تعریف 8.4.معادله دیفرانسیل فرم

جایی که
معادله را در نامیده می شود دیفرانسیل کامل.

توجه داشته باشید که سمت چپ چنین معادله ای دیفرانسیل کل یک تابع است
.

به طور کلی می توان معادله (8.4) را به صورت نمایش داد

به جای معادله (8.5) می توانیم معادله را در نظر بگیریم

,

که حل آن انتگرال کلی معادله (8.4) است. بنابراین، برای حل معادله (8.4) باید تابع را پیدا کرد
. مطابق با تعریف معادله (8.4) داریم

(8.6)

تابع
ما به دنبال تابعی خواهیم بود که یکی از این شرایط (8.6) را برآورده کند:

جایی که - یک تابع دلخواه مستقل از .

تابع
به گونه ای تعریف می شود که شرط دوم عبارت (8.6) برآورده شود

(8.7)

از عبارت (8.7) تابع مشخص می شود
. جایگزین کردن آن در عبارت برای
و انتگرال کلی معادله اصلی را بدست آورید.

مشکل 8.3.معادله را یکپارچه کنید

اینجا
.

بنابراین این معادله متعلق به نوع معادلات دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل است. تابع
ما آن را در فرم جستجو خواهیم کرد

.

از طرف دیگر،

.

در برخی موارد شرایط
ممکن است برآورده نشود.

سپس چنین معادلاتی با ضرب در ضریب انتگرال‌گیر به نوع مورد نظر تقلیل می‌یابند، که در مورد کلی، فقط یک تابع است یا .

اگر معادله ای دارای ضریب یکپارچه سازی باشد که فقط به ، سپس با فرمول مشخص می شود

رابطه کجاست فقط باید یک تابع باشد .

به طور مشابه، عامل یکپارچه تنها به ، با فرمول تعیین می شود

رابطه کجاست
فقط باید یک تابع باشد .

عدم وجود متغیر در روابط داده شده، در حالت اول ، و در دوم - متغیر ، نشانه وجود یک عامل یکپارچه کننده برای یک معادله داده شده است.

مشکل 8.4.این معادله را به یک معادله در مجموع دیفرانسیل کاهش دهید.

.

رابطه را در نظر بگیرید:

.

مبحث 8.2. معادلات دیفرانسیل خطی

تعریف 8.5. معادله دیفرانسیل
اگر نسبت به تابع مورد نظر خطی باشد خطی نامیده می شود ، مشتق آن و حاصلضرب تابع مورد نظر و مشتق آن را ندارد.

شکل کلی یک معادله دیفرانسیل خطی با رابطه زیر نشان داده می شود:

(8.8)

اگر در رابطه (8.8) سمت راست
، پس چنین معادله ای همگن خطی نامیده می شود. در صورت قسمت راست
، پس چنین معادله ای ناهمگن خطی نامیده می شود.

اجازه دهید نشان دهیم که معادله (8.8) را می توان در ربع ادغام کرد.

در مرحله اول یک معادله همگن خطی را در نظر می گیریم.

چنین معادله ای معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است. واقعا،

;

/

آخرین رابطه تعیین می کند تصمیم مشترکمعادله همگن خطی

برای یافتن یک جواب کلی برای معادله ناهمگن خطی، از روش تغییر مشتق یک ثابت استفاده می شود. ایده روش این است که حل کلی یک معادله ناهمگن خطی به همان شکل حل معادله همگن مربوطه است، اما یک ثابت دلخواه. با برخی از عملکردها جایگزین شده است
تعیین شود. بنابراین ما داریم:

(8.9)

جایگزینی در رابطه (8.8) عبارات مربوطه
و
، ما گرفتیم

با جایگزینی آخرین عبارت به رابطه (8.9)، انتگرال کلی معادله ناهمگن خطی را بدست می آوریم.

بنابراین، حل کلی یک معادله ناهمگن خطی توسط دو ربع تعیین می شود: حل کلی یک معادله همگن خطی و یک راه حل خاص یک معادله ناهمگن خطی.

مشکل 8.5.معادله را یکپارچه کنید

بنابراین، معادله اصلی متعلق به نوع معادلات دیفرانسیل ناهمگن خطی است.

در مرحله اول، یک جواب کلی برای یک معادله همگن خطی پیدا می کنیم.

;

در مرحله دوم، حل کلی معادله ناهمگن خطی را تعیین می کنیم که به صورت

,

جایی که
- تابعی که باید تعیین شود.

بنابراین ما داریم:

جایگزینی روابط برای و در معادله ناهمگن خطی اصلی به دست می آوریم:

;

;

.

جواب کلی یک معادله ناهمگن خطی به شکل زیر خواهد بود:

.

معادله دیفرانسیل مرتبه اول در مجموع دیفرانسیل معادله ای از فرم است:
(1) ,
جایی که سمت چپ معادله دیفرانسیل کل تابع U است (x، y)از متغیرهای x,y:
.
که در آن .

اگر چنین تابعی U یافت شود (x، y)، سپس معادله به شکل زیر در می آید:
dU (x، y) = 0.
انتگرال کلی آن عبارت است از:
U (x، y) = C,
که در آن C یک ثابت است.

اگر یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول بر حسب مشتق آن نوشته شود:
,
پس از آن آسان است که آن را به شکل (1) . برای انجام این کار، معادله را در dx ضرب کنید. سپس . در نتیجه، معادله ای را به دست می آوریم که بر حسب دیفرانسیل بیان شده است:
(1) .

ویژگی یک معادله دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل

به منظور معادله (1) معادله ای در مجموع دیفرانسیل بود، لازم و کافی است تا رابطه برقرار شود:
(2) .

اثبات

ما همچنین فرض می کنیم که تمام توابع مورد استفاده در اثبات تعریف شده و دارای مشتقات متناظر در محدوده ای از مقادیر متغیرهای x و y هستند. نقطه x 0، y 0نیز متعلق به این منطقه است.

بیایید وجوب شرط (2) را اثبات کنیم..
سمت چپ معادله را بگذارید (1) دیفرانسیل برخی از تابع U است (x، y):
.
سپس
;
.
از آنجایی که مشتق دوم به ترتیب تمایز بستگی ندارد، پس
;
.
نتیجه می شود که . شرط ضرورت (2) ثابت شده است.

بیایید کفایت شرط (2) را ثابت کنیم..
بگذارید شرط برآورده شود (2) :
(2) .
اجازه دهید نشان دهیم که امکان یافتن چنین تابع U وجود دارد (x، y)که دیفرانسیل آن است:
.
این بدان معنی است که چنین تابعی U وجود دارد (x، y)، که معادلات را برآورده می کند:
(3) ;
(4) .
بیایید چنین تابعی را پیدا کنیم. بیایید معادله را ادغام کنیم (3) توسط x از x 0 به x، با فرض اینکه y یک ثابت است:
;
;
(5) .
با این فرض که x ثابت است، نسبت به y متمایز می کنیم و اعمال می شود (2) :

.
معادله (4) اجرا خواهد شد اگر
.
ادغام بیش از y از y 0 اسباب بازی:
;
;
.
جایگزین در (5) :
(6) .
بنابراین، ما تابعی را پیدا کرده ایم که دیفرانسیل آن است
.
کفایت ثابت شده است.

در فرمول (6) ، U (x 0 , y 0)یک ثابت است - مقدار تابع U (x، y)در نقطه x 0، y 0. می توان هر مقداری را به آن اختصاص داد.

نحوه تشخیص معادله دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل را در نظر بگیرید:
(1) .
برای تعیین اینکه آیا این معادله در مجموع دیفرانسیل است یا خیر، باید شرایط را بررسی کنید (2) :
(2) .
اگر برقرار باشد، این معادله در مجموع دیفرانسیل است. اگر نه، پس این یک معادله دیفرانسیل کل نیست.

مثال

بررسی کنید که آیا معادله در مجموع دیفرانسیل است:
.

راه حل

اینجا
, .
با در نظر گرفتن x ثابت، با توجه به y متمایز می کنیم:


.
تفکیک کنیم


.
زیرا:
,
سپس معادله داده شده در مجموع دیفرانسیل است.

روش های حل معادلات دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل

روش استخراج دیفرانسیل متوالی

اکثر روش سادهحل معادله در مجموع دیفرانسیل روش انتخاب متوالی دیفرانسیل است. برای انجام این کار، از فرمول های تمایز نوشته شده به شکل دیفرانسیل استفاده می کنیم:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = د (UV);
;
.
در این فرمول ها، u و v عبارت های دلخواه هستند که از هر ترکیبی از متغیرها ساخته شده اند.

مثال 1

معادله را حل کنید:
.

راه حل

قبلا متوجه شدیم که این معادله در مجموع دیفرانسیل است. بیایید آن را تبدیل کنیم:
(P1) .
معادله را با جداسازی متوالی دیفرانسیل حل می کنیم.
;
;
;
;

.
جایگزین در (P1):
;
.

پاسخ

روش ادغام پی در پی

در این روش ما به دنبال تابع U هستیم (x، y)، ارضای معادلات:
(3) ;
(4) .

بیایید معادله را ادغام کنیم (3) در x، با در نظر گرفتن ثابت y:
.
اینجا φ (y)- یک تابع دلخواه از y که باید تعیین شود. ثابت ادغام است. در معادله جایگزین کنید (4) :
.
از اینجا:
.
با ادغام، φ را پیدا می کنیم (y)و بنابراین، U (x، y).

مثال 2

معادله را در مجموع دیفرانسیل حل کنید:
.

راه حل

قبلا متوجه شدیم که این معادله در مجموع دیفرانسیل است. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:
, .
به دنبال تابع U (x، y)، که دیفرانسیل آن سمت چپ معادله است:
.
سپس:
(3) ;
(4) .
بیایید معادله را ادغام کنیم (3) در x، با در نظر گرفتن ثابت y:
(P2)
.
با توجه به y متمایز کنید:

.
بیایید جایگزین کنیم (4) :
;
.
بیایید ادغام کنیم:
.
بیایید جایگزین کنیم (P2):

.
انتگرال عمومی معادله:
U (x، y) = ثابت.
دو ثابت را با هم ترکیب می کنیم.

پاسخ

روش ادغام در طول یک منحنی

تابع U که با رابطه تعریف می شود:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
را می توان با ادغام این معادله در امتداد منحنی اتصال نقاط پیدا کرد (x 0 , y 0)و (x، y):
(7) .
از آنجا که
(8) ,
سپس انتگرال فقط به مختصات اولیه بستگی دارد (x 0 , y 0)و نهایی (x، y)نقطه می دهد و به شکل منحنی بستگی ندارد. از جانب (7) و (8) ما پیدا می کنیم:
(9) .
اینجا x 0 و y 0 - دائمی بنابراین U (x 0 , y 0)- همچنین ثابت

مثالی از چنین تعریفی از U در اثبات به دست آمد:
(6) .
در اینجا ادغام ابتدا در امتداد یک قطعه موازی با محور y از نقطه انجام می شود (x 0 , y 0 )به نقطه (x 0 , y). سپس یکپارچه سازی در امتداد یک قطعه موازی با محور x از نقطه انجام می شود (x 0 , y)به نقطه (x، y) .

به طور کلی، شما باید معادله نقاط اتصال منحنی را نشان دهید (x 0 , y 0 )و (x، y)به صورت پارامتریک:
ایکس 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
ایکس 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
و ادغام بیش از t 1 از تی 0 به تی.

ساده ترین راه برای انجام یکپارچه سازی از طریق نقاط اتصال بخش است (x 0 , y 0 )و (x، y). در این مورد:
ایکس 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
تی 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; دو 1 = (y - y 0) dt 1.
پس از تعویض، انتگرال بیش از t را به دست می آوریم 0 قبل از 1 .
با این حال، این روش منجر به محاسبات نسبتاً دست و پا گیر می شود.

منابع:
V.V. استپانوف، دوره معادلات دیفرانسیل، "LKI"، 2015.

دانشجویان دانشگاه اغلب به دنبال اطلاعات هستند "چگونه برای یک معادله در مجموع دیفرانسیل راه حل پیدا کنیم؟"از این درس خواهید گرفت دستورالعمل های کاملبه علاوه راه حل های آماده ابتدا یک مقدمه کوتاه - معادله در مجموع دیفرانسیل چیست؟ چگونه برای یک معادله دیفرانسیل کل راه حل پیدا کنیم؟
تجزیه و تحلیل بیشتر نمونه های آماده، پس از آن ممکن است هیچ سوالی در مورد این موضوع نداشته باشید.

معادله در مجموع دیفرانسیل

تعریف 1. معادله ای به شکل M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 نامیده می شود. معادله در مجموع دیفرانسیل، اگر وابستگی در مقابل علامت مساوی دیفرانسیل کل تابعی از دو متغیر u(x,y) باشد، یک فرمول منصفانه وجود دارد.
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (1)
بنابراین، معادله اصلی در محتوا به این معنی است که دیفرانسیل کل تابع برابر با صفر است
du(x,y)=0.
ادغام دیفرانسیلی که به دست می آوریم انتگرال کلیکنترل از راه دور در فرم
u(x,y)=C. (2)
در محاسبات، به عنوان یک قاعده، ثابت برابر با صفر است.
قبل از محاسبات، همیشه این سوال مطرح می شود چگونه می توان بررسی کرد که یک معادله دیفرانسیل معین یک معادله دیفرانسیل کل است؟
این سوال با شرط زیر پاسخ داده می شود.

شرط لازم و کافی برای دیفرانسیل کل

شرط لازم و کافی برای دیفرانسیل کلی استبرابری مشتقات جزئی
(3)
هنگام حل معادلات دیفرانسیل، ابتدا بررسی می شود که آیا معادله در مجموع دیفرانسیل است یا اینکه آیا معادله دیگری امکان پذیر است.
از نظر محتوا، این شرط به معنای برابری مشتقات مختلط تابع با یکدیگر است.
در فرمول ها با در نظر گرفتن وابستگی ها
(4)
لازم و شرایط کافیوجود یک دیفرانسیل کاملمی توانیم آن را در قالب بنویسیم

معیار داده شده هنگام بررسی یک معادله برای انطباق با دیفرانسیل کل استفاده می شود، اگرچه هنگام مطالعه این مبحث، معلمان از شما معادلات دیگری را نمی خواهند.

الگوریتم حل معادلات در مجموع دیفرانسیل

از علامت (4) مشتقات جزئی دیفرانسیل کل تابع نتیجه می شود که با ادغام می توانیم u(x,y) را پیدا کنیم.

این فرمول ها امکان انتخاب را در محاسبات فراهم می کنند؛ بنابراین، برای ادغام، مشتق جزئی را انتخاب کنید که یافتن انتگرال آن در عمل آسان تر است.
به علاوه دومین نکته مهم این است که انتگرال نامعین یک پاد مشتق استیعنی "+ C" که باید تعریف شود.
بنابراین، اگر مشتق جزئی M(x,y) را با توجه به "x" ادغام کنیم، مشتق به y بستگی دارد و بالعکس - اگر N(x,y) را نسبت به y ادغام کنیم، مشتق به y بستگی دارد. "ایکس".
در مرحله بعد، برای تعیین ثابت، مشتق u(x,y) را نسبت به متغیر دیگری غیر از متغیری که ادغام با آن انجام شده است، بگیرید و آن را با مشتق جزئی دوم برابر کنید.
در فرمول ها به این صورت خواهد بود

به عنوان یک قاعده، برخی از اصطلاحات ساده می شوند و معادله ای برای مشتق یک ثابت به دست می آوریم. برای اولین مورد از معادلات به دست می آوریم

در نهایت، انتگرال کلی پس از تعیین ثابت، شکل می گیرد

به صورت متقارن پاسخ معادله دیگر را به دست می آوریم.
ضبط فقط پیچیده به نظر می رسد، اما در واقعیت همه چیز بسیار ساده تر و واضح تر به نظر می رسد. مجموع مسایل دیفرانسیل زیر را تجزیه و تحلیل کنید.

پاسخ های آماده معادلات در مجموع دیفرانسیل

مثال 1.

راه حل: سمت چپ معادله است دیفرانسیل کاملبرخی از عملکرد، از آنجایی که شرایط راضی است

از اینجا مشتق جزئی یک تابع از دو متغیر را بنویسیداز "x"

و با ادغام شکل آن را پیدا می کنیم

برای تعریف بیشتر ثابت مشتق جزئی تابع را با توجه به پیدا کنید"y" و آن را با مقدار موجود در معادله برابر کنید

ما عبارت های مشابه را در سمت راست و چپ لغو می کنیم و پس از آن ثابت را با ادغام پیدا می کنیم

اکنون ما تمام مقادیر را برای ضبط داریم حل کلی معادله دیفرانسیلمانند

توچطور میتوانی مطمئن باشی طرحی برای حل معادلات در مجموع دیفرانسیلاین پیچیده نیست و هر کسی می تواند آن را یاد بگیرد. مهمدارای ضرایب برای دیفرانسیل هستند، زیرا برای یافتن راه حل باید آنها را ادغام و متمایز کرد.

مثال 2. (6.18) انتگرال یک معادله دیفرانسیل را پیدا کنید

راه حل: طبق تئوری، سمت چپ معادله باید دیفرانسیل کل تابع دو متغیر u(x,y) باشد و بررسی می کنیم که آیا شرط برقرار است یا خیر.

از اینجا مشتق جزئی را می گیریم و از طریق انتگرال تابع را پیدا می کنیم

مشتق جزئی یک تابع از دو متغیر را با توجه به محاسبه می کنیم y و آن را در سمت راست معادله دیفرانسیل برابر کنید.

مشتق با وابستگی بیان می شود

با در نظر گرفتن ثابت، آن را در فرم دریافت کردیم

این محاسبات این مثال را کامل می کند.

مثال 3. (6.20)حل معادله دیفرانسیل

راه حل: سمت چپ معادله دیفرانسیل کل تابعی از دو متغیر u(x; y) خواهد بود اگر شرط برقرار باشد.

از اینجا شروع به حل معادلات یا بهتر بگوییم ادغام یکی از مشتقات جزئی می کنیم

در مرحله بعد، مشتق تابع حاصل را با توجه به متغیر y پیدا می کنیم و آن را در سمت راست وابستگی دیفرانسیل برابر می کنیم.

این به شما امکان می دهد ثابت را به عنوان تابعی از y پیدا کنید. اگر شروع به نشان دادن وابستگی دیفرانسیل در سمت راست کنیم، متوجه می شویم که ثابت به x بستگی دارد. تغییر نخواهد کرد برای معادله داده شدهبه نظر می رسد

این مثال را به پایان می رساند. حل کلی معادله دیفرانسیلمی توانیم فرمول را بنویسیم

برای ادغام موضوع، از شما می خواهیم به طور مستقل بررسی کنید که این معادلات معادلاتی در مجموع دیفرانسیل هستند و آنها را حل کنید:
در یک کلمه توابع ریشه، توابع مثلثاتی، توان، لگاریتم را پیدا خواهید کرد - هر چیزی که در ماژول ها و امتحانات از شما انتظار می رود.
پس از این، حل این نوع معادله برای شما بسیار آسان تر خواهد شد.
در مقاله بعدی با معادلات فرم آشنا خواهید شد
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
که در مجموع دیفرانسیل کاملاً شبیه معادله هستند، اما شرط برابری مشتقات جزئی را برآورده نمی کنند. آنها با جستجوی یک عامل انتگرال‌گیر محاسبه می‌شوند که در آن معادله داده‌شده به یک معادله در مجموع دیفرانسیل تبدیل می‌شود.

دارای شکل استاندارد $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$، که در آن سمت چپ دیفرانسیل کل تابع $F است. \left(x,y\right)$ معادله دیفرانسیل کل نامیده می شود.

معادله در مجموع دیفرانسیل همیشه می تواند به صورت $dF\left(x,y\right)=0$ بازنویسی شود، که در آن $F\left(x,y\right)$ تابعی است به طوری که $dF\left(x، y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

بیایید هر دو طرف معادله را ادغام کنیم $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; انتگرال سمت راست صفر برابر با یک ثابت دلخواه $C$ است. بنابراین، راه حل کلی این معادله به صورت ضمنی $F\left(x,y\right)=C$ است.

برای اینکه یک معادله دیفرانسیل معین معادله ای در مجموع دیفرانسیل باشد، لازم و کافی است که شرط $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $ راضی باشد. اگر شرط مشخص شده برآورده شود، یک تابع $F\left(x,y\right)$ وجود دارد که می توانیم برای آن بنویسیم: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$ که از آن دو رابطه بدست می آوریم : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ and $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) ) دلار.

ما اولین رابطه $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ را روی $x$ ادغام می کنیم و $F\left(x,y\right)=\int را بدست می آوریم. P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$، که در آن $U\left(y\right)$ یک تابع دلخواه از $y$ است.

اجازه دهید آن را طوری انتخاب کنیم که رابطه دوم $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ برآورده شود. برای انجام این کار، رابطه حاصل را برای $F\left(x,y\right)$ با توجه به $y$ متمایز می کنیم و نتیجه را با $Q\left(x,y\right)$ برابر می کنیم. دریافت می کنیم: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\right)$.

راه حل بعدی این است:

• از آخرین برابری، $U"\left(y\right)$ را پیدا می کنیم.
• $U"\left(y\right)$ را ادغام کنید و $U\left(y\right)$ را پیدا کنید.
• $U\left(y\right)$ را با برابری $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) جایگزین کنید $ و در نهایت تابع $F\left(x,y\right)$ را بدست می آوریم.

ما تفاوت را پیدا می کنیم:

$U"\left(y\right)$ را روی $y$ ادغام می کنیم و $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ را پیدا می کنیم.

نتیجه را پیدا کنید: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

جواب کلی را به شکل $F\left(x,y\right)=C$ می نویسیم، یعنی:

یک راه حل خاص پیدا کنید $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, جایی که $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 دلار:

راه حل جزئی به این شکل است: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

تعریف: معادله فرم

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

جایی که سمت چپ دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر است، معادله دیفرانسیل کل نامیده می شود.

اجازه دهید این تابع دو متغیر را با F(x,y) نشان دهیم. سپس معادله (9) را می توان به صورت dF(x,y) = 0 بازنویسی کرد و این معادله یک جواب کلی دارد F(x,y) = C.

معادله ای از شکل (9) داده شود. برای اینکه بفهمید آیا معادله دیفرانسیل کل است، باید بررسی کنید که آیا عبارت است یا خیر

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

دیفرانسیل کل برخی از تابع دو متغیر. برای انجام این کار، باید برابری را بررسی کنید

فرض کنید برای یک عبارت معین (10)، برابری (11) در برخی از حوزه های متصل ساده (S) برآورده می شود و بنابراین، عبارت (10) دیفرانسیل کل برخی از تابع F(x,y) در (S) است. ).

بیایید روش زیر را برای یافتن این ضد مشتق در نظر بگیریم. باید تابع F(x,y) را پیدا کرد به طوری که

که در آن تابع (y) در زیر تعریف خواهد شد. پس از فرمول (12) نتیجه می شود که

در تمام نقاط منطقه (S). حالا بیایید تابع (y) را انتخاب کنیم تا تساوی برقرار باشد

برای انجام این کار، تساوی (14) مورد نیاز خود را بازنویسی می کنیم و به جای F(x,y) عبارت آن را مطابق فرمول (12) جایگزین می کنیم:

بگذارید با توجه به y در زیر علامت انتگرال تفاوت قائل شویم (این را می توان از P(x,y) و - انجام داد. توابع پیوستهدو متغیر):

از آنجایی که مطابق (11)، پس با جایگزینی با علامت انتگرال در (16)، داریم:

پس از ادغام بر روی y، خود تابع (y) را می یابیم که به گونه ای ساخته شده است که برابری (14) برآورده می شود. با استفاده از مساوات (13) و (14) می بینیم که

در منطقه (S). (18)

مثال 5. بررسی کنید که آیا معادله دیفرانسیل داده شده یک معادله دیفرانسیل کل است و آن را حل کنید.

این یک معادله دیفرانسیل در مجموع دیفرانسیل است. در واقع، با تعیین، ما متقاعد می شویم که

و این شرط لازم و کافی است برای اینکه بیان

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

دیفرانسیل کل برخی تابع U(x,y) است. علاوه بر این، اینها توابعی هستند که در R پیوسته هستند.

بنابراین، برای ادغام این معادله دیفرانسیل، باید تابعی را پیدا کنید که سمت چپ معادله دیفرانسیل یک دیفرانسیل کل باشد. بگذارید چنین تابعی U(x,y) باشد

با ادغام سمت چپ و راست بر روی x، به دست می آوریم:

برای یافتن q(y)، از این واقعیت استفاده می کنیم که

با جایگزینی مقدار یافت شده μ(y) به (*)، در نهایت تابع U(x,y) را بدست می آوریم:

انتگرال کلی معادله اصلی شکل دارد

انواع پایه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول (ادامه دارد).

معادلات دیفرانسیل خطی

تعریف: یک معادله خطی مرتبه اول معادله ای از فرم است

y" + P(x)y = f(x)، (21)

که در آن P(x) و f(x) توابع پیوسته هستند.

نام معادله با این واقعیت توضیح داده می شود که مشتق y" است تابع خطیاز y، یعنی اگر معادله (21) را به شکل y" = - P(x) + f(x) بازنویسی کنیم، آنگاه سمت راست شامل y فقط تا توان اول است.

اگر f(x) = 0، معادله است

yґ+ P(x) y = 0 (22)

خطی نامیده می شود معادله همگن. بدیهی است که یک معادله خطی همگن معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک است:

y" +P(x)y = 0;،

اگر f(x)؟ 0 و سپس معادله

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

معادله ناهمگن خطی نامیده می شود.

به طور کلی متغیرهای معادله (21) قابل تفکیک نیستند.

معادله (21) به صورت زیر حل می شود: ما به دنبال راه حلی به شکل حاصل ضرب دو تابع U(x) و V(x) خواهیم بود:

بیایید مشتق را پیدا کنیم:

y" = U"V + UV" (25)

و این عبارات را با معادله (1) جایگزین کنید:

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

بیایید اصطلاحات سمت چپ را گروه بندی کنیم:

U"V + U = f(x). (26)

اجازه دهید شرطی را بر یکی از عوامل (24) تحمیل کنیم، یعنی، فرض می کنیم که تابع V(x) به گونه ای است که عبارت در پرانتز در (26) را به طور یکسان صفر می کند، یعنی. که راه حلی برای معادله دیفرانسیل است

V" + P(x)V = 0. (27)

این یک معادله با متغیرهای قابل تفکیک است، V(x) را از آن پیدا می کنیم:

حالا بیایید تابع U(x) را پیدا کنیم به طوری که با تابع V(x) که قبلاً پیدا شده است، حاصلضرب U V جواب معادله (26) باشد. برای این کار لازم است که U(x) جواب معادله باشد

این یک معادله قابل تفکیک است، بنابراین

با جایگزینی توابع یافت شده (28) و (30) به فرمول (4)، یک جواب کلی برای معادله (21) بدست می آوریم:

بنابراین روش در نظر گرفته شده (روش برنولی) محلول را کاهش می دهد معادله خطی(21) به حل دو معادله با متغیرهای قابل تفکیک.

مثال 6. انتگرال کلی معادله را بیابید.

این معادله نسبت به y و y خطی نیست، اما اگر x را تابع مورد نظر و y را آرگومان در نظر بگیریم، خطی است.

برای حل معادله به دست آمده از روش جایگزینی (برنولی) استفاده می کنیم. ما به دنبال حل معادله به شکل x(y)=U(y)V(y) خواهیم بود، سپس. معادله را بدست می آوریم:

اجازه دهید تابع V(y) را طوری انتخاب کنیم که. سپس