برای یک متغیر تصادفی، حالت آن را نشان می دهد. B14

ارزش مورد انتظار انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی گسسته ایکس، که تعداد محدودی از مقادیر را می گیرد ایکسمنبا احتمالات آرمن، جمع نامیده می شود:

انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی پیوسته ایکسانتگرال حاصل ضرب مقادیر آن نامیده می شود ایکسبر روی چگالی توزیع احتمال f(ایکس):

(6ب)

انتگرال نامناسب (6 ب) مطلقاً همگرا فرض می شود (در غیر این صورت می گوییم ارزش مورد انتظار م(ایکس) وجود ندارد). انتظارات ریاضی مشخص می کند منظور داشتنمتغیر تصادفی ایکس. بعد آن با بعد یک متغیر تصادفی منطبق است.

ویژگی های انتظار ریاضی:

پراکندگی. پراکندگیمتغیر تصادفی ایکسشماره نامیده می شود:

پراکندگی است مشخصه پراکندگیمقادیر یک متغیر تصادفی ایکسنسبت به مقدار متوسط ​​آن م(ایکس). بعد واریانس برابر با بعد متغیر تصادفی مربع است. بر اساس تعاریف واریانس (8) و انتظارات ریاضی (5) برای یک متغیر تصادفی گسسته و (6) برای یک متغیر تصادفی پیوسته، عبارات مشابهی را برای واریانس به دست می‌آوریم:

(9)

اینجا متر = م(ایکس).

خواص پراکندگی:

انحراف معیار:

(11)

از آنجایی که بعد انحراف معیار با یک متغیر تصادفی یکسان است، بیشتر از واریانس مورد استفاده به عنوان معیار پراکندگی است.

لحظات توزیع مفاهیم انتظار ریاضی و واریانس موارد خاص بیشتری هستند مفهوم کلیبرای ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی – لحظات توزیع. گشتاورهای توزیع یک متغیر تصادفی به عنوان انتظارات ریاضی برخی از توابع ساده یک متغیر تصادفی معرفی می شوند. بنابراین، لحظه سفارش کنسبت به نقطه ایکس 0 انتظار نامیده می شود م(ایکس–ایکس 0 )ک. لحظات نسبت به مبدأ ایکس= 0 فراخوانی می شود لحظات اولیهو مشخص شده اند:

(12)

لحظه اولیه مرتبه اول مرکز توزیع متغیر تصادفی در نظر گرفته شده است:

(13)

لحظات مربوط به مرکز توزیع ایکس= مترتماس گرفت لحظات مرکزیو مشخص شده اند:

(14)

از (7) چنین می شود که ممان مرکزی مرتبه اول همیشه برابر با صفر است:

گشتاورهای مرکزی به مبدأ مقادیر متغیر تصادفی بستگی ندارند، زیرا با جابجایی توسط مقدار ثابت از جانبمرکز توزیع آن با همان مقدار جابه جا می شود از جانب، و انحراف از مرکز تغییر نمی کند: ایکس – متر = (ایکس – از جانب) – (متر – از جانب).
اکنون آشکار است که پراکندگی- این هست لحظه مرکزی مرتبه دوم:

عدم تقارن. لحظه مرکزی مرتبه سوم:

(17)

در خدمت ارزیابی است چولگی توزیع. اگر توزیع نسبت به نقطه متقارن باشد ایکس= متر، سپس ممان مرکزی مرتبه سوم برابر با صفر خواهد بود (و همچنین تمام ممان مرکزی مرتبه های فرد). بنابراین، اگر ممان مرکزی مرتبه سوم با صفر متفاوت باشد، توزیع نمی تواند متقارن باشد. بزرگی عدم تقارن با استفاده از یک بی بعد تخمین زده می شود ضریب عدم تقارن:

(18)

علامت ضریب عدم تقارن (18) نشان دهنده عدم تقارن سمت راست یا چپ است (شکل 2).

برنج. 2. انواع عدم تقارن توزیع ها.

اضافی. لحظه مرکزی مرتبه چهارم:

(19)

در خدمت ارزیابی به اصطلاح کشیدگی، که درجه شیب (نقطه دار) منحنی توزیع را در نزدیکی مرکز توزیع نسبت به منحنی تعیین می کند. توزیع نرمال. از آنجایی که برای یک توزیع نرمال، کمیت گرفته شده به عنوان کشش عبارت است از:

(20)

روی انجیر 3 نمونه هایی از منحنی های توزیع را نشان می دهد معانی مختلفکشیدگی برای توزیع نرمال E= 0. منحنی هایی که بیش از حد معمول اوج دارند دارای کشیدگی مثبت و منحنی هایی با قله های مسطح بیشتر دارای کشیدگی منفی هستند.

برنج. 3. منحنی های توزیع با درجات مختلفخنکی (کورتوز).

لحظات سفارش بالاتر در برنامه های مهندسی آمار ریاضیمعمولا اعمال نمی شود

روش گسستهمتغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. روش مداومیک متغیر تصادفی مقدار آن است که در آن چگالی احتمال حداکثر است (شکل 2). اگر منحنی توزیع یک حداکثر داشته باشد، توزیع فراخوانی می شود تک وجهی. اگر منحنی توزیع بیش از یک حداکثر داشته باشد، توزیع فراخوانی می شود چندوجهی. گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارد که منحنی های آنها دارای حداکثر نیست، بلکه یک حداقل است. چنین توزیع هایی نامیده می شوند ضد وجهی. AT مورد کلیحالت و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی با هم منطبق نیستند. در یک مورد خاص، برای معین، یعنی داشتن یک حالت، یک توزیع متقارن، و به شرطی که یک انتظار ریاضی وجود داشته باشد، حالت دوم با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.

میانه متغیر تصادفی ایکسمعنی آن است من، که برای آن برابری برقرار است: i.e. به همان اندازه احتمال دارد که متغیر تصادفی باشد ایکسکمتر یا بیشتر خواهد بود من. از نظر هندسی میانهآبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه زیر منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود (شکل 2). در مورد توزیع مودال متقارن، میانه، حالت و میانگین یکسان است.

علاوه بر انتظارات و پراکندگی ریاضی، تعدادی از ویژگی های عددی در نظریه احتمال استفاده می شود که منعکس کننده ویژگی های خاصی از توزیع است.

تعریف. حالت Mo(X) یک متغیر تصادفی X محتمل ترین مقدار آن است(که احتمال آن r rیا چگالی احتمال

اگر احتمال یا چگالی احتمال نه در یک، بلکه در چند نقطه به حداکثر برسد، توزیع نامیده می شود. چندوجهی(شکل 3.13).

روش خزه)که در آن احتمال R (یا چگالی احتمال (p(x) به حداکثر جهانی می رسد، نامیده می شود به احتمال زیاد ارزشمتغیر تصادفی (در شکل 3.13 این Mo(X) 2).

تعریف. میانه Me(X) یک متغیر تصادفی پیوسته X مقدار آن است, برای کدام

آن ها احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقدار کمتر از میانه به خود می گیرد خز)یا بزرگتر از آن، یکسان و مساوی 1/2 است. خط عمودی هندسی ایکس = خز) عبور از نقطه ای با آبسیسا برابر با خز، مساحت شکل منحنی توزیع را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند (شکل 3.14). بدیهی است، در نقطه ایکس = خز)تابع توزیع برابر با 1/2 است، یعنی. P(Me(X))= 1/2 (شکل 3.15).

به ویژگی مهم میانه یک متغیر تصادفی توجه کنید: انتظار ریاضی قدر مطلق انحراف متغیر تصادفی X از مقدار ثابت C حداقل است, وقتی این ثابت C برابر است با میانه Me(X) = m، یعنی

(ویژگی شبیه به خاصیت (3.10 اینچ) حداقل بودن مجذور میانگین انحراف یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن است).

O مثال 3.15. حالت، میانه و میانگین یک متغیر تصادفی را پیدا کنید X sچگالی احتمال φ(x) = 3x2 برای xx.

راه حل.منحنی توزیع در شکل نشان داده شده است. 3.16. بدیهی است که چگالی احتمال φ(x) حداکثر در است ایکس= Mo(X) = 1.

میانه خز) = ب از شرط (3.28) می یابیم:

جایی که

انتظارات ریاضی با فرمول (3.25) محاسبه می شود:

ترتیب متقابل نقاط M(X) > Me(X) و خزه) به ترتیب صعودی آبسیسا در شکل نشان داده شده است. 3.16. ?

همراه با ویژگی های عددی ذکر شده در بالا، مفهوم چندک و درصد برای توصیف یک متغیر تصادفی استفاده می شود.

تعریف. چندک سطح y-quantile )

چنین مقدار x q از یک متغیر تصادفی نامیده می شود , که در آن تابع توزیع آن مقداری برابر با د، یعنی

برخی از چندک ها نام خاصی دریافت کرده اند. بدیهی است که موارد فوق میانه متغیر تصادفی کمیت سطح 0.5 است، یعنی. من (X) \u003d x 05. چندک های dg 0 2 5 و x 075 به ترتیب نامگذاری شده اند پایین تر و چارک بالایی K

این مفهوم ارتباط نزدیکی با مفهوم چندک دارد نقطه درصدزیر نقطه YuOuHo-noi کمیت ضمنی x x (( آن ها چنین مقداری از یک متغیر تصادفی ایکس، که تحت آن

0 مثال 3.16. با توجه به مثال 3.15 کمیت را پیدا کنید x 03 و 30% نقطه متغیر تصادفی ایکس.

راه حل. طبق فرمول (3.23)، تابع توزیع

چندک r 0 z را از معادله (3.29) پیدا می کنیم، یعنی. x 3 دلار \u003d 0.3، از آنجا L "oz -0.67. نقطه 30٪ متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس، یا چندک x 0 7، از معادله x $ 7 = 0.7، از آنجا x 0 7 "0.89. ?

در میان ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی، ممان ها - اولیه و مرکزی - از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند.

تعریف. لحظه شروعمرتبه k-ام متغیر تصادفی X انتظار ریاضی نامیده می شود درجه k-اماین مقدار :

تعریف. نقطه مرکزیk-امین مرتبه یک متغیر تصادفی X انتظار ریاضی k-امین درجه انحراف متغیر تصادفی X از انتظار ریاضی آن است.:

فرمول های محاسبه ممان برای متغیرهای تصادفی گسسته (با گرفتن مقادیر x 1 با احتمالات p،) و پیوسته (با چگالی احتمال cp(x)) در جدول آورده شده است. 3.1.

جدول 3.1

به راحتی می توان فهمید که چه زمانی k = 1 اولین لحظه اولیه متغیر تصادفی ایکسانتظار ریاضی آن است، یعنی. h x \u003d M [X) \u003d a،در به= 2 دومین لحظه مرکزی پراکندگی است، یعنی. p 2 = T) (X).

گشتاورهای مرکزی p A را می توان بر حسب ممان های اولیه با استفاده از فرمول های زیر بیان کرد:

و غیره.

به عنوان مثال، ج 3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (هنگام استخراج ، ما در نظر گرفتیم که آ = M(X)= V، - مقدار غیر تصادفی). ?

همانطور که در بالا ذکر شد، انتظارات ریاضی M(X)یا اولین لحظه اولیه، مقدار متوسط ​​یا موقعیت، مرکز توزیع یک متغیر تصادفی را مشخص می کند ایکسروی خط اعداد؛ پراکندگی اوه)،یا دومین گشتاور مرکزی p 2 ، - s t s - پراکندگی توزیع ایکسبه طور نسبی M(X).برای بیشتر توصیف همراه با جزئیاتتوزیع ها لحظاتی از مرتبه های بالاتر هستند.

سومین لحظه مرکزی p 3 برای مشخص کردن عدم تقارن توزیع (چولگی) کاربرد دارد. ابعاد یک مکعب از یک متغیر تصادفی دارد. برای بدست آوردن یک مقدار بدون بعد، آن را بر حدود 3 تقسیم می کنیم که a میانگین است انحراف معیارمتغیر تصادفی ایکس.ارزش دریافت شده ولیتماس گرفت ضریب عدم تقارن یک متغیر تصادفی

اگر توزیع با توجه به انتظارات ریاضی متقارن باشد، ضریب چولگی A = 0 است.

روی انجیر 3.17 دو منحنی توزیع را نشان می دهد: I و II. منحنی I دارای عدم تقارن مثبت (سمت راست) (L > 0) و منحنی II منفی (سمت چپ) (L)

چهارمین لحظه مرکزی p 4 برای مشخص کردن شیب (اوج بالا یا بالای تخت - پست) توزیع استفاده می شود.

روش- مقدار در مجموعه مشاهداتی که اغلب اتفاق می افتد

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

در اینجا X Mo مرز سمت چپ بازه مودال است، h Mo طول بازه مودال است، f Mo-1 فرکانس بازه premodal، f Mo فرکانس بازه مودال، f Mo+1 است. فرکانس بازه postmodal.

مد کاملا توزیع پیوستههر نقطه ای را نام ببرید حداکثر محلیچگالی توزیع برای توزیع های گسستهمد هر مقدار a i است که احتمال p i بیشتر از احتمال مقادیر همسایه است

میانهمتغیر تصادفی پیوسته ایکسمقدار آن Me چنین نامیده می شود، که برای آن به همان اندازه احتمال دارد که متغیر تصادفی کمتر یا بیشتر شود. من، یعنی

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < من) = P(X > من)

به طور مساوی توزیع شده NEW

توزیع یکنواختیک متغیر تصادفی پیوسته در صورتی که تابع چگالی توزیع آن به طور یکنواخت توزیع شود نامیده می شود (شکل 1.6، آ) به نظر می رسد:

تعیین: - SW به طور یکنواخت در تاریخ توزیع می شود.

بر این اساس، تابع توزیع در بخش (شکل 1.6، ب):

برنج. 1.6. توابع یک متغیر تصادفی که به طور یکنواخت در [ آ,ب]: آ- چگالی احتمال f(ایکس); ب- توزیع ها اف(ایکس)

انتظارات ریاضی و واریانس این RV با عبارات زیر تعیین می شود:

به دلیل تقارن تابع چگالی، با میانه منطبق است. روش توزیع یکنواختندارد

مثال 4 زمان انتظار برای پاسخ تماس تلفنییک متغیر تصادفی است که از قانون توزیع یکنواخت در محدوده 0 تا 2 دقیقه پیروی می کند. توابع توزیع انتگرالی و دیفرانسیل این متغیر تصادفی را بیابید.

27. قانون عادی توزیع احتمال

یک متغیر تصادفی پیوسته x دارای توزیع نرمال با پارامترهای: m,s > 0 است، اگر چگالی توزیع احتمال به شکل زیر باشد:

که در آن: m انتظار ریاضی است، s انحراف معیار است.

توزیع نرمال به نام گاوس ریاضیدان آلمانی نیز گاوسی نامیده می شود. این واقعیت که یک متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال با پارامترهای: m, , به صورت زیر است: N (m, s)، که در آن: m=a=M[X];

اغلب، در فرمول ها، انتظارات ریاضی با نشان داده می شود آ . اگر یک متغیر تصادفی بر اساس قانون N(0,1) توزیع شود، آن را یک مقدار نرمال عادی یا استاندارد شده می نامند. تابع توزیع برای آن به شکل زیر است:

نمودار چگالی توزیع نرمال که منحنی نرمال یا منحنی گاوس نامیده می شود در شکل 5.4 نشان داده شده است.

برنج. 5.4. چگالی توزیع نرمال

خواصیک متغیر تصادفی که دارد قانون عادیتوزیع

1. اگر، پس برای پیدا کردن احتمال سقوط این مقدار در یک بازه معین ( x 1; x 2) از فرمول استفاده می شود:

2. احتمال اینکه انحراف یک متغیر تصادفی از انتظار ریاضی آن از مقدار (در مقدار مطلق) بیشتر نشود برابر است.

هدف درس: ایجاد درک دانش آموزان از میانه مجموعه ای از اعداد و توانایی محاسبه آن برای مجموعه های عددی ساده، تثبیت مفهوم میانگین حسابی مجموعه اعداد.

نوع درس: توضیح مطالب جدید.

تجهیزات: تابلو، کتاب درسی، ویرایش. Yu.N Tyurina "تئوری احتمالات و آمار"، کامپیوتر با پروژکتور.

موضوع درس را اطلاع رسانی کنید و اهداف آن را تدوین کنید.

سوالات دانش آموزان:

• میانگین حسابی مجموعه اعداد چیست؟
• میانگین حسابی در کجای مجموعه ای از اعداد قرار دارد؟
• میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد چیست؟
• معمولاً از میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد در کجا استفاده می شود؟

وظایف شفاهی:

میانگین حسابی مجموعه ای از اعداد را پیدا کنید:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

معاینه مشق شببا استفاده از پروژکتور ( پیوست 1):

کتاب درسی:: شماره 12 (ب، د)، شماره 18 (ج، د)

در درس قبل با مشخصه آماری مانند میانگین حسابی مجموعه اعداد آشنا شدیم. امروز درسی را به یکی دیگر از ویژگی های آماری اختصاص خواهیم داد - میانه.

نه تنها میانگین حسابی نشان می دهد که اعداد هر مجموعه در کجای خط اعداد قرار دارند و مرکز آنها کجاست. شاخص دیگر میانه است.

میانه یک مجموعه اعداد عددی است که مجموعه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. به جای "میانگین" می توان گفت "وسط".

ابتدا با استفاده از مثال ها نحوه یافتن میانه را تحلیل می کنیم و سپس تعریف دقیقی ارائه می دهیم.

مثال شفاهی زیر را با استفاده از پروژکتور در نظر بگیرید ( ضمیمه 2)

در پایان سال تحصیلی 11 دانش آموز پایه هفتم استاندارد دوی 100 متر را پاس کردند. نتایج زیر ثبت شد:

پس از اینکه بچه ها مسافت را دویدند، پتیا به معلم نزدیک شد و از او پرسید که نتیجه او چیست.

معلم پاسخ داد: «بیشترین میانگین: 16.9 ثانیه».

"چرا؟" پتیا تعجب کرد. - بالاخره میانگین حسابی همه نتایج حدود 18.3 ثانیه است و من یک ثانیه یا بیشتر دویدم. و به طور کلی، نتیجه کاتیا (18.4) بسیار نزدیکتر از من است.

نتیجه شما متوسط ​​است زیرا پنج نفر بهتر از شما دویدند و پنج نفر بدتر. پس تو درست وسط هستی.» معلم گفت. [2]

الگوریتمی برای یافتن میانه مجموعه ای از اعداد بنویسید:

1. مجموعه عددی را مرتب کنید (یک سری رتبه بندی شده بنویسید).
2. در همان زمان، اعداد "بزرگترین" و "کوچکترین" این مجموعه اعداد را خط می زنیم تا زمانی که یک یا دو عدد باقی بماند.
3. اگر فقط یک عدد وجود داشته باشد، آن میانه است.
4. اگر دو عدد باقی بماند، میانه میانگین حسابی دو عدد باقی مانده خواهد بود.

از دانش‌آموزان دعوت کنید تا تعریف میانه مجموعه‌ای از اعداد را به طور مستقل بیان کنند، سپس دو تعریف از میانه را در کتاب درسی بخوانند (ص 50)، سپس مثال‌های 4 و 5 کتاب درسی را تجزیه و تحلیل کنند (ص 50-52)

اظهار نظر:

توجه دانش آموزان را به یک شرایط مهم جلب کنید: میانه عملاً نسبت به انحرافات قابل توجه مقادیر شدید فردی مجموعه اعداد حساس نیست. در آمار به این خاصیت پایداری می گویند. پایداری یک شاخص آماری یک ویژگی بسیار مهم است، ما را در برابر خطاهای تصادفی و داده های غیر قابل اعتماد فردی بیمه می کند.

تصمیم اعداد از کتاب درسی تا ماده 11 «میانگین».

مجموعه اعداد: 1،3،5،7،9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

مجموعه اعداد: 1،3،5،7،14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

الف) مجموعه اعداد: 3،4،11،17،21

ب) مجموعه اعداد: 17،18،19،25،28

ج) مجموعه اعداد: 25، 25، 27، 28، 29، 40، 50

نتیجه گیری: میانه مجموعه ای از اعداد متشکل از تعداد فرد فرد برابر با عدد وسط است.

الف) مجموعه اعداد: 2، 4, 8 , 9.

من = (4+8):2=12:2=6

ب) مجموعه اعداد: 1،3، 5,7 ,8,9.

من = (5+7):2=12:2=6

میانه مجموعه ای از اعداد حاوی تعداد زوج، نصف مجموع دو عدد وسط است.

دانش آموز در طول فصل نمرات زیر را در جبر دریافت کرد:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

پیدا کردن معدلو میانه این مجموعه. [3]

بیایید مجموعه ای از اعداد را سفارش دهیم: 2،4،4،4،5،5،5،5،5،5

فقط 10 عدد، برای پیدا کردن میانه باید دو عدد وسط را بگیرید و نیمی از مجموع آنها را پیدا کنید.

من = (5+5): 2 = 5

سوال از دانش آموزان: اگر معلم بودید برای یک ربع به این دانش آموز چه نمره ای می دادید؟ پاسخ را توجیه کنید.

رئیس شرکت 300000 روبل حقوق دریافت می کند. سه نفر از معاونان او هر کدام 150000 روبل، چهل کارمند - هر کدام 50000 روبل دریافت می کنند. و حقوق نظافتچی 10000 روبل است. میانگین حسابی و میانه حقوق در شرکت را پیدا کنید. استفاده از کدام یک از این ویژگی ها برای رئیس جمهور برای اهداف تبلیغاتی سودآورتر است؟

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (روبل)

وظیفه 3. (از دانش آموزان دعوت کنید تا خودشان حل کنند، تکلیف را با استفاده از پروژکتور طرح ریزی کنید)

جدول حجم تقریبی آب در بزرگترین دریاچه ها و مخازن روسیه را بر حسب متر مکعب نشان می دهد. کیلومتر (پیوست 3) [ 4 ]

الف) حجم متوسط ​​آب در این مخازن را بیابید (میانگین حسابی).

ب) حجم آب را در اندازه متوسط ​​مخزن (میانگین داده ها) بیابید.

ج) به نظر شما کدام یک از این ویژگی ها - میانگین حسابی یا میانه - حجم یک مخزن معمولی بزرگ روسی را به بهترین شکل توصیف می کند؟ پاسخ را توضیح دهید.

الف) 2459 مکعب. کیلومتر

ب) 60 مکعب. کیلومتر

ج) میانه، زیرا داده ها حاوی مقادیری هستند که بسیار متفاوت از بقیه هستند.

وظیفه 4. شفاهی.

الف) در صورتی که میانه آن نهمین عضو مجموعه باشد، چند عدد وجود دارد؟

ب) اگر میانه آن میانگین حسابی جمله های هفتم و هشتم باشد در مجموعه چند عدد است؟

ج) در مجموعه ای از هفت عدد، بزرگترین عدد 14 افزایش یافت. آیا این امر هم میانگین حسابی و هم میانه را تغییر می دهد؟

د) هر یک از اعداد مجموعه 3 برابر شده است. میانگین حسابی و میانه چه خواهد شد؟

شیرینی در فروشگاه بر حسب وزن به فروش می رسد. ماشا برای اینکه بفهمد در یک کیلوگرم چند شیرینی وجود دارد، تصمیم گرفت وزن یک آب نبات را پیدا کند. او چندین آب نبات وزن کرد و نتایج زیر را گرفت:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

هر دو ویژگی برای تخمین وزن یک آب نبات مناسب هستند، زیرا آنها تفاوت زیادی با یکدیگر ندارند.

بنابراین برای توصیف اطلاعات آماری از میانگین حسابی و میانه استفاده شده است. در بسیاری از موارد، برخی از ویژگی ها ممکن است معنای معنی داری نداشته باشند (برای مثال، داشتن اطلاعاتی در مورد زمان تصادفات رانندگی، صحبت در مورد میانگین حسابی این داده ها به سختی منطقی است).

1. تکلیف: بند ۱۱ شماره ۳،۴،۹،۱۱.
2. نتایج درس. انعکاس.

ادبیات:

1. یو.ن. Tyurin و همکاران "تئوری احتمالات و آمار"، انتشارات MCNMO، JSC "کتاب های درسی مسکو"، مسکو 2008.
2. E.A. بونیموویچ، V.A. بولیچف "مبانی آمار و احتمال"، DROFA، مسکو 2004.
3. روزنامه «ریاضیات» شماره 23، 1386.
4. نسخه آزمایشی کنترل کاردر مورد تئوری احتمال و آمار برای درجه 7، حساب 2007/2008. سال

در میان ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی، ابتدا لازم است به مواردی توجه شود که موقعیت یک متغیر تصادفی را در محور اعداد مشخص می کند، یعنی. مقداری متوسط ​​و تقریبی را نشان می‌دهد که تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی حول آن گروه‌بندی می‌شود.

مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی یک عدد معین است که همانطور که بود "نماینده" آن است و در محاسبات تقریبی تقریبی جایگزین آن می شود. وقتی می گوییم "میانگین زمان کارکرد لامپ 100 ساعت است" یا "نقطه میانی برخورد 2 متر در سمت راست هدف است"، نشان دهنده یک مقدار مشخص هستیم. مشخصه عددیمتغیر تصادفی که مکان آن را بر روی محور عددی توصیف می کند، یعنی. شرح موقعیت.

از ویژگی های یک موقعیت در نظریه احتمال، مهمترین نقش را انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی ایفا می کند که گاهی اوقات به سادگی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی نامیده می شود.

یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیرید که دارای مقادیر ممکن با احتمالات است. ما باید موقعیت مقادیر متغیر تصادفی را در محور x با مقداری مشخص کنیم، با در نظر گرفتن این واقعیت که این مقادیر احتمالات متفاوتی دارند. برای این منظور طبیعی است که از «میانگین وزنی» مقادیر استفاده شود و هر مقدار باید در حین میانگین گیری با «وزن» متناسب با احتمال این مقدار در نظر گرفته شود. بنابراین، میانگین متغیر تصادفی را محاسبه خواهیم کرد که آن را با:

یا با توجه به اینکه

. (5.6.1)

این میانگین وزنی را انتظار ریاضی از متغیر تصادفی می نامند. بنابراین، ما یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال را در نظر گرفتیم - مفهوم انتظار ریاضی.

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر است.

توجه داشته باشید که در فرمول فوق، تعریف انتظار ریاضی، به طور دقیق، فقط برای متغیرهای تصادفی گسسته معتبر است. در زیر این مفهوم را به کمیت های پیوسته تعمیم می دهیم.

برای اینکه مفهوم انتظار ریاضی را بیشتر توضیح دهیم، اجازه دهید به تفسیر مکانیکی توزیع یک متغیر تصادفی گسسته بپردازیم. بگذارید نقاط دارای ابسیسا در محور آبسیسا قرار گیرند که جرم ها به ترتیب در آن متمرکز شده اند و . سپس، بدیهی است که انتظار ریاضی تعریف شده توسط فرمول (5.6.1) چیزی نیست جز آبسیسا مرکز ثقل سیستم داده شده از نقاط مادی.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی با یک وابستگی عجیب با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی با تعداد زیادی آزمایش مرتبط است. این وابستگی از همان نوع وابستگی بین فرکانس و احتمال است، یعنی: با تعداد زیادی آزمایش، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). از وجود رابطه بین فراوانی و احتمال، می توان در نتیجه وجود یک رابطه مشابه بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی را استنباط کرد.

در واقع، یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیرید که با یک سری توزیع مشخص می شود:

جایی که .

اجازه دهید آزمایش های مستقلی انجام شود که در هر یک از آنها مقدار مقدار مشخصی به خود می گیرد. فرض کنید مقدار یک بار ظاهر شد، مقدار یک بار ظاهر شد، به طور کلی مقدار یک بار ظاهر شد. به طور مشخص،

اجازه دهید میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده کمیت را محاسبه کنیم، که بر خلاف انتظارات ریاضی، نشان خواهیم داد:

اما چیزی بیش از فراوانی (یا احتمال آماری) یک رویداد وجود ندارد. این فرکانس را می توان نامید. سپس

,

آن ها میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی برابر است با مجموع حاصلضرب همه مقادیر ممکن متغیر تصادفی و بسامدهای این مقادیر.

با افزایش تعداد آزمایش ها، فرکانس ها به احتمالات مربوطه نزدیک می شوند (در احتمال همگرا می شوند). در نتیجه، میانگین حسابی مقادیر مشاهده‌شده یک متغیر تصادفی با افزایش تعداد آزمایش‌ها به انتظارات ریاضی آن نزدیک می‌شود (احتمال همگرایی).

رابطه بین میانگین حسابی و انتظار ریاضی فرموله شده در بالا محتوای یکی از اشکال قانون را تشکیل می دهد. اعداد بزرگ. ما در فصل 13 به اثبات دقیق این قانون خواهیم پرداخت.

ما قبلاً می دانیم که همه اشکال قانون اعداد بزرگ این واقعیت را بیان می کنند که میانگین های معینی در تعداد زیادی آزمایش پایدار هستند. در اینجا ما در مورد پایداری میانگین حسابی از یک سری مشاهدات با همان مقدار صحبت می کنیم. با تعداد کمی آزمایش، میانگین حسابی نتایج آنها تصادفی است. با افزایش کافی در تعداد آزمایش ها، "تقریبا تصادفی" نمی شود و با تثبیت، به یک مقدار ثابت - انتظار ریاضی نزدیک می شود.

ویژگی پایداری میانگین ها برای تعداد زیادی آزمایش به راحتی به صورت تجربی تأیید می شود. به عنوان مثال، با وزن کردن یک بدن در آزمایشگاه روی ترازوهای دقیق، هر بار در نتیجه توزین یک مقدار جدید به دست می آوریم. برای کاهش خطای مشاهده، بدن را چندین بار وزن کرده و از میانگین حسابی مقادیر به دست آمده استفاده می کنیم. به راحتی می توان دریافت که با افزایش بیشتر در تعداد آزمایش ها (وزن کردن)، میانگین حسابی کمتر و کمتر به این افزایش واکنش نشان می دهد و با تعداد کافی آزمایش ها عملاً تغییر نمی کند.

فرمول (5.6.1) برای انتظارات ریاضی مربوط به مورد یک متغیر تصادفی گسسته است. برای یک مقدار پیوسته، انتظار ریاضی، البته، دیگر به صورت مجموع بیان نمی شود، بلکه به صورت یک انتگرال بیان می شود:

, (5.6.2)

چگالی توزیع کمیت کجاست.

فرمول (5.6.2) از فرمول (5.6.1) به دست می آید، اگر مقادیر فردی را در آن با پارامتر x به طور مداوم در حال تغییر جایگزین کنیم، احتمالات مربوطه - با یک عنصر احتمال، و مجموع نهایی - با یک انتگرال. در ادامه، ما اغلب از این روش برای بسط فرمول های مشتق شده برای کمیت های ناپیوسته در مورد کمیت های پیوسته استفاده می کنیم.

در تفسیر مکانیکی، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته همان معنی را حفظ می کند - آبسیسا مرکز ثقل در صورتی که جرم به طور مداوم در امتداد محور آبسیسا با چگالی توزیع شود. این تفسیر اغلب امکان یافتن انتظارات ریاضی را بدون محاسبه انتگرال (5.6.2) از ملاحظات مکانیکی ساده فراهم می کند.

در بالا، نماد انتظار ریاضی کمیت را معرفی کردیم. در برخی موارد، هنگامی که یک مقدار به عنوان یک عدد خاص در فرمول ها گنجانده می شود، نشان دادن آن با یک حرف راحت تر است. در این موارد، انتظار ریاضی از مقدار را از طریق زیر نشان خواهیم داد:

نماد و برای انتظارات ریاضی بسته به راحتی یک یا آن نماد فرمول ها در آینده به صورت موازی استفاده خواهد شد. اجازه دهید در صورت لزوم موافقت کنیم که کلمات "انتظار ریاضی" را با حروف m.o مخفف کنیم.

لازم به ذکر است که مهمترین ویژگی موقعیت - انتظار ریاضی - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. می توان نمونه هایی از چنین متغیرهای تصادفی را که انتظار ریاضی برای آنها وجود ندارد، ایجاد کرد، زیرا مجموع یا انتگرال مربوطه واگرا می شود.

به عنوان مثال، یک متغیر تصادفی ناپیوسته با یک سری توزیع را در نظر بگیرید:

تأیید آن آسان است، یعنی سری توزیع منطقی است. با این حال، مجموع در این مورد متفاوت است و بنابراین، انتظار ریاضی از مقدار وجود ندارد. با این حال، برای عمل، چنین مواردی جالب توجه نیستند. معمولاً متغیرهای تصادفی که با آنها سروکار داریم، دارای محدوده محدودی از مقادیر ممکن و البته دارای مقدار مورد انتظار هستند.

در بالا، فرمول های (5.6.1) و (5.6.2) را به ترتیب بیان کردیم که انتظارات ریاضی را برای یک متغیر تصادفی ناپیوسته و پیوسته بیان می کنند.

اگر کمیت متعلق به کمیت ها باشد نوع مختلط، سپس انتظارات ریاضی آن با فرمولی به شکل زیر بیان می شود:

, (5.6.3)

که در آن مجموع به تمام نقاطی که تابع توزیع در آن شکسته می‌شود و انتگرال به تمام بخش‌هایی که تابع توزیع در آنها پیوسته است گسترش می‌یابد.

علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت - انتظار ریاضی - سایر ویژگی های موقعیت گاهی اوقات در عمل استفاده می شود، به ویژه حالت و میانه یک متغیر تصادفی.

حالت یک متغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. اصطلاح "محتمل ترین ارزش"، به طور دقیق، فقط برای مقادیر ناپیوسته اعمال می شود. برای یک کمیت پیوسته، حالت مقداری است که در آن چگالی احتمال حداکثر است. ما موافقت می کنیم که حالت را با حرف تعیین کنیم. روی انجیر 5.6.1 و 5.6.2 به ترتیب حالت متغیرهای تصادفی ناپیوسته و پیوسته را نشان می دهند.

اگر چند ضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک ماکزیمم داشته باشد، توزیع "چند وجهی" نامیده می شود (شکل های 5.6.3 و 5.6.4).

گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارند که در وسط نه حداکثر، بلکه حداقل دارند (شکل 5.6.5 و 5.6.6). چنین توزیع هایی "ضد وجهی" نامیده می شوند. نمونه ای از توزیع ضد وجهی، توزیع به دست آمده در مثال 5، شماره 5.1 است.

در حالت کلی، حالت و انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی با هم مطابقت ندارند. در یک مورد خاص، وقتی توزیع متقارن و معین است (یعنی حالت دارد) و انتظار ریاضی وجود دارد، آنگاه با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.

یکی دیگر از ویژگی های موقعیت اغلب استفاده می شود - به اصطلاح میانه یک متغیر تصادفی. این مشخصه معمولاً فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته استفاده می شود، اگرچه می توان آن را به طور رسمی برای یک متغیر ناپیوسته نیز تعریف کرد.

میانه یک متغیر تصادفی مقدار آن است که برای آن

آن ها به همان اندازه احتمال دارد که متغیر تصادفی کوچکتر یا بزرگتر از . از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محدود شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود (شکل 5.6.7).