فاصله اطمینان برای انتظارات

1. معلوم شود که sl. مقدار x اطاعت می کند قانون عادیبا میانگین ناشناخته μ و شناخته شده σ 2: X~N(μ,σ2)، σ 2 داده شده است، μ مشخص نیست. β داده شده است. بر اساس نمونه x 1، x 2، ...، x n، لازم است که I β (θ) (اکنون θ=μ) راضی کننده (13) ساخته شود.

میانگین نمونه (میانگین نمونه را هم می گویند) از قانون نرمال با همان مرکز μ پیروی می کند، اما واریانس کوچکتر X~N (μ , D )، که در آن واریانس D =σ2 =σ2 /n است.

ما به عدد K β که برای ξ~N(0,1) با شرط تعریف شده نیاز داریم

به عبارتی: بین نقاط -K β و K β محور x، مساحت زیر منحنی چگالی قانون نرمال استاندارد برابر با β قرار دارد.

به عنوان مثال، K 0.90 \u003d 1.645 چندک از سطح 0.95 مقدار ξ

K 0.95 = 1.96. ; K 0.997 \u003d 3.

به طور خاص، با کنار گذاشتن 1.96 انحراف استاندارد به سمت راست و به همان میزان به سمت چپ از مرکز هر قانون عادی، سطح زیر منحنی چگالی برابر با 0.95 را می گیریم، به این دلیل K 0 95 چندک است. سطح 0.95 + 1/2 * 0.005 = 0.975 برای این قانون.

جستجو کرد فاصله اطمینانبرای میانگین کلی μ I A (μ) = (x-σ، x+σ) است.

جایی که δ = (15)

بیایید توجیه کنیم:

با توجه به آنچه گفته شد، مقدار در بازه J=μ±σ با احتمال β می افتد (شکل 9). در این مورد، مقدار از مرکز μ کمتر از δ، و فاصله تصادفی منحرف می شود ± δ (با مرکز تصادفی و همان عرض J) نقطه μ را پوشش می دهد. به این معنا که Є جی<=> μ Є من β،و بنابراین Р(μЄІ β ) = Р( Є J )=β.

بنابراین، فاصله نمونه ثابت I β حاوی میانگین μ با احتمال β است.

واضح است که هر چه n بیشتر باشد، کمتر است σ و فاصله باریکتر است، و هر چه ضمانت β را بزرگتر کنیم، فاصله اطمینان بیشتر است.

مثال 21.

با توجه به نمونه با n=16 برای مقدار نرمال با واریانس شناخته شدهσ 2 = 64 x = 200 پیدا شد. یک فاصله اطمینان برای میانگین کلی (به عبارت دیگر، برای انتظار ریاضی) μ با فرض β=0.95 بسازید.

راه حل. I β (μ)= ± δ، که در آن δ = ک β σ/ -> ک β σ/ = 1.96*8/ = 4

من 0.95 (μ) = 200 4 = (196; 204).

با نتیجه گیری اینکه با ضمانت 95/0=β، میانگین واقعی به بازه (204/196) تعلق دارد، متوجه می شویم که امکان خطا وجود دارد.

از 100 بازه اطمینان I 0.95 (μ) به طور متوسط ​​5 مورد حاوی μ نیستند.

مثال 22.

در شرایط مثال قبلی 21 چه n باید گرفت تا فاصله اطمینان نصف شود؟ برای داشتن 2δ=4 باید گرفت

در عمل اغلب از فواصل اطمینان یک طرفه استفاده می شود. بنابراین، اگر مقادیر بالای μ مفید یا وحشتناک نیستند، اما مقادیر پایین خوشایند نیستند، مانند استحکام یا قابلیت اطمینان، ایجاد یک فاصله یک طرفه منطقی است. برای این کار باید حد بالایی آن را تا حد امکان بالا ببرید. اگر مانند مثال 21، یک فاصله اطمینان دو طرفه برای یک β معین بسازیم، و سپس آن را تا حد امکان به دلیل یکی از مرزها گسترش دهیم، آنگاه یک بازه یک طرفه با تضمین بیشتر β به دست می آوریم" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2، به عنوان مثال، اگر β = 0.90، سپس β = 0.90 + 0.10/2 = 0.95.

به عنوان مثال، فرض می کنیم که در مورد قدرت محصول صحبت می کنیم و حد بالای فاصله را به . سپس برای μ در مثال 21 یک فاصله اطمینان یک طرفه (196 درجه درجه) با کران پایین 196 بدست می آوریم و سطح اطمینانβ"=0.95+0.05/2=0.975.

اشکال عملی فرمول (15) این است که با این فرض که پراکندگی = σ 2 (از این رو = σ 2 / n) شناخته شده است مشتق شده است. و این به ندرت در زندگی واقعی اتفاق می افتد. استثنا موردی است که اندازه نمونه بزرگ باشد، مثلاً n به صدها یا هزاران اندازه گیری شود، و سپس برای σ 2 عملاً می توانیم تخمین آن را s 2 یا .

مثال 23.

بیایید فرض کنیم که در برخی شهر بزرگدر نتیجه بررسی نمونه ای از وضعیت زندگی ساکنان، جدول داده های زیر به دست آمد (نمونه ای از محل کار).

جدول 8

برای مثال داده های منبع

طبیعی است که چنین فرض کنیم مقدار X - کل مساحت (مفید) (در متر مربع) به ازای هر نفر از قانون عادی پیروی می کند. میانگین μ و واریانس σ2 مشخص نیست. برای μ، لازم است یک فاصله اطمینان 95٪ ایجاد شود. به منظور یافتن میانگین و واریانس نمونه از داده های گروه بندی شده، جدول محاسبات زیر را تهیه می کنیم (جدول 9).

جدول 9

X و 5 محاسبات روی داده های گروه بندی شده

در این جدول کمکی طبق فرمول (2) گشتاورهای آماری اولیه و دوم محاسبه شده است. یک 1و آ 2

اگرچه واریانس σ 2 در اینجا ناشناخته است، به دلیل حجم نمونه بزرگ، فرمول (15) را می توان در عمل اعمال کرد و σ = 7.16 را در آن تنظیم کرد.

سپس δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

فاصله اطمینان برای میانگین کلی در β=0.95 I 0.95 (μ) = ± δ = 0.46 ± 19 = (18.54؛ 19.46) است.

بنابراین، میانگین مساحت هر نفر در این شهربا تضمین 0.95 در فاصله (18.54؛ 19.46) قرار دارد.

2. فاصله اطمینان برای انتظار ریاضی μ در مورد واریانس ناشناخته σ 2 از مقدار نرمال. این بازه برای یک β تضمینی داده شده مطابق فرمول ساخته شده است، که ν = n-1،

(16)

ضریب t β،ν برای توزیع t - با ν درجه آزادی، به همان معنی است که برای β برای توزیع N(0،1)، یعنی:

.

به عبارت دیگر، sl. مقدار tν در بازه (-t β, ν ؛ +t β, ν) با احتمال β می افتد. مقادیر t β,ν در جدول 10 برای β=0.95 و β=0.99 آورده شده است.

جدول 10

مقادیر t β,ν

با بازگشت به مثال 23، می بینیم که فاصله اطمینان در آن بر اساس فرمول (16) با ضریب t β,υ =k 0..95 =1.96 ساخته شده است، زیرا n=1000.

فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی بازه ای است که از داده هایی محاسبه می شود که با احتمال مشخصی حاوی آن است ارزش مورد انتظارجمعیت عمومی برآورد طبیعی برای انتظار ریاضی، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده آن است. بنابراین، بیشتر در طول درس از اصطلاحات "متوسط"، "مقدار متوسط" استفاده خواهیم کرد. در مسائل محاسبه فاصله اطمینان، پاسخ اغلب مورد نیاز این است که "فاصله اطمینان عدد متوسط ​​[مقدار در یک مسئله خاص] از [مقدار پایین] به [مقدار بالاتر] است". با کمک فاصله اطمینان، می توان نه تنها مقادیر متوسط، بلکه سهم یک یا ویژگی دیگر از جمعیت عمومی را نیز ارزیابی کرد. میانگین، واریانس، انحراف معیارو خطایی که از طریق آن به تعاریف و فرمول های جدید خواهیم رسید در درس تحلیل می شود نمونه و مشخصات جمعیت .

تخمین نقطه ای و بازه ای میانگین

اگر مقدار متوسط ​​جمعیت عمومی با یک عدد (نقطه) تخمین زده شود، سپس برای برآورد مجهول سایز متوسطاز جمعیت عمومی، میانگین خاصی گرفته می شود که از نمونه مشاهدات محاسبه می شود. در این حالت، مقدار میانگین نمونه - یک متغیر تصادفی - با مقدار میانگین جامعه عمومی منطبق نیست. بنابراین هنگام نشان دادن مقدار میانگین نمونه، باید خطای نمونه را نیز به طور همزمان نشان داد. خطای استاندارد به عنوان معیار خطای نمونه گیری استفاده می شود که در واحدهای مشابه میانگین بیان می شود. بنابراین اغلب از نماد زیر استفاده می شود: .

اگر برآورد میانگین لازم است با احتمال خاصی مرتبط باشد، پارامتر جمعیت عمومی مورد علاقه باید نه با یک عدد، بلکه با یک بازه تخمین زده شود. فاصله اطمینان فاصله ای است که در آن با احتمال معینی پمقدار شاخص تخمینی جمعیت عمومی پیدا می شود. فاصله اطمینان که در آن با احتمال پ = 1 - α یک متغیر تصادفی است که به صورت زیر محاسبه می شود:

,

α = 1 - پ، که در پیوست تقریباً هر کتابی در مورد آمار یافت می شود.

در عمل، میانگین و واریانس جامعه مشخص نیست، بنابراین واریانس جامعه با واریانس نمونه جایگزین می‌شود و میانگین جامعه با میانگین نمونه جایگزین می‌شود. بنابراین، فاصله اطمینان در بیشتر موارد به صورت زیر محاسبه می شود:

.

از فرمول فاصله اطمینان می توان برای تخمین میانگین جمعیت استفاده کرد

• انحراف معیار جمعیت عمومی شناخته شده است.
• یا انحراف معیار جامعه مشخص نیست، اما حجم نمونه بیشتر از 30 است.

میانگین نمونه یک برآورد بی طرفانه از میانگین جامعه است. به نوبه خود، واریانس نمونه یک برآورد بی طرفانه از واریانس جمعیت نیست. برای به دست آوردن یک تخمین بی طرفانه از واریانس جامعه در فرمول واریانس نمونه، حجم نمونه است nباید جایگزین شود n-1.

مثال 1اطلاعات از 100 کافه به طور تصادفی انتخاب شده در یک شهر خاص جمع آوری می شود که میانگین تعداد کارمندان در آنها 10.5 با انحراف معیار 4.6 است. فاصله اطمینان 95 درصد از تعداد کارگران کافه را تعیین کنید.

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,05 .

بنابراین، فاصله اطمینان 95 درصد برای میانگین تعداد کارکنان کافه بین 9.6 تا 11.4 بود.

مثال 2برای یک نمونه تصادفی از یک جمعیت عمومی 64 مشاهده ای، مقادیر کل زیر محاسبه شد:

مجموع مقادیر در مشاهدات،

مجموع مجذور انحراف مقادیر از میانگین .

فاصله اطمینان 95% را برای مقدار مورد انتظار محاسبه کنید.

محاسبه انحراف معیار:

,

محاسبه مقدار متوسط:

.

مقادیر موجود در عبارت را با فاصله اطمینان جایگزین کنید:

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,05 .

ما گرفتیم:

بنابراین، فاصله اطمینان 95% برای انتظارات ریاضی این نمونه از 7.484 تا 11.266 متغیر بود.

مثال 3برای یک نمونه تصادفی از یک جمعیت عمومی 100 مشاهداتی، مقدار میانگین 2/15 و انحراف معیار 2/3 محاسبه شد. فاصله اطمینان 95% را برای مقدار مورد انتظار و سپس فاصله اطمینان 99% را محاسبه کنید. اگر توان نمونه و تغییرات آن ثابت بماند، اما ضریب اطمینان افزایش یابد، آیا فاصله اطمینان باریک می شود یا افزایش می یابد؟

ما این مقادیر را با عبارت فاصله اطمینان جایگزین می کنیم:

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,05 .

ما گرفتیم:

.

بنابراین، فاصله اطمینان 95 درصد برای میانگین این نمونه از 14.57 تا 15.82 بود.

مجدداً، ما این مقادیر را در عبارت فاصله اطمینان جایگزین می کنیم:

مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد برای سطح معناداری کجاست α = 0,01 .

ما گرفتیم:

.

بنابراین، فاصله اطمینان 99 درصد برای میانگین این نمونه از 14.37 تا 16.02 بود.

همانطور که می بینید، با افزایش ضریب اطمینان، مقدار بحرانی توزیع نرمال استاندارد نیز افزایش می یابد، و بنابراین، نقاط شروع و پایان بازه دورتر از میانگین قرار می گیرند، و بنابراین فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی. افزایش.

تخمین نقطه ای و فاصله ای وزن مخصوص

وزن مخصوص برخی از ویژگی های نمونه را می توان چنین تفسیر کرد تخمین نقطه ایوزن مخصوص پهمین صفت در جمعیت عمومی اگر این مقدار باید با یک احتمال مرتبط شود، فاصله اطمینان وزن مخصوص باید محاسبه شود. پویژگی در جمعیت عمومی با احتمال پ = 1 - α :

.

مثال 4در فلان شهر دو نامزد وجود دارد آو بنامزد شهرداری از 200 نفر از ساکنان شهر به صورت تصادفی نظرسنجی شد که از این تعداد 46 درصد پاسخ دادند که به نامزد رای می دهند. آ، 26٪ - برای نامزد بو 28 درصد نمی دانند به چه کسی رای خواهند داد. فاصله اطمینان 95٪ را برای نسبت ساکنان شهر که از نامزد حمایت می کنند، تعیین کنید آ.

اجازه دهید CB X جمعیت عمومی را تشکیل دهد و β یک پارامتر ناشناخته CB X باشد. اگر تخمین آماری در * ثابت باشد، هر چه اندازه نمونه بزرگتر باشد، مقدار β دقیق تر است. با این حال، در عمل، ما نمونه های خیلی بزرگی نداریم، بنابراین نمی توانیم دقت بیشتری را تضمین کنیم.

فرض کنید s* یک تخمین آماری برای s باشد. مقدار |در* - در| دقت تخمین نامیده می شود. واضح است که دقت CB است، زیرا s* یک متغیر تصادفی است. اجازه دهید یک عدد مثبت کوچک را 8 تنظیم کنیم و دقت تخمین را بخواهیم |in* - in| کمتر از 8 بود، یعنی | در* - در |< 8.

قابلیت اطمینان g یا احتمال اطمینان تخمین در * احتمال g است که با آن نابرابری |در * - در|< 8, т. е.

معمولاً قابلیت اطمینان g از قبل تنظیم می شود و برای g عددی نزدیک به 1 می گیرند (0.9؛ 0.95؛ 0.99؛ ...).

از آنجایی که نابرابری |در * - در|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

بازه (در * - 8، در * + 5) فاصله اطمینان نامیده می شود، به عنوان مثال، فاصله اطمینان پارامتر مجهول را با احتمال y پوشش می دهد. توجه داشته باشید که انتهای فاصله اطمینان تصادفی است و از نمونه ای به نمونه دیگر متفاوت است، بنابراین دقیق تر است که بگوییم فاصله (در * - 8، در * + 8) پارامتر مجهول β را پوشش می دهد تا β متعلق به این فاصله باشد. .

اجازه دهید جمعیتتوسط یک متغیر تصادفی X، توزیع شده بر اساس قانون نرمال، علاوه بر این، میانگین داده می شود انحراف معیاراما شناخته شده است. انتظار ریاضی a = M (X) ناشناخته است. لازم است یک فاصله اطمینان برای a برای یک قابلیت اطمینان y پیدا شود.

میانگین نمونه

است ارزیابی آماریبرای xr = a.

قضیه. مقدار تصادفی xB دارد توزیع نرمالاگر X توزیع نرمال داشته باشد و M(XB) = a،

A (XB) \u003d a، که در آن a \u003d y / B (X)، a \u003d M (X). l/i

فاصله اطمینان برای a به شکل زیر است:

ما 8 را پیدا می کنیم.

با استفاده از نسبت

جایی که Ф(г) تابع لاپلاس است، داریم:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

مقدار t را در جدول مقادیر تابع لاپلاس پیدا می کنیم.

دلالت می کند

T، F(t) = g را بدست می آوریم

از برابری یافتن - دقت برآورد.

بنابراین فاصله اطمینان برای a به شکل زیر است:

اگر نمونه ای از جمعیت عمومی X داده شود

n = U1 + ... + nm، سپس فاصله اطمینان خواهد بود:

مثال 6.35. با دانستن میانگین نمونه Xb 10.43، حجم نمونه n = 100 و انحراف معیار s = 5، فاصله اطمینان را برای تخمین انتظار a از یک توزیع نرمال با پایایی 0.95 بیابید.

بیایید از فرمول استفاده کنیم

اجازه دهید یک متغیر تصادفی (می‌توانیم در مورد جمعیت عمومی صحبت کنیم) طبق قانون عادی توزیع شده است، که واریانس آن D = 2 (> 0) مشخص است. از جمعیت عمومی (بر روی مجموعه اشیایی که یک متغیر تصادفی از آنها تعیین می شود)، نمونه ای به اندازه n ساخته می شود. نمونه x 1 , x 2 ,..., x n به عنوان مجموعه ای از n متغیر تصادفی مستقل در نظر گرفته می شود که به همان شیوه (رویکردی که در بالا توضیح داده شد) توزیع شده است.

قبلاً مساوات زیر نیز مورد بحث و اثبات قرار گرفته بود:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

کافی است به سادگی ثابت کنیم (اثبات را حذف می کنیم) که متغیر تصادفی در این مورد نیز طبق قانون عادی توزیع شده است.

مقدار مجهول M را با a نشان می دهیم و با توجه به قابلیت اطمینان داده شده عدد d > 0 را انتخاب می کنیم تا شرط زیر برآورده شود:

P(- a< d) = (1)

از آنجایی که متغیر تصادفی بر اساس قانون نرمال با انتظار ریاضی M = M = a و واریانس D = D /n = 2 /n توزیع می شود، به دست می آوریم:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

باقی مانده است که d را طوری انتخاب کنیم که برابری باشد

برای هر کسی، می توان چنین عدد t را از جدول پیدا کرد که (t) \u003d / 2. این عدد t گاهی اوقات نامیده می شود. چندک.

حالا از برابری

مقدار d را تعریف کنید:

نتیجه نهایی را با ارائه فرمول (1) به شکل زیر بدست می آوریم:

معنی آخرین فرمول به شرح زیر است: با قابلیت اطمینان، فاصله اطمینان

پارامتر مجهول a = M جمعیت را پوشش می دهد. می توان به طور متفاوت گفت: یک تخمین نقطه ای مقدار پارامتر M را با دقت d = t / و قابلیت اطمینان تعیین می کند.

یک وظیفه. اجازه دهید یک جمعیت عمومی با برخی مشخصه ها مطابق قانون عادی با پراکندگی برابر با 6.25 توزیع شده باشد. نمونه ای با حجم n = 27 ساخته شد و میانگین مقدار نمونه مشخصه = 12 به دست آمد.

راه حل. ابتدا با استفاده از جدول تابع لاپلاس، مقدار t را از معادله (t) \u003d / 2 \u003d 0.495 پیدا می کنیم. بر اساس مقدار به دست آمده t = 2.58، ما دقت برآورد (یا نصف طول فاصله اطمینان) را تعیین می کنیم d: d = 2.52.58 / 1.24. از اینجا فاصله اطمینان مورد نظر را بدست می آوریم: (10.76؛ 13.24).

فرضیه آماری تغییرات کلی

فاصله اطمینان برای انتظار توزیع نرمال با واریانس مجهول

فرض کنید یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون عادی با یک انتظار ریاضی ناشناخته M باشد که آن را با حرف a نشان می دهیم. بیایید یک نمونه با اندازه n درست کنیم. اجازه دهید میانگین نمونه و واریانس نمونه اصلاح شده s 2 را با استفاده از فرمول های شناخته شده تعیین کنیم.

مقدار تصادفی

طبق قانون دانشجویی با n - 1 درجه آزادی توزیع شده است.

وظیفه یافتن چنین عددی t با توجه به قابلیت اطمینان داده شده و تعداد درجات آزادی n - 1 است تا برابری

یا برابری معادل

در اینجا در داخل پرانتز، این شرط نوشته شده است که مقدار پارامتر مجهول a متعلق به یک بازه مشخص است که همان فاصله اطمینان است. مرزهای آن به قابلیت اطمینان و همچنین به پارامترهای نمونه برداری و s بستگی دارد.

برای تعیین مقدار t بر اساس قدر، تساوی (2) را به شکل زیر تبدیل می کنیم:

حال با توجه به جدول یک متغیر تصادفی t که طبق قانون Student توزیع شده است، با توجه به احتمال 1 - و تعداد درجات آزادی n - 1، t را پیدا می کنیم. فرمول (3) پاسخ مسئله را می دهد.

یک وظیفه. در آزمایش های کنترلی 20 لامپ برقی، میانگین مدت کارکرد آنها معادل 2000 ساعت با انحراف معیار (محاسبه شده به صورت جذر واریانس نمونه اصلاح شده) معادل 11 ساعت بود. مشخص است که مدت زمان عملکرد لامپ یک متغیر تصادفی توزیع شده عادی است. با پایایی 0.95 فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی این متغیر تصادفی را تعیین کنید.

راه حل. مقدار 1 - در این مورد برابر با 0.05 است. با توجه به جدول توزیع Student، با تعداد درجات آزادی برابر با 19، بدست می آوریم: t = 2.093. اکنون دقت برآورد را محاسبه می کنیم: 2.093121/ = 56.6. از اینجا به فاصله اطمینان مورد نظر می رسیم: (1943.4; 2056.6).

بگذارید نمونه ای از جمعیت عمومی مشمول قانون تهیه شود طبیعیتوزیع ایکسن( متر;  ). این فرض اساسی آمار ریاضی مبتنی بر قضیه حد مرکزی است. اجازه دهید انحراف معیار کلی مشخص شود  , اما انتظارات ریاضی از توزیع نظری ناشناخته است متر(منظور داشتن ).

در این مورد، میانگین نمونه ، به دست آمده در طول آزمایش (بخش 3.4.2)، نیز یک متغیر تصادفی خواهد بود متر;
). سپس انحراف "نرمال شده".
N(0;1) یک متغیر تصادفی نرمال استاندارد است.

مشکل این است که یک تخمین بازه برای متر. اجازه دهید یک فاصله اطمینان دو طرفه برای متر به طوری که انتظارات ریاضی واقعی با احتمال معین (پایایی) متعلق به او باشد.  .

چنین فاصله ای را برای مقدار تعیین کنید
به معنای یافتن حداکثر مقدار این کمیت است
و حداقل
، که مرزهای منطقه بحرانی هستند:
.

زیرا این احتمال است
، سپس ریشه این معادله
را می توان با استفاده از جداول تابع لاپلاس (جدول 3، پیوست 1) پیدا کرد.

سپس با احتمال  می توان استدلال کرد که متغیر تصادفی
یعنی میانگین کلی مورد نظر متعلق به بازه است
. (3.13)

ارزش
(3.14)

تماس گرفت دقتبرآوردها

عدد
– چندکتوزیع نرمال - می توان به عنوان آرگومان تابع لاپلاس (جدول 3، پیوست 1)، با توجه به نسبت 2Ф( تو)=، یعنی F( تو)=
.

برعکس، با توجه به مقدار انحراف مشخص شده  می توان دریافت که میانگین کلی مجهول با چه احتمالی به بازه تعلق دارد
. برای این کار باید محاسبه کنید

. (3.15)

اجازه دهید با روش انتخاب مجدد یک نمونه تصادفی از جامعه عمومی گرفته شود. از معادله
را می توان یافت کمترینحجم نمونه برداری مجدد nبرای اطمینان از اینکه فاصله اطمینان با قابلیت اطمینان معین مورد نیاز است از مقدار از پیش تعیین شده تجاوز نکرده است  . حجم نمونه مورد نیاز با استفاده از فرمول برآورد می شود:

. (3.16)

کاوش دقت تخمین
:

1) با افزایش حجم نمونه nاندازه  کاهش می دهد، و از این رو دقت برآورد افزایش.

2) ج افزایش دادنقابلیت اطمینان برآوردها ارزش آرگومان افزایش می یابد تو(زیرا اف(تو) یکنواخت افزایش می یابد) و از این رو افزایش  . در این مورد، افزایش قابلیت اطمینان کاهش می دهددقت ارزیابی آن  .

تخمین زدن
(3.17)

تماس گرفت کلاسیک(جایی که تیپارامتری است که به و n)، زیرا این قوانین توزیعی که اغلب با آن مواجه می شوند را مشخص می کند.

3.5.3 فواصل اطمینان برای تخمین انتظار توزیع نرمال با انحراف معیار ناشناخته 

بگذارید بدانیم که جمعیت عمومی تابع قانون توزیع نرمال است ایکسن( متر; ) که در آن مقدار ریشه میانگین مربعانحرافات ناشناس.

برای ایجاد فاصله اطمینان برای تخمین میانگین کلی، در این مورد از آمار استفاده می شود
، که دارای توزیع دانشجویی با ک= n-1 درجه آزادی این از این واقعیت ناشی می شود که N(0;1) (به مورد 3.5.2 مراجعه کنید)، و
(به بند 3.5.3 مراجعه کنید) و از تعریف توزیع دانشجو (بخش 1. بند 2.11.2).

اجازه دهید دقت تخمین کلاسیک توزیع Student را پیدا کنیم: i.e. پیدا کردن تیاز فرمول (3.17). اجازه دهید احتمال تحقق نابرابری
توسط قابلیت اطمینان داده شده است  :

. (3.18)

از آنجا که تی سنت ( n-1) بدیهی است که تیبستگی دارد به  و n، بنابراین ما معمولا می نویسیم
.

(3.19)

جایی که
تابع توزیع دانش آموز با است n-1 درجه آزادی

حل این معادله برای متر، فاصله را می گیریم
که با قابلیت اطمینان  پارامتر مجهول را پوشش می دهد متر.

ارزش تی  , n-1، برای تعیین فاصله اطمینان یک متغیر تصادفی استفاده می شود تی(n-1), توزیع شده توسط دانشجو با n-1 درجه آزادی نامیده می شود ضریب دانش آموزی. باید با مقادیر داده شده پیدا شود nو  از جداول "نقاط بحرانی توزیع دانش آموز". (جدول 6 پیوست 1) که راه حل های معادله (3.19) هستند.

در نتیجه، عبارت زیر را دریافت می کنیم دقت فاصله اطمینان برای تخمین انتظارات ریاضی (میانگین کلی)، اگر واریانس ناشناخته باشد:

(3.20)

بنابراین، یک فرمول کلی برای ساخت فواصل اطمینان برای انتظارات ریاضی جمعیت عمومی وجود دارد:

دقت فاصله اطمینان کجاست  بسته به واریانس شناخته شده یا ناشناخته مطابق فرمول به ترتیب 3.16 یافت می شود. و 3.20.

وظیفه 10.چند آزمایش انجام شد که نتایج آن در جدول ذکر شده است:

مشخص است که آنها از قانون توزیع عادی تبعیت می کنند
. تخمینی پیدا کنید متر* برای انتظارات ریاضی متر، یک فاصله اطمینان 90% برای آن ایجاد کنید.

راه حل:

بنابراین، متر(2.53;5.47).

وظیفه 11.عمق دریا توسط دستگاهی اندازه گیری می شود که خطای سیستماتیک آن 0 است و خطاهای تصادفی بر اساس قانون عادی و با انحراف معیار توزیع می شوند.  = 15 متر چند اندازه گیری مستقل برای تعیین عمق با خطاهای بیش از 5 متر با سطح اطمینان 90٪ باید انجام شود؟

راه حل:

با شرط مشکل، داریم ایکسن( متر;  )، جایی که  = 15 متر  =5 متر  =0.9. بیایید حجم را پیدا کنیم n.

1) با پایایی داده شده = 0.9، از جداول 3 (پیوست 1) آرگومان تابع لاپلاس را می یابیم. تو  = 1.65.

2) دانستن دقت تخمین داده شده  =تو  =5، پیدا کنید
. ما داریم

. بنابراین، تعداد آزمایشات n25.

وظیفه 12.نمونه برداری دما تیبرای 6 روز اول ژانویه در جدول ارائه شده است:

فاصله اطمینان برای انتظارات را پیدا کنید مترجمعیت عمومی با احتمال اطمینان
و انحراف استاندارد کلی را تخمین بزنید س.

راه حل:

و
.

2) برآورد بی طرفانه با فرمول پیدا کنید
:

;
;

.

3) از آنجایی که واریانس کلی ناشناخته است، اما تخمین آن مشخص است، پس انتظار ریاضی را برآورد کنید مترما از توزیع دانشجویی (جدول 6، پیوست 1) و فرمول (3.20) استفاده می کنیم.

زیرا n 1 =n 2 = 6، سپس،
, س 1 = 6.85 داریم:
، از این رو -29.2-4.1<متر 1 < -29.2+4.1.

بنابراین -33.3<متر 1 <-25.1.

به همین ترتیب، ما داریم
, س 2 = 4.8، بنابراین

–34.9< متر 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: متر 1 (-33.3;-25.1) و متر 2 (-34.9;-29.1).

به عنوان مثال، در علوم کاربردی، در رشته های ساختمانی، از جداول فواصل اطمینان برای ارزیابی دقت اشیا استفاده می شود که در ادبیات مرجع مربوطه آورده شده است.