موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

آکادمی کشاورزی"

گروه ریاضیات عالی

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

خلاصه سخنرانی برای دانشجویان حسابداری

فرم مکاتبه آموزش (NISPO)

گورکی، 2013

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

مفهوم معادله دیفرانسیل. راه حل های کلی و خاص

هنگام مطالعه پدیده های مختلف، اغلب نمی توان قانونی پیدا کرد که به طور مستقیم متغیر مستقل و تابع مورد نظر را به هم متصل کند، اما می توان بین تابع مورد نظر و مشتقات آن ارتباط برقرار کرد.

رابطه اتصال متغیر مستقل، تابع مورد نظر و مشتقات آن نامیده می شود معادله دیفرانسیل :

اینجا ایکسیک متغیر مستقل است، yتابع مورد نظر است،
- مشتقات تابع مورد نظر. در عین حال، رابطه (1) مستلزم وجود حداقل یک مشتق است.

ترتیب معادله دیفرانسیل ترتیب بالاترین مشتق در معادله است.

معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید

. (2)

از آنجایی که این معادله مشتقی از مرتبه اول را شامل می شود، پس فراخوانی می شود یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است.

اگر می توان معادله (2) را با توجه به مشتق حل کرد و به صورت زیر نوشت

, (3)

آنگاه چنین معادله ای معادله دیفرانسیل مرتبه اول به شکل عادی نامیده می شود.

در بسیاری از موارد به مصلحت است که معادله ای از فرم را در نظر بگیریم

که نامیده می شود یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول که به شکل دیفرانسیل نوشته شده است.

زیرا
، سپس معادله (3) را می توان به صورت نوشتاری نوشت
یا
، جایی که می توان حساب کرد
و
. یعنی معادله (3) به معادله (4) تبدیل شده است.

معادله (4) را به شکل می نویسیم
. سپس
,
,
، جایی که می توان حساب کرد
، یعنی معادله ای از فرم (3) به دست می آید. بنابراین، معادلات (3) و (4) معادل هستند.

با حل معادله دیفرانسیل (2) یا (3) هر تابعی فراخوانی می شود
، که با جایگزین کردن آن به معادله (2) یا (3)، آن را به یک هویت تبدیل می کند:

یا
.

فرآیند یافتن تمام جواب های یک معادله دیفرانسیل را آن می نامند ادغام و نمودار حل
معادله دیفرانسیل نامیده می شود منحنی انتگرال این معادله

اگر حل معادله دیفرانسیل به صورت ضمنی به دست آید
، سپس نامیده می شود انتگرال معادله دیفرانسیل داده شده

راه حل کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول خانواده ای از توابع شکل است
بسته به یک ثابت دلخواه از جانبکه هر کدام حل معادله دیفرانسیل داده شده برای هر مقدار قابل قبول یک ثابت دلخواه است. از جانب. بنابراین معادله دیفرانسیل دارای بی نهایت جواب است.

تصمیم خصوصی معادله دیفرانسیل به حلی گفته می شود که از فرمول حل کلی برای مقدار مشخصی از یک ثابت دلخواه بدست می آید از جانب، شامل
.

مسئله کوشی و تفسیر هندسی آن

معادله (2) بی نهایت جواب دارد. برای جدا کردن یک راه حل از این مجموعه که راه حل خاص نامیده می شود، باید شرایط اضافی مشخص شود.

مسئله یافتن راه حل خاص برای معادله (2) در شرایط معین نامیده می شود مشکل کوشی . این مسئله یکی از مهمترین مسائل در نظریه معادلات دیفرانسیل است.

مسئله کوشی به صورت زیر فرموله شده است: در بین تمام جواب های معادله (2) چنین جوابی را بیابید
، که در آن تابع
مقدار عددی داده شده را می گیرد اگر متغیر مستقل ایکس مقدار عددی داده شده را می گیرد ، یعنی

,
, (5)

جایی که دیدامنه تابع است
.

معنی تماس گرفت مقدار اولیه تابع ، آ – مقدار اولیه متغیر مستقل . شرط (5) نامیده می شود شرایط آغازین یا حالت کوشی .

از دیدگاه هندسی، مسئله کوشی برای معادله دیفرانسیل (2) را می توان به صورت زیر فرموله کرد: از مجموعه منحنی های انتگرال معادله (2) منحنی را انتخاب کنید که از یک نقطه معین می گذرد
.

معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

یکی از ساده ترین انواع معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که تابع مورد نظر را ندارد:

. (6)

با توجه به اینکه
، معادله را به شکل می نویسیم
یا
. با ادغام هر دو طرف آخرین معادله، به دست می آوریم:
یا

. (7)

بنابراین، (7) یک راه حل کلی برای معادله (6) است.

مثال 1 . جواب کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
.

راه حل . معادله را به شکل می نویسیم
یا
. ما هر دو بخش از معادله حاصل را ادغام می کنیم:
,
. بلاخره بنویسیم
.

مثال 2 . راه حل معادله را پیدا کنید
به شرط
.

راه حل . بیایید جواب کلی معادله را پیدا کنیم:
,
,
,
. با شرط
,
. جایگزین راه حل کلی:
یا
. مقدار یافت شده یک ثابت دلخواه را با فرمول حل کلی جایگزین می کنیم:
. این راه حل خاص معادله دیفرانسیل است که شرایط داده شده را برآورده می کند.

معادله

(8)

تماس گرفت یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول که حاوی متغیر مستقل نیست . ما آن را در فرم می نویسیم
یا
. ما هر دو بخش از آخرین معادله را ادغام می کنیم:
یا
- حل کلی معادله (8).

مثال . یک جواب کلی برای معادله پیدا کنید
.

راه حل . این معادله را به شکل زیر می نویسیم:
یا
. سپس
,
,
,
. به این ترتیب،
جواب کلی این معادله است.

معادله نوع

(9)

با استفاده از جداسازی متغیرها یکپارچه شده است. برای این کار معادله را در فرم می نویسیم
و سپس با استفاده از عملیات ضرب و تقسیم آن را به شکلی در می آوریم که یک قسمت فقط شامل تابع ایکسو دیفرانسیل dx، و در قسمت دوم - تابعی از درو دیفرانسیل دو. برای این کار باید هر دو طرف معادله را در ضرب کرد dxو تقسیم بر
. در نتیجه معادله را بدست می آوریم

, (10)

که در آن متغیرها ایکسو درجدا از هم. ما هر دو بخش از معادله (10) را ادغام می کنیم:
. رابطه حاصل انتگرال کلی معادله (9) است.

مثال 3 . معادله را یکپارچه کنید
.

راه حل . معادله را تبدیل کنید و متغیرها را جدا کنید:
,
. بیایید ادغام کنیم:
,
یا انتگرال کلی این معادله است.
.

اجازه دهید معادله به شکل داده شود

چنین معادله ای نامیده می شود معادله دیفرانسیل مرتبه اول با متغیرهای قابل تفکیک به شکل متقارن

برای جدا کردن متغیرها، باید دو طرف معادله را بر تقسیم کنید
:

. (12)

معادله به دست آمده نامیده می شود معادله دیفرانسیل جدا شده . ما معادله (12) را ادغام می کنیم:

.(13)

رابطه (13) یک انتگرال کلی از معادله دیفرانسیل (11) است.

مثال 4 . معادله دیفرانسیل را ادغام کنید.

راه حل . معادله را به شکل می نویسیم

و هر دو قسمت را به دو قسمت تقسیم کنید
,
. معادله حاصل:
یک معادله متغیر جدا شده است. بیایید آن را ادغام کنیم:

,
,

,
. آخرین برابری انتگرال کلی معادله دیفرانسیل داده شده است.

مثال 5 . یک جواب خاص برای یک معادله دیفرانسیل پیدا کنید
، ارضای شرط
.

راه حل . با توجه به اینکه
، معادله را به شکل می نویسیم
یا
. بیایید متغیرها را از هم جدا کنیم:
. بیایید این معادله را ادغام کنیم:
,
,
. رابطه حاصل انتگرال کلی این معادله است. با شرط
. جایگزین انتگرال عمومی کنید و پیدا کنید از جانب:
,از جانب=1. سپس بیان
یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل داده شده است که به عنوان یک انتگرال خاص نوشته شده است.

خطی معادلات دیفرانسیلسفارش اول

معادله

(14)

تماس گرفت معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول . تابع ناشناخته
و مشتق آن به صورت خطی وارد این معادله می شود و توابع
و
مداوم.

اگر یک
، سپس معادله

(15)

تماس گرفت همگن خطی . اگر یک
، سپس معادله (14) فراخوانی می شود خطی ناهمگن .

برای یافتن راه حل معادله (14)، معمولاً استفاده می شود روش جایگزینی (برنولی) ، که ماهیت آن به شرح زیر است.

حل معادله (14) را به صورت حاصل ضرب دو تابع جستجو می کنیم

, (16)

جایی که
و
- برخی از توابع پیوسته جایگزین
و مشتق
در معادله (14):

عملکرد vبه گونه ای انتخاب خواهد شد که شرط
. سپس
. بنابراین برای یافتن جواب معادله (14) باید سیستم معادلات دیفرانسیل را حل کرد

اولین معادله سیستم یک معادله خطی همگن است و با روش جداسازی متغیرها قابل حل است:
,
,
,
,
. به عنوان یک ویژگی
می توان یکی از راه حل های خاص معادله همگن را انتخاب کرد، یعنی. در از جانب=1:
. معادله دوم سیستم را جایگزین کنید:
یا
.سپس
. بنابراین، حل کلی یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول شکل دارد
.

مثال 6 . معادله را حل کنید
.

راه حل . حل معادله را در فرم جستجو می کنیم
. سپس
. در معادله جایگزین کنید:

یا
. عملکرد vبه گونه ای انتخاب کنید که برابری
. سپس
. اولین مورد از این معادلات را با روش جداسازی متغیرها حل می کنیم:
,
,
,
,. عملکرد vمعادله دوم را جایگزین کنید:
,
,
,
. راه حل کلی این معادله است
.

سوالاتی برای خودکنترلی دانش

معادله دیفرانسیل چیست؟

ترتیب معادله دیفرانسیل چگونه است؟

کدام معادله دیفرانسیل را معادله دیفرانسیل مرتبه اول می نامند؟

چگونه یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول به صورت دیفرانسیل نوشته می شود؟

جواب یک معادله دیفرانسیل چیست؟

منحنی انتگرال چیست؟

جواب کلی معادله دیفرانسیل مرتبه اول چیست؟

راه حل خاص یک معادله دیفرانسیل چیست؟

چگونه مسئله کوشی برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول فرموله می شود؟

تفسیر هندسی مسئله کوشی چیست؟

چگونه یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک به صورت متقارن نوشته می شود؟

کدام معادله را معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول می نامند؟

برای حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول از چه روشی می توان استفاده کرد و ماهیت این روش چیست؟

وظایف برای کار مستقل

حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک:

آ)
; ب)
;

که در)
; ز)
.

2. حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول:

آ)
; ب)
; که در)
;

ز)
; ه)
.

مشکلی را که هنگام یافتن انتگرال های معین با آن مواجه شدیم به یاد بیاورید:

یا dy = f(x)dx. راه حل او:

و به محاسبه یک انتگرال نامعین تقلیل می یابد. در عمل، یک کار دشوارتر رایج تر است: پیدا کردن یک تابع y، اگر معلوم باشد که رابطه ای از فرم را برآورده می کند

این رابطه به متغیر مستقل مربوط می شود ایکس، تابع ناشناخته yو مشتقات آن به ترتیب nفراگیر، نامیده می شوند .

یک معادله دیفرانسیل شامل یک تابع تحت علامت مشتقات (یا دیفرانسیل) از یک مرتبه یا دیگری است. ترتیب بالاترین مرتبه (9.1) نامیده می شود. .

معادلات دیفرانسیل:

- سفارش اول

مرتبه دوم،

- مرتبه پنجم و غیره

تابعی که معادله دیفرانسیل معین را برآورده کند، جواب آن نامیده می شود , یا انتگرال . حل آن یعنی یافتن همه راه حل های آن. اگر برای عملکرد مورد نظر yموفق به بدست آوردن فرمولی که همه راه حل ها را می دهد، می گوییم که راه حل کلی آن را پیدا کرده ایم , یا انتگرال کلی .

تصمیم مشترک شامل nثابت های دلخواه و به نظر می رسد

اگر رابطه ای حاصل شود که مربوط می شود x، yو nثابت های دلخواه، به شکلی که با توجه به آن مجاز نیست y -

پس چنین رابطه ای را انتگرال کلی معادله (9.1) می نامند.

مشکل کوشی

هر جواب خاص، یعنی هر تابع خاصی که معادله دیفرانسیل معینی را برآورده می کند و به ثابت های دلخواه وابسته نیست، یک جواب خاص نامیده می شود. , یا انتگرال خصوصی برای به دست آوردن راه حل های خاص (انتگرال) از راه حل های عمومی، لازم است مقادیر عددی خاصی را به ثابت ها متصل کنید.

نمودار یک راه حل خاص را منحنی انتگرال می گویند. راه حل کلی که شامل تمام راه حل های خاص است، خانواده ای از منحنی های انتگرال است. برای یک معادله مرتبه اول، این خانواده به یک ثابت دلخواه بستگی دارد؛ برای معادله nمرتبه - از nثابت های دلخواه

مسئله کوشی یافتن یک راه حل خاص برای معادله است nمرتبه، رضایت بخش nشرایط اولیه:

که n ثابت س 1 , с 2 ,..., c n را تعیین می کند.

معادلات دیفرانسیل مرتبه 1

برای حل نشده با توجه به مشتق، معادله دیفرانسیل مرتبه 1 شکل دارد

یا برای مجاز نسبتا

مثال 3.46. یک جواب کلی برای معادله پیدا کنید

راه حل.یکپارچه سازی، می گیریم

که در آن C یک ثابت دلخواه است. اگر به C مقادیر عددی خاص بدهیم، آنگاه راه حل های خاصی به دست می آوریم، به عنوان مثال،

مثال 3.47. مقدار فزاینده ای از پول سپرده شده در بانک را در نظر بگیرید، مشروط به انباشت 100 r بهره مرکب در سال بگذارید Yo مقدار اولیه پول و Yx بعد از انقضا باشد ایکسسال ها. وقتی سود سالی یک بار محاسبه می شود، می گیریم

که در آن x = 0، 1، 2، 3، .... هنگامی که سود دو بار در سال محاسبه می شود، دریافت می کنیم

که در آن x = 0، 1/2، 1، 3/2، .... هنگام محاسبه بهره nیک بار در سال و اگر xبه طور متوالی مقادیر 0، 1/n، 2/n، 3/n،... را می گیرد، سپس

1/n = h را نشان می دهیم، سپس تساوی قبلی به صورت زیر خواهد بود:

با بزرگنمایی نامحدود n(در ) در حد به روند افزایش مقدار پول با اقلام تعهدی بهره مستمر می رسیم:

بنابراین، می توان دریافت که با یک تغییر مداوم ایکسقانون تغییر در عرضه پول با یک معادله دیفرانسیل مرتبه 1 بیان می شود. جایی که Y x یک تابع مجهول است، ایکس- متغیر مستقل، r- مقدار ثابت. ما این معادله را حل می کنیم، برای این کار آن را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

جایی که ، یا ، جایی که P مخفف e C است.

از شرایط اولیه Y(0) = Yo، P را پیدا می کنیم: Yo = Pe o، از آنجا، Yo = P. بنابراین، راه حل به نظر می رسد:

مشکل دوم اقتصادی را در نظر بگیرید. مدل‌های اقتصاد کلان نیز با معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه 1 توصیف می‌شوند و تغییر در درآمد یا خروجی Y را به عنوان تابعی از زمان توصیف می‌کنند.

مثال 3.48. بگذارید درآمد ملی Y با نرخی متناسب با اندازه آن افزایش یابد:

و بگذارید، کسری مخارج دولت با ضریب تناسب مستقیماً با درآمد Y متناسب باشد q. کسری مخارج منجر به افزایش بدهی ملی می شود D:

شرایط اولیه Y = Yo و D = Do در t = 0. از معادله اول Y = Yoe kt . با جایگزینی Y، dD/dt = qYoe kt را دریافت می کنیم. راه حل کلی شکل دارد
D = (q/k) Yoe kt + С، که در آن С = const، که از شرایط اولیه تعیین می شود. با جایگزینی شرایط اولیه، Do = (q/k)Yo + C را بدست می آوریم. بنابراین، در نهایت،

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1)،

این نشان می دهد که بدهی ملی با همین میزان افزایش می یابد سرعت نسبی ک، که درآمد ملی است.

ساده ترین معادلات دیفرانسیل را در نظر بگیرید nترتیب، اینها معادلات فرم هستند

راه حل کلی آن را می توان با استفاده از nزمان ادغام

مثال 3.49.مثال y """ = cos x را در نظر بگیرید.

راه حل.یکپارچه سازی، ما پیدا می کنیم

راه حل کلی شکل دارد

معادلات دیفرانسیل خطی

در علم اقتصاد کاربرد زیادی دارند، حل چنین معادلاتی را در نظر بگیرید. اگر (9.1) شکل زیر را داشته باشد:

سپس خطی نامیده می شود، که در آن توابع po(x)، p1(x)،...، pn(x)، f(x) داده می شود. اگر f(x) = 0 باشد، (9.2) همگن و در غیر این صورت ناهمگن نامیده می شود. جواب کلی معادله (9.2) برابر است با مجموع هر یک از جواب های خاص آن y(x)و حل کلی معادله همگن مربوط به آن:

اگر ضرایب p o (x)، p 1 (x)،...، p n (x) ثابت باشند، (9.2)

(9.4) معادله دیفرانسیل خطی با نامیده می شود ضرایب ثابتسفارش n .

برای (9.4) به شکل زیر است:

می توانیم بدون از دست دادن عمومیت p o = 1 را تنظیم کنیم و (9.5) را در فرم بنویسیم

ما به دنبال راه حل (9.6) به شکل y = e kx خواهیم بود که k یک ثابت است. ما داریم: ؛ y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . عبارات به دست آمده را با (9.6) جایگزین کنید، خواهیم داشت:

(9.7) یک معادله جبری است، مجهول آن است ک، مشخصه نامیده می شود. معادله مشخصه دارای درجه است nو nریشه هایی که در میان آنها می تواند چندگانه و پیچیده باشد. بگذارید k 1 , k 2 ,..., k n واقعی و متمایز باشد، پس راه حل های خاص (9.7)، در حالی که عمومی هستند

معادله دیفرانسیل همگن خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت را در نظر بگیرید:

معادله مشخصه آن شکل دارد

(9.9)

متمایز آن D = p 2 - 4q، بسته به علامت D، سه مورد ممکن است.

1. اگر D>0 باشد، ریشه های k 1 و k 2 (9.9) واقعی و متفاوت هستند و جواب کلی به شکل زیر است:

راه حل.معادله مشخصه: k 2 + 9 = 0، از آنجا k = ± 3i، a = 0، b = 3، راه حل کلی است:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم برای مطالعه یک مدل اقتصادی وب مانند با سهام کالاها استفاده می شود، که در آن نرخ تغییر قیمت P به اندازه سهام بستگی دارد (بند 10 را ببینید). اگر عرضه و تقاضا تابع خطی قیمت باشند، یعنی

الف - ثابتی است که نرخ واکنش را تعیین می کند، سپس فرآیند تغییر قیمت با یک معادله دیفرانسیل توصیف می شود:

برای یک راه حل خاص، می توانید یک ثابت بگیرید

که به معنای قیمت تعادلی است. انحراف معادله همگن را برآورده می کند

(9.10)

معادله مشخصه به صورت زیر خواهد بود:

در صورت مثبت بودن عبارت. مشخص کن . ریشه ها معادله مشخصه k 1,2 = ± i w، بنابراین راه حل کلی (9.10) به شکل زیر است:

که در آن C و ثابت های دلخواه، از شرایط اولیه تعیین می شوند. ما قانون تغییر قیمت در زمان را به دست آورده ایم:

معادله دیفرانسیل خود را وارد کنید، از آپستروف """ برای وارد کردن مشتق استفاده می شود، ارسال را فشار دهید و راه حل را دریافت کنید.

معادلات دیفرانسیل مرتبه اول نمونه های راه حل
معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک

معادلات دیفرانسیل (DE). این دو کلمه معمولاً افراد عادی را به وحشت می اندازند. به نظر می رسد معادلات دیفرانسیل برای بسیاری از دانش آموزان چیزی ظالمانه و دشوار است. اووووو... معادلات دیفرانسیل، چطور از این همه جان سالم به در ببرم؟!

چنین نظری و چنین نگرشی اساساً اشتباه است، زیرا در واقع معادلات دیفرانسیل ساده و حتی سرگرم کننده هستند. برای حل معادلات دیفرانسیل چه چیزهایی را باید بدانید و بتوانید یاد بگیرید؟ برای مطالعه موفقشما باید در ادغام و تمایز خوب باشید. هر چه موضوعات بهتر مطالعه شوند مشتق تابع یک متغیرو انتگرال نامعین، درک معادلات دیفرانسیل آسان تر خواهد بود. من بیشتر می گویم، اگر مهارت های یکپارچه سازی کم و بیش مناسبی دارید، پس موضوع عملا تسلط دارد! هرچه انتگرال های بیشتری از انواع مختلف را بتوانید حل کنید، بهتر است. چرا؟ شما باید خیلی ادغام کنید. و متمایز کند. همچنین به شدت توصیه می شودپیدا کردن را یاد بگیر

در 95 درصد موارد در کار کنترل 3 نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول وجود دارد: معادلات متغیر قابل تفکیک، که در این درس به آن می پردازیم; معادلات همگنو معادلات ناهمگن خطی. برای مبتدیان برای مطالعه دیفیوزرها، به شما توصیه می کنم که درس های این دنباله را بخوانید و پس از مطالعه دو مقاله اول، تثبیت مهارت های خود در یک کارگاه اضافی ضرری ندارد - معادلاتی که به همگن کاهش می یابند.

حتی انواع نادری از معادلات دیفرانسیل وجود دارد: معادلات در دیفرانسیل کل، معادلات برنولی، و برخی دیگر. مهمترین دو نوع آخر معادلات در دیفرانسیل های کل، از آنجایی که علاوه بر این DE در نظر دارم مواد جدید – ادغام جزئی.

اگر فقط یک یا دو روز فرصت دارید، سپس برای آماده سازی فوق العاده سریعوجود دارد دوره رعد اسادر قالب pdf

بنابراین، نشانه ها تنظیم شده اند - بیایید برویم:

اجازه دهید ابتدا معادلات جبری معمول را یادآوری کنیم. آنها حاوی متغیرها و اعداد هستند. ساده ترین مثال: . حل یک معادله معمولی به چه معناست؟ این یعنی پیدا کردن مجموعه ای از اعدادکه این معادله را برآورده می کند. به راحتی می توان فهمید که معادله کودکان یک ریشه دارد: . برای سرگرمی، بیایید بررسی کنیم، ریشه یافت شده را در معادله خود جایگزین کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، یعنی راه حل به درستی پیدا شده است.

دیفوراها تقریباً به همین ترتیب چیده شده اند!

معادله دیفرانسیل سفارش اولکه در مورد کلی شامل:
1) متغیر مستقل؛
2) متغیر وابسته (تابع)؛
3) اولین مشتق تابع: .

در برخی از معادلات مرتبه 1، ممکن است "x" یا (و) "y" وجود نداشته باشد، اما این ضروری نیست - مهمبه طوری که در DU بودمشتق اول، و نداشتمشتقات مرتبه بالاتر - و غیره

یعنی چی؟حل معادله دیفرانسیل یعنی پیدا کردن مجموعه ای از تمام توابعکه این معادله را برآورده می کند. چنین مجموعه ای از توابع اغلب دارای شکل ( یک ثابت دلخواه است) است که نامیده می شود حل کلی معادله دیفرانسیل.

مثال 1

حل معادله دیفرانسیل

مهمات کامل از کجا شروع کنیم راه حل?

اول از همه، شما باید مشتق را به شکل کمی متفاوت بازنویسی کنید. ما نماد دست و پا گیر را به یاد می آوریم، که احتمالاً بسیاری از شما فکر می کنید مضحک و غیر ضروری است. این است که در دیفیوزرها حاکم است!

در مرحله دوم ببینیم امکانش هست یا نه متغیرهای تقسیم؟تفکیک متغیرها به چه معناست؟ به طور کلی، در سمت چپما باید ترک کنیم فقط "بازی"، آ در سمت راستسازمان دادن فقط x ها. جداسازی متغیرها با کمک دستکاری های "مدرسه ای" انجام می شود: براکت کردن، انتقال اصطلاحات از بخشی به قسمت با تغییر علامت، انتقال عوامل از بخشی به قسمت بر اساس قاعده نسبت و غیره.

دیفرانسیل ها و ضرایب کامل و شرکت کنندگان فعال در خصومت ها هستند. در این مثال، متغیرها با توجه به قاعده تناسب به راحتی توسط فاکتورهای برگردان از هم جدا می شوند:

متغیرها از هم جدا می شوند. در سمت چپ - فقط "بازی"، در سمت راست - فقط "X".

مرحله بعد - ادغام معادلات دیفرانسیل. ساده است، ما انتگرال ها را در هر دو قسمت آویزان می کنیم:

البته انتگرال ها باید گرفته شود. در این مورد، آنها به صورت جدولی هستند:

همانطور که به یاد داریم، یک ثابت به هر پاد مشتق اختصاص داده می شود. در اینجا دو انتگرال وجود دارد، اما کافی است ثابت را یک بار بنویسیم (زیرا یک ثابت + یک ثابت هنوز با یک ثابت دیگر برابر است). در بیشتر موارد در آن قرار می گیرد سمت راست.

به بیان دقیق، پس از گرفتن انتگرال ها، معادله دیفرانسیل حل شده در نظر گرفته می شود. تنها چیزی که وجود دارد این است که "y" ما از طریق "x" بیان نمی شود، یعنی راه حل ارائه می شود به صورت ضمنیفرم. حل ضمنی یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود انتگرال کلی معادله دیفرانسیل. یعنی انتگرال کلی است.

پاسخ به این شکل کاملا قابل قبول است، اما آیا گزینه بهتری وجود دارد؟ بیایید برای بدست آوردن تلاش کنیم تصمیم مشترک.

لطفا، اولین تکنیک را به خاطر بسپار، بسیار رایج است و اغلب در کارهای عملی استفاده می شود: اگر لگاریتمی پس از ادغام در سمت راست ظاهر شود، در بسیاری از موارد (اما به هیچ وجه همیشه!) توصیه می شود ثابت را زیر لگاریتم بنویسید..

به این معنا که، بجایرکوردها معمولاً نوشته می شوند .

چرا این مورد نیاز است؟ و به منظور سهولت در بیان "y". ما از خاصیت لگاریتم استفاده می کنیم . در این مورد:

اکنون لگاریتم ها و ماژول ها را می توان حذف کرد:

تابع به صراحت ارائه شده است. این راه حل کلی است.

پاسخ: تصمیم مشترک: .

بررسی پاسخ به بسیاری از معادلات دیفرانسیل نسبتاً آسان است. در مورد ما، این به سادگی انجام می شود، ما راه حل پیدا شده را می گیریم و آن را متمایز می کنیم:

سپس مشتق را به معادله اصلی جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل کلی معادله ای را که باید بررسی می شد، برآورده می کند.

ثابت دادن معانی مختلف، می توانید بی نهایت تعداد زیادی بدست آورید تصمیمات خصوصیمعادله دیفرانسیل. واضح است که هر یک از توابع، و غیره. معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

گاهی اوقات راه حل کلی نامیده می شود خانواده توابع. در این مثال، راه حل کلی - این یک خانواده است توابع خطییا بهتر است بگوییم خانواده ای از تناسب های مستقیم.

پس از بحث مفصل در مورد مثال اول، مناسب است به چند مورد پاسخ داده شود سوالات ساده لوحانهدر مورد معادلات دیفرانسیل:

1)در این مثال موفق شدیم متغیرها را از هم جدا کنیم. آیا همیشه امکان این کار وجود دارد؟نه همیشه نه و حتی بیشتر اوقات متغیرها را نمی توان از هم جدا کرد. به عنوان مثال، در معادلات مرتبه اول همگنابتدا باید تعویض شود در انواع دیگر معادلات، به عنوان مثال، در یک معادله خطی ناهمگن مرتبه اول، باید از ترفندها و روش های مختلفی برای یافتن یک راه حل کلی استفاده کنید. معادلات متغیر قابل تفکیک که در درس اول در نظر می گیریم ساده ترین نوع معادلات دیفرانسیل هستند.

2) آیا همیشه امکان ادغام یک معادله دیفرانسیل وجود دارد؟نه همیشه نه بدست آوردن یک معادله "فانتزی" که قابل ادغام نباشد بسیار آسان است، علاوه بر این، انتگرال هایی وجود دارد که نمی توان آنها را گرفت. اما چنین DE ها را می توان تقریباً با استفاده از روش های خاص حل کرد. دالامبر و کوشی تضمین می‌کنند... ...اوه، لورکمور. همین الان خیلی مطالعه کردم، تقریباً «از دنیای دیگر» را اضافه کردم.

3) در این مثال راه حلی به شکل یک انتگرال کلی به دست آورده ایم . آیا همیشه می توان از انتگرال کلی یک راه حل کلی یافت، یعنی «ی» را به صورت صریح بیان کرد؟نه همیشه نه مثلا: . خوب، چگونه می توانم "y" را در اینجا بیان کنم؟! در این گونه موارد، پاسخ باید به صورت یک انتگرال کلی نوشته شود. علاوه بر این، گاهی اوقات می توان یک راه حل کلی پیدا کرد، اما آنقدر دست و پا گیر و ناشیانه نوشته شده است که بهتر است پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بگذاریم.

4) ... شاید در حال حاضر کافی باشد. در مثال اول با هم آشنا شدیم نکته مهم دیگر، اما برای اینکه "دوم ها" را با بهمن نپوشانند اطلاعات جدیدمی گذارم تا درس بعد.

عجله نکنیم یک کنترل از راه دور ساده دیگر و یک راه حل معمولی دیگر:

مثال 2

یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند

راه حل: با توجه به شرایطی که لازم است پیدا شود راه حل خصوصی DE که یک شرط اولیه معین را برآورده می کند. به این نوع پرسشگری نیز گفته می شود مشکل کوشی.

ابتدا یک راه حل کلی پیدا می کنیم. هیچ متغیر "x" در معادله وجود ندارد، اما این نباید خجالت آور باشد، نکته اصلی این است که مشتق اول را دارد.

مشتق را به شکل مورد نیاز بازنویسی می کنیم:

بدیهی است که متغیرها را می توان تقسیم کرد، پسران به سمت چپ، دختران به سمت راست:

معادله را ادغام می کنیم:

انتگرال کلی به دست می آید. در اینجا یک ثابت را با یک ستاره لهجه رسم کردم، واقعیت این است که خیلی زود به ثابت دیگری تبدیل می شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را به یک راه حل کلی تبدیل کنیم (به طور واضح "y" را بیان کنید). ما مدرسه قدیمی و خوب را به یاد می آوریم: . در این مورد:

ثابت موجود در اندیکاتور به نحوی خوب به نظر نمی رسد، بنابراین معمولاً از آسمان به زمین پایین می آید. در جزئیات، این اتفاق می افتد. با استفاده از ویژگی درجه، تابع را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

اگر یک ثابت است، پس مقداری هم ثابت است، آن را با حرف دوباره طراحی کنید:

به یاد داشته باشید "تخریب" یک ثابت است تکنیک دومکه اغلب در حل معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.

بنابراین راه حل کلی این است: چنین خانواده خوبی از توابع نمایی.

در مرحله نهایی، باید راه حل خاصی را پیدا کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند. این هم ساده است.

تکلیف چیست؟ نیاز به برداشتن چنینمقدار ثابت برای ارضای شرط .

شما می توانید آن را به روش های مختلف ترتیب دهید، اما قابل درک ترین، شاید، اینگونه باشد. در جواب کلی به جای “x” صفر و به جای “y” دو را جایگزین می کنیم:



به این معنا که،

نسخه طراحی استاندارد:

اکنون مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم:
- این راه حل خاصی است که ما نیاز داریم.

پاسخ: راه حل خصوصی:

بیا چک کنیم تأیید یک راه حل خاص شامل دو مرحله است:

ابتدا، لازم است بررسی شود که آیا راه حل خاص یافت شده واقعاً شرایط اولیه را برآورده می کند؟ به جای "x" صفر را جایگزین می کنیم و می بینیم چه اتفاقی می افتد:
- بله، در واقع، دس به دست آمد، به این معنی که شرط اولیه برقرار است.

مرحله دوم از قبل آشناست. راه حل خاص حاصل را می گیریم و مشتق را پیدا می کنیم:

جایگزین در معادله اصلی:

- برابری صحیح به دست می آید.

نتیجه گیری: راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

بیایید به سراغ مثال های معنادارتری برویم.

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:مشتق را به شکلی که نیاز داریم بازنویسی می کنیم:

ارزیابی اینکه آیا متغیرها را می توان از هم جدا کرد؟ می توان. عبارت دوم را با تغییر علامت به سمت راست منتقل می کنیم:

و فاکتورها را طبق قاعده تناسب ورق می زنیم:

متغیرها از هم جدا شده اند، بیایید هر دو بخش را ادغام کنیم:

باید به شما هشدار بدهم، روز داوری در راه است. اگر خوب یاد نگرفته اید انتگرال های نامعین، چند نمونه را حل کرد ، پس جایی برای رفتن وجود ندارد - اکنون باید به آنها مسلط شوید.

انتگرال سمت چپ به راحتی پیدا می شود، با انتگرال کوتانژانت ما با تکنیک استانداردی که در درس در نظر گرفتیم سروکار داریم. ادغام توابع مثلثاتیدر سال گذشته:

در سمت راست ما یک لگاریتم داریم و طبق اولین توصیه فنی من، ثابت نیز باید زیر لگاریتم نوشته شود.

اکنون سعی می کنیم انتگرال کلی را ساده کنیم. از آنجایی که ما فقط لگاریتم داریم، خلاص شدن از شر آنها کاملاً ممکن (و ضروری) است. با استفاده از خواص شناخته شدهلگاریتم ها را حداکثر "بسته" کنید. من با جزئیات کامل خواهم نوشت:

بسته بندی کامل است تا به طرز وحشیانه ای پاره شود:

آیا می توان "ی" را بیان کرد؟ می توان. هر دو قسمت باید مربع باشند.

اما شما مجبور نیستید.

نکته سوم فنی:اگر برای به دست آوردن یک راه حل کلی باید به یک قدرت بالا برید یا ریشه بگیرید، پس در بیشتر مواردباید از این اقدامات خودداری کنید و پاسخ را در قالب یک انتگرال کلی بگذارید. واقعیت این است که راه حل کلی فقط افتضاح به نظر می رسد - با ریشه های بزرگ، علائم و سایر زباله ها.

بنابراین پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی می نویسیم. لحن خوبدر نظر گرفته می شود که آن را به شکل نشان می دهد، یعنی در سمت راست، در صورت امکان، فقط یک ثابت باقی می گذارد. انجام این کار ضروری نیست، اما خوشحال کردن استاد همیشه مفید است ;-)

پاسخ:انتگرال عمومی:

! توجه داشته باشید: انتگرال کلی هر معادله را می توان به بیش از یک روش نوشت. بنابراین، اگر نتیجه شما با پاسخ شناخته شده قبلی مطابقت نداشت، به این معنی نیست که معادله را اشتباه حل کرده اید.

انتگرال کلی نیز به راحتی بررسی می شود، نکته اصلی این است که بتوانیم پیدا کنیم مشتق تابعی که به طور ضمنی تعریف شده است. بیایید پاسخ را متمایز کنیم:

هر دو عبارت را در ضرب می کنیم:

و تقسیم می کنیم بر:

معادله دیفرانسیل اصلی دقیقاً به دست آمده است، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 4

یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده کند. یک چک اجرا کنید.

این یک مثال برای خودتان است.

یادآوری می کنم که الگوریتم شامل دو مرحله است:
1) یافتن راه حل کلی؛
2) یافتن راه حل خاص مورد نیاز.

بررسی نیز در دو مرحله انجام می شود (نمونه در مثال شماره 2 را ببینید)، شما نیاز دارید:
1) مطمئن شوید که راه حل خاص یافت شده شرایط اولیه را برآورده می کند.
2) بررسی کنید که یک راه حل خاص به طور کلی معادله دیفرانسیل را برآورده می کند.

راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

مثال 5

یک جواب خاص برای یک معادله دیفرانسیل پیدا کنید ، ارضای شرط اولیه. یک چک اجرا کنید.

راه حل:ابتدا بیایید یک راه حل کلی پیدا کنیم، این معادله از قبل حاوی دیفرانسیل های آماده و . جداسازی متغیرها:

معادله را ادغام می کنیم:

انتگرال سمت چپ جدولی است، انتگرال سمت راست گرفته شده است روش جمع کردن تابع زیر علامت دیفرانسیل:

انتگرال کلی به دست آمده است، آیا می توان راه حل کلی را با موفقیت بیان کرد؟ می توان. لگاریتم ها را از دو طرف آویزان می کنیم. از آنجایی که آنها مثبت هستند، علائم مدول زائد هستند:

(امیدوارم همه این تحول را درک کنند، چنین چیزهایی باید قبلاً شناخته شده باشند)

بنابراین راه حل کلی این است:

بیایید یک راه حل خاص مطابق با شرط اولیه داده شده پیدا کنیم.
در جواب کلی به جای «x» صفر و به جای «y» لگاریتم دو را جایگزین می کنیم:

طراحی آشناتر:

مقدار یافت شده ثابت را با جواب کلی جایگزین می کنیم.

پاسخ:راه حل خصوصی:

بررسی: ابتدا بررسی کنید که آیا شرط اولیه برآورده شده است:
- همه چیز خوب است.

حال بیایید بررسی کنیم که آیا راه حل خاص یافت شده اصلا معادله دیفرانسیل را برآورده می کند یا خیر. مشتق را پیدا می کنیم:

بیایید به معادله اصلی نگاه کنیم: - به صورت دیفرانسیل ارائه می شود. دو راه برای بررسی وجود دارد. می توان دیفرانسیل را از مشتق یافت شده بیان کرد:

ما جواب خاص پیدا شده و دیفرانسیل حاصل را در معادله اصلی جایگزین می کنیم :

ما از هویت لگاریتمی پایه استفاده می کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که راه حل خاص به درستی پیدا شده است.

راه دوم بررسی آینه ای و آشناتر است: از معادله مشتق را بیان کنید، برای این کار تمام قطعات را بر اساس تقسیم می کنیم:

و در DE تبدیل شده راه حل خاص به دست آمده و مشتق یافت شده را جایگزین می کنیم. در نتیجه ساده سازی ها باید برابری صحیح نیز به دست آید.

مثال 6

معادله دیفرانسیل را حل کنید. پاسخ را به صورت یک انتگرال کلی بیان کنید.

این یک مثال برای حل خود، حل کامل و پاسخ در پایان درس است.

چه مشکلاتی در حل معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک وجود دارد؟

1) همیشه واضح نیست (مخصوصاً برای قوری) که می توان متغیرها را از هم جدا کرد. در نظر گرفتن مثال شرطی: . در اینجا باید فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و ریشه ها را جدا کنید. نحوه ادامه کار مشخص است.

2) مشکلات در خود ادغام. انتگرال ها اغلب ساده ترین شکل نیستند، و اگر نقص هایی در مهارت های یافتن وجود داشته باشد انتگرال نامعین، سپس با اختلافات زیاد مشکل خواهد بود. علاوه بر این، منطق "از آنجایی که معادله دیفرانسیل ساده است، پس بگذارید انتگرال ها پیچیده تر شوند" در بین کامپایلرهای مجموعه ها و راهنماها محبوب است.

3) تبدیل با یک ثابت. همانطور که همه متوجه شده اند، یک ثابت در معادلات دیفرانسیل را می توان کاملا آزادانه مدیریت کرد و برخی از تبدیل ها همیشه برای یک مبتدی واضح نیست. بیایید به یک مثال فرضی دیگر نگاه کنیم: . در آن، توصیه می شود همه عبارت ها را در 2 ضرب کنید: . ثابت حاصل نیز نوعی ثابت است که می توان آن را با: . بله، و از آنجایی که یک لگاریتم در سمت راست وجود دارد، توصیه می شود ثابت را به عنوان یک ثابت دیگر بازنویسی کنید: .

مشکل این است که آنها اغلب با شاخص ها زحمت نمی کشند و از همان حرف استفاده می کنند. در نتیجه، رکورد تصمیم به شکل زیر است:

کدام بدعت؟ در اینجا خطاها وجود دارد! به طور دقیق، بله. با این حال، از نظر ماهوی، هیچ خطایی وجود ندارد، زیرا در نتیجه تبدیل یک ثابت متغیر، همچنان یک ثابت متغیر به دست می آید.

یا مثال دیگری فرض کنید در جریان حل معادله یک انتگرال کلی به دست می آید. این پاسخ زشت به نظر می رسد، بنابراین توصیه می شود علامت هر عبارت را تغییر دهید: . به طور رسمی، دوباره یک خطا وجود دارد - در سمت راست، باید نوشته شود. اما به طور غیر رسمی گفته می شود که "منهای ce" هنوز یک ثابت است ( که به همان خوبی هر ارزشی را می گیرد!)، بنابراین گذاشتن "منهای" منطقی نیست و می توانید از همان حرف استفاده کنید.

من سعی خواهم کرد از یک رویکرد بی دقت اجتناب کنم و همچنان هنگام تبدیل آنها شاخص های مختلفی را برای ثابت ها قرار دهم.

مثال 7

معادله دیفرانسیل را حل کنید. یک چک اجرا کنید.

راه حل:این معادله جداسازی متغیرها را می پذیرد. جداسازی متغیرها:

ما ادغام می کنیم:

ثابت در اینجا لازم نیست تحت لگاریتم تعریف شود، زیرا هیچ چیز خوبی از آن حاصل نخواهد شد.

پاسخ:انتگرال عمومی:

بررسی کنید: پاسخ را متمایز کنید (عملکرد ضمنی):

ما از شر کسرها خلاص می شویم، برای این کار هر دو جمله را در:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال کلی به درستی پیدا شده است.

مثال 8

یک راه حل خاص برای DE پیدا کنید.
,

این یک مثال برای خودتان است. تنها نکته این است که در اینجا شما یک انتگرال کلی به دست می آورید، و به عبارت صحیح تر، شما باید برای یافتن راه حل خاصی تلاش کنید. انتگرال خصوصی. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

این مقاله نقطه شروعی در بررسی نظریه معادلات دیفرانسیل است. در اینجا تعاریف و مفاهیم اصلی که دائماً در متن ظاهر می شوند جمع آوری شده است. برای جذب و درک بهتر، تعاریف با مثال ارائه شده است.

معادله دیفرانسیل (DE)- این معادله ای است که شامل یک تابع مجهول تحت علامت مشتق یا دیفرانسیل است.

اگر تابع مجهول تابعی از یک متغیر باشد، معادله دیفرانسیل فراخوانی می شود معمولی(به اختصار ODE - معادله دیفرانسیل معمولی). اگر تابع مجهول تابعی از بسیاری از متغیرها باشد، معادله دیفرانسیل فراخوانی می شود معادله دیفرانسیل جزئی.

حداکثر ترتیب مشتق یک تابع مجهول موجود در یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود ترتیب معادله دیفرانسیل.

در اینجا نمونه هایی از ODE های مرتبه اول، دوم و پنجم به ترتیب آورده شده است

به عنوان مثالی از معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم ارائه می کنیم

علاوه بر این، ما فقط معادلات دیفرانسیل معمولی از مرتبه n فرم را در نظر خواهیم گرفت یا ، که در آن Ф(x, y) = 0 یک تابع مجهول است که به طور ضمنی تعریف شده است (در صورت امکان، آن را به صورت صریح y = f(x) می نویسیم).

فرآیند یافتن راه حل برای یک معادله دیفرانسیل نامیده می شود ادغام معادله دیفرانسیل.

حل معادله دیفرانسیل- ضمنی است عملکرد داده شدهФ(x, y) = 0 (در برخی موارد، تابع y را می توان به صراحت بر اساس آرگومان x بیان کرد)، که معادله دیفرانسیل را به یک هویت تبدیل می کند.

توجه داشته باشید.

حل یک معادله دیفرانسیل همیشه در یک بازه از پیش تعیین شده X جستجو می شود.

چرا در این مورد جداگانه صحبت می کنیم؟ بله، زیرا در شرایط بسیاری از مشکلات فاصله X ذکر نشده است. یعنی شرط مسائل معمولاً به صورت زیر فرموله می شود: «یک راه حل برای معادله دیفرانسیل معمولی بیابید. ". در این مورد، فهمیده می‌شود که راه‌حل را باید برای همه x جستجو کرد که هم تابع مورد نظر y و هم معادله اصلی برای آنها معنا دارد.

حل یک معادله دیفرانسیل اغلب به عنوان انتگرال معادله دیفرانسیل.

توابع یا می توان آنها را حل معادله دیفرانسیل نامید.

یکی از راه حل های معادله دیفرانسیل تابع است. در واقع، با جایگزینی این تابع به معادله اصلی، هویت را بدست می آوریم . به راحتی می توان دید که راه حل دیگری برای این ODE، به عنوان مثال، . بنابراین معادلات دیفرانسیل می توانند راه حل های زیادی داشته باشند.

حل کلی معادله دیفرانسیلمجموعه ای از راه حل ها شامل تمام راه حل های این معادله دیفرانسیل بدون استثنا است.

حل کلی معادله دیفرانسیل نیز نامیده می شود انتگرال کلی معادله دیفرانسیل.

بیایید به مثال برگردیم. جواب کلی معادله دیفرانسیل به شکل یا است که در آن C یک ثابت دلخواه است. در بالا، دو راه حل برای این ODE نشان دادیم که به ترتیب با جایگزینی C = 0 و C = 1 از انتگرال کلی معادله دیفرانسیل به دست می آیند.

اگر حل یک معادله دیفرانسیل شرایط اضافی اولیه داده شده را برآورده کند، نامیده می شود یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل.

یک راه حل خاص از معادله دیفرانسیل که شرط y(1)=1 را برآورده می کند . واقعا، و .

مسائل اصلی نظریه معادلات دیفرانسیل عبارتند از مسائل کوشی، مسائل ارزش مرزی و مسائل مربوط به یافتن راه حل کلی یک معادله دیفرانسیل در هر بازه معین X.

مشکل کوشیمسئله یافتن راه حل خاصی از یک معادله دیفرانسیل است که جواب داده شده را برآورده کند شرایط اولیه، اعداد کجا هستند.

مشکل مرزیمسئله یافتن یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است که شرایط اضافی را در نقاط مرزی x 0 و x 1 برآورده می کند:
f (x 0) \u003d f 0، f (x 1) \u003d f 1، که در آن f 0 و f 1 اعداد داده شده است.

مشکل ارزش مرزی اغلب نامیده می شود مشکل ارزش مرزی.

معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه n نامیده می شود خطی، اگر فرم را داشته باشد و ضرایب توابع پیوسته آرگومان x در بازه ادغام باشند.

حل معادلات دیفرانسیل. با تشکر از ما سرویس آنلاینشما می توانید معادلات دیفرانسیل از هر نوع و پیچیدگی را حل کنید: ناهمگن، همگن، غیر خطی، خطی، مرتبه اول، مرتبه دوم، با یا بدون متغیرهای قابل تفکیک و غیره. حل معادلات دیفرانسیل را به صورت تحلیلی با توصیف همراه با جزئیات. بسیاری علاقه مند به این هستند: چرا حل معادلات دیفرانسیل به صورت آنلاین ضروری است؟ این نوع معادلات در ریاضیات و فیزیک بسیار رایج است که حل بسیاری از مسائل بدون محاسبه معادله دیفرانسیل غیرممکن خواهد بود. همچنین معادلات دیفرانسیل در اقتصاد، پزشکی، زیست شناسی، شیمی و سایر علوم رایج است. حل چنین معادله ای به صورت آنلاین وظایف شما را تا حد زیادی تسهیل می کند، این امکان را فراهم می کند که مواد را بهتر جذب کنید و خود را آزمایش کنید. مزایای حل معادلات دیفرانسیل آنلاین یک سایت خدمات ریاضی مدرن به شما امکان می دهد معادلات دیفرانسیل را با هر پیچیدگی به صورت آنلاین حل کنید. همانطور که می دانید تعداد زیادی از انواع معادلات دیفرانسیل وجود دارد که هر کدام راه حل های خاص خود را دارند. در سرویس ما می توانید حل معادلات دیفرانسیل از هر ترتیب و نوع را به صورت آنلاین پیدا کنید. برای به دست آوردن راه حل، پیشنهاد می کنیم که داده های اولیه را پر کرده و روی دکمه "راه حل" کلیک کنید. خطاها در عملکرد سرویس مستثنی هستند، بنابراین می توانید 100٪ مطمئن باشید که پاسخ صحیح را دریافت کرده اید. معادلات دیفرانسیل را با سرویس ما حل کنید. معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. به طور پیش فرض، در چنین معادله ای، تابع y تابعی از متغیر x است. اما شما همچنین می توانید تعیین متغیر خود را تعیین کنید. به عنوان مثال، اگر y(t) را در یک معادله دیفرانسیل مشخص کنید، سرویس ما به طور خودکار تعیین می کند که y تابعی از متغیر t است. ترتیب کل معادله دیفرانسیل به ترتیب حداکثر مشتق تابع موجود در معادله بستگی دارد. حل چنین معادله ای به معنای یافتن تابع مورد نیاز است. خدمات ما به شما کمک می کند معادلات دیفرانسیل را به صورت آنلاین حل کنید. برای حل معادله تلاش زیادی از طرف شما لازم نیست. کافی است قسمت های چپ و راست معادله خود را در فیلدهای مورد نیاز وارد کنید و روی دکمه "Solution" کلیک کنید. هنگام وارد کردن مشتق یک تابع، لازم است که آن را با آپوستروف نشان دهیم. در عرض چند ثانیه خواهید داشت راه حل دقیقمعادله دیفرانسیل. خدمات ما کاملا رایگان است. معادلات دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک. اگر در یک معادله دیفرانسیل در سمت چپ عبارتی وجود داشته باشد که به y بستگی دارد و در سمت راست عبارتی وجود داشته باشد که به x بستگی دارد، آنگاه چنین معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک فراخوانی می شود. در سمت چپ می توان یک مشتق از y وجود داشته باشد، حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به صورت تابعی از y خواهد بود که از طریق انتگرال سمت راست معادله بیان می شود. اگر یک دیفرانسیل تابع y در سمت چپ وجود داشته باشد، هر دو بخش معادله یکپارچه می شوند. هنگامی که متغیرهای یک معادله دیفرانسیل از هم جدا نیستند، برای به دست آوردن یک معادله دیفرانسیل جدا، باید تقسیم شوند. معادله دیفرانسیل خطی. معادله دیفرانسیل خطی نامیده می شود که تابع و تمام مشتقات آن در درجه اول باشند. فرم کلیمعادلات: y'+a1(x)y=f(x). f(x) و a1(x) توابع پیوسته x هستند. حل معادلات دیفرانسیل از این نوع به ادغام دو معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا کاهش می یابد. ترتیب معادله دیفرانسیل. معادله دیفرانسیل می تواند از مرتبه اول، دوم، n ام باشد. ترتیب یک معادله دیفرانسیل، ترتیب بالاترین مشتق موجود در آن را تعیین می کند. در سرویس ما می توانید معادلات دیفرانسیل را حل کنید ابتدا آنلاین، دوم، سوم و غیره سفارش. جواب معادله هر تابع y=f(x) خواهد بود که با جایگزینی آن در معادله، یک هویت بدست می آورید. فرآیند یافتن جواب معادله دیفرانسیل را انتگرال می گویند. مشکل کوشی اگر علاوه بر خود معادله دیفرانسیل، شرط اولیه y(x0)=y0 نیز مشخص شود، به این مسئله کوشی می گویند. شاخص‌های y0 و x0 به حل معادله اضافه می‌شوند و مقدار ثابت دلخواه C تعیین می‌شود و سپس یک راه‌حل خاص از معادله برای این مقدار C. این حل مسئله کوشی است. به مسئله کوشی، مسئله شرایط مرزی نیز گفته می شود که در فیزیک و مکانیک بسیار رایج است. شما همچنین این فرصت را دارید که مسئله کوشی را تنظیم کنید، یعنی از بین تمام راه حل های ممکن برای معادله، راه حل خاصی را انتخاب کنید که شرایط اولیه داده شده را برآورده کند.