دیفرانسیل کلی یک تابع §24

سخنرانی 10. دیفرانسیل تابع. قضایای فرمت، رول، لاگرانژ و کوشی.

1. دیفرانسیل عملکرد

1.1. تعریف دیفرانسیل یک تابع

از جانب مفهوم مشتق ارتباط نزدیکی با مفهوم اساسی دیگر دارد تجزیه و تحلیل ریاضیدیفرانسیل تابع است.

تعریف 1. تابع y = f (x) که در همسایگی نقطه x تعریف شده است در نقطه x قابل تفکیک نامیده می شود اگر افزایش آن در این نقطه باشد.

y = f (x + x) - f (x)

فرم را دارد

y = A x + α(Δx) x،

که در آن A یک ثابت است و تابع α(Δx) → 0 به صورت x → 0 است.

فرض کنید y = f (x) یک تابع متمایزپذیر باشد، سپس تعریف زیر را ارائه می دهیم.

تعریف 2. خطی اصلی		قسمت A x	افزایش	توابع f(x)
دیفرانسیل تابع در نقطه x نامیده می شود و با dy نشان داده می شود.
به این ترتیب،
y = dy + α(Δx) x.
نکته 1. مقدار dy =		x نامیده می شود	قسمت خط اصلی
افزایش y به دلیل این واقعیت است که بخش دیگر افزایش α(Δx)				x برای کوچک
x بسیار کوچکتر از A می شود

بیانیه 1. برای اینکه تابع y = f (x) در نقطه x قابل تمایز باشد، لازم و کافی است که در این نقطه مشتق داشته باشد.

اثبات نیاز داشتن. اجازه دهید تابع f (x) در یک نقطه قابل تفکیک باشد

x + α(Δx) x، برای

x → 0. سپس

A + lima(Δx) = A.

بنابراین مشتق f '(x) وجود دارد و برابر با A است.

کفایت. بگذار وجود داشته باشد

f ′ (x)، یعنی محدودیتی وجود دارد

F'(x).

F' (x) + α(Δx)،

y = f′ (x)Δx + α(Δx) x.

آخرین برابری به این معنی است که تابع y = f (x) قابل تمایز است.

1.2. معنای هندسی دیفرانسیل

فرض کنید l مماس بر نمودار تابع y = f (x) در نقطه M (x, f (x)) باشد (شکل 1). اجازه دهید نشان دهیم که dy مقدار بخش P Q است. در واقع،

dy = f ' (x)Δx = tg α x =

""ل

"" " "

" α

بنابراین، دی دیفرانسیل تابع f (x) در نقطه x برابر است با افزایش مختصات مماس l در آن نقطه.

1.3. عدم تغییر شکل دیفرانسیل

اگر x یک متغیر مستقل است، پس

dy = f′ (x)dx.

فرض کنید x = φ(t)، جایی که t یک متغیر مستقل است، y = f (φ(t)). سپس

dy = (f (φ(t))′ dt = f′ (x)φ′ (t)dt = f′ (x)dx (φ′ (t)dt = dx).

بنابراین، با وجود اینکه x یک متغیر مستقل نیست، شکل دیفرانسیل تغییر نکرده است. این خاصیت را عدم تغییر شکل دیفرانسیل می نامند.

1.4. کاربرد دیفرانسیل در محاسبات تقریبی

از فرمول y = dy + α(Δx) x، با حذف α(Δx) x، واضح است که برای کوچک

y ≈ dy = f ' (x)Δx.

از اینجا می گیریم

f (x + x) - f (x) ≈ f' (x)Δx،

f (x + x) ≈ f (x) + f′ (x)Δx. (1) از فرمول (1) در محاسبات تقریبی استفاده می شود.

1.5. دیفرانسیل های مرتبه بالاتر

طبق تعریف، دیفرانسیل دوم تابع y = f (x) در نقطه x دیفرانسیل اولین دیفرانسیل در آن نقطه است که نشان داده می شود.

d2 y = d(dy).

بیایید دیفرانسیل دوم را محاسبه کنیم:

d2 y = d(dy) = d(f′ (x)dx) = (f′ (x)dx)′ dx = (f′′ (x)dx)dx = f′′ (x)dx2

(هنگام محاسبه مشتق (f "(x)dx)"، در نظر گرفتیم که مقدار dx به x بستگی ندارد و بنابراین در حین تمایز ثابت است).

به طور کلی، دیفرانسیل مرتبه n یک تابع y = f (x) اولین است

دیفرانسیل

از دیفرانسیل

این تابع، که

نشان داده شده با

dn y = d(dn-1 y)

dn y = f(n) (x)dxn.

دیفرانسیل تابع y = arctg x را پیدا کنید.

راه حل. dy = (arctg x)′ dx =

1+x2

دیفرانسیل های مرتبه اول و دوم تابع v = e2t را بیابید.

راه حل. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 .

افزایش و دیفرانسیل تابع y = 2x3 + 5x2 را مقایسه کنید.

راه حل. ما پیدا می کنیم

5x2=

10x)∆x + (6x + 5)∆x

dy = (6x2 + 10x)dx.

تفاوت بین افزایش

y و دیفرانسیل dy یک بی نهایت کوچک بالاتر است

سفارش در مقایسه با

x برابر با (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 است.

مثال 4. مقدار تقریبی مساحت دایره ای که شعاع آن 3.02 متر است را محاسبه کنید.

راه حل. بیایید از فرمول S = πr2 استفاده کنیم. تنظیم r = 3، r = 0.02، ما داریم

S≈ dS = 2πr r = 2π 3 0.02 = 0.12π.

بنابراین، مقدار تقریبی مساحت یک دایره 9π + 0، 12π = 9، 12π ≈ است.

28، 66 (متر مربع).

مثال 5. مقدار تقریبی arcsin 0.51 را با دقت 0.001 محاسبه کنید. راه حل. تابع y = arcsin x را در نظر بگیرید. اجازه می دهیم x = 0.5، x = 0.01 و

استفاده از فرمول (1)

x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′

(arcsinx)"

≈ آرکسین 0.5+

0, 011 = 0, 513.

1 − (0, 5)2

مثال 6. تقریباً √ 3 را محاسبه کنید

با دقت 0.0001

راه حل. تابع y = √ 3 را در نظر بگیرید

و x = 8 را قرار دهید،

x = 0، 01. به طور مشابه

با فرمول (1)

(√ 3x)′ =

√3

√ x + x ≈√ 3 x + (√ 3 x)' x,

3√ 3 64

0.01 = 2 + 3 4 0.01 ≈ 2.0008.

p 8, 01 ≈√ 8 +

2. قضایای فرما، رول، لاگرانژ و کوشی

تعریف 3. گفته می شود که تابع y = f (x) در نقطه α دارد (یا می رسد) حداکثر محلی(حداقل) اگر یک همسایگی U (α) از نقطه α وجود داشته باشد به طوری که برای همه x U (α):

f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).

حداکثر محلی و حداقل محلی با نام مشترک متحد می شوند

افراطی محلی

تابعی که نمودار آن در شکل نشان داده شده است. 4 دارای حداکثر محلی در نقاط β، β1 و حداقل محلی در نقاط α، α1 است.

بیانیه 2. (فرمات) اجازه دهید تابع y = f (x) در یک نقطه α قابل تمایز باشد و در این نقطه یک انتها محلی داشته باشد. سپس f '(α) = 0.

ایده پشت اثبات قضیه فرما به شرح زیر است. اجازه دهید، برای قطعیت، f (x) یک حداقل محلی در نقطه α داشته باشد. طبق تعریف، f '(α) حد x → 0 رابطه است

	f (α + x) - f (α)
اما برای x به اندازه کافی کوچک (در مقدار مطلق).
	f (α + x) - f (α) ≥ 0.
بنابراین، با چنین	x دریافت می کنیم
از این رو نتیجه می شود که
	f '(α) = lim g(Δx) = 0.
اثبات کامل را خودتان انجام دهید.
بیانیه 3. (رول)	اگر y = f(x) پیوسته باشد			قابل تمایز توسط
(a, b) و f (a) = f (b)، سپس یک نقطه α (a, b) وجود دارد.				که f '(α) = 0.

اثبات با خاصیت توابعی که روی یک قطعه پیوسته هستند، نقاط x1 , x2 وجود دارد به طوری که

نقاط بحرانی. با فرضیه قضیه، f (x) در نقطه α قابل تمایز است. با قضیه فرما f ′ (α) = 0. قضیه ثابت می شود.

قضیه رول یک ساده دارد معنی هندسی(شکل 5): اگر منحنی y = f (x) برابر باشد، نقطه ای در منحنی y = f (x) وجود دارد که در آن مماس منحنی با محور Ox موازی است.

اثبات توجه داشته باشید که g(a) =6 g(b). در واقع، در غیر این صورت تابع g(x) تمام شرایط قضیه رول را برآورده می کند. بنابراین، یک نقطه β (a, b) وجود خواهد داشت که g' (β) = 0. اما این با فرضیه قضیه در تضاد است.

تابع کمکی زیر را در نظر بگیرید:

F (x) = f (x) - f (a) - f (b) - f (a) (g(x) - g(a)). g(b) - g(a)

تابع F (x) پیوسته است،				در (الف، ب) قابل تمایز است. علاوه بر این، آشکار است
چی'	F (a) = F (b) = 0. بنابراین، با قضیه رول، یک نقطه α (a, b) وجود دارد که
F (α) = 0، یعنی.
	f′(α)								g′ (α) = 0.
			- g(b)
این دلالت می کنه که
								f′(α)
								g' (α)

قضیه ثابت شده است.

بیانیه 5. (لاگرانژ) اگر y = f (x) بر روی , متمایزپذیر در (a, b) باشد، آنگاه α (a, b) وجود دارد که

F' (α).

اثبات قضیه لاگرانژ مستقیماً از قضیه کوشی برای g(x) = پیروی می کند

از نظر هندسی، قضیه لاگرانژ به این معنی است که در منحنی y = f (x) بین نقاط

A و B، چنین نقطه ای C وجود دارد که مماس آن با وتر AB موازی است. y

قضیه رول در این بخش

انجام. مقدار c

تعریف کردن

معادلات

f ′ (x) = 2x − 6 = 0، یعنی c = 3.

یک نقطه پیدا کنید

م، که در آن

مثال 8. روی یک قوس

منحنی AB y = 2x − x

مماس موازی با وتر

راه حل. تابع y = 2x − x

پیوسته و قابل تمایز برای همه مقادیر است

ایکس. طبق قضیه لاگرانژ، بین دو مقدار a = 1،

b = 3 مقدار وجود دارد

x = c ارضای برابری y(b) - y(a) = (b - a) y′ (c)، که در آن y′ = 2 - 2x. با جایگزینی مقادیر مربوطه، دریافت می کنیم

y (3) - y (1) = (3 - 1) y (c)،

(2 3 - 32) - (2 1 - 12) = (3 - 1) (2 - 2c)،

از این رو c = 2، y (2) = 0.

بنابراین، نقطه M دارای مختصات (2; 0) است.

مثال 9. روی قوس AB منحنی داده شده توسط معادلات پارامتری

x = t2، y = t3، نقطه را پیدا کنید

M که در آن مماس موازی با وتر AB اگر باشد

نقاط A و B با مقادیر t = 1 و t = 3 مطابقت دارد.

راه حل. شیب وتر AB است

و عامل شیب

مماس در نقطه M (برای

t = c) است

تو

(c)/x′

x = 2t،

y = 3t2. برای

تعریف c توسط قضیه کوشی معادله را بدست می آوریم

yt' (ج)

xt′ (c)

یعنی c = 13/6.

مقدار یافت شده c نابرابری 1 را برآورده می کند< c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).

از آنجایی که به طور ناگسستنی به هم مرتبط هستند، هر دوی آنها برای چندین قرن به طور فعال در حل تقریباً تمام مشکلاتی که در روند فعالیت علمی و فنی بشر به وجود آمده است استفاده شده است.

پیدایش مفهوم دیفرانسیل

برای اولین بار او توضیح داد که دیفرانسیل چیست، یکی از بنیانگذاران (همراه با اسحاق نیوتن) حساب دیفرانسیل، ریاضیدان مشهور آلمانی گوتفرید ویلهلم لایبنیتس. قبل از این، ریاضیدانان 17 هنر. یک ایده بسیار مبهم و مبهم از بخش "تقسیم ناپذیر" بی نهایت کوچک از هر تابع شناخته شده استفاده شد که نشان دهنده یک مقدار ثابت بسیار کوچک است، اما برابر با صفر نیست، کمتر از آن که مقادیر تابع به سادگی نمی تواند باشد. از اینجا تنها یک مرحله تا معرفی مفهوم افزایش بی نهایت کوچک آرگومان های توابع و افزایش متناظر خود توابع وجود داشت که از طریق مشتقات دومی بیان می شود. و این گام تقریباً به طور همزمان توسط دو دانشمند بزرگ فوق الذکر برداشته شد.

بر اساس نیاز به حل فوری وظایف عملیمکانیک، که صنعت و فناوری به سرعت در حال توسعه آن را مقدم بر علم قرار داد، نیوتن و لایب نیتس ایجاد کردند راه های رایجیافتن نرخ تغییر توابع (در درجه اول در رابطه با سرعت مکانیکی جسمی که در یک مسیر مشخص حرکت می کند) که منجر به معرفی مفاهیمی مانند مشتق و دیفرانسیل یک تابع شد و همچنین الگوریتمی برای حل مسئله معکوس، چگونگی پیدا کردن مسافت طی شده از یک سرعت شناخته شده (متغیر)، که منجر به مفهوم انتگرال شد.

در آثار لایب نیتس و نیوتن، برای اولین بار، این ایده ظاهر شد که دیفرانسیل ها بخش های اصلی افزایش توابع Δy هستند، متناسب با افزایش آرگومان های Δx، که می توانند با موفقیت برای محاسبه مقادیر استفاده شوند. دومی به عبارت دیگر، آنها کشف کردند که افزایش یک تابع را می توان در هر نقطه (در محدوده تعریف آن) بر حسب مشتق آن به صورت 0 بیان کرد، بسیار سریعتر از خود Δx.

به گفته بنیانگذاران آنالیز ریاضی، دیفرانسیل ها اولین اصطلاحات در عبارات برای افزایش هر توابع هستند. آنها هنوز مفهوم مشخصی از حد دنباله‌ها را فرمول‌بندی نشده‌اند، آنها به طور شهودی دریافتند که مقدار دیفرانسیل به مشتق تابع به صورت Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x) تمایل دارد.

برخلاف نیوتن که در درجه اول یک فیزیکدان بود و دستگاه ریاضی را به عنوان ابزار کمکیلایب نیتس با مطالعه مسائل فیزیکی، توجه بیشتری به خود این جعبه ابزار از جمله یک سیستم نمادگذاری بصری و قابل درک برای کمیت های ریاضی داشت. این او بود که نماد پذیرفته شده عمومی را برای دیفرانسیل های تابع dy \u003d y "(x) dx ، آرگومان dx و مشتق تابع به شکل نسبت آنها y" (x) \u003d dy / dx پیشنهاد کرد. .

تعریف مدرن

تفاوت از نظر ریاضیات مدرن چیست؟ ارتباط نزدیکی با مفهوم افزایش دارد متغیر. اگر متغیر y ابتدا مقدار y = y 1 و سپس y = y 2 را به خود بگیرد، آنگاه تفاوت y 2 ─ y 1 را افزایش y می نامند.

افزایش می تواند مثبت باشد. منفی و برابر با صفر است. کلمه "افزایش" با Δ نشان داده می شود، نماد Δy (بخوانید "دلتا y") نشان دهنده افزایش y است. بنابراین Δу = y 2 ─ y 1 .

اگر مقدار Δу یک تابع دلخواه y = f (x) را می توان به صورت Δу = A Δх + α نشان داد، که در آن A هیچ وابستگی به Δх ندارد، یعنی A = const برای x معین، و عبارت α به آن تمایل دارد حتی سریعتر از خود Δx، اولین عبارت ("اصلی") متناسب با Δx دیفرانسیل برای y \u003d f (x) است که با dy یا df (x) نشان داده شده است (خوانده شود "de y" ، "de ef از x" "). بنابراین، دیفرانسیل ها اجزای خطی "اصلی" افزایش توابع با توجه به Δx هستند.

تفسیر مکانیکی

بگذارید s \u003d f (t) - فاصله یک حرکت مستقیم از موقعیت اولیه(t - زمان سفر). افزایش Δs مسیر نقطه در بازه زمانی Δt است و دیفرانسیل ds = f "(t) Δt مسیری است که نقطه اگر سرعت f را حفظ می کرد در همان زمان Δt طی می کرد" (t) ) در زمان t رسیده است. برای یک Δt بی نهایت کوچک، مسیر خیالی ds با مقدار بی نهایت کوچک با Δs واقعی متفاوت است که نسبت به Δt مرتبه بالاتری دارد. اگر سرعت در زمان t برابر با صفر نباشد، ds مقدار تقریبی جابجایی کوچک نقطه را می دهد.

تفسیر هندسی

بگذارید خط L نمودار y = f(x) باشد. سپس Δ x \u003d MQ، Δy \u003d QM "(شکل زیر را ببینید). مماس MN قطعه Δy را به دو قسمت QN و NM تقسیم می کند. اولی متناسب با Δχ و برابر است QN = MQ∙tg (زاویه QMN) = Δх f "(x)، یعنی QN دیفرانسیل است.

قسمت دوم NM"تفاوت Δу ─ dy را می دهد، در Δх→0 طول NM" حتی سریعتر از افزایش آرگومان کاهش می یابد، یعنی ترتیب کوچکی آن بالاتر از Δх است. در مورد مورد بررسی، برای f "(x) ≠ 0 (مماس با OX موازی نیست)، بخش های QM و QN معادل هستند. به عبارت دیگر، NM" سریعتر از افزایش کل Δυ = QM کاهش می یابد (ترتیب کوچکی آن بیشتر است). این را می توان در شکل مشاهده کرد (از آنجایی که M "به M نزدیک می شود، بخش NM" درصد کمتری از بخش QM را تشکیل می دهد ").

بنابراین، از نظر گرافیکی، دیفرانسیل یک تابع دلخواه برابر است با بزرگی افزایش مماس آن.

مشتق و دیفرانسیل

ضریب A در جمله اول عبارت برای افزایش تابع برابر با مقدار مشتق آن f "(x) است. بنابراین، رابطه زیر رخ می دهد - dy \u003d f" (x) Δx یا df (x) \u003d f "(x) Δx.

مشخص است که افزایش آرگومان مستقل برابر است با دیفرانسیل آن Δх = dx. بر این اساس، می توانید بنویسید: f "(x) dx \u003d dy.

یافتن دیفرانسیل ها (که گاهی اوقات «حل کردن» نامیده می شود) طبق قوانین مشابه برای مشتقات انجام می شود. لیست آنها در زیر آورده شده است.

چه چیزی جهانی تر است: افزایش استدلال یا تفاوت آن

در اینجا لازم است توضیحاتی ارائه شود. نمایش با مقدار f "(x) Δx دیفرانسیل زمانی امکان پذیر است که x را به عنوان یک آرگومان در نظر بگیریم. اما تابع می تواند پیچیده باشد، که در آن x می تواند تابعی از برخی از آرگومان t باشد. سپس نمایش دیفرانسیل با عبارت f "(x) Δx، به عنوان یک قاعده، غیرممکن است. به جز مورد وابستگی خطی x = at + b.

در مورد فرمول f "(x) dx \u003d dy، سپس در مورد یک آرگومان مستقل x (سپس dx \u003d Δx)، و در مورد وابستگی پارامتری x به t، یک دیفرانسیل را نشان می دهد.

به عنوان مثال، عبارت 2 x Δx برای y = x 2 دیفرانسیل آن را زمانی که x یک آرگومان است نشان می دهد. اجازه دهید x= t 2 را تنظیم کنیم و t را به عنوان آرگومان در نظر بگیریم. سپس y = x 2 = t 4 .

این عبارت با Δt متناسب نیست و بنابراین اکنون 2xΔх دیفرانسیل نیست. می توان آن را از معادله y = x 2 = t 4 یافت. برابر است با dy=4t 3 Δt.

اگر عبارت 2xdx را بگیریم، آنگاه دیفرانسیل y = x 2 را برای هر آرگومان t نشان می دهد. در واقع، در x= t 2 dx = 2tΔt را دریافت می کنیم.

این به این معنی است که 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt، یعنی عبارات دیفرانسیل نوشته شده بر حسب دو متغیر متفاوت منطبق هستند.

جایگزینی افزایش با دیفرانسیل

اگر f "(x) ≠ 0، آنگاه Δу و dy معادل هستند (برای Δх→0)؛ اگر f "(x) = 0 (که به معنای dy = 0 است)، معادل نیستند.

به عنوان مثال، اگر y \u003d x 2، سپس Δy \u003d (x + Δx) 2 ─ x 2 \u003d 2xΔx + Δx 2 و dy \u003d 2xΔx. اگر x=3 باشد، آنگاه دو = 6Δх + Δх 2 و dy = 6Δх داریم که به دلیل Δх 2 → 0 معادل هستند، در x=0 مقادیر Δу = Δх 2 و dy=0 معادل نیستند.

این واقعیت، همراه با ساختار ساده دیفرانسیل (یعنی خطی بودن نسبت به Δx)، اغلب در محاسبات تقریبی استفاده می شود، با این فرض که Δy ≈ dy برای Δx کوچک. یافتن دیفرانسیل یک تابع معمولا ساده تر از محاسبه است ارزش دقیقافزایش

به عنوان مثال، ما یک مکعب فلزی داریم که لبه آن x = 10.00 سانتی متر است، وقتی گرم می شود، لبه آن 0.001 = Δx طول می کشد. حجم V مکعب چقدر افزایش یافت؟ ما V \u003d x 2 داریم، به طوری که dV \u003d 3x 2 Δx \u003d 3 10 2 0 / 01 \u003d 3 (cm 3). افزایش حجم ΔV معادل dV دیفرانسیل است، بنابراین ΔV = 3 cm 3 است. یک محاسبه کامل، ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001 را به دست می دهد. اما در این نتیجه، همه ارقام به جز اولی غیر قابل اعتماد هستند. بنابراین، به هر حال، باید آن را تا 3 سانتی متر 3 گرد کنید.

بدیهی است که چنین رویکردی تنها در صورتی مفید است که بتوان بزرگی خطای معرفی شده را تخمین زد.

دیفرانسیل تابع: مثال

بیایید سعی کنیم دیفرانسیل تابع y = x 3 را بدون یافتن مشتق پیدا کنیم. بیایید آرگومان را افزایش دهیم و Δу را تعریف کنیم.

Δy \u003d (Δx + x) 3 ─ x 3 \u003d 3x 2 Δx + (3xΔx 2 + Δx 3).

در اینجا ضریب A = 3x 2 به Δх بستگی ندارد، بنابراین جمله اول با Δх متناسب است، در حالی که جمله دیگر 3xΔх 2 + Δх 3 در Δх→0 سریعتر از افزایش آرگومان کاهش می یابد. بنابراین، عبارت 3x 2 Δx دیفرانسیل y = x 3 است:

dy \u003d 3x 2 Δx \u003d 3x 2 dx یا d (x 3) \u003d 3x 2 dx.

در این مورد، d(x 3) / dx \u003d 3x 2.

اجازه دهید دو تابع y = 1/x را بر حسب مشتق آن پیدا کنیم. سپس d(1/x) / dx = ─1/x 2 . بنابراین، dy = ─ Δх/х 2.

دیفرانسیل توابع اصلی جبری در زیر آورده شده است.

محاسبات تقریبی با استفاده از دیفرانسیل

اغلب محاسبه تابع f (x) و همچنین مشتق f "(x) برای x=a دشوار نیست، اما انجام همین کار در مجاورت نقطه x=a آسان نیست. بیان تقریبی به کمک می آید

f (a + Δх) ≈ f "(a) Δх + f (a).

مقدار تقریبی تابع را با افزایش های کوچک Δх از طریق دیفرانسیل f "(a)Δх به دست می دهد.

بنابراین، این فرمول یک عبارت تقریبی برای تابع در نقطه پایانی مقطعی به طول Δx به عنوان مجموع مقدار آن در نقطه شروع این بخش (x=a) و دیفرانسیل در همان نقطه شروع به دست می دهد. خطای این روش در تعیین مقدار تابع در شکل زیر نشان داده شده است.

با این حال، بیان دقیق مقدار تابع برای x=a+Δх نیز مشخص است که با فرمول افزایش های محدود (یا به عبارت دیگر، فرمول لاگرانژ) ارائه می شود.

f (a + Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f (a)،

که در آن نقطه x = a + ξ روی قطعه از x = a تا x = a + Δx است، اگرچه موقعیت دقیق آن ناشناخته است. فرمول دقیق تخمین خطای فرمول تقریبی را ممکن می سازد. اگر ξ = Δχ /2 را در فرمول لاگرانژ قرار دهیم، اگر چه دقیق نیست، معمولاً تقریب بسیار بهتری نسبت به عبارت اصلی از طریق دیفرانسیل ارائه می دهد.

تخمین خطای فرمول ها با اعمال دیفرانسیل

در اصل، آنها نادرست هستند و خطاهای مربوطه را به داده های اندازه گیری وارد می کنند. آنها با خطای حاشیه ای یا به طور خلاصه خطای حاشیه ای مشخص می شوند - یک عدد مثبت که آشکارا از این خطا در مقدار مطلق (یا حداقل برابر با آن) بیشتر است. حد را ضریب تقسیم آن بر قدر مطلق مقدار اندازه گیری شده می گویند.

اجازه دهید از فرمول دقیق y= f (x) برای محاسبه تابع y استفاده شود، اما مقدار x نتیجه اندازه گیری است و بنابراین یک خطا به y وارد می کند. سپس، به منظور پیدا کردن حد خطای مطلق│‌‌Δу│ توابع y، از فرمول استفاده کنید

│‌Δу│≈│‌dy│=│ f "(x)││Δх│،

که در آن │Δх│ خطای حاشیه ای استدلال است. مقدار │‌Δу│ باید به سمت بالا گرد شود، زیرا نادرست، جایگزینی محاسبه افزایش با محاسبه دیفرانسیل است.

دیفرانسیل ... برای برخی، این یک دور زیبا است، و برای برخی دیگر - کلمه ای نامفهوم که با ریاضیات مرتبط است. اما اگر این هدیه سخت شماست، مقاله ما به شما کمک می کند یاد بگیرید که چگونه دیفرانسیل را به درستی "آماده کنید" و با چه چیزی "سرویس" کنید.

دیفرانسیل در ریاضیات یعنی قسمت خطیافزایش عملکرد مفهوم دیفرانسیل به طور جدایی ناپذیری با نوشتن مشتق مطابق با لایبنیتس f'(x 0) = df/dx·x 0 مرتبط است. بر این اساس، دیفرانسیل مرتبه اول برای تابع f تعریف شده در مجموعه X به شکل زیر است: d x0 f = f (x 0) d x0 x. همانطور که می بینید، برای به دست آوردن دیفرانسیل، باید بتوانید آزادانه مشتقات را پیدا کنید. بنابراین، تکرار قوانین برای محاسبه مشتقات به منظور درک آنچه در آینده اتفاق خواهد افتاد مفید خواهد بود. بنابراین، بیایید با مثال ها نگاهی دقیق تر به تمایز بیندازیم. لازم است دیفرانسیل تابعی را که به این شکل داده شده است پیدا کنید: y = x 3 -x 4. ابتدا مشتق تابع را پیدا می کنیم: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . خوب، در حال حاضر دریافت دیفرانسیل به آسانی گلابی پوست اندازی است: df = (3x3 -4x3) dx. اکنون ما دیفرانسیل را به شکل یک فرمول دریافت کرده ایم؛ در عمل، اغلب به مقدار دیجیتالی دیفرانسیل برای پارامترهای خاص x و ∆x نیز علاقه مندیم. مواردی وجود دارد که یک تابع به طور ضمنی بر حسب x بیان می شود. به عنوان مثال، y = x²-y x. مشتق تابع به این شکل است: 2x-(y x)′. اما چگونه می توان (y x)′ را بدست آورد؟ چنین تابعی پیچیده نامیده می شود و طبق قانون مربوطه متمایز می شود: df/dx = df/dy·dy/dx. در این مورد: df/dy = x·y x-1 و dy/dx = y′. حالا همه چیز را کنار هم می گذاریم: y′ = 2x-(x y x-1 y′). همه بازیکنان را در یک جهت گروه بندی می کنیم: (1+x y x-1) y′ = 2x و در نتیجه می گیریم: y′ = 2x/(1+x y x-1) = dy/dx. بر این اساس dy = 2x dx/(1+x y x-1). البته خوب است که چنین کارهایی نادر است. اما اکنون شما برای آنها آماده اید. علاوه بر دیفرانسیل های درجه اول در نظر گرفته شده، دیفرانسیل هایی نیز وجود دارد مرتبه بالاتر. بیایید سعی کنیم دیفرانسیل تابع d را پیدا کنیم /d(x 3 )· (x 3 – 2 x6 – x9 ) که دیفرانسیل مرتبه دوم برای f(x) خواهد بود.. بر اساس فرمول f′(u) = d/du f(u)، که در آن u = f(x)، u = x 3 را می گیریم. دریافت می کنیم: d/d(u) (u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . ما جایگزین را برمی گردانیم و پاسخ را می گیریم - 1 – x 3 – x 6، x≠0. یک سرویس آنلاین نیز می تواند به کمکی در یافتن دیفرانسیل تبدیل شود. طبیعتاً از آن در کنترل یا امتحان استفاده نخواهید کرد. اما در خود تاییدصحت تصمیم، نقش آن دشوار است که بیش از حد برآورد شود. علاوه بر خود نتیجه، راه حل های میانی، نمودارها و انتگرال نامعین یک تابع دیفرانسیل و همچنین ریشه های یک معادله دیفرانسیل را نیز نشان می دهد. تنها ایرادش این است که وقتی وارد آن می‌شوید تابع را روی یک خط می‌نویسد، اما با گذشت زمان می‌توانید به این کار عادت کنید. خوب، البته، چنین سرویسی نمی تواند با عملکردهای پیچیده کنار بیاید، اما هر چیزی که ساده تر است برای او خیلی سخت است. استفاده عملییافته های دیفرانسیل در درجه اول در فیزیک و اقتصاد. بنابراین، در فیزیک، مسائل مربوط به تعیین سرعت و مشتق آن، شتاب، اغلب با تمایز حل می شود. و در اقتصاد، دیفرانسیل بخشی جدایی ناپذیر از محاسبه کارایی یک شرکت و سیاست مالی دولت است، به عنوان مثال، اثر اهرم مالی.

در این مقاله مشکلات تمایز معمولی مورد بحث قرار می گیرد. دوره ریاضیات عالی دانشجویان اغلب شامل وظایفی در مورد استفاده از دیفرانسیل در محاسبات تقریبی و همچنین جستجوی راه حل است. معادلات دیفرانسیل. اما نکته اصلی این است که با درک روشنی از اصول اولیه، می توانید به راحتی با تمام کارهای جدید کنار بیایید.

تمایز لگاریتمی

تمایز بسیاری از توابع در صورتی ساده می شود که آنها به طور مقدماتی لگاریتمی شوند. برای این کار به صورت زیر عمل کنید. اگر نیاز دارید پیدا کنید y"از معادله y=f(x)، پس شما می توانید:

مثال ها.

تابع توان نمایی و تمایز آن

نماییتابع تابعی از فرم است y = u v، جایی که u=u(x)، v=v(x).

تمایز لگاریتمی برای یافتن مشتق تابع توان نمایی استفاده می شود.

مثال ها.

جدول مشتقات

بیایید تمام فرمول‌های اساسی و قوانین تمایز را که قبلاً مشتق شده‌اند، در یک جدول ترکیب کنیم. همه جا را فرض خواهیم کرد u=u(x), v=v(x)، С=const. برای مشتقات توابع ابتدایی پایه، از قضیه مشتق استفاده خواهیم کرد تابع پیچیده.

مثال ها.

مفهوم دیفرانسیل تابع. رابطه بین دیفرانسیل و مشتق

اجازه دهید تابع y=f(x)قابل تفکیک در بازه [ آ; ب]. مشتق این تابع در یک نقطه ایکس 0 Î [ آ; ب] با برابری تعریف می شود

.

بنابراین به خاصیت حد

ضرب تمام عبارات تساوی حاصل در Δ ایکس، ما گرفتیم:

Δ y = f"(ایکس 0)·Δ ایکس+ a Δ ایکس.

بنابراین، یک افزایش بی نهایت کوچک Δ yتابع قابل تفکیک y=f(x)را می توان به صورت مجموع دو جمله نشان داد که اولین عبارت (برای f"(ایکس 0) ≠ 0) بخش اصلی افزایش، خطی نسبت به Δ ایکسو دومی یک مقدار بینهایت کوچک با مرتبه بالاتر از Δ است ایکس. بخش اصلی افزایش تابع، یعنی. f"(ایکس 0)·Δ ایکسدیفرانسیل یک تابع در یک نقطه نامیده می شود ایکس 0 و نشان داده شده با دو.

بنابراین، اگر تابع y=f(x)مشتق دارد f"(ایکس) در نقطه ایکس، سپس حاصل ضرب مشتق f"(ایکس) در هر افزایش Δ ایکسآرگومان نامیده می شود دیفرانسیل عملکردو نشان می دهد:

بیایید دیفرانسیل تابع را پیدا کنیم y=x. در این مورد y" = (ایکس)" = 1 و بنابراین، دو=dx=Δ ایکس. بنابراین دیفرانسیل dxمتغیر مستقل ایکسمنطبق با افزایش آن Δ است ایکس. بنابراین می توانیم فرمول (1) را به صورت زیر بنویسیم:

دو = f "(ایکس)dx

اما از این رابطه نتیجه می شود که . بنابراین، مشتق f "(ایکس) را می توان به عنوان نسبت دیفرانسیل تابع به دیفرانسیل متغیر مستقل در نظر گرفت.

قبلاً نشان دادیم که تمایز پذیری یک تابع در یک نقطه به معنای وجود یک دیفرانسیل در آن نقطه است.

عکس آن نیز صادق است.

اگر برای یک مقدار معین ایکسافزایش تابع Δ y = f(ایکس+Δ ایکس) – f(x)را می توان به صورت Δ نشان داد y = آ·Δ ایکس+ α، که α یک کمیت بینهایت کوچک است که شرط را برآورده می کند، یعنی: اگر برای عملکرد y=f(x)دیفرانسیل وجود دارد dy=A dxاز برخی نقطه نظرات ایکس، سپس این تابع در نقطه یک مشتق دارد ایکسو f "(ایکس)=ولی.

در واقع، ما داریم، و از آنجایی که برای Δ ایکس→ 0، سپس .

بنابراین، ارتباط بسیار نزدیکی بین تمایزپذیری یک تابع و وجود یک دیفرانسیل وجود دارد؛ هر دو مفهوم معادل هستند.

مثال ها.یافتن تفاوت های تابع:

معنی هندسی دیفرانسیل

تابع را در نظر بگیرید y=f(x)و منحنی مربوطه یک نقطه دلخواه روی منحنی بگیرید M(x; y)در این نقطه مماس بر منحنی رسم کنید و با α زاویه ای را که مماس با جهت مثبت محور تشکیل می دهد نشان دهید. گاو نر. یک متغیر مستقل می دهیم ایکسافزایش Δ ایکس، سپس تابع افزایش Δ را دریافت می کند y = NMیکی . ارزش های ایکس+Δ ایکسو y+Δ yروی منحنی y = f(x)نقطه مطابقت خواهد داشت

م 1 (ایکس+Δ ایکس; y+Δ y).

از Δ MNTپیدا کردن NT=MN tgα. زیرا tgα = f "(ایکس)، آ MN = Δ ایکس، سپس NT = f "(ایکس)·Δ ایکس. اما با تعریف دیفرانسیل دو=f "(ایکس)·Δ ایکس، از همین رو دو = NT.

بنابراین، دیفرانسیل تابع f(x) مربوط به مقادیر داده شده x و Δx برابر است با افزایش مختصات مماس بر منحنی y=f(x) در نقطه داده شده x.

قضیه عدم تغییر دیفرانسیل

قبلاً دیدیم که اگر تویک متغیر مستقل است، سپس دیفرانسیل تابع y=f "(تو) دارای فرم است دو = f "(تو)du.

اجازه دهید نشان دهیم که این شکل در مورد زمانی نیز حفظ می شود تویک متغیر مستقل نیست، بلکه یک تابع است. یک عبارت برای دیفرانسیل یک تابع پیچیده پیدا کنید. اجازه دهید y=f(u)، u=g(x)یا y = f(g(x)). سپس، طبق قاعده تمایز یک تابع پیچیده:

.

بنابراین، طبق تعریف

ولی g"(ایکس)dx= du، از همین رو dy=f"(u)du.

ما قضیه زیر را ثابت کردیم.

قضیه.دیفرانسیل تابع مختلط y=f(u)، برای کدام u=g(x)، به همین شکل است dy=f"(u)du، که در صورت استدلال میانی خواهد داشت تومتغیر مستقل بود.

به عبارت دیگر، شکل دیفرانسیل به این بستگی ندارد که آیا آرگومان تابع متغیر مستقل تابعی از آرگومان دیگری است یا نه. این ویژگی دیفرانسیل نامیده می شود تغییر ناپذیری فرم دیفرانسیل.

مثال.. پیدا کردن دو.

با در نظر گرفتن ویژگی عدم تغییر دیفرانسیل، متوجه می شویم

.

اعمال دیفرانسیل در محاسبات تقریبی

ارزش تابع را به ما اطلاع دهید y 0 =f(x 0 ) و مشتق آن y 0 " = f "(x0) در نقطه x0. بیایید نشان دهیم که چگونه می توان مقدار یک تابع را در یک نقطه نزدیک پیدا کرد ایکس.

همانطور که قبلا متوجه شدیم، افزایش تابع Δ yرا می توان به صورت مجموع Δ نشان داد y=دو+α·Δ ایکس، یعنی افزایش تابع به مقدار بی نهایت کوچک با دیفرانسیل متفاوت است. بنابراین، غفلت از Δ کوچک ایکسترم دوم در محاسبات تقریبی، گاهی اوقات از برابری تقریبی Δ استفاده می کنند y≈دویا Δ y» f"(x0)·Δ ایکس.

زیرا طبق تعریف Δ y = f(ایکس) – f(x0)، سپس f(x) – f(x0)≈f"(x0)·Δ ایکس.

مثال ها.

مشتقات مرتبه بالاتر

اجازه دهید تابع y=f(x)در برخی بازه ها قابل تمایز است [ آ; ب]. ارزش مشتق f"(ایکس)، به طور کلی، بستگی دارد ایکس، یعنی مشتق f"(ایکس) نیز تابعی از متغیر است ایکس. اجازه دهید این تابع یک مشتق نیز داشته باشد. با تمایز آن، به اصطلاح مشتق دوم تابع f(x) را بدست می آوریم.

مشتق مشتق اول نامیده می شود مشتق مرتبه دومیا مشتق دوماز این تابع y=f(x)و نشان داد y""یا f""(ایکس). بنابراین، y"" = (y")".

به عنوان مثال، اگر در = ایکس 5، سپس y"= 5ایکس 4، و y""= 20ایکس 4 .

به طور مشابه، به نوبه خود، مشتق مرتبه دوم نیز می تواند متمایز شود. مشتق مشتق دوم نامیده می شود مشتق مرتبه سومیا مشتق سومو با y""" یا f"""( ایکس).

بطور کلی، مشتق مرتبه nاز تابع f(x)مشتق (اول) مشتق (اول) نامیده می شود n- مرتبه 1) و با علامت نشان داده می شود y(ن) یا f(ن) ( ایکس): y(n) = ( y(n-1))".

بنابراین، برای یافتن یک مشتق مرتبه بالاتر از یک تابع معین، تمام مشتقات مرتبه پایین تر آن به ترتیب یافت می شوند.