چگونه معادلات مثلثاتی ساده را حل کنیم. معادلات مثلثاتی

دوره ویدیویی "Get an A" شامل تمام موضوعاتی است که شما نیاز دارید تحویل موفقاستفاده در ریاضیات برای 60-65 امتیاز. به طور کامل تمام وظایف 1-13 امتحان پروفایلریاضیات همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای حیله گر برای حل، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنای حل مسائل پیچیده قسمت 2 امتحان.

مثال ها:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

نحوه حل معادلات مثلثاتی:

هر معادله مثلثاتی باید به یکی از انواع زیر کاهش یابد:

\(\sin⁡t=a\)، \(\cos⁡t=a\)، tg\(t=a\)، ctg\(t=a\)

که در آن \(t\) یک عبارت با x است، \(a\) یک عدد است. چنین معادلات مثلثاتیتماس گرفت تک یاخته ها. حل آنها با استفاده از () یا فرمول های خاص آسان است:

مثال . معادله مثلثاتی \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) را حل کنید.
راه حل:

پاسخ: \(\چپ[ \شروع(جمع‌شده)x=-\frac(π)(6)+2πk، \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn، \پایان (جمع‌شده)\راست.\) \(k,n∈Z\)

هر نماد در فرمول ریشه های معادلات مثلثاتی به چه معناست، ببینید.

توجه!معادلات \(\sin⁡x=a\) و \(\cos⁡x=a\) هیچ جوابی ندارند اگر \(a ε (-∞;-1)∪(1;∞)\). زیرا سینوس و کسینوس برای هر x بزرگتر یا مساوی \(-1\) و کوچکتر یا مساوی \(1\) است:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

مثال . معادله \(\cos⁡x=-1,1\) را حل کنید.
راه حل: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
پاسخ : بدون راه حل

مثال . معادله مثلثاتی tg\(⁡x=1\) را حل کنید.
راه حل:

معادله را با استفاده از دایره عددی حل کنید. برای این:
1) بیایید یک دایره بسازیم)
2) محورهای \(x\) و \(y\) و محور مماس ها را بسازید (از نقطه \((0;1)\) موازی با محور \(y\) می گذرد).
3) روی محور مماس ها نقطه \(1\) را علامت بزنید.
4) این نقطه و مبدا را به هم وصل کنید - یک خط مستقیم.
5) به نقاط تقاطع این خط و دایره عددی توجه کنید.
6) بیایید مقادیر این نقاط را امضا کنیم: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) تمام مقادیر این نقاط را یادداشت کنید. از آنجایی که آنها دقیقا \(π\) جدا از یکدیگر هستند، همه مقادیر را می توان در یک فرمول نوشت:

پاسخ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\)، \(k∈Z\).

مثال . معادله مثلثاتی \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\ را حل کنید.
راه حل:

بیایید دوباره از دایره اعداد استفاده کنیم.
1) یک دایره، محورهای \(x\) و \(y\) بسازیم.
2) روی محور کسینوس (محور \(x\)) \(0\) را علامت بزنید.
3) از این نقطه عمود بر محور کسینوس بکشید.
4) نقاط تلاقی عمود و دایره را مشخص کنید.
5) بیایید مقادیر این نقاط را امضا کنیم: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) بیایید کل مقدار این نقاط را بنویسیم و آنها را با کسینوس (با آنچه در داخل کسینوس است) برابر کنیم.

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)، \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) طبق معمول، \(x\) را در معادلات بیان می کنیم.
به یاد داشته باشید که اعداد را با \(π\) و همچنین \(1\)، \(2\)، \(\frac(1)(4)\) و غیره رفتار کنید. این اعداد همان اعداد هستند. بدون تبعیض عددی!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

پاسخ: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

کاهش معادلات مثلثاتی به ساده ترین آنها یک کار خلاقانه است، در اینجا شما باید از هر دو و روش های ویژه برای حل معادلات استفاده کنید:
- روش (محبوب ترین در آزمون).
- روش.
- روش آرگومان های کمکی.

مثالی از حل معادله مربع مثلثاتی را در نظر بگیرید

مثال . حل معادله مثلثاتی \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
راه حل:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	بیایید تغییر \(t=\cos⁡x\) را ایجاد کنیم.

	معادله ما معمولی شده است. می توانید آن را با .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	جایگزین می کنیم.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	معادله اول را با استفاده از دایره عددی حل می کنیم. از آن زمان معادله دوم هیچ راه حلی ندارد \(\cos⁡x∈[-1;1]\) و نمی تواند برای هر x برابر دو باشد.
	بیایید تمام اعداد موجود در این نقاط را بنویسیم.

پاسخ: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

مثالی از حل معادله مثلثاتی با مطالعه ODZ:

مثال (استفاده) . حل معادله مثلثاتی \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	یک کسری وجود دارد و یک کوتانژانت وجود دارد - بنابراین باید یادداشت کنید. اجازه دهید یادآوری کنم که کوتانژانت در واقع یک کسری است: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) بنابراین، DPV برای ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	به "غیر راه حل" در دایره اعداد توجه کنید.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	بیایید با ضرب آن در ctg\(x\) از مخرج معادله خلاص شویم. ما می توانیم این کار را انجام دهیم زیرا در بالا نوشتیم که ctg\(x≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	فرمول زاویه دوتایی را برای سینوس اعمال کنید: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	اگر دستانتان برای تقسیم بر کسینوس دراز شد - آنها را به عقب بکشید! اگر یک عبارت با یک متغیر قطعاً برابر با صفر نباشد، می توانید آن را بر روی یک عبارت تقسیم کنید (به عنوان مثال: \(x^2+1,5^x\)). در عوض، \(\cos⁡x\) را از پرانتز خارج می کنیم.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	بیایید معادله را به دو قسمت تقسیم کنیم.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	معادله اول را با استفاده از دایره عددی حل می کنیم. معادله دوم را بر \(2\) تقسیم کرده و \(\sin⁡x\) را به سمت راست حرکت دهید.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	ریشه هایی که معلوم شد در ODZ گنجانده نشده اند. بنابراین در پاسخ آنها را یادداشت نمی کنیم. معادله دوم معمولی است. تقسیم آن بر \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) نمی تواند راه حلی برای معادله باشد زیرا در این حالت \(\cos⁡x=1\) یا \(\cos⁡ x =-1\)).
	دوباره از دایره استفاده می کنیم.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\)، \(n∈Z\)	این ریشه ها توسط ODZ حذف نمی شوند، بنابراین می توان آنها را به عنوان یک پاسخ نوشت.

پاسخ: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

یک بار شاهد مکالمه دو متقاضی بودم:

- چه زمانی باید 2πn و چه زمانی - πn اضافه کنید؟ یادم نمی آید!

- و من هم همین مشکل را دارم.

می خواستم به آنها بگویم: حفظ کردن لازم نیست، بلکه فهمیدن است!

این مقاله عمدتاً به دانش آموزان دبیرستانی می پردازد و امیدوارم به آنها در "درک" برای حل ساده ترین معادلات مثلثاتی کمک کند:

دایره اعداد

در کنار مفهوم خط عددی، مفهوم دایره عددی نیز وجود دارد. همانطور که می دانیم، در یک سیستم مختصات مستطیلی، دایره ای با مرکز در نقطه (0; 0) و شعاع 1 دایره واحد نامیده می شود.یک خط عددی را با یک نخ نازک تصور کنید و آن را به دور این دایره بپیچید: نقطه مرجع (نقطه 0)، آن را به نقطه "راست" دایره واحد متصل کنید، نیم محور مثبت را در خلاف جهت عقربه های ساعت بپیچید و نیم محور منفی را در جهت ( عکس. 1). چنین دایره واحدی دایره عددی نامیده می شود.

خصوصیات دایره اعداد

هر عدد واقعی در یک نقطه از دایره اعداد قرار دارد.
در هر نقطه از دایره اعداد بی نهایت اعداد واقعی وجود دارد. از آنجایی که طول دایره واحد 2π است، تفاوت بین هر دو عدد در یک نقطه از دایره برابر با یکی از اعداد ± 2π است. ± 4π; ± 6π; …

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد نقطه A می توانیم تمام اعداد نقطه A را پیدا کنیم.

بیایید قطر AC را رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که x_0 یکی از اعداد نقطه A است، پس اعداد x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... و فقط آنها اعداد نقطه C خواهند بود. بیایید یکی از این اعداد را انتخاب کنیم، مثلا x_0+π، و از آن برای نوشتن تمام اعداد نقطه C استفاده کنیم: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ز. توجه داشته باشید که اعداد در نقاط A و C را می توان در یک فرمول ترکیب کرد: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (برای k = 0; ±2; ±4; ... ما اعداد نقطه A، و برای k = 1±، 3±، 5±، ... اعداد نقطه C هستند.

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد روی یکی از نقاط A یا C قطر AC، می توانیم تمام اعداد روی این نقاط را پیدا کنیم.

دو عدد متضاد بر روی نقاطی از دایره قرار دارند که حول محور آبسیسا متقارن هستند.

بیایید یک وتر عمودی AB رسم کنیم (شکل 2). از آنجایی که نقاط A و B در مورد محور Ox متقارن هستند، عدد -x_0 در نقطه B قرار دارد و بنابراین، تمام اعداد نقطه B با فرمول: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z داده می‌شوند. اعداد را در نقاط A و B با یک فرمول می نویسیم: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا B وتر عمودی AB، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. وتر افقی AD را در نظر بگیرید و اعداد نقطه D را بیابید (شکل 2). از آنجایی که BD قطر است و عدد -x_0 متعلق به نقطه B است، پس -x_0 + π یکی از اعداد نقطه D است و بنابراین، تمام اعداد این نقطه با فرمول x_D=-x_0+π+2πk به دست می‌آیند. ، k∈Z. اعداد در نقاط A و D را می توان با استفاده از یک فرمول نوشت: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk,k∈Z. (برای k= 0؛ ± 2؛ ± 4؛ ... اعداد نقطه A را می گیریم و برای k = 1±؛ ± 3؛ ± 5؛ ... - اعداد نقطه D).

بیایید نتیجه گیری کنیم: با دانستن یکی از اعداد در یکی از نقاط A یا D وتر افقی AD، می توانیم تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم.

شانزده نقطه اصلی دایره اعداد

در عمل، حل اکثر ساده ترین معادلات مثلثاتی با شانزده نقطه از دایره مرتبط است (شکل 3). این نقطه ها چیست؟ نقاط قرمز، آبی و سبز دایره را به 12 قسمت مساوی تقسیم می کنند. از آنجایی که طول نیم دایره π است، طول قوس A1A2 π/2، طول قوس A1B1 π/6 و طول قوس A1C1 π/3 است.

اکنون می توانیم یک عدد را روی نقاط مشخص کنیم:

π/3 در C1 و

رئوس مربع نارنجی وسط کمان های هر یک چهارم هستند، بنابراین طول کمان A1D1 برابر π/4 است و بنابراین، π/4 یکی از اعداد نقطه D1 است. با استفاده از ویژگی های دایره اعداد، می توانیم با استفاده از فرمول ها، تمام اعداد را در تمام نقاط علامت گذاری شده دایره خود بنویسیم. شکل مختصات این نقاط را نیز نشان می دهد (از شرح اکتساب آنها صرف نظر می کنیم).

با آموختن موارد فوق، اکنون آمادگی کافی برای حل موارد خاص (برای 9 مقدار از عدد) داریم آ)ساده ترین معادلات

حل معادلات

1)sinx=1⁄(2).

- چه چیزی از ما خواسته می شود؟

– تمام اعداد x را که سینوس آنها 1/2 است پیدا کنید.

تعریف سینوس را به یاد بیاورید: sinx - ترتیب نقطه دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد. روی دایره دو نقطه داریم که ترتیب آنها برابر با 1/2 است. اینها انتهای وتر افقی B1B2 هستند. این بدان معناست که شرط «حل معادله sinx=1⁄2» معادل شرط «همه اعداد را در نقطه B1 و همه اعداد را در نقطه B2 بیابید» است.

2)sinx=-√3⁄2 .

ما باید تمام اعداد را در نقاط C4 و C3 پیدا کنیم.

3) sinx=1. روی دایره فقط یک نقطه با مختص 1 داریم - نقطه A2 و بنابراین باید فقط تمام اعداد این نقطه را پیدا کنیم.

پاسخ: x=π/2+2πk، k∈Z.

4)sinx=-1 .

فقط نقطه A_4 دارای 1- است. تمام اعداد این نقطه، اسب های معادله خواهند بود.

پاسخ: x=-π/2+2πk، k∈Z.

5) sinx=0 .

روی دایره دو نقطه با مختصات 0 داریم - نقاط A1 و A3. می توانید اعداد هر یک از نقاط را به طور جداگانه مشخص کنید، اما با توجه به اینکه این نقاط کاملاً متضاد هستند، بهتر است آنها را در یک فرمول ترکیب کنید: x=πk ,k∈Z .

پاسخ: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

تعریف کسینوس را به یاد بیاورید: cosx - آبسیسه نقطه دایره عددی که عدد x روی آن قرار دارد.روی دایره دو نقطه با آبسیسا √2⁄2 داریم - انتهای وتر افقی D1D4. ما باید تمام اعداد را در این نقاط پیدا کنیم. ما آنها را با ترکیب آنها در یک فرمول یادداشت می کنیم.

پاسخ: x=±π/4+2πk، k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

باید اعداد را در نقاط C_2 و C_3 پیدا کنیم.

پاسخ: x=±2π/3+2πk، k∈Z .

10) cosx=0 .

فقط نقاط A2 و A4 دارای ابسیسا 0 هستند، به این معنی که تمام اعداد در هر یک از این نقاط حل معادله خواهند بود.
.

جواب معادله سیستم اعداد در نقاط B_3 و B_4 می باشد.نابرابری cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
پاسخ: x=-5π/6+2πk، k∈Z.

توجه داشته باشید که برای هر مقدار مجاز x، عامل دوم مثبت است و بنابراین، معادله معادل سیستم است.

راه حل های معادله سیستم تعداد نقاط D_2 و D_3 است. اعداد نقطه D_2 نابرابری sinx≤0.5 را برآورده نمی کنند، اما اعداد نقطه D_3 را برآورده می کنند.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

هنگام حل بسیاری از مشکلات ریاضیبه خصوص آنهایی که قبل از درجه 10 رخ می دهند، ترتیب اقدامات انجام شده که منجر به هدف می شود به وضوح مشخص شده است. چنین مسائلی شامل معادلات خطی و درجه دوم، نابرابری های خطی و درجه دوم، معادلات کسری و معادلاتی هستند که به معادلات درجه دوم کاهش می یابند. اصل حل موفقیت آمیز هر یک از وظایف ذکر شده به شرح زیر است: باید مشخص شود که چه نوع کار در حال حل است، دنباله ای از اقدامات لازم را به خاطر بسپارید که منجر به نتیجه مطلوب می شود، یعنی. پاسخ دهید و این مراحل را دنبال کنید.

بدیهی است که موفقیت یا شکست در حل یک مسئله خاص عمدتاً به این بستگی دارد که چگونه نوع معادله حل شده به درستی تعیین می شود، چگونه دنباله تمام مراحل حل آن به درستی بازتولید می شود. البته در این صورت داشتن مهارت انجام تبدیل ها و محاسبات یکسان ضروری است.

وضعیت متفاوتی رخ می دهد معادلات مثلثاتیاثبات این واقعیت که معادله مثلثاتی است دشوار نیست. هنگام تعیین توالی اقداماتی که منجر به پاسخ صحیح می شود، مشکلات ایجاد می شود.

گاهی اوقات تعیین نوع آن با ظاهر یک معادله دشوار است. و بدون دانستن نوع معادله، تقریباً غیرممکن است که از بین چندین ده فرمول مثلثاتی مناسب را انتخاب کنید.

برای حل معادله مثلثاتی باید سعی کنیم:

1. تمام توابع موجود در معادله را به "زوایای یکسان" بیاورید.
2. معادله را به "توابع یکسان" برسانید.
3. سمت چپ معادله و غیره را فاکتور کنید.

در نظر گرفتن روش های اساسی برای حل معادلات مثلثاتی

I. تقلیل به ساده ترین معادلات مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.تابع مثلثاتی را بر حسب مولفه های شناخته شده بیان کنید.

گام 2آرگومان تابع را با استفاده از فرمول ها پیدا کنید:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn، n ЄZ.

گناه x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn، n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn، n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn، n Є Z.

مرحله 3یک متغیر مجهول پیدا کنید.

مثال.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

راه حل.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn، n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn، n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn، n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3، n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

پاسخ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3، n Є Z.

II. جایگزینی متغیر

طرح راه حل

مرحله 1.معادله را با توجه به یکی از توابع مثلثاتی به شکل جبری بیاورید.

گام 2تابع به دست آمده را با متغیر t مشخص کنید (در صورت لزوم محدودیت هایی را برای t وارد کنید).

مرحله 3معادله جبری حاصل را بنویسید و حل کنید.

مرحله 4یک تعویض معکوس انجام دهید.

مرحله 5ساده ترین معادله مثلثاتی را حل کنید.

مثال.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

راه حل.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) بگذارید sin (x/2) = t، که در آن |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 یا e = -3/2 شرط |t| را برآورده نمی کند ≤ 1.

4) گناه (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn، n Є Z;

x = π + 4πn، n Є Z.

پاسخ: x = π + 4πn، n Є Z.

III. روش کاهش ترتیب معادله

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از فرمول های کاهش توان، این معادله را با یک معادله خطی جایگزین کنید:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x)؛

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x)؛

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

گام 2معادله به دست آمده را با استفاده از روش های I و II حل کنید.

مثال.

cos2x + cos2x = 5/4.

راه حل.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn، n Є Z;

x = ±π/6 + πn، n Є Z.

پاسخ: x = ±π/6 + πn، n Є Z.

IV. معادلات همگن

طرح راه حل

مرحله 1.این معادله را به شکل بیاورید

الف) a sin x + b cos x = 0 (معادله همگن درجه اول)

یا به منظره

ب) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (معادله همگن درجه دوم).

گام 2دو طرف معادله را تقسیم بر

الف) cos x ≠ 0;

ب) cos 2 x ≠ 0;

و معادله tg x را بدست آورید:

الف) a tg x + b = 0;

ب) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

مرحله 3معادله را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

راه حل.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) بگذارید tg x = t، سپس

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 یا t = -4، بنابراین

tg x = 1 یا tg x = -4.

از معادله اول x = π/4 + πn، n Є Z; از معادله دوم x = -arctg 4 + πk، k Є Z.

پاسخ: x = π/4 + πn، n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk، k Є Z.

V. روش تبدیل یک معادله با استفاده از فرمول های مثلثاتی

طرح راه حل

مرحله 1.با استفاده از انواع فرمول های مثلثاتی، این معادله را به معادله ای برسانید که با روش های I، II، III، IV قابل حل است.

گام 2معادله به دست آمده را با استفاده از روش های شناخته شده حل کنید.

مثال.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

راه حل.

1) (سین x + گناه 3x) + گناه 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 یا 2cos x + 1 = 0;

از معادله اول 2x = π/2 + πn، n Є Z; از معادله دوم cos x = -1/2.

ما x = π/4 + πn/2، n Є Z داریم. از معادله دوم x = ±(π – π/3) + 2πk، k Є Z.

در نتیجه، x \u003d π / 4 + πn / 2، n Є Z؛ x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

پاسخ: x \u003d π / 4 + πn / 2، n Є Z. x = ± 2π/3 + 2πk، k Є Z.

توانایی و مهارت حل معادلات مثلثاتی بسیار زیاد است مهم است، توسعه آنها نیاز به تلاش قابل توجهی، هم از جانب دانش آموز و هم از طرف معلم دارد.

بسیاری از مسائل استریومتری، فیزیک و غیره با حل معادلات مثلثاتی مرتبط هستند، فرآیند حل چنین مسائلی، همانطور که گفته شد، حاوی بسیاری از دانش و مهارت هایی است که هنگام مطالعه عناصر مثلثات به دست می آید.

معادلات مثلثاتی جایگاه مهمی در فرآیند آموزش ریاضیات و به طور کلی رشد شخصیت دارند.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات مثلثاتی را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی -.
درس اول رایگان است

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

درس و ارائه با موضوع: "حل ساده ترین معادلات مثلثاتی"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

دستورالعمل ها و شبیه سازها در فروشگاه آنلاین "Integral" برای درجه 10 از 1C
ما مسائل هندسه را حل می کنیم. وظایف تعاملی برای ساخت و ساز در فضا
محیط نرم افزار "1C: Mathematical constructor 6.1"

چه چیزی را مطالعه خواهیم کرد:
1. معادلات مثلثاتی چیست؟

3. دو روش اصلی برای حل معادلات مثلثاتی.
4. معادلات مثلثاتی همگن.
5. مثال ها.

معادلات مثلثاتی چیست؟

بچه ها، ما قبلاً آرکسین، آرکوزین، آرکتانژانت و آرکوتانژانت را مطالعه کرده ایم. حال بیایید به طور کلی معادلات مثلثاتی را بررسی کنیم.

معادلات مثلثاتی - معادلاتی که در آنها متغیر تحت علامت تابع مثلثاتی قرار می گیرد.

شکل حل ساده ترین معادلات مثلثاتی را تکرار می کنیم:

1) اگر |а|≤ 1 باشد، معادله cos(x) = a یک راه حل دارد:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) اگر |а|≤ 1 باشد، معادله sin(x) = a یک راه حل دارد:

3) اگر |a| > 1، سپس معادله sin(x) = a و cos(x) = a هیچ راه حلی ندارند 4) معادله tg(x)=a یک راه حل دارد: x=arctg(a)+ πk

5) معادله ctg(x)=a یک راه حل دارد: x=arcctg(a)+ πk

برای همه فرمول ها، k یک عدد صحیح است

ساده ترین معادلات مثلثاتی به شکل: Т(kx+m)=a، T- هر تابع مثلثاتی است.

مثال.

حل معادلات: الف) sin(3x)= √3/2

راه حل:

الف) 3x=t را نشان می دهیم، سپس معادله خود را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

راه حل این معادله خواهد بود: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

از جدول مقادیر بدست می آوریم: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

بیایید به متغیر خود برگردیم: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn،

سپس x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

پاسخ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، که در آن n یک عدد صحیح است. (-1)^n - منهای یک به توان n.

نمونه های بیشتری از معادلات مثلثاتی.

معادلات را حل کنید: الف) cos(x/5)=1 ب) tg(3x- π/3)= √3

راه حل:

الف) این بار مستقیماً به محاسبه ریشه های معادله می رویم:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. سپس x/5= πk => x=5πk

پاسخ: x=5πk که k یک عدد صحیح است.

ب) به شکل می نویسیم: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. می دانیم که: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

پاسخ: x=2π/9 + πk/3 که k یک عدد صحیح است.

حل معادلات: cos(4x)= √2/2. و تمام ریشه ها را در بخش پیدا کنید.

راه حل:

در آن تصمیم خواهیم گرفت نمای کلیمعادله ما: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

حالا بیایید ببینیم چه ریشه هایی در بخش ما می افتد. برای k برای k=0، x= π/16، در بخش داده شده هستیم.
با k=1 x= π/16+ π/2=9π/16 دوباره ضربه می زنند.
برای k=2، x= π/16+ π=17π/16، اما در اینجا ما ضربه ای نزدیم، به این معنی که برای k بزرگ هم نخواهیم زد.

پاسخ: x= π/16، x= 9π/16

دو روش اصلی راه حل

ما ساده ترین معادلات مثلثاتی را در نظر گرفته ایم، اما معادلات پیچیده تری نیز وجود دارد. برای حل آنها از روش معرفی متغیر جدید و روش فاکتورسازی استفاده می شود. بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم.

بیایید معادله را حل کنیم:

راه حل:
برای حل معادله خود از روش معرفی یک متغیر جدید استفاده می کنیم که نشان داده می شود: t=tg(x).

در نتیجه جایگزینی، به دست می آوریم: t 2 + 2t -1 = 0

بیایید ریشه ها را پیدا کنیم معادله درجه دوم: t=-1 و t=1/3

سپس tg(x)=-1 و tg(x)=1/3، ساده ترین معادله مثلثاتی را بدست آوردیم، بیایید ریشه های آن را پیدا کنیم.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

پاسخ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

نمونه ای از حل معادله

حل معادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

راه حل:

بیایید از هویت استفاده کنیم: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

معادله ما می شود: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

بیایید جایگزین t=cos(x) را معرفی کنیم: 2t 2 -3t - 2 = 0

راه حل معادله درجه دوم ما ریشه ها هستند: t=2 و t=-1/2

سپس cos(x)=2 و cos(x)=-1/2.

زیرا کسینوس نمی تواند مقادیر بیشتر از یک بگیرد، پس cos(x)=2 ریشه ندارد.

برای cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

پاسخ: x= ±2π/3 + 2πk

معادلات مثلثاتی همگن.

تعریف: معادله ای به شکل a sin(x)+b cos(x) معادلات مثلثاتی همگن درجه اول نامیده می شود.

معادلات فرم

معادلات مثلثاتی همگن درجه دوم

برای حل یک معادله مثلثاتی همگن درجه اول، آن را بر cos(x) تقسیم می کنیم: اگر برابر با صفر باشد، تقسیم بر کسینوس غیرممکن است، بیایید مطمئن شویم که اینطور نیست:
اجازه دهید cos(x)=0، سپس asin(x)+0=0 => sin(x)=0، اما سینوس و کسینوس همزمان با صفر برابر نیستند، یک تناقض دریافت کردیم، بنابراین می‌توانیم با خیال راحت تقسیم کنیم. با صفر

معادله را حل کنید:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

راه حل:

فاکتور مشترک را حذف کنید: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

سپس باید دو معادله را حل کنیم:

cos(x)=0 و cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 برای x= π/2 + πk;

معادله cos(x)+sin(x)=0 را در نظر بگیرید معادله ما را بر cos(x) تقسیم کنید:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

پاسخ: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

چگونه معادلات مثلثاتی همگن درجه دو را حل کنیم؟
بچه ها، همیشه به این قوانین پایبند باشید!

1. ببینید ضریب a برابر با چه چیزی است، اگر a \u003d 0 باشد، معادله ما به شکل cos (x) (bsin (x) + ccos (x) خواهد بود که نمونه ای از حل آن در حالت قبلی است. اسلاید

2. اگر a≠0، پس باید هر دو بخش معادله را بر مجذور کسینوس تقسیم کنید، به دست می‌آید:

با تغییر متغیر t=tg(x) معادله را بدست می آوریم: