اجازه دهید CB X جامعه را تشکیل دهد و β یک پارامتر ناشناخته CB X باشد. اگر تخمین آماری در * سازگار باشد، هر چه اندازه نمونه بزرگتر باشد، مقدار β دقیق تر است. با این حال، در عمل، ما نمونه های خیلی بزرگی نداریم، بنابراین نمی توانیم دقت بیشتری را تضمین کنیم.

فرض کنید s* یک تخمین آماری برای s باشد. مقدار |در* - در| دقت تخمین نامیده می شود. واضح است که دقت CB است، زیرا s* یک متغیر تصادفی است. اجازه دهید یک عدد مثبت کوچک را 8 تنظیم کنیم و دقت تخمین را بخواهیم |in* - in| کمتر از 8 بود، یعنی | در* - در |< 8.

قابلیت اطمینان g یا سطح اطمینانتخمین در توسط در * احتمال g است که با آن نابرابری |در * - در| است< 8, т. е.

معمولاً قابلیت اطمینان g از قبل تنظیم می شود و برای g عددی نزدیک به 1 می گیرند (0.9؛ 0.95؛ 0.99؛ ...).

از آنجایی که نابرابری |در * - در|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

فاصله (در * - 8، در * + 5) فاصله اطمینان نامیده می شود، یعنی. فاصله اطمینانپارامتر مجهول را با احتمال y پوشش می دهد. توجه داشته باشید که انتهای فاصله اطمینان تصادفی است و از نمونه ای به نمونه دیگر متفاوت است، بنابراین دقیق تر است که بگوییم فاصله (در * - 8، در * + 8) پارامتر مجهول β را پوشش می دهد تا β متعلق به این فاصله باشد. .

اجازه دهید جمعیتداده شده توسط یک متغیر تصادفی X توزیع شده روی قانون عادی، علاوه بر این، میانگین انحراف معیاراما شناخته شده است. ناشناخته است ارزش مورد انتظار a = M (X). لازم است یک فاصله اطمینان برای a برای یک قابلیت اطمینان y پیدا شود.

میانگین نمونه

است ارزیابی آماریبرای xr = a.

قضیه. مقدار تصادفی xB دارد توزیع نرمالاگر X توزیع نرمال داشته باشد و M(XB) = a،

A (XB) \u003d a، که در آن a \u003d y / B (X)، a \u003d M (X). l/i

فاصله اطمینان برای a به شکل زیر است:

ما 8 را پیدا می کنیم.

با استفاده از نسبت

جایی که Ф(г) تابع لاپلاس است، داریم:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

مقدار t را در جدول مقادیر تابع لاپلاس پیدا می کنیم.

دلالت می کند

T، F(t) = g را بدست می آوریم

از برابری یافتن - دقت برآورد.

بنابراین فاصله اطمینان برای a به شکل زیر است:

اگر نمونه ای از جمعیت عمومی X داده شود

ng	به"	X2	xm
n	n1	n2	نانومتر

n = U1 + ... + nm، سپس فاصله اطمینان خواهد بود:

مثال 6.35. با دانستن میانگین نمونه Xb = 10.43، اندازه نمونه n = 100 و انحراف معیار s = 5، فاصله اطمینان را برای تخمین انتظار a از توزیع نرمال با پایایی 0.95 بیابید.

بیایید از فرمول استفاده کنیم

فاصله اطمینانمقادیر محدود کننده کمیت آماری هستند که با احتمال اطمینان داده شده γ، در این بازه با حجم نمونه بزرگتر خواهند بود. به عنوان P (θ - ε . در عمل، احتمال اطمینان γ از مقادیر γ = 0.9، γ = 0.95، γ = 0.99 به اندازه کافی نزدیک به وحدت انتخاب می شود.

واگذاری خدمات. این سرویس تعریف می کند:

• فاصله اطمینان برای میانگین کلی، فاصله اطمینان برای واریانس.
• فاصله اطمینان برای انحراف استاندارد، فاصله اطمینان برای کسر عمومی.

راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود (به مثال مراجعه کنید). در زیر یک دستورالعمل ویدیویی در مورد نحوه پر کردن داده های اولیه وجود دارد.

مثال شماره 1. در یک مزرعه جمعی، از کل گله 1000 گوسفند، 100 گوسفند تحت برش کنترل انتخابی قرار گرفتند. در نتیجه، میانگین برشی پشم 4.2 کیلوگرم برای هر گوسفند ایجاد شد. با احتمال 0.99 خطای استاندارد نمونه در تعیین میانگین برش پشم در هر گوسفند و حدودی که مقدار برشی در آن قرار دارد در صورتی که واریانس 2.5 باشد را تعیین کنید. نمونه غیر تکراری است
مثال شماره 2. از دسته محصولات وارداتی در پست گمرک شمالی مسکو، 20 نمونه از محصول "الف" به ترتیب نمونه گیری مجدد تصادفی گرفته شد. در نتیجه بررسی، میانگین رطوبت محصول "A" در نمونه مشخص شد که با انحراف معیار 1٪ 6٪ بود.
با احتمال 0.683 حدود میانگین رطوبت محصول در کل دسته محصولات وارداتی را تعیین کنید.
مثال شماره 3. نظرسنجی از 36 دانش آموز نشان داد که میانگین تعداد کتاب های درسی خوانده شده توسط آنها در هر سال تحصیلی 6 کتاب بوده است. با فرض اینکه تعداد کتاب های درسی خوانده شده توسط دانش آموز در هر ترم دارای قانون توزیع نرمال با انحراف معیار برابر با 6 باشد. : الف) با پایایی 0.99 برآورد فاصله ای برای انتظارات ریاضی این متغیر تصادفی. ب) با چه احتمالی می توان استدلال کرد که میانگین تعداد کتاب های درسی خوانده شده توسط دانش آموز در هر ترم که برای این نمونه محاسبه می شود، بیش از 2 از انتظارات ریاضی در مقدار مطلق انحراف داشته باشد.

طبقه بندی فواصل اطمینان

بر اساس نوع پارامتر مورد ارزیابی:

بر اساس نوع نمونه:

1. فاصله اطمینان برای نمونه برداری بی نهایت.
2. فاصله اطمینان برای نمونه نهایی؛

نمونه برداری را نمونه گیری مجدد می نامند، اگر شی انتخاب شده قبل از انتخاب مورد بعدی به جمعیت عمومی بازگردانده شود. نمونه غیر تکراری نامیده می شود.اگر شی انتخاب شده به جمعیت عمومی بازگردانده نشود. در عمل معمولاً با نمونه های تکرار نشدنی سروکار داریم.

محاسبه میانگین خطای نمونه گیری برای انتخاب تصادفی

اختلاف بین مقادیر شاخص های به دست آمده از نمونه و پارامترهای مربوط به جامعه عمومی نامیده می شود. خطای نمایندگی.
تعیین پارامترهای اصلی جامعه عمومی و نمونه.

نمونه فرمول های میانگین خطا
انتخاب مجدد		انتخاب غیر تکراری
برای وسط	برای اشتراک گذاری	برای وسط	برای اشتراک گذاری

نسبت بین حد خطای نمونه گیری (Δ) با احتمال کمی تضمین شده است P(t)،و میانگین خطای نمونه گیری به شکل: یا Δ = t μ است که در آن تی- ضریب اطمینان، بسته به سطح احتمال P(t) مطابق جدول تابع لاپلاس انتگرال تعیین می شود.

فرمول های محاسبه حجم نمونه با روش انتخاب تصادفی مناسب

فاصله اطمینان برای انتظارات

1. معلوم شود که sl. کمیت x از قانون نرمال با میانگین ناشناخته μ و σ 2 تبعیت می کند: X~N(μ,σ2)، σ 2 داده شده است، μ مشخص نیست. β داده شده است. بر اساس نمونه x 1، x 2، ...، x n، لازم است که I β (θ) (اکنون θ=μ) راضی کننده (13) ساخته شود.

میانگین نمونه (همچنین می گویند میانگین نمونه) از قانون نرمال با همان مرکز μ پیروی می کند، اما واریانس کوچکتر X~N (μ , D )، که در آن واریانس D =σ2 =σ2 /n است.

ما به عدد K β که برای ξ~N(0,1) با شرط تعریف شده نیاز داریم

به عبارتی: بین نقاط -K β و K β محور x، مساحت زیر منحنی چگالی قانون نرمال استاندارد برابر با β قرار دارد.

به عنوان مثال، K 0.90 \u003d 1.645 چندک از سطح 0.95 مقدار ξ

K 0.95 = 1.96. ; K 0.997 \u003d 3.

به طور خاص، با کنار گذاشتن 1.96 انحراف استاندارد به سمت راست و همان سمت چپ از مرکز هر قانون عادی، ما سطح زیر منحنی چگالی برابر با 0.95 را می گیریم، به این دلیل که K 0 95 چندک است. سطح 0.95 + 1/2 * 0.005 = 0.975 برای این قانون.

فاصله اطمینان مورد نظر برای میانگین کلی μ I A (μ) = (x-σ، x + σ) است.

جایی که δ = (15)

بیایید توجیه کنیم:

با توجه به آنچه گفته شد، مقدار در بازه J=μ±σ با احتمال β می افتد (شکل 9). در این مورد، مقدار از مرکز μ کمتر از δ، و فاصله تصادفی منحرف می شود ± δ (با مرکز تصادفی و همان عرض J) نقطه μ را پوشش می دهد. به این معنا که Є جی<=> μ Є من β،و بنابراین Р(μЄІ β ) = Р( Є J )=β.

بنابراین، فاصله نمونه ثابت I β حاوی میانگین μ با احتمال β است.

واضح است که هر چه n بیشتر باشد، کمتر است σ و فاصله باریکتر است، و هر چه ضمانت β را بزرگتر کنیم، فاصله اطمینان بیشتر است.

مثال 21.

برای نمونه ای با n=16 برای مقدار نرمال با واریانس شناخته شده σ 2=64 x=200 یافت شد. یک فاصله اطمینان برای میانگین کلی (به عبارت دیگر، برای انتظار ریاضی) μ با فرض β=0.95 بسازید.

راه حل. I β (μ)= ± δ، که در آن δ = ک β σ/ -> ک β σ/ = 1.96*8/ = 4

من 0.95 (μ) = 200 4 = (196; 204).

با نتیجه گیری اینکه با ضمانت 95/0=β، میانگین واقعی به بازه (204/196) تعلق دارد، متوجه می شویم که امکان خطا وجود دارد.

از 100 بازه اطمینان I 0.95 (μ) به طور متوسط ​​5 مورد حاوی μ نیستند.

مثال 22.

در شرایط مثال قبلی 21 چه n باید گرفت تا فاصله اطمینان نصف شود؟ برای داشتن 2δ=4 باید گرفت

در عمل اغلب از فواصل اطمینان یک طرفه استفاده می شود. بنابراین، اگر مقادیر بالای μ مفید یا وحشتناک نیستند، اما مقادیر پایین خوشایند نیستند، مانند استحکام یا قابلیت اطمینان، پس منطقی است که یک فاصله یک طرفه ایجاد کنید. برای این کار باید حد بالایی آن را تا حد امکان بالا ببرید. اگر مانند مثال 21، یک فاصله اطمینان دو طرفه برای β معین بسازیم، و سپس آن را تا حد ممکن به دلیل یکی از مرزها گسترش دهیم، آنگاه یک بازه یک طرفه با تضمین بیشتر β به دست می آوریم" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2، به عنوان مثال، اگر β = 0.90، سپس β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95.

به عنوان مثال، فرض می کنیم که در مورد قدرت محصول صحبت می کنیم و حد بالای فاصله را به . سپس برای μ در مثال 21 یک بازه اطمینان یک طرفه (196 درجه درجه) با کران پایین 196 و احتمال اطمینان β"=0.95+0.05/2=0.975 دریافت می کنیم.

اشکال عملی فرمول (15) این است که با این فرض که پراکندگی = σ 2 (از این رو = σ 2 / n) شناخته شده است مشتق شده است. و این به ندرت در زندگی واقعی اتفاق می افتد. استثنا موردی است که اندازه نمونه بزرگ باشد، مثلاً n به صدها یا هزاران اندازه گیری شود، و سپس برای σ 2 عملاً می توانیم تخمین آن را s 2 یا .

مثال 23.

فرض کنید در فلان شهر بزرگ، در نتیجه بررسی نمونه ای از وضعیت زندگی ساکنان، جدول داده های زیر به دست آمده است (نمونه ای از محل کار).

جدول 8

به عنوان مثال داده منبع

طبیعی است که چنین فرض کنیم مقدار X - کل مساحت (مفید) (در متر مربع) به ازای هر نفر از قانون عادی پیروی می کند. میانگین μ و واریانس σ2 مشخص نیست. برای μ، لازم است یک فاصله اطمینان 95٪ ایجاد شود. به منظور یافتن میانگین و واریانس نمونه از داده های گروه بندی شده، جدول محاسبات زیر را تهیه می کنیم (جدول 9).

جدول 9

X و 5 محاسبات روی داده های گروه بندی شده

گروه N h	مساحت کل برای هر 1 نفر، متر مربع	تعداد ساکنان گروه r j	فاصله x j	r j x j	rjxj 2
	تا 5.0		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	بیش از 30.0		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

در این جدول کمکی طبق فرمول (2) گشتاورهای آماری اولیه و دوم محاسبه شده است. یک 1و آ 2

اگرچه واریانس σ 2 در اینجا ناشناخته است، به دلیل حجم نمونه بزرگ، فرمول (15) را می توان در عمل اعمال کرد و σ = 7.16 را در آن تنظیم کرد.

سپس δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

فاصله اطمینان برای میانگین کلی در β=0.95 I 0.95 (μ) = ± δ = 0.46 ± 19 = (18.54؛ 19.46) است.

بنابراین، میانگین ارزش مساحت هر نفر در این شهر با ضمانت 0.95 در بازه (18.54؛ 19.46) قرار دارد.

2. فاصله اطمینان برای انتظار ریاضی μ در مورد واریانس ناشناخته σ 2 از مقدار نرمال. این بازه برای یک β تضمینی داده شده مطابق فرمول ساخته شده است، که ν = n-1،

(16)

ضریب t β،ν برای توزیع t - با ν درجه آزادی، به همان معنی است که برای β برای توزیع N(0،1)، یعنی:

.

به عبارت دیگر، sl. مقدار tν در بازه (-t β, ν ؛ +t β, ν) با احتمال β می افتد. مقادیر t β,ν در جدول 10 برای β=0.95 و β=0.99 آورده شده است.

جدول 10

مقادیر t β,ν

با بازگشت به مثال 23، می بینیم که در آن فاصله اطمینان طبق فرمول (16) با ضریب t β,υ =k 0..95 =1.96 ساخته شده است، زیرا n=1000.

می توانید از این فرم جستجو برای یافتن کار مناسب استفاده کنید. اگر می دانید یک کلمه، یک عبارت از کار یا شماره آن را وارد کنید.

فقط در این بخش جستجو کنید

فواصل اطمینان: فهرست راه حل های مشکل

فواصل اطمینان: نظریه و مسائل

درک فواصل اطمینان

اجازه دهید به طور خلاصه مفهوم فاصله اطمینان را معرفی کنیم که
1) برخی از پارامترهای یک نمونه عددی را مستقیماً از داده های خود نمونه تخمین می زند.
2) مقدار این پارامتر را با احتمال γ پوشش می دهد.

فاصله اطمینانبرای پارامتر ایکس(با احتمال γ) فاصله ای از شکل نامیده می شود، به طوری که ، و مقادیر به نوعی از نمونه محاسبه می شوند.

معمولاً در مسائل کاربردی، احتمال اطمینان برابر با γ = 0.9 در نظر گرفته می شود. 0.95; 0.99.

نمونه ای از اندازه n را در نظر بگیرید که از جمعیت عمومی تهیه شده است و احتمالاً طبق قانون توزیع نرمال توزیع شده است. اجازه دهید نشان دهیم با چه فرمول هایی یافت می شود فواصل اطمینان برای پارامترهای توزیع- انتظار و پراکندگی ریاضی (انحراف معیار).

فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی

مورد 1واریانس توزیع شناخته شده و برابر است. سپس فاصله اطمینان برای پارامتر آبه نظر می رسد:
تیاز جدول توزیع لاپلاس با نسبت تعیین می شود

مورد 2واریانس توزیع ناشناخته است؛ یک برآورد نقطه ای از واریانس از نمونه محاسبه شد. سپس فاصله اطمینان برای پارامتر آبه نظر می رسد:
، جایی که میانگین نمونه از نمونه، پارامتر محاسبه می شود تیاز جدول توزیع دانش آموز تعیین می شود

مثال.بر اساس داده‌های 7 اندازه‌گیری با یک مقدار معین، میانگین نتایج اندازه‌گیری برابر با 30 و واریانس نمونه برابر با 36 به دست آمد. مرزهایی را که در آن مقدار واقعی مقدار اندازه‌گیری شده وجود دارد با پایایی 0.99 بیابید. .

راه حل.بیایید پیدا کنیم . سپس محدودیت های اطمینان برای بازه حاوی مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده را می توان با فرمول پیدا کرد:
، جایی که میانگین نمونه است، واریانس نمونه است. با وصل کردن تمام مقادیر، دریافت می کنیم:

فاصله اطمینان برای واریانس

ما معتقدیم که، به طور کلی، انتظارات ریاضی ناشناخته است، و تنها یک تخمین بی‌طرفانه نقطه‌ای از واریانس شناخته شده است. سپس فاصله اطمینان به نظر می رسد:
، جایی که - کمیت های توزیع تعیین شده از جداول.

مثال.بر اساس داده های 7 کارآزمایی، مقدار برآورد برای انحراف معیار پیدا شد s=12. با احتمال 0.9 عرض فاصله اطمینان ساخته شده برای تخمین واریانس را بیابید.

راه حل.فاصله اطمینان برای واریانس جمعیت ناشناخته را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

جایگزین کنید و دریافت کنید:


سپس عرض فاصله اطمینان 465.589-71.708=393.881 است.

فاصله اطمینان برای احتمال (درصد)

مورد 1بگذارید حجم نمونه و کسر نمونه (فرکانس نسبی) در مسئله مشخص باشد. سپس فاصله اطمینان برای کسر عمومی (احتمال واقعی) برابر است با:
، جایی که پارامتر تیاز جدول توزیع لاپلاس با نسبت تعیین می شود.

مورد 2اگر مسئله علاوه بر این اندازه کل جامعه ای را که نمونه از آن گرفته شده است بداند، فاصله اطمینان برای کسر عمومی (احتمال واقعی) را می توان با استفاده از فرمول تنظیم شده پیدا کرد:
.

مثال.مشخص است که مرزهایی را که در آن سهم کلی با احتمال منعقد می شود، بیابید.

راه حل.ما از فرمول استفاده می کنیم:

بیایید پارامتر را از شرط پیدا کنیم ، جایگزین را در فرمول دریافت می کنیم:

می توانید نمونه های دیگری از مسائل مربوط به آمار ریاضی را در صفحه پیدا کنید

ابتدا تعریف زیر را یادآور می شویم:

بیایید وضعیت زیر را در نظر بگیریم. اجازه دهید انواع جمعیت عمومی دارای توزیع نرمال با انتظارات ریاضی $a$ و انحراف استاندارد $\sigma $ باشند. میانگین نمونه در این حالت به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفته می شود. هنگامی که $X$ به طور معمول توزیع می شود، میانگین نمونه نیز یک توزیع نرمال با پارامترها خواهد داشت

بیایید یک فاصله اطمینان پیدا کنیم که $a$ را با قابلیت اطمینان $\gamma $ پوشش دهد.

برای انجام این کار، ما به برابری نیاز داریم

از آن می گیریم

از اینجا می توانیم به راحتی $t$ را از جدول مقادیر تابع $Ф\left(t\right)$ پیدا کنیم و در نتیجه $\delta $ را پیدا کنیم.

جدول مقادیر تابع $Ф\left(t\right)$ را به یاد بیاورید:

شکل 1. جدول مقادیر تابع $Ф\left(t\right).$

انتگرال اعتماد برای تخمین انتظار زمانی که $(\mathbf \sigma )$ ناشناخته است

در این حالت از مقدار واریانس اصلاح شده $S^2$ استفاده خواهیم کرد. با جایگزینی $\sigma $ در فرمول فوق با $S$، دریافت می کنیم:

نمونه ای از وظایف برای یافتن فاصله اطمینان

مثال 1

اجازه دهید کمیت $X$ دارای توزیع نرمال با واریانس $\sigma =4$ باشد. بگذارید اندازه نمونه $n=64$ و قابلیت اطمینان برابر با $\gamma =0.95$ باشد. فاصله اطمینان برای تخمین انتظار ریاضی توزیع داده شده را بیابید.

باید بازه ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$ را پیدا کنیم.

همانطور که در بالا دیدیم

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\ t)(2)\]

پارامتر $t$ را از فرمول پیدا می کنیم

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma)(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

از جدول 1 ما t = 1.96 $ را دریافت می کنیم.