در یک درس عملی این مسیر را در نظر می گیریم و نتایج شبیه سازی را با یک حل تئوری مقایسه می کنیم.

مقدمه

فصل اول. شکل‌گیری مشکلات خدمات صف

1.1 مفهوم کلینظریه ها در صف

1.2 مدل سازی سیستم های صف

1.3 نمودارهای وضعیت QS

1.4 فرآیندهای تصادفی

فصل دوم. معادلات توصیف سیستم های صف

2.1 معادلات کولموگروف

2.2 فرآیندهای "تولد - مرگ"

2.3 فرمول بندی اقتصادی و ریاضی مسائل صف

فصل سوم. مدل های سیستم های نوبت دهی

3.1 QS تک کاناله با انکار سرویس

3.2 QS چند کاناله با انکار سرویس

3.3 مدل سیستم خدمات گردشگری چند فازی

3.4 QS تک کاناله با طول صف محدود

3.5 QS تک کاناله با صف نامحدود

3.6 QS چند کاناله با طول صف محدود

3.7 QS چند کاناله با صف نامحدود

3.8 تجزیه و تحلیل سیستم صف سوپرمارکت

نتیجه

مقدمه

در حال حاضر، حجم زیادی از ادبیات ظاهر شده است که به طور مستقیم به تئوری صف، توسعه جنبه های ریاضی آن و همچنین زمینه های مختلف کاربرد آن - نظامی، پزشکی، حمل و نقل، تجارت، هوانوردی و غیره اختصاص دارد.

نظریه صف بر اساس نظریه احتمال و آمار ریاضی. توسعه اولیه تئوری صف با نام دانشمند دانمارکی A.K. ارلنگ (1878-1929) با آثار خود در زمینه طراحی و راه اندازی مبادلات تلفنی.

تئوری صف رشته ای از ریاضیات کاربردی است که به تجزیه و تحلیل فرآیندها در سیستم های تولید، خدمات و کنترل می پردازد که در آن رویدادهای همگن بارها تکرار می شوند، به عنوان مثال، در شرکت های خدمات مصرف کننده. در سیستم های دریافت، پردازش و انتقال اطلاعات؛ خطوط تولید اتوماتیک و غیره کمک بزرگی به توسعه این نظریه توسط ریاضیدانان روسی A.Ya. خینچین، بی.وی. گندنکو، A.N. کولموگروف، E.S. ونتزل و دیگران.

موضوع تئوری صف ایجاد روابط بین ماهیت جریان برنامه‌ها، تعداد کانال‌های خدمات، عملکرد یک کانال فردی و سرویس کارآمد به منظور یافتن بهترین راه‌ها برای کنترل این فرآیندها است. وظایف تئوری صف ماهیتی بهینه‌سازی دارند و در نهایت جنبه اقتصادی تعیین چنین نوع سیستمی را شامل می‌شوند که حداقل هزینه‌های کل را از انتظار برای سرویس، اتلاف زمان و منابع برای سرویس و از کار افتادن فراهم می‌کند. از کانال های خدماتی

در فعالیت های تجاری، کاربرد تئوری صف هنوز توزیع مطلوبی را پیدا نکرده است.

این عمدتا به دلیل دشواری تعیین اهداف، نیاز به درک عمیق از محتوای فعالیت های تجاری و همچنین ابزارهای قابل اعتماد و دقیق است که به شما امکان می دهد در فعالیت های تجاری محاسبه کنید. گزینه های مختلفپیامدهای تصمیمات مدیریتی

فصل من . تنظیم وظایف صف

1.1 مفهوم کلی تئوری صف

ماهیت صف بندی در زمینه های مختلف بسیار ظریف و پیچیده است. فعالیت تجاری با انجام بسیاری از عملیات در مراحل حرکت همراه است، به عنوان مثال، انبوهی از کالاها از حوزه تولید تا حوزه مصرف. چنین عملیاتی عبارتند از بارگیری کالا، حمل و نقل، تخلیه، ذخیره سازی، پردازش، بسته بندی، فروش. علاوه بر چنین عملیات اساسی، فرآیند جابجایی کالا همراه است مقدار زیادعملیات مقدماتی، مقدماتی، همراه، موازی و بعدی با اسناد پرداخت، کانتینر، پول، خودرو، مشتریان و غیره.

قطعات ذکر شده از فعالیت تجاری با دریافت انبوه کالا، پول، بازدیدکنندگان در زمان های تصادفی، سپس خدمات ثابت آنها (رضایت از نیازها، درخواست ها، برنامه های کاربردی) با انجام عملیات مناسب مشخص می شود که زمان اجرای آنها نیز تصادفی است. همه اینها باعث ایجاد ناهمواری در کار، ایجاد بارهای کم، خرابی و اضافه بار در عملیات تجاری می شود. صف‌ها دردسرهای زیادی را ایجاد می‌کنند، به عنوان مثال، بازدیدکنندگان در کافه‌ها، غذاخوری‌ها، رستوران‌ها یا رانندگان خودرو در انبارهای کالا، منتظر تخلیه، بارگیری یا کاغذبازی هستند. در این زمینه مشکلات تحلیلی وجود دارد گزینه های موجودانجام کل مجموعه عملیات، به عنوان مثال، یک طبقه تجاری یک سوپرمارکت، یک رستوران یا در کارگاه های تولید محصولات خود به منظور ارزیابی کار آنها، شناسایی حلقه های ضعیف و ذخایر به منظور در نهایت توسعه توصیه هایی با هدف افزایش کارایی فعالیت های تجاری

علاوه بر این، سایر وظایف مربوط به ایجاد، سازماندهی و برنامه ریزی یک گزینه اقتصادی و منطقی جدید برای انجام بسیاری از عملیات در طبقه تجاری، شیرینی فروشی، کلیه سطوح خدمات یک رستوران، کافه، غذاخوری، بخش برنامه ریزی، بخش حسابداری، بخش پرسنل و غیره

وظایف سازمان نوبت دهی تقریباً در همه زمینه ها مطرح می شود فعالیت انسانیبه عنوان مثال خدمات فروشندگان به خریداران در مغازه ها، خدمات به بازدیدکنندگان در شرکت ها پذیراییارائه خدمات به مشتریان در شرکت های خدمات مصرف کننده مکالمات تلفنیدر یک مرکز تلفن، ارائه خدمات پزشکی به بیماران در یک کلینیک و غیره. در تمام مثال‌های بالا، نیاز به برآورده کردن درخواست‌ها وجود دارد تعداد زیادیمصرف کنندگان

وظایف ذکر شده را می توان با استفاده از روش ها و مدل های تئوری صف (QMT) که مخصوص این اهداف ایجاد شده است، با موفقیت حل کرد. این تئوری توضیح می‌دهد که لازم است به کسی یا چیزی خدمات داده شود، که با مفهوم «درخواست (نیاز) برای سرویس» تعریف می‌شود و عملیات سرویس توسط شخص یا چیزی به نام کانال‌های سرویس (گره‌ها) انجام می‌شود. نقش اپلیکیشن ها در فعالیت های تجاری را کالاها، بازدیدکنندگان، پول، حسابرسان، اسناد و مدارک و نقش کانال های خدماتی را فروشندگان، مدیران، آشپزها، قنادی ها، پیشخدمت ها، صندوقداران، بازرگانان، لودرها، تجهیزات تجاری و غیره ایفا می کنند. توجه به این نکته حائز اهمیت است که در یک نوع، برای مثال، آشپز در فرآیند تهیه ظروف، یک کانال خدماتی است و در نوع دیگر، به عنوان درخواست خدمات، به عنوان مثال، به مدیر تولید برای دریافت کالا عمل می کند.

با توجه به ماهیت گسترده دریافت خدمات، برنامه‌ها جریان‌هایی را تشکیل می‌دهند که قبل از انجام عملیات سرویس‌دهی، ورودی نامیده می‌شوند و پس از انتظار احتمالی برای شروع سرویس، یعنی. خرابی در صف، سرویس فرم در کانال ها جریان می یابد و سپس یک جریان خروجی از درخواست ها تشکیل می شود. به طور کلی، مجموعه ای از عناصر جریان ورودی برنامه ها، صف، کانال های خدمات و جریان خروجی برنامه ها ساده ترین سیستم صف بندی تک کانالی - QS را تشکیل می دهد.

یک سیستم مجموعه ای از به هم پیوسته و. قطعات (عناصر) که به طور هدفمند در تعامل هستند. نمونه هایی از چنین QS ساده در فعالیت های تجاری، مکان های دریافت و پردازش کالا، مراکز تسویه حساب با مشتریان در مغازه ها، کافه ها، غذاخوری ها، مشاغل یک اقتصاددان، حسابدار، تاجر، آشپز در هنگام توزیع و غیره است.

هنگامی که درخواست سرویس از سیستم خارج می شود، روال سرویس تکمیل شده در نظر گرفته می شود. مدت زمان فاصله زمانی لازم برای اجرای رویه سرویس عمدتاً به ماهیت درخواست خدمات، وضعیت خود سیستم خدمات و کانال سرویس بستگی دارد.

در واقع، مدت اقامت خریدار در سوپرمارکت، از یک سو، بستگی دارد ویژگی های شخصیخریدار، درخواست های او، در مورد طیف کالایی که قصد خرید دارد و از طرف دیگر، در شکل سازمان خدمات و پرسنل خدماتی که می تواند به طور قابل توجهی بر زمان صرف شده توسط خریدار در سوپرمارکت و شدت آن تأثیر بگذارد. خدمات به عنوان مثال، تسلط صندوقدار-کنترل کنندگان به روش "کور" بر روی صندوق، امکان افزایش را فراهم کرد. توان عملیاتیگره های تسویه حساب تا 1.3 برابر و صرفه جویی در زمان صرف شده برای تسویه حساب با مشتریان در هر پرداخت بیش از 1.5 ساعت در روز. معرفی یک گره تسویه حساب در سوپرمارکت مزایای ملموسی به خریدار می دهد. بنابراین، اگر با شکل سنتی شهرک ها، زمان خدمات برای یک مشتری به طور متوسط 1.5 دقیقه بود، سپس با معرفی یک گره تسویه حساب - 67 ثانیه. از این تعداد 44 ثانیه صرف خرید در قسمت و 23 ثانیه به صورت مستقیم صرف پرداخت برای خرید می شود. اگر خریدار چندین خرید در بخش های مختلف انجام دهد، با خرید دو خرید 1.4 برابر، سه - 1.9، پنج - 2.9 برابر، از دست دادن زمان کاهش می یابد.

منظور ما از خدمات دهی به درخواست، فرآیند برآوردن نیاز است. ماهیت خدمات متفاوت است. با این حال، در همه نمونه‌ها، درخواست‌های دریافت‌شده باید توسط برخی دستگاه‌ها سرویس شوند. در برخی موارد خدمات توسط یک نفر (خدمات مشتری توسط یک فروشنده، در برخی موارد توسط گروهی از افراد (خدمات بیمار توسط کمیسیون پزشکی در پلی کلینیک) و در برخی موارد توسط دستگاه های فنی (فروش آب سودا) انجام می شود. به مجموعه ای از ابزارهایی که به برنامه های کاربردی سرویس می دهند، کانال سرویس می گویند.

اگر کانال های سرویس قادر به برآورده کردن همان درخواست ها باشند، کانال های سرویس همگن نامیده می شوند. به مجموعه ای از کانال های خدماتی همگن، سیستم سرویس دهی می گویند.

سیستم نوبت دهی تعداد زیادی درخواست را در زمان های تصادفی دریافت می کند که مدت زمان سرویس آن نیز یک متغیر تصادفی است. ورود متوالی مشتریان به سیستم نوبت دهی، جریان ورودی مشتریان و به ترتیب خروج مشتریان از سیستم صف، جریان خروجی نامیده می شود.

ماهیت تصادفی توزیع طول مدت اجرای عملیات سرویس، همراه با ماهیت تصادفی رسیدن نیازمندی های سرویس، منجر به این واقعیت می شود که یک فرآیند تصادفی در کانال های خدمات رخ می دهد، که می توان آن را (بر اساس قیاس) نامید. با جریان ورودی درخواست ها) جریان درخواست های سرویس یا به سادگی جریان خدمات.

توجه داشته باشید که مشتریانی که وارد سیستم نوبت دهی می شوند می توانند بدون ارائه خدمات از آن خارج شوند. به عنوان مثال، اگر مشتری کالای مورد نظر خود را در فروشگاه پیدا نکرد، بدون ارائه خدمات از فروشگاه خارج می شود. خریدار نیز می تواند در صورت موجود بودن کالای مورد نظر از فروشگاه خارج شود اما در صف طولانی باشد و خریدار وقت نداشته باشد.

تئوری صف با مطالعه فرآیندهای مرتبط با صف بندی، توسعه روش هایی برای حل مسائل معمولی صف می پردازد.

در مطالعه اثربخشی سیستم خدمات، نقش مهمی ایفا می کند راه های مختلفمکان در سیستم کانال های خدمات.

با چیدمان موازی کانال‌های خدماتی، این نیاز می‌تواند توسط هر کسی انجام شود کانال رایگان. نمونه ای از چنین سیستم خدماتی یک گره تسویه حساب در فروشگاه های سلف سرویس است که در آن تعداد کانال های خدمات با تعداد صندوقدار-کنترل کننده ها مطابقت دارد.

در عمل، یک برنامه اغلب به صورت متوالی توسط چندین کانال سرویس سرویس می شود. در این حالت کانال سرویس بعدی پس از اتمام کار کانال قبلی شروع به سرویس دهی به درخواست می کند. در چنین سیستم هایی، فرآیند سرویس ماهیتی چند فازی دارد، سرویس یک برنامه کاربردی توسط یک کانال، فاز سرویس نامیده می شود. به عنوان مثال، اگر یک فروشگاه سلف سرویس دارای دپارتمان هایی با فروشندگان باشد، ابتدا به خریداران توسط فروشندگان و سپس توسط صندوقدار-کنترل کنندگان خدمات ارائه می شود.

سازماندهی سیستم خدماتی به اراده شخص بستگی دارد. کیفیت عملکرد سیستم در تئوری صف بندی به این معنا نیست که سرویس چقدر خوب انجام می شود، بلکه به این معناست که سیستم خدمات چقدر بارگذاری کامل دارد، آیا کانال های سرویس بیکار هستند یا خیر، آیا یک صف تشکیل شده است.

در فعالیت‌های تجاری، برنامه‌هایی که وارد سیستم صف‌بندی می‌شوند نیز ادعای بالایی در مورد کیفیت خدمات به عنوان یک کل دارند، که نه تنها شامل فهرستی از ویژگی‌هایی است که در طول تاریخ توسعه یافته و مستقیماً در تئوری صف در نظر گرفته می‌شوند، بلکه ویژگی‌های اضافی را نیز شامل می‌شود. ویژگی‌های فعالیت تجاری، به‌ویژه رویه‌های نگهداری فردی، که الزامات آن تا کنون بسیار افزایش یافته است. در این راستا لازم است شاخص های فعالیت تجاری نیز در نظر گرفته شود.

کار سیستم خدمات با چنین شاخص هایی مشخص می شود. مانند زمان انتظار سرویس، طول صف، امکان انکار سرویس، امکان توقف کانال های سرویس، هزینه سرویس و در نهایت رضایت از کیفیت خدمات که شامل عملکرد تجاری نیز می شود. برای بهبود کیفیت سیستم خدمات، لازم است نحوه توزیع برنامه های کاربردی دریافتی بین کانال های خدماتی، تعداد کانال های خدماتی که باید داشته باشید، نحوه مرتب سازی یا گروه بندی کانال های خدمات یا دستگاه های خدماتی برای بهبود عملکرد تجاری تعیین شود. برای حل این مشکلات، وجود دارد روش موثرمدل سازی که شامل و ترکیبی از دستاوردهای علوم مختلف از جمله ریاضیات است.

1.2 مدل سازی سیستم های صف

انتقال QS از یک حالت به حالت دیگر تحت تأثیر رویدادهای کاملاً تعریف شده - دریافت برنامه ها و سرویس دهی آنها رخ می دهد. توالی وقوع رویدادهایی که یکی پس از دیگری در لحظات تصادفی از زمان به وقوع می پیوندند، به اصطلاح جریان رویدادها را تشکیل می دهد. نمونه‌هایی از این جریان‌ها در فعالیت‌های تجاری، جریان‌هایی با ماهیت مختلف هستند - کالا، پول، اسناد، حمل‌ونقل، مشتریان، مشتریان، تماس‌های تلفنی، مذاکرات. رفتار سیستم معمولاً نه توسط یک، بلکه توسط چندین جریان رویداد به طور همزمان تعیین می شود. به عنوان مثال، خدمات مشتری در یک فروشگاه توسط جریان مشتری و جریان خدمات تعیین می شود. در این جریان‌ها، لحظه‌های ظهور خریداران، زمان صرف شده در صف و زمان صرف شده برای سرویس دهی به هر خریدار تصادفی است.

در عین حال، اصلی ویژگی flows توزیع احتمالی زمان بین رویدادهای مجاور است. جریان های مختلفی وجود دارد که در ویژگی های آنها متفاوت است.

جریانی از رویدادها در صورتی منظم نامیده می شود که رویدادهای آن یکی پس از دیگری در فواصل زمانی از پیش تعیین شده و کاملاً تعریف شده دنبال شوند. چنین جریانی ایده آل است و در عمل بسیار نادر است. بیشتر اوقات جریان های نامنظم وجود دارد که خاصیت منظم بودن را ندارند.

جریانی از رویدادها ثابت نامیده می شود که احتمال سقوط هر تعداد رویداد در یک بازه زمانی فقط به طول این بازه بستگی داشته باشد و به فاصله زمانی این بازه از نقطه مرجع زمانی بستگی ندارد. ثابت بودن یک جریان به این معنی است که ویژگی های احتمالی آن مستقل از زمان است؛ به ویژه، شدت چنین جریانی میانگین تعداد رویدادها در واحد زمان است و ثابت می ماند. در عمل، جریان ها را معمولاً می توان تنها برای یک بازه زمانی محدود ثابت در نظر گرفت. به طور معمول، جریان مشتریان، به عنوان مثال، در یک فروشگاه به طور قابل توجهی در طول روز کاری تغییر می کند. با این حال، می توان فواصل زمانی خاصی را مشخص کرد که در آن این جریان را می توان ثابت و دارای شدت ثابت در نظر گرفت.

جریانی از رویدادها جریانی بدون پیامد نامیده می شود که تعداد رویدادهایی که در یکی از بازه های زمانی که به طور دلخواه انتخاب شده است به تعداد رویدادهایی که در بازه دیگری که به طور دلخواه انتخاب شده است بستگی نداشته باشد، مشروط بر اینکه این فواصل با هم تلاقی نداشته باشند. در یک جریان بدون پیامد، رویدادها در زمان های متوالی مستقل از یکدیگر ظاهر می شوند. به عنوان مثال، جریان ورود مشتریان به فروشگاه را می توان جریانی بدون عواقب در نظر گرفت، زیرا دلایلی که منجر به ورود هر یک از آنها شده است، مربوط به دلایل مشابه سایر مشتریان نیست.

جریانی از رویدادها معمولی نامیده می شود که احتمال برخورد همزمان دو یا چند رویداد در یک دوره زمانی بسیار کوتاه در مقایسه با احتمال برخورد تنها با یک رویداد ناچیز باشد. در یک جریان معمولی، رویدادها یک بار اتفاق می‌افتند، نه دو یا چند بار. اگر یک جریان به طور همزمان دارای ویژگی های ایستایی، معمولی و عدم وجود پیامد باشد، آنگاه چنین جریانی را ساده ترین (یا پواسون) جریان رویدادها می نامند. توصیف ریاضی تأثیر چنین جریانی بر سیستم ها ساده ترین است. بنابراین، به طور خاص، ساده ترین جریان نقش ویژه ای در میان سایر جریان های موجود دارد.

فاصله زمانی t را روی محور زمانی در نظر بگیرید. اجازه دهید فرض کنیم که احتمال برخورد یک رویداد تصادفی با این بازه p، و تعداد کلرویدادهای ممکن - n. در صورت وجود خاصیت عادی بودن جریان رویدادها، احتمال p باید به اندازه کافی کوچک باشد و i - به اندازه کافی تعداد زیادی، از آنجایی که پدیده های توده ای در نظر گرفته می شوند. تحت این شرایط، برای محاسبه احتمال برخورد به تعداد معینی از رویداد t در بازه زمانی t، می توانید از فرمول پواسون استفاده کنید:

P m، n = یک m_e-a; (m=0,n)،

که در آن مقدار a = pr میانگین تعداد رویدادهایی است که در بازه زمانی t می افتد، که می تواند از طریق شدت جریان رویدادهای X به صورت زیر تعیین شود: a = λ τ

بعد شدت جریان X میانگین تعداد رویدادها در واحد زمان است. بین p و λ، p و τ رابطه زیر وجود دارد:

که در آن t کل دوره زمانی است که در آن عمل جریان رویدادها در نظر گرفته می شود.

تعیین توزیع فاصله زمانی T بین رویدادها در چنین جریانی ضروری است. زیرا آن را مقدار تصادفی، تابع توزیع آن را پیدا می کنیم. همانطور که از نظریه احتمال مشخص است، تابع توزیع انتگرالی F(t) احتمال این است که مقدار T کمتر از زمان t باشد.

طبق شرط، هیچ رویدادی نباید در طول زمان T رخ دهد و حداقل یک رویداد باید در بازه زمانی t ظاهر شود. این احتمال با استفاده از احتمال رویداد مخالف در بازه زمانی (0; t) محاسبه می‌شود، جایی که هیچ رویدادی رخ نداده است. m=0، سپس

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt،t≥0

برای Δt کوچک، می توان یک فرمول تقریبی را به دست آورد که با جایگزین کردن تابع e - Xt تنها با دو ترم بسط در یک سری به توان Δt به دست می آید، سپس احتمال اینکه حداقل یک رویداد در یک بازه زمانی کوچک قرار گیرد ∆. t است

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

چگالی توزیع فاصله زمانی بین دو رویداد متوالی با افتراق F(t) نسبت به زمان به دست می آید.

f(t)= λe- λ t ,t≥0

با استفاده از تابع چگالی توزیع به دست آمده، می توان ویژگی های عددی متغیر تصادفی T را بدست آورد: انتظار ریاضی M (T)، واریانس D(T) و انحراف استاندارد σ(T).

М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/ λ ; D(T)=1/ λ 2 ; σ(T)=1/λ.

از اینجا می توانیم نتیجه زیر را بگیریم: میانگین فاصله زمانی T بین هر دو رویداد همسایه در ساده ترین جریان به طور متوسط 1/λ است و انحراف معیار آن نیز 1/λ است، λ که در آن شدت جریان است، یعنی. میانگین تعداد رویدادهایی که در واحد زمان رخ می دهند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی با چنین ویژگی هایی M(T) = T را نمایی (یا نمایی) می نامند و مقدار λ پارامتری از این قانون نمایی است. بنابراین، برای ساده ترین جریان، انتظار ریاضی فاصله زمانی بین رویدادهای همسایه برابر با انحراف معیار آن است. در این مورد، احتمال اینکه تعداد درخواست های دریافت شده برای سرویس در بازه زمانی t برابر با k باشد، توسط قانون پواسون تعیین می شود:

P k (t) = (λt) k / k! *e -λ t

که در آن λ شدت جریان درخواست‌ها است، میانگین تعداد رویدادها در QS در واحد زمان، برای مثال [نفر / دقیقه؛ مالش./ساعت؛ چک ها/ساعت؛ اسناد/روز؛ کیلوگرم در ساعت؛ تن در سال].

برای چنین جریانی از برنامه ها، زمان بین دو برنامه همسایه T به صورت نمایی با چگالی احتمال توزیع می شود:

ƒ(t)= λe - λt .

زمان انتظار تصادفی در صف شروع سرویس نیز می تواند به صورت نمایی توزیع شده در نظر گرفته شود:

ƒ (t och) = V*e - v t och،

که در آن v شدت جریان عبور صف است که توسط میانگین تعداد برنامه‌های ارسال شده برای سرویس در واحد زمان تعیین می‌شود:

جایی که T och - میانگین زمان انتظار برای سرویس در صف.

جریان خروجی درخواست ها با جریان سرویس در کانال مرتبط است، جایی که مدت زمان سرویس t obs نیز یک متغیر تصادفی است و در بسیاری موارد از قانون توزیع نمایی با چگالی احتمال تبعیت می کند:

ƒ(t obs)=µ*e µ t obs،

که در آن µ شدت جریان سرویس است، یعنی. میانگین تعداد درخواست های ارائه شده در واحد زمان:

μ=1/ t obs [نفر/دقیقه; مالش./ساعت؛ چک ها/ساعت؛ اسناد/روز؛ کیلوگرم در ساعت؛ تن/سال]،

جایی که t obs میانگین زمان برای درخواست های سرویس است.

یک مشخصه مهم QS که نشانگرهای λ و μ را ترکیب می کند، شدت بار است: ρ= λ/μ، که درجه هماهنگی جریان ورودی و خروجی درخواست های کانال سرویس را نشان می دهد و پایداری سیستم صف را تعیین می کند.

علاوه بر مفهوم ساده ترین جریان رویدادها، اغلب لازم است از مفاهیم جریان های دیگر استفاده شود. جریانی از رویدادها زمانی پالم استریم نامیده می شود که در این جریان فواصل زمانی بین رویدادهای متوالی T 1 , T 2 , ..., T k ..., T n متغیرهای تصادفی مستقل و به طور مساوی توزیع شده باشند، اما بر خلاف ساده ترین. جریان، آنها لزوما بر اساس قانون نمایی توزیع نمی شوند. ساده ترین جریان یک مورد خاص از جریان پالم است.

یک مورد خاص مهم از جریان نخل، جریان به اصطلاح ارلنگ است.

این جریان با «رقیق کردن» ساده ترین جریان به دست می آید. چنین "نازک سازی" با انتخاب رویدادها از یک جریان ساده طبق یک قانون خاص انجام می شود.

به عنوان مثال، اگر بپذیریم که فقط هر رویداد دوم را از عناصر ساده ترین جریان در نظر بگیریم، یک جریان Erlang مرتبه دوم دریافت می کنیم. اگر فقط هر سومین رویداد را در نظر بگیریم، آنگاه یک جریان Erlang از مرتبه سوم تشکیل می شود و به همین ترتیب.

امکان به دست آوردن جریان های ارلنگ از هر مرتبه k ام وجود دارد. بدیهی است که ساده ترین جریان، جریان ارلنگ مرتبه اول است.

هر مطالعه ای در مورد سیستم نوبت دهی با مطالعه مواردی که باید ارائه شود و بنابراین با بررسی جریان ورودی مشتریان و ویژگی های آن آغاز می شود.

از آنجایی که لحظه‌های زمان t و فواصل زمانی دریافت درخواست‌ها τ، مدت زمان عملیات سرویس t obs و زمان انتظار در صف t och و همچنین طول صف l och متغیرهای تصادفی هستند، پس بنابراین، ویژگی های حالت QS ماهیت احتمالی دارند و برای توصیف آنها از روش ها و مدل های تئوری صف استفاده می شود.

مشخصه های فوق k، τ، λ، L och، T och، v، t obs، μ، p، P k رایج ترین برای QS هستند که معمولاً تنها بخشی از تابع هدف هستند، زیرا همچنین لازم است شاخص های فعالیت تجاری را در نظر بگیرید.

1.3 نمودارهای وضعیت QS

هنگام تجزیه و تحلیل فرآیندهای تصادفی با حالت‌های گسسته و زمان پیوسته، استفاده از گونه‌ای از یک نمایش شماتیک از حالات احتمالی CMO (شکل 6.2.1) در قالب یک نمودار با علامت‌گذاری حالت‌های ثابت احتمالی آن راحت است. حالت‌های QS معمولاً با مستطیل یا دایره نشان داده می‌شوند و جهت‌های احتمالی انتقال از یک حالت به حالت دیگر توسط فلش‌هایی که این حالت‌ها را به هم متصل می‌کنند جهت‌گیری می‌کنند. به عنوان مثال، نمودار وضعیت برچسب دار یک سیستم تک کانالی از یک فرآیند خدمات تصادفی در یک دکه روزنامه فروشی در شکل 1 نشان داده شده است. 1.3.

برنج. 1.3. با برچسب QS State Graph

سیستم می تواند در یکی از سه حالت باشد: S 0 - کانال آزاد است، بیکار است، S 1 - کانال مشغول سرویس است، S 2 - کانال مشغول سرویس است و یک برنامه در صف قرار دارد. انتقال سیستم از حالت S 0 به S l تحت تأثیر ساده ترین جریان درخواست ها با شدت λ 01 رخ می دهد و از حالت S l به حالت S 0 سیستم توسط یک جریان سرویس با شدت λ 01 منتقل می شود. نمودار حالت یک سیستم صف با شدت جریان چسبانده شده به فلش ها، برچسب دار نامیده می شود. از آنجایی که باقی ماندن سیستم در یک حالت یا حالت دیگر احتمالی است، احتمال p i (t) که سیستم در زمان t در حالت S i قرار گیرد، احتمال i-امین حالت QS نامیده می شود و با عدد تعیین می شود. از درخواست های k دریافت شده برای خدمات.

یک فرآیند تصادفی که در سیستم اتفاق می‌افتد شامل این واقعیت است که در زمان‌های تصادفی t 0 , t 1, t 2 ,..., t k ,..., t n سیستم به ترتیب در یک حالت گسسته شناخته شده قبلی قرار دارد. چنین. دنباله تصادفی از رویدادها زنجیره مارکوف نامیده می شود اگر برای هر مرحله، احتمال انتقال از یک حالت S t به هر Sj دیگر به زمان و نحوه انتقال سیستم به حالت St بستگی ندارد. زنجیره مارکوف با استفاده از احتمال حالت ها توصیف می شود و آنها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، بنابراین مجموع آنها برابر با یک است. اگر احتمال انتقال به عدد k بستگی نداشته باشد، زنجیره مارکوف همگن نامیده می شود. با دانستن وضعیت اولیه سیستم صف، می توان احتمالات حالت ها را برای هر مقدار از k-تعداد درخواست های دریافت شده برای سرویس پیدا کرد.

1.4 فرآیندهای تصادفی

انتقال QS از یک حالت به حالت دیگر به طور تصادفی رخ می دهد و یک فرآیند تصادفی است. کار QS یک فرآیند تصادفی با حالت های گسسته است، زیرا حالت های احتمالی آن در زمان را می توان از قبل فهرست کرد. علاوه بر این، انتقال از یک حالت به حالت دیگر به طور ناگهانی و در زمان‌های تصادفی اتفاق می‌افتد، به همین دلیل است که به آن فرآیندی با زمان پیوسته می‌گویند. بنابراین، کار QS یک فرآیند تصادفی با حالت های گسسته و پیوسته است. زمان. به عنوان مثال، در فرآیند خدمات رسانی به خریداران عمده فروشی در شرکت Kristall در مسکو، می توان از قبل تمام حالت های ممکن تک یاخته را تعمیر کرد. CMOهایی که از لحظه انعقاد قرارداد برای عرضه مشروبات الکلی، پرداخت هزینه آن، کاغذبازی، ترخیص و دریافت محصولات، بارگیری اضافی و حذف از انبار محصولات نهایی در کل چرخه خدمات تجاری قرار می گیرند.

از بین انواع مختلف فرآیندهای تصادفی، گسترده ترین در فعالیت های تجاری آن دسته از فرآیندهایی هستند که در هر زمان ویژگی های فرآیند در آینده فقط به وضعیت آن در لحظه بستگی دارد و به ماقبل تاریخ - به گذشته - بستگی ندارد. به عنوان مثال، امکان تهیه مشروبات الکلی از کارخانه کریستال بستگی به در دسترس بودن آن در انبار محصول نهایی دارد، یعنی. وضعیت آن در حال حاضر، و بستگی به زمان و نحوه دریافت و برداشت سایر خریداران این محصولات در گذشته ندارد.

چنین فرآیندهای تصادفی فرآیندهای بدون پیامد یا فرآیندهای مارکوف نامیده می شوند که در آنها، با یک حال ثابت، وضعیت آینده QS به گذشته بستگی ندارد. یک فرآیند تصادفی که در یک سیستم اجرا می شود، فرآیند تصادفی مارکوف یا "فرآیند بدون پیامد" نامیده می شود که دارای ویژگی زیر باشد: برای هر بار t 0، احتمال هر حالت t > t 0 از سیستم S i , - در آینده (t>t Q ) فقط به وضعیت خود در زمان حال (در t = t 0) بستگی دارد و به زمان و نحوه رسیدن سیستم به این حالت بستگی ندارد. به دلیل چگونگی پیشرفت این فرآیند در گذشته.

فرآیندهای تصادفی مارکوف به دو دسته تقسیم می شوند: فرآیندهایی با حالت های گسسته و پیوسته. فرآیندی با حالت‌های گسسته در سیستم‌هایی به وجود می‌آید که فقط برخی از حالت‌های ثابت دارند، که انتقال پرش بین آن‌ها در برخی لحظات ناشناخته از قبل امکان‌پذیر است. نمونه ای از یک فرآیند با حالت های گسسته را در نظر بگیرید. در دفتر شرکت دو تلفن وجود دارد. حالت های زیر برای این سیستم خدماتی امکان پذیر است: S o - تلفن ها رایگان هستند. S l - یکی از تلفن ها مشغول است. S 2 - هر دو گوشی مشغول هستند.

فرآیندی که در این سیستم انجام می شود به این صورت است که سیستم به طور تصادفی از یک حالت گسسته به حالت دیگر می پرد.

فرآیندهای با حالت های پیوسته با انتقال صاف مداوم از یک حالت به حالت دیگر مشخص می شوند. این فرآیندها بیشتر برای دستگاه های فنی معمول هستند تا برای اشیاء اقتصادی، جایی که معمولاً فقط به طور تقریبی می توان از تداوم فرآیند صحبت کرد (مثلاً مصرف مداوم یک انبار کالا)، در حالی که در واقع این فرآیند همیشه دارای یک ویژگی گسسته است. . بنابراین، در زیر فقط فرآیندهایی با حالت های گسسته را در نظر خواهیم گرفت.

فرآیندهای تصادفی مارکوف با حالت های گسسته به نوبه خود به فرآیندهایی با زمان گسسته و فرآیندهایی با زمان پیوسته تقسیم می شوند. در حالت اول، انتقال از یک حالت به حالت دیگر فقط در لحظات معین و از پیش ثابت زمانی رخ می دهد، در حالی که در فواصل بین این لحظات، سیستم حالت خود را حفظ می کند. در حالت دوم، انتقال سیستم از حالت به حالت می تواند در هر زمان تصادفی رخ دهد.

در عمل، فرآیندهای با زمان پیوسته بسیار رایج تر هستند، زیرا انتقال سیستم از یک حالت به حالت دیگر معمولاً نه در زمان ثابت، بلکه در هر زمان تصادفی رخ می دهد.

برای توصیف فرآیندهای با زمان پیوسته، از مدلی به شکل زنجیره مارکوف با حالت‌های گسسته سیستم یا زنجیره مارکوف پیوسته استفاده می‌شود.

فصل II . معادلات توصیف سیستم های صف

2.1 معادلات کولموگروف

یک توصیف ریاضی از یک فرآیند تصادفی مارکوف با حالت های سیستم گسسته S o , S l , S 2 (نگاه کنید به شکل 6.2.1) و زمان پیوسته را در نظر بگیرید. ما معتقدیم که تمام انتقال‌های سیستم صف از حالت S i به حالت Sj تحت تأثیر ساده‌ترین جریان رویدادها با شدت λ ij، و انتقال معکوس تحت تأثیر جریان دیگری λ ij، رخ می‌دهد. علامت p i را به عنوان احتمال اینکه در زمان t سیستم در حالت S i باشد معرفی می کنیم. برای هر لحظه از زمان t، عادلانه است که شرط عادی سازی را بنویسید - مجموع احتمالات همه حالت ها برابر با 1 است:

Σp i (t) = p 0 (t) + p 1 (t) + p 2 (t) = 1

اجازه دهید سیستم را در زمان t تجزیه و تحلیل کنیم، یک افزایش زمانی کوچک Δt تنظیم کنیم، و احتمال p 1 (t + Δt) را پیدا کنیم که سیستم در زمان (t + Δt) در حالت S 1 باشد که با گزینه های مختلف به دست می آید. :

الف) سیستم در لحظه t با احتمال p 1 (t) در حالت S 1 قرار داشت و برای مدت کمی افزایش Δt هرگز به حالت همسایه دیگری منتقل نشد - نه به S 0 و نه bS 2 . سیستم را می توان با یک جریان ساده کلی با شدت (λ 10 + λ 12) از حالت S 1 خارج کرد، زیرا برهم نهی ساده ترین جریان ها نیز ساده ترین جریان است. بر این اساس، احتمال خروج از حالت S 1 در یک بازه زمانی کوتاه Δt تقریبا برابر با (λ 10 + λ 12)* Δt است. پس احتمال خروج نکردن از این حالت برابر است با. بر این اساس، احتمال اینکه سیستم در حالت Si باقی بماند بر اساس قضیه ضرب احتمال برابر است با:

p 1 (t);

ب) سیستم در حالت همسایه S o قرار داشت و در مدت کوتاهی Δt به حالت S o انتقال سیستم تحت تاثیر جریان λ 01 با احتمال تقریباً برابر λ 01 Δt رخ می دهد.

احتمال اینکه سیستم در حالت S 1 باشد در این مورد برابر است با p o (t)λ 01 Δt.

ج) سیستم در حالت S 2 قرار داشت و در طول مدت زمانی Δt تحت تأثیر جریانی با شدت λ 21 با احتمال تقریباً برابر λ 21 Δt به حالت S 1 عبور کرد. احتمال اینکه سیستم در حالت S 1 قرار گیرد برابر است با p 2 (t) λ 21 Δt.

با اعمال قضیه جمع احتمال برای این گزینه ها، عبارت زیر را به دست می آوریم:

p 2 (t + Δt) = p 1 (t) + p o (t)λ 01 Δt + p 2 (t) λ 21 Δt،

که می توان متفاوت نوشت:

p 2 (t + Δt) -p 1 (t) / Δt \u003d p o (t) λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 + λ 12) .

با عبور از حد Δt-> 0، تساوی های تقریبی به یک های دقیق تبدیل می شوند و سپس مشتق مرتبه اول را به دست می آوریم.

dp 2 /dt= p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 (λ 10 + λ 12) ،

که یک معادله دیفرانسیل است.

با انجام استدلال به روشی مشابه برای سایر حالت های سیستم، سیستم را به دست می آوریم معادلات دیفرانسیل، که به آنها A.N. کولموگروف:

dp 0 /dt= p 1 λ 10،

dp 1 /dt= p 0 λ 01 + p 2 λ 21 - p 1 (λ 10 + λ 12) ،

dp 2 /dt= p 1 λ 12 + p 2 λ 21 .

قوانین کلی برای تدوین معادلات کولموگروف وجود دارد.

معادلات کولموگروف امکان محاسبه تمامی احتمالات حالت های QS S i را به عنوان تابعی از زمان p i (t) فراهم می کند. در تئوری فرآیندهای تصادفی نشان داده شده است که اگر تعداد حالت های سیستم محدود باشد و از هر یک از آنها بتوان به هر حالت دیگری رفت، احتمالات محدود (نهایی) حالت هایی وجود دارد که نشان دهنده میانگین ارزش نسبی زمانی که سیستم در این حالت می گذراند. اگر احتمال نهایی حالت S 0 برابر با p 0 = 0.2 باشد، بنابراین، به طور متوسط 20٪ از زمان، یا 1/5 از زمان کار، سیستم در حالت S o است. به عنوان مثال، در صورت عدم وجود درخواست خدمات k = 0، p 0 = 0.2،; بنابراین، به طور متوسط 2 ساعت در روز، سیستم در حالت S o است و اگر روز کاری 10 ساعت باشد، غیرفعال است.

از آنجایی که احتمالات محدود کننده سیستم ثابت است، با جایگزینی مشتقات مربوطه در معادلات کولموگروف با مقادیر صفر، سیستمی خطی به دست می آوریم. معادلات جبریتوصیف حالت ساکن QS. چنین سیستمی از معادلات با توجه به نمودار نشاندار وضعیت های QS بر اساس تشکیل شده است قوانین زیر: در سمت چپ علامت مساوی در معادله، احتمال محدود p i حالت در نظر گرفته Si ضرب در شدت کل تمام جریان هایی است که خروجی (فلش های خروجی) حالت گسیل شده S i را به سیستم، و در سمت راست علامت مساوی مجموع حاصل از شدت تمام جریان های وارد شده (فلش های ورودی) به وضعیت سیستم است، بر اساس احتمال آن حالت هایی که این جریان ها از آنها سرچشمه می گیرند. برای حل چنین سیستمی، لازم است یک معادله دیگر اضافه شود که شرایط عادی سازی را تعیین می کند، زیرا مجموع احتمالات همه حالت های QS 1: n است.

به عنوان مثال، برای یک QS که دارای یک نمودار برچسب دار از سه حالت S o , S 1 , S 2 است شکل. 6.2.1، سیستم معادلات کولموگروف، که بر اساس قاعده بیان شده تدوین شده است، به شکل زیر است:

برای حالت S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

برای حالت S 1 → p 1 (λ 10 + λ 12) = p 0 λ 01 + p 2 λ 21

برای حالت S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p0 + p1 + p2 = 1

dp 4 (t) / dt \u003d λ 34 p 3 (t) - λ 43 p 4 (t)

p 1 (t) + p 2 (t) + p 3 (t) + p 4 (t) = 1 .

به این معادلات باید شرایط اولیه بیشتری اضافه کنیم. به عنوان مثال، اگر در t = 0 سیستم S در حالت S 1 باشد، شرایط اولیه را می توان به صورت زیر نوشت:

p 1 (0) = 1، p 2 (0) = p 3 (0) = p 4 (0) = 0 .

انتقال بین حالت های QS تحت تأثیر دریافت برنامه ها و خدمات آنها رخ می دهد. احتمال انتقال در حالتی که جریان رویدادها ساده ترین باشد با احتمال وقوع یک رویداد در طول زمان Δt تعیین می شود، یعنی. مقدار عنصر احتمال انتقال λ ij Δt، که در آن λ ij شدت جریان رویدادهایی است که سیستم را از حالت i به حالت i منتقل می کند (در امتداد فلش مربوطه در نمودار حالت).

اگر همه جریان‌های رویدادهایی که سیستم را از یک حالت به حالت دیگر منتقل می‌کنند ساده‌ترین باشند، فرآیندی که در سیستم اتفاق می‌افتد یک فرآیند تصادفی مارکوف خواهد بود، یعنی. فرآیند بدون عواقب در این مورد، رفتار سیستم بسیار ساده است، مشخص می شود که آیا شدت تمام این جریان های رویداد ساده مشخص است. به عنوان مثال، اگر یک فرآیند تصادفی مارکوف با زمان پیوسته در سیستم رخ دهد، پس از نوشتن سیستم معادلات کولموگروف برای احتمالات حالت و ادغام این سیستم در شرایط اولیه داده شده، همه احتمالات حالت را به عنوان تابعی از زمان به دست می آوریم:

p i (t)، p 2 (t)،….، p n (t) .

در بسیاری از موارد، در عمل، معلوم می شود که احتمالات حالت ها به عنوان تابعی از زمان به گونه ای عمل می کنند که وجود دارد.

lim p i (t) = p i (i=1,2,…,n) ; t→∞

صرف نظر از نوع شرایط اولیه. در این مورد، آنها می گویند که احتمالات محدود کننده ای از حالت های سیستم در t->∞ وجود دارد و برخی حالت های ثابت محدود کننده در سیستم برقرار می شود. در این حالت، سیستم به طور تصادفی حالات خود را تغییر می‌دهد، اما هر یک از این حالت‌ها با احتمال ثابت مشخصی انجام می‌شوند که با میانگین زمانی که سیستم در هر یک از حالت‌ها می‌گذراند تعیین می‌شود.

اگر تمام مشتقات در سیستم برابر با 0 تنظیم شوند، می توان احتمالات محدود کننده حالت p i را محاسبه کرد، زیرا در معادلات کلموگروف در t-> ∞ وابستگی به زمان از بین می رود. سپس سیستم معادلات دیفرانسیل به یک سیستم معادلات جبری خطی معمولی تبدیل می‌شود که همراه با شرط نرمال‌سازی، محاسبه تمام احتمالات محدود کننده حالت‌ها را ممکن می‌سازد.

2.2 فرآیندهای "تولد - مرگ"

در میان فرآیندهای مارکوف همگن، دسته ای از فرآیندهای تصادفی وجود دارد که به طور گسترده در ساخت و ساز استفاده می شود. مدل های ریاضیدر زمینه های جمعیت شناسی، زیست شناسی، پزشکی (اپیدمیولوژی)، اقتصاد، فعالیت های تجاری. اینها به اصطلاح فرآیندهای "تولد-مرگ" هستند، فرآیندهای مارکوف با نمودارهای حالت تصادفی به شکل زیر:

kjlS n

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

برنج. 2.1 نمودار فرآیند تولد-مرگ با برچسب

این نمودار یک تفسیر بیولوژیکی شناخته شده را بازتولید می کند: مقدار λ k منعکس کننده شدت تولد یک نماینده جدید از یک جمعیت خاص، به عنوان مثال، خرگوش است، و اندازه جمعیت فعلی k است. مقدار μ شدت مرگ (فروش) یک نماینده از این جمعیت است، اگر حجم فعلی جمعیت برابر با k باشد. به طور خاص، جمعیت می تواند نامحدود باشد (تعداد n حالت فرآیند مارکوف نامحدود است، اما قابل شمارش است)، شدت λ می تواند برابر با صفر باشد (جمعیت بدون امکان تولد مجدد)، به عنوان مثال، زمانی که تولید مثل خرگوش می ایستد

برای فرآیند مارکوف "تولد - مرگ"، که توسط نمودار تصادفی نشان داده شده در شکل 1 توضیح داده شده است. 2.1، توزیع نهایی را پیدا می کنیم. با استفاده از قوانین کامپایل معادلات برای یک عدد محدود n از احتمالات محدود کننده حالت سیستم S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, Sn , معادلات مربوطه را برای هر حالت می سازیم:

برای حالت S 0 -λ 0 p 0 =μ 0 p 1 ;

برای حالت S 1 -(λ 1 + μ 0) p 1 = λ 0 p 0 + μ 1 p 2 ، که با در نظر گرفتن معادله قبلی برای حالت S 0، می توان آن را به شکل λ 1 p 1 تبدیل کرد. = μ 1 p 2 .

به همین ترتیب، می‌توان برای حالت‌های باقی‌مانده سیستم S 2 , S 3 ,…, S k ,…, Sn معادلات ایجاد کرد. در نتیجه سیستم معادلات زیر را بدست می آوریم:

با حل این سیستم معادلات می توان عباراتی را به دست آورد که حالت های نهایی سیستم صف را تعیین می کند:

لازم به ذکر است که فرمول های تعیین احتمالات نهایی حالت های p 1 , p 2 , p 3 ,…, p n شامل عبارت هایی هستند که عبارتند از بخشی جدایی ناپذیرمجموع عبارتی که p 0 را تعیین می کند. شمارنده‌های این عبارت‌ها شامل حاصلضرب تمام شدت‌ها در فلش‌های نمودار حالت است که از چپ به راست به حالت در نظر گرفته شده Sk منتهی می‌شود و مخرج‌ها حاصلضرب تمام شدت‌ها هستند که در فلش‌های منتهی به راست به چپ به سمت راست قرار دارند. حالت S k در نظر گرفته می شود، یعنی. μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 , … μ k . در این راستا، ما این مدل ها را به صورت فشرده تر می نویسیم:

k=1,n

2.3 فرمول بندی اقتصادی و ریاضی مسائل صف

درست یا موفق ترین فرمول بندی اقتصادی و ریاضی مسئله تا حد زیادی سودمندی توصیه ها برای بهبود سیستم های صف در فعالیت های تجاری را تعیین می کند.

در این راستا، نظارت دقیق بر روند در سیستم، جستجو و شناسایی پیوندهای قابل توجه، فرموله کردن یک مشکل، برجسته کردن یک هدف، تعیین شاخص ها و برجسته سازی ضروری است. معیارهای اقتصادیارزیابی کار QS. در این مورد، کلی ترین و یکپارچه ترین شاخص می تواند از یک سو هزینه های QS فعالیت تجاری به عنوان یک سیستم خدماتی و از سوی دیگر هزینه های برنامه های کاربردی باشد که ممکن است محتوای فیزیکی متفاوتی داشته باشند.

ک. مارکس در نهایت افزایش کارایی در هر زمینه ای از فعالیت را صرفه جویی در وقت می دانست و این را یکی از مهمترین قوانین اقتصادی می دانست. او نوشت که اقتصاد زمان و همچنین توزیع برنامه ریزی شده زمان کار بین شاخه های مختلف تولید، اولین قانون اقتصادی مبتنی بر تولید جمعی باقی می ماند. این قانون در تمام حوزه های فعالیت اجتماعی متجلی است.

برای کالاها از جمله جریان نقدینگی به حوزه تجاری، معیار کارایی مربوط به زمان و سرعت گردش کالا بوده و شدت جریان نقدینگی به بانک را تعیین می کند. زمان و سرعت گردش، به عنوان شاخص های اقتصادی فعالیت تجاری، اثربخشی استفاده از وجوه سرمایه گذاری شده در موجودی را مشخص می کند. گردش موجودی نشان دهنده میانگین نرخ تحقق متوسط موجودی است. شاخص های گردش کالا و سطوح موجودی با مدل های شناخته شده ارتباط نزدیکی دارند. بنابراین، می توان رابطه این و سایر شاخص های فعالیت تجاری را با ویژگی های زمانی ردیابی و ایجاد کرد.

در نتیجه کارایی یک شرکت یا سازمان تجاری مجموع کل زمان انجام عملیات خدماتی فردی است، در حالی که برای جمعیت، هزینه های زمانی شامل زمان سفر، بازدید از فروشگاه، غذاخوری، کافه، رستوران، انتظار می باشد. برای شروع سرویس، آشنایی با منو، انتخاب محصول، محاسبه و ... مطالعات انجام شده در مورد ساختار زمان صرف شده توسط جمعیت حاکی از آن است که بخش قابل توجهی از آن صرف غیر منطقی می شود. توجه کنید که فعالیت تجاریدر نهایت با هدف ارضای نیازهای انسان. بنابراین، تلاش‌های مدل‌سازی QS باید شامل تجزیه و تحلیل زمان برای هر عملیات سرویس اولیه باشد. با کمک روش های مناسب باید مدل هایی از رابطه شاخص های QS ایجاد کرد. این امر رایج ترین و شناخته شده ترین را ضروری می کند نشانگرهای اقتصادیمانند گردش مالی، سود، هزینه‌های توزیع، سودآوری و موارد دیگر، در مدل‌های اقتصادی و ریاضی با گروهی از شاخص‌های در حال ظهور که توسط ویژگی‌های سیستم‌های خدماتی تعیین می‌شوند و با ویژگی‌های خود تئوری صف معرفی می‌شوند، مرتبط شوند.

به عنوان مثال، ویژگی های نشانگرهای QS با خرابی عبارتند از: زمان انتظار برای برنامه های کاربردی در صف T pt = 0، زیرا طبیعتاً در چنین سیستم هایی وجود یک صف غیرممکن است، پس L pt = 0 و بنابراین، احتمال تشکیل آن P pt = 0. با توجه به تعداد درخواست k، حالت عملکرد سیستم، وضعیت آن تعیین می شود: با k=0 - کانال های بیکار، با 1 n - سرویس و خرابی. شاخص های چنین QS عبارتند از: احتمال انکار سرویس P otk، احتمال سرویس P obs، میانگین توقف کانال t pr، میانگین تعداد n s مشغول و کانال های آزاد n sv، میانگین سرویس t obs، توان عملیاتی مطلق. آ.

برای یک QS با انتظار نامحدود، معمول است که احتمال سرویس دهی یک درخواست P obs = 1 باشد، زیرا طول صف و زمان انتظار برای شروع سرویس محدود نیست، به عنوان مثال. به طور رسمی L och →∞ و T och →∞. حالت های عملیاتی زیر در سیستم ها امکان پذیر است: در k=0، یک کانال سرویس ساده، در 1 وجود دارد n - خدمات و صف. شاخص های چنین کارایی چنین QS عبارتند از میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف L och، میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم k، میانگین زمان اقامت برنامه در سیستم T QS، توان عملیاتی مطلق A.

در QS با انتظار با محدودیت در طول صف، اگر تعداد درخواست ها در سیستم k=0 باشد، یک کانال بیکار وجود دارد، با 1 n + m - خدمات، صف و امتناع در انتظار خدمات. شاخص های عملکرد چنین QS عبارتند از احتمال انکار سرویس P otk - احتمال سرویس P obs، میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف L och، میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم L smo، میانگین زمان اقامت برنامه در سیستم T smo، توان عملیاتی مطلق A.

بنابراین، لیست ویژگی های سیستم های صف را می توان به صورت زیر نشان داد: میانگین زمان خدمات - t obs; میانگین زمان انتظار در صف - T och; میانگین اقامت در SMO - T smo; طول متوسط صف - L och. میانگین تعداد برنامه های کاربردی در CMO - L CMO؛ تعداد کانال های خدمات - n؛ شدت جریان ورودی برنامه ها - λ. شدت خدمات - μ. شدت بار - ρ. ضریب بار - α; توان نسبی - Q; توان عملیاتی مطلق - A; سهم زمان بیکاری در QS - Р 0 ; سهم برنامه های کاربردی سرویس - R obs؛ نسبت درخواست های از دست رفته - P otk، میانگین تعداد کانال های شلوغ - n ثانیه. میانگین تعداد کانال های رایگان - n خیابان؛ ضریب بار کانال - K z; میانگین زمان بیکاری کانال ها - t pr.

لازم به ذکر است که گاهی اوقات کافی است از ده شاخص کلیدی برای شناسایی نقاط ضعف و ارائه توصیه هایی برای بهبود QS استفاده کنید.

این اغلب با حل مسائل یک زنجیره کاری هماهنگ یا مجموعه ای از QS همراه است.

به عنوان مثال، در فعالیت های تجاری، باید شاخص های اقتصادی QS را نیز در نظر گرفت: هزینه های کل - C; هزینه‌های گردش - С io، هزینه‌های مصرف - С ip، هزینه‌های سرویس یک برنامه - С 1، زیان‌های مربوط به خروج یک برنامه - С у1، هزینه‌های عملیاتی کانال - С c، هزینه‌های خرابی کانال - С pr، سرمایه‌گذاری سرمایه - سقف C، کاهش هزینه های سالانه - C pr، هزینه های جاری - C tech، درآمد QS در واحد زمان - D 1

در فرآیند تعیین اهداف، لازم است روابط متقابل شاخص های QS آشکار شود، که با توجه به وابستگی اساسی آنها، می توان آنها را به دو گروه تقسیم کرد: گروه اول مربوط به هزینه های مدیریت C IO است که توسط تعداد کانال های اشغال شده توسط نگهداری کانال ها، هزینه های نگهداری QS، شدت سرویس، میزان بارگذاری کانال ها و کارایی آنها استفاده، توان عملیاتی QS و غیره. گروه دوم شاخص ها توسط هزینه های درخواست های واقعی C و ورود به سرویس تعیین می شود، که جریان ورودی را تشکیل می دهد، اثربخشی سرویس را احساس می کند و با شاخص هایی مانند طول صف، زمان انتظار مرتبط است. سرویس، احتمال انکار سرویس، مدت زمان ماندن برنامه در QS و غیره.

این گروه از شاخص ها متناقض هستند به این معنا که بهبود عملکرد یک گروه، به عنوان مثال، کاهش طول صف یا زمان انتظار در صف با افزایش تعداد کانال های خدمات (پیشخدمت، آشپز، لودر، صندوق دار) همراه است. با بدتر شدن عملکرد گروه، زیرا این امر می تواند منجر به افزایش زمان از کار افتادن کانال های خدمات، هزینه نگهداری آنها و غیره شود. در این راستا، رسمی کردن وظایف سرویس برای ساخت QS به گونه‌ای است که بین شاخص‌های درخواست‌های واقعی و کامل بودن استفاده از قابلیت‌های سیستم، سازش منطقی ایجاد شود. برای این منظور، لازم است یک شاخص کلی و یکپارچه از اثربخشی QS انتخاب شود که به طور همزمان ادعاها و قابلیت های هر دو گروه را در بر می گیرد. به عنوان چنین شاخصی، معیاری برای کارایی اقتصادی می توان انتخاب کرد که هم هزینه های گردش C io و هم هزینه های برنامه های کاربردی C ip را شامل می شود که با حداقل هزینه کل C مقدار بهینه ای خواهد داشت. بر این اساس، هدف تابع مسئله را می توان به صورت زیر نوشت:

С= (С io + С ip) → دقیقه

از آنجایی که هزینه های توزیع شامل هزینه های مربوط به عملکرد QS - C سابق و از کار افتادن کانال های خدمات - C pr است و هزینه های درخواست ها شامل ضررهای مربوط به خروج درخواست های ارائه نشده - C n و با ماندن در صف است. - C pt، سپس تابع هدف را می توان با در نظر گرفتن این شاخص ها به روش زیر بازنویسی کرد:

C \u003d ((C pr n sv + C ex n h) + C och R obs λ (T och + t obs) + C از R otk λ) → دقیقه.

بسته به وظیفه، متغیر، یعنی قابل مدیریت، شاخص ها می توانند عبارتند از: تعداد کانال های خدمات، سازماندهی کانال های خدمات (به صورت موازی، متوالی، به صورت ترکیبی)، نظم صف، اولویت در سرویس برنامه ها، کمک متقابل بین کانال ها. و غیره برخی از شاخص های موجود در کار به صورت مدیریت نشده ظاهر می شوند که معمولاً داده های منبع هستند. به عنوان یک معیار کارایی در تابع هدف، گردش مالی، سود یا درآمد نیز می تواند وجود داشته باشد، به عنوان مثال، سودآوری، سپس مقادیر بهینه شاخص های کنترل شده QS بدیهی است که مانند نسخه قبلی در حال به حداکثر رساندن هستند.

در برخی موارد، باید از گزینه دیگری برای نوشتن تابع هدف استفاده کنید:

C \u003d (C ex n s + C pr (n-n s) + C otk * P otk *λ + C syst * n s ) → دقیقه

به عنوان یک معیار کلی، به عنوان مثال، سطح فرهنگ خدمات مشتری در شرکت ها را می توان انتخاب کرد، سپس تابع هدف را می توان با مدل زیر نشان داد:

K حدود \u003d [(Z pu * K y) + (Z pv * K c) + (Z pd * K d) + (Z pz * K z) + (Z توسط * K 0) + (Z kt * K ct )]*K mp,

جایی که Z pu - اهمیت شاخص پایداری طیف کالاها؛

K y - ضریب ثبات مجموعه کالاها؛

Z pv - اهمیت شاخص معرفی روشهای مترقی فروش کالا.

K در - ضریب معرفی روشهای مترقی فروش کالا.

Zpd - اهمیت نشانگر خدمات اضافی؛

K d - ضریب خدمات اضافی؛

Z pz - اهمیت نشانگر تکمیل خرید؛

K s - ضریب تکمیل خرید؛

3 در - اهمیت شاخص زمان صرف شده برای انتظار در سرویس.

به حدود - نشانگر زمان صرف شده در انتظار خدمات؛

З kt - اهمیت شاخص کیفیت کار تیم؛

K kt - ضریب کیفیت کار تیم؛

K mp - شاخصی از فرهنگ خدمات از نظر مشتریان.

برای تجزیه و تحلیل QS، می توانید معیارهای دیگری را برای ارزیابی اثربخشی QS انتخاب کنید. به عنوان مثال، به عنوان چنین معیاری برای سیستم های دارای خرابی، می توانید احتمال شکست Р ref را انتخاب کنید، که مقدار آن از مقدار از پیش تعیین شده تجاوز نمی کند. به عنوان مثال، نیاز P otk<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

پس از ساخت تابع هدف، تعیین شرایط برای حل مشکل، یافتن محدودیت ها، تنظیم مقادیر اولیه شاخص ها، برجسته کردن شاخص های مدیریت نشده، ساخت یا انتخاب مجموعه ای از مدل های رابطه همه شاخص ها برای تجزیه و تحلیل ضروری است. نوع QS، به منظور در نهایت یافتن مقادیر بهینه شاخص های کنترل شده، به عنوان مثال، تعداد آشپز، پیشخدمت، صندوق دار، لودر، حجم انبارها و غیره.

فصل III . مدل های سیستم های نوبت دهی

3.1 QS تک کاناله با انکار سرویس

اجازه دهید یک QS تک کاناله ساده با انکار سرویس را تحلیل کنیم، که یک جریان پواسون از درخواست‌ها با شدت λ دریافت می‌کند، و سرویس تحت عمل جریان پواسون با شدت μ رخ می‌دهد.

عملکرد یک QS تک کاناله n=1 را می توان به عنوان یک نمودار وضعیت برچسب دار (3.1) نشان داد.

انتقال QS از یک حالت S 0 به حالت دیگر S 1 تحت عمل جریان ورودی درخواست ها با شدت λ رخ می دهد، و انتقال معکوس تحت عمل یک جریان سرویس با شدت μ رخ می دهد.

S 0 - کانال خدمات رایگان است. S 1 - کانال مشغول سرویس است.

برنج. 3.1 نمودار وضعیت برچسب دار QS تک کاناله

اجازه دهید سیستم معادلات دیفرانسیل کولموگروف را برای احتمالات حالت طبق قوانین بالا بنویسیم:

از جایی که معادله دیفرانسیل را برای تعیین احتمال p 0 (t) حالت S 0 بدست می آوریم:

این معادله را می توان در شرایط اولیه با این فرض حل کرد که سیستم در لحظه t=0 در حالت S 0 بود، سپس р 0 (0)=1، р 1 (0)=0.

در این مورد، راه حل معادله دیفرانسیل به شما امکان می دهد تا احتمال آزاد بودن کانال و مشغول نبودن سرویس را تعیین کنید:

سپس به دست آوردن عبارتی برای احتمال تعیین احتمال اشغال بودن کانال دشوار نیست:

احتمال p 0 (t) با زمان و در حد کاهش می یابد زیرا t→∞ به مقدار تمایل دارد

و احتمال p 1 (t) در همان زمان از 0 افزایش می‌یابد و در حد T→∞ به مقدار تمایل دارد

این حدود احتمال را می توان مستقیماً از معادلات کولموگروف تحت شرایط به دست آورد

توابع p 0 (t) و p 1 (t) فرآیند گذرا را در یک QS تک کانالی تعیین می‌کنند و فرآیند تقریب نمایی QS را به حالت حدی آن با مشخصه ثابت زمانی سیستم مورد بررسی توصیف می‌کنند.

با دقت کافی برای تمرین، می توانیم فرض کنیم که فرآیند گذرا در QS در مدت زمانی برابر با 3τ به پایان می رسد.

احتمال p 0 (t) توان عملیاتی نسبی QS را تعیین می‌کند، که نسبت درخواست‌های ارائه‌شده را نسبت به تعداد کل درخواست‌های دریافتی، در واحد زمان تعیین می‌کند.

در واقع، p 0 (t) احتمال این است که درخواستی که در زمان t رسیده برای سرویس پذیرفته شود. در مجموع، درخواست λ به طور متوسط در واحد زمان می آید و λρ 0 درخواست از آنها سرویس می شود.

سپس سهم درخواست های سرویس شده در رابطه با کل جریان درخواست ها توسط مقدار تعیین می شود

در حد t→∞، تقریباً در حال حاضر در t>3τ، مقدار ظرفیت نسبی برابر خواهد بود با

توان عملیاتی مطلق، که تعداد درخواست‌های ارائه‌شده در واحد زمان در حد t∞ را تعیین می‌کند، برابر است با:

بر این اساس، سهم درخواست‌هایی که رد شده‌اند، تحت شرایط محدود یکسان است:

و تعداد کل درخواست های ارائه نشده برابر است با

نمونه هایی از QS تک کاناله با انکار سرویس عبارتند از: میز سفارش در فروشگاه، اتاق کنترل یک شرکت باربری، دفتر انبار، دفتر مدیریت یک شرکت تجاری که ارتباط تلفنی با آن برقرار می شود.

3.2 QS چند کاناله با انکار سرویس

در فعالیت های تجاری، نمونه هایی از CMO های چند کاناله دفاتر شرکت های تجاری با چندین کانال تلفن هستند، یک سرویس مرجع رایگان برای در دسترس بودن ارزان ترین خودروها در فروشگاه های خودرو در مسکو دارای 7 شماره تلفن است و همانطور که می دانید بسیار است. عبور و کمک گرفتن دشوار است.

در نتیجه، فروشگاه های خودرو در حال از دست دادن مشتریان، فرصت برای افزایش تعداد خودروهای فروخته شده و درآمد فروش، گردش مالی، سود هستند.

شرکت های توریستی دارای دو، سه، چهار یا چند کانال مانند Express-Line هستند.

یک QS چند کاناله با انکار سرویس را در شکل 1 در نظر بگیرید. 3.2، که یک جریان پواسون از درخواست ها را با شدت λ دریافت می کند.

اسکی

S n

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

برنج. 3.2. گراف حالت برچسب دار QS چند کاناله با خرابی

جریان سرویس در هر کانال دارای شدت μ است. با توجه به تعداد برنامه‌های QS، حالات آن Sk تعیین می‌شود که به صورت یک نمودار نشان‌دار نشان داده می‌شود:

S 0 - همه کانال ها رایگان هستند k=0،

S 1 - فقط یک کانال اشغال شده است، k=1،

S 2 - فقط دو کانال اشغال شده است، k=2،

کانال های S k – k اشغال شده اند،

S n – همه n کانال اشغال شده اند، k=n.

حالت های یک QS چند کاناله به طور ناگهانی در زمان های تصادفی تغییر می کند. انتقال از یک حالت، به عنوان مثال، S 0 به S 1، تحت تأثیر جریان ورودی درخواست ها با شدت λ رخ می دهد، و برعکس - تحت تأثیر جریان درخواست های سرویس با شدت μ. برای انتقال سیستم از حالت Sk به Sk-1، مهم نیست که کدام یک از کانال ها آزاد شود، بنابراین، جریان رویدادهایی که QS را منتقل می کند دارای شدت kμ است، بنابراین، جریان رویدادها که سیستم را از S n به S منتقل می کند n -1 دارای شدت nμ است. اینگونه است که مسئله کلاسیک ارلنگ به نام مهندس و ریاضیدان دانمارکی که نظریه صف بندی را پایه گذاری کرد، فرموله می شود.

یک فرآیند تصادفی که در یک QS اتفاق می افتد یک مورد خاص از فرآیند "تولد-مرگ" است و توسط یک سیستم معادلات دیفرانسیل ارلنگ توصیف می شود، که به فرد اجازه می دهد تا عباراتی را برای احتمالات محدود کننده وضعیت سیستم مورد بررسی به دست آورد. فرمول های ارلنگ:

با محاسبه تمام احتمالات حالت های QS کانال n با خرابی р 0 , р 1 , р 2 , …,р k ,…, р n , می توانیم ویژگی های سیستم خدمات را پیدا کنیم.

احتمال انکار سرویس با احتمال این که یک درخواست سرویس ورودی تمام n کانال را اشغال کند تعیین می شود، سیستم در حالت S n خواهد بود:

k=n.

در سیستم های دارای خرابی، خرابی و رویدادهای تعمیر و نگهداری یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند، بنابراین

R otk + R obs \u003d 1

بر این اساس، توان نسبی با فرمول تعیین می شود

Q \u003d P obs \u003d 1-R otk \u003d 1-R n

توان عملیاتی مطلق QS را می توان با فرمول تعیین کرد

احتمال سرویس یا نسبت درخواست های سرویس دهی شده، توان عملیاتی نسبی QS را تعیین می کند که می تواند با فرمول دیگری نیز تعیین شود:

از این عبارت، می توان میانگین تعداد برنامه های تحت سرویس را تعیین کرد، یا همان، میانگین تعداد کانال های اشغال شده توسط سرویس را تعیین کرد.

نرخ اشغال کانال با نسبت میانگین تعداد کانال های شلوغ به تعداد کل آنها تعیین می شود.

احتمال مشغول بودن کانال ها با سرویس، که میانگین زمان اشغال t busy و downtime t کانال ها را در نظر می گیرد، به صورت زیر تعیین می شود:

از این عبارت می توانید میانگین زمان بیکاری کانال ها را تعیین کنید

میانگین زمان اقامت برنامه در سیستم در حالت پایدار با فرمول لیتل تعیین می شود.

T cmo \u003d n c / λ.

3.3 مدل سیستم خدمات گردشگری چند فازی

در زندگی واقعی، سیستم خدمات توریستی بسیار پیچیده تر به نظر می رسد، بنابراین ضروری است که بیانیه مشکل را با در نظر گرفتن درخواست ها و نیازهای مشتریان و آژانس های مسافرتی به تفصیل بیان کنیم.

برای افزایش کارایی آژانس مسافرتی، لازم است رفتار یک مشتری بالقوه در کل از ابتدای عملیات تا اتمام آن مدل سازی شود. ساختار اتصال سیستم های صف اصلی در واقع از QS از انواع مختلف تشکیل شده است (شکل 3.3).

جستجوی راه حل انتخاب انتخاب

مرجع

جستجوی شرکت تور

پرداخت پرواز خروج

برنج. 3.3 مدل سیستم خدمات گردشگری چند فازی

مشکل از موقعیت خدمات انبوه گردشگرانی که به تعطیلات می روند، تعیین مکان دقیق استراحت (تور)، متناسب با نیازهای متقاضی، متناسب با سلامتی و توانایی های مالی و ایده های او در مورد بقیه به طور کلی است. در این امر می توان آژانس های مسافرتی را که جستجوی آنها معمولاً از طریق پیام های تبلیغاتی CMO r انجام می شود ، کمک کند ، سپس پس از انتخاب شرکت ، مشاوره از طریق تلفن CMO t دریافت می شود ، پس از یک مکالمه رضایت بخش ، ورود به آژانس مسافرتی و دریافت مشاوره دقیق تر شخصاً با مرجع، سپس پرداخت هزینه تور و دریافت خدمات از شرکت هواپیمایی برای پرواز CMO a و در نهایت خدمات در هتل CMO 0 . توسعه بیشتر توصیه ها برای بهبود کار QS شرکت با تغییر در محتوای حرفه ای مذاکرات با مشتریان از طریق تلفن همراه است. برای انجام این کار، لازم است تجزیه و تحلیل مربوط به جزئیات گفتگوی مرجع با مشتریان عمیق تر شود، زیرا هر مکالمه تلفنی منجر به انعقاد توافق نامه برای خرید کوپن نمی شود. رسمی شدن کار تعمیر و نگهداری نشان دهنده نیاز به تشکیل یک لیست کامل (ضروری و کافی) از ویژگی ها و مقادیر دقیق آنها از موضوع یک معامله تجاری است. سپس این ویژگی‌ها، به عنوان مثال، با روش مقایسه‌های زوجی رتبه‌بندی می‌شوند و بر اساس درجه اهمیتشان در یک گفتگو مرتب می‌شوند، به عنوان مثال: فصل (زمستان)، ماه (ژانویه)، آب و هوا (خشک)، دمای هوا (+) 25 "C)، رطوبت (40%)، موقعیت جغرافیایی (نزدیک به خط استوا)، زمان پرواز (تا 5 ساعت)، انتقال، کشور (مصر)، شهر (هورگادا)، دریا (قرمز)، دمای آب دریا ( +23 درجه سانتی گراد)، رتبه هتل (4 ستاره، تهویه مطبوع کار، ضمانت شامپو در اتاق)، فاصله از دریا (تا 300 متر)، فاصله از مغازه ها (در نزدیکی)، فاصله از دیسکو و سایر منابع سروصدا ( دور، سکوت در هنگام خواب در هتل)، غذا (میز سوئدی - صبحانه، شام، دفعات تغییر منو در هفته)، هتل ها (شاهزاده ها، مارلین-این، کاخ ساعت)، گشت و گذار (قاهره، اقصر، جزایر مرجانی، غواصی) غواصی)، نمایش های سرگرمی، بازی های ورزشی، قیمت تور، نحوه پرداخت، محتوای بیمه، چه چیزی را با خود ببرید، چه چیزی را در محل بخرید، تضمین ها، جریمه ها.

شاخص بسیار مهم دیگری وجود دارد که برای مشتری سودمند است که پیشنهاد می شود به طور مستقل توسط خواننده خورنده ایجاد شود. سپس با استفاده از روش مقایسه زوجی مشخصه های فهرست شده x i می توانید یک ماتریس مقایسه n x p تشکیل دهید که طبق قانون زیر عناصر آن به ترتیب در ردیف ها پر می شوند:

0 اگر مشخصه کمتر معنادار باشد،

و ij = 1، اگر مشخصه معادل باشد،

2 اگر مشخصه غالب باشد.

پس از آن، مقادیر مجموع برآوردها برای هر نشانگر خط S i =∑a ij، وزن هر مشخصه M i = S i /n 2 و بر این اساس، معیار انتگرال تعیین می شود. بر اساس آن می توان آژانس مسافرتی، تور یا هتل را طبق فرمول انتخاب کرد

F = ∑ M i * x i -» حداکثر.

برای حذف خطاهای احتمالی در این روش، به عنوان مثال، یک مقیاس رتبه بندی 5 نقطه ای با درجه بندی ویژگی های B i (x i) بر اساس اصل بدتر (B i = 1 امتیاز) - بهتر (B i = 5) معرفی می شود. نکته ها). به عنوان مثال، هر چه تور گران تر باشد، بدتر، ارزان تر، بهتر است. بر این اساس، تابع هدف شکل متفاوتی خواهد داشت:

F b = ∑ M i * B i * x i -> حداکثر.

بنابراین، بر اساس استفاده از روش‌ها و مدل‌های ریاضی، با استفاده از مزیت‌های رسمی‌سازی، می‌توان بیان مسئله را با دقت و عینی‌تر تدوین کرد و عملکرد QS را در فعالیت‌های تجاری برای دستیابی به اهداف به‌طور چشمگیری بهبود بخشید.

3.4 QS تک کاناله با طول صف محدود

در فعالیت های تجاری، QS با انتظار (صف) بیشتر رایج است.

یک QS تک کاناله ساده با یک صف محدود را در نظر بگیرید که در آن تعداد مکان های صف m مقدار ثابتی است. در نتیجه، برنامه ای که در لحظه ای که تمام مکان های صف اشغال شده می رسد، برای سرویس پذیرفته نمی شود، وارد صف نمی شود و از سیستم خارج می شود.

نمودار این QS در شکل نشان داده شده است. 3.4 و منطبق با نمودار در شکل. 2.1 توصیف فرآیند "تولد-مرگ"، با این تفاوت که در حضور تنها یک کانال.

اس ام

λ λλλ... λ

μ μμμ... μ

برنج. 3.4. نمودار برچسب روند "تولد - مرگ" خدمات، تمام شدت جریان خدمات برابر است.

حالت های QS را می توان به صورت زیر نشان داد:

S 0 - کانال سرویس رایگان است،

S، - کانال سرویس مشغول است، اما هیچ صفی وجود ندارد،

S 2 - کانال سرویس مشغول است، یک درخواست در صف وجود دارد،

S 3 - کانال سرویس مشغول است، دو درخواست در صف وجود دارد،

S m +1 - کانال سرویس مشغول است، تمام m مکان در صف اشغال شده است، هر درخواست بعدی رد می شود.

برای توصیف فرآیند تصادفی QS می توان از قوانین و فرمول های ذکر شده قبلی استفاده کرد. اجازه دهید عباراتی را بنویسیم که احتمالات محدود کننده حالت ها را تعریف می کنند:

p 1 = ρ * ρ o

p 2 \u003d ρ 2 * ρ 0

p k =ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p0 = -1

عبارت p 0 را می توان در این مورد ساده تر نوشت، با استفاده از این واقعیت که مخرج یک پیشروی هندسی نسبت به p است، سپس پس از تبدیل های مناسب به دست می آوریم:

ρ= (1- ρ )

این فرمول برای همه p به غیر از 1 معتبر است، اما اگر p = 1، آنگاه p 0 = 1/(m + 2)، و همه احتمالات دیگر نیز برابر با 1/(m + 2) هستند. اگر m = 0 را فرض کنیم، آنگاه از در نظر گرفتن یک QS تک کاناله با انتظار به QS تک کاناله در نظر گرفته شده با انکار سرویس عبور می کنیم. در واقع، عبارت احتمال حاشیه ای p 0 در حالت m = 0 به شکل زیر است:

p o \u003d μ / (λ + μ)

و در مورد λ = μ مقدار p 0 = 1/2 را دارد.

اجازه دهید ویژگی های اصلی یک QS تک کاناله با انتظار را تعریف کنیم: توان عملیاتی نسبی و مطلق، احتمال خرابی، و همچنین میانگین طول صف و میانگین زمان انتظار برای یک برنامه کاربردی در صف.

اگر درخواست در لحظه ای برسد که QS قبلاً در حالت S m + 1 باشد و بنابراین تمام مکان های صف اشغال شده و یک کانال سرویس می دهد رد می شود.بنابراین احتمال خرابی با احتمال تعیین می شود. ظاهر

ایالات S m +1:

P open \u003d p m +1 \u003d ρ m +1 * p 0

توان عملیاتی نسبی یا نسبت درخواست‌های ارائه‌شده در واحد زمان، توسط عبارت تعیین می‌شود

Q \u003d 1- p otk \u003d 1- ρ m+1 * p 0

پهنای باند مطلق:

میانگین تعداد برنامه‌هایی که در صف قرار می‌گیرند، با انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی k تعیین می‌شود - تعداد برنامه‌هایی که در صف قرار می‌گیرند.

متغیر تصادفی k فقط مقادیر صحیح زیر را می گیرد:

1 - یک برنامه در صف وجود دارد،

2 - دو برنامه در صف وجود دارد

t-همه مکان های صف اشغال شده است

احتمالات این مقادیر با احتمالات حالت مربوطه تعیین می شود که از حالت S 2 شروع می شود. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته k به صورت زیر نشان داده شده است:

ک	1	2	متر
پی	p2	ص 3	p m+1

انتظارات ریاضی از این متغیر تصادفی به صورت زیر است:

L pt = 1* p 2 +2* p 3 +...+ m* p m +1

در حالت کلی، برای p ≠ 1، این مجموع را می توان با استفاده از مدل های پیشرفت هندسی به شکل راحت تر تبدیل کرد:

L och \u003d p 2 * 1- p m * (m-m*p+1)* p0

در حالت خاص در p = 1، هنگامی که همه احتمالات p k برابر هستند، می توانید از عبارت برای مجموع عبارت های سری اعداد استفاده کنید.

1+2+3+ m = متر ( متر +1)

سپس فرمول را بدست می آوریم

L’ och = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p=1).

با اعمال استدلال و تبدیل های مشابه، می توان نشان داد که میانگین زمان انتظار برای سرویس دهی یک درخواست و یک صف با فرمول های لیتل تعیین می شود.

T och \u003d L och / A (در p ≠ 1) و T 1 och \u003d L'och / A (در p \u003d 1).

چنین نتیجه ای، وقتی معلوم می شود که Т och ~ 1/ λ، ممکن است عجیب به نظر برسد: با افزایش شدت جریان درخواست ها، به نظر می رسد که طول صف باید افزایش یابد و میانگین زمان انتظار باید کاهش یابد. با این حال، باید در نظر داشت که اولاً، مقدار L och تابعی از λ و μ است و ثانیاً، QS در نظر گرفته شده دارای طول صف محدودی است که بیش از m کاربرد ندارد.

درخواستی که در زمانی که همه کانال ها مشغول هستند به QS می رسد رد می شود و در نتیجه زمان "انتظار" آن در QS صفر است. این امر در حالت کلی (برای p ≠ 1) منجر به کاهش T och با افزایش λ می شود، زیرا نسبت چنین کاربردهایی با افزایش λ افزایش می یابد.

اگر محدودیت طول صف را کنار بگذاریم، یعنی. تمایل m-> →∞، سپس موارد p< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k = p k * (1 - p)

برای k به اندازه کافی بزرگ، احتمال p k به صفر تمایل دارد. بنابراین، توان نسبی Q = 1 خواهد بود، و توان عملیاتی مطلق برابر با A -λ Q - λ خواهد بود، بنابراین، تمام درخواست های دریافتی سرویس می شوند و میانگین طول صف برابر با:

L och = پ 2 1-p

و میانگین زمان انتظار طبق فرمول لیتل

T och \u003d L och / A

در حد p<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

به عنوان یکی از ویژگی های QS، میانگین زمان T smo از ماندن برنامه در QS، شامل میانگین زمان صرف شده در صف و میانگین زمان سرویس استفاده می شود. این مقدار با فرمول های لیتل محاسبه می شود: اگر طول صف محدود باشد، میانگین تعداد برنامه های موجود در صف برابر است با:

Lcm= متر +1 ;2

T cmo= L smo;برای p ≠ 1

سپس میانگین زمان اقامت درخواست در سیستم نوبت دهی (چه در صف و چه در سرویس) برابر است با:

T cmo= متر +1 برای p ≠1 2μ

3.5 QS تک کاناله با صف نامحدود

به عنوان مثال، در فعالیت های تجاری، یک مدیر بازرگانی یک QS تک کاناله با انتظار نامحدود است، زیرا او، به عنوان یک قاعده، مجبور است به برنامه های کاربردی با ماهیت متفاوت خدمات ارائه کند: اسناد، مکالمات تلفنی، جلسات و مکالمات با زیردستان، نمایندگان بازرسی مالیاتی، پلیس، کارشناسان کالا، بازاریابان، تامین کنندگان محصولات و حل مشکلات در حوزه کالایی و مالی با مسئولیت مالی بالا که با تحقق اجباری درخواست هایی همراه است که گاه بی صبرانه منتظر برآورده شدن خواسته های خود هستند. و خطاهای خدمات نامناسب معمولاً از نظر اقتصادی بسیار ملموس هستند.

در عین حال کالاهایی که برای فروش (خدمات) وارد می شوند، در حالی که در انبار هستند، صف خدمات (فروش) را تشکیل می دهند.

طول صف تعداد اقلامی است که باید فروخته شوند. در این شرایط، فروشندگان به عنوان کانال های ارائه دهنده کالا عمل می کنند. اگر مقدار کالاهای در نظر گرفته شده برای فروش زیاد باشد، در این صورت ما با یک مورد معمولی از QS با انتظار روبرو هستیم.

اجازه دهید ساده‌ترین QS تک کاناله با انتظار سرویس را در نظر بگیریم که یک جریان پواسون از درخواست‌ها با شدت λ و شدت سرویس µ را دریافت می‌کند.

ضمناً درخواست دریافت شده در لحظه ای که کانال مشغول سرویس دهی است در صف قرار دارد و در انتظار سرویس است.

نمودار وضعیت برچسب دار چنین سیستمی در شکل نشان داده شده است. 3.5

تعداد حالت های ممکن آن بی نهایت است:

کانال رایگان است، بدون صف، ;

کانال مشغول سرویس است، صف ندارد، ;

کانال مشغول است، یک درخواست در صف، ;

کانال مشغول است، برنامه در صف است.

مدل‌هایی برای تخمین احتمال حالت‌های یک QS با یک صف نامحدود را می‌توان از فرمول‌های جدا شده برای یک QS با یک صف نامحدود با عبور به حد m→∞ بدست آورد:

برنج. 3.5 نمودار حالات یک QS تک کاناله با صف نامحدود.

لازم به ذکر است که برای یک QS با طول صف محدود در فرمول

یک پیشروی هندسی با جمله اول 1 و مخرج وجود دارد. چنین دنباله ای مجموع بی نهایت عبارت در . این مجموع در صورتی همگرا می شود که پیشروی بی نهایت در حال کاهش در , که عملکرد حالت پایدار QS را تعیین می کند, با در , صف در می تواند در طول زمان به بی نهایت افزایش یابد.

از آنجایی که هیچ محدودیتی در طول صف در QS مورد بررسی وجود ندارد، هر درخواستی را می توان ارائه کرد، بنابراین، به ترتیب توان نسبی و توان عملیاتی مطلق

احتمال قرار گرفتن در صف برنامه های k برابر است با:

;

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف -

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم -

;

میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی در سیستم -

;

میانگین زمان اقامت برنامه با سیستم -

اگر در QS تک کاناله با انتظار، شدت دریافت درخواست ها از شدت سرویس بیشتر باشد، صف به طور مداوم افزایش می یابد. در این راستا، بیشترین علاقه، تجزیه و تحلیل QS پایدار است که در حالت ثابت در .

3.6 QS چند کاناله با طول صف محدود

یک QS چند کاناله را در نظر بگیرید که یک جریان پواسون از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند و شدت سرویس هر کانال است، حداکثر تعداد مکان‌های ممکن در صف با m محدود می‌شود. حالت های گسسته QS با تعداد برنامه هایی که وارد سیستم شده اند تعیین می شود که می توان آنها را ثبت کرد.

همه کانال ها رایگان هستند،

فقط یک کانال اشغال شده است (هر کدام)، ;

فقط دو کانال اشغال شده است (هر کدام)، ;

همه کانال ها مشغول هستند

در حالی که QS در هر یک از این حالت ها است، هیچ صفی وجود ندارد. پس از اشغال تمام کانال‌های سرویس، درخواست‌های بعدی یک صف تشکیل می‌دهند و بدین ترتیب وضعیت بیشتر سیستم را تعیین می‌کنند:

همه کانال ها مشغول هستند و یک برنامه در صف است،

همه کانال ها مشغول هستند و دو برنامه در صف هستند،

همه کانال ها اشغال شده و تمام مکان های صف اشغال شده است،

نمودار حالت های یک QS کانال n با یک صف محدود به m مکان در شکل 3.6

برنج. 3.6 نمودار حالت یک QS کانال n با محدودیت در طول صف m

انتقال QS به حالتی با اعداد بالاتر توسط جریان درخواست‌های دریافتی با شدت تعیین می‌شود، در حالی که، براساس شرایط، این درخواست‌ها توسط کانال‌های یکسان با نرخ جریان سرویس برابر برای هر کانال سرویس می‌شوند. در این حالت، شدت کل جریان سرویس با اتصال کانال های جدید تا چنین حالتی زمانی که تمام n کانال مشغول هستند افزایش می یابد. با ظهور صف، شدت سرویس بیشتر افزایش می یابد، زیرا قبلاً به حداکثر مقدار خود برابر با .

اجازه دهید عباراتی را برای احتمالات محدود کننده حالت ها بنویسیم:

عبارت for را می توان با استفاده از فرمول پیشرفت هندسی برای مجموع عبارت ها با مخرج تبدیل کرد:

تشکیل یک صف زمانی امکان پذیر است که یک درخواست تازه دریافت شده کمتر از نیازهای سیستم را پیدا کند، یعنی. زمانی که الزامات در سیستم وجود خواهد داشت. این رویدادها مستقل هستند بنابراین احتمال اشغال تمام کانال ها برابر است با مجموع احتمالات مربوطه بنابراین احتمال تشکیل صف برابر است با:

احتمال انکار سرویس زمانی اتفاق می‌افتد که همه کانال‌ها و همه مکان‌های صف اشغال شده باشند:

توان نسبی برابر خواهد بود با:

پهنای باند مطلق -

میانگین تعداد کانال های شلوغ -

میانگین تعداد کانال های بیکار -

ضریب اشغال (استفاده) کانال ها -

نسبت بیکاری کانال -

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف ها -

اگر، این فرمول شکل دیگری به خود می گیرد -

میانگین زمان انتظار در یک صف با فرمول های لیتل − داده می شود

میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی در QS، مانند QS تک کاناله، از میانگین زمان انتظار در صف با میانگین زمان سرویس برابر با بیشتر است، زیرا برنامه همیشه تنها توسط یک کانال ارائه می شود:

3.7 QS چند کاناله با صف نامحدود

اجازه دهید یک QS چند کاناله با انتظار و طول صف نامحدود را در نظر بگیریم که جریانی از درخواست‌ها را با شدت دریافت می‌کند و دارای شدت سرویس برای هر کانال است. نمودار وضعیت برچسب گذاری شده در شکل 3.7 نشان داده شده است که دارای تعداد بی نهایت حالت است:

S - همه کانال ها رایگان هستند، k=0;

S - یک کانال اشغال شده است، بقیه آزاد هستند، k=1.

S - دو کانال اشغال شده است، بقیه آزاد هستند، k=2.

S - همه n کانال اشغال شده اند، k=n، هیچ صفی وجود ندارد.

S - تمام n کانال اشغال شده است، یک درخواست در صف است، k=n+1،

S - تمام n کانال اشغال شده اند، درخواست های r در صف قرار دارند، k=n+r،

ما احتمالات حالت ها را از فرمول های یک QS چند کاناله با یک صف محدود هنگام عبور به حد m در m بدست می آوریم. لازم به ذکر است که مجموع پیشرفت هندسی در عبارت p در سطح بار p/n>1 واگرا می شود، صف به طور نامحدود افزایش می یابد و در p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

بدون صف

…

شکل 3.7 نمودار وضعیت نشاندار QS چند کاناله

با صف نامحدود

که برای آن عباراتی را برای احتمالات محدود کننده حالت ها تعریف می کنیم:

از آنجایی که در چنین سیستم هایی امکان انکار سرویس وجود ندارد، ویژگی های توان عملیاتی عبارتند از:

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف -

میانگین زمان انتظار در صف

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در CMO -

احتمال اینکه QS در حالتی باشد که هیچ درخواستی وجود ندارد و هیچ کانالی اشغال نشده است با عبارت تعیین می شود.

این احتمال کسری متوسط از خرابی کانال سرویس را تعیین می کند. احتمال مشغول بودن با سرویس دهی k درخواست است

بر این اساس، می توان احتمال یا نسبت زمانی را که همه کانال ها با سرویس مشغول هستند تعیین کرد.

اگر همه کانال ها قبلاً توسط سرویس اشغال شده باشند، احتمال وضعیت با عبارت تعیین می شود

احتمال قرار گرفتن در صف برابر است با احتمال یافتن همه کانال هایی که قبلاً مشغول سرویس هستند.

میانگین تعداد درخواست ها در صف و انتظار برای سرویس برابر است با:

میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف طبق فرمول لیتل: و در سیستم

میانگین تعداد کانال های اشغال شده توسط سرویس:

میانگین تعداد کانال های رایگان:

نرخ اشغال کانال خدمات:

توجه به این نکته مهم است که این پارامتر میزان هماهنگی جریان ورودی را مشخص می کند، به عنوان مثال، مشتریان در یک فروشگاه با شدت جریان خدمات. فرآیند سرویس در زمانی پایدار خواهد بود که، با این حال، میانگین طول صف و میانگین زمان انتظار مشتریان برای شروع خدمات در سیستم افزایش می‌یابد و بنابراین، QS به‌طور ناپایدار کار می‌کند.

3.8 تجزیه و تحلیل سیستم صف سوپرمارکت

یکی از وظایف مهم فعالیت تجاری سازماندهی منطقی تجارت و فرآیند فناوری خدمات انبوه است، به عنوان مثال، در یک سوپرمارکت. به ویژه، تعیین ظرفیت نقطه نقدی یک شرکت تجاری کار آسانی نیست. شاخص های اقتصادی و سازمانی مانند بار گردش مالی به ازای هر 1 متر مربع فضای خرده فروشی، توان عملیاتی شرکت، زمان صرف شده توسط مشتریان در فروشگاه، و همچنین شاخص های سطح راه حل فن آوری طبقه تجارت: نسبت مناطق مناطق سلف سرویس و گره حل و فصل، ضرایب مناطق نصب و نمایشگاه، از بسیاری جهات توسط توان عملیاتی گره نقدی تعیین می شود. در این مورد، توان عملیاتی دو منطقه (فاز) خدمات: منطقه سلف سرویس و منطقه گره حل و فصل (شکل 4.1).

CMO

شدت جریان ورودی خریداران؛

شدت ورود خریداران منطقه سلف سرویس؛

شدت ورود خریداران به گره تسویه حساب؛

شدت جریان خدمات.

شکل 4.1. مدل CMO دو فازی یک طبقه تجاری سوپرمارکت

عملکرد اصلی گره تسویه، ارائه توان عملیاتی بالای مشتریان در طبقه معاملات و ایجاد خدمات راحت به مشتریان است. عوامل موثر بر توان عملیاتی گره تسویه را می توان به دو گروه تقسیم کرد:

1) عوامل اقتصادی و سازمانی: سیستم مسئولیت در سوپرمارکت. میانگین هزینه و ساختار یک خرید؛

2) ساختار سازمانی نقطه نقدی؛

3) عوامل فنی و فناوری: انواع صندوق‌های نقدی و صندوق‌های نقدی مورد استفاده. فناوری خدمات مشتری مورد استفاده توسط کنترلر-صندوق. انطباق با ظرفیت نقطه نقدی شدت جریان مشتری.

از میان این دسته از عوامل، بیشترین تأثیر را ساختار سازمانی صندوق و انطباق ظرفیت صندوق با شدت جریان مشتری اعمال می کند.

هر دو مرحله از سیستم خدمات را در نظر بگیرید:

1) انتخاب کالا توسط خریداران در منطقه سلف سرویس؛

2) خدمات مشتری در منطقه گره تسویه حساب. جریان ورودی خریداران وارد مرحله سلف سرویس می شود و خریدار به طور مستقل واحدهای کالایی مورد نیاز خود را انتخاب می کند و آنها را در یک خرید واحد تشکیل می دهد. علاوه بر این، زمان این مرحله بستگی به نحوه قرارگیری مناطق کالایی متقابل، نوع جبهه آنها، مدت زمانی که خریدار برای انتخاب یک محصول خاص صرف می کند، ساختار خرید و غیره دارد.

جریان خروجی مشتریان از منطقه سلف سرویس به طور همزمان جریان ورودی به منطقه نقطه نقدی است که به طور متوالی شامل انتظار مشتری در صف و سپس سرویس دهی به او توسط کنترل کننده-صندوق است. گره پرداخت را می توان به عنوان یک سیستم صف با ضرر و یا به عنوان یک سیستم صف با انتظار در نظر گرفت.

با این حال، نه اولین و نه دومین سیستم در نظر گرفته شده، به دلایل زیر امکان توصیف فرآیند خدمات را در پیشخوان یک سوپرمارکت فراهم نمی کند:

در نوع اول، صندوق پولی که ظرفیت آن برای سیستمی با زیان طراحی می شود، هم به سرمایه گذاری های سرمایه ای و هم هزینه های جاری برای نگهداری از کنترل کننده های صندوق نیاز دارد.

در نوع دوم، گره پرداخت، که ظرفیت آن برای یک سیستم با انتظارات طراحی شده است، منجر به اتلاف وقت زیادی برای مشتریان در انتظار خدمات می شود. در عین حال در ساعات اوج بار، منطقه گره شهرک سرریز می شود و صف خریداران به منطقه سلف سرویس سرازیر می شود که شرایط عادی انتخاب کالا توسط سایر خریداران را نقض می کند.

در این راستا، توصیه می شود فاز دوم سرویس را به عنوان سیستمی با صف محدود، حد واسط بین سیستم منتظر و سیستم با تلفات در نظر بگیرید. فرض بر این است که بیش از L نمی تواند همزمان در سیستم باشد، و L=n+m، که n تعداد مشتریانی است که در میزهای نقدی خدمت می کنند، m تعداد مشتریانی است که در صف ایستاده اند، و هر برنامه m+1- سیستم را بدون سرویس رها می کند.

این شرایط از یک طرف امکان محدود کردن مساحت منطقه گره تسویه حساب را با در نظر گرفتن حداکثر طول صف مجاز می دهد و از طرف دیگر محدودیتی را در مدت زمان انتظار مشتریان برای خدمات در پول نقد ایجاد می کند. نقطه، یعنی هزینه مصرف مصرف کننده را در نظر بگیرید.

مشروعیت تنظیم مشکل در این فرم با نظرسنجی از جریان مشتری در سوپرمارکت ها تأیید می شود که نتایج آن در جدول آورده شده است. 4.1، که تجزیه و تحلیل آن رابطه نزدیکی را بین میانگین صف طولانی در نقطه نقدی و تعداد خریدارانی که خرید نکرده‌اند نشان داد.

ساعات کار	روز هفته
	جمعه			شنبه			یکشنبه
	دور زدن،	میزان خریداران بدون خرید		دور زدن،	میزان خریداران بدون خرید		دور زدن،	میزان خریداران بدون خرید
	دور زدن،	مردم	%	دور زدن،	مردم	%	دور زدن،	مردم	%
از 9 تا 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
از 10 تا 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
از 11 تا 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
از 12 تا 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
از 14 تا 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
از 15 تا 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
از 16 تا 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
از 17 تا 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
از 18 تا 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
از 19 تا 20	6	105	7,6	6	77	6
از 20 تا 21	6	58	7	5	39	4,4
جمع	749	6,5	862	6,3	904	4,5

یک ویژگی مهم دیگر در سازماندهی عملکرد واحد صندوق سوپرمارکت وجود دارد که به طور قابل توجهی بر توان عملیاتی آن تأثیر می گذارد: وجود صندوق های سریع (یک یا دو خرید). بررسی ساختار جریان مشتریان در سوپرمارکت ها بر اساس نوع خدمات نقدی نشان می دهد که گردش گردش مالی 12.9 درصد است (جدول 4.2).

روزهای هفته	جریان مشتری			گردش تجاری
روزهای هفته	جمع	با پرداخت سریع	درصد به جریان روزانه	جمع	با پرداخت سریع	درصد گردش مالی روزانه
دوره تابستان
دوشنبه	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
سهشنبه	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
چهار شنبه	10175	2435	24	33945	2047,37	6
پنج شنبه	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
جمعه	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
شنبه	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
یکشنبه	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
دوره زمستانی
دوشنبه	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
سهشنبه	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
چهار شنبه	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
پنج شنبه	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
جمعه	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
شنبه	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
یکشنبه	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

برای ساخت نهایی یک مدل ریاضی از فرآیند خدمات، با در نظر گرفتن عوامل فوق، لازم است توابع توزیع متغیرهای تصادفی و همچنین فرآیندهای تصادفی که جریان های ورودی و خروجی مشتریان را توصیف می کنند، تعیین شوند:

1) عملکرد توزیع زمان خریداران برای انتخاب کالا در منطقه سلف سرویس؛

2) عملکرد توزیع زمان کار کنترلر-صندوق برای میزهای نقدی معمولی و میزهای نقدی سریع.

3) یک فرآیند تصادفی که جریان ورودی مشتریان را در مرحله اول خدمات توصیف می کند.

4) یک فرآیند تصادفی که جریان ورودی به مرحله دوم خدمات را برای میزهای نقدی معمولی و میزهای نقدی سریع توصیف می کند.

در صورتی که جریان ورودی درخواست ها به سیستم صف بندی ساده ترین جریان پواسون باشد و زمان سرویس درخواست ها طبق قانون نمایی توزیع شود، استفاده از مدل ها برای محاسبه ویژگی های یک سیستم صف راحت است.

مطالعه جریان مشتریان در ناحیه گره نقدی نشان داد که می توان جریان پواسون را برای آن اتخاذ کرد.

تابع توزیع زمان خدمات مشتری توسط کنترل کننده های صندوقدار نمایی است؛ چنین فرضی منجر به خطاهای بزرگ نمی شود.

بدون شک تجزیه و تحلیل ویژگی های خدمات رسانی به جریان مشتریان در صندوق سوپرمارکت است که برای سه سیستم محاسبه می شود: با ضرر، با انتظار و نوع مختلط.

محاسبات پارامترهای فرآیند خدمات مشتری در نقطه نقدی برای یک شرکت تجاری با منطقه فروش S=650 بر اساس داده های زیر انجام شد.

تابع هدف را می توان به شکل کلی رابطه (معیار) درآمدهای فروش از ویژگی های QS نوشت:

که در آن - میز نقدی شامل = 7 میز نقدی از نوع معمول و = 2 میز نقدی اکسپرس است.

شدت خدمات مشتری در حوزه میزهای نقدی معمولی - 0.823 نفر در دقیقه؛

شدت بار صندوق‌ها در محدوده صندوق‌های معمولی 6.65 است.

شدت خدمات به مشتریان در منطقه پرداخت سریع - 2.18 نفر در دقیقه؛

شدت جریان ورودی به منطقه میزهای نقدی معمولی - 5.47 نفر در دقیقه

شدت بار صندوق‌های نقدی در منطقه میزهای نقدی سریع 1.63 است.

شدت جریان ورودی به منطقه پرداخت سریع 3.55 نفر در دقیقه است.

برای مدل QS با محدودیت در طول صف مطابق با منطقه طراحی شده گره نقدی، حداکثر تعداد مجاز مشتریانی که در صف یک صندوق نقدی ایستاده اند m = 10 مشتری در نظر گرفته می شود.

لازم به ذکر است که برای به دست آوردن مقادیر مطلق نسبتاً کوچک احتمال از دست دادن برنامه ها و زمان انتظار مشتریان در محل نقدینگی، باید شرایط زیر رعایت شود:

جدول 6.6.3 نتایج ویژگی های کیفی عملکرد QS در ناحیه گره نشست را نشان می دهد.

محاسبات برای شلوغ ترین دوره روز کاری از ساعت 17:00 تا 21:00 انجام شده است. در این مدت است که نتایج بررسی ها نشان داده است که حدود 50 درصد از گردش یک روزه خریداران کاهش می یابد.

از داده های جدول 4.3 نتیجه می شود که اگر برای محاسبه انتخاب شد:

1) مدل با امتناع، سپس 22.6٪ از جریان خریدارانی که توسط میزهای نقدی معمولی ارائه می شوند، و بر این اساس 33.6٪ از جریان خریدارانی که توسط صندوق های سریع السیر خدمات ارائه می دهند، باید بدون خرید خارج شوند.

2) یک مدل با انتظار، پس نباید هیچ گونه ضرری از درخواست ها در گره تسویه وجود داشته باشد.

Tab. 4.3 ویژگی های سیستم نوبت دهی مشتریان در محدوده گره تسویه حساب

نوع پرداخت	تعداد پرداخت ها در گره	نوع CMO	ویژگی های QS
نوع پرداخت	تعداد پرداخت ها در گره	نوع CMO	میانگین تعداد میزهای نقدی شلوغ،	میانگین زمان انتظار برای خدمات،	احتمال از دست دادن برنامه ها،
میزهای نقدی معمولی	7	با شکست ها با انتظار با محدودیت
میزهای نقدی اکسپرس	2	با شکست ها با انتظار با محدودیت

3) مدلی با محدودیت در طول صف، پس از آن تنها 0.12٪ از جریان خریدارانی که توسط میزهای نقدی معمولی ارائه می شود و 1.8٪ از جریان خریدارانی که توسط صندوق های اکسپرس خدمات ارائه می دهند، بدون خرید از طبقه معاملات خارج می شوند. بنابراین، مدل با محدودیت در طول صف، توصیف دقیق و واقع بینانه‌تر فرآیند خدمات رسانی به مشتریان در محدوده نقطه نقدی را ممکن می‌سازد.

قابل توجه است محاسبه مقایسه ای ظرفیت نقطه نقدی، هم با و هم بدون دستگاه های نقدی سریع. روی میز. 4.4 ویژگی های سیستم پرداخت سه اندازه استاندارد سوپرمارکت ها را نشان می دهد که بر اساس مدل های QS با محدودیت در طول صف برای شلوغ ترین مدت روز کاری از 17 تا 21 ساعت محاسبه می شود.

تجزیه و تحلیل داده های این جدول نشان می دهد که عدم در نظر گرفتن عامل "ساختار جریان مشتریان بر اساس نوع خدمات نقدی" در مرحله طراحی فن آوری می تواند منجر به افزایش 22- در ناحیه گره تسویه حساب شود. 33 درصد و از این رو، به ترتیب، به کاهش در زمینه نصب و نمایشگاه تجهیزات تجاری و تکنولوژیکی و انبوه کالا در تالار معاملات کاهش می یابد.

مشکل تعیین ظرفیت یک نقطه نقدی زنجیره ای از ویژگی های مرتبط با یکدیگر است. بنابراین، افزایش ظرفیت آن، زمان انتظار مشتریان برای خدمات را کاهش می دهد، احتمال از دست دادن نیازها و در نتیجه از دست دادن گردش مالی را کاهش می دهد. در کنار این امر، لازم است منطقه سلف سرویس، جلوی تجهیزات تجاری و فناوری و انبوه کالا در تالار معاملات کاهش یابد. در عین حال، هزینه دستمزد صندوقداران و تجهیزات مشاغل اضافی در حال افزایش است. از همین رو

شماره p / p	ویژگی های QS	واحد اندازه گیری	تعیین		شاخص های محاسبه شده بر اساس انواع سوپرمارکت های فروش فضا، مربع متر
					بدون پرداخت سریع						از جمله تسویه حساب سریع
					650		1000		2000		650			1000			2000
											میزهای نقدی معمولی		میزهای نقدی اکسپرس	میزهای نقدی معمولی		میزهای نقدی اکسپرس	میزهای نقدی معمولی		میزهای نقدی اکسپرس
1	تعداد خریداران	مردم	ک		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	شدت جریان ورودی		λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	شدت نگهداری	شخص/دقیقه	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	شدت بار	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	تعداد صندوق	PCS.	n		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	تعداد کل میزهای نقدی گره تسویه حساب	PCS.		∑n		12		17		34		9			14			26

انجام محاسبات بهینه سازی ضروری است. اجازه دهید ویژگی‌های سیستم خدمات را در پیشخوان یک سوپرمارکت 650 متر مربعی، که با استفاده از مدل‌های QS با طول صف محدود برای ظرفیت‌های مختلف پیشخوان آن در جدول 1 محاسبه شده است، در نظر بگیریم. 4.5.

بر اساس تجزیه و تحلیل داده های جدول. 4.5، می‌توان نتیجه گرفت که با افزایش تعداد صندوق‌ها، زمان انتظار خریداران در صف افزایش می‌یابد و پس از یک نقطه مشخص به شدت کاهش می‌یابد. ماهیت تغییر در برنامه زمان انتظار برای مشتریان قابل درک است اگر به طور موازی تغییر احتمال از دست دادن تقاضا را در نظر بگیریم. بدیهی است که وقتی ظرفیت گره POS بیش از حد کوچک باشد، بیش از 85٪ از مشتریان بدون خدمات رها خواهند شد و بقیه مشتریان در مدت زمان بسیار کوتاهی خدمات رسانی خواهند شد. هرچه ظرفیت گره POS بیشتر باشد، احتمال از بین رفتن ادعاها در انتظار سرویس آنها بیشتر می شود، که به این معنی است که زمان انتظار آنها در صف افزایش می یابد. پس از انتظارات و احتمال ضرر و زیان به شدت کاهش می یابد.

برای یک فروشگاه خرده فروشی 650، این محدودیت برای منطقه صندوق دار معمولی بین 6 تا 7 صندوق است. با 7 صندوق، به ترتیب، میانگین زمان انتظار 2.66 دقیقه است و احتمال از دست دادن برنامه ها بسیار کم است - 0.1٪. بنابراین، که به شما امکان می دهد حداقل هزینه کل خدمات انبوه مشتری را دریافت کنید.

نوع خدمات نقدی	تعداد صندوق در گره n، عدد.	ویژگی های سیستم خدمات		میانگین درآمد برای 1 ساعت روبل.	میانگین از دست دادن درآمد برای 1 ساعت روبل	تعداد خریداران در منطقه گره شهرک	مساحت ناحیه گره استقرار، سی، متر	وزن مخصوص ناحیه گره زون 650/ Sy
نوع خدمات نقدی	تعداد صندوق در گره n، عدد.	میانگین زمان انتظار، T، min	احتمال از دست دادن برنامه ها	میانگین درآمد برای 1 ساعت روبل.	میانگین از دست دادن درآمد برای 1 ساعت روبل	تعداد خریداران در منطقه گره شهرک	مساحت ناحیه گره استقرار، سی، متر	وزن مخصوص ناحیه گره زون 650/ Sy
مناطق میزهای نقدی معمولی
مناطق پرداخت سریع

نتیجه

بر اساس تجزیه و تحلیل داده های جدول. 4.5 می توان نتیجه گرفت که با افزایش تعداد صندوق ها، زمان انتظار برای خریداران در صف افزایش می یابد. و سپس پس از یک نقطه خاص به شدت کاهش می یابد. ماهیت تغییر در برنامه زمان انتظار برای مشتریان قابل درک است اگر به طور موازی تغییر در احتمال از دست دادن مطالبات را در نظر بگیریم. بدیهی است که وقتی ظرفیت گره نقدی بیش از حد کوچک باشد، بیش از 85٪ از مشتریان بدون خدمات رها خواهند شد و بقیه مشتریان در مدت زمان بسیار کوتاهی خدمات رسانی خواهند شد. هر چه قدرت گره نقدی بیشتر باشد. بنابراین، احتمال از دست دادن نیازمندی ها کاهش می یابد و بر این اساس، تعداد خریداران بیشتر برای خدمات خود منتظر می مانند، که به این معنی است که زمان انتظار آنها در صف افزایش می یابد. پس از اینکه گره تسویه از توان بهینه فراتر رفت، زمان انتظار و احتمال تلفات به شدت کاهش می یابد.

برای یک سوپرمارکت با مساحت فروش 650 متر مربع. متر، این حد برای منطقه صندوق های نقدی معمولی بین 6-8 صندوق است. با 7 صندوق، به ترتیب، میانگین زمان انتظار 2.66 دقیقه است و احتمال از دست دادن برنامه ها بسیار کم است - 0.1٪. بنابراین ، وظیفه انتخاب چنین ظرفیتی از نقطه نقدی است که به شما امکان می دهد حداقل هزینه کل خدمات انبوه مشتری را دریافت کنید.

در این راستا قدم بعدی در حل مشکل بهینه سازی ظرفیت نقطه نقدی بر اساس استفاده از انواع مدل های QS با در نظر گرفتن مجموع هزینه ها و عوامل ذکر شده در بالا می باشد.

دسته بزرگی از سیستم‌ها که مطالعه تحلیلی آنها دشوار است، اما با روش‌های مدل‌سازی آماری به خوبی مورد مطالعه قرار می‌گیرند، به سیستم‌های صف (QS) کاهش می‌یابند.

SMO نشان می دهد که وجود دارد مسیرهای نمونه(کانال های خدمات) که از طریق آن برنامه های کاربردی. مرسوم است که می گویند برنامه های کاربردی خدمت کرده استکانال ها کانال ها می توانند از نظر هدف، ویژگی ها متفاوت باشند، آنها را می توان در ترکیب های مختلف ترکیب کرد. برنامه ها می توانند در صف باشند و منتظر سرویس باشند. بخشی از برنامه ها می توانند توسط کانال ها ارائه شوند و برخی ممکن است از انجام این کار خودداری کنند. مهم است که برنامه ها، از نقطه نظر سیستم، انتزاعی باشند: این چیزی است که می خواهد به آن سرویس داده شود، یعنی مسیر خاصی را در سیستم طی کند. کانال ها نیز یک انتزاع هستند: آنها چیزی هستند که به درخواست ها خدمت می کنند.

برنامه ها ممکن است به طور ناموزون ارائه شوند، کانال ها می توانند برنامه های مختلف را در زمان های مختلف ارائه دهند، و غیره، تعداد برنامه ها همیشه بسیار زیاد است. همه اینها مطالعه و مدیریت چنین سیستم هایی را دشوار می کند و نمی توان همه روابط علت و معلولی را در آنها ردیابی کرد. بنابراین، این تصور که تعمیر و نگهداری در سیستم های پیچیده تصادفی است پذیرفته شده است.

نمونه هایی از QS (به جدول 30.1 مراجعه کنید) عبارتند از: مسیر اتوبوس و حمل و نقل مسافر. نوار نقاله تولید برای پردازش قطعات؛ اسکادران هواپیما در حال پرواز به خاک خارجی که توسط اسلحه های ضد هوایی دفاع هوایی "خدمت" می شود. لوله و بوق مسلسل که به کارتریج ها "خدمت" می کند. بارهای الکتریکی در حال حرکت در برخی دستگاه ها و غیره

جدول 30.1.
نمونه هایی از سیستم های نوبت دهی

CMO	برنامه های کاربردی	کانال ها
مسیر اتوبوس و حمل و نقل مسافران	مسافران	اتوبوس ها
نوار نقاله تولید برای پردازش قطعات	جزئیات، گره ها	ماشین آلات، انبارها
یک اسکادران از هواپیماها در حال پرواز به خاک خارجی، که توسط توپ های ضد هوایی پدافند هوایی "خدمت" می شود	هواپیما	ضد هوایی، رادار، فلش، پرتابه
لوله و بوق مسلسل که کارتریج ها را "خدمت" می کند	مهمات	بشکه، شاخ
بارهای الکتریکی در برخی از دستگاه ها حرکت می کنند	اتهامات	آبشارهای فنی دستگاه ها

اما همه این سیستم ها در یک کلاس QS ترکیب می شوند، زیرا رویکرد مطالعه آنها یکسان است. این شامل این واقعیت است که اولاً با کمک یک تولید کننده اعداد تصادفی ، اعداد تصادفی پخش می شوند که از لحظات تصادفی ظاهر برنامه ها و زمان سرویس آنها در کانال ها تقلید می کنند. اما در مجموع، این اعداد تصادفی، البته، مشمول این هستند آماریالگوها

به عنوان مثال، فرض کنید: "برنامه ها به طور متوسط به مقدار 5 قطعه در ساعت وارد می شوند." این بدان معنی است که زمان بین ورود دو ادعای همسایه تصادفی است، به عنوان مثال: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 30.1 ، اما در مجموع آنها میانگین 1 را می دهند (توجه داشته باشید که در مثال این دقیقاً 1 نیست، بلکه 1.1 است - اما در یک ساعت دیگر این مجموع مثلاً می تواند برابر با 0.9 باشد). اما تنها برای مدت زمان کافی طولانیمیانگین این اعداد نزدیک به یک ساعت خواهد شد.

نتیجه (به عنوان مثال، توان عملیاتی سیستم)، البته، همچنین یک متغیر تصادفی در بازه های زمانی جداگانه خواهد بود. اما با اندازه گیری در یک دوره زمانی طولانی، این مقدار به طور متوسط با راه حل دقیق مطابقت دارد. یعنی برای مشخص کردن QS، آنها به پاسخ ها به معنای آماری علاقه مند هستند.

بنابراین، سیستم با سیگنال‌های ورودی تصادفی تحت یک قانون آماری معین آزمایش می‌شود و در نتیجه، شاخص‌های آماری در طول زمان در نظر گرفتن یا تعداد آزمایش‌ها به‌طور میانگین گرفته می‌شوند. پیش از این، در سخنرانی 21 (به شکل 21.1 مراجعه کنید)، ما قبلاً طرحی را برای چنین آزمایش آماری ایجاد کرده ایم (شکل 30.2 را ببینید).

برنج. 30.2. طرح یک آزمایش آماری برای مطالعه سیستم های صف

ثانیا، تمام مدل‌های QS به روشی معمولی از مجموعه کوچکی از عناصر (کانال، منبع درخواست، صف، درخواست، نظم خدمات، پشته، حلقه و غیره) مونتاژ می‌شوند که به شما امکان می‌دهد این وظایف را شبیه‌سازی کنید. معمولمسیر. برای انجام این کار، مدل سیستم از سازنده چنین عناصری مونتاژ می شود. مهم نیست که چه سیستم خاصی در حال مطالعه است، مهم این است که نمودار سیستم از همان عناصر مونتاژ شده باشد. البته ساختار مدار همیشه متفاوت خواهد بود.

اجازه دهید برخی از مفاهیم اساسی QS را فهرست کنیم.

کانال ها چیزی هستند که در خدمت هستند. گرم (در لحظه ورود درخواست شروع به سرویس دهی می کنند) و سرد (کانال برای آماده شدن برای شروع سرویس به زمان نیاز دارد). منابع کاربردی- بر اساس قانون آماری مشخص شده توسط کاربر، برنامه ها را در زمان های تصادفی تولید کنید. برنامه‌ها، آنها نیز مشتری هستند، وارد سیستم می‌شوند (تولید شده توسط منابع برنامه‌ها)، از عناصر آن عبور می‌کنند (خدمت‌شده)، سرویس‌دهی شده یا ناراضی را ترک می‌کنند. وجود دارد برنامه های بی حوصله- کسانی که از انتظار یا بودن در سیستم خسته شده اند و به میل خود CMO را ترک می کنند. برنامه ها جریان ها را تشکیل می دهند - جریان برنامه ها در ورودی سیستم، جریان درخواست های ارائه شده، جریان درخواست های رد شده. جریان با تعداد کاربردهای نوع خاصی مشخص می شود که در مکانی از QS در واحد زمان (ساعت، روز، ماه) مشاهده می شود، یعنی جریان یک مقدار آماری است.

صف ها با قوانین صف (انضباط خدمات)، تعداد مکان های موجود در صف (حداکثر چند مشتری می توانند در صف باشند)، ساختار صف (ارتباط بین مکان های موجود در صف) مشخص می شوند. صف های محدود و نامحدود وجود دارد. بیایید مهم ترین رشته های خدماتی را فهرست کنیم. FIFO (First In, First Out - first in, first out): اگر برنامه اولین نفری باشد که وارد صف می شود، اولین نفری خواهد بود که برای سرویس می رود. LIFO (آخرین ورود، اولین خروج - آخرین ورود، اولین خروج): اگر برنامه آخرین مورد در صف بود، اولین کسی است که برای سرویس می رود (به عنوان مثال - کارتریج در بوق دستگاه). SF (Short Forward - short Forward): برنامه هایی از صف که کمترین زمان سرویس را دارند ابتدا ارائه می شوند.

بیایید یک مثال قابل توجه ارائه دهیم که نشان می دهد چگونه انتخاب صحیح یک یا آن رشته خدمات به شما امکان می دهد در زمان صرفه جویی ملموس داشته باشید.

بگذار دو تا مغازه باشد. در فروشگاه شماره 1، خدمات بر اساس اولویت اول انجام می شود، یعنی نظم و انضباط خدمات FIFO در اینجا اجرا می شود (شکل 30.3 را ببینید).

برنج. 30.3. صف بندی توسط رشته FIFO

زمان سرویس تیسرویس در شکل 30.3 نشان می دهد که فروشنده چقدر زمان صرف خدمات رسانی به یک خریدار می کند. واضح است که هنگام خرید کالاهای تکه‌ای، فروشنده زمان کمتری را برای خدمات صرف می‌کند تا زمانی که مثلاً محصولات فله‌ای را خریداری می‌کند که نیاز به دستکاری‌های اضافی دارند (برداشتن، وزن کردن، محاسبه قیمت و غیره). زمان انتظار تیانتظار می رود نشان می دهد، پس از چه ساعتی به خریدار بعدی توسط فروشنده خدمات ارائه می شود.

فروشگاه شماره 2 نظم و انضباط SF را اجرا می کند (شکل 30.4 را ببینید)، به این معنی که کالاهای قطعه را می توان خارج از نوبت، از زمان سرویس خریداری کرد. تیسرویس چنین خریدی کوچک است.

برنج. 30.4. صف بندی توسط رشته SF

همانطور که از هر دو شکل مشخص است، آخرین خریدار (پنجم) قصد خرید یک کالا را دارد، بنابراین زمان سرویس آن کم است - 0.5 دقیقه. اگر این مشتری به فروشگاه شماره 1 بیاید مجبور می شود 8 دقیقه کامل در صف بایستد در حالی که در فروشگاه شماره 2 بلافاصله و خارج از نوبت به او سرویس داده می شود. بدین ترتیب میانگین زمان سرویس دهی هر یک از مشتریان در فروشگاهی با رشته خدمات FIFO 4 دقیقه و در فروشگاهی با رشته خدمات FIFO تنها 2.8 دقیقه خواهد بود. و نفع عمومی، صرفه جویی در زمان خواهد بود: (1 - 2.8/4) 100٪ = 30 درصد!بنابراین، 30٪ از زمان برای جامعه صرفه جویی می شود - و این فقط به دلیل انتخاب صحیح رشته خدمات است.

متخصص سیستم ها باید درک خوبی از منابع عملکرد و کارایی سیستم هایی که طراحی می کند، پنهان در بهینه سازی پارامترها، سازه ها و رشته های نگهداری داشته باشد. مدل سازی به آشکار شدن این ذخایر پنهان کمک می کند.

هنگام تجزیه و تحلیل نتایج شبیه سازی، نشان دادن علایق و درجه اجرای آنها نیز مهم است. بین منافع مشتری و منافع صاحب سیستم تمایز قائل شوید. توجه داشته باشید که این علایق همیشه با هم منطبق نیستند.

شما می توانید نتایج کار CMO را با شاخص ها قضاوت کنید. محبوب ترین آنها:

احتمال خدمات مشتری توسط سیستم؛
توان عملیاتی سیستم؛
احتمال انکار خدمات به مشتری؛
احتمال اشغال هر کانال و همه با هم.
میانگین زمان شلوغی هر کانال؛
احتمال اشغال تمام کانال ها؛
میانگین تعداد کانال های شلوغ؛
احتمال خرابی هر کانال؛
احتمال خرابی کل سیستم؛
میانگین تعداد برنامه های موجود در صف؛
میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف.
میانگین زمان سرویس برنامه؛
میانگین زمان صرف شده توسط برنامه در سیستم.

قضاوت در مورد کیفیت سیستم حاصل از مجموع مقادیر شاخص ها ضروری است. هنگام تجزیه و تحلیل نتایج شبیه سازی (شاخص ها)، توجه به آن نیز مهم است در مورد منافع مشتری و منافع مالک سیستم، یعنی لازم است یک یا یک شاخص دیگر و همچنین میزان اجرای آنها به حداقل یا حداکثر برسد. توجه داشته باشید که اغلب منافع مشتری و مالک با یکدیگر منطبق نیستند یا همیشه منطبق نیستند. شاخص ها بیشتر نشان داده می شوند اچ = {ساعت 1 , ساعت 2، …).

پارامترهای QS می توانند عبارتند از: شدت جریان برنامه ها، شدت جریان سرویس، میانگین زمانی که برنامه در طول آن آماده است تا در صف منتظر سرویس بماند، تعداد کانال های سرویس، نظم و انضباط خدمات و ... به زودی. پارامترها هستند که بر عملکرد سیستم تاثیر می گذارند. پارامترها در زیر نشان داده می شوند آر = {r 1 , r 2، …).

مثال. پمپ بنزین (پمپ بنزین).

1. بیان مسئله. روی انجیر 30.5 طرح پمپ بنزین را نشان می دهد. بیایید روش مدل سازی QS را بر روی نمونه آن و طرح تحقیق آن در نظر بگیریم. رانندگانی که از کنار پمپ بنزین در جاده عبور می کنند ممکن است بخواهند خودروی خود را پر کنند. همه رانندگان پشت سر هم نمی خواهند سرویس شوند (ماشین را با بنزین سوخت دهید). فرض کنید از کل تردد خودروها، به طور متوسط 5 خودرو در ساعت به پمپ بنزین می آیند.

برنج. 30.5. پلان پمپ بنزین شبیه سازی شده

دو دستگاه پخش کننده یکسان در پمپ بنزین وجود دارد که عملکرد آماری هر کدام مشخص است. ستون اول به طور متوسط 1 ماشین در ساعت سرویس می دهد، ستون دوم به طور متوسط 3 ماشین در ساعت. صاحب پمپ بنزین مکانی را برای ماشین ها آسفالت کرد که می توانند منتظر سرویس باشند. اگر ستون ها اشغال شده باشند، دیگر ماشین ها می توانند در این مکان منتظر سرویس بمانند، اما نه بیشتر از دو در یک زمان. صف عمومی در نظر گرفته خواهد شد. به محض آزاد شدن یکی از ستون ها، اولین ماشین از صف می تواند جای خود را روی ستون بگیرد (در این صورت ماشین دوم به جایگاه اول صف می رسد). اگر ماشین سومی ظاهر شود و تمام مکان‌ها (دو تای آنها) در صف اشغال شده باشد، از سرویس دهی منع می‌شود، زیرا ایستادن در جاده ممنوع است (به علائم جاده نزدیک پمپ بنزین مراجعه کنید). چنین خودرویی برای همیشه سیستم را ترک می کند و به عنوان یک مشتری بالقوه برای صاحب پمپ بنزین گم می شود. شما می توانید با در نظر گرفتن صندوق نقدی (یک کانال خدمات دیگر، جایی که باید پس از خدمت در یکی از ستون ها به آنجا بروید) و صف به آن و غیره کار را پیچیده کنید. اما در ساده‌ترین نسخه، بدیهی است که مسیرهای جریان برنامه‌ها از طریق QS را می‌توان به صورت نموداری معادل ترسیم کرد و با افزودن مقادیر و نام‌گذاری ویژگی‌های هر عنصر QS، در نهایت نمودار را به دست می‌آوریم. در شکل نشان داده شده است. 30.6.

برنج. 30.6. مدار معادل شی شبیه سازی

2. روش تحقیق QS. بیایید اصل را در مثال خود اعمال کنیم ارسال متوالی برنامه ها(برای جزئیات بیشتر در مورد اصول مدل سازی، به سخنرانی 32 مراجعه کنید). ایده او این است که برنامه از ورود تا خروج از طریق کل سیستم انجام می شود و تنها پس از آن شروع به مدل سازی برنامه بعدی می کنند.

برای وضوح، ما یک نمودار زمان‌بندی از عملیات QS می‌سازیم که بر روی هر خط‌کش (محور زمان) منعکس می‌شود. تی) وضعیت یک عنصر منفرد از سیستم. به تعداد مکان های مختلف در جریان QS، جدول زمانی وجود دارد. در مثال ما، 7 مورد از آنها وجود دارد (جریان درخواست ها، جریان انتظار در وهله اول در صف، جریان انتظار در مکان دوم در صف، جریان خدمات در کانال 1، جریان خدمات در کانال 2، جریان درخواست های ارائه شده توسط سیستم، جریان درخواست های رد شده).

برای تولید زمان رسیدن درخواست‌ها، از فرمول محاسبه فاصله بین لحظه‌های رسیدن دو رویداد تصادفی استفاده می‌کنیم (به سخنرانی 28 مراجعه کنید):

در این فرمول مقدار جریان λ باید مشخص شود (قبل از آن باید به صورت آزمایشی روی شی به عنوان میانگین آماری تعیین شود) r- یک عدد تصادفی توزیع شده یکنواخت از 0 تا 1 از RNG یا جدولی که در آن اعداد تصادفی باید در یک ردیف (بدون انتخاب خاص) گرفته شوند.

یک وظیفه . جریانی از 10 رویداد تصادفی با نرخ رویداد 5 رویداد در ساعت ایجاد کنید.

راه حل مشکل. بیایید اعداد تصادفی را که به طور یکنواخت در محدوده 0 تا 1 توزیع شده اند (جدول را ببینید) و لگاریتم طبیعی آنها را محاسبه کنیم (جدول 30.2 را ببینید).

فرمول جریان پواسون تعریف می کند فاصله بین دو رویداد تصادفیبه روش زیر: تی= –Ln(r рр)/ λ . سپس با توجه به آن λ = 5، ما فاصله بین دو رویداد تصادفی همسایه را داریم: 0.68، 0.21، 0.31، 0.12 ساعت. یعنی رویدادها رخ می دهند: اولی - در نقطه ای از زمان تی= 0، دوم - در آن زمان تی= 0.68، سوم - در آن زمان تی= 0.89، چهارم - در آن زمان تی= 1.20، پنجم در لحظه زمان است تی= 1.32 و غیره. رویدادها - ورود برنامه ها در خط اول منعکس می شود (شکل 30.7 را ببینید).

برنج. 30.7. نمودار زمان بندی عملیات QS

درخواست اول گرفته می شود و از آنجایی که کانال ها در این لحظه رایگان هستند، برای سرویس دهی در کانال اول تنظیم می شود. برنامه 1 به خط "1 کانال" منتقل می شود.

زمان سرویس در کانال نیز تصادفی است و با استفاده از فرمول مشابه محاسبه می شود:

که در آن نقش شدت با بزرگی جریان سرویس ایفا می شود μ 1 یا μ 2، بسته به اینکه کدام کانال درخواست را ارائه می دهد. لحظه پایان سرویس را در نمودار پیدا می کنیم، زمان سرویس ایجاد شده را از لحظه شروع سرویس به تعویق می اندازیم و درخواست را به خط "Served" کاهش می دهیم.

برنامه تمام مسیر را از طریق CMO طی کرد. اکنون می توان با توجه به اصل ارسال ترتیبی سفارش ها، مسیر مرتبه دوم را نیز شبیه سازی کرد.

اگر در نقطه ای مشخص شد که هر دو کانال مشغول هستند، درخواست باید در صف قرار گیرد. روی انجیر 30.7 درخواست با شماره 3 است. توجه داشته باشید که با توجه به شرایط وظیفه، در صف، بر خلاف کانال ها، درخواست ها به صورت تصادفی نیستند، بلکه منتظر آزاد شدن یکی از کانال ها هستند. پس از انتشار کانال، درخواست به خط کانال مربوطه منتقل می شود و سرویس دهی آن در آنجا سازماندهی می شود.

اگر تمام مکان های صف در لحظه ورود برنامه بعدی اشغال شده باشد، برنامه باید به خط "رد شده" ارسال شود. روی انجیر 30.7 پیشنهاد شماره 6 است.

روال شبیه سازی سرویس درخواست ها برای مدتی مشاهده ادامه دارد تی n هر چه این زمان طولانی تر باشد، نتایج شبیه سازی در آینده دقیق تر خواهد بود. در واقع، برای سیستم های ساده را انتخاب کنید تی n برابر با 50-100 ساعت یا بیشتر است، اگرچه گاهی اوقات بهتر است این مقدار با تعداد برنامه های در نظر گرفته شده اندازه گیری شود.

تجزیه و تحلیل زمان بندی

تجزیه و تحلیل بر روی مثالی که قبلاً در نظر گرفته شده است انجام می شود.

ابتدا باید منتظر وضعیت ثابت باشید. ما چهار برنامه اول را به عنوان نامشخص، که در طول فرآیند ایجاد عملیات سیستم رخ داده اند، رد می کنیم. ما زمان مشاهده را اندازه می گیریم، بیایید بگوییم که در مثال ما خواهد بود تی h = 5 ساعت ما تعداد درخواست های سرویس شده را از نمودار محاسبه می کنیم ن obs. ، زمان های بیکاری و سایر مقادیر. در نتیجه، می توانیم شاخص هایی را محاسبه کنیم که کیفیت QS را مشخص می کند.

احتمال خدمات: پ obs. = ن obs. / ن = 5/7 = 0.714 . برای محاسبه احتمال سرویس دهی به یک اپلیکیشن در سیستم، کافی است تعداد اپلیکیشن هایی را که در طول زمان سرویس دهی شده اند تقسیم کنیم. تی n (به خط "خدمات شده" مراجعه کنید) ن obs. ، برای تعداد برنامه ها نکه می خواستند در همان زمان خدمت شوند. مانند قبل، احتمال به صورت تجربی با نسبت رویدادهای تکمیل شده به تعداد کل رویدادهایی که می توانست رخ دهد تعیین می شود!
توان عملیاتی سیستم: آ = ن obs. / تی n = 7/5 = 1.4 [pc/hour]. برای محاسبه توان عملیاتی سیستم کافی است تعداد درخواست های سرویس شده را تقسیم کنید ن obs. در حالی که برای تی n ، که این سرویس برای آن انجام شد (به خط "Served" مراجعه کنید).
احتمال شکست: پباز کن = نباز کن / ن = 3/7 = 0.43 . برای محاسبه احتمال رد سرویس به یک درخواست، تقسیم تعداد درخواست ها کافی است. نباز کن که برای مدتی محروم شدند تی n (به خط "رد شده" مراجعه کنید)، بر اساس تعداد برنامه ها نکه می خواستند در همان مدت خدمت کنند، یعنی وارد سیستم شدند. توجه داشته باشید. پباز کن + پ obs.در تئوری باید برابر با 1 باشد. در واقع، به طور تجربی معلوم شد که پباز کن + پ obs. = 0.714 + 0.43 = 1.144. این عدم دقت با این واقعیت توضیح داده می شود که زمان مشاهده تی n کوچک است و آمار انباشته شده برای به دست آوردن پاسخ دقیق کافی نیست. خطای این شاخص اکنون 14 درصد است!
احتمال مشغول بودن یک کانال: پ 1 = تیزن / تی n = 0.05/5 = 0.01، جایی که تیزن - زمان اشغال تنها یک کانال (اول یا دوم). اندازه‌گیری‌ها تابع بازه‌های زمانی هستند که در آن رویدادهای خاصی رخ می‌دهند. به عنوان مثال، در نمودار، چنین بخش هایی جستجو می شوند که در طی آن کانال اول یا دوم اشغال می شود. در این مثال، یکی از این بخش ها در انتهای نمودار با طول 0.05 ساعت وجود دارد. سهم این بخش در کل زمان بررسی ( تی n = 5 ساعت) با تقسیم تعیین می شود و احتمال اشتغال مورد نظر است.
احتمال اشغال دو کانال: پ 2 = تیزن / تی n = 4.95/5 = 0.99. در نمودار، چنین بخش هایی جستجو می شوند که در طی آن هر دو کانال اول و دوم به طور همزمان اشغال می شوند. در این مثال، چهار بخش از این قبیل وجود دارد که مجموع آنها 4.95 ساعت است. سهم مدت این رویدادها در کل زمان بررسی ( تی n = 5 ساعت) با تقسیم تعیین می شود و احتمال اشتغال مورد نظر است.
میانگین تعداد کانال های شلوغ: ن sk = 0 پ 0 + 1 پ 1 + 2 پ 2 = 0.01 + 2 0.99 = 1.99. برای محاسبه میانگین اشغال چند کانال در سیستم کافی است سهم (احتمال اشغال یک کانال) را بدانید و در وزن این سهم (یک کانال) ضرب کنید، سهم (احتمال اشغال دو کانال) را بدانید. کانال ها) و در وزن این سهم (دو کانال) و غیره ضرب کنید. رقم 1.99 به دست آمده نشان می دهد که از بین دو کانال ممکن، 1.99 کانال به طور متوسط بارگذاری می شوند. این میزان استفاده بالا است، 99.5٪، سیستم به خوبی از منبع استفاده می کند.
احتمال خرابی حداقل یک کانال: پ * 1 = تیخرابی 1 / تی n = 0.05/5 = 0.01.
احتمال خرابی دو کانال همزمان: پ * 2 = تیبیکار2 / تی n = 0.
احتمال خرابی کل سیستم: پ*c= تیخرابی / تی n = 0.
میانگین تعداد برنامه های موجود در صف: ن sz = 0 پ 0z + 1 پ 1z + 2 پ 2z = 0.34 + 2 0.64 = 1.62 [عدد]. برای تعیین میانگین تعداد برنامه ها در صف، لازم است به طور جداگانه احتمال وجود یک برنامه در صف تعیین شود. پ 1h، احتمال اینکه دو برنامه در صف وجود داشته باشد پ 2h و ... را دوباره با وزنه های مناسب اضافه کنید.
احتمال اینکه یک مشتری در صف باشد: پ 1z = تی 1z / تی n = 1.7/5 = 0.34(چهار بخش از این قبیل در نمودار وجود دارد که مجموعاً 1.7 ساعت را نشان می دهد).
احتمال اینکه دو درخواست همزمان در صف قرار گیرند به صورت زیر است: پ 2 ساعت = تی 2z / تی n = 3.2/5 = 0.64(سه بخش از این قبیل در نمودار وجود دارد که مجموعاً 3.25 ساعت است).
میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف:
(تمام فواصل زمانی که در طی آن هر برنامه ای در صف قرار داشت را جمع کنید و بر تعداد برنامه ها تقسیم کنید). 4 برنامه از این قبیل در تایم لاین وجود دارد.
میانگین زمان درخواست خدمات:
(تمام فواصل زمانی که در طی آن هر درخواستی در هر کانالی ارائه شده است را جمع کنید و بر تعداد درخواست ها تقسیم کنید).
میانگین زمان صرف شده توسط یک برنامه کاربردی در سیستم: تیرجوع کنید به سیستم = تیرجوع کنید به صبر کن. + تیرجوع کنید به سرویس.
میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم:
بیایید فاصله مشاهده را به عنوان مثال به ده دقیقه بشکنیم. ساعت پنج آن را دریافت کنید کزیر بازه ها (در مورد ما ک= 30). در هر زیر بازه، از نمودار زمانی مشخص می کنیم که در آن لحظه چند درخواست در سیستم وجود دارد. شما باید به خطوط 2، 3، 4 و 5 نگاه کنید - کدام یک از آنها در حال حاضر اشغال شده اند. سپس مجموع کمیانگین شرایط

مرحله بعدی ارزیابی صحت هر یک از نتایج به دست آمده است. یعنی برای پاسخ به این سوال که چقدر می توان به این ارزش ها اعتماد کرد؟ ارزیابی دقت طبق روشی که در سخنرانی 34 توضیح داده شده است انجام می شود.

اگر دقت رضایت بخش نیست، باید زمان آزمایش را افزایش دهید و در نتیجه آمار را بهبود بخشید. شما می توانید آن را متفاوت انجام دهید. آزمایش را برای مدتی دوباره اجرا کنید تی n و سپس مقادیر این آزمایش ها را میانگین بگیرید. و دوباره نتایج را برای معیارهای دقت بررسی کنید. این روش باید تا حصول دقت لازم تکرار شود.

در مرحله بعد، باید جدولی از نتایج تهیه کنید و اهمیت هر یک از آنها را از نظر مشتری و صاحب CMO ارزیابی کنید (جدول 30.3 را ببینید). پاراگراف، یک نتیجه گیری کلی باید انجام شود. جدول باید چیزی شبیه به تصویر نشان داده شده در جدول باشد. 30.3.

جدول 30.3.
شاخص های QS

فهرست مطالب	فرمول	معنی	منافع مالک CMO	منافع مشتری CMO
احتمال خدمات	پ obs. = ن obs. / ن	0.714	احتمال سرویس کم است، بسیاری از مشتریان سیستم را ناراضی ترک می کنند، پول آنها برای مالک از دست می رود. این یک منهای است.	احتمال سرویس کم است، هر مشتری سوم می خواهد، اما نمی تواند خدمت کند. این یک منهای است.

میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف	ن sz = 0 پ 0z + 1 پ 1z + 2 پ 2 ساعت	1.62	خط تقریباً همیشه پر است. از تمام مکان های صف کاملاً مؤثر استفاده می شود. سرمایه گذاری در نوبت دهی هزینه های صف را جبران می کند. این یک امتیاز مثبت است. مشتریانی که برای مدت طولانی در صف می ایستند ممکن است بدون انتظار برای خدمات از آنجا خارج شوند. کلاینت ها، بیکار، می توانند باعث آسیب به سیستم شوند، تجهیزات را خراب کنند. رد شدن زیاد، مشتریان از دست رفته. اینها "معایب" هستند.	خط تقریباً همیشه پر است. مشتری قبل از رسیدن به سرویس باید در صف بایستد. مشتری حتی ممکن است وارد صف نشود. این یک منهای است.
کل کل:			به نفع مالک: الف) پهنای باند کانال ها را افزایش دهید تا مشتریان خود را از دست ندهید (اگرچه ارتقای کانال ها هزینه دارد). ب) تعداد مکان های صف را افزایش دهید (این نیز هزینه دارد) تا مشتریان بالقوه را حفظ کنید.	مشتریان علاقه مند به افزایش قابل توجه توان عملیاتی برای کاهش تأخیر و کاهش خرابی هستند.

سنتز QS

ما سیستم موجود را تحلیل کرده ایم. این امر باعث شد تا کاستی های آن دیده شود و زمینه های ارتقای کیفیت آن شناسایی شود. اما پاسخ به سؤالات مشخص همچنان نامشخص است، دقیقاً چه باید کرد - افزایش تعداد کانال ها یا افزایش پهنای باند آنها، یا افزایش تعداد مکان های صف، و در صورت افزایش، چقدر؟ چنین سؤالاتی نیز وجود دارد، چه چیزی بهتر است - ایجاد 3 کانال با بهره وری 5 عدد در ساعت یا یکی با بهره وری 15 عدد در ساعت؟

برای ارزیابی حساسیت هر اندیکاتور به تغییر مقدار یک پارامتر خاص، به صورت زیر عمل کنید. تمام پارامترها به جز یکی، انتخاب شده را برطرف کنید. سپس مقدار همه شاخص ها در چندین مقدار از این پارامتر انتخاب شده گرفته می شود. البته باید روش شبیه سازی را بارها و بارها تکرار کنید و شاخص ها را برای هر مقدار پارامتر میانگین کنید و دقت را ارزیابی کنید. اما در نتیجه، وابستگی های آماری قابل اعتماد ویژگی ها (شاخص ها) به پارامتر به دست می آید.

به عنوان مثال، برای 12 شاخص مثال ما، می توانید 12 وابستگی به یک پارامتر دریافت کنید: وابستگی احتمال خرابی پباز کن در تعداد صندلی های صف (KMO)، وابستگی توان عملیاتی آدر تعداد مکان‌های صف و غیره (شکل 30.8 را ببینید).

برنج. 30.8. نمای تقریبی از وابستگی شاخص ها به پارامترهای QS

سپس می توانید 12 وابستگی دیگر نشانگرها را نیز حذف کنید پاز یک پارامتر دیگر آر، رفع بقیه پارامترها. و غیره. نوعی ماتریس وابستگی شاخص ها شکل می گیرد پاز پارامترها آر، بر اساس آن می توان یک تحلیل اضافی در مورد چشم انداز حرکت (بهبود شاخص ها) در یک جهت یا جهت دیگر انجام داد. شیب منحنی ها به خوبی حساسیت، اثر حرکت در امتداد یک شاخص خاص را نشان می دهد. در ریاضیات به این ماتریس ژاکوبین J می گویند که در آن نقش شیب منحنی ها توسط مقادیر مشتقات بازی می شود. Δ پ من /Δ آر j ، شکل را ببینید. 30.9. (به یاد بیاورید که مشتق از نظر هندسی با شیب مماس به وابستگی مرتبط است.)

برنج. 30.9. ژاکوبین - ماتریس حساسیت نشانگر
بسته به تغییر در پارامترهای QS

اگر 12 شاخص و پارامتر وجود داشته باشد، به عنوان مثال، 5، پس ماتریس دارای ابعاد 12 x 5 است. هر عنصر ماتریس یک منحنی، وابستگی است. من-ام نشانگر از j-ام پارامتر هر نقطه از منحنی مقدار متوسط شاخص در یک بخش نسبتاً نماینده است تی n یا به طور میانگین در چندین آزمایش به دست آمد.

باید درک کرد که منحنی ها با این فرض گرفته شده اند که همه پارامترها به جز یکی از آنها در فرآیند گرفتن آنها بدون تغییر بوده اند. (اگر همه پارامترها مقادیر را تغییر دهند، منحنی ها متفاوت خواهند بود. اما آنها این کار را انجام نمی دهند، زیرا معلوم می شود که یک آشفتگی کامل است و وابستگی ها قابل مشاهده نخواهند بود.)

بنابراین، اگر بر اساس در نظر گرفتن منحنی های گرفته شده، تصمیم گرفته شود که برخی از پارامترها در QS تغییر کند، تمام منحنی ها برای نقطه جدید، که در آن این سوال که کدام پارامتر باید تغییر کند تا عملکرد بهتر شود، تغییر کند. ، مجددا بررسی خواهد شد باید دوباره حذف شود.

بنابراین گام به گام می توانید برای بهبود کیفیت سیستم تلاش کنید. اما تا کنون این تکنیک نمی تواند به تعدادی از سوالات پاسخ دهد. واقعیت این است که اولاً، اگر منحنی ها به طور یکنواخت رشد کنند، این سوال مطرح می شود که کجا باید متوقف شود. ثانیا، ممکن است تناقضاتی ایجاد شود، یک شاخص ممکن است با تغییر در پارامتر انتخاب شده بهبود یابد، در حالی که دیگری به طور همزمان بدتر می شود. ثالثاً، بیان تعدادی از پارامترها به صورت عددی دشوار است، به عنوان مثال، تغییر در نظم خدمات، تغییر جهت جریان، تغییر در توپولوژی QS. جستجوی راه‌حل در دو مورد آخر با استفاده از روش‌های تخصصی (نگاه کنید به سخنرانی 36. تخصص) و روش‌های هوش مصنوعی (نگاه کنید به).

بنابراین، ما اکنون فقط در مورد سوال اول بحث خواهیم کرد. چگونه می توان تصمیم گرفت، مقدار پارامتر چقدر باید باشد، اگر با رشد آن شاخص به طور مداوم به طور یکنواخت بهبود می یابد؟ بعید است که ارزش بینهایت برای مهندس مناسب باشد.

پارامتر آر- مدیریت، این چیزی است که در اختیار صاحب CMO است (به عنوان مثال، توانایی هموار کردن سایت و در نتیجه افزایش تعداد مکان های صف، نصب کانال های اضافی، افزایش جریان برنامه ها با افزایش هزینه های تبلیغاتی ، و غیره). با تغییر کنترل، می توانید بر مقدار نشانگر تأثیر بگذارید پ، هدف، معیار (احتمال خرابی، توان عملیاتی، میانگین زمان سرویس و غیره). از انجیر 30.10 مشاهده می شود که اگر کنترل را افزایش دهیم آر، همیشه امکان دستیابی به بهبود در اندیکاتور وجود دارد پ. اما بدیهی است که هر مدیریتی با هزینه همراه است. ز. و هر چه تلاش برای کنترل بیشتر شود، مقدار پارامتر کنترل بیشتر باشد، هزینه ها نیز بیشتر می شود. به طور معمول، هزینه های مدیریت به صورت خطی افزایش می یابد: ز = سییک · آر . اگرچه مواردی وجود دارد که به عنوان مثال، در سیستم های سلسله مراتبی، آنها به صورت تصاعدی رشد می کنند، گاهی اوقات - به صورت معکوس نمایی (تخفیف برای عمده فروشی)، و غیره.

برنج. 30.10. وابستگی شاخص P
از پارامتر کنترل شده R (مثال)

در هر صورت، واضح است که روزی سرمایه گذاری تمام هزینه های جدید به سادگی از بین خواهد رفت. به عنوان مثال، اثر یک سایت آسفالت به اندازه 1 کیلومتر مربع بعید است که هزینه های صاحب یک پمپ بنزین در Uryupinsk را جبران کند، به سادگی افراد زیادی که بخواهند با بنزین سوخت گیری کنند، وجود نخواهد داشت. به عبارت دیگر، نشانگر پدر سیستم های پیچیده نمی تواند به طور نامحدود رشد کند. دیر یا زود رشد آن کند می شود. و هزینه ها زرشد کنند (شکل 30.11 را ببینید).

برنج. 30.11. وابستگی اثر به استفاده از شاخص P

از انجیر 30.11 مشخص است که هنگام تعیین قیمت سی 1 در هر واحد هزینه آرو قیمت ها سی 2 در هر واحد نشانگر پ، این منحنی ها را می توان اضافه کرد. منحنی ها در صورت نیاز به حداقل یا حداکثر رساندن به طور همزمان جمع می شوند. اگر قرار است یک منحنی به حداکثر برسد و منحنی دیگر به حداقل برسد، باید تفاوت آنها را مثلاً با نقاط پیدا کرد. سپس منحنی به دست آمده (نگاه کنید به شکل 30.12)، با در نظر گرفتن هر دو اثر کنترل و هزینه های آن، دارای حداکثر است. مقدار پارامتر آر، که حداکثر تابع را ارائه می دهد و است حل مسئله سنتز.

برنج. 30.12. وابستگی کلی اثر به استفاده از شاخص P
و برای بدست آوردن آن به عنوان تابعی از پارامتر کنترل شده R هزینه Z را دارد

فراتر از مدیریت آرو نشانگر پسیستم ها مختل شده اند اغتشاشات را به عنوان نشان خواهیم داد D = {د 1 , د 2، …)، شکل را ببینید. 30.13. اغتشاش یک اقدام ورودی است که بر خلاف پارامتر کنترل، به اراده مالک سیستم بستگی ندارد. به عنوان مثال، دمای پایین بیرون، رقابت، متأسفانه، جریان مشتریان را کاهش می دهد، خرابی تجهیزات متأسفانه عملکرد سیستم را کاهش می دهد. و صاحب سیستم نمی تواند مستقیماً این مقادیر را مدیریت کند. معمولاً خشم "علی رغم" مالک عمل می کند و اثر را کاهش می دهد پاز تلاش های مدیریت آر. این به این دلیل است که به طور کلی، این سیستم برای دستیابی به اهدافی ایجاد شده است که به خودی خود در طبیعت دست نیافتنی هستند. شخصی که یک سیستم را سازماندهی می کند، همیشه امیدوار است که از طریق آن به هدفی دست یابد. پ. این چیزی است که او در تلاش خود انجام می دهد. آرخلاف طبیعت رفتن یک سیستم سازمانی از اجزای طبیعی است که در دسترس یک فرد است که توسط او مطالعه شده است تا به هدف جدیدی دست یابد که قبلاً از راه های دیگر دست نیافتنی بود..

برنج. 30.13. نماد سیستم مورد مطالعه،
که تحت تأثیر اقدامات کنترلی R و اختلالات D قرار می گیرد

بنابراین، اگر وابستگی نشانگر را حذف کنیم پاز مدیریت آریک بار دیگر (همانطور که در شکل 30.10 نشان داده شده است)، اما تحت شرایط اختلالی که ظاهر شده است D، ممکن است ماهیت منحنی تغییر کند. به احتمال زیاد، نشانگر برای مقادیر مشابه کنترل ها پایین تر خواهد بود، زیرا اغتشاش ماهیت "مخالف" دارد و عملکرد سیستم را کاهش می دهد (شکل 30.14 را ببینید). سیستمی که به حال خود رها شده است، بدون تلاش ماهیت مدیریتی، از ارائه هدفی که برای آن ایجاد شده است، دست می کشد.. اگر مانند قبل، وابستگی هزینه ها را ایجاد کنیم، آن را با وابستگی نشانگر به پارامتر کنترل مرتبط کنیم، آنگاه نقطه مازاد پیدا شده در مقایسه با حالت "اختلال = 0" تغییر می کند (شکل 30.15 را ببینید) (شکل را ببینید). . 30.12).

برنج. 30.14. وابستگی نشانگر P به پارامتر کنترلی R
برای مقادیر مختلف اغتشاشات D

اگر اغتشاش دوباره افزایش یابد، آنگاه منحنی ها تغییر خواهند کرد (شکل 30.14 را ببینید) و در نتیجه، موقعیت نقطه افراطی دوباره تغییر خواهد کرد (شکل 30.15 را ببینید).

برنج. 30.15. یافتن نقطه افراطی در وابستگی کل
برای مقادیر مختلف عامل مزاحم D

در پایان، تمام موقعیت‌های یافت شده از نقاط افراطی به یک نمودار جدید منتقل می‌شوند، جایی که آنها وابستگی ایجاد می‌کنند. نشانگر پاز جانب پارامتر کنترل آروقتی تغییر می کند آشفتگی ها D(شکل 30.16 را ببینید).

برنج. 30.16. وابستگی اندیکاتور P به مدیر
پارامتر R هنگام تغییر مقادیر اختلالات D
(منحنی فقط از نقاط انتهایی تشکیل شده است)

لطفاً توجه داشته باشید که در واقع ممکن است نقاط عملیاتی دیگری در این نمودار وجود داشته باشد (گراف، همانطور که بود، با خانواده های منحنی نفوذ کرده است)، اما نقاط ترسیم شده توسط ما، مختصاتی از پارامتر کنترل را تنظیم می کنند که در آن، با اغتشاشات داده شده ( !) به بیشترین مقدار ممکن شاخص رسیده است پ .

این نمودار (نگاه کنید به شکل 30.16) نشانگر را به هم پیوند می دهد پ، دفتر (منبع) آرو خشم Dدر سیستم های پیچیده، نشان می دهد که چگونه در مواجهه با اختلالات به وجود آمده به تصمیم گیرنده (تصمیم گیرنده) بهترین عمل را انجام دهد. اکنون کاربر می تواند با دانستن وضعیت واقعی در شی (مقدار اختلال)، به سرعت از روی نمودار تعیین کند که چه اقدامات کنترلی روی شی لازم است تا بهترین مقدار شاخص مورد علاقه او را تضمین کند.

توجه داشته باشید که اگر عمل کنترل کمتر از حد بهینه باشد، اثر کل کاهش می یابد، وضعیت سود از دست رفته ایجاد می شود. اگر عمل کنترل بزرگتر از بهینه باشد، آنگاه اثر همچنینکاهش خواهد یافت، زیرا لازم است برای افزایش بعدی تلاش‌های مدیریتی بیشتر از آنچه در نتیجه استفاده از آن دریافت می‌کنید (وضعیت ورشکستگی) هزینه کنید.

توجه داشته باشید. در متن سخنرانی از واژه های مدیریت و منبع استفاده کردیم یعنی معتقد بودیم که آر = U. باید روشن شود که مدیریت نقش ارزش محدودی را برای مالک سیستم ایفا می کند. یعنی همیشه یک منبع ارزشمند برای او است که همیشه باید برای آن هزینه کند و همیشه کمبود دارد. در واقع، اگر این مقدار محدود نمی شد، به دلیل تعداد بی نهایت کنترل، می توانستیم به مقادیر بی نهایت بزرگی از اهداف دست یابیم، اما نتایج بی نهایت بزرگ به وضوح در طبیعت مشاهده نمی شود.

گاهی اوقات بین مدیریت واقعی تمایز وجود دارد Uو منبع آر، یک منبع را ذخیره معین می نامند، یعنی حد مقدار ممکن عمل کنترل. در این مورد، مفاهیم منبع و کنترل منطبق نیستند: U < آر. گاهی اوقات بین مقدار محدود کنترل تفاوت قائل می شود U ≤ آرو منبع جدایی ناپذیر ∫Uدتی ≤ آر .

سیستم های نوبت دهییا تئوری صفموضوعی است که ریشه در نظریه احتمال دارد. اما مطالعه چنین سیستم هایی در کاربرد در دنیای واقعی (و بسیاری از آنها وجود دارد: یک فروشگاه یا ایستگاه با میزهای نقدی، یک انبار با اپراتورها، آرایشگاه ها و بیمارستان ها، شبکه های کامپیوتری، ماشین ابزار و تنظیم کننده ها، سیستم های تبادل تلفن خودکار، و غیره) معمولاً در چارچوب موضوعات "تحقیق در عملیات" و "روش های ریاضی در اقتصاد" صورت می گیرد، بنابراین نمونه هایی از راه حل های QS را در این بخش قرار می دهیم.

وظایف سیستم های صف با اشیایی سروکار دارد که در آنها وجود دارد: الف) صفی از برنامه ها (مشتریان، تماس ها، بازدیدکنندگان، سیگنال ها و غیره) و ب) تعداد محدودی کانال برای پردازش آنها (اپراتورها، صندوقداران، پزشکان، ترانزیستورها، و غیره). P.). از نظر ریاضی، می توان کارایی و شاخص های کلیدی عملکرد سیستم را محاسبه کرد، که در دنیای واقعی اجازه می دهد کار را به درست ترین، اقتصادی ترین، سودآورترین و راحت ترین راه راه اندازی کند.

شما می توانید حل مسائل و تست های خود را در موضوعات مختلف تئوری سیستم های صف در MatBuro سفارش دهید: (حل المسائل روش های اقتصادی و ریاضی به سفارش). هزینه اجرا از 200 روبل است، مدت آن از 2 روز است، طراحی در Word با نمودارها و نتیجه گیری ها به تفصیل آمده است.

نمونه های رایگان راه حل های QS (سیستم های نوبت دهی)

وظیفه 1.شدت جریان تماس تلفنی با آژانس بلیط راه آهن که دارای یک تلفن است، 16 تماس در ساعت است. مدت زمان سفارش بلیط 2.4 دقیقه است. توان عملیاتی نسبی و مطلق این QS و احتمال خرابی (تلفن مشغول) را تعیین کنید. چند گوشی باید در نمایندگی باشد تا توان نسبی حداقل 0.75 باشد.

وظیفه 2.سیستم نوبت دهی یک دفتر فروش بلیط با یک پنجره و یک صف نامحدود است. دفتر فروش بلیط به نقاط A و B بلیط می فروشد. مسافرانی که مایل به خرید بلیط به نقطه A هستند به طور متوسط سه در 20 دقیقه و به نقطه B - دو در 20 دقیقه می آیند. رفت و آمد مسافران ساده ترین است. صندوقدار به طور متوسط در 10 دقیقه به سه مسافر خدمات رسانی می کند. زمان خدمات مثال زدنی است. احتمالات نهایی P0، P2، P3، میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم و در صف، میانگین زمان ماندن اپلیکیشن در سیستم، میانگین زمان ماندن اپلیکیشن در صف را محاسبه کنید.

وظیفه 3.مرکز تماس راه دور دارای چهار دستگاه تلفن می باشد. به طور متوسط روزانه 320 درخواست مذاکره دریافت می شود. میانگین مدت مذاکرات 5 دقیقه است. طول صف نباید از 6 مشترک بیشتر باشد. جریان درخواست ها و خدمات ساده ترین هستند. تعیین ویژگی های خدمات مرکز تماس در حالت ثابت (احتمال قطعی کانال، احتمال خرابی، احتمال سرویس، میانگین تعداد کانال های اشغال شده، میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف، میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم، توان عملیاتی مطلق، توان عملیاتی نسبی، میانگین زمان برنامه در صف، میانگین زمان یک برنامه کاربردی در سیستم، میانگین زمان یک برنامه تحت سرویس).

نمونه هایی از حل مسائل سیستم های صف

برای حل مسائل 1-3 مورد نیاز است. داده های اولیه در جدول آورده شده است. 2-4.

برخی از نمادهای مورد استفاده در نظریه صف برای فرمول ها:

n تعداد کانال های QS است.

λ شدت جریان ورودی برنامه های کاربردی P در است.

v شدت جریان خروجی درخواست ها P است.

μ شدت جریان سرویس P در حدود است.

ρ نشانگر بار سیستم (ترافیک) است.

m حداکثر تعداد مکان ها در صف است که طول صف برنامه ها را محدود می کند.

i تعداد منابع درخواست است.

p k احتمال k-امین حالت سیستم است.

p o - احتمال خرابی کل سیستم، یعنی احتمال رایگان بودن همه کانال ها.

p syst احتمال پذیرش یک برنامه در سیستم است.

p ref - احتمال رد درخواست در پذیرش آن در سیستم.

р about - احتمال سرویس دهی به برنامه؛

A توان عملیاتی مطلق سیستم است.

Q توان عملیاتی نسبی سیستم است.

och - میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف.

r میانگین تعداد برنامه های تحت سرویس است.

syst میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم است.

pt میانگین زمان انتظار برای یک برنامه در صف است.

r میانگین زمان سرویس درخواست است که فقط مربوط به درخواست های سرویس شده است.

sys میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی در سیستم است.

oj میانگین زمان محدود کننده زمان انتظار برای یک برنامه در صف است.

میانگین تعداد کانال های شلوغ است.

توان عملیاتی مطلق QS A میانگین تعداد برنامه ها است، ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ می تواند توسط سیستم در واحد زمان ارائه شود.

توان عملیاتی QS نسبی Q نسبت میانگین تعداد برنامه های ارائه شده توسط سیستم در واحد زمان به میانگین تعداد برنامه های دریافت شده در این مدت است.

هنگام حل مشکلات صف، رعایت توالی زیر بسیار مهم است:

1) تعیین نوع QS مطابق جدول. 4.1;

2) انتخاب فرمول ها مطابق با نوع QS؛

3) حل مسئله؛

4) نتیجه گیری در مورد مسئله.

1. طرح مرگ و تولید مثل.می دانیم که با توجه به گراف حالت برچسب دار، می توانیم به راحتی معادلات کولموگروف را برای احتمالات حالت بنویسیم و همچنین معادلات جبری را برای احتمالات نهایی بنویسیم و حل کنیم. شایان ذکر است که برای برخی موارد آخرین معادلات

از قبل به معنای واقعی کلمه تصمیم بگیرید به ویژه، اگر نمودار وضعیت سیستم به اصطلاح "طرح مرگ و تولید مثل" باشد، این کار را می توان انجام داد.

نمودار حالت برای طرح مرگ و تولید مثل به شکلی است که در شکل نشان داده شده است. 19.1. ویژگی این نمودار این است که تمام حالت های سیستم را می توان به یک زنجیره کشید که در آن هر یک از حالت های میانگین ( اس 1 ، اس 2 ,…, S n-1) توسط یک فلش مستقیم و معکوس با هر یک از حالت های همسایه - راست و چپ و حالت های افراطی متصل می شود. (S 0 ، اسن) - فقط با یک ایالت همسایه. اصطلاح "طرح مرگ و تولید مثل" از مشکلات بیولوژیکی سرچشمه می گیرد، جایی که چنین طرحی تغییر در اندازه جمعیت را توصیف می کند.

طرح مرگ و تولید مثل اغلب در مسائل مختلف عمل یافت می شود، به ویژه - در نظریه صف بندی، در این رابطه، یافتن احتمالات نهایی حالت ها برای آن، یک بار برای همیشه مفید است.

ما فرض می کنیم که تمام جریان های رویدادی که سیستم را در امتداد فلش های نمودار منتقل می کنند ساده ترین هستند (برای اختصار، سیستم را نیز صدا می کنیم. اسو فرآیندی که در آن اتفاق می افتد - ساده ترین).

با استفاده از نمودار در شکل. 19.1، معادلات جبری را برای احتمالات نهایی حالت می سازیم و حل می کنیم)، وجود از این واقعیت ناشی می شود که از هر حالت می توانید به هر حالت دیگری بروید، تعداد حالت ها محدود است). برای حالت اول اس 0 داریم:

(19.1)

برای حالت دوم S1:

با توجه به (19.1)، آخرین برابری به فرم کاهش می یابد

جایی که کتمام مقادیر از 0 تا را می گیرد پ.بنابراین احتمالات نهایی p0، p1،...، p n معادلات را برآورده می کند

(19.2)

علاوه بر این، ما باید شرایط عادی سازی را در نظر بگیریم

پ 0 + پ 1 + پ 2 +…+ پ n=1. (19.3)

بیایید این سیستم معادلات را حل کنیم. از معادله اول (19.2) بیان می کنیم پ 1 تا آر 0 :

پ 1 = پ 0. (19.4)

از مورد دوم، با در نظر گرفتن (19.4)، به دست می آوریم:

(19.5)

‣‣‣ از سوم، با در نظر گرفتن (19.5)،

(19.6)

و به طور کلی، برای هر ک(از 1 تا n):

(19.7)

اجازه دهید به فرمول (19.7) توجه کنیم. شمارنده حاصل ضرب تمام شدت های فلش های منتهی به چپ به راست (از ابتدا تا این حالت) است. اس k)، و در مخرج - حاصل ضرب تمام شدت های ایستاده در فلش های منتهی به راست به چپ (از ابتدا تا اسک).

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، همه احتمالات حالت آر 0 ، پ 1 , ..., р nاز طریق یکی از آنها بیان شده است ( آر 0). اجازه دهید این عبارات را در شرایط عادی سازی (19.3) جایگزین کنیم. با پرانتز به دست می آوریم آر 0:

از این رو ما عبارت for را دریافت می کنیم آر 0 :

(پرانتز را به توان -1 رساندیم تا کسرهای دو طبقه ننویسیم). همه احتمالات دیگر بر حسب بیان می شوند آر 0 (به فرمول های (19.4) - (19.7) مراجعه کنید). توجه داشته باشید که ضرایب برای آر 0 در هر یک از آنها چیزی نیست جز اعضای متوالی سری پس از واحد در فرمول (19.8). بنابراین، محاسبه آر 0 , ما قبلاً همه این ضرایب را پیدا کرده ایم.

فرمول های به دست آمده در حل ساده ترین مسائل تئوری صف بسیار مفید است.

^ 2. فرمول کمی.اکنون ما یک فرمول مهم را استخراج می کنیم که (برای رژیم محدود کننده و ثابت) میانگین تعداد برنامه ها را مرتبط می کند L syst، واقع در سیستم صف (یعنی خدمت یا ایستادن در صف)، و میانگین زمان اقامت برنامه در سیستم دبلیوسیستم

اجازه دهید هر QS (تک کانال، چند کانال، مارکوی، غیرمارکوین، با صف نامحدود یا محدود) و دو جریان از رویدادهای مرتبط با آن را در نظر بگیریم: جریان مشتریانی که به QS می رسند و جریان مشتریانی که از QS خارج می شوند. QS. اگر حالت محدود و ثابت در سیستم برقرار شود، آنگاه تعداد متوسط برنامه های وارد شده به QS در واحد زمان برابر است با میانگین تعداد برنامه هایی که از آن خارج می شوند: هر دو جریان دارای شدت λ هستند.

مشخص کن: X(t) -تعداد برنامه هایی که قبل از لحظه به CMO رسیده اند تی Y(تی) - تعداد برنامه هایی که CMO را ترک کردند

تا لحظه تیهر دو تابع تصادفی هستند و در لحظه رسیدن درخواست ها به طور ناگهانی تغییر می کنند (یک افزایش می یابد). (ایکس(تی)) و خروج برنامه ها (Y(t)).نوع توابع X(t) و Y(t)در شکل نشان داده شده است. 19.2; هر دو خط پلکانی است، خط بالایی است X(t)،پایین تر- Y(t).بدیهی است که برای هر لحظه تیتفاوت آنها ز(تی)= X(t) - Y(t)چیزی جز تعداد برنامه های کاربردی در QS نیست. وقتی خطوط X(t)و Y(t)ادغام، هیچ درخواستی در سیستم وجود ندارد.

یک دوره زمانی بسیار طولانی را در نظر بگیرید تی(به طور ذهنی نمودار را بسیار فراتر از نقاشی ادامه دهید) و میانگین تعداد برنامه های کاربردی در QS را برای آن محاسبه کنید. برابر با انتگرال تابع خواهد بود Z(t)در این فاصله، تقسیم بر طول فاصله T:

Lسیستم = . (19.9) o

اما این انتگرال چیزی نیست جز مساحت شکل سایه دار در شکل. 19.2. بیایید به این تصویر خوب نگاه کنیم. شکل متشکل از مستطیل هایی است که هر کدام دارای ارتفاعی برابر با یک و پایه ای برابر با زمان اقامت در سیستم ترتیب مربوطه (اول، دوم و غیره) است. بیایید این زمان ها را مشخص کنیم t1، t2، ...درست است، در پایان فاصله تیبرخی از مستطیل ها نه به طور کامل، بلکه تا حدی، اما به اندازه کافی بزرگ وارد شکل سایه دار می شوند تیاین چیزهای کوچک مهم نخواهند بود ما می‌توانیم فرض کنیم که

(19.10)

که در آن مبلغ برای همه برنامه های دریافت شده در طول اعمال می شود تی.

سمت راست و چپ (.19.10) را بر طول فاصله تقسیم کنید تی.ما با در نظر گرفتن (19.9)،

Lسیستم = (19.11)

سمت راست (19.11) را در شدت X تقسیم و ضرب می کنیم:

Lسیستم =

اما بزرگی Tλچیزی بیش از میانگین تعداد درخواست های دریافت شده در طول زمان نیست ^ تی.در صورتی که مجموع همه زمان ها را تقسیم کنیم تی منبر روی میانگین تعداد برنامه ها، سپس میانگین زمان ماندن برنامه در سیستم را بدست می آوریم دبلیوسیستم بنابراین،

Lسیستم = λ دبلیوسیستم ،

دبلیوسیستم = (19.12)

این فرمول فوق‌العاده لیتل است: برای هر QS، برای هر نوع جریان برنامه‌ها، برای هر توزیع زمان خدمات، برای هر رشته خدمات میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی در سیستم برابر است با میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم تقسیم بر شدت جریان برنامه ها.

دقیقاً به همین ترتیب، فرمول دوم لیتل مشتق شده است، که میانگین زمانی را که برنامه در صف می گذراند مربوط می کند. ^ اوهو میانگین تعداد برنامه های موجود در صف Lاوه:

دبلیواوه = . (19.13)

برای خروجی، به جای خط پایین در شکل کافی است. 19.2 یک تابع بگیرید U(t)- تعداد برنامه هایی که تا این لحظه باقی مانده اند تینه از سیستم، بلکه از صف (اگر برنامه ای که وارد سیستم شده است در صف قرار نگیرد، اما بلافاصله تحت سرویس قرار گیرد، باز هم می توانیم در نظر بگیریم که وارد صف می شود، اما برای مدت زمان صفر در آن می ماند).

فرمول های لیتل (19.12) و (19.13) نقش مهمی در تئوری صف ایفا می کنند. متأسفانه در بیشتر کتابچه های موجود، این فرمول ها (به شکل کلی نسبتاً اخیراً اثبات شده است) 1 آورده نشده است.

§ 20. ساده ترین سیستم های صف و ویژگی های آنها

در این پاراگراف، برخی از ساده ترین QS ها را در نظر می گیریم و عباراتی را برای ویژگی های آنها (شاخص های عملکرد) استخراج می کنیم. در عین حال، ما تکنیک‌های اصلی روش‌شناختی مشخصه نظریه صف ابتدایی را نشان خواهیم داد. ما تعداد نمونه‌های QS را که عبارات نهایی مشخصه‌ها برای آنها استخراج می‌شود، دنبال نمی‌کنیم. این کتاب راهنمای تئوری صف بندی نیست (چنین نقشی توسط کتابچه های راهنمای ویژه بسیار بهتر انجام می شود). هدف ما این است که خواننده را با برخی «ترفندها» آشنا کنیم تا راه را برای تئوری صف‌بندی آسان کنیم، که در تعدادی از کتاب‌های موجود (حتی با ادعای محبوبیت) می‌تواند مانند مجموعه‌ای از نمونه‌ها به نظر برسد.

تمام جریان‌های رویدادهایی که QS را از حالتی به حالت دیگر منتقل می‌کنند، در این بخش، ساده‌ترین آن‌ها را در نظر می‌گیریم (بدون اینکه هر بار به طور خاص این مورد را ذکر کنیم). از جمله آنها به اصطلاح "جریان خدمات" خواهد بود. این به معنای جریان برنامه های کاربردی است که توسط یک کانال به طور مداوم شلوغ ارائه می شود. در این جریان، فاصله بین رویدادها، مانند همیشه در ساده ترین جریان، دارای توزیع نمایی است (بسیاری از راهنماها به جای آن می گویند: "زمان سرویس نمایی است"، ما خودمان در آینده از این اصطلاح استفاده خواهیم کرد).

1) در یک کتاب محبوب، اشتقاقی متفاوت از فرمول لیتل در مقایسه با موارد فوق ارائه شده است. به طور کلی آشنایی با این کتاب (ʼمکالمه دوʼʼ) برای آشنایی اولیه با نظریه صف بندی مفید است.

در این بخش، توزیع نمایی زمان خدمات، مانند همیشه برای "ساده ترین" سیستم، مسلم تلقی می شود.

ما ویژگی های کارایی QS مورد بررسی را در طول ارائه معرفی خواهیم کرد.

^ 1. پکانال QS با خرابی(مشکل ارلنگ). در اینجا ما یکی از اولین مسائل در زمان، "کلاسیک" نظریه صف را در نظر می گیریم.

این مشکل از نیازهای عملی تلفن ناشی شد و در آغاز قرن ما توسط ریاضیدان دانمارکی ارلانت حل شد. وظیفه به شرح زیر تنظیم شده است: وجود دارد پکانال ها (خطوط ارتباطی) که جریانی از برنامه ها را با شدت λ دریافت می کنند. جریان سرویس دارای شدت μ (مقابل میانگین زمان سرویس است تیدر باره). احتمالات نهایی حالت های QS و همچنین ویژگی های کارایی آن را بیابید:

^ الف-توان عملیاتی مطلق، یعنی میانگین تعداد برنامه های ارائه شده در واحد زمان؛

س-توان عملیاتی نسبی، به عنوان مثال، میانگین سهم درخواست های دریافتی ارائه شده توسط سیستم؛

^ R otk- احتمال شکست، یعنی این واقعیت که برنامه QS را بدون سرویس رها می کند.

k-میانگین تعداد کانال های شلوغ

راه حل. حالات سیستمی ^S(QS) با توجه به تعداد درخواست‌های موجود در سیستم شماره‌گذاری می‌شود (در این حالت با تعداد کانال‌های شلوغ منطبق است):

S 0 -هیچ برنامه کاربردی در CMO وجود ندارد،

S 1 -یک درخواست در QS وجود دارد (یک کانال مشغول است، بقیه رایگان هستند)،

اسکی-در SMO است کبرنامه های کاربردی ( ککانال ها شلوغ هستند، بقیه رایگان هستند)

S n -در SMO است پبرنامه های کاربردی (همه nکانال ها مشغول هستند).

نمودار حالت QS با طرح مرگ در تولید مثل مطابقت دارد (شکل 20.1). بیایید این نمودار را علامت گذاری کنیم - شدت جریان رویداد را در نزدیکی فلش ها کم کنیم. از جانب اس 0 اینچ S1سیستم توسط جریانی از درخواست ها با شدت λ منتقل می شود (به محض رسیدن درخواست، سیستم از S0که در S1).همین جریان برنامه ها ترجمه می شود

سیستم از هر حالت چپ به حالت راست بعدی (فلش های بالایی را در شکل 20.1 ببینید).

بیایید شدت فلش های پایین را کم کنیم. بگذارید سیستم در حالت باشد ^S 1 (یک کانال کار می کند). این خدمات μ را در واحد زمان تولید می کند. روی پیکان زمین گذاشتیم اس 1 →اس 0 شدت μ. حال تصور کنید که سیستم در حالت است S2(دو کانال کار می کند). برای رفتنش به S 1,لازم است که یا کانال اول یا کانال دوم سرویس را به پایان برساند. شدت کل جریان خدمات آنها 2μ است. آن را در فلش مربوطه قرار دهید. کل جریان سرویس داده شده توسط سه کانال دارای شدت 3μ است. ککانال ها - کیلومترما این شدت ها را در فلش های پایین در شکل پایین می آوریم. 20.1.

و اکنون با دانستن تمام شدت ها، از فرمول های آماده (19.7)، (19.8) برای احتمالات نهایی در طرح مرگ و تولید مثل استفاده می کنیم. با توجه به فرمول (19.8) بدست می آوریم:

اصطلاحات تجزیه ضرایب برای خواهد بود p 0در عبارات برای p1

توجه داشته باشید که فرمول های (20.1)، (20.2) شدت λ و μ را به طور جداگانه شامل نمی شوند، بلکه فقط به عنوان نسبت λ/μ درج می شوند. مشخص کن

λ/μ = ρ (20.3)

و ما مقدار р ʼʼشدت کاهش یافته جریان درخواست‌ها را بنامیم. معنای آن میانگین تعداد درخواست‌هایی است که برای میانگین زمان خدمات یک درخواست وارد می‌شوند. با استفاده از این نماد، فرمول های (20.1)، (20.2) را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

فرمول های (20.4)، (20.5) برای احتمالات حالت نهایی، فرمول های Erlang نامیده می شوند - به افتخار بنیانگذار نظریه صف. اکثر فرمول های دیگر این نظریه (امروزه تعداد آنها بیشتر از قارچ در جنگل است) نام خاصی ندارند.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ، احتمالات نهایی یافت می شوند. بر اساس آنها، ویژگی های کارایی QS را محاسبه خواهیم کرد. ابتدا پیدا می کنیم ^ R otk. - احتمال رد درخواست دریافتی (اعمال نخواهد شد). برای این، لازم است که همه چیز پکانال ها شلوغ بودند، بنابراین

آر otk = آر n = . (20.6)

از اینجا ما توان عملیاتی نسبی را پیدا می کنیم - احتمال اینکه برنامه ارائه شود:

Q = 1 - پباز کن = 1 - (20.7)

ما توان عملیاتی مطلق را با ضرب کردن شدت جریان درخواست‌ها در λ بدست می‌آوریم س:

A = λQ = λ. (20.8)

تنها یافتن میانگین تعداد کانال های شلوغ باقی مانده است ک.این مقدار را می توان «مستقیم» یافت، به عنوان انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته با مقادیر ممکن 0، 1، ...، پو احتمالات این مقادیر p 0 p 1 , ..., p n:

ک = 0 · p 0 +یک · p 1 + 2 · p 2 + ... + n · p n .

در اینجا عبارات (20.5) را جایگزین کنید آر k (k = 0, 1, ..., پ)و با انجام تبدیل های مناسب، در نهایت فرمول صحیح را بدست می آوریم ک.اما ما آن را بسیار ساده تر به دست خواهیم آورد (اینجا یکی از «ترفندهای کوچک» است!) در واقع، ما توان عملیاتی مطلق را می دانیم. ولی.این چیزی نیست جز شدت جریان برنامه های کاربردی که توسط سیستم ارائه می شود. هر یک از i.shal به کار گرفته شده در واحد زمان به طور متوسط به درخواست | l پاسخ می دهد. بنابراین میانگین تعداد کانال های شلوغ است

k = A/μ، (20.9)

یا، داده شده (20.8)،

k = (20.10)

ما خواننده را تشویق می کنیم که به تنهایی مثال را حل کند.
میزبانی شده در ref.rf
یک ایستگاه ارتباطی با سه کانال ( n= 3)، شدت جریان برنامه ها λ = 1.5 (برنامه در دقیقه)؛ میانگین زمان خدمات در هر درخواست تیجلد \u003d 2 (دقیقه)، همه جریان های رویداد (مانند کل این پاراگراف) ساده ترین هستند. احتمالات حالت نهایی و ویژگی های عملکرد QS را بیابید: A، Q، P otk، ک.در هر صورت، در اینجا پاسخ ها وجود دارد: پ 0 = 1/13, پ 1 = 3/13, پ 2 = 9/26, ص 3 = 9/26 ≈ 0,346,

ولی≈ 0,981, س ≈ 0,654, پباز ≈ 0.346، k ≈ 1,96.

به هر حال، از پاسخ ها می توان دریافت که CMO ما تا حد زیادی بیش از حد بارگذاری شده است: از سه کانال، به طور متوسط، حدود دو کانال مشغول هستند و حدود 35٪ از برنامه های ورودی بدون سرویس باقی می مانند. از خواننده دعوت می کنیم، اگر کنجکاو باشد و تنبل نباشد، بفهمد: برای برآوردن حداقل 80 درصد برنامه های ورودی به چند کانال نیاز است؟ و چه سهمی از کانال ها همزمان بیکار خواهند بود؟

قبلاً اشاره ای به آن وجود دارد بهينه سازي.در واقع محتوای هر کانال در هر واحد زمان مبلغ مشخصی را هزینه می کند. در عین حال، هر اپلیکیشن سرویس شده مقداری درآمد به همراه دارد. ضرب این درآمد در میانگین تعداد برنامه ها ولی،در هر واحد زمان، ما میانگین درآمد را از CMO در واحد زمان دریافت خواهیم کرد. طبیعتاً با افزایش تعداد کانال ها، این درآمد رشد می کند، اما هزینه های مربوط به نگهداری کانال ها نیز افزایش می یابد. چه چیزی بیشتر خواهد بود - افزایش درآمد یا هزینه؟ این بستگی به شرایط عملیات، «هزینه خدمات درخواست» و هزینه نگهداری کانال دارد. با دانستن این مقادیر، می توانید تعداد بهینه کانال، مقرون به صرفه ترین را پیدا کنید. ما چنین مشکلی را حل نمی کنیم و همه چیز را به همان «خواننده غیر تنبل و کنجکاو» واگذار می کنیم تا مثالی بیاورد و آن را حل کند. به طور کلی، اختراع مشکلات بیشتر از حل مشکلاتی که قبلاً توسط شخصی تعیین شده است، توسعه می یابد.

^ 2. QS تک کاناله با صف نامحدود.در عمل، QS یک کاناله با صف بسیار رایج است (پزشکی که به بیماران خدمات می دهد، تلفن پرداخت با یک غرفه، رایانه ای که سفارشات کاربر را انجام می دهد). در تئوری صف، QS تک کاناله با صف نیز جایگاه ویژه ای را به خود اختصاص می دهد (بیشتر فرمول های تحلیلی به دست آمده تا کنون برای سیستم های غیر مارکویی متعلق به چنین QS هستند). به همین دلیل به QS تک کاناله با صف توجه ویژه ای خواهیم داشت.

اجازه دهید یک QS تک کانال با یک صف وجود داشته باشد که هیچ محدودیتی در آن اعمال نشود (نه در طول صف و نه در زمان انتظار). این QS جریانی از درخواست ها را با شدت λ دریافت می کند ; جریان سرویس دارای شدت μ است که معکوس با میانگین زمان سرویس درخواست است تیدر باره. برای یافتن احتمالات نهایی حالت های QS و همچنین ویژگی های کارایی آن لازم است:

Lسیستم - میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم،

دبلیوسیستم - میانگین زمان اقامت درخواست در سیستم،

^L اوه- میانگین تعداد برنامه های موجود در صف،

دبلیواوه - میانگین زمانی که یک برنامه در صف می گذراند،

پزن - احتمال مشغول بودن کانال (درجه بارگذاری کانال).

در مورد توان عملیاتی مطلق ولیو نسبی س،پس نیازی به محاسبه آنها نیست:

با توجه به نامحدود بودن صف، هر برنامه دیر یا زود در ارتباط با این موضوع ارائه خواهد شد. A \u003d λ،به همان دلیل Q= 1.

راه حل. وضعیت های سیستم، مانند قبل، با توجه به تعداد برنامه های کاربردی در QS شماره گذاری می شوند:

اس 0 - کانال رایگان است

اس 1 - کانال شلوغ است (در خواست را ارائه می دهد)، صف ندارد،

اس 2- کانال شلوغ است، یک درخواست در نوبت است،

اس k - کانال شلوغ است، k- 1 برنامه در صف هستند،

از نظر تئوری، تعداد ایالات با هیچ چیز (بی نهایت) محدود نمی شود. نمودار حالت به شکلی است که در شکل نشان داده شده است. 20.2. این یک طرح مرگ و تولید مثل است، اما با تعداد بی نهایت حالت. طبق تمام فلش ها، جریان درخواست ها با شدت λ سیستم را از چپ به راست و از راست به چپ - جریان سرویس با شدت μ را منتقل می کند.

ابتدا از خود بپرسیم آیا احتمالات نهایی در این مورد وجود دارد؟ پس از همه، تعداد حالت های سیستم بی نهایت است، و، در اصل، در t → ∞صف می تواند به طور نامحدود رشد کند! بله، درست است: احتمالات نهایی برای چنین QS همیشه وجود ندارد، اما فقط زمانی که سیستم بیش از حد بارگذاری نشده باشد. می توان ثابت کرد که اگر ρ به شدت کمتر از یک باشد (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при تی→ ∞ به طور نامحدود رشد می کند. این واقعیت به خصوص زمانی که ρ = 1 "غیرقابل درک" به نظر می رسد. به نظر می رسد که هیچ الزام غیرممکنی برای سیستم وجود ندارد: در طول سرویس یک برنامه، به طور متوسط یک برنامه وارد می شود و همه چیز باید مرتب باشد، اما در واقعیت - اینطور نیست برای ρ = 1، QS تنها در صورتی با جریان درخواست‌ها مقابله می‌کند که جریان داده‌شده منظم باشد، و زمان سرویس نیز تصادفی نیست، برابر با فاصله بین درخواست‌ها. در این حالت ʼʼʼʼ به هیچ وجه در QS صفی وجود نخواهد داشت، کانال به طور مداوم مشغول خواهد بود و به طور مرتب درخواست های سرویس را صادر می کند. اما به محض اینکه جریان درخواست ها یا جریان خدمات حداقل کمی تصادفی شود، صف به طور نامحدود رشد خواهد کرد. در عمل، این اتفاق نمی‌افتد، زیرا «تعداد نامتناهی از برنامه‌های کاربردی در صف» یک انتزاع است. اینها خطاهای فاحشی هستند که جایگزینی متغیرهای تصادفی با انتظارات ریاضی آنها می تواند منجر به آنها شود!

اما بیایید به QS تک کاناله خود با یک صف نامحدود برگردیم. به بیان دقیق، فرمول‌های احتمالات نهایی در طرح مرگ و تولید مثل توسط ما فقط در مورد تعداد محدودی از حالت‌ها استخراج شده است، اما بیایید آزادی عمل را در نظر بگیریم - ما از آنها برای تعداد نامتناهی از حالت‌ها استفاده خواهیم کرد. اجازه دهید احتمالات نهایی حالت ها را با توجه به فرمول های (19.8)، (19.7) محاسبه کنیم. در مورد ما، تعداد عبارت های فرمول (19.8) بی نهایت خواهد بود. ما یک عبارت برای p 0:

پ 0 = -1 =

\u003d (1 + p + p 2 + ... + p k + ... .) -1. (20.11)

سری در فرمول (20.11) یک پیشرفت هندسی است. ما می دانیم که برای ρ< 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р.
میزبانی شده در ref.rf
برای p ≥ 1، سری واگرا می شود (که یک دلیل غیرمستقیم، اما نه دقیق، اثبات احتمالات حالت نهایی است p 0 , p 1 , ..., p k , ...فقط برای r وجود دارد<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ،

پ 0 = 1 - p. (20.12)

احتمالات p 1 , p 2 , ... , p k ,... را می توان با فرمول های زیر پیدا کرد:

p1 = ρ p 0 , p 2= ρ2 p 0,…,p k = ρ p0, ...,

از این رو، با در نظر گرفتن (20.12)، در نهایت می یابیم:

p1= ρ (1 - ρ) p2= ρ 2 (1 - ρ)، . . . ، p k =ρ ک(1 - p)، . . .(20.13)

همانطور که می بینید، احتمالات p0, p1, ..., p k، ...یک تصاعد هندسی با مخرج p تشکیل دهید.
میزبانی شده در ref.rf
به اندازه کافی عجیب، بزرگترین آنها p 0 -احتمال اینکه کانال اصلا رایگان باشه مهم نیست که سیستم چقدر با صف بارگذاری شده است، اگر فقط می تواند با جریان برنامه ها کنار بیاید (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

میانگین تعداد برنامه ها را در QS بیابید سیستم ^L. . در اینجا شما باید کمی سرهم بندی کنید. مقدار تصادفی ز-تعداد درخواست ها در سیستم - دارای مقادیر ممکن 0، 1، 2، .... ک، ...با احتمالات p0, p 1 , p 2 , ..., p k , ...انتظار ریاضی آن است

Lسیستم = 0 p 0 +یک · پ 1 + 2 پ 2 +…+ک · پ k +…= (20.14)

(مجموع نه از 0 تا ∞، بلکه از 1 تا ∞ گرفته می شود، زیرا جمله صفر برابر با صفر است).

عبارت for را در فرمول (20.14) جایگزین می کنیم p k (20.13):

Lسیستم =

حالا علامت جمع ρ (1-ρ) را خارج می کنیم:

Lسیستم = ρ(1-ρ)

در اینجا ما دوباره از "ترفند" استفاده می کنیم: کρ ک-1 چیزی جز مشتق نسبت به ρ عبارت ρ نیست ک; به معنای،

Lسیستم = ρ(1-ρ)

با مبادله عملیات تمایز و جمع، به دست می آوریم:

Lسیستم = ρ (1-ρ) (20.15)

اما مجموع در فرمول (20.15) چیزی نیست جز مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش با اولین جمله ρ و مخرج ρ. این مقدار

برابر و مشتق آن. با جایگزینی این عبارت به (20.15)، دریافت می کنیم:

Lسیستم = . (20.16)

خوب، حالا بیایید فرمول لیتل (19.12) را اعمال کنیم و میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی را در سیستم پیدا کنیم:

دبلیوسیستم = (20.17)

میانگین تعداد برنامه های موجود در صف را پیدا کنید Lاوه ما به صورت زیر استدلال خواهیم کرد: تعداد برنامه های موجود در صف برابر است با تعداد برنامه های موجود در سیستم منهای تعداد برنامه های تحت سرویس. بنابراین (طبق قانون جمع کردن انتظارات ریاضی)، میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف L pt برابر با میانگین تعداد برنامه های کاربردی در سیستم است Lسیستم منهای میانگین تعداد درخواست های تحت سرویس. تعداد درخواست های تحت سرویس باید یا صفر (در صورت رایگان بودن کانال) یا یک (در صورت اشغال بودن) باشد. انتظارات ریاضی از چنین متغیر تصادفی برابر با احتمال اشغال بودن کانال است (ما آن را نشان دادیم آرزان). به طور مشخص، آر zan برابر با یک منهای احتمال است p 0که کانال رایگان است: L ext و میانگین زمان این انتظار دبلیوخارجی (دو کمیت آخر با فرمول لیتل مرتبط هستند). در نهایت، مجموع جریمه روزانه W را پیدا کنید، که ایستگاه باید برای تردد قطارها در مسیرهای خارجی بپردازد، در صورتی که ایستگاه یک (روبل) جریمه برای یک ساعت از کار افتادن قطار یک قطار بپردازد. در هر صورت، در اینجا پاسخ ها وجود دارد: Lسیستم = 2 (ترکیب)، دبلیوسیستم = 1 (ساعت)، Lامتیاز = 4/3 (ترکیب)، دبلیو pt = 2/3 (ساعت)، Lخارجی = 16/27 (ترکیب)، دبلیوخارجی = 8/27 ≈ 0.297 (ساعت). میانگین جریمه روزانه W برای انتظار قطار در مسیرهای خارجی از ضرب میانگین تعداد قطارهایی که به ایستگاه در روز می‌رسند، میانگین زمان انتظار قطار در خطوط خارجی و جریمه ساعتی به دست می‌آید. آ: W ≈ 14.2 آ.

^ 3. QS را با صف نامحدود دوباره کانال کنید.کاملا شبیه به مشکل 2، اما کمی پیچیده تر، مشکل از nکانال QS با صف نامحدود. شماره گذاری ایالت ها دوباره بر اساس تعداد برنامه های موجود در سیستم است:

ن<1. В случае если ρ/n≥ 1، صف تا بی نهایت رشد می کند.

فرض کنیم شرط ρ/ n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для p 0مجموعه ای از اصطلاحات حاوی فاکتوریل به اضافه مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش با مخرج ρ / وجود خواهد داشت. n. با جمع بندی، متوجه می شویم

(20.22)

حال بیایید ویژگی های کارایی QS را پیدا کنیم. از این میان، یافتن میانگین تعداد کانال های شلوغ ساده تر است ک== λ/μ، = ρ (این به طور کلی برای هر QS با صف نامحدود صادق است). میانگین تعداد برنامه های موجود در سیستم را بیابید Lسیستم و میانگین تعداد برنامه های کاربردی در صف Lاوه از این میان، محاسبه دومی با توجه به فرمول آسانتر است

Lاوه =

انجام تبدیل های مربوطه با توجه به نمونه مسئله 2

(با تمایز سری)، دریافت می کنیم:

Lاوه = (20.23)

با اضافه کردن میانگین تعداد برنامه های تحت سرویس (همچنین میانگین تعداد کانال های شلوغ است) k =ρ، دریافت می کنیم:

Lسیستم = L och + ρ. (20.24)

تقسیم عبارات برای Lاوه و L syst روی λ , با استفاده از فرمول لیتل، میانگین زمان اقامت یک برنامه کاربردی در صف و سیستم را بدست می آوریم:

(20.25)

حالا بیایید یک مثال جالب را حل کنیم.
میزبانی شده در ref.rf
یک دفتر فروش بلیط راه آهن با دو پنجره، یک QS دو کاناله با یک صف نامحدود است که بلافاصله تا دو پنجره برقرار می شود (اگر یک پنجره رایگان باشد، مسافر بعدی در صف آن را می گیرد). گیشه بلیط ها را در دو نقطه می فروشد: A و AT.شدت جریان اپلیکیشن ها (مسافرانی که قصد خرید بلیط دارند) برای هر دو نقطه الف و بیکسان است: λ A = λ B = 0.45 (مسافر در دقیقه) و در مجموع یک جریان کلی از برنامه ها با شدت λ A را تشکیل می دهند. + λB = 0.9. یک صندوقدار به طور متوسط دو دقیقه را صرف خدمات رسانی به مسافر می کند. تجربه نشان می دهد که صف ها در باجه بلیط جمع می شوند، مسافران از کندی خدمات شکایت دارند. ولیو در AT،دو دفتر فروش بلیط تخصصی (یک پنجره در هر کدام) ایجاد کنید، بلیت‌ها را یک تا بفروشید ولی، دیگری - فقط به نقطه AT.درستی این پیشنهاد بحث برانگیز است - برخی استدلال می کنند که صف ها ثابت خواهند ماند. لازم است سودمندی پیشنهاد را با محاسبه بررسی کنید. از آنجایی که می‌توانیم ویژگی‌ها را فقط برای ساده‌ترین QS محاسبه کنیم، بیایید فرض کنیم که همه جریان‌های رویداد ساده‌ترین هستند (این روی جنبه کیفی نتیجه‌گیری تأثیری نخواهد داشت).

خب پس بیایید سر کار برویم. بیایید دو گزینه را برای سازماندهی فروش بلیط در نظر بگیریم - موجود و پیشنهادی.

گزینه I (موجود). یک QS دو کاناله جریانی از برنامه ها را با شدت λ = 0.9 دریافت می کند. شدت جریان نگهداری μ = 1/2 = 0.5; ρ = λ/μ = l.8. از آنجایی که ρ/2 = 0.9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим p 0 ≈ 0.0525. میانگین، تعداد برنامه های کاربردی در صف با فرمول (20.23) یافت می شود: L och ≈ 7.68; میانگین زمان صرف شده توسط مشتری در صف (طبق فرمول اول (20.25))، برابر است با دبلیوامتیاز ≈ 8.54 (دقیقه).

گزینه دوم (پیشنهاد شده). لازم است دو QS تک کاناله (دو پنجره تخصصی) در نظر گرفته شود. هر یک جریانی از درخواست ها را با شدت λ = 0.45 دریافت می کند. μ . هنوز هم برابر با 0.5; ρ = λ/μ = 0.9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L och = 8.1.

اینجا یکی برای شماست! طول صف، معلوم است، نه تنها کاهش نیافته، بلکه افزایش یافته است! شاید میانگین زمان انتظار در صف کاهش یافته است؟ اجازه بدید ببینم. دلیا Lامتیاز در λ = 0.45، به دست می آوریم دبلیوامتیاز ≈ 18 (دقیقه).

عقلانیت همین است! به جای کاهش، هم میانگین طول صف و هم میانگین زمان انتظار در آن افزایش یافت!

بیایید سعی کنیم حدس بزنیم که چرا این اتفاق افتاد؟ با فکر کردن به مغزمان، به این نتیجه می رسیم: این اتفاق افتاد زیرا در نوع اول (QS دو کاناله) میانگین زمان بیکاری کمتر است.

نمونه هایی از حل مسائل سیستم های صف - مفهوم و انواع. طبقه بندی و ویژگی های دسته "نمونه هایی از حل مشکلات سیستم های صف" 2017, 2018.

فرآیند تصادفی مارکوف با حالت های گسسته و زمان پیوسته در نظر گرفته شده در سخنرانی قبلی در سیستم های صف (QS) انجام می شود.

سیستم های نوبت دهی - اینها سیستم هایی هستند که در آنها درخواست های خدمات در زمان های تصادفی دریافت می شوند، در حالی که درخواست های دریافت شده با استفاده از کانال های خدماتی موجود در سیستم سرویس می شوند.

نمونه هایی از سیستم های صف بندی عبارتند از:

تسویه حساب و گره های نقدی در بانک ها، شرکت ها؛
رایانه های شخصی که به برنامه های ورودی یا الزامات برای حل مشکلات خاص خدمت می کنند.
ایستگاه های خدمات خودرو؛ پمپ بنزین؛
موسسات حسابرسی؛
دپارتمان های بازرسی مالیاتی درگیر پذیرش و تأیید گزارش های جاری شرکت ها؛
مبادلات تلفنی و غیره

	گره ها	الزامات

بیمارستان	سفارش دهنده ها	بیماران
تولید
فرودگاه	باند خارج می شود امتیاز ثبت نام	مسافران

طرح عملیات QS را در نظر بگیرید (شکل 1). این سیستم از یک مولد درخواست، یک توزیع کننده و یک گره سرویس، یک گره حسابداری خرابی (ترمیناتور، نابودگر درخواست) تشکیل شده است. یک گره سرویس به طور کلی می تواند چندین کانال خدماتی داشته باشد.

برنج. یکی

مولد برنامه - یک شی که برنامه های کاربردی تولید می کند: یک خیابان، یک کارگاه با واحدهای نصب شده. ورودی است جریان برنامه(جریان مشتریان به فروشگاه، جریان واحدهای خراب (ماشین، ماشین آلات) برای تعمیرات، جریان بازدیدکنندگان به کمد لباس، سرازیر شدن اتومبیل ها به پمپ بنزین ها و غیره).
دیسپچر - شخص یا دستگاهی که می داند با بلیط چه کند. گره ای که درخواست ها را به کانال های سرویس تنظیم و هدایت می کند. دیسپچر:

درخواست ها را می پذیرد.
اگر همه کانال ها مشغول باشند یک صف تشکیل می دهد.
آنها را در صورت وجود به کانال های خدماتی هدایت می کند.
درخواست ها را رد می کند (به دلایل مختلف)؛
اطلاعاتی را از گره سرویس در مورد کانال های رایگان دریافت می کند.
زمان سیستم را پیگیری می کند.

دور زدن - ذخیره کننده درخواست ممکن است صف وجود نداشته باشد.
گره خدمات شامل تعداد محدودی کانال خدماتی است. هر کانال 3 حالت دارد: آزاد، مشغول، بیکار. اگر همه کانال ها مشغول هستند، می توانید یک استراتژی برای انتقال برنامه به چه کسی ارائه دهید.
امتناع از سرویس در صورتی رخ می دهد که همه کانال ها مشغول باشند (برخی از آنها ممکن است کار نکنند).

علاوه بر این عناصر اساسی در QS، برخی از منابع مؤلفه های زیر را نیز متمایز می کنند:

فسخ کننده - نابود کننده معاملات؛

انبار - ذخیره سازی منابع و محصولات نهایی؛

حساب حسابداری - برای انجام عملیات از نوع "پست"؛

مدیر - مدیر منابع؛

طبقه بندی CMO

تقسیم اول (با وجود صف):

CMO با شکست.
CMO با یک صف.

AT CMO با شکستدرخواستی که در لحظه ای که همه کانال ها مشغول هستند می رسد، رد می شود، QS را ترک می کند و بیشتر ارائه نمی شود.

AT CMO با یک صفبرنامه‌ای که در زمانی وارد می‌شود که همه کانال‌ها مشغول هستند، آن را ترک نمی‌کند، بلکه در صف قرار می‌گیرد و منتظر فرصتی برای ارائه خدمات است.

QS با صفبسته به نحوه سازماندهی صف به انواع مختلفی تقسیم می شوند - محدود یا محدود نشده است. محدودیت ها می تواند هم به طول صف و هم به زمان انتظار، «انضباط خدمات» مربوط باشد.

بنابراین، به عنوان مثال، QS های زیر در نظر گرفته می شوند:

QS با درخواست های بی حوصله (طول صف و زمان خدمات محدود است)؛
QS با خدمات اولویت دار، یعنی برخی از برنامه ها خارج از نوبت ارائه می شوند و غیره.

انواع محدودیت صف را می توان ترکیب کرد.

طبقه بندی دیگری CMO را بر اساس منبع برنامه ها تقسیم می کند. خود سیستم یا برخی از محیط های خارجی که مستقل از سیستم وجود دارد می تواند برنامه های کاربردی (نیازمندی) ایجاد کند.

به طور طبیعی، جریان درخواست های تولید شده توسط خود سیستم به سیستم و وضعیت آن بستگی دارد.

علاوه بر این، SMO ها به تقسیم می شوند باز کن CMO و بسته SMO.

در یک QS باز، ویژگی های جریان برنامه ها به وضعیت خود QS (چند کانال مشغول هستند) بستگی ندارد. در یک QS بسته، آنها وابسته هستند. به عنوان مثال، اگر یک کارگر به گروهی از ماشین‌ها سرویس دهد که هر از گاهی نیاز به تنظیم دارند، شدت جریان "نیازها" از ماشین‌ها به این بستگی دارد که چه تعداد از آنها از قبل در وضعیت خوبی هستند و منتظر تنظیم هستند.

نمونه ای از سیستم بسته: صدور حقوق توسط صندوقدار در یک شرکت.

بر اساس تعداد کانال ها، QS به دو دسته تقسیم می شوند:

تک کانال؛
چند کاناله

ویژگی های سیستم نوبت دهی

ویژگی های اصلی یک سیستم نوبت دهی از هر نوع عبارتند از:

جریان ورودی نیازمندی‌های دریافتی یا درخواست‌های خدمات؛
نظم صف؛
مکانیزم خدمات

جریان ورودی مورد نیاز

برای توصیف جریان ورودی، باید تنظیم کنید یک قانون احتمالاتی که دنباله لحظه های دریافت خدمات مورد نیاز را تعیین می کند.و تعداد اینگونه مطالبات را در هر رسید عادی ذکر کنید. در این مورد، به عنوان یک قاعده، آنها با مفهوم "توزیع احتمالی لحظه های دریافت نیازمندی ها" عمل می کنند. در اینجا شما می توانید مانند رفتار کنید الزامات تک و گروهی (تعداد چنین ادعاهایی در هر رسید متوالی). در مورد دوم، ما معمولاً در مورد سیستم نوبت دهی با سرویس گروه موازی صحبت می کنیم.

یک آی- زمان رسیدن بین نیازمندی ها - متغیرهای تصادفی مستقل و یکسان توزیع شده؛

E(A)میانگین (MO) زمان رسیدن است.

λ=1/E(A)- شدت دریافت الزامات؛

مشخصات جریان ورودی:

یک قانون احتمالاتی که توالی لحظه های دریافت خدمات مورد نیاز را تعیین می کند.
تعداد درخواست‌ها در هر ورود بعدی برای جریان‌های چندپخشی.

نظم و انضباط صف

دور زدن - مجموعه ای از الزامات در انتظار خدمات.

صف یک نام دارد.

نظم و انضباط صف این اصل را تعیین می کند که بر اساس آن درخواست هایی که به ورودی سیستم خدمات می رسند از صف به رویه سرویس متصل می شوند. پرکاربردترین رشته های صف با قوانین زیر تعریف می شوند:

اولین آمد - اولین خدمت؛

اولین در اولین خروج (FIFO)

رایج ترین نوع صف

چه ساختار داده ای برای توصیف چنین صفی مناسب است؟ آرایه بد است (محدود است). می توانید از ساختار LIST استفاده کنید.

لیست یک شروع و یک پایان دارد. لیست شامل ورودی ها می باشد. ورودی یک سلول فهرست است. برنامه به انتهای لیست می رسد و از ابتدای لیست برای سرویس انتخاب می شود. ورودی شامل توضیحات برنامه و یک پیوند (شاخص افرادی است که پشت آن هستند). علاوه بر این، اگر صف دارای محدودیت زمانی باشد، باید محدودیت زمانی نیز مشخص شود.

شما به عنوان برنامه نویس باید بتوانید لیست ها را دو طرفه و یک طرفه بسازید.

فهرست اقدامات:

وارد دم کنید؛
گرفتن از ابتدا؛
حذف از لیست پس از اتمام زمان
آخرین آمدن، اولین خدمت LIFO (کلیپ کارتریج، بن بست در ایستگاه راه آهن، وارد یک ماشین پر شد).

ساختاری که به STACK معروف است. می توان با یک آرایه یا ساختار فهرست توصیف کرد.

انتخاب تصادفی برنامه ها؛
انتخاب برنامه ها بر اساس معیار اولویت.

هر برنامه، از جمله، با یک سطح اولویت مشخص می شود و پس از ورود، نه در انتهای صف، بلکه در انتهای گروه اولویت خود قرار می گیرد. توزیع کننده بر اساس اولویت مرتب می کند.

ویژگی های صف

محدودیتزمان انتظارلحظه وقوع سرویس (یک صف با زمان انتظار محدود برای سرویس وجود دارد که با مفهوم "طول صف قابل قبول" همراه است).
طول صف

مکانیزم خدمات

مکانیزم خدمات با ویژگی های خود رویه خدمات و ساختار سیستم خدمات تعیین می شود. مراحل تعمیر و نگهداری عبارتند از:

تعداد کانال های خدمات ( ن);
مدت زمان سرویس (توزیع احتمالی زمان خدمات مورد نیاز)؛
تعداد الزامات برآورده شده در نتیجه اجرای هر روش (برای برنامه های گروهی)؛
احتمال شکست کانال سرویس دهی؛
ساختار سیستم خدمات

برای توصیف تحلیلی ویژگی‌های رویه خدمات، از مفهوم "توزیع احتمالی زمان خدمات مورد نیاز" استفاده می‌شود.

سی- زمان سرویس مننیاز هفتم؛

E(S)- میانگین زمان خدمات؛

μ=1/E(S)- سرعت خدمات مورد نیاز.

لازم به ذکر است که زمان سرویس دهی به یک اپلیکیشن به ماهیت خود اپلیکیشن یا نیازهای مشتری و به وضعیت و قابلیت های سیستم سرویس دهی بستگی دارد. در برخی موارد نیز باید در نظر گرفته شود احتمال شکست کانال سرویسپس از یک بازه زمانی معین این مشخصه را می توان به عنوان جریانی از خرابی هایی که به QS وارد می شوند و بر سایر درخواست ها اولویت دارند، مدل سازی کرد.

فاکتور استفاده از QS

نμ – نرخ سرویس در سیستم زمانی که تمام دستگاه های سرویس مشغول هستند.

ρ=λ/( نμ) نامیده می شود فاکتور استفاده از QS ، نشان می دهد که چه مقدار از منابع سیستم استفاده می شود.

ساختار سیستم خدمات

ساختار سیستم خدمات با تعداد و ترتیب متقابل کانال های خدمات (مکانیسم ها، دستگاه ها و غیره) تعیین می شود. اول از همه، باید تاکید کرد که یک سیستم خدمات ممکن است نه یک کانال، بلکه چندین کانال خدماتی داشته باشد. یک سیستم از این نوع می تواند چندین نیاز را به طور همزمان برآورده کند. در این مورد، همه کانال های سرویس خدمات یکسانی را ارائه می دهند، و بنابراین، می توان استدلال کرد که وجود دارد سرویس موازی .

مثال. صندوق های پول در فروشگاه.

سیستم خدمات می تواند از چندین نوع کانال خدماتی مختلف تشکیل شده باشد که هر یک از نیازهای سرویس شده باید از طریق آنها عبور کند، یعنی در سیستم خدمات. رویه های سرویس دهی نیازمندی ها به صورت متوالی اجرا می شوند . مکانیسم سرویس ویژگی های جریان خروجی (خدمت شده) درخواست ها را تعریف می کند.

مثال. کمیسیون پزشکی

سرویس ترکیبی - خدمات سپرده در بانک پس انداز: ابتدا کنترل کننده، سپس صندوقدار. به عنوان یک قاعده، 2 کنترلر در هر صندوقدار.

بنابراین، عملکرد هر سیستم صف با عوامل اصلی زیر تعیین می شود :

توزیع احتمالی لحظه های دریافت درخواست های خدمات (تک یا گروهی)؛
ظرفیت منبع مورد نیاز;
توزیع احتمالی مدت زمان خدمات؛
پیکربندی سیستم خدمات (سرویس موازی، سریال یا موازی سریال)؛
تعداد و عملکرد کانال های ارائه شده؛
نظم صف

معیارهای اصلی برای اثربخشی عملکرد QS

مانند معیارهای اصلی برای اثربخشی عملکرد سیستم های صف بسته به ماهیت مشکلی که حل می شود، ممکن است موارد زیر وجود داشته باشد:

احتمال سرویس فوری برنامه دریافت شده (سرویس P =K obs /K پست)؛
احتمال رد سرویس درخواست دریافتی (P otk =K otk /K post)؛

بدیهی است که R obl + P otk =1.

جریان، تاخیر، خدمات. فرمول پولاک-خینچین

تاخیر انداختن - یکی از معیارهای خدمات QS، زمان صرف شده توسط درخواست در انتظار خدمات است.

D i- تاخیر در صف درخواست من;

W i \u003d D i + S i- زمان صرف شده در سیستم مورد نیاز من.

(با احتمال 1) میانگین تأخیر تعیین شده یک درخواست در صف است.

(با احتمال 1) میانگین زمان ماندگاری است که مورد نیاز در QS (انتظار) صرف می کند.

Q(ت) -تعداد درخواست ها در صف در یک زمان t;

L(ت)– تعداد مشتریان در سیستم در یک زمان تی(Q(ت)به علاوه تعداد الزاماتی که در آن زمان در حال خدمت هستند تی

سپس توان (در صورت وجود)

(با احتمال 1) میانگین زمان حالت پایدار تعداد درخواست ها در صف است.

(با احتمال 1) تعداد متوسط درخواست ها در سیستم حالت پایدار است.

توجه داشته باشید که ρ<1 – обязательное условие существования d، w، Qو Lدر سیستم نوبت دهی

اگر یادمان باشد ρ= λ/( نμ) مشخص می شود که اگر شدت دریافت درخواست ها بیشتر باشد نμ، سپس ρ>1، و طبیعی است که سیستم قادر به مقابله با چنین جریانی از برنامه های کاربردی نخواهد بود و بنابراین نمی توان از آن صحبت کرد. d، w، Qو L.

کلی ترین و ضروری ترین نتایج برای سیستم های صف شامل معادلات بقا می باشد

لازم به ذکر است که معیارهای فوق برای ارزیابی عملکرد سیستم به صورت تحلیلی برای سیستم های نوبت دهی قابل محاسبه است. M/M/N(ن>1)، یعنی سیستم هایی با جریان های مارکوف از مشتریان و خدمات. برای M/G/ l برای هر توزیع جیو برای برخی سیستم های دیگر به طور کلی، توزیع زمان بین ورود، توزیع زمان سرویس یا هر دو باید نمایی (یا نوعی توزیع ارلنگ نمایی از مرتبه kth) باشد تا یک راه حل تحلیلی امکان پذیر باشد.

علاوه بر این، می توانید در مورد ویژگی هایی مانند:

توان عملیاتی مطلق سیستم – سرویس А=Р *λ;
توان عملیاتی نسبی سیستم -

مثال جالب (و گویا) دیگری از یک راه حل تحلیلی – محاسبه میانگین تاخیر صف حالت ثابت برای یک سیستم صف M/G/ 1 طبق فرمول:

در روسیه این فرمول به فرمول پولاکک معروف است. – خینچین، در خارج از کشور این فرمول با نام راس همراه است.

بنابراین، اگر E(S)مقدار بیشتری دارد، سپس اضافه بار (در این مورد اندازه گیری می شود د) بزرگتر خواهد بود. که قابل انتظار است. این فرمول همچنین یک واقعیت کمتر آشکار را نشان می‌دهد: ازدحام نیز زمانی افزایش می‌یابد که تغییرپذیری در توزیع زمان خدمات افزایش می‌یابد، حتی اگر میانگین زمان سرویس ثابت بماند. به طور شهودی، این می تواند به صورت زیر توضیح داده شود: واریانس متغیر تصادفی زمان سرویس می تواند مقدار زیادی به خود بگیرد (زیرا باید مثبت باشد)، یعنی تنها دستگاه سرویس برای مدت طولانی مشغول خواهد بود که منجر به افزایش می شود. در صف.

موضوع تئوری صفایجاد رابطه بین عواملی است که عملکرد سیستم صف را تعیین می کند و کارایی عملکرد آن. در بیشتر موارد، تمام پارامترهایی که سیستم های صف را توصیف می کنند، متغیرها یا توابع تصادفی هستند، بنابراین این سیستم ها به عنوان سیستم های تصادفی شناخته می شوند.

ماهیت تصادفی جریان برنامه ها (نیازمندی ها)، و همچنین، در حالت کلی، مدت زمان خدمت منجر به این واقعیت می شود که یک فرآیند تصادفی در سیستم صف رخ می دهد. بر اساس ماهیت فرآیند تصادفی در یک سیستم صف (QS) متمایز می شوند سیستم های مارکوف و غیر مارکوف . در سیستم‌های مارکوف، جریان ورودی درخواست‌ها و جریان خروجی درخواست‌های سرویس‌دهی شده (ادعاها) پواسون هستند. جریان پواسون توصیف و ساخت یک مدل ریاضی از یک سیستم صف را آسان می کند. این مدل‌ها راه‌حل‌های نسبتاً ساده‌ای دارند، بنابراین بیشتر کاربردهای معروف تئوری صف از طرح مارکوف استفاده می‌کنند. در مورد فرآیندهای غیر مارکویی، مشکلات مطالعه سیستم‌های صف بسیار پیچیده‌تر می‌شود و نیاز به استفاده از مدل‌سازی آماری، روش‌های عددی با استفاده از رایانه دارد.