رتبه بندی ها انتظارات ریاضیو پراکندگی

با مفهوم پارامترهای توزیع در نظریه احتمال آشنا شدیم. به عنوان مثال، در قانون توزیع نرمال که توسط تابع چگالی احتمال داده شده است

پارامترها هستند آ– انتظارات ریاضی و آانحراف معیار است. در توزیع پواسون، پارامتر عدد است a = سابق

تعریف. تخمین آماری یک پارامتر ناشناخته از یک توزیع نظری، مقدار تقریبی آن است که به داده های نمونه بستگی دارد.(x 1، x 2، x 3،..., x k ; ص 1، ص 2، ص 3،..., p k)، یعنی تابعی از این مقادیر.

اینجا x 1، x 2، x 3،..., x k- مقادیر ویژگی، ص 1، ص 2، ص 3،..., p kفرکانس های مربوطه هستند. برآورد آماری یک متغیر تصادفی است.

با نشان دادن θ پارامتر تخمین زده شده است و از طریق θ * - خود ارزیابی آماری. ارزش | θ *–θ | تماس گرفت دقت ارزیابیکمتر | θ *–θ |، بهتر است، پارامتر ناشناخته با دقت بیشتری تعریف شود.

امتیاز گرفتن θ * اهمیت عملی داشت، نباید حاوی خطای سیستماتیک باشد و در عین حال دارای کمترین واریانس ممکن باشد. علاوه بر این، با افزایش حجم نمونه، احتمال انحرافات خودسرانه کوچک | θ *–θ | باید نزدیک به 1 باشد.

اجازه دهید تعاریف زیر را بیان کنیم.

1. یک تخمین پارامتر بدون تعصب نامیده می شود اگر انتظار ریاضی آن M باشد(θ *) برابر با پارامتر تخمینی θ, یعنی

م(θ *) = θ, (1)

و افست اگر

م(θ *) ≠ θ, (2)

2. تخمین θ* اگر برای هر δ> 0 باشد، سازگار نامیده می شود

(3)

برابری (3) به شرح زیر است: برآورد θ * در احتمال همگرا به θ .

3. تخمین θ* اگر برای یک n معین، کوچکترین واریانس را داشته باشد، موثر نامیده می شود.

قضیه 1.میانگین نمونه، Х В یک تخمین بی طرفانه و ثابت از انتظارات ریاضی است.

اثبات بگذارید نمونه نماینده باشد، یعنی همه عناصر جامعه عمومی فرصت یکسانی برای گنجاندن در نمونه داشته باشند. مقادیر ویژگی x 1، x 2، x 3،...، x nرا می توان به عنوان متغیرهای تصادفی مستقل در نظر گرفت X 1، X 2، X 3، ...، X nبا توزیع‌ها و ویژگی‌های عددی یکسان، از جمله آنهایی که انتظارات ریاضی برابری دارند آ،

از آنجایی که هر یک از مقادیر X 1، X 2، X 3، ...، X صپس توزیعی منطبق با توزیع جمعیت عمومی دارد م(ایکس)= a.از همین رو

از این رو نتیجه می شود که یک تخمین ثابت است م(ایکس).

با استفاده از قانون تحقیقات افراطی، می‌توانیم ثابت کنیم که این یک تخمین کارآمد نیز هست م(ایکس).

انتظارات ریاضی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

انتظارات ریاضی، تعریف، انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته، انتخابی، انتظار شرطی، محاسبه، خواص، وظایف، تخمین انتظار، واریانس، تابع توزیع، فرمول‌ها، مثال‌های محاسبه

محتوا را گسترش دهید

جمع کردن محتوا

انتظار ریاضی، تعریف است

یکی از مهمترین مفاهیم در آمار ریاضیو نظریه احتمال، که توزیع مقادیر یا احتمالات را مشخص می کند متغیر تصادفی. معمولا به صورت بیان می شود میانگین وزنیتمام پارامترهای ممکن متغیر تصادفی به طور گسترده در انجام استفاده می شود تحلیل تکنیکال، مطالعه سری های عددی، مطالعه فرآیندهای پیوسته و طولانی. این دارد اهمیتهنگام ارزیابی ریسک ها، پیش بینی شاخص های قیمت هنگام معامله در بازارهای مالی، در توسعه استراتژی ها و روش های تاکتیک های بازی در تئوری قمار استفاده می شود.

انتظار ریاضی استمقدار میانگین یک متغیر تصادفی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود.

انتظار ریاضی استاندازه گیری مقدار میانگین یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی ایکسنشان داده شده است M(x).

انتظار ریاضی است

انتظار ریاضی استدر نظریه احتمال، میانگین وزنی تمام مقادیر ممکنی که این متغیر تصادفی می تواند بگیرد.

انتظار ریاضی استمجموع حاصل از همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی با احتمالات این مقادیر.

انتظار ریاضی استمیانگین سود از یک تصمیم خاص، مشروط بر اینکه بتوان چنین تصمیمی را در چارچوب نظریه اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفت.

انتظار ریاضی استدر تئوری قمار، میزان بردی که یک بازیکن می تواند به طور متوسط ​​برای هر شرط بندی کسب کند یا از دست بدهد. در زبان قماربازان، گاهی اوقات به آن "لبه بازیکن" (اگر برای بازیکن مثبت باشد) یا "لبه خانه" (اگر برای بازیکن منفی باشد) می گویند.

انتظار ریاضی استدرصد سود به ازای هر برد ضرب در سود متوسط ​​منهای احتمال ضرر ضرب در ضرر متوسط.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی در نظریه ریاضی

یکی از ویژگی های عددی مهم یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی است. اجازه دهید مفهوم سیستم متغیرهای تصادفی را معرفی کنیم. مجموعه ای از متغیرهای تصادفی را در نظر بگیرید که نتایج همان آزمایش تصادفی هستند. اگر یکی از مقادیر ممکن سیستم باشد، آنگاه رویداد با احتمال خاصی مطابقت دارد که بدیهیات کلموگروف را برآورده می کند. تابعی که برای هر مقدار ممکن از متغیرهای تصادفی تعریف می شود، قانون توزیع مشترک نامیده می شود. این تابع به شما اجازه می دهد تا احتمالات هر رویداد را از آن محاسبه کنید. به طور خاص، قانون مشترک توزیع متغیرهای تصادفی و که مقادیری را از مجموعه می گیرند و توسط احتمالات داده می شود.

اصطلاح "انتظار" توسط پیر سیمون مارکیز د لاپلاس (1795) معرفی شد و از مفهوم "ارزش مورد انتظار بازده" سرچشمه گرفت که اولین بار در قرن هفدهم در نظریه قمار در آثار بلز پاسکال و کریستین هویگنس ظاهر شد. . با این حال، اولین درک نظری و ارزیابی کامل از این مفهوم توسط پافنوتی لوویچ چبیشف (اواسط قرن نوزدهم) ارائه شد.

قانون توزیع متغیرهای عددی تصادفی (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مشکلات دانستن برخی از آنها کافی است ویژگی های عددیمقدار مورد مطالعه (مثلاً مقدار میانگین و انحراف احتمالی آن) برای پاسخ به سؤال مطرح شده. ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی عبارتند از انتظار ریاضی، واریانس، حالت و میانه.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است. گاهی اوقات انتظار ریاضی را میانگین وزنی می نامند، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده متغیر تصادفی در اعداد بزرگآزمایش. از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی‌آید که مقدار آن از کوچک‌ترین مقدار ممکن یک متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی یک متغیر غیر تصادفی (ثابت) است.

انتظارات ریاضی معنای فیزیکی ساده ای دارد: اگر یک واحد جرم روی یک خط مستقیم قرار گیرد، مقداری جرم در برخی نقاط قرار می گیرد (برای توزیع گسسته، یا "لکه کردن" آن با چگالی معین (برای توزیع کاملاً پیوسته)، سپس نقطه مربوط به انتظار ریاضی مختصات "مرکز ثقل" خط مستقیم خواهد بود.

مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی یک عدد معین است که همانطور که بود "نماینده" آن است و در محاسبات تقریبی تقریبی جایگزین آن می شود. هنگامی که می گوییم: "متوسط ​​زمان کارکرد لامپ 100 ساعت است" یا "متوسط ​​نقطه ضربه نسبت به هدف 2 متر به سمت راست جابه جا شده است"، با این کار مشخصه عددی خاصی از یک متغیر تصادفی را نشان می دهیم که آن را توصیف می کند. مکان روی محور عددی، یعنی. شرح موقعیت.

از ویژگی های یک موقعیت در نظریه احتمال، مهمترین نقش را انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی ایفا می کند که گاهی اوقات به سادگی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی نامیده می شود.

یک متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس، که دارای مقادیر ممکن است x1، x2، …، xnبا احتمالات p1, p2, …, pn. ما باید موقعیت مقادیر متغیر تصادفی را در محور x با مقداری مشخص کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که این مقادیر احتمالات متفاوتی دارند. برای این منظور، طبیعی است که از به اصطلاح «میانگین وزنی» مقادیر استفاده شود xi، و هر مقدار xi در طول میانگین گیری باید با یک "وزن" متناسب با احتمال این مقدار در نظر گرفته شود. بنابراین، ما میانگین متغیر تصادفی را محاسبه خواهیم کرد ایکس، که به آن اشاره خواهیم کرد M|X|:

این میانگین وزنی را انتظار ریاضی از متغیر تصادفی می نامند. بنابراین، ما یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال را در نظر گرفتیم - مفهوم انتظار ریاضی. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر است.

ایکسبه دلیل وابستگی عجیب و غریب با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی با تعداد زیادی آزمایش. این وابستگی از همان نوع وابستگی بین فرکانس و احتمال است، یعنی: با تعداد زیادی آزمایش، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). از وجود رابطه بین فراوانی و احتمال، می توان به عنوان یک نتیجه، وجود یک رابطه مشابه بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی را استنباط کرد. در واقع، یک متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس، با یک سری توزیع مشخص می شود:

بذار تولید بشه نآزمایش های مستقل، که در هر یک از آنها ارزش ایکسارزش خاصی به خود می گیرد. مقدار را فرض کنید x1ظاهر شد m1بار، ارزش x2ظاهر شد متر مربعبار، معنای عام xiبارها ظاهر شد اجازه دهید میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده X را محاسبه کنیم که بر خلاف انتظارات ریاضی M|X|نشان خواهیم داد M*|X|:

با افزایش تعداد آزمایشات نفرکانس ها پیبه احتمالات مربوطه نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). بنابراین، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از متغیر تصادفی M|X|با افزایش تعداد آزمایش ها، به انتظارات ریاضی خود نزدیک می شود (احتمال همگرایی). ارتباط بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی فرموله شده در بالا محتوای یکی از اشکال قانون اعداد بزرگ را تشکیل می دهد.

ما قبلاً می دانیم که همه اشکال قانون اعداد بزرگ این واقعیت را بیان می کنند که میانگین های معینی در تعداد زیادی آزمایش پایدار هستند. در اینجا ما در مورد پایداری میانگین حسابی از یک سری مشاهدات با همان مقدار صحبت می کنیم. با تعداد کمی آزمایش، میانگین حسابی نتایج آنها تصادفی است. با افزایش کافی در تعداد آزمایش ها، "تقریبا تصادفی" نمی شود و با تثبیت، به یک مقدار ثابت - انتظار ریاضی نزدیک می شود.

ویژگی پایداری میانگین ها برای تعداد زیادی آزمایش به راحتی به صورت تجربی تأیید می شود. به عنوان مثال، وزن کردن هر جسمی در آزمایشگاه روی ترازوهای دقیق، در نتیجه توزین هر بار مقدار جدیدی به دست می‌آید. برای کاهش خطای مشاهده، بدن را چندین بار وزن کرده و از میانگین حسابی مقادیر به دست آمده استفاده می کنیم. به راحتی می توان دریافت که با افزایش بیشتر تعداد آزمایش ها (وزن کردن)، میانگین حسابی کمتر و کمتر به این افزایش واکنش نشان می دهد و با تعداد کافی آزمایش ها عملاً تغییر نمی کند.

لازم به ذکر است که مهمترین مشخصه موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. می توان نمونه هایی از این متغیرهای تصادفی ساخت که انتظار ریاضی برای آنها وجود ندارد، زیرا مجموع یا انتگرال مربوطه واگرا می شود. با این حال، برای عمل، چنین مواردی جالب توجه نیستند. معمولاً متغیرهای تصادفی که با آنها سر و کار داریم، محدوده محدودی از مقادیر ممکن و البته انتظاری نیز دارند.

علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی، سایر ویژگی های موقعیت گاهی اوقات در عمل استفاده می شود، به ویژه حالت و میانه متغیر تصادفی.

حالت یک متغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. اصطلاح "محتمل ترین ارزش"، به طور دقیق، فقط برای مقادیر ناپیوسته اعمال می شود. برای مقدار پیوستهحالت مقداری است که در آن چگالی احتمال حداکثر است. شکل ها به ترتیب حالت متغیرهای تصادفی ناپیوسته و پیوسته را نشان می دهند.

اگر چندضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک ماکزیمم داشته باشد، به آن توزیع "چند وجهی" گفته می شود.

گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارند که در وسط نه حداکثر، بلکه حداقل دارند. چنین توزیع هایی "ضد وجهی" نامیده می شوند.

AT مورد کلیحالت و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی با هم منطبق نیستند. در یک مورد خاص، وقتی توزیع متقارن و معین است (یعنی حالت دارد) و انتظار ریاضی وجود دارد، آنگاه با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.

یکی دیگر از ویژگی های موقعیت اغلب استفاده می شود - به اصطلاح میانه یک متغیر تصادفی. این مشخصه معمولاً فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته استفاده می شود، اگرچه می توان آن را به طور رسمی برای یک متغیر ناپیوسته نیز تعریف کرد. از نظر هندسی، میانه ابسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محدود شده توسط منحنی توزیع نصف می شود.

در مورد توزیع مودال متقارن، میانه با میانگین و مد منطبق است.

انتظارات ریاضی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است - یک مشخصه عددی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی. در کلی ترین حالت، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی است X(w)با توجه به اندازه گیری احتمال به عنوان انتگرال Lebesgue تعریف می شود آردر فضای احتمال اصلی:

انتظارات ریاضی را می توان به عنوان انتگرال Lebesgue نیز محاسبه کرد ایکسبا توزیع احتمال pxمقادیر ایکس:

به طور طبیعی می توان مفهوم متغیر تصادفی را با بی نهایت انتظار ریاضی تعریف کرد. یک مثال معمولی زمان بازگشت در برخی از پیاده روی های تصادفی است.

با کمک انتظارات ریاضی، بسیاری از ویژگی های عددی و عملکردی توزیع تعیین می شود (به عنوان انتظار ریاضی توابع متناظر یک متغیر تصادفی)، به عنوان مثال، تابع تولید، تابع مشخصه، گشتاورهای هر مرتبه، به ویژه پراکندگی. ، کوواریانس

انتظارات ریاضی مشخصه مکان مقادیر یک متغیر تصادفی (مقدار متوسط ​​توزیع آن) است. در این ظرفیت، انتظار ریاضی به عنوان برخی از پارامترهای توزیع "معمولی" عمل می کند و نقش آن شبیه به نقش لحظه ایستا - مختصات مرکز ثقل توزیع جرم - در مکانیک است. از دیگر ویژگی های مکان، که با کمک آنها توزیع به طور کلی توصیف می شود - میانه ها، حالت ها، انتظار ریاضی در مقدار بیشتری که آن و مشخصه پراکندگی مربوطه - پراکندگی - در قضایای حدی نظریه احتمال دارند، متفاوت است. با بیشترین کامل، معنای انتظار ریاضی توسط قانون اعداد بزرگ (نابرابری چبیشف) و قانون تقویت شده اعداد بزرگ آشکار می شود.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته

اجازه دهید یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد که بتواند یکی از چندین مقدار عددی را بگیرد (به عنوان مثال، تعداد نقاط در یک رول قالب می تواند 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 باشد). اغلب در عمل، برای چنین مقداری، این سوال مطرح می شود: با تعداد زیادی تست، "به طور متوسط" چه ارزشی می گیرد؟ میانگین بازده (یا ضرر) ما از هر یک از عملیات های پرخطر چقدر خواهد بود؟

فرض کنید نوعی قرعه کشی وجود دارد. ما می خواهیم بفهمیم که آیا شرکت در آن سودآور است یا نه (یا حتی شرکت مکرر و منظم). فرض کنید هر بلیط چهارم برنده شود، جایزه 300 روبل و قیمت هر بلیط 100 روبل خواهد بود. با تعداد بی نهایت شرکت، این اتفاق می افتد. در سه چهارم موارد، ما ضرر خواهیم کرد، هر سه ضرر 300 روبل هزینه خواهد داشت. در هر چهارمین مورد، ما 200 روبل برنده خواهیم شد. (جایزه منهای هزینه)، یعنی برای چهار شرکت، به طور متوسط ​​100 روبل از دست می دهیم، برای یک - به طور متوسط ​​25 روبل. در مجموع، میانگین نرخ خرابی ما برای هر بلیط 25 روبل خواهد بود.

تاس می اندازیم. اگر تقلب نباشد (بدون جابجایی مرکز ثقل و غیره)، پس به طور میانگین در یک زمان چند امتیاز خواهیم داشت؟ از آنجایی که احتمال هر گزینه به یک اندازه است، میانگین حسابی احمقانه را می گیریم و 3.5 می گیریم. از آنجایی که این میانگین است، نیازی به عصبانیت نیست که هیچ پرتاب خاصی 3.5 امتیاز نمی دهد - خوب، این مکعب صورت با چنین عددی ندارد!

حال بیایید نمونه های خود را خلاصه کنیم:

بیایید به تصویر بالا نگاه کنیم. در سمت چپ جدولی از توزیع یک متغیر تصادفی وجود دارد. مقدار X می تواند یکی از n مقدار ممکن (در ردیف بالا) را بگیرد. هیچ ارزش دیگری نمی تواند وجود داشته باشد. تحت هر مقدار ممکن، احتمال آن در زیر علامت گذاری شده است. در سمت راست فرمولی وجود دارد که M(X) انتظار ریاضی نامیده می شود. معنای این مقدار این است که با تعداد زیادی آزمایش (با یک نمونه بزرگ)، مقدار متوسط ​​به این انتظار ریاضی گرایش پیدا می کند.

بیایید به همان مکعب بازی برگردیم. انتظار ریاضی تعداد امتیازات در یک پرتاب 3.5 است (اگر باور ندارید خودتان با استفاده از فرمول محاسبه کنید). فرض کنید شما آن را چند بار پرتاب کردید. 4 و 6 افتاد به طور متوسط ​​5 شد یعنی با 3.5 فاصله زیادی داشت. دوباره انداختند، 3 تا افتاد، یعنی به طور متوسط ​​(4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... تا حدی دور از انتظار ریاضی. اکنون یک آزمایش دیوانه انجام دهید - مکعب را 1000 بار بچرخانید! و اگر میانگین دقیقاً 3.5 نباشد، به آن نزدیک خواهد شد.

بیایید انتظارات ریاضی را برای قرعه کشی شرح داده شده در بالا محاسبه کنیم. جدول به شکل زیر خواهد بود:

سپس انتظارات ریاضی همانطور که در بالا مشخص کردیم خواهد بود.

چیز دیگر این است که "روی انگشتان" نیز است، بدون فرمول، اگر گزینه های بیشتری وجود داشت، مشکل خواهد بود. خب، فرض کنید 75 درصد بلیت های باخت، 20 درصد بلیت های برنده و 5 درصد بلیت های برنده وجود داشته است.

در حال حاضر برخی از ویژگی های انتظار ریاضی.

اثبات آن آسان است:

یک ضریب ثابت را می توان از علامت انتظار خارج کرد، یعنی:

این یک مورد خاص از ویژگی خطی بودن انتظار ریاضی است.

پیامد دیگر خطی بودن انتظار ریاضی:

یعنی انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی.

اجازه دهید X، Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند، سپس:

این نیز به راحتی قابل اثبات است) XYخود یک متغیر تصادفی است، در حالی که اگر مقادیر اولیه می تواند باشد nو مترارزش ها، به ترتیب، پس از آن XYمی تواند مقادیر nm را بگیرد. احتمال هر یک از مقادیر بر اساس این واقعیت محاسبه می شود که احتمال رویدادهای مستقل ضرب می شود. در نتیجه این را دریافت می کنیم:

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته

متغیرهای تصادفی پیوسته دارای ویژگی هایی مانند چگالی توزیع (چگالی احتمال) هستند. در واقع، این وضعیت را مشخص می کند که یک متغیر تصادفی مقادیری را از مجموعه اعداد واقعی بیشتر و برخی - کمتر می گیرد. برای مثال این نمودار را در نظر بگیرید:

اینجا ایکس- در واقع یک متغیر تصادفی، f(x)- چگالی توزیع با قضاوت در این نمودار، در طول آزمایش، مقدار ایکساغلب عددی نزدیک به صفر خواهد بود. شانس بیش از 3 یا کمتر باشد -3 نه صرفا نظری

به عنوان مثال، یک توزیع یکنواخت وجود دارد:

این کاملاً با درک شهودی سازگار است. بیایید بگوییم اگر تعداد زیادی اعداد واقعی تصادفی با توزیع یکنواخت به دست آوریم، هر یک از بخش ها |0; 1| ، پس میانگین حسابی باید حدود 0.5 باشد.

ویژگی های انتظار ریاضی - خطی بودن و غیره که برای متغیرهای تصادفی گسسته قابل استفاده است، در اینجا نیز قابل استفاده است.

رابطه انتظارات ریاضی با سایر شاخص های آماری

در تجزیه و تحلیل آماری، همراه با انتظارات ریاضی، سیستمی از شاخص‌های وابسته به هم وجود دارد که همگنی پدیده‌ها و پایداری فرآیندها را منعکس می‌کند. اغلب، شاخص های تنوع معنای مستقلی ندارند و برای تجزیه و تحلیل بیشتر داده ها استفاده می شوند. استثنا ضریب تغییرات است که مشخص کننده همگنی داده ها است که یک مشخصه آماری ارزشمند است.

درجه تغییرپذیری یا پایداری فرآیندها در علم آمار را می توان با استفاده از چند شاخص اندازه گیری کرد.

مهمترین شاخصی که تغییرپذیری یک متغیر تصادفی را مشخص می کند، می باشد پراکندگیکه نزدیک ترین و مستقیم ترین ارتباط را با انتظارات ریاضی دارد. این پارامتر به طور فعال در انواع دیگر تحلیل های آماری (آزمایش فرضیه، تجزیه و تحلیل روابط علت و معلولی و غیره) استفاده می شود. مانند میانگین انحراف خطی، واریانس نیز میزان انتشار داده ها را منعکس می کند سایز متوسط.

ترجمه زبان نشانه ها به زبان کلمات مفید است. معلوم می شود که واریانس مجذور میانگین انحرافات است. یعنی ابتدا مقدار میانگین محاسبه می شود، سپس تفاوت بین هر مقدار اصلی و میانگین گرفته شده، مجذور، جمع شده و سپس بر تعداد مقادیر این جامعه تقسیم می شود. تفاوت بین مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. این مربع برای اطمینان از اینکه همه انحرافات منحصراً به اعداد مثبت تبدیل می شوند و از لغو متقابل انحرافات مثبت و منفی هنگام جمع شدن آنها جلوگیری می کند. سپس با توجه به مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم. میانگین - مربع - انحرافات. انحرافات مجذور می شوند و میانگین در نظر گرفته می شود. پاسخ به کلمه جادویی "پراکندگی" فقط سه کلمه است.

با این حال، در شکل خالص آن، مانند، برای مثال، میانگین حسابی، یا شاخص، پراکندگی استفاده نمی شود. این بیشتر یک شاخص کمکی و میانی است که برای انواع دیگر تحلیل های آماری استفاده می شود. او حتی یک واحد اندازه گیری معمولی ندارد. با قضاوت بر اساس فرمول، این مربع واحد داده اصلی است.

بیایید یک متغیر تصادفی را اندازه گیری کنیم نبرای مثال سرعت باد را ده بار اندازه می گیریم و می خواهیم مقدار متوسط ​​را پیدا کنیم. مقدار متوسط ​​چگونه با تابع توزیع مرتبط است؟

یا تاس را چند بار می اندازیم. تعداد نقاطی که در طول هر پرتاب بر روی قالب می افتد یک متغیر تصادفی است و می تواند هر مقدار طبیعی را از 1 تا 6 بگیرد. نبه یک عدد بسیار خاص تمایل دارد - انتظار ریاضی Mx. در این مورد، Mx = 3.5.

این ارزش چگونه به وجود آمد؟ بگذار وارد شود نآزمایش های n1وقتی 1 امتیاز کم شد n2بار - 2 امتیاز و غیره. سپس تعداد نتایجی که در آنها یک امتیاز کاهش یافته است:

به طور مشابه برای نتایجی که امتیازهای 2، 3، 4، 5 و 6 از بین رفتند.

حال فرض می کنیم قانون توزیع متغیر تصادفی x را می دانیم، یعنی می دانیم که متغیر تصادفی x می تواند مقادیر x1، x2، ...، xk را با احتمالات p1، p2، ​​... بگیرد. ، pk.

انتظار ریاضی Mx از یک متغیر تصادفی x عبارت است از:

انتظارات ریاضی همیشه تخمین معقولی از برخی متغیرهای تصادفی نیست. بنابراین، برای تخمین میانگین دستمزد، منطقی تر است که از مفهوم میانه استفاده کنیم، یعنی مقداری که تعداد افرادی که کمتر از میانه حقوق دریافت می کنند و بیشتر، یکسان باشد.

احتمال p1 که متغیر تصادفی x کمتر از x1/2 باشد و احتمال p2 که متغیر تصادفی x بزرگتر از x1/2 باشد یکسان و برابر با 1/2 است. میانه برای همه توزیع ها به طور یکتا تعیین نمی شود.

استاندارد یا انحراف استاندارددر آمار به درجه انحراف داده ها یا مجموعه های مشاهده ای از مقدار AVERAGE گفته می شود. با حروف s یا s مشخص می شود. یک انحراف معیار کوچک نشان می دهد که داده ها حول میانگین گروه بندی شده اند و یک انحراف استاندارد بزرگ نشان می دهد که داده های اولیه از آن فاصله دارند. انحراف معیاربرابر است با جذر کمیتی به نام واریانس. میانگین مجذور اختلاف داده های اولیه است که از میانگین منحرف می شود. انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی جذر واریانس است:

مثال. در شرایط آزمایش هنگام شلیک به یک هدف، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید:

تغییر- نوسان، تغییرپذیری مقدار ویژگی در واحدهای جمعیت. مقادیر عددی مجزای یک ویژگی که در جمعیت مورد مطالعه رخ می دهد، انواع مقادیر نامیده می شود. ناکافی بودن مقدار متوسط ​​برای مشخصات کاملمجموع باعث می شود که مقادیر متوسط ​​را با شاخص هایی تکمیل کنیم که به ما امکان می دهد با اندازه گیری نوسان (تغییر) صفت مورد مطالعه، معمولی بودن این میانگین ها را ارزیابی کنیم. ضریب تغییرات با فرمول محاسبه می شود:

تنوع دهانه(R) تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل صفت در جمعیت مورد مطالعه است. این شاخص کلی ترین ایده را از نوسانات صفت مورد مطالعه ارائه می دهد، زیرا تنها تفاوت بین مقادیر شدید انواع را نشان می دهد. وابستگی به مقادیر شدید صفت به محدوده تغییرات یک کاراکتر تصادفی و ناپایدار می دهد.

میانگین انحراف خطیمیانگین حسابی انحرافات مطلق (مدول) همه مقادیر جمعیت مورد تجزیه و تحلیل از مقدار متوسط ​​آنها است:

انتظارات ریاضی در نظریه قمار

انتظار ریاضی استمیانگین پول یک بازیکن قمارمی تواند در یک شرط بندی برنده یا ببازد. این یک مفهوم بسیار مهم برای یک بازیکن است، زیرا برای ارزیابی بیشتر موقعیت های بازی اساسی است. انتظارات ریاضی همچنین بهترین ابزار برای تجزیه و تحلیل طرح بندی کارت ها و موقعیت های بازی است.

فرض کنید با یکی از دوستانتان سکه بازی می‌کنید و هر بار یک دلار شرط می‌بندید، مهم نیست چه اتفاقی می‌افتد. دم - شما برنده می شوید، سرها - شما باختید. شانس بالا آمدن آن یک به یک است و شما 1 تا 1 دلار شرط بندی می کنید. بنابراین، انتظارات ریاضی شما صفر است، زیرا از نظر ریاضی، نمی‌توانید بدانید که بعد از دو بازی پیشروی می‌کنید یا می‌بازید یا بعد از 200.

سود ساعتی شما صفر است. پرداخت ساعتی مقدار پولی است که انتظار دارید در یک ساعت برنده شوید. شما می توانید یک سکه را 500 بار در یک ساعت بچرخانید، اما نه برنده می شوید و نه می بازید زیرا شانس شما نه مثبت است و نه منفی اگر نگاه کنید، از نظر یک بازیکن جدی، چنین سیستم شرط بندی بد نیست. اما این فقط اتلاف وقت است.

اما فرض کنید شخصی می خواهد در همان بازی 2 دلار در برابر 1 دلار شما شرط بندی کند. سپس بلافاصله انتظار مثبت 50 سنت از هر شرط دارید. چرا 50 سنت؟ به طور متوسط، شما یک شرط را برنده می شوید و شرط دوم را می بازید. دلار اول را شرط بندی کنید و 1 دلار ببازید، دومین دلار را شرط بندی کنید و 2 دلار برنده شوید. شما دو بار 1 دلار شرط بندی کرده اید و 1 دلار جلوتر هستید. بنابراین هر شرط یک دلاری شما 50 سنت به شما داد.

اگر سکه 500 بار در یک ساعت سقوط کند، سود ساعتی شما در حال حاضر 250 دلار خواهد بود، زیرا. به طور متوسط، شما 1250 دلار از دست داده اید و 2250 دلار برنده شده اید. 500 دلار منهای 250 دلار معادل 250 دلار است که کل برد است. توجه داشته باشید که مقدار مورد انتظار، یعنی مبلغی که به طور میانگین در یک شرط برنده می‌شوید، 50 سنت است. شما با 500 بار شرط‌بندی یک دلار، 250 دلار بردید که معادل 50 سنت شرط شماست.

انتظارات ریاضی ربطی به نتایج کوتاه مدت ندارد. حریف شما که تصمیم گرفت 2 دلار علیه شما شرط بندی کند، می تواند در ده پرتاب اول متوالی شما را شکست دهد، اما شما، با برتری 2 به 1 شرط بندی، در شرایط دیگر، 50 سنت در هر شرط 1 دلاری در هر شرط بسازید. موقعیت. برنده شدن یا باختن یک شرط یا چند شرط مهم نیست، اما فقط به شرطی که پول نقد کافی برای جبران هزینه ها داشته باشید. اگر شرط بندی را به همین ترتیب ادامه دهید، پس از مدتی طولانی، برنده های شما به مجموع مقادیر مورد انتظار در رول های فردی می رسد.

هر بار که شرط بندی بهتری انجام می دهید (شرطی که می تواند در درازمدت سودآور باشد) زمانی که شانس به نفع شما باشد، مطمئناً برنده آن خواهید بود، خواه آن را در یک دست خاص ببازید یا نبازید. برعکس، اگر شرطی با نتیجه بدتر (شرط‌بندی که در درازمدت بی‌سود است) انجام دهید، زمانی که شانس به نفع شما نیست، صرف نظر از اینکه در این دست برنده یا باخته باشید، چیزی را از دست می‌دهید.

اگر انتظارات شما مثبت باشد با بهترین نتیجه شرط بندی می کنید و اگر شانس به نفع شما باشد مثبت است. با شرط‌بندی با بدترین نتیجه، انتظار منفی دارید، که زمانی اتفاق می‌افتد که شانس بر علیه شما باشد. بازیکنان جدی فقط با بهترین نتیجه شرط می‌بندند، با بدترین - آنها فولد می‌کنند. شانس به نفع شما به چه معناست؟ ممکن است در نهایت بیشتر از شانس های واقعی برنده شوید. شانس واقعیکه دم های 1 به 1 می آید، اما به دلیل نسبت شرط بندی ها 2 به 1 می گیرید. در این مورد، شانس به نفع شماست. شما قطعا بهترین نتیجه را با انتظار مثبت 50 سنت در هر شرط می گیرید.

در اینجا بیشتر است مثال پیچیدهانتظارات ریاضی دوست اعداد یک تا پنج را یادداشت می‌کند و 5 دلار در برابر 1 دلار شما شرط می‌بندد که عدد را انتخاب نکنید. آیا با چنین شرط بندی موافقید؟ در اینجا چه انتظاری وجود دارد؟

به طور متوسط، چهار بار اشتباه می کنید. بر این اساس، شانس شما با حدس زدن عدد 4 به 1 خواهد بود. شانس این است که در یک بار تلاش یک دلار از دست بدهید. با این حال، شما 5 بر 1 برنده می شوید، با احتمال شکست 4 بر 1. بنابراین، شانس به نفع شما است، می توانید شرط بندی را انجام دهید و به بهترین نتیجه امیدوار باشید. اگر این شرط را پنج بار انجام دهید، به طور متوسط ​​چهار برابر 1 دلار باخت و یک بار 5 دلار برنده خواهید شد. بر این اساس، برای هر پنج تلاش، 1 دلار با انتظار ریاضی مثبت 20 سنت در هر شرط به دست خواهید آورد.

بازیکنی که قرار است بیشتر از آنچه شرط بندی می کند برنده شود، مانند مثال بالا، در حال گرفتن شانس است. برعکس، زمانی که انتظار دارد کمتر از آنچه شرط می‌بندد، برنده شود، شانس‌ها را از بین می‌برد. شرط‌بند بسته به اینکه شانس را می‌گیرد یا خراب می‌کند، می‌تواند انتظارات مثبت یا منفی داشته باشد.

اگر 50 دلار برای بردن 10 دلار با شانس 4 به 1 شرط بندی کنید، انتظار منفی 2 دلار خواهید داشت، زیرا به طور متوسط، شما چهار برابر 10 دلار برنده می شوید و یک بار 50 دلار می بازید، که نشان می دهد ضرر هر شرط 10 دلار خواهد بود. اما اگر 30 دلار برای بردن 10 دلار شرط بندی کنید، با همان شانس 4 بر 1 برنده شدن، در این صورت انتظار مثبت 2 دلار دارید، زیرا شما دوباره چهار برابر 10 دلار برنده می شوید و یک بار 30 دلار از دست می دهید، برای سود 10 دلار. این مثال ها نشان می دهد که شرط اول بد و شرط دوم خوب است.

انتظارات ریاضی مرکز هر موقعیت بازی است. زمانی که یک کتاب‌فروشی هواداران فوتبال را تشویق می‌کند که ۱۱ دلار شرط ببندند تا ۱۰ دلار برنده شوند، انتظار مثبت ۵۰ سنت برای هر ۱۰ دلار دارند. اگر کازینو حتی پول را از خط عبور Craps پرداخت کند، انتظار مثبت خانه تقریباً 1.40 دلار برای هر 100 دلار است. ساختار این بازی به گونه ای است که هرکسی که روی این خط شرط بندی می کند به طور متوسط ​​50.7% می بازد و 49.3% مواقع برنده می شود. بدون شک، همین انتظارات مثبت به ظاهر حداقلی است که سودهای کلانی را برای صاحبان کازینو در سراسر جهان به ارمغان می آورد. همانطور که باب استوپاک، صاحب کازینو وگاس ورلد اشاره کرد، "یک هزارم درصد احتمال منفی در یک مسافت کافی طولانی خراب می شود. ثروتمندترین مرددر جهان".

انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر

بازی پوکر گویاترین و گویاترین مثال از نظر استفاده از تئوری و ویژگیهای انتظار ریاضی است.

ارزش مورد انتظار در پوکر میانگین سود حاصل از یک تصمیم خاص است، مشروط بر اینکه چنین تصمیمی را بتوان در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفت. پوکر موفق به این است که همیشه حرکات را با انتظارات ریاضی مثبت بپذیرید.

معنای ریاضی انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر در این واقعیت نهفته است که ما اغلب هنگام تصمیم گیری با متغیرهای تصادفی مواجه می شویم (ما نمی دانیم که حریف کدام کارت ها را در دست دارد، چه کارت هایی در دورهای بعدی شرط بندی خواهند آمد). ما باید هر یک از راه حل ها را از دیدگاه تئوری اعداد بزرگ در نظر بگیریم، که می گوید با یک نمونه به اندازه کافی بزرگ، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن تمایل دارد.

در بین فرمول های خاص برای محاسبه انتظارات ریاضی، موارد زیر در پوکر کاربرد بیشتری دارند:

هنگام بازی پوکر، انتظارات ریاضی را می توان برای شرط ها و تماس ها محاسبه کرد. در مورد اول، برابری برابری باید در نظر گرفته شود، در مورد دوم، شانس خود پات. هنگام ارزیابی انتظارات ریاضی از یک حرکت خاص، باید به خاطر داشت که یک فولد همیشه انتظار ریاضی صفر دارد. بنابراین، دور انداختن کارت‌ها همیشه یک تصمیم سودآورتر از هر حرکت منفی خواهد بود.

انتظارات به شما می گوید که برای هر دلاری که ریسک می کنید چه انتظاری دارید (سود یا ضرر). کازینوها پول در می آورند زیرا انتظار ریاضی از همه بازی هایی که در آنها انجام می شود به نفع کازینو است. با یک سری بازی به اندازه کافی طولانی، می توان انتظار داشت که مشتری پول خود را از دست بدهد، زیرا "احتمال" به نفع کازینو است. با این حال، بازیکنان حرفه‌ای کازینو بازی‌های خود را به دوره‌های زمانی کوتاه محدود می‌کنند و در نتیجه شانس را به نفع خود افزایش می‌دهند. در مورد سرمایه گذاری هم همینطور. اگر انتظارات شما مثبت باشد، می توانید درآمد کسب کنید پول بیشترانجام معاملات زیادی در مدت زمان کوتاه انتظار این است که درصد سود شما در هر برد ضربدر میانگین سود شما منهای احتمال ضرر شما ضربدر میانگین ضرر شما است.

پوکر را می توان از نظر انتظارات ریاضی نیز در نظر گرفت. شما می توانید فرض کنید که یک حرکت خاص سودآور است، اما در برخی موارد ممکن است بهترین حرکت نباشد، زیرا حرکت دیگری سودآورتر است. فرض کنید در پوکر پنج کارتی به یک خانه کامل رسیدید. حریف شما شرط بندی می کند. میدونی که اگه بالا بیاری، زنگ میزنه. بنابراین بالا بردن بهترین تاکتیک به نظر می رسد. اما اگر شما Raise کنید، دو بازیکن باقی مانده مطمئناً فولد خواهند کرد. اما اگر شرط را فراخوانی کنید، کاملا مطمئن خواهید بود که دو بازیکن دیگر بعد از شما نیز همین کار را خواهند کرد. زمانی که شرط را افزایش می دهید، یک واحد دریافت می کنید و به سادگی با تماس، دو واحد دریافت می کنید. بنابراین تماس، ارزش مورد انتظار مثبت بالاتری به شما می دهد و بهترین تاکتیک است.

انتظارات ریاضی همچنین می‌تواند ایده‌ای در مورد اینکه کدام تاکتیک‌های پوکر سود کمتری دارند و کدامیک سودآورتر هستند، ارائه دهد. به عنوان مثال، اگر یک دست خاص بازی می کنید و فکر می کنید میانگین ضرر شما 75 سنت با احتساب آنتس است، باید آن دست را بازی کنید زیرا این بهتر از تا کردن زمانی است که آنت 1 دلار است.

یکی دیگر از دلایل مهم برای درک انتظارات ریاضی این است که به شما احساس آرامش می‌دهد که آیا شرط‌بندی را برده‌اید یا نه: اگر انجام داده‌اید. شرط بندی خوبیا با گذشت زمان، متوجه خواهید شد که مقدار مشخصی پول را به دست آورده یا پس انداز کرده اید که یک بازیکن ضعیف تر نمی تواند پس انداز کند. اگر از اینکه حریف در قرعه کشی دست بهتری دارد، ناامید هستید، فولد کردن بسیار سخت تر است. گفته می شود، پولی که با بازی نکردن پس انداز می کنید، به جای شرط بندی، به بردهای یک شبه یا ماهانه شما اضافه می شود.

فقط به یاد داشته باشید که اگر دستتان را عوض می کردید، حریف شما را صدا می زد و همانطور که در مقاله قضیه اساسی پوکر خواهید دید، این تنها یکی از مزایای شماست. وقتی این اتفاق می افتد باید خوشحال باشید. شما حتی می توانید یاد بگیرید که از دست دادن یک دست لذت ببرید، زیرا می دانید که سایر بازیکنان در کفش شما خیلی بیشتر ضرر خواهند کرد.

همانطور که در مثال بازی سکه در ابتدا بحث شد، نرخ بازده ساعتی مربوط به انتظارات ریاضی است و این مفهوم به ویژه برای بازیکنان حرفه ای مهم است. وقتی می خواهید پوکر بازی کنید، باید به طور ذهنی تخمین بزنید که در یک ساعت بازی چقدر می توانید برنده شوید. در بیشتر موارد، باید به شهود و تجربه خود تکیه کنید، اما می توانید از برخی محاسبات ریاضی نیز استفاده کنید. برای مثال، اگر در حال بازی در حال بازی در لوبال هستید و می‌بینید که سه بازیکن 10 دلار شرط می‌بندند و سپس دو کارت می‌کشند که تاکتیک بسیار بدی است، می‌توانید خودتان محاسبه کنید که هر بار که 10 دلار شرط می‌بندند حدود 2 دلار می‌بازند. هر کدام از آنها این کار را هشت بار در ساعت انجام می دهند، یعنی هر سه آنها حدود 48 دلار در ساعت ضرر می کنند. شما یکی از چهار بازیکن باقیمانده هستید که تقریباً برابر هستند، بنابراین این چهار بازیکن (و شما در میان آنها) باید 48 دلار را به اشتراک بگذارید و هر کدام 12 دلار در ساعت سود خواهند داشت. نرخ ساعتی شما در این مورد صرفاً سهم شما از مقدار پولی است که سه بازیکن بد در هر ساعت از دست می دهند.

در یک دوره زمانی طولانی، کل بردهای بازیکن مجموع انتظارات ریاضی او در توزیع های جداگانه است. هر چه بیشتر با انتظارات مثبت بازی کنید، بیشتر برنده می شوید و بالعکس، هر چه دست های بیشتری با انتظارات منفی بازی کنید، بیشتر بازنده می شوید. در نتیجه، باید بازی‌ای را در اولویت قرار دهید که بتواند انتظارات مثبت شما را به حداکثر برساند یا انتظارات منفی شما را خنثی کند تا بتوانید سود ساعتی خود را به حداکثر برسانید.

انتظارات ریاضی مثبت در استراتژی بازی

اگر می دانید چگونه کارت ها را بشمارید، اگر متوجه نشوند و شما را بیرون نکنند، ممکن است نسبت به کازینو برتری داشته باشید. کازینوها عاشق قماربازان مست هستند و نمی توانند کارت های شمارش را تحمل کنند. مزیت به شما امکان می دهد در طول زمان برنده شوید بیشترزمان از دست دادن مدیریت خوب پول با استفاده از محاسبات انتظارات می تواند به شما کمک کند از مزیت خود سرمایه گذاری کنید و زیان خود را کاهش دهید. بدون مزیت، بهتر است پول را به خیریه بدهید. در بازی در بورس، مزیت توسط سیستم بازی داده می شود که نسبت به ضرر، اختلاف قیمت و کمیسیون سود بیشتری ایجاد می کند. هیچ مقدار مدیریت پول نمی تواند یک سیستم بازی بد را نجات دهد.

یک انتظار مثبت با مقداری بزرگتر از صفر تعریف می شود. هر چه این عدد بزرگتر باشد، انتظارات آماری قوی تر است. اگر مقدار کمتر از صفر باشد، انتظار ریاضی نیز منفی خواهد بود. هر چه مدول یک مقدار منفی بزرگتر باشد، وضعیت بدتر است. اگر نتیجه صفر باشد، پس انتظار به حد نصاب رسیده است. شما فقط زمانی می توانید برنده شوید که یک انتظار ریاضی مثبت، یک سیستم بازی معقول داشته باشید. بازی بر اساس شهود منجر به فاجعه می شود.

انتظارات ریاضی و معاملات سهام

انتظارات ریاضی یک شاخص آماری نسبتاً مورد تقاضا و محبوب در معاملات مبادلاتی در بازارهای مالی است. اول از همه، این پارامتر برای تجزیه و تحلیل موفقیت معاملات استفاده می شود. حدس زدن اینکه هر چه این مقدار بزرگتر باشد، دلیل بیشتری برای موفقیت آمیز بودن تجارت مورد مطالعه است، دشوار نیست. البته، تجزیه و تحلیل کار یک معامله گر را نمی توان تنها با کمک این پارامتر انجام داد. با این حال، مقدار محاسبه شده، در ترکیب با سایر روش های ارزیابی کیفیت کار، می تواند دقت تجزیه و تحلیل را به میزان قابل توجهی افزایش دهد.

انتظارات ریاضی اغلب در خدمات نظارت بر حساب معاملاتی محاسبه می شود که به شما امکان می دهد به سرعت کار انجام شده روی سپرده را ارزیابی کنید. به‌عنوان استثنا، می‌توانیم استراتژی‌هایی را ذکر کنیم که از «زیاد ماندن» معاملات بازنده استفاده می‌کنند. یک معامله گر ممکن است برای مدتی خوش شانس باشد و بنابراین در کار او ممکن است هیچ ضرری نداشته باشد. در این صورت صرفاً با انتظار امکان پیمایش وجود نخواهد داشت، زیرا خطرات به کار رفته در کار در نظر گرفته نخواهد شد.

در معاملات در بازار، انتظارات ریاضی اغلب هنگام پیش‌بینی سودآوری یک استراتژی معاملاتی یا هنگام پیش‌بینی درآمد معامله‌گر بر اساس آمار معاملات قبلی او استفاده می‌شود.

با توجه به مدیریت پول، درک این نکته بسیار مهم است که هنگام انجام معاملات با انتظارات منفی، هیچ طرح مدیریت پولی وجود ندارد که مطمئناً بتواند سود بالایی به همراه داشته باشد. اگر تحت این شرایط به بازی صرافی ادامه دهید، بدون در نظر گرفتن اینکه چگونه پول خود را مدیریت می کنید، کل حساب خود را از دست خواهید داد، مهم نیست که در ابتدا چقدر بزرگ بوده است.

این اصل نه تنها برای بازی‌ها یا معاملات با انتظارات منفی صادق است، بلکه برای بازی‌های شانس زوج نیز صادق است. بنابراین، تنها موردی که در آن فرصتی برای سود بردن در دراز مدت دارید، زمانی است که با یک انتظار ریاضی مثبت معامله می کنید.

تفاوت بین انتظارات منفی و انتظارات مثبت تفاوت بین زندگی و مرگ است. مهم نیست انتظارات چقدر مثبت یا منفی هستند. مهم مثبت یا منفی بودن آن است. بنابراین، قبل از در نظر گرفتن مدیریت پول، باید یک بازی با انتظارات مثبت پیدا کنید.

اگر آن بازی را ندارید، پس هیچ مقدار مدیریت پول در جهان شما را نجات نخواهد داد. از سوی دیگر، اگر انتظار مثبتی دارید، می‌توانید از طریق مدیریت صحیح پول، آن را به یک تابع رشد نمایی تبدیل کنید. مهم نیست توقع مثبت چقدر کوچک باشد! به عبارت دیگر، مهم نیست که یک سیستم معاملاتی مبتنی بر یک قرارداد چقدر سودآور باشد. اگر سیستمی دارید که در هر معامله 10 دلار برنده می شود (بعد از کارمزد و لغزش)، می توانید از تکنیک های مدیریت پول برای سودآوری بیشتر از سیستمی استفاده کنید که میانگین سود 1000 دلاری را در هر معامله نشان می دهد (پس از کسر کمیسیون و لغزش).

آنچه مهم است این نیست که سیستم چقدر سودآور بوده است، بلکه این است که چگونه می توان به طور قطعی گفت که این سیستم مطابق با آن نشان خواهد داد حداقل، حداقل سود در آینده. بنابراین، مهم ترین آماده سازی که یک معامله گر می تواند انجام دهد این است که مطمئن شود که سیستم ارزش مورد انتظار مثبتی را در آینده نشان می دهد.

برای داشتن ارزش مورد انتظار مثبت در آینده، بسیار مهم است که درجات آزادی سیستم خود را محدود نکنید. این امر نه تنها با حذف یا کاهش تعداد پارامترهای بهینه سازی شده، بلکه با کاهش تا حد امکان به دست می آید. بیشترقوانین سیستم هر پارامتری که اضافه می کنید، هر قانونی که ایجاد می کنید، هر تغییر کوچکی که در سیستم ایجاد می کنید، تعداد درجات آزادی را کاهش می دهد. در حالت ایده آل، شما می خواهید یک و نسبتاً ابتدایی بسازید سیستم ساده، که تقریباً در هر بازاری دائماً سود کمی به همراه خواهد داشت. باز هم، مهم است که درک کنید که مهم نیست یک سیستم چقدر سودآور است، تا زمانی که سودآور باشد. پولی که در تجارت به دست می آورید از طریق آن به دست خواهد آمد مدیریت موثرپول

یک سیستم معاملاتی به سادگی ابزاری است که به شما یک انتظار ریاضی مثبت می دهد تا بتوان از مدیریت پول استفاده کرد. سیستم هایی که فقط در یک یا چند بازار کار می کنند (حداقل حداقل سود را نشان می دهند) یا قوانین یا پارامترهای متفاوتی برای بازارهای مختلف دارند، به احتمال زیاد برای مدت طولانی در زمان واقعی کار نخواهند کرد. مشکل اکثر معامله‌گران فنی این است که زمان و تلاش زیادی را صرف بهینه‌سازی قوانین و پارامترهای مختلف یک سیستم معاملاتی می‌کنند. این نتایج کاملاً متضاد می دهد. به جای هدر دادن انرژی و زمان رایانه ای برای افزایش سود سیستم معاملاتی، انرژی خود را به سمت افزایش سطح اطمینان کسب حداقل سود هدایت کنید.

با علم به اینکه مدیریت پول فقط یک بازی اعدادی است که مستلزم استفاده از انتظارات مثبت است، یک معامله گر می تواند به دنبال " جام مقدس" معاملات سهام نباشد. در عوض، او می تواند شروع به آزمایش روش معاملاتی خود کند، دریابد که چگونه این روش از نظر منطقی صحیح است، آیا انتظارات مثبتی را ایجاد می کند. روش های صحیحمدیریت پول، که برای هر روش معاملاتی حتی بسیار متوسطی اعمال شود، بقیه کار را انجام خواهد داد.

هر معامله گر برای موفقیت در کار خود باید سه کار مهم را حل کند: . برای اطمینان از اینکه تعداد تراکنش های موفق بیش از اشتباهات و محاسبات نادرست اجتناب ناپذیر است. سیستم معاملاتی خود را طوری تنظیم کنید که فرصت کسب درآمد تا حد امکان فراهم شود. به یک نتیجه مثبت پایدار از عملیات خود دست یابید.

و در اینجا، برای ما، معامله گران فعال، انتظارات ریاضی می تواند کمک خوبی باشد. این اصطلاح در نظریه احتمال یکی از کلیدی ترین ها است. با آن، می توانید یک تخمین متوسط ​​از مقداری تصادفی ارائه دهید. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی مانند مرکز ثقل است، اگر همه احتمالات ممکن را به صورت نقاطی با جرم های مختلف تصور کنیم.

در رابطه با یک استراتژی معاملاتی، برای ارزیابی اثربخشی آن، انتظار ریاضی سود (یا زیان) اغلب مورد استفاده قرار می گیرد. این پارامتر به عنوان مجموع محصولات سطوح معین سود و زیان و احتمال وقوع آنها تعریف می شود. به عنوان مثال، استراتژی تجاری توسعه یافته فرض می کند که 37٪ از کل عملیات سود را به همراه خواهد داشت و قسمت باقی مانده - 63٪ - بی سود خواهد بود. در عین حال، متوسط ​​درآمد حاصل از یک تراکنش موفق 7 دلار و میانگین ضرر آن 1.4 دلار خواهد بود. بیایید انتظارات ریاضی معامله را با استفاده از سیستم زیر محاسبه کنیم:

این عدد به چه معناست؟ می گوید با رعایت قوانین این سامانه به طور میانگین از هر تراکنش بسته 1.708 دلار دریافت می کنیم. از آنجایی که امتیاز کارایی حاصل بزرگتر از صفر است، از چنین سیستمی می توان برای کار واقعی استفاده کرد. اگر در نتیجه محاسبه، انتظار ریاضی منفی باشد، این نشان دهنده ضرر متوسط ​​است و چنین معاملاتی منجر به خرابی می شود.

میزان سود در هر معامله را می توان به صورت یک مقدار نسبی در قالب درصد نیز بیان کرد. مثلا:

- درصد درآمد به ازای هر تراکنش - 5٪؛

- درصد عملیات تجاری موفق - 62%؛

- درصد ضرر در هر معامله - 3٪؛

- درصد تراکنش های ناموفق - 38٪؛

یعنی میانگین تراکنش 1.96 درصد را به همراه خواهد داشت.

می توان سیستمی را توسعه داد که با وجود غلبه معاملات بازنده، نتیجه مثبتی به همراه داشته باشد، زیرا MO>0 آن است.

با این حال، انتظار به تنهایی کافی نیست. اگر سیستم سیگنال های معاملاتی بسیار کمی بدهد، کسب درآمد دشوار است. در این صورت سودآوری آن با سود بانکی قابل مقایسه خواهد بود. اجازه دهید هر عملیات به طور متوسط ​​فقط 0.5 دلار درآمد داشته باشد، اما اگر سیستم 1000 تراکنش در سال را فرض کند چه؟ این مبلغ در مدت زمان نسبتاً کوتاهی بسیار جدی خواهد بود. منطقاً از این نتیجه می شود که یکی دیگر از ویژگی های بارز یک سیستم معاملاتی خوب را می توان یک دوره نگهداری کوتاه در نظر گرفت.

منابع و لینک ها

dic.academic.ru - فرهنگ لغت آنلاین آکادمیک

mathematics.ru - سایت آموزشی ریاضیات

nsu.ru یک وب سایت آموزشی نووسیبیرسک است دانشگاه دولتی

webmath.ru پورتال آموزشیبرای دانش آموزان، متقاضیان و دانش آموزان.

سایت ریاضی آموزشی exponenta.ru

ru.tradimo.com - آموزشگاه تجارت آنلاین رایگان

crypto.hut2.ru - منبع اطلاعات چند رشته ای

poker-wiki.ru - دانشنامه رایگان پوکر

sernam.ru کتابخانه علمیمنتخب انتشارات علوم طبیعی

reshim.su - وب سایت SOLVE tasks control coursework

unfx.ru - فارکس در UNFX: آموزش، سیگنال های تجاری، مدیریت اعتماد

slovopedia.com - بزرگ فرهنگ لغت دایره المعارفیاسلووپدیا

pokermansion.3dn.ru - راهنمای شما به دنیای پوکر

statanaliz.info – وبلاگ اطلاع رسانی « تحلیل آماریداده ها"

forex-trader.rf - پورتال Forex-Trader

megafx.ru - تجزیه و تحلیل به روز فارکس

fx-by.com - همه چیز برای یک معامله گر

توزیع یک متغیر تصادفی (توزیع عمومی جمعیت) معمولاً با تعدادی ویژگی عددی مشخص می شود:

• برای توزیع نرمال، N(a, σ) انتظار ریاضی a و انحراف استاندارد σ است.
• برای توزیع یکنواخت R(a,b) مرزهای فاصله ای هستند که مقادیر این متغیر تصادفی در آن مشاهده می شود.

چنین ویژگی های عددی، به عنوان یک قاعده، ناشناخته، نامیده می شوند پارامترهای جمعیت . تخمین پارامتر - مشخصه عددی مربوطه که از نمونه محاسبه شده است. تخمین پارامترهای جمعیت به دو دسته تقسیم می شود: نقطهو فاصله.

هنگامی که یک تخمین با یک عدد تعریف می شود، آن را فراخوانی می کنند تخمین نقطه ای. تخمین نقطه ایبه عنوان تابعی از نمونه، یک متغیر تصادفی است و از نمونه ای به نمونه دیگر در طول آزمایش های مکرر تغییر می کند.
برآوردهای نقطه‌ای تابع الزاماتی هستند که باید آن‌ها را برآورده کنند تا از هر نظر «خوب» باشند. آی تی بی طرفی, بهره وریو تسویه شوندگی.

برآوردهای بازه زمانیتوسط دو عدد تعیین می شوند - انتهای بازه ای که پارامتر تخمین زده شده را پوشش می دهد. برخلاف تخمین‌های نقطه‌ای، که تصوری از فاصله‌ی پارامتر تخمین زده‌شده از آنها نمی‌دهند. تخمین های فاصله ایبه شما امکان می دهد تا دقت و قابلیت اطمینان تخمین ها را تعیین کنید.

به عنوان تخمین نقطه ای انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار، ویژگی های نمونه به ترتیب از میانگین نمونه، واریانس نمونه و انحراف استاندارد نمونه استفاده می شود.

برآورد اموال بی طرفانه.
یک نیاز مطلوب برای برآورد عدم وجود خطای سیستماتیک است، به عنوان مثال. با استفاده مکرر، به جای پارامتر θ برآورد آن، مقدار متوسط ​​خطای تقریب صفر است - این ارزیابی اموال بی طرفانه.

تعریف. تخمینی بی طرفانه نامیده می شود که انتظارات ریاضی آن برابر با مقدار واقعی پارامتر برآورد شده باشد:

میانگین حسابی نمونه یک تخمین بی طرفانه از انتظارات ریاضی و واریانس نمونه است. - برآورد مغرضانه از واریانس عمومی D. تخمین بی طرفانه واریانس عمومی، برآورد است

ویژگی سازگاری ارزیابی.
شرط دوم برای برآورد - ثبات آن - به معنای بهبود در برآورد با افزایش حجم نمونه است.

تعریف. مقطع تحصیلی اگر به احتمال زیاد به پارامتر θ به صورت n→∞ همگرا شود سازگار نامیده می شود.

همگرایی در احتمال به این معنی است که با حجم نمونه بزرگ، احتمال انحرافات بزرگ برآورد از مقدار واقعی کم است.

ویژگی برآورد کارآمد.
شرط سوم به شما امکان می دهد بهترین تخمین را از بین چندین تخمین از یک پارامتر انتخاب کنید.

تعریف. یک برآوردگر بی طرف در صورتی کارآمد است که کمترین واریانس را در بین همه برآوردگرهای بی طرف داشته باشد.

این بدان معنی است که تخمین مؤثر دارای حداقل پراکندگی در مورد مقدار واقعی پارامتر است. توجه داشته باشید که یک برآوردگر کارآمد همیشه وجود ندارد، اما معمولاً می‌توان تخمین‌گر کارآمدتری را از بین دو تخمین‌گر انتخاب کرد، یعنی: با پراکندگی کمتر به عنوان مثال، برای یک پارامتر ناشناخته a از یک جمعیت عمومی عادی N(a,σ)، هم میانگین حسابی نمونه و هم میانه نمونه را می توان به عنوان یک تخمین بی طرفانه در نظر گرفت. اما واریانس میانه نمونه تقریباً 1.6 برابر بیشتر از واریانس میانگین حسابی است. بنابراین، برآورد کارآمدتر، میانگین حسابی نمونه است.

مثال شماره 1. یک تخمین بی طرفانه از واریانس اندازه گیری برخی از متغیرهای تصادفی توسط یک دستگاه (بدون خطاهای سیستماتیک) پیدا کنید که نتایج اندازه گیری آن (بر حسب میلی متر): 13،15،17.
راه حل. جدول برای محاسبه شاخص ها.

ایکس	|x - x cf |	(x - x sr) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

میانگین حسابی ساده(برآورد انتظارات بی طرفانه)


پراکندگی- اندازه گیری پراکندگی را در اطراف مقدار میانگین آن مشخص می کند (اندازه گیری پراکندگی، به عنوان مثال انحراف از میانگین - یک برآورد مغرضانه).


برآوردگر بی طرفانه واریانس- برآورد ثابت واریانس (واریانس تصحیح شده).

مثال شماره 2. تخمین بی طرفانه ای از انتظارات ریاضی اندازه گیری برخی متغیرهای تصادفی توسط یک دستگاه (بدون خطاهای سیستماتیک) پیدا کنید که نتایج اندازه گیری آن (بر حسب میلی متر): 4،5،8،9،11.
راه حل. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

مثال شماره 3. اگر واریانس نمونه 180 = D باشد، واریانس اصلاح شده S 2 را برای حجم نمونه 10=n بیابید.
راه حل. S 2 \u003d n * D / (n-1) \u003d 10 * 180 / (10-1) \u003d 200

بگذارید یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد ایکسبا انتظارات ریاضی مترو پراکندگی D، در حالی که هر دوی این پارامترها ناشناخته هستند. بیش از قدر ایکستولید شده نآزمایش های مستقل، که منجر به مجموعه ای از ننتایج عددی x 1، x 2، …، x N. به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی، طبیعی است که میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده را پیشنهاد کنیم.

(1)

اینجا به عنوان x iمقادیر خاص (اعداد) به دست آمده در نتیجه نآزمایش. اگر دیگران را بگیریم (مستقل از موارد قبلی) نآزمایشات، پس بدیهی است که مقدار متفاوتی دریافت خواهیم کرد. اگر بیشتر مصرف کنید نآزمایش‌ها، یک مقدار جدید دیگر دریافت خواهیم کرد. با نشان دادن X iمتغیر تصادفی ناشی از منآزمایش، سپس تحقق X iاعداد به دست آمده در نتیجه این آزمایش ها خواهد بود. بدیهی است که متغیر تصادفی X iچگالی توزیع احتمال مشابه با متغیر تصادفی اصلی را خواهد داشت ایکس. ما همچنین فرض می کنیم که متغیرهای تصادفی هستند X iو Xjمستقل هستند در من، نا برابر j(آزمایش های مختلف مستقل نسبت به یکدیگر). بنابراین، فرمول (1) را به شکلی متفاوت (آماری) بازنویسی می کنیم:

(2)

اجازه دهید نشان دهیم که برآورد بی طرفانه است:

بنابراین، انتظار ریاضی از میانگین نمونه برابر است با انتظارات ریاضی واقعی متغیر تصادفی. متر. این یک واقعیت نسبتا قابل پیش بینی و قابل درک است. بنابراین، میانگین نمونه (2) را می توان به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی در نظر گرفت. حال این سوال مطرح می‌شود: با افزایش تعداد آزمایش‌ها برای واریانس برآورد انتظارات چه اتفاقی می‌افتد؟ محاسبات تحلیلی نشان می دهد که

واریانس تخمین انتظار ریاضی (2) کجاست و D- واریانس واقعی متغیر تصادفی ایکس.

از مطالب فوق چنین بر می آید که با افزایش ن(تعداد آزمایش) واریانس تخمین کاهش می یابد، یعنی. هرچه بیشتر پیاده‌سازی‌های مستقل را خلاصه کنیم، به مقدار مورد انتظار نزدیک‌تر می‌شویم.

برآوردهای واریانس ریاضی

در نگاه اول، طبیعی ترین تخمین به نظر می رسد

(3)

که با فرمول (2) محاسبه می شود. بیایید بررسی کنیم که آیا برآورد بی طرفانه است یا خیر. فرمول (3) را می توان به صورت زیر نوشت:

عبارت (2) را با این فرمول جایگزین می کنیم:

بیایید انتظار ریاضی برآورد واریانس را پیدا کنیم:

(4)

از آنجایی که واریانس یک متغیر تصادفی به میزان انتظار ریاضی متغیر تصادفی بستگی ندارد، انتظار ریاضی را برابر با 0 می گیریم، یعنی. متر = 0.

	(5)
در .	(6)

یک متغیر تصادفی X وجود داشته باشد و پارامترهای آن انتظار ریاضی باشد آو واریانس ناشناخته است. بیش از مقدار X، آزمایش های مستقل انجام شد که نتایج x 1، x 2، x n را به دست آورد.

بدون کاهش کلیت استدلال، این مقادیر متغیر تصادفی را متفاوت در نظر می گیریم. ما مقادیر x 1، x 2، x n را به عنوان متغیرهای تصادفی مستقل و با توزیع یکسان X 1، X 2، X n در نظر خواهیم گرفت.

ساده ترین روشتخمین آماری - روش جایگزینی و قیاس - شامل این واقعیت است که به عنوان تخمین یک یا دیگر مشخصه عددی (متوسط، واریانس و غیره) از جمعیت عمومی، آنها ویژگی مربوط به توزیع نمونه - مشخصه نمونه را می گیرند. .

با روش جایگزینی به عنوان تخمینی از انتظارات ریاضی آلازم است انتظارات ریاضی توزیع نمونه را در نظر بگیریم - میانگین نمونه. بنابراین، ما دریافت می کنیم

برای آزمایش بی طرفی و سازگاری میانگین نمونه به عنوان برآورد آ، این آمار را تابعی از بردار انتخابی (X 1, X 2, X n) در نظر بگیرید. با در نظر گرفتن اینکه هر یک از کمیت های X 1، X 2، X n قانون توزیع یکسانی با کمیت X دارند، نتیجه می گیریم که ویژگی های عددی این کمیت ها و کمیت X یکسان است: M(X من) = M(X) = آ، D(X من) = D(X) = , من = 1، 2، n , که در آن X i مجموعاً متغیرهای تصادفی مستقل هستند.

در نتیجه،

از این رو، طبق تعریف، به دست می آوریم که برآورد بی طرفانه است آو از آنجایی که D()®0 به عنوان n®¥ است، پس بر اساس قضیه پاراگراف قبلی یک برآورد ثابت از انتظار است آجمعیت عمومی

کارایی یا ناکارآمدی تخمین به شکل قانون توزیع متغیر تصادفی X بستگی دارد. می توان ثابت کرد که اگر مقدار X طبق قانون عادی توزیع شود، تخمین کارآمد است. برای سایر قوانین توزیع، ممکن است اینطور نباشد.

برآورد بی طرفانه از واریانس عمومیواریانس نمونه اصلاح شده است

,

زیرا ، واریانس کلی کجاست. واقعا،

تخمین s -- 2 برای واریانس کلی نیز سازگار است، اما کارآمد نیست. با این حال، در مورد توزیع نرمال، "به طور مجانبی کارآمد" است، یعنی، با افزایش n، نسبت واریانس آن به حداقل یک ممکن به طور نامحدود نزدیک می شود.

بنابراین، با توجه به یک نمونه از توزیع F( ایکس) متغیر تصادفی X با انتظار ریاضی ناشناخته آو پراکندگی، سپس برای محاسبه مقادیر این پارامترها، حق استفاده از فرمول های تقریبی زیر را داریم:

آ ,

.

اینجا x-i- - گزینه های نمونه برداری، گزینه های n-i-- فرکانس x i، - - اندازهی نمونه.
برای محاسبه واریانس نمونه اصلاح شده، فرمول راحت تر است

.

برای ساده کردن محاسبه، بهتر است به گزینه های مشروط بروید (همانطور که گرفتن آن سودمند است نسخه اصلی، در وسط فاصله قرار دارد سری تغییرات). سپس

, .

تخمین فاصله

در بالا، ما سوال تخمین یک پارامتر ناشناخته را در نظر گرفتیم آیک عدد. ما چنین برآوردهایی را تخمین نقطه ای نامیدیم. آنها این عیب را دارند که با حجم نمونه کوچک، می توانند به طور قابل توجهی با پارامترهای برآورد شده متفاوت باشند. بنابراین، به منظور دریافت ایده ای از نزدیکی بین یک پارامتر و برآورد آن، به اصطلاح تخمین های فاصله ای در آمار ریاضی معرفی می شوند.

اجازه دهید یک تخمین نقطه ای q * در نمونه برای پارامتر q پیدا شود. معمولاً به محققان از قبل با احتمال کافی g (مثلاً 0.95؛ 0.99 یا 0.999) داده می شود، به طوری که یک رویداد با احتمال g را می توان عملاً قطعی در نظر گرفت، و آنها این سؤال را مطرح می کنند که چنین مقداری e> 0 را پیدا کنند. که

.

با اصلاح این برابری، دریافت می کنیم:

و در این صورت خواهیم گفت که فاصله ]q * - e; q * + e[ پارامتر تخمینی q را با احتمال g پوشش می دهد.

فاصله ]q * -e; q * +e [ نامیده می شود فاصله اطمینان .

احتمال g نامیده می شود قابلیت اطمینان (سطح اطمینان) تخمین فاصله.

به پایان می رسد فاصله اطمینان، یعنی نقاط q * -e و q * +e نامیده می شوند مرزهای اعتماد .

عدد e نامیده می شود دقت ارزیابی .

به عنوان مثالی از مسئله تعیین حدود اطمینان، مسئله تخمین انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی X را در نظر بگیرید که دارای قانون عادیتوزیع با پارامترها آو s، یعنی X = N( آ، س). انتظارات ریاضی در این مورد برابر است با آ. با توجه به مشاهدات X 1 , X 2 , X n میانگین را محاسبه کنید و ارزیابی پراکندگی s 2 .

به نظر می رسد که با توجه به داده های نمونه، می توان یک متغیر تصادفی ساخت

که دارای توزیع Student (یا توزیع t) با n = n -1 درجه آزادی است.

بیایید از جدول A.1.3 استفاده کنیم و برای احتمال داده شده g و عدد n عدد t g را پیدا کنیم به طوری که احتمال

P(|t(n)|< t g) = g,

.

پس از ایجاد تحولات آشکار، به دست می آوریم

روش اعمال معیار F به شرح زیر است:

1. فرضی در مورد توزیع نرمال جمعیت ها وجود دارد. در سطح معناداری معین a، فرضیه صفر H 0 فرموله می شود: s x 2 = s y 2 در مورد برابری واریانس های عمومی جمعیت های عادی تحت فرضیه رقیب H 1: s x 2 > s y 2 .

2. دو نمونه مستقل از جمعیت X و Y به ترتیب n x و n y به دست می آید.

3. مقادیر واریانس های نمونه تصحیح شده s x 2 و s y 2 را محاسبه کنید (روش های محاسبه در §13.4 بحث شده است). بزرگتر از پراکندگی (s x 2 یا s y 2) s 1 2 تعیین شده است، کوچکتر - s 2 2.

4. مقدار معیار F بر اساس فرمول F obs = s 1 2 / s 2 2 محاسبه می شود.

5. با توجه به جدول نقاط بحرانی توزیع فیشر - اسندکور، برای یک سطح اهمیت معین a و تعداد درجات آزادی n 1 \u003d n 1 - 1، n 2 \u003d n 2 - 1 (n 1 است تعداد درجات آزادی یک واریانس تصحیح شده بزرگتر)، نقطه بحرانی F cr (a, n 1, n 2) یافت می شود.

توجه داشته باشید که جدول A.1.7 مقادیر بحرانی معیار F یک طرفه را نشان می دهد. بنابراین، اگر یک معیار دو طرفه اعمال شود (H 1: s x 2 s y 2)، سپس سمت راست نقطه بحرانی F cr (a/2, n 1 , n 2) به دنبال سطح اهمیت a/2 (نصف مشخص شده) و تعداد درجات آزادی n 1 و n 2 (n 1 - تعداد درجات آزادی هستند. پراکندگی بیشتر). ممکن است نقطه بحرانی چپ دست پیدا نشود.

6. نتیجه می‌گیریم که اگر مقدار محاسبه‌شده معیار F بزرگ‌تر یا مساوی با بحرانی باشد (F obs ³ F cr)، آن‌گاه واریانس‌ها در سطح معنی‌داری معین به‌طور معنی‌داری متفاوت است. در غیر این صورت (F obs< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

وظیفه 15.1. مصرف مواد اولیه در هر واحد تولید با توجه به تکنولوژی قدیم عبارت بود از:

تکنولوژی جدید:

با فرض اینکه مربوطه جمعیت ها X و Y دارند توزیع های نرمال، بررسی کنید که مصرف مواد خام برای فناوری های جدید و قدیمی از نظر تغییرپذیری تفاوتی نداشته باشد، اگر سطح معنی داری a = 0.1 را در نظر بگیریم.

راه حل. ما به ترتیب ذکر شده در بالا عمل می کنیم.

1. متغیر بودن مصرف مواد خام برای فناوری های جدید و قدیمی را از نظر مقادیر پراکندگی قضاوت خواهیم کرد. بنابراین، فرضیه صفر به شکل H 0 است: s x 2 = s y 2 . به عنوان یک فرضیه رقیب، ما فرضیه H 1 را می پذیریم: s x 2 s y 2، زیرا از قبل مطمئن نیستیم که هر یک از واریانس های کلی بزرگتر از دیگری است.

2-3. واریانس های نمونه را پیدا کنید. برای ساده کردن محاسبات، اجازه دهید به گزینه های شرطی برویم:

u i = x i - 307، v i = y i - 304.

ما تمام محاسبات را در قالب جداول زیر ترتیب می دهیم:

تو من	m i	من تو من	من تو من 2	m i (u i +1) 2		v i	n من	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

کنترل: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = کنترل: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

واریانس های نمونه اصلاح شده را پیدا کنید:

4. واریانس ها را مقایسه کنید. نسبت واریانس اصلاح شده بزرگتر به کوچکتر را پیدا کنید:

.

5. بر اساس شرط، فرضیه رقیب به شکل s x 2 ¹ s y 2 است، بنابراین، منطقه بحرانی دو طرفه است و هنگام یافتن نقطه بحرانی، باید سطوح معناداری نصف داده شده را در نظر گرفت.

با توجه به جدول A.1.7، با سطح معناداری a/2 = 0.1/2 = 0.05 و تعداد درجات آزادی n 1 = n 1 - 1 = 12، n 2 = n 2 - 1 = 8، ما نقطه بحرانی F cr (0.05؛ 12؛ 8) = 3.28.

6. از آنجایی که F obl.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и فناوری های نوینتایید کنید.

در بالا، هنگام آزمون فرضیه ها، فرض بر این بود که توزیع متغیرهای تصادفی مورد مطالعه نرمال است. با این حال، مطالعات ویژه نشان داده است که الگوریتم های پیشنهادی با توجه به انحراف از توزیع نرمال، بسیار پایدار هستند (به ویژه با حجم نمونه های بزرگ).