حل معادلات درجات بالاتر با روش های مختلف. حل معادلات درجات بالاتر

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. معادلات در ریاضیات بسیار رایج هستند. درجات بالاتربا ضرایب صحیح برای حل این نوع معادله، شما نیاز دارید:

ریشه های منطقی معادله را تعیین کنید.

چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد فاکتور بگیرید.

ریشه های معادله را بیابید.

فرض کنید معادله ای به شکل زیر به ما داده شود:

بیایید همه ریشه های واقعی آن را پیدا کنیم. دو طرف چپ و راست معادله را در \ ضرب کنید

بیایید متغیرها را تغییر دهیم \

بنابراین، ما یک معادله کاهش یافته درجه چهارم به دست آورده ایم که طبق الگوریتم استاندارد حل می شود: مقسوم علیه ها را بررسی می کنیم، تقسیم را انجام می دهیم و در نتیجه متوجه می شویم که معادله دارای دو ریشه واقعی \ و دو مختلط است. آنهایی که به معادله درجه چهارم خود پاسخ زیر را می گیریم:

کجا می توانم معادله قدرت های بالاتر را به صورت آنلاین با حل کننده حل کنم؟

شما می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما این امکان را می دهد که یک معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سوالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک کنیم.

متن اثر بدون تصویر و فرمول قرار داده شده است.
نسخه کاملکار در برگه "فایل های کار" در قالب PDF موجود است

مقدمه

حل معادلات جبری درجات بالاتر با یک مجهول یکی از دشوارترین و قدیمی ترین حل هاست مشکلات ریاضی. برجسته ترین ریاضیدانان دوران باستان با این مسائل سروکار داشتند.

حل معادلات درجه n یک کار مهم برای ریاضیات مدرن نیز هست. علاقه به آنها بسیار زیاد است، زیرا این معادلات ارتباط نزدیکی با جستجوی ریشه معادلاتی دارد که توسط برنامه درسی مدرسه در ریاضیات در نظر گرفته نشده است.

مسئله:فقدان مهارت در حل معادلات مقاطع بالاتر به روش های مختلف در بین دانش آموزان، آنها را از آمادگی موفقیت آمیز برای گواهینامه نهایی در ریاضیات و ریاضیات باز می دارد. المپیادهای ریاضی، تدریس در کلاس تخصصی ریاضی.

حقایق فوق مشخص شد ارتباطاز کار ما "حل معادلات درجات عالی".

در اختیار داشتن ساده ترین روش ها برای حل معادلات درجه n، زمان انجام کار را که نتیجه کار و کیفیت فرآیند یادگیری به آن بستگی دارد، کاهش می دهد.

هدف، واقعگرایانه:مطالعه راه های شناخته شدهحل معادلات درجات بالاتر و شناسایی در دسترس ترین آنها کاربرد عملی.

بر اساس این هدف، موارد زیر است وظایف:

مطالعه ادبیات و منابع اینترنتی در این زمینه؛

با حقایق تاریخی مرتبط با این موضوع آشنا شوید؛

روش های مختلف حل معادلات درجات بالاتر را شرح دهید

درجه سختی هر یک از آنها را مقایسه کنید.

آشنایی همکلاسی ها با روش های حل معادلات درجات بالاتر.

مجموعه ای از معادلات برای کاربرد عملی هر یک از روش های در نظر گرفته شده ایجاد کنید.

موضوع مطالعه- معادلات درجات بالاتر با یک متغیر.

موضوع مطالعه- روش های حل معادلات درجات بالاتر.

فرضیه:هیچ راه کلی و یک الگوریتم منفرد وجود ندارد که امکان یافتن راه حل معادلات درجه n را در تعداد محدودی از مراحل فراهم کند.

روش های پژوهش:

- کتابنامه روش گرافیکی(تحلیل ادبیات موضوع تحقیق)؛

- روش طبقه بندی؛

- روش تحلیل کیفی

اهمیت نظریتحقیق شامل سیستم‌بندی روش‌هایی برای حل معادلات درجات بالاتر و توصیف الگوریتم‌های آنهاست.

اهمیت عملی- ارائه مطالب در مورد این موضوع و توسعه یک کمک آموزشی برای دانش آموزان در این موضوع.

1. معادلات قدرت های بالاتر

1.1 مفهوم معادله درجه n

تعریف 1.معادله درجه n معادله ای از فرم است

آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n = 0، که در آن ضرایب آ 0, آ 1, آ 2…, آ n -1, آ n - هر عدد واقعی، و ،آ 0 ≠ 0 .

چند جمله ای آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n چند جمله ای درجه n نامیده می شود. ضرایب با نام متمایز می شوند: آ 0 - ضریب ارشد; آ n یک عضو رایگان است.

تعریف 2. راه حل ها یا ریشه های یک معادله داده شدههمه مقادیر متغیر هستند ایکس، که این معادله را به یک برابری عددی واقعی یا برای آن چند جمله ای تبدیل می کند آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n به صفر می رسد. چنین مقدار متغیری ایکسریشه چند جمله ای نیز نامیده می شود. حل یک معادله به معنای یافتن تمام ریشه های آن است یا اینکه هیچ یک از آنها وجود ندارد.

اگر یک آ 0 = 1، پس چنین معادله ای معادله گویا عدد صحیح کاهش یافته n نامیده می شود هفتمدرجه.

برای معادلات درجه سوم و چهارم فرمول های کاردانو و فراری وجود دارد که ریشه این معادلات را بر حسب رادیکال بیان می کند. معلوم شد که در عمل آنها به ندرت استفاده می شوند. بنابراین، اگر n ≥ 3، و ضرایب چند جمله ای اعداد واقعی دلخواه باشند، پیدا کردن ریشه های معادله کار آسانی نیست. با این حال، در بسیاری از موارد خاص این مشکل تا انتها حل می شود. بیایید به برخی از آنها بپردازیم.

1.2 حقایق تاریخیحل معادلات درجات بالاتر

قبلاً در دوران باستان، مردم متوجه شده بودند که یادگیری چگونه معادلات جبری چقدر مهم است. حدود 4000 سال پیش، دانشمندان بابلی صاحب این محلول بودند معادله درجه دومو سیستم های حل شده از دو معادله که یکی از آنها درجه دوم است. با کمک معادلات درجات بالاتر، مسائل مختلف زمین شناسی، معماری و امور نظامی حل شد، بسیاری از مسائل مختلف عملی و علوم طبیعی به آنها تقلیل یافت، زیرا زبان دقیق ریاضیات بیان ساده حقایق و حقایق را ممکن می سازد. روابطی که به زبان معمولی بیان می شوند، ممکن است گیج کننده و پیچیده به نظر برسند.

فرمول جهانی برای یافتن ریشه معادله جبری n-امینبدون مدرک البته بسیاری به این ایده وسوسه انگیز رسیدند که برای هر توان n فرمولی بیابند که ریشه های معادله را بر حسب ضرایب آن بیان کند، یعنی معادله را بر حسب رادیکال حل کند.

تنها در قرن شانزدهم، ریاضیدانان ایتالیایی موفق به پیشروی بیشتر شدند - برای یافتن فرمول هایی برای n = 3 و n = 4. در همان زمان، مسئله تصمیم مشترکمعادلات درجه 3 توسط Scipio، Dahl، Ferro و شاگردانش Fiori و Tartaglia مورد مطالعه قرار گرفت.

در سال 1545، کتاب ریاضیدان ایتالیایی دی. کاردانو "هنر بزرگ، یا در مورد قوانین جبر" منتشر شد که در آن، همراه با سایر مسائل جبر، راه های رایجحل معادلات مکعبی و همچنین روشی برای حل معادلات درجه 4 که توسط شاگردش ال. فراری کشف شد.

شرح کامل سوالات مربوط به حل معادلات درجه 3 و 4 توسط F. Viet ارائه شده است.

در دهه 20 قرن 19، ریاضیدان نروژی N. Abel ثابت کرد که ریشه معادلات درجه پنج را نمی توان از طریق رادیکال ها بیان کرد.

در طول مطالعه مشخص شد که علم مدرنراه های زیادی برای حل معادلات درجه n وجود دارد.

نتیجه جستجوی روش هایی برای حل معادلات درجات بالاتر که با روش های در نظر گرفته شده در برنامه آموزشی مدرسه، به روش هایی مبنی بر کاربرد قضیه ویتا (برای معادلات درجه n> 2)، قضایای بزوت، طرح های هورنر و همچنین فرمول کاردانو و فراری برای حل معادلات مکعب و کوارتیک.

در این مقاله روش‌هایی برای حل معادلات و انواع آن‌ها ارائه می‌شود که برای ما به یک کشف تبدیل شده‌اند. اینها عبارتند از - روش ضرایب نامشخص، تخصیص درجه کامل، معادلات متقارن.

2. حل معادلات یکپارچه توان های بالاتر با ضرایب یکپارچه

2.1 حل معادلات درجه 3. فرمول D. Cardano

معادلات فرم را در نظر بگیرید ایکس 3 +px+q=0.معادله کلی را به شکل زیر تبدیل می کنیم: ایکس 3 +px 2 +qx+r=0.بیایید فرمول مکعب جمع را بنویسیم. بیایید آن را به برابری اصلی اضافه کنیم و آن را جایگزین کنیم y. معادله را بدست می آوریم: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0.پس از تحولات، داریم: y 2 +py + q=0.حالا بیایید دوباره فرمول مکعب مجموع را بنویسیم:

(a+b) 3 =a 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = a 3 +b 3 + 3ab (a + b)،جایگزین کردن ( a+b) روی ایکس، معادله را بدست می آوریم ایکس 3 - 3abx - (a 3 +b 3) = 0. اکنون مشخص می شود که معادله اصلی معادل سیستم است: و با حل سیستم به دست می آید:

فرمولی برای حل معادله فوق درجه 3 به دست آورده ایم. نام کاردانو ریاضیدان ایتالیایی را بر خود دارد.

یک مثال را در نظر بگیرید. معادله را حل کنید: .

ما داریم آر= 15 و q= 124، سپس با استفاده از فرمول کاردانو ریشه معادله را محاسبه می کنیم

نتیجه گیری: این فرمول خوب است اما برای حل تمام معادلات مکعبی مناسب نیست. با این حال، حجیم است. بنابراین، به ندرت در عمل استفاده می شود.

اما کسی که به این فرمول مسلط است می تواند در حل معادلات درجه سه در امتحان از آن استفاده کند.

2.2 قضیه ویتا

از درس ریاضیات، ما این قضیه را برای معادله درجه دوم می شناسیم، اما کمتر کسی می داند که برای حل معادلات درجات بالاتر نیز استفاده می شود.

معادله را در نظر بگیرید:

سمت چپ معادله را فاکتور بگیرید، تقسیم بر ≠ 0 کنید.

سمت راست معادله را به فرم تبدیل می کنیم

; از این نتیجه می شود که می توانیم برابری های زیر را در سیستم بنویسیم:

فرمول های استخراج شده توسط Vieta برای معادلات درجه دوم و نشان داده شده توسط ما برای معادلات درجه 3 برای چند جمله ای های درجات بالاتر نیز صادق است.

بیایید معادله مکعب را حل کنیم:

نتیجه گیری: این روش جهانی و به اندازه کافی برای دانش آموزان آسان است که درک کنند، زیرا قضیه ویتا برای آنها از برنامه درسی مدرسه برای n آشنا است. = 2. در عین حال برای یافتن ریشه معادلات با استفاده از این قضیه، داشتن مهارت محاسباتی خوب ضروری است.

2.3 قضیه بزوت

این قضیه به افتخار ریاضیدان فرانسوی قرن هجدهم جی. بزوت نامگذاری شده است.

قضیه.اگر معادله آ 0 xⁿ+a 1 ایکس n -1 +a 2 x - ²+…+a n -1 x+a n = 0 که در آن همه ضرایب اعداد صحیح هستند و جمله آزاد با صفر متفاوت است، دارای یک ریشه صحیح است، سپس این ریشه مقسوم علیه جمله آزاد است.

با توجه به اینکه در سمت چپ معادله چند جمله ای درجه نهم، سپس قضیه تفسیر دیگری دارد.

قضیه.هنگام تقسیم یک چند جمله ای درجه n با توجه به ایکسبه یک دوجمله ای x-aباقیمانده برابر است با ارزش سود زمانی که x = a. (حرف آمی تواند هر عدد واقعی یا خیالی را نشان دهد، یعنی. هر عدد مختلط) .

اثبات:اجازه دهید f(x) یک چند جمله ای دلخواه از درجه n را با توجه به متغیر x نشان می دهد، و اجازه دهید، زمانی که به یک دو جمله ای تقسیم می شود ( x-a) در خلوت اتفاق افتاد q(x) و در بقیه آر. بدیهی است که q(x)چند جمله ای وجود خواهد داشت (n - 1) درجه نسبتاً ایکس، و بقیه آریک مقدار ثابت خواهد بود، یعنی. مستقل از ایکس.

اگر باقیمانده آرچند جمله ای درجه اول در x بود، پس این بدان معنی است که تقسیم انجام نشده است. بنابراین، آراز جانب ایکسوابسته نیست. با تعریف تقسیم، هویت را بدست می آوریم: f(x)=(x-a)q(x)+R.

تساوی برای هر مقدار x صادق است، بنابراین برای آن نیز صادق است x=a، ما گرفتیم: f(a)=(a-a)q(a)+R. نماد f(a) مقدار چند جمله ای f را نشان می دهد (ایکس) در x=a، q(a)یک مقدار را نشان می دهد q(x) در x=a.باقی مانده آرهمان طور که قبلا بود باقی ماند آراز جانب ایکسوابسته نیست. کار ( x-a) q(a) = 0از ضریب ( x-a) = 0،و ضریب q(a)وجود دارد تعداد معین. بنابراین، از برابری بدست می آوریم: f(a)=R، h.t.d.

مثال 1باقیمانده تقسیم چند جمله ای را پیدا کنید ایکس 3 - 3ایکس 2 + 6ایکس- 5 در هر دو جمله ای

ایکس- 2. با قضیه بزوت : R=f(2) = 23-322 + 62 -5=3. پاسخ: R= 3.

توجه داشته باشید که قضیه بزو به خودی خود چندان مهم نیست، بلکه به دلیل پیامدهای آن است. (پیوست 1)

اجازه دهید به بررسی برخی از روش‌های اعمال قضیه بزوت برای حل بپردازیم وظایف عملی. لازم به ذکر است که هنگام حل معادلات با استفاده از قضیه بزوت، لازم است:

همه مقسوم علیه های عدد صحیح عبارت آزاد را بیابید.

از این مقسوم‌کننده‌ها، حداقل یک ریشه معادله را پیدا کنید.

سمت چپ معادله را بر تقسیم کنید (ها);

حاصل ضرب مقسوم علیه و ضریب را در سمت چپ معادله بنویسید.

معادله حاصل را حل کنید.

مثال حل معادله x را در نظر بگیرید 3 + 4ایکس 2 + x - 6 = 0 .

راه حل: مقسوم علیه جمله آزاد ±1 را پیدا کنید ; ± 2; ± 3; ± 6. محاسبه مقادیر برای x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. سمت چپ معادله را بر ( ایکس- 1). ما تقسیم را با یک "گوشه" انجام می دهیم، دریافت می کنیم:

نتیجه‌گیری: قضیه بزوت، یکی از راه‌هایی که در کار خود در نظر می‌گیریم، در برنامه فعالیت‌های فوق برنامه بررسی می‌شود. درک آن دشوار است، زیرا برای تسلط بر آن، باید تمام عواقب آن را بدانید، اما در عین حال، قضیه Bezout یکی از دستیاران اصلی دانش آموزان در امتحان است.

2.4 طرح هورنر

برای تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای x-αمی توانید از یک ترفند ساده خاص که توسط ریاضیدانان انگلیسی قرن هفدهم اختراع شد، استفاده کنید، که بعدها طرح هورنر نامیده شد. طرح هورنر علاوه بر یافتن ریشه معادلات، محاسبه مقادیر آنها را آسانتر می کند. برای این کار باید مقدار متغیر را با چند جمله ای Pn جایگزین کرد (x)=a 0 xn+a 1 ایکس n-1 +a 2 x - ²+…++ a n -1 x+a n (یک)

تقسیم چند جمله ای (1) را بر دو جمله ای در نظر بگیرید ایکس-α.

ضرایب ضرایب ناقص b را بیان می کنیم 0 x - ¹+ ب 1 x - ²+ ب 2 x - ³+…+ bn -1 و بقیه rبر حسب ضرایب چند جمله ای Pn( ایکس) و شماره α. ب 0 =a 0 , ب 1 = α ب 0 +a 1 , ب 2 = α ب 1 +a 2 …, bn -1 =

= α bn -2 +a n -1 = α bn -1 +a n .

محاسبات بر اساس طرح هورنر در قالب جدول زیر ارائه شده است:

	آ 0	آ 1	آ 2 ,
	ب 0 =a 0	ب 1 = α ب 0 +a 1	ب 2 = α ب 1 +a 2		r=αب n-1 +a n

از آنجا که r=Pn(α)،پس α ریشه معادله است. به منظور بررسی اینکه آیا α یک ریشه چندگانه است، طرح هورنر را می توان از قبل برای ضریب b اعمال کرد. 0 x+ب 1 x+…+ bn -1 مطابق جدول اگر در ستون زیر bn -1 دوباره 0 می گیریم، بنابراین α یک ریشه چندگانه است.

مثالی را در نظر بگیرید: معادله را حل کنید ایکس 3 + 4ایکس 2 + x - 6 = 0.

اجازه دهید در سمت چپ معادله فاکتورگیری چند جمله ای در سمت چپ معادله، طرح هورنر را اعمال کنیم.

راه حل: مقسوم علیه جمله آزاد را پیدا کنید ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.


				6 ∙ 1 + (-6) = 0

ضرایب ضرایب اعداد 1، 5، 6 و باقیمانده r = 0 است.

به معنای، ایکس 3 + 4ایکس 2 + ایکس - 6 = (ایکس - 1) (ایکس 2 + 5ایکس + 6) = 0.

از اینجا: ایکس- 1 = 0 یا ایکس 2 + 5ایکس + 6 = 0.

ایکس = 1, ایکس 1 = -2; ایکس 2 = -3. پاسخ: 1,- 2, - 3.

نتیجه گیری: بنابراین در یک معادله استفاده از دو را نشان دادیم راه های مختلففاکتورسازی چندجمله ای ها به نظر ما، طرح هورنر کاربردی ترین و اقتصادی ترین است.

2.5 حل معادلات درجه 4. روش فراری

شاگرد کاردانو، لودویک فراری، راهی برای حل معادله درجه 4 کشف کرد. روش فراری از دو مرحله تشکیل شده است.

مرحله I: معادله شکل به صورت حاصل ضرب دو مثلث مربع نشان داده می شود؛ این از این واقعیت ناشی می شود که معادله درجه 3 و حداقل یک جواب است.

مرحله دوم: معادلات به دست آمده با استفاده از فاکتورسازی حل می شوند، اما برای یافتن فاکتورگیری مورد نیاز، باید معادلات مکعبی را حل کرد.

ایده این است که معادلات را به صورت A 2 =B 2 نشان دهیم که در آن A = ایکس 2+s،

تابع خطی B از ایکس. سپس حل معادلات A = ±B باقی می ماند.

برای وضوح، معادله را در نظر بگیرید: درجه 4 را جدا می کنیم، می گیریم: برای هر دبیان یک مربع کامل خواهد بود. به دو طرف معادله ای که بدست می آوریم اضافه می کنیم

در سمت چپ یک مربع کامل است، شما می توانید انتخاب کنید دبه طوری که سمت راست (2) به مربع کامل تبدیل شود. تصور کنید که ما به این مهم دست یافته ایم. سپس معادله ما به شکل زیر است:

پیدا کردن ریشه بعداً دشوار نخواهد بود. برای انتخاب درست دلازم است که ممیز سمت راست (3) از بین برود، یعنی.

بنابراین برای پیدا کردن د، حل این معادله درجه 3 ضروری است. این معادله کمکی نامیده می شود حل کننده.

ما به راحتی می توانیم ریشه عدد صحیح حلول را پیدا کنیم: d= 1

با جایگزینی معادله به (1)، به دست می آوریم

نتیجه گیری: روش فراری جهانی، اما پیچیده و دست و پا گیر است. در عین حال، اگر الگوریتم حل روشن باشد، معادلات درجه 4 را می توان با این روش حل کرد.

2.6 روش ضرایب نامشخص

موفقیت در حل معادله درجه 4 به روش فراری بستگی به این دارد که آیا حلال را حل کنیم - معادله درجه 3 که همانطور که می دانیم همیشه امکان پذیر نیست.

ماهیت روش ضرایب نامعین این است که نوع عواملی که چند جمله ای معین به آن تجزیه می شود حدس زده می شود و ضرایب این عوامل (همچنین چند جمله ای ها) با ضرب ضرایب و معادل سازی ضرایب در همان توان های ضرایب تعیین می شود. متغیر.

مثال: معادله را حل کنید:

فرض کنید سمت چپ معادله ما می تواند به دو مثلث مربع با ضرایب صحیح تجزیه شود به طوری که برابری یکسان درست باشد.

بدیهی است که ضرایب جلوی آنها باید برابر با 1 و ضرایب آزاد باید برابر با یک باشد. + 1، دیگری 1 دارد.

ضرایب روبرو ایکس. بیایید آنها را با علامت گذاری کنیم آو برای تعیین آنها، هر دو مثلثی را در سمت راست معادله ضرب می کنیم.

در نتیجه، دریافت می کنیم:

معادل سازی ضرایب در توان های یکسان ایکسدر سمت چپ و قطعات سمت راستبرابری (1)، سیستمی برای یافتن و

حل این سیستم، خواهیم داشت

بنابراین معادله ما معادل معادله است

با حل آن به ریشه های زیر می رسیم: .

روش ضرایب نامعین مبتنی بر گزاره های زیر است: هر چند جمله ای درجه چهارم در معادله را می توان به حاصل ضرب دو چند جمله ای درجه دوم تجزیه کرد. دو چند جمله ای به طور یکسان مساوی هستند اگر و تنها در صورتی که ضرایب آنها با توان های یکسان برابر باشند ایکس.

2.7 معادلات متقارن

تعریف.اگر اولین ضرایب سمت چپ معادله با اولین ضرایب سمت راست برابر باشد، معادله ای متقارن نامیده می شود.

می بینیم که اولین ضرایب سمت چپ با اولین ضرایب سمت راست برابر است.

اگر چنین معادله ای دارای درجه فرد باشد، آنگاه ریشه دارد ایکس= - 1. سپس، می توانیم درجه معادله را با تقسیم آن بر (( x+یک). معلوم می شود که هنگام تقسیم معادله متقارن بر ( x+ 1) یک معادله متقارن با درجه زوج به دست می آید. اثبات تقارن ضرایب در زیر ارائه شده است. (پیوست 6) وظیفه ما یادگیری نحوه حل معادلات متقارن با درجه زوج است.

به عنوان مثال: (1)

معادله (1) را حل می کنیم، تقسیم بر ایکس 2 (تا درجه متوسط) = 0.

اصطلاحات را با متقارن گروه بندی می کنیم

) + 3(ایکس+ . مشخص کن در= ایکس+ ، بیایید هر دو قسمت را مربع کنیم، بنابراین = در 2 پس 2( در 2 یا 2 در 2 + 3 با حل معادله، به دست می آوریم در = , در= 3. در مرحله بعد، ما به جایگزینی باز می گردیم ایکس+ = و ایکس+ = 3. معادلات را بدست می آوریم و اولی جواب ندارد و دومی دو ریشه دارد. پاسخ:.

نتیجه‌گیری: این نوع معادله معمولاً با آن مواجه نمی‌شوید، اما اگر به آن برخورد کنید، می‌توان آن را به راحتی و بدون توسل به محاسبات دست و پا گیر حل کرد.

2.8 استخراج درجه کامل

معادله را در نظر بگیرید.

سمت چپ مکعب جمع (x + 1) است، یعنی.

ریشه درجه سوم را از هر دو قسمت استخراج می کنیم: ، سپس به دست می آوریم

تنها ریشه کجاست.

نتایج مطالعه

در نتیجه کار به نتایج زیر رسیدیم:

با تشکر از تئوری مورد مطالعه، ما با روش های مختلفی برای حل کل معادلات درجات بالاتر آشنا شدیم.

استفاده از فرمول کاردانو دشوار است و احتمال خطا در محاسبه را بالا می‌دهد.

- روش L. Ferrari اجازه می دهد تا حل معادله درجه چهارم را به یک مکعب کاهش دهیم.

- قضیه بزوت را می توان هم برای معادلات مکعبی و هم برای معادلات درجه چهارم استفاده کرد. وقتی برای حل معادلات به کار می رود، قابل درک تر و گویاتر است.

طرح هورنر به کاهش قابل توجه و ساده کردن محاسبات در حل معادلات کمک می کند. طرح هورنر علاوه بر یافتن ریشه ها، محاسبه مقادیر چند جمله ای در سمت چپ معادله را آسان تر می کند.

حل معادلات با روش ضرایب نامشخص، حل معادلات متقارن، مورد توجه خاص بود.

در حین کار پژوهشیمشخص شد که دانش‌آموزان با ساده‌ترین روش‌های حل معادلات با بالاترین درجه در کلاس‌های انتخابی ریاضی، از پایه نهم یا دهم و همچنین در دوره‌های ویژه مدارس ریاضی دوره‌ای آشنا می‌شوند. این واقعیت در نتیجه نظرسنجی از معلمان ریاضیات در MBOU "دبیرستان شماره 9" و دانش آموزانی که علاقه فزاینده ای به موضوع "ریاضیات" نشان می دهند ثابت شد.

رایج ترین روش های حل معادلات درجات بالاتر که در حل المپیاد، مسائل رقابتی و در نتیجه آمادگی دانش آموزان برای امتحانات با آن مواجه می شوند، روش های مبتنی بر کاربرد قضیه بزوت، طرح هورنر و معرفی متغیر جدید است. .

نمایش نتایج کار تحقیقاتی، یعنی. راه حل معادلات که در برنامه درسی مدرسه در ریاضیات مطالعه نشده است، همکلاسی های علاقه مند.

نتیجه

با مطالعه دروس آموزشی و ادبیات علمی، منابع اینترنتی در انجمن های آموزشی جوانان

در نظر گرفتن حل معادلات با یک متغیر درجه بالاتر از متغیر دوم.

درجه معادله P(x) = 0 درجه چند جمله ای P(x) است، یعنی. بزرگ ترین توان عبارات آن با ضریب غیر صفر.

بنابراین، برای مثال، معادله (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 دارای درجه پنجم است، زیرا پس از عملیات باز کردن براکت ها و آوردن موارد مشابه، معادله معادل x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 درجه پنجم را به دست می آوریم.

قوانینی را که برای حل معادلات درجه بالاتر از دوم مورد نیاز است را به یاد بیاورید.

جملاتی در مورد ریشه های چند جمله ای و مقسوم علیه های آن:

1. چند جمله ای n امدرجه دارای تعدادی ریشه است که از عدد n تجاوز نمی کند و ریشه های تعدد m دقیقاً m برابر است.

2. یک چند جمله ای با درجه فرد حداقل یک ریشه واقعی دارد.

3. اگر α ریشه Р(х) باشد، Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x)، که در آن Q n – 1 (x) چند جمله ای درجه (n – 1) است. .

5. یک چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح نمی تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد.

6. برای چند جمله ای درجه سوم

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d یکی از دو چیز ممکن است: یا به حاصل ضرب سه دوجمله ای تجزیه می شود

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) ، یا به حاصل ضرب یک دو جمله ای و یک مثلث مربع P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. هر چند جمله ای درجه چهارم به حاصل ضرب دو مثلث مربع منبسط می شود.

8. یک چند جمله‌ای f(x) بر یک چند جمله‌ای g(x) بدون باقیمانده بخش‌پذیر است اگر چند جمله‌ای q(x) وجود داشته باشد به طوری که f(x) = g(x) q(x). برای تقسیم چندجمله ای ها قانون «تقسیم بر یک گوشه» اعمال می شود.

9. برای اینکه چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای (x – c) بخش پذیر باشد، کافی است که عدد c ریشه P(x) باشد (نتیجه قضیه بزوت).

10. قضیه ویتا: اگر x 1، x 2، ...، x n ریشه های واقعی چند جمله ای باشند.

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n، سپس برابری های زیر برقرار است:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0،

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

حل نمونه ها

مثال 1

پس از تقسیم P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 بر (x - 1/3) باقیمانده را پیدا کنید.

راه حل.

با توجه به نتیجه قضیه بزوت: "باقی مانده تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای (x - c) برابر است با مقدار چند جمله ای در c." بیایید P(1/3) = 0 را پیدا کنیم. بنابراین، باقیمانده 0 و عدد 1/3 ریشه چند جمله ای است.

پاسخ: R = 0.

مثال 2

"گوشه" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 را بر (x + 2) تقسیم کنید. باقیمانده و نصاب ناقص را بیابید.

راه حل:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

پاسخ: R = 3; ضریب: 2x2 - x.

روشهای اساسی برای حل معادلات درجات بالاتر

1. معرفی یک متغیر جدید

روش معرفی یک متغیر جدید از قبل از مثال معادلات دو درجه ای آشنا است. این شامل این واقعیت است که برای حل معادله f (x) \u003d 0، یک متغیر جدید (جایگزینی) t \u003d x n یا t \u003d g (x) معرفی می شود و f (x) از طریق t بیان می شود، به دست آوردن یک معادله جدید r (t). سپس با حل معادله r(t)، ریشه ها را پیدا کنید:

(t 1، t 2، ...، t n). پس از آن مجموعه ای از n معادله q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n به دست می آید که ریشه های معادله اصلی از آن پیدا می شود.

مثال 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

راه حل:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

جایگزینی (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. تعویض معکوس:

x 2 + x + 1 = 2 یا x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 یا x 2 + x = 0;

پاسخ: از معادله اول: x 1، 2 = (-1 ± √5) / 2، از رابطه دوم: 0 و -1.

2. فاکتورسازی به روش گروه بندی و فرمول ضرب اختصاری

بنیاد این روشهمچنین جدید نیست و شامل گروه بندی عبارات به گونه ای است که هر گروه دارای یک عامل مشترک باشد. برای این کار گاهی باید از ترفندهای مصنوعی استفاده کرد.

مثال 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

راه حل.

تصور کنید - 3x 2 = -2x 2 - x 2 و گروه:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 یا x 2 + x - 3 \u003d 0.

پاسخ: در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد، از معادله دوم: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. فاکتورسازی به روش ضرایب نامشخص

ماهیت روش این است که چند جمله ای اصلی به عواملی با ضرایب مجهول تجزیه می شود. با استفاده از خاصیت مساوی بودن چند جمله ای ها در صورتی که ضرایب آنها در توان های یکسان برابر باشد، ضرایب بسط مجهول پیدا می شود.

مثال 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

راه حل.

یک چند جمله ای درجه 3 را می توان به حاصل ضرب ضرایب خطی و مربعی تجزیه کرد.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c)،

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

حل سیستم:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1،
(b=3،
(c = 2، به عنوان مثال

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

ریشه های معادله (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 به راحتی پیدا می شود.

پاسخ 1؛ -2.

4. روش انتخاب ریشه با بالاترین و ضریب آزاد

این روش مبتنی بر کاربرد قضایای زیر است:

1) هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح مقسوم علیه جمله آزاد است.

2) برای اینکه کسر تقلیل ناپذیر p / q (p یک عدد صحیح است، q یک طبیعی است) ریشه یک معادله با ضرایب صحیح باشد، لازم است که عدد p یک مقسوم‌گیرنده صحیح از جمله آزاد a 0 باشد و q مقسوم علیه طبیعی بالاترین ضریب است.

مثال 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

راه حل:

6: q = 1، 2، 3، 6.

از این رو p/q = 1±، 2±، 1/2 ±، 1/3 ±، 2/3 ±، 1/6 ±.

با یافتن یک ریشه، به عنوان مثال - 2، ریشه های دیگری را با استفاده از تقسیم بر یک گوشه، روش ضرایب نامشخص یا طرح هورنر پیدا خواهیم کرد.

پاسخ: -2; 1/2; 1/3.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

روش های حل معادلات: n n n جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x) فاکتورسازی. معرفی یک متغیر جدید روش عملکردی - گرافیکی. انتخاب ریشه استفاده از فرمول های Vieta.

جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x). این روش تنها زمانی قابل اعمال است که y = h(x) یک تابع یکنواخت است که هر یک از مقادیر آن را یک بار می گیرد. اگر عملکرد غیر یکنواخت باشد، از دست دادن ریشه ها امکان پذیر است.

معادله (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ تابع افزایشی را حل کنید، بنابراین از معادله (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ می توانید به معادله بروید. 3 x + 2 \u003d 5 x - 9، از آنجا x \u003d 5.5 را پیدا می کنیم. پاسخ: 5.5.

فاکتورسازی معادله f(x)g(x)h(x) = 0 را می توان با مجموعه معادلات f(x) = 0 جایگزین کرد. g(x) = 0; h(x) = 0. پس از حل معادلات این مجموعه، باید آن ریشه هایی را که متعلق به حوزه تعریف معادله اصلی هستند، بگیرید و بقیه را به عنوان غیرمجاز کنار بگذارید.

معادله x³ - 7 x + 6 = 0 را حل کنید که عبارت 7 x را به صورت x + 6 x نشان می دهد، به ترتیب به دست می آوریم: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 اکنون مسئله به حل مجموعه ای از معادلات کاهش می یابد x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. پاسخ: 1، 2، - 3.

معرفی یک متغیر جدید اگر می توان معادله y(x) = 0 را به شکل p(g(x)) = 0 تبدیل کرد، باید یک متغیر جدید u = g(x معرفی کنید، معادله p(u) = 0 را حل کنید. و سپس مجموعه معادلات را حل کنید g( x) = u 1; g(x) = u2; … g(x) = un، که در آن u 1، u 2، ...، un ریشه های معادله p(u) = 0 هستند.

حل معادله یکی از ویژگی های این معادله برابری ضرایب سمت چپ آن است که از انتهای آن به یک اندازه فاصله دارد. چنین معادلاتی را متقابل می نامند. از آنجایی که 0 ریشه این معادله نیست، تقسیم بر x2 به دست می آید

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم سپس یک معادله درجه دوم بدست می آوریم بنابراین ریشه y 1 = - 1 را می توان نادیده گرفت. پاسخ را می گیریم: 2، 0، 5.

معادله 6 (x² - 4)² + 5 (x² - 4) (x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 این معادله را می توان به صورت همگن حل کرد. دو طرف معادله را بر (x2 - 7 x +12)² تقسیم کنید (مشخص است که مقادیر x به گونه ای که x² - 7 x +12=0 راه حل نیستند). حالا بیایید پاسخ We Have From Here را مشخص کنیم:

روش عملکردی - گرافیکی. اگر یکی از توابع y \u003d f (x) ، y \u003d g (x) افزایش یابد و دیگری کاهش یابد ، معادله f (x) \u003d g (x) یا ریشه ندارد یا یک ریشه دارد.

حل معادله کاملاً واضح است که x = 2 ریشه معادله است. اجازه دهید ثابت کنیم که این تنها ریشه است. معادله را به شکل تبدیل می کنیم. متوجه می شویم که تابع در حال افزایش است و تابع در حال کاهش است. بنابراین معادله فقط یک ریشه دارد. جواب: 2.

انتخاب ریشه n n n قضیه 1: اگر یک عدد صحیح m ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد، آنگاه جمله ثابت چند جمله ای بر m بخش پذیر است. قضیه 2: چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح، ریشه کسری ندارد. قضیه 3: – معادله با ضرایب اجازه دهید عدد صحیح. اگر عدد و کسری که در آن p و q اعداد صحیح هستند تقلیل ناپذیر باشد، ریشه معادله است، پس p مقسوم علیه جمله آزاد an و q مقسوم علیه ضریب در بالاترین جمله a 0 است.

قضیه بزوت. باقیمانده هنگام تقسیم هر چند جمله ای بر یک دو جمله ای (x - a) برابر است با مقدار چند جمله ای قابل تقسیم در x = a. پیامدهای قضیه بزوت n n n n اختلاف توانهای یکسان دو عدد بدون باقیمانده بر اختلاف اعداد یکسان بخش پذیر است. اختلاف توان زوجهای یکسان دو عدد بدون باقیمانده هم بر اختلاف این اعداد و هم بر مجموع آنها بخش پذیر است. اختلاف قدرت های فرد یکسان دو عدد بر مجموع این اعداد بخش پذیر نیست. مجموع توانهای مساوی دو غیرعدد بر اختلاف این اعداد بخش پذیر است. مجموع توانهای فرد یکسان دو عدد بدون باقیمانده بر مجموع این اعداد بخش پذیر است. مجموع توانهای زوج یکسان دو عدد نه بر تفاضل این اعداد و نه بر مجموع آنها بخش پذیر نیست. چند جمله ای بر دو جمله ای (x - a) بخش پذیر است اگر و فقط اگر عدد a ریشه این چند جمله ای باشد. تعداد ریشه های متمایز یک چند جمله ای غیر صفر بیشتر از درجه آن نیست.

معادله x³ - 5 x² - x + 21 = 0 را حل کنید چند جمله ای x³ - 5 x² - x + 21 دارای ضرایب صحیح است. با قضیه 1، ریشه های عدد صحیح آن، در صورت وجود، جزو مقسوم علیه های جمله آزاد هستند: ± 1، 3 ±، 7 ±، 21 ±. با بررسی، مطمئن می شویم که عدد 3 یک ریشه است. با نتیجه ای از قضیه بزوت، چند جمله ای بر (x – 3) بخش پذیر است. بنابراین، x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7). پاسخ:

معادله 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 را حل کنید طبق قضیه 1، فقط اعداد 1± می توانند ریشه های صحیح معادله باشند، بررسی نشان می دهد که این اعداد ریشه نیستند. از آنجایی که معادله کاهش نمی یابد، می تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد. بیایید آنها را پیدا کنیم. برای انجام این کار، هر دو طرف معادله را در 4 ضرب کنید: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 با جایگزینی 2 x = t، t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0 را بدست می آوریم. توسط Terem 2، تمام ریشه های منطقی این معادله کاهش یافته باید کل باشند. آنها را می توان در میان مقسوم علیه های جمله ثابت یافت: ± 1، ± 2، ± 4. در این مورد، t = - 1 مناسب است. بنابراین، چند جمله ای 2 x³ - 5 x² - x + 1 بر (x) بخش پذیر است. + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) حل معادله درجه دوم 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0، پیدا می کنیم ریشه های باقی مانده: پاسخ:

معادله 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 را حل کنید طبق قضیه 3 ریشه های گویا این معادله را باید در بین اعداد جست و جو کرد که با جایگزینی یک به یک در معادله متوجه می شویم که معادله را برآورده می کنند. آنها تمام ریشه های معادله را خسته می کنند. پاسخ:

مجموع مجذورات ریشه های معادله x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 را با قضیه Vieta توجه داشته باشید که از کجا

روش حل هر یک از این معادلات را مشخص کنید. معادلات 1، 4، 15، 17 را حل کنید.

پاسخ ها و دستورالعمل ها: 1. معرفی یک متغیر جدید. 2. روش عملکردی - گرافیکی. 3. جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x). 4. فاکتورسازی. 5. انتخاب ریشه. 6 روش کارکردی - گرافیکی. 7. کاربرد فرمول های Vieta. 8. انتخاب ریشه. 9. جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x). 10. معرفی یک متغیر جدید. 11. فاکتورسازی. 12. معرفی یک متغیر جدید. 13. انتخاب ریشه. 14. کاربرد فرمول های Vieta. 15. روش کارکردی – گرافیکی. 16. فاکتورسازی. 17. معرفی یک متغیر جدید. 18. فاکتورسازی.

1. دستورالعمل. معادله را به صورت 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x² بنویسید، هر دو طرف را بر x2 تقسیم کنید. متغیر را وارد کنید پاسخ: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7، 5. 4. نشانه. 6 y و - y را به سمت چپ معادله اضافه کنید و آن را به صورت (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2) (y² - 3 سال - هشت). پاسخ:

14. دستورالعمل. طبق قضیه ویتا از آنجایی که - اعداد صحیح هستند، پس فقط اعداد - 1، - 2، - 3 می توانند ریشه معادله باشند پاسخ: 15. پاسخ: - 1. 17. نشانه. دو طرف معادله را بر x2 تقسیم کرده و آن را به صورت متغیر وارد کنید پاسخ: 1; پانزده؛ 2 3.

کتابشناسی - فهرست کتب. n n n Kolmogorov A. N. "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10-11" (M.: Prosveshchenie، 2003). باشماکوف M. I. "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10 - 11" (M.: آموزش و پرورش، 1993). موردکوویچ A. G. "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10 - 11" (M.: Mnemozina، 2003). Alimov Sh. A.، Kolyagin Yu. M. و همکاران "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10-11" (M.: Prosveshchenie، 2000). Galitsky M. L.، Goldman A. M.، Zvavich L. I. "مجموعه مسائل در جبر، 8 - 9" (M .: آموزش و پرورش، 1997). Karp A.P. "مجموعه مسائل در جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10 - 11" (M .: آموزش، 1999). شاریگین I. F. "درس اختیاری در ریاضیات، حل مسئله، 10" (M.: آموزش و پرورش. 1989). Skopets Z. A. "فصل های اضافی در درس ریاضیات، 10" (M .: آموزش و پرورش، 1974). Litinsky G.I. "درس هایی در ریاضیات" (مسکو: اصلان، 1994). Muravin G. K. "معادلات، نابرابری ها و سیستم های آنها" (ریاضیات، ضمیمه روزنامه "اول شهریور"، شماره 2، 3، 2003). Kolyagin Yu. M. "چند جمله ای ها و معادلات درجات بالاتر" (ریاضیات، ضمیمه روزنامه "اول سپتامبر"، شماره 3، 2005).

اهداف اساسی:

برای ادغام مفهوم یک معادله منطقی عدد صحیح درجه هفتم.
روش‌های اصلی برای حل معادلات درجات بالاتر (n > 3).
برای آموزش روش های اساسی حل معادلات درجات بالاتر.
برای آموزش توسط فرم از معادله برای تعیین بیشتر روش موثرتصمیمات او

فرم ها، روش ها و تکنیک های آموزشی که توسط معلم در کلاس استفاده می شود:

سیستم آموزشی سخنرانی-سمینار (سخنرانی - توضیح مطالب جدید، سمینارها - حل مسئله).
فناوری اطلاعات و ارتباطات (نظرسنجی پیشانی، کار شفاهی با کلاس).
آموزش متمایز، فرم های گروهی و فردی.
استفاده روش تحقيقدر آموزش با هدف توسعه دستگاه ریاضی و توانایی های ذهنی هر دانش آموز.
مطالب چاپی - خلاصه ای فردی از درس (مفاهیم اساسی، فرمول ها، بیانیه ها، مطالب سخنرانی در قالب نمودارها یا جداول فشرده شده است).

طرح درس:

زمان سازماندهی
هدف از مرحله: شامل کردن دانش آموزان در فعالیت های یادگیریمحتوای درس را تعریف کنید.
به روز رسانی دانش دانش آموزان.
هدف از مرحله: به روز رسانی دانش دانش آموزان در مورد موضوعات مرتبط قبلا مطالعه شده است
مطالعه موضوع جدید(سخنرانی). هدف مرحله: تدوین روشهای اصلی برای حل معادلات درجات بالاتر (n > 3)
خلاصه کردن.
هدف مرحله: یک بار دیگر نکات کلیدی در مطالب مورد مطالعه در درس برجسته شود.
مشق شب.
هدف مرحله: تدوین مشق شببرای دانش آموزان.

خلاصه درس

1. لحظه سازمانی.

جمله بندی موضوع درس: «معادلات درجات بالاتر. روش‌هایی برای حل آنها».

2. فعلیت بخشیدن به دانش دانش آموزان.

نظرسنجی - گفتگو. تکرار برخی از اطلاعات قبلاً مطالعه شده از نظریه. دانش آموزان تعاریف اساسی را تدوین می کنند و قضایای ضروری را بیان می کنند. مثال هایی آورده شده است که سطح دانش کسب شده قبلی را نشان می دهد.

مفهوم معادله با یک متغیر.
مفهوم ریشه معادله، حل معادله.
مفهوم معادله خطیبا یک متغیر، مفهوم یک معادله درجه دوم با یک متغیر.
مفهوم هم ارزی معادلات، معادله-پیامدها (مفهوم ریشه های خارجی)، انتقال نه بر اساس پیامد (مورد از دست دادن ریشه ها).
مفهوم یک عبارت منطقی کامل با یک متغیر.
مفهوم یک معادله عقلی کامل nدرجه ام فرم استاندارد یک معادله منطقی کامل. عدد صحیح کاهش یافته معادله منطقی.
انتقال به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر با فاکتورگیری معادله اصلی.
مفهوم چند جمله ای nدرجه ام از ایکس. قضیه بزوت. پیامدهای قضیه بزوت. قضایای ریشه ( ز-ریشه و س-ریشه ها) یک معادله گویا با ضرایب صحیح (به ترتیب کاهش یافته و غیرکاهش شده).
طرح هورنر

3. یادگیری یک موضوع جدید.

ما کل معادله عقلی را در نظر خواهیم گرفت nتوان هفتم فرم استاندارد با یک متغیر مجهول x:Pn(x)= 0، کجا P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- چند جمله ای nدرجه ام از ایکس, آ n ≠ 0 . اگر یک آ n = 1 پس چنین معادله ای معادله کل گویا کاهش یافته نامیده می شود nدرجه ام اجازه دهید چنین معادلاتی را برای ارزش های مختلف nو روشهای اصلی حل آنها را فهرست کنید.

n= 1 یک معادله خطی است.

n= 2 یک معادله درجه دوم است.فرمول تشخیصی فرمول محاسبه ریشه قضیه ویتا انتخاب یک مربع کامل

n= 3 یک معادله مکعبی است.

روش گروه بندی

مثال: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 ایکس 1 = 4 , x2 = 1,ایکس 3 = -1.

معادله مکعب متقابل فرم تبر 3 + bx 2 + bx + آ= 0. ما با ترکیب عبارت با ضرایب یکسان حل می کنیم.

مثال: ایکس 3 – 5ایکس 2 – 5ایکس + 1 = 0 (ایکس + 1)(ایکس 2 – 6ایکس + 1) = 0 ایکس 1 = -1, ایکس 2 = 3 + 2, ایکس 3 = 3 – 2.

انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام استفاده از این روش، لازم است تأکید شود که شمارش در این مورد محدود است و ریشه ها را مطابق با یک الگوریتم مشخص مطابق با قضیه روی انتخاب می کنیم. ز-ریشه های معادله کل منطقی کاهش یافته با ضرایب عدد صحیح.

مثال: ایکس 3 – 9ایکس 2 + 23ایکس– 15 = 0. معادله کاهش می یابد. مقسوم علیه های عبارت آزاد را می نویسیم ( + 1; + 3; + 5; + پانزده). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

	ایکس 3	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0	نتیجه
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 × 15 - 15 = 0	1 - ریشه
	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0

ما گرفتیم ( ایکس – 1)(ایکس 2 – 8ایکس + 15) = 0 ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 3, ایکس 3 = 5.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب ریشه های Q بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام استفاده از این روش، لازم است تاکید شود که شمارش در این حالت محدود است و ریشه ها را طبق یک الگوریتم مشخص مطابق با قضیه روی انتخاب می کنیم. س-ریشه های یک معادله کل گویا کاهش نیافته با ضرایب صحیح.

مثال: 9 ایکس 3 + 27ایکس 2 – ایکس– 3 = 0. معادله کاهش نمی یابد. مقسوم علیه های عبارت آزاد را می نویسیم ( + 1; + 3). اجازه دهید مقسوم علیه ضریب را در بالاترین توان مجهول بنویسیم. ( + 1; + 3; + 9) بنابراین، ما به دنبال ریشه در میان مقادیر ( + 1; + ; + ; + 3). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

	ایکس 3	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0	نتیجه
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 ریشه نیست
-1	9	-1 × 9 + 27 = 18	-1 x 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 ریشه نیست
	9	x9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	ریشه
	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0

ما گرفتیم ( ایکس – )(9ایکس 2 + 30ایکس + 9) = 0 ایکس 1 = , ایکس 2 = - , ایکس 3 = -3.

برای راحتی محاسبه هنگام انتخاب Q -ریشه هامی تواند راحت باشد که متغیر را تغییر دهید، به معادله بالا بروید و Z را تنظیم کنید -ریشه ها.

اگر فاصله 1 باشد

.

در صورت امکان از جایگزینی فرم استفاده کنید y=kx

.

فرمول کاردانو وجود دارد روش جهانیحل معادلات مکعب فرمول کاردانو است. این فرمول با نام های ریاضیدانان ایتالیایی جرولامو کاردانو (1501-1576)، نیکولو تارتالیا (1500-1557)، اسکیپیو دل فرو (1465-1526) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده دوره ما قرار دارد.

n= 4 معادله درجه چهارم است.

روش گروه بندی

مثال: ایکس 4 + 2ایکس 3 + 5ایکس 2 + 4ایکس – 12 = 0 (ایکس 4 + 2ایکس 3) + (5ایکس 2 + 10ایکس) – (6ایکس + 12) = 0 (ایکس + 2)(ایکس 3 + 5ایکس- 6) = 0 (ایکس + 2)(ایکس– 1)(ایکس 2 + ایکس + 6) = 0 ایکس 1 = -2, ایکس 2 = 1.

روش جایگزینی متغیر

معادله دو درجه ای فرم تبر 4 + bx 2+s = 0 .

مثال: ایکس 4 + 5ایکس 2 - 36 = 0. تعویض y = ایکس 2. از اینجا y 1 = 4, y 2 = -9. از همین رو ایکس 1,2 = + 2 .

معادله متقابل درجه چهارم فرم تبر 4 + bx 3+c ایکس 2 + bx + آ = 0.

ما با ترکیب عبارت با ضرایب مشابه با جایگزین کردن فرم حل می کنیم

تبر 4 + bx 3 + cx 2 – bx + آ = 0.

معادله معکوس تعمیم یافته درجه چهارم فرم تبر 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

تعویض کلی چند تعویض استاندارد

مثال 3 . تعویض نمای کلی(از شکل یک معادله خاص به دست می آید).

n = 3.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب Q-roots n = 3.

فرمول کلی یک روش جهانی برای حل معادلات درجه چهارم وجود دارد. این فرمول با نام لودویکو فراری (1522-1565) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده دوره ما قرار دارد.

n > 5- معادلات درجات پنجم و بالاتر.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر الگوریتم مشابه الگوریتمی است که در بالا توضیح داده شد n = 3.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب Q-rootsبر اساس قضیه طرح هورنر الگوریتم مشابه الگوریتمی است که در بالا توضیح داده شد n = 3.

معادلات متقارن هر معادله متقابلی با درجه فرد ریشه دارد ایکس= -1 و پس از تجزیه آن به عوامل، به این نتیجه می رسیم که یک عامل دارای شکل ( ایکس+ 1) و عامل دوم یک معادله متقابل با درجه زوج است (درجه آن یک درجه کمتر از درجه معادله اصلی است). هر معادله متقابلی با درجه زوج همراه با یک ریشه شکل x = φهمچنین حاوی ریشه فرم است. با استفاده از این عبارات، با کاهش درجه معادله مورد مطالعه، مشکل را حل می کنیم.

روش جایگزینی متغیر استفاده از همگنی

هیچ فرمول کلی برای حل کامل معادلات درجه پنجم (این توسط ریاضیدان ایتالیایی پائولو روفینی (1765-1822) و ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1802-1829) نشان داده شد) و قدرت های بالاتر (این را فرانسوی ها نشان دادند) وجود ندارد. ریاضیدان Evariste Galois (1811-1832)).

دوباره به یاد بیاورید که در عمل امکان استفاده وجود دارد ترکیباتروش های ذکر شده در بالا راحت است که به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر منتقل شود فاکتورسازی معادله اصلی.
خارج از محدوده بحث امروز ما، به طور گسترده در عمل استفاده می شود روش های گرافیکیحل معادلات و روش های حل تقریبیمعادلات درجات بالاتر

شرایطی وجود دارد که معادله ریشه R ندارد.

ایکس

استفاده از خاصیت یکنواختی توابع

ایکس

4. جمع بندی.

خلاصه: اکنون ما بر روش های اساسی برای حل معادلات مختلف درجات بالاتر (برای n) مسلط شده ایم. > 3). وظیفه ما یادگیری نحوه استفاده موثر از الگوریتم های بالا است. بسته به نوع معادله، ما باید بیاموزیم که چگونه تعیین کنیم کدام روش حل در این مورد مؤثرتر است و همچنین روش انتخابی را به درستی اعمال کنیم.

5. تکالیف.

: مورد 7، ص 164-174، شماره های 33-36، 39-44، 46،47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

موضوعات احتمالی گزارش یا چکیده در این موضوع:

فرمول کاردانو
روش گرافیکی برای حل معادلات. نمونه های راه حل
روش های حل تقریبی معادلات

تجزیه و تحلیل جذب مطالب و علاقه دانش آموزان به موضوع:

تجربه نشان می دهد که علاقه دانش آموزان در وهله اول امکان انتخاب است ز-ریشه و س-ریشه معادلات با استفاده از یک الگوریتم نسبتاً ساده با استفاده از طرح هورنر. دانش آموزان همچنین به انواع استاندارد جایگزینی متغیر علاقه مند هستند که می تواند به طور قابل توجهی نوع مسئله را ساده کند. روش های گرافیکی حل معمولاً مورد توجه خاص هستند. در این مورد، می توانید وظایف را به یک روش گرافیکی برای حل معادلات تجزیه کنید. بحث و گفتگو فرم کلیگرافیک برای یک چند جمله ای 3، 4، 5 درجه. بررسی کنید که چگونه تعداد ریشه های معادلات 3، 4، 5 درجه با نوع نمودار مربوطه مرتبط است. در زیر فهرستی از کتاب ها آمده است که در آن می توانید اطلاعات بیشتری در مورد این موضوع پیدا کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

ویلنکین N.Ya.و غیره «جبر. کتاب درسی برای دانش آموزان کلاس 9 با مطالعه عمیق ریاضیات "- M., Education, 2007 - 367 p.
Vilenkin N.Ya.، Shibasov L.P.، Shibasova Z.F.«پشت صفحات کتاب ریاضی. حسابی. جبر. کلاس های 10-11” – M., Enlightenment, 2008 – 192 p.
ویگودسکی ام.یا."راهنمای ریاضیات" - M., AST, 2010 - 1055 p.
گالیتسکی ام.ال.«مجموعه مسائل جبر. آموزشبرای کلاس های 8-9 با مطالعه عمیق ریاضیات "- M.، آموزش و پرورش، 2008 - 301 p.
زواویچ ال.آی.و همکاران «جبر و آغاز تحلیل. 8-11 سلول کتابچه راهنمای مدارس و کلاس ها با مطالعه عمیق ریاضیات "- M., Drofa, 1999 - 352 p.
Zvavich L.I.، Averyanov D.I.، Pigarev B.P.، Trushanina T.N."تکالیف در ریاضیات برای آماده شدن برای امتحان کتبی در کلاس 9" - M.، آموزش و پرورش، 2007 - 112 ص.
ایوانف A.A., Ivanov A.P."آزمون های موضوعی برای سیستم سازی دانش در ریاضیات" قسمت 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
ایوانف A.A., Ivanov A.P."آزمون های موضوعی برای سیستم سازی دانش در ریاضیات" قسمت 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
ایوانف A.P."تست ها و اوراق تستریاضیات آموزش". - م.، فیزمتکنگا، 1387 - 304 ص.
لیبسون K.L.«مجموعه کارهای عملی در ریاضیات. بخش 2-9 کلاس” – M., MTsNMO, 2009 – 184 p.
Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G."جبر. فصل های اضافی برای کتاب درسی مدرسهدرجه 9 کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضیات. - م.، آموزش و پرورش، 1385 - 224 ص.
موردکوویچ A.G."جبر. مطالعه عمیق. کلاس هشتم. کتاب درسی – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
ساوین A.P. “فرهنگ لغت دایره المعارفیریاضیدان جوان» – M., Pedagogy, 1985 – 352 p.
Survillo G.S.، Simonov A.S. “مواد آموزشیدر جبر برای کلاس نهم با مطالعه عمیق ریاضیات» – M., Enlightenment, 2006 – 95 p.
چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. Lectures 1-4” – M., First of September, 2006 – 88 p.
چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. Lectures 5-8” – M., First of September, 2009 – 84 p.