اغلب فقط ذکر است معادلات دیفرانسیلدانش آموزان را ناراحت می کند چرا این اتفاق می افتد؟ بیشتر اوقات ، زیرا هنگام مطالعه اصول اولیه مطالب ، شکافی در دانش ایجاد می شود که به همین دلیل مطالعه بیشتر دیفورها به سادگی به شکنجه تبدیل می شود. هیچ چیز مشخص نیست چه باید کرد، چگونه تصمیم بگیریم از کجا شروع کنیم؟

با این حال، ما سعی خواهیم کرد به شما نشان دهیم که دیفورز آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست.

مفاهیم اساسی تئوری معادلات دیفرانسیل

از مدرسه، ما ساده ترین معادلات را می دانیم که در آنها باید مجهول x را پیدا کنیم. در حقیقت معادلات دیفرانسیلفقط کمی متفاوت از آنها - به جای یک متغیر ایکس آنها باید یک تابع پیدا کنند y(x) ، که معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

D معادلات دیفرانسیلاهمیت عملی زیادی دارند. این ریاضیات انتزاعی نیست که ربطی به دنیای اطراف ما ندارد. با کمک معادلات دیفرانسیل، بسیاری از فرآیندهای طبیعی واقعی توصیف می شوند. به عنوان مثال، ارتعاشات رشته، حرکت یک نوسان ساز هارمونیک، با استفاده از معادلات دیفرانسیل در مسائل مکانیک، سرعت و شتاب یک جسم را پیدا می کند. همچنین DUبه طور گسترده در زیست شناسی، شیمی، اقتصاد و بسیاری از علوم دیگر استفاده می شود.

معادله دیفرانسیل (DU) معادله ای است که مشتقات تابع y(x)، خود تابع، متغیرهای مستقل و سایر پارامترها را در ترکیبات مختلف شامل می شود.

معادلات دیفرانسیل انواع مختلفی دارند: معادلات دیفرانسیل معمولی، خطی و غیرخطی، همگن و غیرهمگن، معادلات دیفرانسیل درجه اول و بالاتر، معادلات دیفرانسیل جزئی و غیره.

حل معادله دیفرانسیل تابعی است که آن را به یک هویت تبدیل می کند. راه حل های کلی و خاص کنترل از راه دور وجود دارد.

راه حل کلی معادله دیفرانسیل مجموعه کلی راه حل هایی است که معادله را به یک هویت تبدیل می کند. یک راه حل خاص از یک معادله دیفرانسیل، راه حلی است که شرایط اضافی مشخص شده در ابتدا را برآورده کند.

ترتیب معادله دیفرانسیل تعیین می شود بالاترین مرتبهمشتقات موجود در آن

معادلات دیفرانسیل معمولی

معادلات دیفرانسیل معمولیمعادلات حاوی یک متغیر مستقل هستند.

ساده ترین معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را در نظر بگیرید. به نظر می رسد:

این معادله را می توان با ادغام سمت راست آن حل کرد.

نمونه هایی از این معادلات:

معادلات متغیر قابل تفکیک

به طور کلی، این نوع معادله به صورت زیر است:

در اینجا یک مثال است:

برای حل چنین معادله ای، باید متغیرها را جدا کنید و آن را به شکل زیر بیاورید:

پس از آن، باقی مانده است که هر دو قسمت را یکپارچه کنیم و راه حلی به دست آوریم.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

چنین معادلاتی به شکل زیر است:

در اینجا p(x) و q(x) برخی از توابع متغیر مستقل هستند و y=y(x) تابع مورد نظر است. در اینجا نمونه ای از چنین معادله ای آورده شده است:

برای حل چنین معادله ای، اغلب از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده می کنند یا تابع مورد نظر را به عنوان حاصلضرب دو تابع دیگر y(x)=u(x)v(x) نشان می دهند.

برای حل چنین معادلاتی، آمادگی خاصی لازم است، و گرفتن آنها "از روی هوس" بسیار دشوار خواهد بود.

مثالی از حل DE با متغیرهای قابل تفکیک

بنابراین ما ساده ترین انواع کنترل از راه دور را در نظر گرفته ایم. حال بیایید نگاهی به یکی از آنها بیندازیم. بگذارید معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک باشد.

ابتدا مشتق را به شکلی آشناتر بازنویسی می کنیم:

سپس متغیرها را از هم جدا می کنیم ، یعنی در یک قسمت از معادله همه "بازی ها" را جمع آوری می کنیم و در قسمت دیگر - "xes" را جمع آوری می کنیم:

اکنون باید هر دو بخش را ادغام کنیم:

ما ادغام می کنیم و جواب کلی این معادله را به دست می آوریم:

البته حل معادلات دیفرانسیل نوعی هنر است. شما باید بتوانید درک کنید که یک معادله متعلق به کدام نوع است، و همچنین یاد بگیرید که ببینید باید چه تغییراتی را با آن انجام دهید تا آن را به یک شکل یا شکل دیگر برسانید، نه تنها به توانایی تمایز و یکپارچه سازی اشاره کنیم. و برای موفقیت در حل DE نیاز به تمرین (مانند همه چیز) است. و اگر در حال حاضر وقت ندارید که بفهمید معادلات دیفرانسیل چگونه حل می شوند یا مشکل کوشی مانند استخوانی در گلوی شما بالا آمده است یا نمی دانید، با نویسندگان ما تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی راه حل آماده و دقیقی را در اختیار شما قرار خواهیم داد که جزئیات آن را در هر زمانی که برای شما راحت باشد می توانید درک کنید. در ضمن پیشنهاد می کنیم ویدیویی با موضوع "نحوه حل معادلات دیفرانسیل" تماشا کنید:

معادلات دیفرانسیلمرتبه دوم و سفارشات بالاتر
خطی DE مرتبه دوم با ضرایب ثابت.
نمونه های راه حل

به بررسی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر می پردازیم. اگر تصور مبهمی از معادله دیفرانسیل دارید (یا اصلاً نمی دانید چیست)، توصیه می کنم با درس شروع کنید. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه های راه حل. بسیاری از اصول راه حل و مفاهیم اولیه دیفرانسیل های مرتبه اول به طور خودکار به معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر گسترش می یابند، بنابراین بسیار مهم است که ابتدا معادلات مرتبه اول را درک کنید.

بسیاری از خوانندگان ممکن است تعصب داشته باشند که DE از دستورات 2، 3، و دیگر چیزی بسیار دشوار و غیرقابل دسترس برای تسلط است. این درست نیست . یادگیری حل اشاعه های مرتبه بالاتر به سختی دشوارتر از DE های مرتبه اول "معمولی" است.. و در برخی جاها حتی ساده تر است، زیرا مواد برنامه درسی مدرسه به طور فعال در تصمیم گیری ها استفاده می شود.

محبوبترین معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم. به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم لزومامشتق دوم و شامل نمی شود

لازم به ذکر است که برخی از نوزادان (و حتی به یکباره) ممکن است در معادله غایب باشند، مهم این است که پدر در خانه بوده است. ابتدایی ترین معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر است:

معادلات دیفرانسیل مرتبه سومطبق مشاهدات ذهنی من در کارهای عملی بسیار کمتر رایج است دومای دولتیآنها حدود 3-4 درصد آرا را به دست خواهند آورد.

به یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم لزومامشتق سوم و شامل نمی شودمشتقات مرتبه بالاتر:

ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه سوم به این صورت است: - پدر در خانه است، همه بچه ها برای پیاده روی بیرون هستند.

به طور مشابه، معادلات دیفرانسیل از مرتبه های 4، 5 و بالاتر را می توان تعریف کرد. AT وظایف عملیچنین کنترل از راه دور بسیار به ندرت لغزش می کند، با این حال، من سعی خواهم کرد مثال های مرتبط را ارائه دهم.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتری که در مسائل عملی ارائه می شوند را می توان به دو گروه اصلی تقسیم کرد.

1) گروه اول - به اصطلاح معادلات درجه پایین. پرواز کن!

2) گروه دوم - معادلات خطی مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت. که ما همین الان شروع به بررسی آن خواهیم کرد.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

در تئوری و عمل، دو نوع از این معادلات متمایز می شوند - معادله همگنو معادله ناهمگن.

DE همگن مرتبه دوم با ضرایب ثابتدارای فرم زیر است:
، جایی که و ثابت هستند (اعداد)، و در سمت راست - موکداصفر

همانطور که می بینید، هیچ مشکل خاصی برای معادلات همگن وجود ندارد، نکته اصلی این است درست تصمیم بگیر معادله درجه دوم .

گاهی اوقات معادلات همگن غیر استاندارد وجود دارد، به عنوان مثال، یک معادله در فرم ، جایی که در مشتق دوم مقداری ثابت وجود دارد که متفاوت از وحدت (و البته متفاوت از صفر) است. الگوریتم حل به هیچ وجه تغییر نمی کند، باید با آرامش معادله مشخصه را تنظیم کرد و ریشه های آن را پیدا کرد. اگر معادله مشخصه دو ریشه واقعی متفاوت خواهد داشت، برای مثال: ، سپس راه حل کلی را می توان به روش معمول نوشت: .

در برخی موارد، به دلیل یک اشتباه تایپی در شرایط، ریشه های "بد" می توانند ظاهر شوند، چیزی شبیه به . چه باید کرد، پاسخ باید به این صورت نوشته شود:

با ریشه های پیچیده مزدوج "بد" مانند مشکلی هم نداره، راه حل کلی:

به این معنا که، یک راه حل کلی در هر صورت وجود دارد. زیرا هر معادله درجه دوم دو ریشه دارد.

در پاراگراف پایانی، همانطور که قول داده بودم، به اختصار در نظر خواهیم گرفت:

معادلات همگن خطی مرتبه بالاتر

همه چیز بسیار بسیار شبیه است.

معادله همگن خطی مرتبه سوم به شکل زیر است:
، جایی که ثابت ها هستند.
برای این معادله نیز باید یک معادله مشخصه بسازید و ریشه های آن را پیدا کنید. معادله مشخصه، همانطور که بسیاری حدس زده اند، به این صورت است:
، و آن به هر حالاین دارد دقیقا سهریشه

به عنوان مثال، بگذارید همه ریشه ها واقعی و متمایز باشند: ، سپس راه حل کلی را می توان به صورت زیر نوشت:

اگر یک ریشه واقعی و دو ریشه دیگر مختلط باشند، جواب کلی را به صورت زیر می نویسیم:

یک مورد خاص زمانی است که هر سه ریشه مضرب (یکسان) باشند. بیایید ساده ترین DE همگن مرتبه 3 را با یک پدر تنها در نظر بگیریم: . معادله مشخصه دارای سه ریشه صفر منطبق است. تصمیم مشترکاینجوری بنویس:

اگر معادله مشخصه برای مثال دارای سه ریشه چندگانه است، سپس راه حل کلی به ترتیب عبارت است از:

مثال 9

معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم را حل کنید

راه حل:معادله مشخصه را می سازیم و حل می کنیم:

، - یک ریشه واقعی و دو ریشه پیچیده مزدوج به دست می آید.

پاسخ:تصمیم مشترک

به طور مشابه، می‌توانیم یک معادله مرتبه چهارم خطی همگن با ضرایب ثابت در نظر بگیریم: , جایی که ثابت‌ها هستند.

معادلات حل شده با ادغام مستقیم

یک معادله دیفرانسیل به شکل زیر در نظر بگیرید:
.
ما n بار ادغام می کنیم.
;
;
و غیره شما همچنین می توانید از فرمول استفاده کنید:
.
معادلات دیفرانسیل حل شده مستقیم را ببینید ادغام > > >

معادلاتی که به طور صریح حاوی متغیر وابسته y نیستند

جایگزینی منجر به کاهش ترتیب معادله به میزان یک می شود. در اینجا تابعی از .
معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر را ببینید که حاوی تابع صریح > > > نیستند

معادلاتی که به صراحت شامل متغیر مستقل x نیستند

.
ما فرض می کنیم که تابعی از . سپس
.
به همین ترتیب برای سایر مشتقات. در نتیجه ترتیب معادله یک کاهش می یابد.
معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر که حاوی متغیر صریح > > > نیستند را ببینید

معادلات همگن با توجه به y، y′، y′′، ...

برای حل این معادله یک جایگزین می کنیم
,
که در آن تابعی از . سپس
.
به همین ترتیب، مشتقات و غیره را تبدیل می کنیم. در نتیجه ترتیب معادله یک کاهش می یابد.
معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر همگن با توجه به یک تابع و مشتقات آن > > > را ببینید

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه بالاتر

در نظر گرفتن معادله دیفرانسیل همگن خطی از مرتبه n:
(1) ,
توابع متغیر مستقل کجا هستند. اجازه دهید n راه حل مستقل خطی این معادله وجود داشته باشد. سپس جواب کلی معادله (1) به شکل زیر است:
(2) ,
که در آن ثابت دلخواه هستند. توابع خود شکل می گیرند سیستم بنیادیراه حل ها
سیستم تصمیم گیری اساسیخطی معادله همگنمرتبه n n راه حل مستقل خطی این معادله است.

در نظر گرفتن معادله دیفرانسیل ناهمگن خطی از مرتبه n:
.
اجازه دهید یک راه حل خاص (هر) از این معادله وجود داشته باشد. سپس راه حل کلی به نظر می رسد:
,
جواب کلی معادله همگن (1) کجاست.

معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت و کاهش آنها

معادلات همگن خطی با ضرایب ثابت

اینها معادلات شکل هستند:
(3) .
در اینجا اعداد واقعی هستند. برای یافتن یک راه حل کلی برای این معادله، باید n راه حل مستقل خطی پیدا کنیم که یک سیستم اساسی از راه حل ها را تشکیل می دهند. سپس راه حل کلی با فرمول (2) تعیین می شود:
(2) .

به دنبال راه حل در فرم. ما گرفتیم معادله مشخصه:
(4) .

اگر این معادله داشته باشد ریشه های مختلف، سپس سیستم اساسی راه حل ها به شکل زیر است:
.

در صورت موجود بودن ریشه پیچیده
,
سپس یک ریشه مزدوج پیچیده نیز وجود دارد. این دو ریشه با راه حل ها و , که به جای آن در سیستم بنیادی قرار می دهیم مطابقت دارند راه حل های یکپارچهو .

ریشه های متعددکثرت ها با راه حل های مستقل خطی مطابقت دارند: .

چندین ریشه پیچیدهچندگانه ها و مقادیر مزدوج پیچیده آنها با راه حل های مستقل خطی مطابقت دارد:
.

معادلات ناهمگن خطی با قسمت ناهمگن خاص

در نظر گرفتن معادله فرم
,
چند جمله ای های درجه s کجا هستند 1 و س 2 ; - دائمی

ابتدا به دنبال یک جواب کلی برای معادله همگن (3) هستیم. اگر معادله مشخصه (4) حاوی ریشه نیست، سپس به دنبال یک راه حل خاص به شکل زیر می گردیم:
,
جایی که
;
;
s - بزرگترین از s 1 و س 2 .

اگر معادله مشخصه (4) ریشه داردتعدد، پس ما به دنبال یک راه حل خاص به شکل زیر هستیم:
.

پس از آن، راه حل کلی را دریافت می کنیم:
.

معادلات ناهمگن خطی با ضرایب ثابت

در اینجا سه ​​راه حل ممکن وجود دارد.

1) روش برنولی.
ابتدا هر جواب غیر صفر معادله همگن را پیدا می کنیم
.
سپس یک تعویض انجام می دهیم
,
که در آن تابعی از متغیر x است. یک معادله دیفرانسیل برای u دریافت می کنیم که فقط مشتقات u را نسبت به x دارد. با جایگزینی معادله n به دست می آید - 1 - مرتبه

2) روش جایگزینی خطی.
بیایید یک تعویض انجام دهیم
,
یکی از ریشه ها کجاست معادله مشخصه(چهار). در نتیجه یک معادله ناهمگن خطی با ضرایب مرتبه ثابت به دست می آوریم. با استفاده مداوم از این جایگزینی، معادله اصلی را به یک معادله مرتبه اول کاهش می دهیم.

3) روش تغییر ثابت های لاگرانژ.
در این روش ابتدا معادله همگن (3) را حل می کنیم. راه حل او به نظر می رسد:
(2) .
در ادامه، فرض می کنیم که ثابت ها توابعی از متغیر x هستند. سپس حل معادله اصلی به شکل زیر است:
,
توابع ناشناخته کجا هستند با جایگزینی معادله اصلی و اعمال محدودیت هایی، معادلاتی به دست می آوریم که از آنها می توانیم شکل توابع را پیدا کنیم.

معادله اویلر

با جایگزینی به یک معادله خطی با ضرایب ثابت کاهش می یابد:
.
اما برای حل معادله اویلر نیازی به انجام چنین جایگزینی نیست. می توان بلافاصله به دنبال حل یک معادله همگن در شکل بود
.
در نتیجه، قوانین مشابه معادله ای با ضرایب ثابت را دریافت می کنیم، که در آن به جای یک متغیر، باید ضرایب را جایگزین کنیم.

منابع:
V.V. استپانوف، دوره معادلات دیفرانسیل، LKI، 2015.
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، لان، 2003.

در برخی مسائل فیزیک، نمی توان ارتباط مستقیمی بین کمیت های توصیف کننده فرآیند برقرار کرد. اما امکان به دست آوردن برابری حاوی مشتقات توابع مورد مطالعه وجود دارد. معادلات دیفرانسیل و نیاز به حل آنها برای یافتن یک تابع مجهول از این طریق است.

این مقاله برای کسانی است که با مشکل حل یک معادله دیفرانسیل مواجه هستند که در آن تابع مجهول تابعی از یک متغیر است. این تئوری به گونه ای ساخته شده است که با درک صفر معادلات دیفرانسیل، قادر به انجام وظیفه خود خواهید بود.

هر نوع معادلات دیفرانسیل با یک روش حل همراه با توضیحات دقیق و حل مثال ها و مسائل معمولی همراه است. شما فقط باید نوع معادله دیفرانسیل را برای مشکل خود تعیین کنید، یک مثال تحلیل شده مشابه پیدا کنید و اقدامات مشابهی را انجام دهید.

برای حل موفقیت‌آمیز معادلات دیفرانسیل، به توانایی یافتن مجموعه‌ای از پاد مشتق‌ها (انتگرال‌های نامشخص) از توابع مختلف نیز نیاز دارید. در صورت لزوم توصیه می کنیم به بخش مراجعه کنید.

ابتدا انواع معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را که با توجه به مشتق قابل حل هستند در نظر می گیریم، سپس به سراغ ODE های مرتبه دوم می رویم، سپس به معادلات مرتبه بالاتر می پردازیم و با سیستم معادلات دیفرانسیل پایان می دهیم.

به یاد بیاورید که اگر y تابعی از آرگومان x باشد.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول فرم .

اجازه دهید چندین نمونه از چنین DE را بنویسیم .

معادلات دیفرانسیل را می توان با توجه به مشتق با تقسیم هر دو طرف تساوی بر f(x) حل کرد. در این حالت، به معادله ای می رسیم که معادل معادله اصلی برای f(x) ≠ 0 خواهد بود. نمونه هایی از این ODE ها هستند.

اگر مقادیری از آرگومان x وجود داشته باشد که توابع f(x) و g(x) به طور همزمان ناپدید شوند، راه حل های اضافی ظاهر می شوند. راه حل های اضافیمعادلات x داده شده هر تابعی است که برای آن مقادیر آرگومان تعریف شده است. نمونه هایی از این معادلات دیفرانسیل عبارتند از .

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

معادلات دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.

LODE با ضرایب ثابت یک نوع بسیار رایج از معادلات دیفرانسیل است. راه حل آنها به خصوص دشوار نیست. ابتدا ریشه های معادله مشخصه پیدا می شود . برای p و q مختلف، سه حالت ممکن است: ریشه های معادله مشخصه می توانند واقعی و متفاوت، واقعی و منطبق باشند. یا مزدوج پیچیده بسته به مقادیر ریشه های معادله مشخصه، جواب کلی معادله دیفرانسیل به صورت نوشته می شود. ، یا ، یا به ترتیب.

به عنوان مثال، یک معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید. ریشه معادله مشخصه او k 1 = -3 و k 2 = 0 است. ریشه ها واقعی و متفاوت هستند، بنابراین، راه حل کلی برای LDE با ضرایب ثابت است


معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم ناهمگن خطی با ضرایب ثابت.

جواب کلی LIDE مرتبه دوم با ضرایب ثابت y به عنوان مجموع جواب کلی LODE مربوطه جستجو می شود. و یک راه حل خاص از اصلی معادله ناهمگن، به این معنا که، . پاراگراف قبلی به یافتن یک جواب کلی برای معادله دیفرانسیل همگن با ضرایب ثابت اختصاص دارد. و یک راه حل خاص یا با روش ضرایب نامعین برای شکل معینی از تابع f (x) که در سمت راست معادله اصلی قرار دارد، یا با روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین می شود.

به عنوان نمونه هایی از LIDE های مرتبه دوم با ضرایب ثابت، ما ارائه می دهیم


تئوری را درک کنید و با آن آشنا شوید تصمیمات دقیقنمونه هایی را که در صفحه معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت به شما ارائه می دهیم.

معادلات دیفرانسیل همگن خطی (LODE) و معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی مرتبه دوم (LNDEs).

یک مورد خاص از معادلات دیفرانسیل از این نوع LODE و LODE با ضرایب ثابت هستند.

جواب کلی LODE در یک بازه معین با ترکیب خطی دو راه حل خاص خطی مستقل y 1 و y 2 این معادله نشان داده می شود، یعنی: .

مشکل اصلی دقیقاً در یافتن راه حل های جزئی مستقل خطی این نوع معادله دیفرانسیل نهفته است. معمولاً راه‌حل‌های خاصی از سیستم‌های زیر با توابع مستقل خطی انتخاب می‌شوند:


با این حال، راه حل های خاص همیشه در این فرم ارائه نمی شود.

نمونه ای از LODU است .

راه‌حل کلی LIDE به شکل جستجو می‌شود، جایی که راه‌حل کلی LODE مربوطه است، و راه‌حل خاصی از معادله دیفرانسیل اصلی است. ما فقط در مورد یافتن صحبت کردیم، اما می توان آن را با استفاده از روش تغییر ثابت های دلخواه تعیین کرد.

نمونه ای از LNDE است .

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

معادلات دیفرانسیل پذیرش کاهش سفارش

ترتیب معادلات دیفرانسیل ، که تابع مورد نظر و مشتقات آن تا مرتبه k-1 را ندارد، می توان با جایگزین کردن به n-k کاهش داد.

در این مورد , و معادله دیفرانسیل اصلی به کاهش می یابد . پس از یافتن جواب آن p(x)، باقی می ماند که به جایگزین برگردیم و تابع مجهول y را تعیین کنیم.

مثلا معادله دیفرانسیل پس از جایگزینی تبدیل به یک معادله قابل تفکیک می شود و ترتیب آن از سوم به اول کاهش می یابد.

تئوری محاسبات معادلات دیفرانسیل ناهمگن(DU) ما در این نشریه نخواهیم داد، از درس های قبلی می توانید اطلاعات کافی برای یافتن پاسخ سوال پیدا کنید چگونه یک معادله دیفرانسیل ناهمگن را حل کنیم؟درجه DE ناهمگن در اینجا نقش مهمی بازی نمی کند، راه های زیادی وجود ندارد که به فرد اجازه دهد راه حل چنین DE را محاسبه کند. برای سهولت در خواندن پاسخ‌های موجود در مثال‌ها، تأکید اصلی فقط بر تکنیک محاسبه و نکاتی است که استخراج تابع نهایی را تسهیل می‌کند.

مثال 1 حل معادله دیفرانسیل
راه حل: داده شده است معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم،علاوه بر این، فقط مشتق دوم و سوم را شامل می شود و تابع و مشتق اول خود را ندارد. در اینگونه موارد از روش کاهش استفاده کنیدمعادله دیفرانسیل. برای این، یک پارامتر معرفی می شود - مشتق دوم را از طریق پارامتر p نشان می دهیم

پس مشتق سوم تابع است

DE همگن اصلی به شکل ساده می شود

سپس آن را به صورت دیفرانسیل می نویسیم کاهش به یک معادله متغیر جدا شدهو با ادغام راه حل را پیدا کنید

به یاد داشته باشید که پارامتر دومین مشتق تابع است

بنابراین، برای یافتن فرمول خود تابع، وابستگی دیفرانسیل یافت شده را دو بار ادغام می کنیم

در تابع، C 1 , C 2 , C 3 قدیمی برابر با مقادیر دلخواه هستند.
مدار به این صورت است حل کلی معادله دیفرانسیل همگن را با معرفی یک پارامتر پیدا کنید.مسائل زیر دشوارتر هستند و از آنها یاد خواهید گرفت که چگونه معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه سوم را حل کنید. تفاوتی بین DE همگن و غیر همگن از نظر محاسبات وجود دارد، اکنون این را خواهید دید.

مثال 2 پیدا کردن
راه حل: ما مرتبه سوم را داریم. بنابراین، حل آن را باید به صورت مجموع دو راه حل های همگن و خاص معادله ناهمگن جستجو کرد.

اول تصمیم بگیریم

همانطور که می بینید، فقط مشتقات دوم و سوم تابع را شامل می شود و خود تابع را شامل نمی شود. این نوع تفاوت معادلات با روش معرفی یک پارامتر حل می شوند که دربه نوبه خود یافتن جواب معادله را کاهش و ساده می کند. در عمل، به این صورت به نظر می رسد: اجازه دهید مشتق دوم برابر با یک تابع خاص باشد، سپس مشتق سوم به طور رسمی دارای نماد است.

DE همگن در نظر گرفته شده از مرتبه 3 به معادله مرتبه اول تبدیل می شود

از آن جا با تقسیم متغیرها انتگرال را پیدا می کنیم
x*dp-p*dx=0;

ما توصیه می کنیم کسانی را که در چنین مسائلی قرار گرفته اند شماره گذاری کنید ، زیرا حل معادله دیفرانسیل مرتبه 3 دارای 3 ثابت ، چهارم - 4 و بیشتر بر اساس قیاس است. اکنون به پارامتر معرفی شده برمی گردیم: از آنجایی که مشتق دوم دارای شکل است، پس از اینکه وابستگی به مشتق تابع داشته باشیم، آن را ادغام می کنیم.

و با ادغام مکرر پیدا می کنیم فرم کلیعملکرد همگن

حل جزئی معادلهبه صورت یک متغیر ضرب در لگاریتم بنویسید. این از این واقعیت ناشی می شود که قسمت راست (غیر همگن) DE برابر با -1/x است و برای به دست آوردن یک نماد معادل

راه حل را باید در فرم جستجو کرد

ضریب A را پیدا کنید، برای آن مشتقات مرتبه اول و دوم را محاسبه می کنیم

عبارات یافت شده را در معادله دیفرانسیل اصلی جایگزین می کنیم و ضرایب را در توان های یکسان x برابر می کنیم:

فولاد برابر با 1/2- است و دارای فرم است

حل کلی معادله دیفرانسیلبه عنوان مجموع یافت شده بنویسید

که در آن C 1 , C 2 , C 3 ثابت های دلخواه هستند که می توانند از مسئله کوشی پالایش شوند.

مثال 3 انتگرال DE مرتبه سوم را پیدا کنید
راه حل: ما به دنبال یک انتگرال کلی از یک DE غیر همگن مرتبه سوم به شکل مجموع حل یک معادله همگن و جزئی غیر همگن هستیم. ابتدا برای هر نوع معادله ای شروع می کنیم تجزیه و تحلیل معادله دیفرانسیل همگن

فقط مشتقات دوم و سوم تابع ناشناخته را در خود دارد. ما یک تغییر متغیرها (پارامتر) را معرفی می کنیم: مشتق دوم را نشان می دهیم

سپس مشتق سوم است

همان تحولات در کار قبلی انجام شد. این اجازه می دهد یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم را به یک معادله مرتبه اول از فرم کاهش دهید

با ادغام پیدا می کنیم

به یاد بیاورید که با توجه به تغییر متغیرها، این فقط مشتق دوم است

و برای یافتن راه حلی برای معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم باید دو بار ادغام شود

بر اساس نوع سمت راست (قسمت غیر همگن =x+1) حل جزئی معادله در فرم جستجو شده است

چگونه بفهمیم به چه شکلی به دنبال جواب جزئی باشیم باید در بخش تئوری درس معادلات دیفرانسیل تدریس می شد. اگر نه، ما فقط می‌توانیم پیشنهاد کنیم که چنین عبارتی چه نوع تابعی را انتخاب می‌کند تا در هنگام جایگزینی در معادله، عبارت حاوی بالاترین مشتق یا جوان‌تر از همان مرتبه (مشابه) با قسمت ناهمگن معادله باشد.

فکر می کنم اکنون برای شما واضح تر شده است که شکل یک راه حل خاص از کجا می آید. ضرایب A، B را پیدا کنید، برای این کار مشتق دوم و سوم تابع را محاسبه می کنیم

و در معادله دیفرانسیل جایگزین کنید. پس از گروه بندی اصطلاحات مانند، به دست می آوریم معادله خطی

که از آن، برای توان های مساوی متغیر یک سیستم معادلات بسازید

و فولادهای ناشناخته را پیدا کنید. پس از جایگزینی آنها، با وابستگی بیان می شود

حل کلی معادله دیفرانسیلبرابر است با مجموع همگن و جزئی و دارای شکل

که در آن C 1 , C 2 , C 3 ثابت دلخواه هستند.

مثال 4. R معادله دیفرانسیل بخور
راه حل: ما راه حل آن را از طریق جمع خواهیم یافت. شما طرح محاسبه را می دانید، بنابراین بیایید به بررسی ادامه دهیم معادله دیفرانسیل همگن

طبق روش استاندارد پارامتر را وارد کنید
معادله دیفرانسیل اصلی به شکل

به یاد داشته باشید که پارامتر برابر با مشتق دوم است
با ادغام DE، اولین مشتق تابع را به دست می آوریم

ادغام مجدد ما انتگرال کلی معادله دیفرانسیل همگن را پیدا می کنیم

ما به دنبال حل جزئی معادله در فرم هستیم، از آنجایی که سمت راست برابر است با
بیایید ضریب A را پیدا کنیم - برای این، y* را در معادله دیفرانسیل جایگزین می کنیم و ضریب را در همان توان های متغیر معادل می کنیم.

پس از جایگزینی و گروه بندی عبارت ها، وابستگی را به دست می آوریم

که فولاد برابر با A=8/3 است.
بنابراین، ما می توانیم بنویسیم راه حل جزئی DE

حل کلی معادله دیفرانسیلبرابر با مجموع یافت شده

که در آن C 1 , C 2 , C 3 ثابت دلخواه هستند. اگر شرط کوشی داده شود، می توان به راحتی آنها را گسترش داد.

من معتقدم که مطالب در آماده سازی برای شما مفید خواهد بود آموزش عملی، ماژول ها یا کنترل کار. مشکل کوشی در اینجا مورد بحث قرار نگرفت، با این حال، از درس های قبلی، به طور کلی می دانید که چگونه این کار را انجام دهید.