقطه ها چیست؟ نقاط قرمز، آبی و سبز دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم می کنند. از آنجایی که طول نیم دایره π است، طول قوس A1A2 π/2، طول قوس A1B1 π/6 و طول قوس A1C1 π/3 است.

اکنون می توانیم یک عدد را روی نقاط مشخص کنیم:

π/3 در C1 و

رئوس مربع نارنجی وسط کمان های هر ربع هستند، بنابراین طول کمان A1D1 برابر با π/4 است و از این رو π/4 یکی از اعداد نقطه D1 است. با استفاده از ویژگی های دایره اعداد، می توانیم با استفاده از فرمول ها، تمام اعداد را در تمام نقاط علامت گذاری شده دایره خود بنویسیم. شکل مختصات این نقاط را نیز نشان می دهد (از شرح اکتساب آنها صرف نظر می کنیم).

با آموختن موارد فوق، اکنون آمادگی کافی برای حل موارد خاص (برای 9 مقدار از عدد) داریم آ)ساده ترین معادلات

حل معادلات

1)sinx=1⁄(2).

- چه چیزی از ما خواسته می شود؟

– تمام اعداد x را که سینوس آنها 1/2 است پیدا کنید.

تعریف سینوس را به یاد بیاورید: sinx - ترتیب نقطه دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد. روی دایره دو نقطه داریم که ترتیب آنها برابر با 1/2 است. اینها انتهای وتر افقی B1B2 هستند. این بدان معناست که شرط «حل معادله sinx=1⁄2» معادل شرط «همه اعداد را در نقطه B1 و همه اعداد را در نقطه B2 بیابید» است.

2)sinx=-√3⁄2 .

ما باید تمام اعداد را در نقاط C4 و C3 پیدا کنیم.

3) sinx=1. روی دایره فقط یک نقطه با مختص 1 داریم - نقطه A2 و بنابراین باید فقط تمام اعداد این نقطه را پیدا کنیم.

پاسخ: x=π/2+2πk، k∈Z.

4)sinx=-1 .

فقط نقطه A_4 دارای 1- است. تمام اعداد این نقطه، اسب های معادله خواهند بود.

پاسخ: x=-π/2+2πk، k∈Z.

5) sinx=0 .

روی دایره دو نقطه با مختصات 0 داریم - نقاط A1 و A3. می توانید اعداد هر یک از نقاط را به طور جداگانه مشخص کنید، اما با توجه به اینکه این نقاط کاملاً متضاد هستند، بهتر است آنها را در یک فرمول ترکیب کنید: x=πk ,k∈Z .

پاسخ: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

تعریف کسینوس را به یاد بیاورید: cosx - آبسیسه نقطه دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد.روی دایره دو نقطه با آبسیسا √2⁄2 داریم - انتهای وتر افقی D1D4. ما باید تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. ما آنها را با ترکیب آنها در یک فرمول یادداشت می کنیم.

پاسخ: x=±π/4+2πk، k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

باید اعداد را در نقاط C_2 و C_3 پیدا کنیم.

پاسخ: x=±2π/3+2πk، k∈Z .

10) cosx=0 .

فقط نقاط A2 و A4 دارای ابسیسا 0 هستند، به این معنی که تمام اعداد در هر یک از این نقاط حل معادله خواهند بود.
.

جواب معادله سیستم اعداد در نقاط B_3 و B_4 می باشد.نابرابری cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
پاسخ: x=-5π/6+2πk، k∈Z.

توجه داشته باشید که برای هر مقدار مجاز x، عامل دوم مثبت است و بنابراین، معادله معادل سیستم است.

راه حل های معادله سیستم تعداد نقاط D_2 و D_3 است. اعداد نقطه D_2 نابرابری sinx≤0.5 را برآورده نمی کنند، اما اعداد نقطه D_3 راضی کننده هستند.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.