چگالی احتمال یک متغیر تصادفی x توسط یک تابع داده می شود. متغیر تصادفی پیوسته، تابع توزیع و چگالی احتمال

متغیر تصادفیمتغیری نامیده می شود که در نتیجه هر آزمون، بسته به دلایل تصادفی، یک مقدار ناشناخته قبلی را به خود می گیرد. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ نشان داده می شوند با حروف لاتین: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ متغیرهای تصادفی می توانند باشند گسستهو مداوم.

متغیر تصادفی گسسته- این یک متغیر تصادفی است که مقادیر آن نمی تواند بیش از قابل شمارش باشد، یعنی محدود یا قابل شمارش. شمارش پذیری به این معنی است که مقادیر یک متغیر تصادفی قابل شمارش است.

مثال 1 . اجازه دهید مثال هایی از متغیرهای تصادفی گسسته را بیاوریم:

الف) تعداد ضربه به هدف با شلیک $n$، در اینجا مقادیر ممکن $0،\ 1،\ \dots،\ n$ هستند.

ب) تعداد نشان هایی که هنگام پرتاب سکه افتادند، در اینجا مقادیر ممکن $0,\ 1,\ \dots,\ n$ هستند.

ج) تعداد کشتی هایی که وارد کشتی شده اند (مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش).

د) تعداد تماس هایی که به صرافی می رسد (مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش).

1. قانون توزیع احتمال یک متغیر تصادفی گسسته.

یک متغیر تصادفی گسسته $X$ می‌تواند مقادیر $x_1,\dots,\ x_n$ را با احتمالات $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ بگیرد. مطابقت بین این مقادیر و احتمالات آنها نامیده می شود قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته. به عنوان یک قاعده، این مکاتبات با استفاده از جدولی مشخص می شود که در خط اول آن مقادیر $x_1،\dots،\ x_n$ نشان داده شده است و در خط دوم احتمالات مربوط به این مقادیر $ است. p_1،\dots،\ p_n$.

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(آرایه)$

مثال 2 . اجازه دهید متغیر تصادفی $X$ تعداد نقاط پرتاب شده در هنگام ریختن تاس باشد. چنین متغیر تصادفی $X$ می تواند طول بکشد مقادیر زیر$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. احتمالات همه این مقادیر برابر با 1/6 دلار است. سپس قانون توزیع احتمال برای متغیر تصادفی $X$:

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(آرایه)$

اظهار نظر. از آنجایی که در قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $X$ رویدادهای $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ شکل می‌گیرند. گروه کاملرویدادها، پس مجموع احتمالات باید برابر با یک باشد، یعنی $\sum(p_i)=1$.

2. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفیمقدار "مرکزی" آن را مشخص می کند. برای یک متغیر تصادفی گسسته ارزش مورد انتظاربه عنوان مجموع حاصل از مقادیر $x_1،\dots،\ x_n$ و احتمالات $p_1،\dots،\ p_n$ مربوط به این مقادیر محاسبه می‌شود، یعنی: $M\left(X\right) =\sum^n_(i=1)(p_ix_i)$. در ادبیات انگلیسی از علامت دیگری $E\left(X\right)$ استفاده می شود.

ویژگی های انتظار$M\چپ(X\راست)$:

$M\left(X\right)$ بین کوچکترین و بالاترین ارزش هامتغیر تصادفی $X$.
انتظار ریاضی از یک ثابت برابر است با خود ثابت، یعنی. $M\left(C\right)=C$.
عامل ثابت را می توان از علامت انتظار خارج کرد: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
انتظارات ریاضی حاصلضرب متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

مثال 3 . بیایید انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ را از مثال $2$ پیدا کنیم.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

می توانیم متوجه شویم که $M\left(X\right)$ بین کوچکترین ($1$) و بزرگترین ($6$) مقادیر متغیر تصادفی $X$ قرار دارد.

مثال 4 . مشخص است که انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ برابر است با $M\left(X\right)=2$. انتظارات ریاضی متغیر تصادفی $3X+5$ را بیابید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ دریافت می کنیم. cdot 2 +5=11$.

مثال 5 . مشخص است که انتظار ریاضی متغیر تصادفی $X$ برابر است با $M\left(X\right)=4$. انتظارات ریاضی متغیر تصادفی $2X-9$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ دریافت می کنیم. cdot 4 -9=-1$.

3. پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته.

مقادیر احتمالی متغیرهای تصادفی با انتظارات ریاضی برابر می توانند به طور متفاوتی در اطراف مقادیر متوسط آنها پراکنده شوند. مثلا در دو گروه دانشجویی معدلبرای امتحان در تئوری احتمال برابر با 4 بود ، اما در یک گروه همه دانش آموزان خوبی بودند و در گروه دیگر - فقط سه نفر و دانش آموزان ممتاز. بنابراین، نیاز به چنین مشخصه عددی یک متغیر تصادفی وجود دارد که گستردگی مقادیر یک متغیر تصادفی را در اطراف انتظارات ریاضی آن نشان دهد. این ویژگی پراکندگی است.

پراکندگی یک متغیر تصادفی گسسته X$$ عبارت است از:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

در ادبیات انگلیسی از علامت $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ استفاده می شود. اغلب واریانس $D\left(X\right)$ با فرمول $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) محاسبه می شود چپ(X \راست)\راست))^2$.

خواص پراکندگی$D\چپ(X\راست)$:

پراکندگی همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است، یعنی. $D\left(X\راست)\ge 0$.
پراکندگی از یک ثابت برابر با صفر است، یعنی. $D\left(C\right)=0$.
ضریب ثابت را می توان از علامت پراکندگی خارج کرد، مشروط بر اینکه مربع باشد، یعنی. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها، یعنی. $D\left(X+Y\right)=D\چپ(X\راست)+D\چپ(Y\راست)$.
واریانس تفاوت متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس آنها، یعنی. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

مثال 6 . اجازه دهید واریانس متغیر تصادفی $X$ را از مثال $2$ محاسبه کنیم.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\راست))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\راست))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\راست))^2=((35)\over (12))\تقریبا 2.92.$$

مثال 7 . مشخص است که واریانس متغیر تصادفی $X$ برابر است با $D\left(X\right)=2$. واریانس متغیر تصادفی $4X+1$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= را پیدا می کنیم 16D\ چپ(X\راست)=16\cdot 2=32$.

مثال 8 . مشخص است که واریانس $X$ برابر است با $D\left(X\right)=3$. واریانس متغیر تصادفی $3-2X$ را پیدا کنید.

با استفاده از ویژگی های بالا، $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= را پیدا می کنیم 4D\ چپ(X\راست)=4\cdot 3=12$.

4. تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسسته.

روش نمایش یک متغیر تصادفی گسسته در قالب یک سری توزیع، تنها روش نیست و مهمتر از همه، جهانی نیست، زیرا یک متغیر تصادفی پیوسته را نمی توان با استفاده از یک سری توزیع مشخص کرد. راه دیگری برای نشان دادن یک متغیر تصادفی وجود دارد - تابع توزیع.

تابع توزیعمتغیر تصادفی $X$ یک تابع $F\left(x\right)$ است که احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقداری کمتر از مقدار ثابت $x$، یعنی $F\left(x\) را تعیین می کند. راست)$ )=P\چپ(X< x\right)$

ویژگی های تابع توزیع:

$0\le F\چپ(x\راست)\le 1$.
احتمال اینکه متغیر تصادفی $X$ مقادیری را از بازه $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ بگیرد برابر است با تفاوت بین مقادیر تابع توزیع در انتهای این بازه : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
$F\left(x\right)$ - بدون کاهش.
$(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \right)=1\ )$.

مثال 9 . اجازه دهید تابع توزیع $F\left(x\right)$ را برای قانون توزیع متغیر تصادفی گسسته $X$ از مثال $2$ پیدا کنیم.

$\begin(آرایه)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(آرایه)$

اگر $x\le 1$، پس واضح است که $F\left(x\right)=0$ (شامل $x=1$$F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

اگر 1 دلار< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

اگر 2 دلار< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

اگر 3 دلار< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

اگر 4 دلار< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

اگر 5 دلار< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

اگر $x > 6$، آنگاه $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\راست) + P\left(X=4\راست)+P\left(X=5\راست)+P\چپ(X=6\راست)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

بنابراین $F(x)=\left\(\begin(ماتریس)
0،\ در\ x\le 1،\\
1/6، در \ 1< x\le 2,\\
1/3،\ در\ 2< x\le 3,\\
1/2، در \ 3< x\le 4,\\
2/3،\ در\ 4< x\le 5,\\
5/6، \ در \ 4< x\le 5,\\
1،\ برای \ x > 6.
\end(ماتریس)\right.$

9. متغیر تصادفی پیوسته، مشخصات عددی آن

یک متغیر تصادفی پیوسته را می توان با استفاده از دو تابع مشخص کرد. تابع توزیع احتمال انتگرالی یک متغیر تصادفی Xتابع تعریف شده توسط تساوی نامیده می شود
.

تابع انتگرال می دهد راه کلیتخصیص متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته. در مورد یک متغیر تصادفی پیوسته. همه رویدادها: احتمال یکسانی برابر با افزایش تابع انتگرال در این بازه دارند، به عنوان مثال، برای یک متغیر تصادفی گسسته ارائه شده در مثال 26، داریم:

بنابراین، نمودار تابع انتگرال تابع مورد بررسی، اتحاد دو پرتو و سه قطعه موازی با محور Ox است.

مثال 27. یک متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع توزیع احتمال انتگرال داده می شود

نموداری از تابع انتگرال بسازید و این احتمال را بیابید که در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی X مقداری در بازه (0.5؛ 1.5) بگیرد.

راه حل. در فاصله زمانی
نمودار یک خط مستقیم y \u003d 0 است. در فاصله 0 تا 2 - یک سهمی، توسط معادله داده شده است
. در فاصله زمانی
نمودار خط مستقیم y = 1 است.

احتمال اینکه متغیر تصادفی X در نتیجه آزمون مقداری در بازه (0.5؛ 1.5) بگیرد با فرمول پیدا می شود.

به این ترتیب، .

ویژگی های تابع توزیع احتمال انتگرال:

قانون توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته به راحتی با استفاده از تابع دیگری مشخص می شود، یعنی: توابع چگالی احتمال
.

احتمال اینکه مقدار گرفته شده توسط متغیر تصادفی X در بازه قرار گیرد
، با برابری تعیین می شود
.

نمودار تابع نامیده می شود منحنی توزیع. از نظر هندسی، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی X در بازه برابر با مساحت ذوزنقه منحنی منحنی مربوطه است که توسط منحنی توزیع، محور Ox و خطوط مستقیم محدود شده است.
.

ویژگی های تابع چگالی احتمال:

9.1. ویژگی های عددیمتغیرهای تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظار(مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی پیوسته X با برابری تعریف می شود
.

M(X) با نشان داده می شود آ. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته نیز مشابه است کمیت گسسته، خواص:

پراکندگیمتغیر تصادفی گسسته X انتظار ریاضی انحراف مجذور متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است، یعنی. . برای یک متغیر تصادفی پیوسته، واریانس با داده می شود
.

پراکندگی دارای خواص زیر است:

آخرین ویژگی برای یافتن واریانس یک متغیر تصادفی پیوسته بسیار راحت است.

مفهوم انحراف معیار نیز به همین ترتیب معرفی شده است. RMS پیوستهمتغیر تصادفی X جذر واریانس نامیده می شود، یعنی.
.

مثال 28. یک متغیر تصادفی پیوسته X توسط تابع چگالی احتمال داده می شود
در بازه (10;12)، خارج از این بازه مقدار تابع 0 است. 1) مقدار پارامتر را پیدا کنید. آ، 2) انتظار ریاضی M(X)، واریانس
، میانگین انحراف معیار، 3) تابع انتگرال
و نمودارهایی از توابع انتگرال و دیفرانسیل بسازید.

یک). برای یافتن پارامتر آاز فرمول استفاده کنید
. ما گرفتیم . به این ترتیب،
.

2). برای یافتن انتظارات ریاضی، از فرمول استفاده می کنیم: , که از آن نتیجه می شود
.

ما پراکندگی را با استفاده از فرمول پیدا خواهیم کرد:
، یعنی .

بیایید انحراف معیار را با فرمول پیدا کنیم: از جایی که آن را دریافت می کنیم
.

3). تابع انتگرال بر حسب تابع چگالی احتمال به صورت زیر بیان می شود:
. در نتیجه،
در
، = 0 برای
و = 1 در
.

نمودارهای این توابع در شکل نشان داده شده است. 4. و شکل 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. توزیع احتمال یکنواخت یک متغیر تصادفی پیوسته

توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته X به طور مساویاگر چگالی احتمال آن در این بازه ثابت باشد و در خارج از این بازه برابر با صفر باشد، یعنی. . نشان دادن آن در این مورد آسان است
.

اگر فاصله
پس از آن در بازه موجود است
.

مثال 29.یک رویداد متشکل از یک سیگنال آنی باید بین ساعت 1 بعد از ظهر تا 5 بعد از ظهر رخ دهد. زمان انتظار سیگنال یک متغیر تصادفی X است. احتمال ثابت شدن سیگنال بین ساعت دو و سه بعد از ظهر را پیدا کنید.

راه حل. متغیر تصادفی X توزیع یکنواختی دارد و با فرمول در می یابیم که احتمال اینکه سیگنال بین ساعت 2 و 3 بعد از ظهر باشد برابر است با
.

در ادبیات آموزشی و سایر ادبیات، اغلب در ادبیات از طریق نشان داده می شود
.

9.3. توزیع احتمال عادی یک متغیر تصادفی پیوسته

توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته نرمال نامیده می شود اگر قانون توزیع احتمال آن توسط چگالی احتمال تعیین شود.
. برای چنین مقادیری آ- ارزش مورد انتظار،
- انحراف معیار.

قضیه. احتمال سقوط یک متغیر تصادفی پیوسته با توزیع نرمال در یک بازه معین
با فرمول تعیین می شود
، جایی که
تابع لاپلاس است.

نتیجه این قضیه قاعده سه سیگما است، یعنی. تقریباً مطمئن است که یک متغیر تصادفی پیوسته و معمولی توزیع شده X مقادیر خود را در بازه زمانی می گیرد.
. این قانون از فرمول گرفته شده است
، که یک مورد خاص از قضیه فرمول بندی شده است.

مثال 30.عمر تلویزیون یک متغیر تصادفی X است که تابع آن است قانون عادیتوزیع، با دوره گارانتی 15 سال و انحراف استاندارد 3 سال. احتمال دوام تلویزیون از 10 تا 20 سال را پیدا کنید.

راه حل. با توجه به شرط مسئله، انتظار ریاضی آ= 15، انحراف استاندارد.

بیایید پیدا کنیم . بنابراین، احتمال کارکرد تلویزیون از 10 تا 20 سال بیش از 0.9 است.

9.4 نابرابری چبیشف

رخ می دهد لم چبیشف. اگر یک متغیر تصادفی X فقط مقادیر غیر منفی را بگیرد و انتظار ریاضی داشته باشد، برای هر مثبت که در
.

با در نظر گرفتن این که به عنوان مجموع احتمالات رویدادهای متضاد، آن را به دست می آوریم
.

قضیه چبیشف. اگر متغیر تصادفی X دارای واریانس محدود باشد
و انتظار ریاضی M(X)، سپس برای هر مثبت نابرابری
.

از آنجا نتیجه می گیرد که
.

مثال 31.دسته ای از قطعات ساخته شده است. طول متوسط قطعات 100 سانتی متر و انحراف استاندارد 0.4 سانتی متر است. احتمال اینکه طول قطعه ای که به طور تصادفی گرفته می شود حداقل 99 سانتی متر باشد را از زیر تخمین بزنید. و بیش از 101 سانتی متر نباشد.

راه حل. پراکندگی انتظار ریاضی 100 است. بنابراین، برای تخمین احتمال رخداد در نظر گرفته شده از زیر
ما نابرابری چبیشف را اعمال می کنیم که در آن
، سپس
.

10. عناصر آمار ریاضی

جامعه آماریمجموعه ای از اشیاء یا پدیده های همگن را نام ببرید. عدد پعناصر این مجموعه را حجم مجموعه می گویند. مقادیر مشاهده شده ویژگی X نامیده می شود گزینه ها. اگر گزینه ها به ترتیب صعودی هستند، پس سری تغییرات گسسته. در مورد گروه بندی، گزینه بر اساس فواصل به دست می آید سری تغییرات بازه ای. زیر فرکانس tمقادیر ویژگی تعداد اعضای جمعیت را با یک نوع معین درک می کنند.

نسبت فراوانی به اندازه جامعه آماری نامیده می شود فراوانی نسبیامضاء کردن:
.

همبستگی بین گزینه ها سری تغییراتو فرکانس آنها نامیده می شود توزیع آماری نمونه. یک نمایش گرافیکی از یک توزیع آماری می تواند باشد چند ضلعیفرکانس ها

مثال 32.با مصاحبه با 25 دانشجوی سال اول، اطلاعات زیر در مورد سن آنها به دست آمد:
. ساختن توزیع آماریدانش‌آموزان بر حسب سن، دامنه تغییرات را پیدا کرده، یک چندضلعی فرکانس بسازند و یک سری از توزیع‌های فرکانس‌های نسبی را گردآوری کنند.

راه حل. با استفاده از داده های به دست آمده در طول بررسی، توزیع آماری نمونه را تشکیل می دهیم

محدوده نمونه تغییرات 23 - 17 = 6 است. برای ساختن چند ضلعی فرکانس، نقاط را با مختصات بسازید.
و آنها را به صورت سری وصل کنید.

سری توزیع فرکانس های نسبی به شکل زیر است:

10.1 مشخصات عددی سری تغییرات

اجازه دهید نمونه با سری توزیع فرکانس ویژگی X داده شود:

مجموع همه فرکانس ها است پ.

میانگین حسابی نمونهبه مقدار تماس بگیرید
.

پراکندگییا معیاری از پراکندگی مقادیر ویژگی X در رابطه با میانگین حسابی آن مقدار است
. انحراف معیار را جذر پراکندگی می نامند. .

نسبت انحراف معیار به میانگین حسابی نمونه که به صورت درصد بیان می شود، نامیده می شود. ضریب تغییر:
.

تابع توزیع فرکانس نسبی تجربیتابعی را فراخوانی می کنیم که برای هر مقدار فرکانس نسبی یک رویداد را تعیین می کند
، یعنی
، جایی که - تعداد گزینه ها، کوچکتر ایکس، آ پ- اندازهی نمونه.

مثال 33.در شرایط مثال 32 مشخصه های عددی را بیابید
.

راه حل. میانگین حسابی نمونه را با استفاده از فرمول پیدا کنید، سپس .

واریانس ویژگی X با فرمول پیدا می شود: , i.e. انحراف معیار نمونه است
. ضریب تغییرات است
.

10.2. تخمین احتمال با فرکانس نسبی. فاصله اطمینان

بگذار برگزار شود پ تست های مستقل، که در هر کدام از آنها احتمال وقوع رویداد A ثابت و برابر است آر. در این حالت، احتمال اینکه فرکانس نسبی با احتمال وقوع رویداد A در هر آزمون در قدر مطلق متفاوت باشد، تقریباً برابر با دو برابر مقدار تابع انتگرال لاپلاس است:
.

تخمین فاصلهچنین ارزیابی را فراخوانی کنید که توسط دو عدد تعیین می شود که انتهای بازه ای هستند که پارامتر تخمینی جامعه آماری را پوشش می دهند.

فاصله اطمینانفاصله ای نامیده می شود که با یک داده شده سطح اطمینان پارامتر برآوردی جامعه آماری را پوشش می دهد. با توجه به فرمولی که در آن کمیت مجهول را جایگزین می کنیم آربه مقدار تقریبی آن به دست آمده از داده های نمونه، به دست می آوریم:
. این فرمول برای تخمین احتمال با فرکانس نسبی استفاده می شود. شماره
و
پایین و به ترتیب بالا نامیده می شود مرزهای اعتماد، - خطای حاشیه ای برای یک سطح اطمینان معین
.

مثال 34. کف کارخانه لامپ های برق تولید می کند. هنگام بررسی 625 لامپ، 40 لامپ معیوب بود. با احتمال اطمینان 0.95 مرزهایی را که در آن درصد لامپ های معیوب تولید شده توسط کارخانه کارخانه به دست آمده است را بیابید.

راه حل. با توجه به وظیفه. ما از فرمول استفاده می کنیم
. مطابق جدول 2 پیوست، مقدار آرگومان pi را پیدا می کنیم که در آن مقدار تابع لاپلاس انتگرال 0.475 است. ما آن را دریافت می کنیم
. به این ترتیب، . بنابراین با احتمال 95/0 می توان گفت که سهم عیوب تولید شده توسط کارگاه زیاد است یعنی از 2/6 تا 6/6 درصد متغیر است.

10.3. تخمین پارامترها در آمار

اجازه دهید ویژگی کمی X از کل جامعه مورد مطالعه ( جمعیت) این دارد توزیع نرمال.

اگر انحراف معیار مشخص باشد، پس فاصله اطمینان، انتظارات ریاضی را پوشش می دهد آ

، جایی که پحجم نمونه است، - میانگین حسابی نمونه، تیآرگومان تابع لاپلاس انتگرال است که برای آن
. در همان زمان، تعداد
دقت تخمین نامیده می شود.

اگر انحراف معیار ناشناخته باشد، با توجه به داده های نمونه، می توان یک متغیر تصادفی ساخت که دارای توزیع دانشجویی با پ– 1 درجه آزادی که تنها با یک پارامتر تعیین می شود پو به مجهولات وابسته نیست آو . توزیع دانش آموز حتی برای نمونه های کوچک
برآوردهای کاملاً رضایت بخشی را ارائه می دهد. سپس فاصله اطمینانی که انتظارات ریاضی را پوشش می دهد آاین ویژگی با یک احتمال اطمینان داده شده، از شرط پیدا می شود

، جایی که S ریشه اصلاح شده میانگین مربع است، - ضریب دانش آموز، با توجه به داده ها پیدا می شود
از جدول 3 پیوست

فاصله اطمینانی که انحراف استاندارد این ویژگی را با احتمال اطمینان پوشش می دهد، با فرمول های زیر پیدا می شود: و، که در آن
در جدول مقادیر قرار دارد q مطابق با .

10.4. روش های آماریمطالعه وابستگی بین متغیرهای تصادفی

وابستگی همبستگی Y به X وابستگی عملکردی میانگین شرطی است از جانب ایکس.معادله
معادله رگرسیون Y روی X را نشان می دهد و
- معادله رگرسیون X بر روی Y.

وابستگی همبستگی می تواند خطی و منحنی باشد. در مورد وابستگی همبستگی خطی، معادله خط مستقیم رگرسیون به شکل زیر است:
، جایی که شیب آخط رگرسیون مستقیم Y روی X ضریب رگرسیون نمونه Y روی X نامیده می شود و نشان داده می شود
.

برای نمونه های کوچک، داده ها گروه بندی نمی شوند، پارامترها
بر اساس روش یافت می شوند کمترین مربعاتاز سیستم معادلات عادی:

، جایی که پتعداد مشاهدات مقادیر جفت کمیت های مرتبط با یکدیگر است.

انتخابی ضریب خطیهمبستگی ها تنگی رابطه بین Y و X را نشان می دهد. ضریب همبستگی با فرمول بدست می آید
، علاوه بر این
، برای مثال:

معادله نمونه رگرسیون خط مستقیم Y روی X به شکل زیر است:

در اعداد بزرگبا مشاهدات علائم X و Y، یک جدول همبستگی با دو ورودی، با مقدار یکسان گردآوری شده است. ایکسمشاهده شده بار، همان مقدار درمشاهده شده بار، همان جفت
مشاهده شده یک بار.

مثال 35.جدول مشاهدات علائم X و Y ارائه شده است.

معادله نمونه رگرسیون خط مستقیم Y را روی X پیدا کنید.

راه حل. رابطه بین صفات مورد مطالعه را می توان با معادله خط مستقیم رگرسیون Y بر روی X بیان کرد: . برای محاسبه ضرایب معادله، جدول محاسباتی را تهیه می کنیم:

شماره مشاهده

فصل 6. متغیرهای تصادفی پیوسته.

§ 1. تابع چگالی و توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته.

مجموعه مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته غیرقابل شمارش است و معمولاً مقداری بازه محدود یا نامتناهی را نشان می دهد.

یک متغیر تصادفی x(w) داده شده در فضای احتمال (W, S, P) نامیده می شود مداوم(کاملاً پیوسته) W اگر یک تابع غیر منفی وجود داشته باشد به طوری که برای هر x، تابع توزیع Fx(x) را می توان به عنوان یک انتگرال نشان داد.

تابع نامیده می شود چگالی توزیع احتمال.

ویژگی های تابع چگالی توزیع از این تعریف به دست می آید:

1..gif" width="97" height="51">

3. در نقاط پیوستگی، چگالی توزیع برابر است با مشتق تابع توزیع: .

4. چگالی توزیع قانون توزیع یک متغیر تصادفی را تعیین می کند، زیرا احتمال سقوط یک متغیر تصادفی در بازه را تعیین می کند:

5. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته مقدار مشخصی بگیرد صفر است: . بنابراین، برابری های زیر صادق است:

نمودار تابع چگالی توزیع نامیده می شود منحنی توزیع، و مساحت محدود شده توسط منحنی توزیع و محور x برابر با یک است. سپس، از نظر هندسی، مقدار تابع توزیع Fx(x) در نقطه x0 ناحیه ای است که توسط منحنی توزیع و محور x محدود شده و در سمت چپ نقطه x0 قرار دارد.

وظیفه 1.تابع چگالی یک متغیر تصادفی پیوسته به شکل زیر است:

ثابت C را تعیین کنید، تابع توزیع Fx(x) را بسازید و احتمال را محاسبه کنید.

راه حل.ثابت C از شرطی که داریم به دست می آید:

از آنجا C=3/8.

برای ساخت تابع توزیع Fx(x)، توجه داشته باشید که بازه، محدوده آرگومان x (محور عدد) را به سه قسمت تقسیم می‌کند: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17.gif" width="264 "height="49">

زیرا چگالی x در نیم محور صفر است. در مورد دوم

در نهایت، در آخرین مورد، زمانی که x>2،

از آنجایی که چگالی در نیم محور ناپدید می شود. بنابراین، تابع توزیع به دست می آید

احتمال با فرمول محاسبه کنید به این ترتیب،

§ 2. ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی پیوسته

ارزش مورد انتظاربرای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> تعیین می شود.

اگر انتگرال سمت راست کاملاً همگرا شود.

پراکندگی x را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد ، و همچنین، مانند حالت گسسته، طبق فرمول https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

تمام ویژگی های انتظار و واریانس ارائه شده در فصل 5 برای متغیرهای تصادفی گسسته برای متغیرهای تصادفی پیوسته نیز معتبر است.

وظیفه 2. برای متغیر تصادفی x از مسئله 1، انتظار و واریانس ریاضی را محاسبه کنید .

راه حل.

و این یعنی

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

نمودار چگالی توزیع یکنواختشکل را ببینید .

شکل 6.2. تابع توزیع و چگالی توزیع. قانون یکسان

تابع توزیع Fx(x) یک متغیر تصادفی توزیع شده یکنواخت است

Fx(x)=

انتظارات و پراکندگی ریاضی؛ .

توزیع نمایی (نمایی).یک متغیر تصادفی پیوسته x که مقادیر غیر منفی می گیرد، دارای توزیع نمایی با پارامتر l>0 است اگر چگالی توزیع احتمال متغیر تصادفی برابر باشد.

px(x)=

برنج. 6.3. تابع توزیع و چگالی توزیع قانون نمایی.

تابع توزیع توزیع نمایی شکل دارد

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> و اگر چگالی توزیع آن برابر باشد

مجموعه همه متغیرهای تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی با پارامترها و پارامترها با نشان داده می شود.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال است

برنج. 6.4. تابع توزیع و چگالی توزیع قانون نرمال

پارامترهای توزیع نرمال انتظار ریاضی هستند https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

در مورد خاصی که https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> توزیع نرمال نامیده می شود استاندارد، و کلاس چنین توزیع هایی تعیین شده است https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">،

در حالی که تابع توزیع

چنین انتگرالی را نمی توان به صورت تحلیلی محاسبه کرد (در "تربیعات" گرفته نمی شود)، و بنابراین جداول برای تابع جمع آوری می شود. تابع مربوط به تابع لاپلاس است که در فصل 4 معرفی شد

رابطه زیر . در مورد مقادیر دلخواه پارامترها https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> تابع توزیع متغیر تصادفی با استفاده از رابطه به تابع لاپلاس مرتبط است:

بنابراین، احتمال سقوط یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال در یک بازه را می توان با فرمول محاسبه کرد.

یک متغیر تصادفی غیرمنفی x در صورتی که لگاریتم آن h=lnx از قانون نرمال پیروی کند، log-normally توزیع شده نامیده می شود. انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال log Mx= و Dx= است.

وظیفه 3.اجازه دهید یک مقدار تصادفی داده شود https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

راه حل.اینجا و https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

توزیع لاپلاستوسط تابع fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> تنظیم می شود و کشش gx=3 است.

شکل 6.5. تابع چگالی توزیع لاپلاس.

متغیر تصادفی x بر روی آن توزیع می شود قانون وایبول، اگر تابع چگالی توزیع برابر با https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> داشته باشد.

توزیع Weibull از زمان عملکرد بدون خرابی بسیاری از دستگاه های فنی پیروی می کند. در وظایف این پروفایل، یک مشخصه مهم میزان شکست (میزان مرگ و میر) l(t) عناصر مورد مطالعه سن t است که با رابطه l(t)= تعیین می شود. اگر a=1 باشد، توزیع وایبول به یک توزیع نمایی تبدیل می شود و اگر a=2 به توزیع به اصطلاح تبدیل می شود. ریلی.

انتظارات ریاضی از توزیع Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">، جایی که Г(а) اویلر است. عملکرد. .

در مسائل مختلف آمار کاربردی، اغلب با توزیع های به اصطلاح «قطع» مواجه می شویم. به عنوان مثال، مقامات مالیاتی علاقه مند به توزیع درآمد آن دسته از افرادی هستند که درآمد سالانه آنها از آستانه مشخص c0 که توسط قوانین مالیاتی تعیین شده است، تجاوز می کند. این توزیع‌ها تقریباً مشابه توزیع پارتو هستند. توزیع پارتوتوسط توابع داده شده است

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> متغیر تصادفی x و تابع متمایز یکنواخت ..gif" width="200" height="51">

اینجا https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

وظیفه 4.متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود. چگالی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید.

راه حل.از شرط مسئله بر می آید که

بعد، تابع تابعی یکنواخت و قابل تمایز روی بازه است و تابع معکوس دارد ، که مشتق آن برابر است، بنابراین،

§ 5. یک جفت متغیر تصادفی پیوسته

اجازه دهید دو متغیر تصادفی پیوسته x و h داده شوند. سپس جفت (x, h) یک نقطه "تصادفی" را در صفحه تعیین می کند. یک جفت (x,h) نامیده می شود بردار تصادفییا متغیر تصادفی دو بعدی

تابع توزیع مشترکمتغیرهای تصادفی x و h و تابع F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> نامیده می شود. تراکم مفصلتوزیع احتمال متغیرهای تصادفی x و h تابعی است به طوری که .

منظور از این تعریف از چگالی توزیع مشترک به شرح زیر است. احتمال اینکه یک "نقطه تصادفی" (x, h) در یک منطقه در یک صفحه قرار گیرد به عنوان حجم یک شکل سه بعدی محاسبه می شود - یک استوانه "منحنی" محدود به سطح https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

ساده ترین مثال از توزیع مشترک دو متغیر تصادفی، دو بعدی است توزیع یکنواخت روی مجموعهآ. اجازه دهید یک مجموعه محدود M با مساحت داده شود. به عنوان توزیع جفت (x, h) با چگالی مشترک زیر تعریف می شود:

وظیفه 5.بگذارید یک بردار تصادفی دو بعدی (x,h) به طور یکنواخت در داخل مثلث توزیع شود. احتمال نامساوی x>h را محاسبه کنید.

راه حل.مساحت مثلث نشان داده شده برابر است با (شکل شماره؟ را ببینید). بر اساس تعریف توزیع یکنواخت دو بعدی، چگالی مشترک متغیرهای تصادفی x,h برابر است با

رویداد با مجموعه مطابقت دارد در هواپیما، یعنی نیمه هواپیما. سپس احتمال

در نیم صفحه B، چگالی اتصال در خارج از مجموعه برابر با صفر است https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. بنابراین ، نیم صفحه B به دو مجموعه تقسیم می شود و https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> و انتگرال دوم است. صفر است، زیرا چگالی اتصال در آنجا صفر است. از همین رو

اگر چگالی توزیع مشترک برای جفت (x, h) داده شود، چگالی و اجزای x و h نامیده می شوند. تراکم خصوصیو با فرمول های زیر محاسبه می شوند:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

برای متغیرهای تصادفی توزیع شده پیوسته با چگالی px(x)، ph(y)، استقلال به این معنی است که

وظیفه 6.در شرایط مسئله قبلی مشخص کنید که آیا اجزای بردار تصادفی x و h مستقل هستند؟

راه حل. اجازه دهید چگالی جزئی و . ما داریم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

بدیهی است که در مورد ما https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> چگالی مشترک x و h و j(x، y) تابعی از دو آرگومان است

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

وظیفه 7.در شرایط مسئله قبلی محاسبه کنید.

راه حل.با توجه به فرمول فوق داریم:

نشان دادن مثلث به صورت

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. چگالی مجموع دو متغیر تصادفی پیوسته

بگذارید x و h متغیرهای تصادفی مستقل با چگالی باشند https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. چگالی متغیر تصادفی x + h از فرمول محاسبه می شود پیچیدگی ها

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. چگالی جمع را محاسبه کنید.

راه حل.از آنجایی که x و h بر اساس قانون نمایی با پارامتر توزیع می شوند، چگالی آنها برابر است با

در نتیجه،

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

اگر x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">منفی است و بنابراین . بنابراین، اگر https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

به این ترتیب، به پاسخ رسیدیم:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> معمولاً با پارامترهای 0 و 1 توزیع می شود. متغیرهای تصادفی x1 و x2 مستقل و نرمال هستند. توزیع هایی با پارامترهای a1 و a2 به ترتیب ثابت کنید x1 + x2 دارای توزیع نرمال است متغیرهای تصادفی x1، x2، ... xn توزیع شده و مستقل هستند و تابع چگالی توزیع یکسانی دارند.

تابع توزیع و چگالی توزیع کمیت ها را پیدا کنید:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; ب) h(2) = max(x1,x2, ... xn)

متغیرهای تصادفی x1, x2, ... xn مستقل هستند و به طور یکنواخت در بازه [а, b] توزیع می شوند. توابع توزیع و توابع چگالی توزیع کمیت ها را بیابید

x(1) = min(x1,x2, ... xn) و x(2)= max(x1, x2, ...xn).

ثابت کنید که M https://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

متغیر تصادفی بر اساس قانون کوشی توزیع می شود: الف) ضریب a; ب) تابع توزیع؛ ج) احتمال برخورد به بازه (-1، 1). نشان دهید که انتظار x وجود ندارد. متغیر تصادفی با پارامتر l (l>0) از قانون لاپلاس تبعیت می کند: ضریب a را پیدا کنید. ساخت نمودارهای چگالی توزیع و تابع توزیع. Mx و Dx را پیدا کنید. یافتن احتمالات رویدادها (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

فرمولی برای چگالی توزیع بنویسید، Mx و Dx را پیدا کنید.

وظایف محاسباتی

یک نقطه تصادفی A دارای توزیع یکنواخت در دایره ای به شعاع R است. انتظار ریاضی و واریانس فاصله r نقطه تا مرکز دایره را پیدا کنید. نشان دهید که مقدار r2 به طور یکنواخت بر روی قطعه توزیع شده است.

چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:

ثابت C، تابع توزیع F(x) و احتمال را محاسبه کنید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی به شکل زیر است:
ثابت C، تابع توزیع F(x)، واریانس و احتمال را محاسبه کنید. متغیر تصادفی تابع توزیع دارد

چگالی یک متغیر تصادفی، انتظارات ریاضی، واریانس و احتمال را محاسبه کنید بررسی کنید که تابع =
می تواند تابع توزیع یک متغیر تصادفی باشد. مشخصه های عددی این کمیت را پیدا کنید: Mx و Dx. متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بخش توزیع شده است. چگالی توزیع را بنویسید. تابع توزیع را پیدا کنید. احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی را در بخش و بر روی قطعه پیدا کنید. چگالی توزیع x است

ثابت c، چگالی توزیع h = و احتمال را بیابید

P (0.25

زمان کار کامپیوتر بر اساس یک قانون نمایی با پارامتر l = 0.05 (شکست در ساعت) توزیع می شود، یعنی تابع چگالی دارد.

p(x) = .

حل یک مشکل خاص نیاز به کارکرد بدون مشکل دستگاه به مدت 15 دقیقه دارد. اگر در حین حل مشکل خرابی رخ دهد، خطا فقط در پایان راه حل شناسایی می شود و دوباره مشکل حل می شود. پیدا کنید: الف) احتمال عدم وقوع شکست در حین حل مسئله. ب) میانگین زمانی که مشکل حل خواهد شد.

میله ای به طول 24 سانتی متر به دو قسمت تقسیم می شود. فرض می کنیم که نقطه شکست به طور یکنواخت در تمام طول میله توزیع شده است. طول متوسط بیشتر میله چقدر است؟ یک قطعه به طول 12 سانتی متر به طور تصادفی به دو قسمت تقسیم می شود. نقطه برش به طور مساوی در طول کل بخش توزیع می شود. طول متوسط بخش کوچکی از بخش چقدر است؟ متغیر تصادفی به طور یکنواخت در بازه توزیع می شود. چگالی توزیع یک متغیر تصادفی را بیابید a) h1 = 2x + 1; ب) h2 = -ln(1-x); ج) h3 = .

نشان دهید که اگر x تابع توزیع پیوسته دارد

F(x) = P(x

تابع چگالی و تابع توزیع مجموع دو کمیت مستقل x و h را با قوانین توزیع یکنواخت بر روی فواصل و به ترتیب بیابید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به ترتیب در فواصل و به طور یکنواخت توزیع می شوند. چگالی مجموع x+h را محاسبه کنید. متغیرهای تصادفی مستقل هستند و دارای توزیع نمایی با چگالی هستند . چگالی توزیع مجموع آنها را بیابید. توزیع مجموع متغیرهای تصادفی مستقل x و h را بیابید، که در آن x توزیع یکنواخت در بازه، و h دارای توزیع نمایی با پارامتر l است. P را پیدا کنید اگر x دارای: الف) توزیع نرمال با پارامترهای a و s2 باشد. ب) توزیع نمایی با پارامتر l. ج) توزیع یکنواخت در بازه [-1;1]. توزیع مشترک x،h مجذور یکنواخت است
K = (x, y): |x| +|y| £ 2). احتمال را پیدا کنید . آیا x و h مستقل هستند؟ یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل مثلث K= توزیع شده است. چگالی x و h را محاسبه کنید. آیا این متغیرهای تصادفی مستقل هستند؟ احتمال را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و به طور یکنواخت در فواصل و [-1،1] توزیع می شوند. احتمال را پیدا کنید. یک متغیر تصادفی دو بعدی (x, h) به طور یکنواخت در یک مربع با رئوس (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) توزیع شده است. مقدار تابع توزیع مشترک را در نقطه (1، -1) بیابید. بردار تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در داخل دایره ای به شعاع 3 در مرکز مبدا توزیع شده است. یک عبارت برای چگالی توزیع مشترک بنویسید. تعیین کنید که آیا این متغیرهای تصادفی وابسته هستند یا خیر. احتمال را محاسبه کنید. یک جفت متغیر تصادفی x و h به طور یکنواخت در داخل یک ذوزنقه با رئوس در نقاط (6.0-)، (3.4-)، (3.4)، (6.0) توزیع شده است. چگالی توزیع مشترک برای این جفت متغیر تصادفی و چگالی اجزا را بیابید. آیا x و h وابسته هستند؟ یک جفت تصادفی (x,h) به طور مساوی در داخل نیم دایره توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. چگالی مشترک دو متغیر تصادفی x و h است .
چگالی های x,h را پیدا کنید. سوال وابستگی x و h را بررسی کنید. یک جفت تصادفی (x,h) به طور یکنواخت در مجموعه توزیع شده است. چگالی x و h را بیابید، وابستگی آنها را بررسی کنید. M(xh) را پیدا کنید. متغیرهای تصادفی x و h مستقل هستند و بر اساس قانون نمایی با پارامتر Find توزیع می شوند.

چگالی توزیع احتمالات ایکستابع را فراخوانی کنید f(x)اولین مشتق تابع توزیع است F(x):

مفهوم چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی ایکسبرای یک مقدار گسسته قابل استفاده نیست.

چگالی احتمالی f(x)تابع توزیع دیفرانسیل نامیده می شود:

ملک 1.چگالی توزیع یک مقدار غیر منفی است:

ملک 2.انتگرال نامناسب چگالی توزیع در محدوده از تا برابر با یک است:

مثال 1.25.با توجه به تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته ایکس:

f(x).

راه حل:چگالی توزیع برابر است با اولین مشتق تابع توزیع:

1. با توجه به تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته ایکس:

چگالی توزیع را پیدا کنید.

2. تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته داده شده است ایکس:

چگالی توزیع را پیدا کنید f(x).

1.3. ویژگی های عددی تصادفی پیوسته

مقادیر

ارزش مورد انتظارمتغیر تصادفی پیوسته ایکس، که مقادیر ممکن آن متعلق به کل محور است اوه، با برابری تعیین می شود:

فرض بر این است که انتگرال به طور مطلق همگرا می شود.

الف، ب)، سپس:

f(x)چگالی توزیع متغیر تصادفی است.

پراکندگی متغیر تصادفی پیوسته ایکس، که مقادیر ممکن آن متعلق به کل محور است، با برابری تعیین می شود:

مورد خاص. اگر مقادیر متغیر تصادفی متعلق به بازه ( الف، ب)، سپس:

احتمال اینکه ایکسمقادیر مربوط به بازه ( الف، ب) با برابری تعیین می شود:

مثال 1.26.متغیر تصادفی پیوسته ایکس

انتظارات ریاضی، واریانس و احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی را بیابید ایکسدر بازه (0؛ 0.7).

راه حل:متغیر تصادفی در بازه (0،1) توزیع می شود. اجازه دهید چگالی توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته را تعریف کنیم ایکس:

الف) انتظارات ریاضی :

ب) پراکندگی

که در)

وظایف برای کار مستقل:

1. متغیر تصادفی ایکستوسط تابع توزیع داده شده است:

M(x);

ب) پراکندگی D(x);

ایکسدر بازه (2،3).

2. مقدار تصادفی ایکس

پیدا کنید: الف) انتظار ریاضی M(x);

ب) پراکندگی D(x);

ج) احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکسدر فاصله (1؛ 1.5).

3. مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع انتگرال داده می شود:

پیدا کنید: الف) انتظار ریاضی M(x);

ب) پراکندگی D(x);

ج) احتمال برخورد با یک متغیر تصادفی را تعیین کنید ایکسدر فاصله زمانی

1.4. قوانین توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته

1.4.1. توزیع یکنواخت

متغیر تصادفی پیوسته ایکسدارای توزیع یکنواخت در بازه [ الف، ب]، اگر در این بخش چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی ثابت و خارج از آن برابر با صفر باشد، یعنی:

برنج. چهار

; ; .

مثال 1.27.یک اتوبوس در برخی از مسیرها به طور یکنواخت با فاصله زمانی 5 دقیقه حرکت می کند. احتمال توزیع یکنواخت متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس– زمان انتظار اتوبوس کمتر از 3 دقیقه خواهد بود.

راه حل:مقدار تصادفی ایکس- به طور یکنواخت در بازه زمانی توزیع شده است.

چگالی احتمالی: .

برای اینکه زمان انتظار از 3 دقیقه بیشتر نشود، مسافر باید بین 2 تا 5 دقیقه پس از حرکت اتوبوس قبلی به ایستگاه اتوبوس برسد. مقدار تصادفی ایکسباید در بازه (2;5) قرار گیرد. که احتمال مورد نظر:

وظایف برای کار مستقل:

1. الف) انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی را بیابید ایکسبه طور یکنواخت در فاصله (2؛ 8) توزیع شده است.

ب) واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید ایکس،به طور یکنواخت در فاصله (2;8) توزیع شده است.

2. عقربه دقیقه یک ساعت الکتریکی در پایان هر دقیقه می پرد. این احتمال را پیدا کنید که ساعت در یک لحظه معین زمانی را نشان دهد که با زمان واقعی بیش از 20 ثانیه تفاوت ندارد.

1.4.2. توزیع نمایی (نمایی).

متغیر تصادفی پیوسته ایکسبه صورت نمایی توزیع می شود اگر چگالی احتمال آن به شکل زیر باشد:

پارامتر توزیع نمایی کجاست.

به این ترتیب

برنج. 5.

مشخصات عددی:

مثال 1.28.مقدار تصادفی ایکس- زمان کارکرد لامپ - دارای توزیع نمایی است. اگر میانگین عمر لامپ 400 ساعت باشد، احتمال دوام حداقل 600 ساعت لامپ را تعیین کنید.

راه حل:با توجه به شرط مسئله، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی ایکسبرابر 400 ساعت است، بنابراین:

;

احتمال مورد نظر، جایی که

سرانجام:

وظایف برای کار مستقل:

1. تابع چگالی و توزیع قانون نمایی را بنویسید، اگر پارامتر .

2. مقدار تصادفی ایکس

انتظارات ریاضی و واریانس یک کمیت را پیدا کنید ایکس.

3. مقدار تصادفی ایکستوسط تابع توزیع احتمال داده می شود:

انتظارات ریاضی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را بیابید.

1.4.3. توزیع نرمال

طبیعیتوزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته نامیده می شود ایکس، که چگالی آن به شکل زیر است:

جایی که آ– انتظارات ریاضی – انحراف معیار ایکس.

احتمال اینکه ایکسمقداری متعلق به بازه دریافت می کند:

، جایی که

تابع لاپلاس است.

توزیعی که دارای ; ، یعنی با چگالی احتمال استاندارد نامیده می شود.

برنج. 6.

احتمال اینکه مقدار مطلق انحراف کمتر از یک عدد مثبت باشد:

به ویژه، زمانی که a=برابری 0 درست است:

مثال 1.29.مقدار تصادفی ایکسبه صورت عادی توزیع می شود. انحراف معیار . این احتمال را پیدا کنید که انحراف یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن در مقدار مطلق کمتر از 0.3 باشد.

راه حل: .

وظایف برای کار مستقل:

1. چگالی احتمال توزیع نرمال یک متغیر تصادفی را بنویسید ایکس، با دانستن اینکه M(x)= 3, D(x)= 16.

2. انتظارات ریاضی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی با توزیع نرمال ایکسبه ترتیب 20 و 5 هستند.احتمالی را که در نتیجه آزمون بدست می آید ایکسمقدار موجود در بازه (15;20) را می گیرد.

3. خطاهای اندازه گیری تصادفی مشمول قانون عادی با انحراف معیار میلی متر و انتظارات ریاضی هستند. a= 0. این احتمال را بیابید که خطای حداقل یکی از 3 اندازه گیری مستقل از 4 میلی متر در مقدار مطلق تجاوز نکند.

4. برخی از مواد بدون خطاهای سیستماتیک وزن می شوند. خطاهای توزین تصادفی مشمول قانون عادی با انحراف معیار r هستند. احتمال اینکه توزین با خطای بیش از 10 گرم در مقدار مطلق انجام شود را پیدا کنید.

متغیر تصادفی متغیری است که بسته به شرایط مختلف می تواند مقادیر خاصی به خود بگیرد و متغیر تصادفی پیوسته نامیده می شود ، اگر بتواند هر مقداری را از یک بازه محدود یا نامحدود بگیرد. برای یک متغیر تصادفی پیوسته، تعیین تمام مقادیر ممکن غیرممکن است، بنابراین، فواصل این مقادیر که با احتمالات خاصی مرتبط هستند نشان داده می شوند.

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی پیوسته عبارتند از: قطر قطعه تبدیل شده به اندازه معین، قد یک فرد، برد پرتابه و غیره.

از آنجایی که برای متغیرهای تصادفی پیوسته تابع اف(ایکس) بر خلاف متغیرهای تصادفی گسسته، هیچ جهشی ندارد، پس احتمال هر مقدار منفرد از یک متغیر تصادفی پیوسته برابر با صفر است.

این بدان معنی است که برای یک متغیر تصادفی پیوسته، صحبت در مورد توزیع احتمال بین مقادیر آن معنی ندارد: هر یک از آنها احتمال صفر دارند. با این حال، به یک معنا، در میان مقادیر یک متغیر تصادفی پیوسته، "احتمال بیشتر و کمتر" وجود دارد. به عنوان مثال، بعید است که کسی شک کند که مقدار یک متغیر تصادفی - قد یک فرد تصادفی - 170 سانتی متر - محتمل تر از 220 سانتی متر است، اگرچه یک و مقدار دیگر می تواند در عمل رخ دهد.

تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته و چگالی احتمال

به عنوان یک قانون توزیع که فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته معنا دارد، مفهوم چگالی توزیع یا چگالی احتمال معرفی شده است. بیایید با مقایسه معنای تابع توزیع برای یک متغیر تصادفی پیوسته و برای یک متغیر تصادفی گسسته به آن نزدیک شویم.

بنابراین، تابع توزیع یک متغیر تصادفی (هم گسسته و هم پیوسته) یا تابع انتگرالتابعی نامیده می شود که احتمال مقدار یک متغیر تصادفی را تعیین می کند ایکسکمتر یا مساوی با مقدار حدی ایکس.

برای یک متغیر تصادفی گسسته در نقاط مقادیر آن ایکس1 , ایکس 2 , ..., ایکسمن ،...توده های متمرکز احتمالات پ1 , پ 2 , ..., پمن ،...و مجموع همه جرم ها برابر با 1 است. بیایید این تفسیر را به حالت یک متغیر تصادفی پیوسته منتقل کنیم. تصور کنید که جرمی برابر با 1 در نقاط مجزا متمرکز نشده باشد، اما به طور مداوم در امتداد محور x "لکه دار" می شود. گاو نربا مقداری چگالی ناهموار احتمال ضربه زدن به یک متغیر تصادفی در هر سایت Δ ایکسبه عنوان جرم قابل انتساب به این بخش، و چگالی متوسط در این بخش - به عنوان نسبت جرم به طول تفسیر می شود. ما به تازگی یک مفهوم مهم در نظریه احتمال معرفی کردیم: چگالی توزیع.

چگالی احتمالی f(ایکس) یک متغیر تصادفی پیوسته مشتق تابع توزیع آن است:

با دانستن تابع چگالی، می توانیم این احتمال را پیدا کنیم که مقدار یک متغیر تصادفی پیوسته متعلق به بازه بسته [ آ; ب]:

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته باشد ایکسهر مقدار را از بازه [ می گیرد آ; ب]، برابر است با انتگرال معینی از چگالی احتمال آن در محدوده از آقبل از ب:

در این حالت فرمول کلی تابع اف(ایکس) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته، که اگر تابع چگالی مشخص باشد می توان از آن استفاده کرد. f(ایکس) :

نمودار چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را منحنی توزیع آن می نامند (شکل زیر).

مساحت شکل (در شکل سایه دار)، محدود شده توسط یک منحنی، خطوط مستقیم ترسیم شده از نقاط آو بعمود بر محور آبسیسا و محور اوه، به صورت گرافیکی احتمال مقدار یک متغیر تصادفی پیوسته را نشان می دهد ایکسدر محدوده است آقبل از ب.

ویژگی های تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته

1. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی هر مقدار را از بازه (و مساحت شکل که توسط نمودار تابع محدود شده است) بگیرد. f(ایکس) و محور اوه) برابر با یک است:

2. تابع چگالی احتمال نمی تواند مقادیر منفی بگیرد:

و خارج از وجود توزیع، مقدار آن صفر است

چگالی توزیع f(ایکس) و همچنین تابع توزیع اف(ایکس)، یکی از اشکال قانون توزیع است، اما برخلاف تابع توزیع، جهانی نیست: چگالی توزیع فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته وجود دارد.

اجازه دهید به دو نوع مهم در عمل توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته اشاره کنیم.

اگر تابع چگالی توزیع f(ایکس) یک متغیر تصادفی پیوسته در یک بازه محدود [ آ; ب] یک مقدار ثابت می گیرد سی، و خارج از بازه مقداری برابر با صفر می گیرد، سپس این توزیع یکنواخت نامیده می شود .

اگر نمودار تابع چگالی توزیع نسبت به مرکز متقارن باشد، مقادیر میانگین در نزدیکی مرکز متمرکز می‌شوند و هنگام دور شدن از مرکز، تفاوت‌های بیشتری از میانگین‌ها جمع‌آوری می‌شود (گراف تابع شبیه برش است. یک زنگ)، سپس این توزیع نرمال نامیده می شود .

مثال 1تابع توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته شناخته شده است:

یک ویژگی پیدا کنید f(ایکس) چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته. نمودارها را برای هر دو تابع رسم کنید. احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری در محدوده 4 تا 8 بگیرد را پیدا کنید: .

راه حل. تابع چگالی احتمال را با یافتن مشتق تابع توزیع احتمال بدست می آوریم:

نمودار تابع اف(ایکس) - سهمی:

نمودار تابع f(ایکس) - خط مستقیم:

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری را در محدوده 4 تا 8 بگیرد:

مثال 2تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر است:

محاسبه فاکتور سی. یک ویژگی پیدا کنید اف(ایکس) توزیع احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته. نمودارها را برای هر دو تابع رسم کنید. این احتمال را پیدا کنید که یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری را در محدوده 0 تا 5 بگیرد: .

راه حل. ضریب سیما با استفاده از خاصیت 1 تابع چگالی احتمال پیدا می کنیم:

بنابراین، تابع چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته به صورت زیر است:

با ادغام، تابع را پیدا می کنیم اف(ایکس) توزیع های احتمال. اگر یک ایکس < 0 , то اف(ایکس) = 0. اگر 0< ایکس < 10 , то

ایکس> 10، پس اف(ایکس) = 1 .

بنابراین، رکورد کامل تابع توزیع احتمال به صورت زیر است:

نمودار تابع f(ایکس) :

نمودار تابع اف(ایکس) :

بیایید این احتمال را پیدا کنیم که یک متغیر تصادفی پیوسته هر مقداری را در محدوده 0 تا 5 بگیرد:

مثال 3چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته ایکسبا برابری داده می شود در حالی که . ضریب را پیدا کنید ولی، احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته ایکسمقداری از بازه ]0، 5[، تابع توزیع یک متغیر تصادفی پیوسته را می گیرد ایکس.

راه حل. با شرط، به برابری می رسیم

بنابراین، از کجا. بنابراین،

اکنون احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را پیدا می کنیم ایکسهر مقدار را از بازه ]0، 5[ می گیرد:

اکنون تابع توزیع این متغیر تصادفی را دریافت می کنیم:

مثال 4چگالی احتمال یک متغیر تصادفی پیوسته را بیابید ایکس، که فقط مقادیر غیر منفی و تابع توزیع آن را می گیرد .