فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی. فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی یک توزیع نرمال با یک واریانس شناخته شده

بیایید در ام اس بسازیم اعتماد اکسلفاصله برای تخمین مقدار میانگین توزیع در مورد ارزش شناخته شدهپراکندگی

البته انتخاب سطح اعتمادکاملا بستگی به کار در دست دارد. بنابراین، درجه اطمینان مسافر هوایی به قابلیت اطمینان هواپیما، البته باید بیشتر از میزان اطمینان خریدار به قابلیت اطمینان لامپ باشد.

فرمول وظیفه

بیایید فرض کنیم که از جمعیت گرفتن نمونهاندازه n فرض بر این است که انحراف معیار این توزیع شناخته شده است. بر این اساس لازم است نمونه هاناشناخته را ارزیابی کنید میانگین توزیع(μ, ) و مربوطه را بسازید دو طرفه فاصله اطمینان.

تخمین نقطه ای

همانطور که از آمار(بیایید آن را صدا کنیم X رجوع کنید به) است برآورد بی طرفانه از میانگیناین جمعیتو دارای توزیع N(μ; σ 2 /n) است.

توجه داشته باشید: اگر نیاز به ساخت داشته باشید چه؟ فاصله اطمیناندر مورد توزیع که نیست طبیعی؟در این مورد، به کمک می آید، که می گوید که با اندازه کافی بزرگ است نمونه ها n از توزیع غیر- طبیعی, توزیع نمونه آماری Х avخواهد بود تقریبامطابقت توزیع نرمالبا پارامترهای N(μ; σ 2 /n).

بنابراین، تخمین نقطه ای وسط مقادیر توزیعما داریم میانگین نمونه، یعنی X رجوع کنید به. حالا بیایید مشغول شویم فاصله اطمینان.

ایجاد فاصله اطمینان

معمولاً با دانستن توزیع و پارامترهای آن، می‌توانیم احتمال اینکه یک متغیر تصادفی از بازه‌ای که ما تعیین کرده‌ایم، مقداری بگیرد را محاسبه کنیم. حالا بیایید برعکس عمل کنیم: بازه‌ای که متغیر تصادفی در آن قرار می‌گیرد را با احتمال معین پیدا کنید. مثلا از خواص توزیع نرمال مشخص شده است که با احتمال 95 درصد، یک متغیر تصادفی روی آن توزیع شده است قانون عادی ، در بازه تقریباً +/- 2 از قرار می گیرد مقدار میانگین(به مقاله در مورد مراجعه کنید). این فاصله به عنوان نمونه اولیه ما عمل خواهد کرد فاصله اطمینان.

حالا بیایید ببینیم که آیا توزیع را می دانیم یا خیر , برای محاسبه این فاصله؟ برای پاسخ به سوال باید شکل توزیع و پارامترهای آن را مشخص کنیم.

می دانیم که شکل توزیع است توزیع نرمال(به یاد داشته باشید که ما در مورد آن صحبت می کنیم توزیع نمونه آمار X رجوع کنید به).

پارامتر μ برای ما ناشناخته است (فقط باید با استفاده از آن تخمین زده شود فاصله اطمینان) اما ما برآورد آن را داریم X cf،بر اساس محاسبه می شود نمونه،که قابل استفاده است.

پارامتر دوم است میانگین انحراف معیار نمونه شناخته خواهد شد، برابر است با σ/√n.

زیرا ما μ را نمی دانیم، سپس بازه +/- 2 را می سازیم انحراف معیارنه از مقدار میانگین، اما از برآورد شناخته شده آن X رجوع کنید به. آن ها هنگام محاسبه فاصله اطمینانما آن را فرض نخواهیم کرد X رجوع کنید بهدر بازه +/- 2 قرار می گیرد انحراف معیاراز μ با احتمال 95% و ما این فاصله را 2 +/- 2 فرض خواهیم کرد. انحراف معیاراز جانب X رجوع کنید بهبا احتمال 95% μ را پوشش می دهد - میانگین جمعیت عمومی،از کدام نمونه. این دو عبارت معادل هستند، اما گزاره دوم به ما اجازه می دهد که بسازیم فاصله اطمینان.

علاوه بر این، بازه را اصلاح می کنیم: یک متغیر تصادفی که روی آن توزیع شده است قانون عادی، با احتمال 95٪ در بازه +/- 1.960 قرار می گیرد انحراف معیار،نه +/- 2 انحراف معیار. این را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2)، سانتی متر. فایل نمونه فاصله ورق.

اکنون می‌توانیم یک گزاره احتمالی را فرموله کنیم که برای شکل دادن به ما کمک کند فاصله اطمینان:
"احتمال این که میانگین جمعیتواقع شده از میانگین نمونهدر 1.960 اینچ انحراف معیار میانگین نمونه"، برابر با 95 درصد است.

مقدار احتمال ذکر شده در بیانیه نام خاصی دارد ، که باسطح اهمیت α (آلفا) با یک عبارت ساده سطح اعتماد =1 -α . در مورد ما سطح اهمیت α =1-0,95=0,05 .

حال بر اساس این گزاره احتمالی، یک عبارت برای محاسبه می نویسیم فاصله اطمینان:

جایی که Za/2 – استاندارد توزیع نرمال(چنین مقداری از یک متغیر تصادفی z, چی پ(z>=Za/2 )=α/2).

توجه داشته باشید: α/2-چک بالاییعرض را مشخص می کند فاصله اطمینانکه در انحراف معیار میانگین نمونه α/2-چک بالایی استاندارد توزیع نرمالهمیشه بزرگتر از 0 است که بسیار راحت است.

در مورد ما، در α=0.05، α/2-چک بالایی برابر با 1.960 است. برای سایر سطوح معنی دار α (10%؛ 1%) α/2-چک بالایی Za/2 می توان با استفاده از فرمول \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) یا در صورت شناخت سطح اعتماد, =NORM.ST.OBR((1+سطح اطمینان)/2).

معمولا هنگام ساخت فواصل اطمینان برای تخمین میانگینفقط استفاده کنید α بالایی/2-چندکو استفاده نکنید α پایین تر/2-چندک. این امکان پذیر است زیرا استاندارد توزیع نرمالمتقارن حول محور x ( چگالی توزیع آنمتقارن در مورد متوسط، یعنی 0). بنابراین نیازی به محاسبه نیست چندک α/2 پایین تر(به سادگی α نامیده می شود /2-چندک)، زیرا برابر است α بالایی/2-چندکبا علامت منفی

به یاد بیاورید که، صرف نظر از شکل توزیع x، متغیر تصادفی مربوطه X رجوع کنید بهتوزیع شده است تقریبا خوب N(μ; σ 2 /n) (به مقاله در مورد مراجعه کنید). بنابراین، در مورد کلی، عبارت بالا برای فاصله اطمینانفقط تقریبی است اگر x روی آن توزیع شود قانون عادی N(μ; σ 2 /n)، سپس عبارت for فاصله اطمیناندقیق است.

محاسبه فاصله اطمینان در MS EXCEL

بیایید مشکل را حل کنیم.
زمان پاسخ یک قطعه الکترونیکی به سیگنال ورودی یکی از مشخصه های مهم یک دستگاه است. یک مهندس می خواهد یک فاصله اطمینان برای میانگین زمان پاسخ در سطح اطمینان 95٪ ترسیم کند. از تجربه قبلی، مهندس می داند که انحراف استاندارد زمان پاسخ 8 میلی ثانیه است. مشخص است که مهندس برای تخمین زمان پاسخ 25 اندازه گیری انجام داده است که مقدار متوسط ​​آن 78 میلی ثانیه بود.

راه حل: یک مهندس می خواهد زمان پاسخگویی یک دستگاه الکترونیکی را بداند، اما می فهمد که زمان پاسخگویی ثابت نیست، اما متغیر تصادفی، که توزیع خاص خود را دارد. بنابراین بهترین چیزی که او می تواند به آن امیدوار باشد تعیین پارامترها و شکل این توزیع است.

متأسفانه، از شرایط مشکل، شکل توزیع زمان پاسخ را نمی دانیم (الزامی نیست که طبیعی). ، این توزیع نیز ناشناخته است. فقط او شناخته شده است انحراف معیارσ=8. بنابراین، در حالی که نمی توانیم احتمالات را محاسبه کنیم و بسازیم فاصله اطمینان.

با این حال، اگر چه ما توزیع را نمی دانیم زمان پاسخ جداگانه، می دانیم که با توجه به CPT, توزیع نمونه میانگین زمان پاسخگوییتقریبا است طبیعی(شرایط را فرض خواهیم کرد CPTانجام می شوند، زیرا اندازه نمونه هابه اندازه کافی بزرگ (n=25)) .

علاوه بر این، میانگیناین توزیع برابر است با مقدار میانگینتوزیع پاسخ واحد، به عنوان مثال μ. ولی انحراف معیاراین توزیع (σ/√n) را می توان با استفاده از فرمول =8/ROOT(25) محاسبه کرد.

همچنین معلوم است که مهندس دریافت کرد تخمین نقطه ایپارامتر μ برابر با 78 میلی ثانیه (X cf). بنابراین، اکنون می توانیم احتمالات را محاسبه کنیم، زیرا ما فرم توزیع را می دانیم ( طبیعی) و پارامترهای آن (Х ср و σ/√n).

مهندس می خواهد بداند ارزش مورد انتظارμ توزیع زمان پاسخ. همانطور که در بالا گفته شد، این μ برابر است با انتظار توزیع نمونه از میانگین زمان پاسخ. اگر استفاده کنیم توزیع نرمال N(X cf؛ σ/√n)، سپس μ مورد نظر در محدوده +/-2*σ/√n با احتمال تقریبی 95 درصد خواهد بود.

سطح اهمیتبرابر با 1-0.95=0.05 است.

در نهایت مرز چپ و راست را پیدا کنید فاصله اطمینان.
حاشیه سمت چپ: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864
حاشیه سمت راست: \u003d 78 + NORM. ST. OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) \u003d 81.136

حاشیه سمت چپ: =NORM.INV(0.05/2، 78، 8/SQRT(25))
حاشیه سمت راست: =NORM.INV(1-0.05/2، 78، 8/SQRT(25))

پاسخ: فاصله اطمیناندر سطح اطمینان 95% و σ=8msecبرابر است 78+/-3.136 میلی‌ثانیه

AT فایل نمونه در برگه سیگماشناخته شده فرمی برای محاسبه و ساخت ایجاد کرد دو طرفه فاصله اطمینانبرای دلخواه نمونه هابا یک σ داده شده و سطح اهمیت.

تابع () CONFIDENCE.NORM

اگر مقادیر نمونه هادر محدوده هستند B20:B79 ، آ سطح اهمیتبرابر با 0.05; سپس فرمول MS EXCEL:
=AVERAGE(B20:B79)-اعتماد (0.05،σ، COUNT(B20:B79))
حاشیه سمت چپ را برمی گرداند فاصله اطمینان.

همین مرز را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

توجه داشته باشید: تابع TRUST.NORM() در MS EXCEL 2010 ظاهر شد. نسخه های قبلی MS EXCEL از تابع TRUST() استفاده می کردند.

اغلب ارزیاب باید بازار املاک و مستغلات بخشی را که شی ارزیابی در آن قرار دارد، تجزیه و تحلیل کند. اگر بازار توسعه یابد، تجزیه و تحلیل کل مجموعه اشیاء ارائه شده می تواند دشوار باشد، بنابراین از نمونه ای از اشیاء برای تجزیه و تحلیل استفاده می شود. این نمونه همیشه همگن نیست، گاهی اوقات لازم است آن را از افراط پاک کنید - پیشنهادات بازار خیلی زیاد یا خیلی کم. برای این منظور اعمال می شود فاصله اطمینان. هدف این مطالعه- تجزیه و تحلیل مقایسه ای دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان انجام دهید و بهترین گزینه محاسبه را هنگام کار با نمونه های مختلف در سیستم estimatica.pro انتخاب کنید.

فاصله اطمینان - بر اساس نمونه، فاصله مقادیر مشخصه محاسبه می شود که با احتمال مشخصی حاوی پارامتر تخمین زده شده از جمعیت عمومی است.

منظور از محاسبه فاصله اطمینان ایجاد چنین فاصله ای بر اساس داده های نمونه است تا بتوان با یک احتمال معین ادعا کرد که مقدار پارامتر برآورد شده در این بازه است. به عبارت دیگر، فاصله اطمینان با احتمال معین حاوی مقدار مجهول کمیت برآورد شده است. هرچه این فاصله بیشتر باشد، عدم دقت بیشتر است.

روش های مختلفی برای تعیین فاصله اطمینان وجود دارد. در این مقاله 2 راه را در نظر خواهیم گرفت:

• از طریق میانه و میانگین انحراف معیار;
• از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو).

مراحل تحلیل مقایسه ای روش های مختلفمحاسبه CI:

1. یک نمونه داده تشکیل دهید.

2. آن را پردازش کنید روش های آماری: محاسبه میانگین، میانه، واریانس و غیره.

3. فاصله اطمینان را به دو صورت محاسبه می کنیم.

4. نمونه های تمیز شده و فواصل اطمینان به دست آمده را آنالیز کنید.

مرحله 1. نمونه گیری داده ها

نمونه با استفاده از سیستم estimatica.pro تشکیل شد. نمونه شامل 91 پیشنهاد برای فروش آپارتمان 1 اتاقه در منطقه قیمت 3 با نوع برنامه ریزی "خروشچف" بود.

جدول 1. نمونه اولیه

عکس. 1. نمونه اولیه

مرحله 2. پردازش نمونه اولیه

پردازش نمونه با روش های آماری مستلزم محاسبه مقادیر زیر است:

1. میانگین حسابی

2. میانه - عددی که نمونه را مشخص می کند: دقیقاً نیمی از عناصر نمونه بزرگتر از میانه هستند، نیمی دیگر کمتر از میانه است.

(برای نمونه ای با تعداد فرد مقادیر)

3. محدوده - تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل در نمونه

4. واریانس - برای تخمین دقیق تر تغییرات در داده ها استفاده می شود

5. انحراف استاندارد برای نمونه (از این پس RMS نامیده می شود) رایج ترین شاخص پراکندگی مقادیر تنظیم حول میانگین حسابی است.

6. ضریب تغییرات - نشان دهنده میزان پراکندگی مقادیر تنظیم است

7. ضریب نوسان - نشان دهنده نوسان نسبی مقادیر شدید قیمت ها در نمونه حول میانگین است.

جدول 2. شاخص های آماری نمونه اصلی

ضریب تغییرات، که مشخص کننده همگنی داده ها است، 12.29٪ است، اما ضریب نوسان بسیار بزرگ است. بنابراین، می توانیم بگوییم که نمونه اصلی همگن نیست، بنابراین اجازه دهید به محاسبه فاصله اطمینان برویم.

مرحله 3. محاسبه فاصله اطمینان

روش 1. محاسبه از طریق میانه و انحراف معیار.

فاصله اطمینان به شرح زیر تعیین می شود: حداقل مقدار - انحراف استاندارد از میانه کسر می شود. حداکثر مقدار - انحراف استاندارد به میانه اضافه می شود.

بنابراین، فاصله اطمینان (47179 CU؛ 60689 CU)

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 1.

روش 2. ایجاد فاصله اطمینان از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجو)

S.V. گریبوفسکی در کتاب " روش های ریاضیارزیابی ارزش دارایی» نحوه محاسبه فاصله اطمینان از طریق ضریب دانشجو را شرح می دهد. هنگام محاسبه با این روش، خود برآوردگر باید سطح اهمیت ∝ را تعیین کند که احتمال ایجاد فاصله اطمینان را تعیین می کند. معمولاً از سطوح معنی داری 0.1 استفاده می شود. 0.05 و 0.01. آنها با احتمال اطمینان 0.9 مطابقت دارند. 0.95 و 0.99. با این روش، مقادیر واقعی انتظارات ریاضی و واریانس عملاً ناشناخته در نظر گرفته می شوند (که تقریباً همیشه در هنگام حل صحیح است. وظایف عملیرتبه بندی).

فرمول فاصله اطمینان:

n - اندازه نمونه؛

مقدار بحرانی آمار t (توزیع های دانشجویی) با سطح معنی داری ∝، تعداد درجات آزادی n-1، که توسط جداول آماری خاص یا با استفاده از MS Excel (← "آماری" → STUDRASPOBR تعیین می شود.

∝ - سطح معنی داری، 0.01 = ∝ را می گیریم.

برنج. 2. مقادیر در بازه اطمینان 2.

مرحله 4. تجزیه و تحلیل روش های مختلف برای محاسبه فاصله اطمینان

دو روش برای محاسبه فاصله اطمینان - از طریق میانه و ضریب دانشجو - منجر شد ارزش های مختلففواصل بر این اساس، دو نمونه خالص متفاوت به دست آمد.

جدول 3. شاخص های آماری برای سه نمونه.

بر اساس محاسبات انجام شده می توان گفت که مقادیر فواصل اطمینان به دست آمده با روش های مختلف با هم تلاقی می کنند، بنابراین می توانید با صلاحدید ارزیاب از هر یک از روش های محاسباتی استفاده کنید.

با این حال، ما معتقدیم که هنگام کار در سیستم estimatica.pro، توصیه می شود بسته به درجه توسعه بازار، روشی را برای محاسبه فاصله اطمینان انتخاب کنید:

• اگر بازار توسعه نیافته است، روش محاسبه را از طریق میانه و انحراف استاندارد اعمال کنید، زیرا تعداد اشیاء بازنشسته در این مورد کم است.
• اگر بازار توسعه یافته است، محاسبه را از طریق مقدار بحرانی آماره t (ضریب دانشجویی) اعمال کنید، زیرا امکان تشکیل یک نمونه اولیه بزرگ وجود دارد.

در تهیه مقاله از:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. روش های ریاضی برای ارزیابی ارزش دارایی. مسکو، 2014

2. داده ها از سیستم estimatica.pro

با توجه به اینکه واریانس و انحراف معیار این توزیع مشخص است، اجازه دهید متغیر تصادفی X از جمعیت عمومی به طور نرمال توزیع شود. لازم است انتظارات ریاضی ناشناخته از میانگین نمونه برآورد شود. در این حالت، مسئله به یافتن فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی با قابلیت اطمینان b کاهش می یابد. اگر مقدار احتمال اطمینان (قابلیت اطمینان) b را تنظیم کنیم، می توانیم با استفاده از فرمول (6.9a) احتمال سقوط در بازه انتظار ریاضی ناشناخته را پیدا کنیم:

که در آن Ф(t) تابع لاپلاس (5.17a) است.

در نتیجه، اگر واریانس D = s 2 شناخته شده باشد، می‌توانیم الگوریتمی برای یافتن مرزهای فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی فرموله کنیم:

1. مقدار قابلیت اطمینان را روی b قرار دهید.
2. از (6.14) Ф(t) = 0.5× b را بیان کنید. مقدار t را از جدول برای تابع لاپلاس با مقدار Ф(t) انتخاب کنید (پیوست 1 را ببینید).
3. انحراف e را با استفاده از فرمول (6.10) محاسبه کنید.
4. فاصله اطمینان را مطابق فرمول (6.12) بنویسید که با احتمال b نابرابری زیر درست باشد:

مثال 5.

متغیر تصادفی X دارای توزیع نرمال است. فواصل اطمینان را برای برآوردی با قابلیت اطمینان b = 0.96 از میانگین مجهول a بیابید، اگر داده شود:

1) انحراف استاندارد کلی s = 5;

2) میانگین نمونه؛

3) حجم نمونه n = 49.

در فرمول (6.15) تخمین فاصلهانتظارات ریاضی آ با قابلیت اطمینان b، همه کمیت ها به جز t شناخته می شوند. مقدار t را می توان با استفاده از (6.14) پیدا کرد: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

با توجه به جدول پیوست 1 برای تابع لاپلاس Ф(t) = 0.48، مقدار مربوطه t = 2.06 را بیابید. در نتیجه، . با جایگزینی مقدار محاسبه شده e به فرمول (6.12)، می توانیم یک فاصله اطمینان بدست آوریم: 30-1.47< a < 30+1,47.

فاصله اطمینان مورد نظر برای یک تخمین با قابلیت اطمینان b = 0.96 از انتظارات ریاضی ناشناخته است: 28.53< a < 31,47.

می توانید از این فرم جستجو برای یافتن کار مناسب استفاده کنید. اگر می دانید یک کلمه، یک عبارت از کار یا شماره آن را وارد کنید.

فواصل اطمینان: فهرست راه حل های مشکل

فواصل اطمینان: نظریه و مسائل

درک فواصل اطمینان

اجازه دهید به طور خلاصه مفهوم فاصله اطمینان را معرفی کنیم که
1) برخی از پارامترهای یک نمونه عددی را مستقیماً از داده های خود نمونه تخمین می زند.
2) مقدار این پارامتر را با احتمال γ پوشش می دهد.

فاصله اطمینانبرای پارامتر ایکس(با احتمال γ) فاصله ای از شکل نامیده می شود، به طوری که ، و مقادیر به نوعی از نمونه محاسبه می شوند.

معمولا در کارهای کاربردی سطح اطمینانبرابر γ = 0.9; 0.95; 0.99.

اجازه دهید نمونه‌ای از اندازه n را در نظر بگیریم که از جمعیت عمومی تهیه شده و احتمالاً بیش از حد توزیع شده است قانون توزیع نرمال. اجازه دهید نشان دهیم با چه فرمول هایی یافت می شود فواصل اطمینان برای پارامترهای توزیع- انتظار و پراکندگی ریاضی (انحراف معیار).

فاصله اطمینان برای انتظارات ریاضی

مورد 1واریانس توزیع شناخته شده و برابر است. سپس فاصله اطمینان برای پارامتر آبه نظر می رسد:
تیاز جدول توزیع لاپلاس با نسبت تعیین می شود

مورد 2واریانس توزیع ناشناخته است؛ یک برآورد نقطه ای از واریانس از نمونه محاسبه شد. سپس فاصله اطمینان برای پارامتر آبه نظر می رسد:
، جایی که میانگین نمونه از نمونه، پارامتر محاسبه می شود تیاز جدول توزیع دانش آموز تعیین می شود

مثال.بر اساس داده‌های 7 اندازه‌گیری با یک مقدار معین، میانگین نتایج اندازه‌گیری برابر با 30 و واریانس نمونه برابر با 36 به دست آمد. مرزهایی را که در آن مقدار واقعی مقدار اندازه‌گیری شده وجود دارد با پایایی 0.99 بیابید. .

راه حل.بیایید پیدا کنیم . سپس محدودیت های اطمینان برای بازه حاوی مقدار واقعی مقدار اندازه گیری شده را می توان با فرمول پیدا کرد:
، جایی که میانگین نمونه است، واریانس نمونه است. با وصل کردن تمام مقادیر، دریافت می کنیم:

فاصله اطمینان برای واریانس

ما معتقدیم که، به طور کلی، انتظارات ریاضی ناشناخته است، و تنها یک تخمین بی‌طرفانه نقطه‌ای از واریانس شناخته شده است. سپس فاصله اطمینان به نظر می رسد:
، جایی که - کمیت های توزیع تعیین شده از جداول.

مثال.بر اساس داده های 7 آزمون، مقدار برآورد برای انحراف معیار پیدا شد s=12. با احتمال 0.9 عرض فاصله اطمینان ساخته شده برای تخمین واریانس را بیابید.

راه حل.فاصله اطمینان برای عدم واریانس شناخته شدهجمعیت عمومی را می توان با فرمول پیدا کرد:

جایگزین کنید و دریافت کنید:


سپس عرض فاصله اطمینان 465.589-71.708=393.881 است.

فاصله اطمینان برای احتمال (درصد)

مورد 1بگذارید حجم نمونه و کسر نمونه (فرکانس نسبی) در مسئله مشخص باشد. سپس فاصله اطمینان برای کسر عمومی (احتمال واقعی) برابر است با:
، جایی که پارامتر تیاز جدول توزیع لاپلاس با نسبت تعیین می شود.

مورد 2اگر مسئله علاوه بر این اندازه کل جامعه ای را که نمونه از آن گرفته شده است بداند، فاصله اطمینان برای کسر عمومی (احتمال واقعی) را می توان با استفاده از فرمول تنظیم شده پیدا کرد:
.

مثال.مشخص است که مرزهایی را که در آن سهم کلی با احتمال منعقد می شود، بیابید.

راه حل.ما از فرمول استفاده می کنیم:

بیایید پارامتر را از شرط پیدا کنیم ، جایگزین را در فرمول دریافت می کنیم:

نمونه های دیگر از وظایف برای آمار ریاضیدر صفحه پیدا خواهید کرد