تئوری محاسبات معادلات دیفرانسیل ناهمگن(DU) در این نشریه داده نخواهد شد؛ از درس های قبلی می توانید اطلاعات کافی برای یافتن پاسخ سوال پیدا کنید. چگونه یک معادله دیفرانسیل ناهمگن را حل کنیم؟درجه DE ناهمگن در اینجا نقش بزرگی ایفا نمی کند ؛ روش های زیادی وجود ندارد که به فرد اجازه دهد راه حل چنین DES را محاسبه کند. برای اینکه خواندن پاسخ ها در مثالها برای شما آسان شود ، تأکید اصلی فقط بر روی روش محاسبه و نکاتی است که مشتق عملکرد نهایی را تسهیل می کند.

مثال 1. حل معادله دیفرانسیل
راه حل: داده شده است معادله دیفرانسیل همگن مرتبه سوم, علاوه بر این، فقط مشتق دوم و سوم را شامل می شود و تابع و مشتق اول خود را ندارد. در اینگونه موارد روش کاهش مدرک را اعمال کنیدمعادله دیفرانسیل. برای انجام این کار، یک پارامتر را معرفی کنید - اجازه دهید مشتق دوم را از طریق پارامتر p نشان دهیم

پس مشتق سوم تابع برابر است با

DE همگن اصلی به شکل ساده می شود

سپس آن را به صورت دیفرانسیل می نویسیم کاهش به یک معادله متغیر جدا شدهو راه حل را با ادغام پیدا کنید

به یاد داشته باشید که پارامتر دومین مشتق تابع است

بنابراین، برای یافتن فرمول خود تابع، وابستگی دیفرانسیل یافت شده را دو بار ادغام می کنیم

در تابع، مقادیر C 1 , C 2 , C 3 برابر با مقادیر دلخواه هستند.
این طرح چقدر ساده به نظر می رسد: پیدا کردن تصمیم مشترکمعادله دیفرانسیل همگن با معرفی یک پارامتر.مسائل زیر پیچیده تر هستند و از آنها می آموزید که معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه سوم را حل کنید. همانطور که اکنون خواهید دید، از نظر محاسبات بین سیستم های کنترل همگن و ناهمگن تفاوت وجود دارد.

مثال 2. پیدا کردن
راه حل: ما مرتبه سوم داریم. بنابراین، راه حل آن را باید به صورت مجموع دو جستجو کرد - یک محلول همگن و یک راه حل خاص. معادله ناهمگن

اول تصمیم بگیریم

همانطور که می بینید، فقط مشتقات دوم و سوم تابع را شامل می شود و خود تابع را شامل نمی شود. این نوع تفاوت معادلات با معرفی یک پارامتر حل می شوند که دربه نوبه خود، یافتن راه حل معادله را کاهش و ساده می کند. در عمل ، به نظر می رسد:

معادله دیفرانسیل همگن در نظر گرفته شده از مرتبه 3 به معادله مرتبه اول تبدیل می شود

از کجا ، تقسیم متغیرها ، یکپارچه سازی را پیدا می کنیم
x*dp-p*dx=0;

توصیه می کنیم فرمول ها را در چنین مشکلاتی شماره گذاری کنید ، زیرا راه حل معادله دیفرانسیل مرتبه 3 دارای 3 ثابت است ، مرتبه چهارم دارای 4 ثابت و غیره است. اکنون به پارامتر معرفی شده باز می گردیم: از آنجا که مشتق دوم فرم دارد ، سپس یک بار ادغام آن را یک بار وابستگی به مشتق عملکرد داریم

و با ادغام مکرر پیدا می کنیم شکل کلی یک تابع همگن

حل جزئی معادلهبیایید آن را به عنوان یک متغیر ضرب شده توسط یک لگاریتم بنویسیم. این از این واقعیت ناشی می شود که قسمت راست (ناهمگن) DE برابر با -1/x است و برای به دست آوردن یک نماد معادل

راه حل را باید در فرم جستجو کرد

بیایید ضریب A را پیدا کنیم ، برای این کار مشتقات سفارشات اول و دوم را محاسبه می کنیم

بیایید عبارات یافت شده را در معادله دیفرانسیل اصلی جایگزین کنیم و ضرایب را در همان قدرت X برابر کنیم:

مقدار فولاد برابر با -1/2 است و فرم دارد

حل کلی معادله دیفرانسیلآن را به عنوان جمع یافت شده بنویسید

که در آن C 1، C 2، C 3 ثابت های دلخواه هستند که می توانند با استفاده از مسئله کوشی پالایش شوند.

مثال 3. انتگرال مرتبه سوم را پیدا کنید
راه حل: ما به دنبال انتگرال کلی یک معادله دیفرانسیل ناهمگن مرتبه سوم به شکل جمع راه حل های یک معادله ناهمگن همگن و جزئی هستیم. اول ، برای هر نوع معادله ای که شروع می کنیم معادله دیفرانسیل همگن را تجزیه و تحلیل کنید

فقط مشتقات دوم و سوم تابع ناشناخته فعلی را شامل می شود. ما یک تغییر متغیرها (پارامتر) را معرفی می کنیم: با مشتق دوم نشان می دهیم

سپس مشتق سوم برابر است

همان تحولات در کار قبلی انجام شد. این اجازه می دهد یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم را به یک معادله مرتبه اول از فرم کاهش دهید

با ادغام پیدا می کنیم

به یاد می آوریم که مطابق با تغییر متغیرها، این فقط مشتق دوم است

و برای یافتن راه حلی برای معادله دیفرانسیل مرتبه سوم همگن، باید دو بار ادغام شود.

بر اساس نوع سمت راست (قسمت غیر یکنواخت =x+1) ما به دنبال حل جزئی معادله در فرم هستیم

چگونه بفهمیم به چه شکلی به دنبال جواب جزئی باشیم باید در بخش تئوری درس معادلات دیفرانسیل تدریس می شد. اگر نه، ما فقط می توانیم پیشنهاد کنیم که عبارتی برای تابع انتخاب شود به طوری که، هنگام جایگزینی در معادله، عبارت حاوی بالاترین مشتق یا کوچکتر از همان مرتبه (مشابه) با قسمت ناهمگن معادله باشد.

فکر می کنم اکنون برای شما واضح تر شده است که نوع راه حل خصوصی از کجا می آید. بیایید ضرایب A، B را پیدا کنیم، برای این کار مشتق دوم و سوم تابع را محاسبه می کنیم.

و آن را جایگزین معادله دیفرانسیل کنید. پس از گروه بندی عبارت های مشابه، معادله خطی را به دست می آوریم

که از آن، برای همان توان های متغیر یک سیستم معادلات بسازید

و فولادهای ناشناخته را پیدا کنید. پس از جایگزینی آنها، با وابستگی بیان می شود

حل کلی معادله دیفرانسیلبرابر است با مجموع همگن و جزئی و دارای شکل

که در آن C 1، C 2، C 3 ثابت دلخواه هستند.

مثال 4. ص حل معادله دیفرانسیل
راه حل: ما راه حلی داریم که از طریق جمع آن را پیدا می کنیم. شما طرح محاسباتی را می دانید، بنابراین بیایید به بررسی ادامه دهیم معادله دیفرانسیل همگن

طبق روش استاندارد پارامتر را وارد کنید
معادله دیفرانسیل اصلی به شکلی خواهد بود که از آنجا با تقسیم متغیرها، آن را پیدا می کنیم

به یاد داشته باشید که پارامتر برابر با مشتق دوم است
با ادغام DE اولین مشتق تابع را بدست می آوریم

با ادغام مکرر انتگرال کلی یک معادله دیفرانسیل همگن را پیدا کنید

ما به دنبال حل جزئی معادله در فرم هستیم، از آنجایی که سمت راست برابر است
بیایید ضریب A را پیدا کنیم - برای انجام این کار ، y* را در معادله دیفرانسیل جایگزین کنیم و ضریب را در همان قدرتهای متغیر برابر کنیم

پس از جایگزینی و گروه بندی اصطلاحات، وابستگی را بدست می آوریم

که فولاد برابر با A=8/3 است.
بنابراین، ما می توانیم بنویسیم راه حل جزئی DE

حل کلی معادله دیفرانسیلبرابر با مجموع یافت شده ها

که در آن C 1، C 2، C 3 ثابت دلخواه هستند. اگر شرط کوشی داده شود، می توانیم به راحتی آنها را تعریف کنیم.

من فکر می کنم که مطالب در آماده سازی برای شما مفید خواهد بود کلاس های عملی، ماژول ها یا کار آزمایشی. مشکل کوشی در اینجا مورد بحث قرار نگرفت، اما از درس های قبلی به طور کلی می دانید که چگونه این کار را انجام دهید.

معادلات دیفرانسیلمرتبه دوم و سفارشات بالاتر
معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت.
نمونه هایی از راه حل ها

بیایید به بررسی معادلات دیفرانسیل درجه دوم و معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر برویم. اگر ایده مبهمی از معادله دیفرانسیل دارید (یا اصلاً نمی فهمید) ، توصیه می کنم با درس شروع کنید معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه هایی از راه حل ها. بسیاری از اصول راه حل و مفاهیم اولیه دیفیوزهای مرتبه اول به طور خودکار به معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر گسترش می یابند، بنابراین درک ابتدا معادلات مرتبه اول بسیار مهم است.

بسیاری از خوانندگان ممکن است تعصب داشته باشند که کنترل از راه دور دستورات 2، 3 و سایر موارد بسیار دشوار و غیرقابل دسترس است. این اشتباه است . آموزش حل دیفیوزها مرتبه بالاتربه سختی پیچیده تر از DE های مرتبه اول "معمولی" است. و در بعضی جاها حتی ساده تر است، زیرا راه حل ها به طور فعال از مطالب برنامه درسی مدرسه استفاده می کنند.

محبوبترین معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم. به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم لزومامشتق دوم و شامل نمی شود

لازم به ذکر است که برخی از نوزادان (و حتی همه آنها به طور هم زمان) ممکن است از معادله گم شوند ؛ مهم است که پدر در خانه باشد. ابتدایی ترین معادله دیفرانسیل مرتبه دوم به صورت زیر است:

با توجه به مشاهدات ذهنی من، معادلات دیفرانسیل درجه سوم در کارهای عملی بسیار کمتر رایج هستند. دومای دولتیآنها حدود 3-4 درصد آرا را به دست خواهند آورد.

به یک معادله دیفرانسیل مرتبه سوم لزومامشتق سوم و شامل نمی شودمشتقات مرتبه بالاتر:

ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه سوم به این صورت است: - پدر در خانه است، همه بچه ها برای پیاده روی بیرون هستند.

به روشی مشابه، می توانید معادلات دیفرانسیل مرتبه های 4، 5 و بالاتر را تعریف کنید. که در مشکلات عملیچنین سیستم های کنترلی به ندرت شکست می خورند، با این حال، من سعی خواهم کرد مثال های مرتبط را ارائه دهم.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر که در مسائل عملی مطرح می شوند را می توان به دو گروه اصلی تقسیم کرد.

1) گروه اول - به اصطلاح معادلاتی که به ترتیب قابل کاهش هستند. بیا دیگه!

2) گروه دوم - معادلات خطیسفارشات بالاتر با ضرایب ثابت. که ما همین الان شروع به بررسی آن خواهیم کرد.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
با ضرایب ثابت

در تئوری و عمل ، دو نوع از این معادلات متمایز هستند: معادله همگن و معادله ناهمگن.

مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابتدارای فرم زیر است:
، کجا و ثابت (اعداد) و در سمت راست - موکداصفر

همانطور که مشاهده می کنید ، با معادلات همگن مشکل خاصی وجود ندارد ، نکته اصلی این است درست تصمیم بگیر معادله درجه دوم .

بعضی اوقات معادلات همگن غیر استاندارد وجود دارد ، به عنوان مثال یک معادله در فرم ، جایی که در مشتق دوم برخی از متفاوت از وحدت وجود دارد (و طبیعتاً متفاوت از صفر). الگوریتم راه حل به هیچ وجه تغییر نمی کند ؛ شما باید با آرامش ترسیم کنید معادله مشخصهو ریشه های آن را پیدا کند. اگر معادله مشخصه دو ریشه واقعی متفاوت خواهد داشت، برای مثال: ، سپس راه حل کلی طبق طرح معمول نوشته خواهد شد: .

در بعضی موارد ، به دلیل یک تایپ در این بیماری ، ریشه های "بد" ممکن است نتیجه ای داشته باشد. . چه کاری باید انجام شود ، پاسخ باید مانند این نوشته شود:

با ریشه های پیچیده "بد" مانند مشکلی نیست ، راه حل عمومی:

به این معنا که، به هر حال یک راه حل کلی وجود دارد. زیرا هر معادله درجه دوم دارای دو ریشه است.

در پاراگراف آخر ، همانطور که قول دادم ، به طور خلاصه در نظر خواهیم گرفت:

معادلات همگن خطی از سفارشات بالاتر

همه چیز بسیار ، بسیار شبیه است.

یک معادله همگن خطی از مرتبه سوم شکل زیر را دارد:
، جایی که ثابت ها هستند.
برای این معادله ، شما همچنین باید یک معادله مشخصه ایجاد کنید و ریشه های آن را پیدا کنید. معادله مشخصه ، همانطور که بسیاری حدس زده اند ، به نظر می رسد:
، و آن به هر حالاین دارد دقیقا سهریشه

به عنوان مثال ، اجازه دهید همه ریشه ها واقعی و متمایز باشند: ، سپس راه حل کلی به شرح زیر نوشته خواهد شد:

اگر یک ریشه واقعی باشد ، و دو مورد دیگر پیچیده هستند ، ما راه حل کلی را به شرح زیر می نویسیم:

یک مورد خاص که هر سه ریشه چند برابر هستند (یکسان). بیایید ساده ترین همگن را از سفارش 3 با یک پدر تنهایی در نظر بگیریم :. معادله مشخصه دارای سه ریشه صفر همزمان است. ما راه حل کلی را به شرح زیر می نویسیم:

اگر معادله مشخصه به عنوان مثال ، سه ریشه چندگانه ، سپس راه حل کلی ، بر این اساس ، به شرح زیر است:

مثال 9

معادله دیفرانسیل مرتبه سوم همگن را حل کنید

راه حل:بیایید معادله مشخصه را آهنگسازی و حل کنیم:

، – یک ریشه واقعی و دو ریشه پیچیده مزدوج به دست می آید.

پاسخ:تصمیم مشترک

به طور مشابه، می‌توانیم یک معادله همگن خطی مرتبه چهارم با ضرایب ثابت در نظر بگیریم: , جایی که ثابت هستند.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر

اصطلاحات پایه معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر (DEHE).

معادله ای از فرم ، کجا n >1 (2)

معادله دیفرانسیل مرتبه بالاتر نامیده می شود، یعنی. n- مرتبه

ناحیه تعریف DU، nنظم یک منطقه وجود دارد.

در این دوره انواع سیستم های کنترلی زیر در نظر گرفته می شود:

مشکل کوشی DU VP:

اجازه دهید کنترل از راه دور داده شود ،
و شرایط اولیه n/a: اعداد.

شما باید یک تابع پیوسته و n برابر متمایز پیدا کنید
:

1)
راه حلی برای داده های داده شده است ، یعنی
;

2) شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند :.

برای یک DE مرتبه دوم، تفسیر هندسی راه حل مسئله به شرح زیر است: یک منحنی انتگرالی که از نقطه عبور می کند جستجو می شود. (ایکس 0 , y 0 ) و مماس بر یک خط مستقیم با ضریب زاویه ای ک = y 0 ́ .

قضیه وجود و منحصر به فرد(راه حل های مسئله کوشی برای DE (2)):

اگر 1)
مداوم (در کل (n+1) استدلال) در منطقه
; 2)
پیوسته (در مجموع استدلال ها
) در ، پس ! حل مسئله کوشی برای DE، با شرایط اولیه داده شده n/a: .

این منطقه را منطقه منحصر به فرد DE می نامند.

راه حل کلی کنترل از راه دور VP (2) – n دارای پارامتریتابع،
، جایی که
- ثابت های دلخواه، که شرایط زیر را برآورده می کند:

1)

– حل DE (2) در ;

2) n/a از ناحیه منحصر به فرد بودن!
:
شرایط اولیه داده شده را برآورده می کند.

اظهار نظر.

مشاهده رابطه
، که به طور ضمنی حل کلی DE (2) را تعیین می کند نامیده می شود یکپارچه سازی عمومی DU.

راه حل خصوصی DE (2) از راه حل کلی آن برای یک مقدار خاص به دست می آید .

ادغام کنترل از راه دور VP.

معادلات دیفرانسیل مرتبه بالاتر را نمی توان با روش های تحلیلی دقیق حل کرد.

اجازه دهید نوع خاصی از DUVP را شناسایی کنیم که امکان کاهش به ترتیب را فراهم می کند و می تواند به چهارچوب کاهش یابد. اجازه دهید این نوع معادلات و روش های کاهش ترتیب آنها را جدول بندی کنیم.

VP DU که امکان کاهش سفارش را فراهم می کند

تعریف یک عملکرد همگن:

تابع
همگن در متغیرها نامیده می شود
، اگر


در هر نقطه از دامنه تعریف تابع
;

- ترتیب همگن.

به عنوان مثال، یک تابع همگن از مرتبه 2 نسبت به است
، یعنی .

مثال 1:

راه حل کلی کنترل از راه دور را پیدا کنید
.

DE از مرتبه 3 ، ناقص ، صریحاً حاوی نیست
. ما به طور متوالی سه بار معادله را ادغام می کنیم.

,

- راه حل عمومی کنترل از راه دور.

مثال 2:

مشکل Cauchy را برای کنترل از راه دور حل کنید
در

.

DE از مرتبه دوم ، ناقص ، صریحاً حاوی نیست .

تعویض
و مشتق آن
ترتیب کنترل از راه دور را توسط یک کاهش می دهد.

. ما مرتبه اول DE - معادله Bernoulli را بدست آوردیم. برای حل این معادله از تعویض برنولی استفاده می کنیم:

,

و آن را به معادله وصل کنید.

در این مرحله ، ما مشکل Cauchy را برای معادله حل می کنیم
:
.

- معادله مرتبه اول با متغیرهای جداگانه.

شرایط اولیه را با آخرین برابری جایگزین می کنیم:

پاسخ:
راه حلی برای مشکل کوشی است که شرایط اولیه را برآورده می کند.

مثال 3:

DE را حل کنید.

- DE از مرتبه دوم، ناقص، به صراحت شامل متغیر نیست، و بنابراین اجازه می دهد تا با استفاده از جایگزینی یا یک مرتبه کاهش یابد
.

معادله را می گیریم
(اجازه دهید
).

- مرتبه اول DE با متغیرهای جداکننده. آنها را از هم جدا کنیم.

- انتگرال عمومی DE.

مثال 4:

DE را حل کنید.

معادله
در مشتقات دقیق یک معادله وجود دارد. واقعا،
.

بیایید سمت چپ و راست را با توجه به ادغام کنیم، i.e.
یا . ما یک DE مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک به دست آوردیم، یعنی.
- انتگرال عمومی DE.

مثال 5:

مشکل Cauchy را برای
در .

DE از مرتبه 4، ناقص، به صراحت شامل نمی شود
. با توجه به اینکه این معادله در مشتقات دقیق است، دریافت می کنیم
یا
,
. بیایید شرایط اولیه را در این معادله جایگزین کنیم:
. بیایید یک کنترل از راه دور را بدست آوریم
مرتبه سوم از نوع اول (جدول را ببینید). بیایید آن را سه بار ادغام کنیم و پس از هر انتگرال شرایط اولیه را در معادله جایگزین می کنیم:

پاسخ:
- حل مسئله کوشی DE اصلی.

مثال 6:

معادله را حل کنید.

- DE از مرتبه 2، کامل، حاوی همگنی نسبت به
. تعویض
ترتیب معادله را پایین می آورد. برای انجام این کار، اجازه دهید معادله را به شکل کاهش دهیم
، هر دو طرف معادله اصلی را بر . و عملکرد را متمایز کنید پ:

.

جایگزین کنیم
و
در کنترل از راه دور:
. این یک معادله مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک است.

با توجه به اینکه
، ما از راه دور کنترل می گیریم یا
- راه حل عمومی DE اصلی.

تئوری معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه بالاتر.

اصطلاحات پایه

- NLDU - مرتبه، جایی که - توابع پیوستهدر یک فاصله زمانی

به آن فاصله تداوم کنترل از راه دور (3) می گویند.

اجازه دهید یک عملگر دیفرانسیل (شرطی) مرتبه هفتم را معرفی کنیم

وقتی روی عملکرد عمل می کند ، ما می گیریم

یعنی سمت چپ معادله دیفرانسیل خطی مرتبه هفتم.

در نتیجه، LDE می تواند نوشته شود

ویژگی های خطی عملگر
:

1) - خاصیت افزایشی

2)
– عدد – خاصیت همگنی

خواص به راحتی قابل تأیید هستند، زیرا مشتقات این توابع دارای خواص مشابه هستند (مجموع محدود مشتقات برابر است با مجموع تعداد محدودی از مشتقات؛ عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد).

که
- اپراتور خطی.

اجازه دهید سؤال وجود و منحصر به فرد بودن راه حلی برای مشکل کوشی برای LDE را در نظر بگیریم
.

اجازه دهید LDE را با توجه به حل کنیم
: ,
, – فاصله تداوم.

تابع پیوسته در دامنه، مشتقات
مستمر در منطقه

در نتیجه ، منطقه منحصر به فرد بودن که مشکل Cauchy LDE (3) دارد تنها تصمیمو فقط به انتخاب نقطه بستگی دارد
، تمام مقادیر آرگومان دیگر
کارکرد
را می توان خودسرانه گرفت.

نظریه عمومی OLDE.

- فاصله تداوم

ویژگی های اصلی راه حل های OLDE:

1. خاصیت افزودنی

(
– حل OLDE (4) در )
(
– حل OLDE (4) در ).

اثبات:

– راه حل OLDE (4) در

– راه حل OLDE (4) در

سپس

2. خاصیت همگنی

( – راه حل OLDE (4) در ) (
(– فیلد عددی))

– راه حل OLDE (4) در .

اثبات مشابه است.

خواص افزایشی و همگنی نامیده می شود خواص خطی OLDU (4).

نتیجه:

(
– راه حل OLDE (4) در )(

– حل OLDE (4) در ).

3. ( – راه حل با ارزش پیچیده OLDE (4) در )(
راه حل های با ارزش واقعی OLDE (4) در ).

اثبات:

اگر راه‌حلی برای OLDE (4) روی است، پس از جایگزینی در معادله، آن را به یک هویت تبدیل می‌کند، یعنی.
.

با توجه به خطی بودن عملگر، سمت چپ آخرین برابری را می توان به صورت زیر نوشت:
.

این بدان معنی است که، یعنی، راه حل های با ارزش واقعی OLDE (4) در .

ویژگی‌های بعدی راه‌حل‌های OLDE مربوط به مفهوم « وابستگی خطی”.

تعیین وابستگی خطی یک سیستم محدود از توابع

به سیستمی از توابع گفته می شود که به صورت خطی به وجود آن وابسته است غیر پیش پا افتادهمجموعه ای از اعداد
به طوری که ترکیب خطی
کارکرد
با این اعداد به طور یکسان برابر با صفر در است، یعنی.
.n که نادرست است. قضیه ثابت شده است معادلاتبالاتردستورات قدر(4 ساعت...

اغلب فقط ذکر است معادلات دیفرانسیلباعث می شود دانش آموزان احساس ناراحتی کنند. چرا این اتفاق می افتد؟ بیشتر اوقات ، زیرا هنگام مطالعه اصول اولیه مطالب ، شکافی در دانش ایجاد می شود که به همین دلیل مطالعه بیشتر دیفورها به سادگی به شکنجه تبدیل می شود. معلوم نیست چه باید کرد، چگونه تصمیم گرفت، از کجا شروع کرد؟

با این حال، ما سعی خواهیم کرد به شما نشان دهیم که دیفورز آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست.

مفاهیم اساسی تئوری معادلات دیفرانسیل

از مدرسه ما ساده ترین معادلات را می دانیم که در آنها باید مجهول x را پیدا کنیم. در حقیقت معادلات دیفرانسیلفقط کمی متفاوت از آنها - به جای یک متغیر ایکس باید یک تابع در آنها پیدا کنید y(x) ، که معادله را به یک هویت تبدیل می کند.

D معادلات دیفرانسیلاهمیت عملی زیادی دارند. این ریاضیات انتزاعی نیست که هیچ ارتباطی با دنیای اطراف ما ندارد. بسیاری از فرآیندهای طبیعی واقعی با استفاده از معادلات دیفرانسیل توصیف می شوند. به عنوان مثال، ارتعاشات یک رشته، حرکت یک نوسانگر هارمونیک، با استفاده از معادلات دیفرانسیل در مسائل مکانیک، سرعت و شتاب یک جسم را پیدا می کند. همچنین DUبه طور گسترده در زیست شناسی، شیمی، اقتصاد و بسیاری از علوم دیگر استفاده می شود.

معادله دیفرانسیل (DU) معادله ای است شامل مشتقات تابع y(x)، خود تابع، متغیرهای مستقل و سایر پارامترها در ترکیبات مختلف.

معادلات دیفرانسیل انواع مختلفی دارند: معادلات دیفرانسیل معمولی، خطی و غیرخطی، همگن و ناهمگن، معادلات دیفرانسیل درجه یک و بالاتر، معادلات دیفرانسیل جزئی و غیره.

حل معادله دیفرانسیل تابعی است که آن را به یک هویت تبدیل می کند. راه حل های کلی و خاص کنترل از راه دور وجود دارد.

یک راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل مجموعه ای کلی از راه حل ها است که معادله را به یک هویت تبدیل می کند. حل جزئی یک معادله دیفرانسیل راه حلی است که شرایط اضافی مشخص شده در ابتدا را برآورده می کند.

ترتیب یک معادله دیفرانسیل با بالاترین مرتبه مشتقات آن تعیین می شود.

معادلات دیفرانسیل معمولی

معادلات دیفرانسیل معمولیمعادلات حاوی یک متغیر مستقل هستند.

بیایید ساده ترین معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را در نظر بگیریم. به نظر می رسد:

چنین معادله ای را می توان به سادگی با ادغام سمت راست آن حل کرد.

نمونه هایی از این معادلات:

معادلات قابل تفکیک

که در نمای کلیاین نوع معادله به شکل زیر است:

در اینجا یک مثال است:

هنگام حل چنین معادله ای، باید متغیرها را جدا کنید و آن را به شکل زیر بیاورید:

پس از این، باقی مانده است که هر دو قسمت را یکپارچه کنیم و راه حلی به دست آوریم.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

چنین معادلاتی به نظر می رسد:

در اینجا p(x) و q(x) برخی از توابع متغیر مستقل هستند و y=y(x) تابع مورد نظر است. در اینجا نمونه ای از چنین معادله ای آورده شده است:

هنگام حل چنین معادله ای، اغلب از روش تغییر یک ثابت دلخواه استفاده می کنند یا تابع مورد نظر را به عنوان حاصلضرب دو تابع دیگر y(x)=u(x)v(x) نشان می دهند.

برای حل چنین معادلاتی، آماده سازی خاصی لازم است و گرفتن آنها "در یک نگاه" بسیار دشوار خواهد بود.

مثالی از حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

بنابراین ما ساده ترین انواع کنترل از راه دور را بررسی کردیم. حال بیایید راه حل یکی از آنها را بررسی کنیم. اجازه دهید این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک باشد.

ابتدا، بیایید مشتق را به شکلی آشناتر بازنویسی کنیم:

سپس متغیرها را تقسیم می کنیم ، یعنی در یک قسمت از معادله همه "I" ها را جمع می کنیم و در قسمت دیگر - "X" ها:

اکنون باید هر دو بخش را ادغام کنیم:

ما ادغام می کنیم و یک راه حل کلی برای این معادله به دست می آوریم:

البته حل معادلات دیفرانسیل نوعی هنر است. شما باید بتوانید بفهمید که چه نوع معادله ای است، و همچنین بیاموزید که ببینید چه تحولاتی باید با آن انجام شود تا به یک شکل یا شکل دیگر منجر شود، نه تنها به توانایی تمایز و یکپارچه سازی اشاره کنیم. و برای موفقیت در حل DE، به تمرین نیاز دارید (مانند همه چیز). و اگر در حال حاضر زمان لازم برای درک چگونگی حل معادلات دیفرانسیل را ندارید یا مشکل کوشی مانند استخوان در گلوی شما گیر کرده است، یا نمی دانید، با نویسندگان ما تماس بگیرید. در مدت زمان کوتاهی یک و راه حل دقیق، جزئیات آن را می توانید در هر زمان مناسب برای خود درک کنید. در ضمن، پیشنهاد می کنیم ویدیویی با موضوع "نحوه حل معادلات دیفرانسیل" تماشا کنید: