برای حل همگن معادله دیفرانسیلمرتبه اول، از جایگزینی u=y/x استفاده کنید، یعنی u یک تابع مجهول جدید است که به x بستگی دارد. از این رو y=ux. مشتق y’ را با استفاده از قانون تمایز محصول پیدا می کنیم: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (از x’=1). برای شکل دیگری از نوشتن: dy=udx+xdu پس از جایگزینی، معادله را ساده کرده و به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک می رسیم.

نمونه هایی از حل معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه 1.

1) معادله را حل کنید

ما بررسی می کنیم که این معادله همگن است (به نحوه تعریف یک معادله همگن مراجعه کنید). با اطمینان، جایگزینی u=y/x را می سازیم، از این جا y=ux، y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. جایگزین: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). از آنجایی که لگاریتم محصول برابر با مجموع استلگاریتم، ln(ux)=lnu+lnx. از اینجا

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). پس از آوردن عبارت های مشابه: u'x+u=u(1+lnu). حالا براکت ها را باز کنید

u'x+u=u+u lnu. هر دو بخش حاوی u هستند، بنابراین u'x=u·lnu. از آنجایی که u تابعی از x است، u’=du/dx. جایگزین

معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست آوردیم. متغیرها را از هم جدا می کنیم که هر دو قسمت را در dx ضرب و بر x u lnu تقسیم می کنیم، مشروط بر اینکه حاصل ضرب x u lnu≠0

ما ادغام می کنیم:

در سمت چپ یک انتگرال جدولی قرار دارد. در سمت راست، ما جایگزین t=lnu می کنیم، از آنجا dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. اما قبلاً بحث کرده ایم که در چنین معادلاتی راحت تر است که ln│C│ را به جای С بگیریم. سپس

ln│t│=ln│x│+ln│C│. با خاصیت لگاریتم: ln│t│=ln│Сx│. از این رو t=Cx. (بر اساس شرط، x>0). زمان انجام تعویض معکوس است: lnu=Cx. و یک جایگزین معکوس دیگر:

با توجه به خاصیت لگاریتم:

این انتگرال کلی معادله است.

محصول شرط x·u·lnu≠0 (که به معنای x≠0،u≠0، lnu≠0، از آنجا u≠1) را به خاطر بیاورید. اما x≠0 از شرط باقی می ماند u≠1، بنابراین x≠y. بدیهی است که y=x (x>0) در آن گنجانده شده است تصمیم مشترک.

2) انتگرال جزئی معادله y’=x/y+y/x را با شرایط اولیه y(1)=2 بیابید.

ابتدا بررسی می کنیم که این معادله همگن است (اگرچه وجود عبارت های y/x و x/y قبلاً به طور غیرمستقیم این را نشان می دهد). سپس جایگزین u=y/x را می سازیم، از آنجا y=ux، y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. عبارات به دست آمده را در معادله جایگزین می کنیم:

u'x+u=1/u+u. ساده سازی:

u'x=1/u. از آنجایی که u تابعی از x است، u’=du/dx:

معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست آوردیم. برای جداسازی متغیرها، هر دو قسمت را در dx و u ضرب می‌کنیم و بر x تقسیم می‌کنیم (x≠0 با شرط، بنابراین u≠0 نیز، به این معنی که هیچ از دست دادن تصمیم‌ها وجود ندارد).

ما ادغام می کنیم:

و از آنجایی که انتگرال های جدولی در هر دو قسمت وجود دارد، بلافاصله دریافت می کنیم

انجام یک تعویض معکوس:

این انتگرال کلی معادله است. از شرط اولیه y(1)=2 استفاده می کنیم، یعنی y=2، x=1 را به جواب به دست می آوریم:

3) انتگرال کلی معادله همگن را بیابید:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

u=y/x را تغییر دهید، از آنجا y=ux، dy=xdu+udx. جایگزین می کنیم:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. x² را از پرانتز خارج می کنیم و هر دو قسمت را بر آن تقسیم می کنیم (با فرض x≠0):

x²(1-u²) (xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. پرانتزها را باز کنید و ساده کنید:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0،

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. گروه بندی عبارات با du و dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. فاکتورهای رایج را از پرانتز خارج می کنیم:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. جداسازی متغیرها:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. برای انجام این کار، هر دو بخش معادله را بر xu(u²+1)≠0 تقسیم می کنیم (بر این اساس، ما نیازهای x≠0 (از قبل ذکر شده)، u≠0 را اضافه می کنیم:

ما ادغام می کنیم:

در سمت راست معادله یک انتگرال جدولی قرار دارد، کسر گویادر سمت چپ، ما به عوامل اول تجزیه می‌شویم:

(یا در انتگرال دوم، به جای قرار گرفتن در زیر علامت دیفرانسیل، می توان جایگزین t=1+u²، dt=2udu - هرکسی که دوست دارد، انجام داد). ما گرفتیم:

با توجه به خواص لگاریتم:

تعویض معکوس

شرط u≠0 را به خاطر بیاورید. بنابراین y≠0. وقتی C=0 y=0 است، جواب ها از دست نمی روند و y=0 در انتگرال کلی گنجانده می شود.

اظهار نظر

اگر عبارت را با x در سمت چپ رها کنید، می توانید راه حل را به شکل دیگری دریافت کنید:

معنای هندسی منحنی انتگرال در این مورد، خانواده ای از دایره است که بر محور Oy متمرکز شده و از مبدا می گذرد.

وظایف خودآزمایی:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) بررسی می کنیم که معادله همگن باشد، پس از آن جایگزینی u=y/x را می سازیم، از آنجا y=ux، dy=xdu+udx. جایگزین در شرایط: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. با تقسیم دو طرف معادله بر x²≠0، به دست می آید: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. بنابراین dx+u²dx-xudu-u²dx=0. با ساده سازی، داریم: dx-xudu=0. از این رو xudu=dx، udu=dx/x. بیایید هر دو بخش را ادغام کنیم:

معادله دیفرانسیل همگن مرتبه اول معادله ای از فرم است
، که در آن f یک تابع است.

چگونه یک معادله دیفرانسیل همگن را تعریف کنیم

برای تعیین اینکه آیا یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن است، باید یک t ثابت را معرفی کرد و y را با ty و x را با tx جایگزین کرد: y → ty , x → tx . اگر t کاهش یابد، پس این است معادله دیفرانسیل همگن. مشتق y تحت چنین تبدیلی تغییر نمی کند.
.

مثال

تعیین کنید که آیا معادله داده شده همگن است یا خیر

راه حل

تغییر y → ty , x → tx را انجام می دهیم.


تقسیم بر t 2 .

.
معادله شامل t نیست. بنابراین، این یک معادله همگن است.

روش حل معادله دیفرانسیل همگن

یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن با استفاده از جایگزینی y = ux به معادله ای با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد. بیایید آن را نشان دهیم. معادله را در نظر بگیرید:
(من)
ما یک جایگزین انجام می دهیم:
y=ux
که در آن u تابعی از x است. نسبت به x متمایز کنید:
y =
معادله اصلی را جایگزین می کنیم (من).
,
,
(II) .
متغیرها را جدا کنید ضرب در dx و تقسیم بر x (f(u) - u ).

برای f (u) - u ≠ 0و x ≠ 0 ما گرفتیم:

ما ادغام می کنیم:

بنابراین، انتگرال کلی معادله را به دست آورده ایم (من)در مربع:

ثابت ادغام C را با جایگزین می کنیم ورود به سیستم C، سپس

ما علامت مدول را حذف می کنیم، زیرا علامت مورد نظربا انتخاب علامت ثابت C تعیین می شود. سپس انتگرال کلی به شکل زیر در می آید:

بعد، مورد f را در نظر بگیرید (u) - u = 0.
اگر این معادله دارای ریشه باشد، آنها راه حل معادله هستند (II). از آنجایی که معادله (II)با معادله اصلی مطابقت ندارد، پس باید مطمئن شوید که راه حل های اضافیمعادله اصلی را برآورده کنید (من).

هرگاه در فرآیند تبدیل، هر معادله ای را بر تابعی تقسیم کنیم که آن را به صورت g نشان می دهیم. (x، y)، سپس تبدیل های بعدی برای g معتبر هستند (x، y) ≠ 0. بنابراین، مورد g (x، y) = 0.

مثالی از حل معادله دیفرانسیل همگن مرتبه اول

معادله را حل کنید

راه حل

بیایید بررسی کنیم که آیا این معادله همگن است یا خیر. تغییر y → ty , x → tx را انجام می دهیم. در این مورد، y← y.
,
,
.
t را کاهش می دهیم.

ثابت t کاهش یافته است. بنابراین، معادله همگن است.

ما یک جایگزین y = ux می کنیم که u تابعی از x است.
y = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
در معادله اصلی جایگزین کنید.
,
,
,
.
برای x ≥ 0 , |x| =x برای x ≤ 0 , |x| = - x. می نویسیم |x| = x به این معنی که علامت بالایی به مقادیر x ≥ اشاره دارد 0 و پایین تر - به مقادیر x ≤ 0 .
,
ضرب در dx و تقسیم بر.

برای شما 2 - 1 ≠ 0 ما داریم:

ما ادغام می کنیم:

انتگرال های جدول،
.

بیایید فرمول را اعمال کنیم:
(a + b) (a - b) = a 2 - b 2.
بگذارید a = u , .
.
هر دو بخش مدول و لگاریتم را بگیرید،
.
از اینجا
.

بدین ترتیب داریم:
,
.
ما علامت مدول را حذف می کنیم، زیرا علامت مورد نیاز با انتخاب علامت ثابت C ارائه می شود.

ضرب در x و جایگزینی ux = y.
,
.
بیایید آن را مربع کنیم.
,
,
.

حالا قضیه را در نظر بگیرید، u 2 - 1 = 0 .
ریشه های این معادله
.
به راحتی می توان فهمید که توابع y = x معادله اصلی را برآورده می کنند.

پاسخ

,
,
.

منابع:
N.M. گونتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات عالی، لان، 2003.

پاسخ های آماده به مثال هایی برای معادلات دیفرانسیل همگنبسیاری از دانش آموزان به دنبال مرتبه اول هستند (DE های مرتبه 1 رایج ترین در آموزش هستند)، سپس می توانید آنها را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنید. اما قبل از پرداختن به مثال‌ها، توصیه می‌کنیم مطالب نظری مختصری را با دقت مطالعه کنید.
معادلات به شکل P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 که در آن توابع P(x,y) و Q(x,y) توابع همگن از یک مرتبه هستند، نامیده می شوند. معادله دیفرانسیل همگن(ODR).

طرحی برای حل معادله دیفرانسیل همگن

1. ابتدا باید جایگزینی y=z*x را اعمال کنید، که در آن z=z(x) یک تابع مجهول جدید است (بنابراین معادله اصلی به یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک کاهش می یابد.
2. مشتق حاصلضرب y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z یا در دیفرانسیل dy=d(zx)=z*dx+x* است. dz.
3. بعد، جایگزین می کنیم ویژگی جدید y و مشتق آن y" (یا dy ) در DE با متغیرهای قابل تفکیکبا توجه به x و z.
4. پس از حل معادله دیفرانسیل با متغیرهای قابل تفکیک، یک جایگزین معکوس y=z*x می کنیم، بنابراین z= y/x می کنیم و به دست می آوریم. حل کلی (انتگرال عمومی) یک معادله دیفرانسیل.
5. اگر شرط اولیه y(x 0)=y 0 داده شود، آنگاه راه حل خاصی برای مسئله کوشی پیدا می کنیم. در تئوری، همه چیز آسان به نظر می رسد، اما در عمل، حل معادلات دیفرانسیل برای همه جالب نیست. بنابراین، برای تعمیق دانش، نمونه های رایج را در نظر بگیرید. در مورد کارهای آسان، چیز زیادی برای آموزش به شما وجود ندارد، بنابراین ما بلافاصله به کارهای پیچیده تر می رویم.

محاسبات معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

مثال 1

راه حل: سمت راست معادله را بر متغیری که یک عامل نزدیک به مشتق است، تقسیم کنید. در نتیجه به آن می رسیم معادله دیفرانسیل همگن مرتبه 0

و اینجا برای خیلی ها جالب شد، چگونه ترتیب تابع یک معادله همگن را تعیین کنیم؟
سوال به اندازه کافی مرتبط است و پاسخ آن به شرح زیر است:
در سمت راست، مقدار t*x، t*y را به جای تابع و آرگومان جایگزین می کنیم. هنگام ساده سازی، پارامتر "t" به درجه معینی k به دست می آید و به آن ترتیب معادله می گویند. در مورد ما، "t" کاهش می یابد که معادل درجه 0 یا است مرتبه صفر معادله همگن
در سمت راست می توانیم به متغیر جدید y=zx برویم. z=y/x.
در عین حال فراموش نکنید که مشتق "y" را از طریق مشتق متغیر جدید بیان کنید. با قاعده قطعات، ما پیدا می کنیم

معادلات در دیفرانسیلشکل خواهد گرفت

اصطلاحات مفصل سمت راست و چپ را کم می کنیم و به آن پاس می دهیم معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده

اجازه دهید هر دو بخش DE را ادغام کنیم

برای راحتی تبدیل های بیشتر، ما بلافاصله ثابت را در زیر لگاریتم معرفی می کنیم

با توجه به خواص لگاریتم، به دست آمده است معادله لگاریتمیمعادل زیر است

این ورودی هنوز یک راه حل (پاسخ) نیست، باید به تغییر متغیرهای انجام شده برگردید

بنابراین آنها پیدا می کنند حل کلی معادلات دیفرانسیل. اگر درس های قبلی را با دقت مطالعه کرده باشید، گفتیم که شما باید بتوانید طرح محاسبه معادلات با متغیرهای جدا شده را آزادانه اعمال کنید و اینگونه معادلات باید بیشتر محاسبه شوند. انواع پیچیده DU.

مثال 2 انتگرال یک معادله دیفرانسیل را پیدا کنید

راه حل: طرح محاسبه DE های همگن و خلاصه اکنون برای شما آشنا است. متغیر را به سمت راست معادله منتقل می کنیم و همچنین در صورت و مخرج x 2 را به عنوان یک عامل مشترک در می آوریم.

بنابراین، یک DE مرتبه صفر همگن به دست می آوریم.
قدم بعدی معرفی تغییر متغیرهای z=y/x، y=z*x است که مدام یادآوری می کنیم که آن ها را حفظ کنید.

پس از آن، DE را به صورت دیفرانسیل می نویسیم

بعد، ما وابستگی را به معادله دیفرانسیل با متغیرهای جدا شده

و آن را با ادغام حل کنید.

انتگرال ها ساده هستند، بقیه تبدیل ها بر اساس ویژگی های لگاریتم است. آخرین اقدام شامل افشای لگاریتم است. در نهایت به جایگزین اصلی برمی گردیم و در فرم می نویسیم

ثابت "C" هر مقداری را می گیرد. همه کسانی که به صورت غیرحضوری درس می خوانند در امتحانات با این نوع معادلات مشکل دارند، پس لطفا طرح محاسباتی را با دقت ببینید و به خاطر بسپارید.

مثال 3 حل معادله دیفرانسیل

حل: همانطور که از تکنیک بالا بر می آید، معادلات دیفرانسیل از این نوع حل می شود با معرفی یک متغیر جدیدبیایید وابستگی را بازنویسی کنیم تا مشتق بدون متغیر باشد

علاوه بر این، با تجزیه و تحلیل سمت راست، می بینیم که قسمت -ee در همه جا وجود دارد و با مجهول جدید نشان داده می شود.
z=y/x، y=z*x.
یافتن مشتق y

با در نظر گرفتن جایگزینی، DE اصلی را در فرم بازنویسی می کنیم

همان شرایط را ساده کنید و همه عبارت های دریافتی را به DE کاهش دهید با متغیرهای جدا شده

با ادغام هر دو طرف برابری

به صورت لگاریتمی به جواب می رسیم

با افشای وابستگی هایی که پیدا می کنیم حل کلی معادله دیفرانسیل

که پس از جایگزینی تغییر اولیه متغیرها به آن شکل می گیرد

در اینجا C یک ثابت است، که می تواند از شرایط کوشی گسترش یابد. اگر مسئله کوشی داده نشود، به یک مقدار واقعی دلخواه تبدیل می شود.
این همه حکمت در محاسبه معادلات دیفرانسیل همگن است.

من فکر می کنم ما باید با تاریخچه چنین ابزار ریاضی باشکوهی مانند معادلات دیفرانسیل شروع کنیم. مانند تمام محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، این معادلات توسط نیوتن در پایان قرن هفدهم اختراع شد. او این کشف خود را به قدری مهم می‌دانست که حتی پیامی را که امروزه می‌توان چیزی شبیه به این ترجمه کرد، رمزگذاری کرد: «همه قوانین طبیعت با معادلات دیفرانسیل توصیف می‌شوند». این ممکن است اغراق آمیز به نظر برسد، اما حقیقت دارد. هر قانون فیزیک، شیمی، زیست شناسی را می توان با این معادلات توصیف کرد.

اویلر و لاگرانژ ریاضیدانان سهم بزرگی در توسعه و ایجاد نظریه معادلات دیفرانسیل داشتند. قبلاً در قرن 18، آنها آنچه را که اکنون در دوره های ارشد دانشگاه ها مطالعه می کنند، کشف و توسعه دادند.

نقطه عطف جدیدی در مطالعه معادلات دیفرانسیل به لطف هانری پوانکر آغاز شد. او "نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل" را ایجاد کرد که در ترکیب با نظریه توابع یک متغیر مختلط، سهم قابل توجهی در پایه و اساس توپولوژی - علم فضا و خواص آن داشت.

معادلات دیفرانسیل چیست؟

بسیاری از مردم از یک عبارت می ترسند، با این حال، در این مقاله به جزئیات کامل ماهیت این دستگاه ریاضی بسیار مفید خواهیم پرداخت، که در واقع آنقدرها که از نام آن به نظر می رسد پیچیده نیست. برای شروع صحبت در مورد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، ابتدا باید با مفاهیم اساسی که ذاتاً با این تعریف مرتبط هستند آشنا شوید. بیایید با دیفرانسیل شروع کنیم.

دیفرانسیل

بسیاری از مردم این مفهوم را از مدرسه می دانند. با این حال، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به آن بیندازیم. نمودار یک تابع را تصور کنید. ما می توانیم آن را به حدی افزایش دهیم که هر یک از بخش های آن به شکل یک خط مستقیم درآید. روی آن دو نقطه را می گیریم که بی نهایت به هم نزدیک هستند. تفاوت بین مختصات آنها (x یا y) یک مقدار بی نهایت کوچک خواهد بود. دیفرانسیل نامیده می شود و با علائم dy (دیفرانسیل از y) و dx (دیفرانسیل از x) نشان داده می شود. درک این نکته بسیار مهم است که دیفرانسیل یک مقدار محدود نیست و این معنی و عملکرد اصلی آن است.

و اکنون لازم است عنصر زیر را در نظر بگیریم که در توضیح مفهوم معادله دیفرانسیل برای ما مفید خواهد بود. این یک مشتق است.

مشتق

همه ما احتمالاً این مفهوم را در مدرسه شنیده ایم. مشتق به نرخ رشد یا کاهش یک تابع گفته می شود. با این حال، بسیاری از این تعریف غیر قابل درک می شود. بیایید سعی کنیم مشتق را از نظر دیفرانسیل توضیح دهیم. بیایید به یک بخش بی نهایت کوچک از یک تابع با دو نقطه که در حداقل فاصله از یکدیگر قرار دارند، برگردیم. اما حتی برای این فاصله، تابع می تواند مقداری تغییر کند. و به منظور توصیف این تغییر، آنها مشتقی را ارائه کردند که در غیر این صورت می توان آن را به عنوان نسبتی از دیفرانسیل ها نوشت: f (x) "=df / dx.

اکنون ارزش در نظر گرفتن ویژگی های اساسی مشتق را دارد. فقط سه مورد از آنها وجود دارد:

1. مشتق حاصل جمع یا تفاوت را می توان به صورت مجموع یا تفاوت مشتقات نشان داد: (a+b)"=a"+b" و (a-b)"=a"-b".
2. خاصیت دوم مربوط به ضرب است. مشتق یک محصول مجموع حاصلضرب یک تابع و مشتق تابع دیگر است: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. مشتق تفاوت را می توان به صورت برابری زیر نوشت: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

همه این ویژگی ها برای یافتن جواب معادلات دیفرانسیل مرتبه اول برای ما مفید خواهد بود.

مشتقات جزئی نیز وجود دارد. فرض کنید یک تابع z داریم که به متغیرهای x و y بستگی دارد. برای محاسبه مشتق جزئی این تابع، مثلاً با توجه به x، باید متغیر y را ثابت در نظر بگیریم و به سادگی آن را متمایز کنیم.

انتگرال

مفهوم مهم دیگر انتگرال است. در واقع، این دقیقاً مخالف مشتق است. انواع مختلفی از انتگرال وجود دارد، اما برای حل ساده ترین معادلات دیفرانسیل، به پیش پا افتاده ترین آنها نیاز داریم.

بنابراین، فرض کنید مقداری از f به x وابستگی داریم. انتگرال را از آن می گیریم و تابع F (x) را می گیریم (که اغلب به آن پاد مشتق می گویند) که مشتق آن برابر تابع اصلی است. بنابراین F(x)"=f(x). همچنین نتیجه می شود که انتگرال مشتق برابر با تابع اصلی است.

هنگام حل معادلات دیفرانسیل، درک معنی و عملکرد انتگرال بسیار مهم است، زیرا برای یافتن راه حل باید اغلب آنها را استفاده کنید.

معادلات بسته به ماهیت آنها متفاوت است. در قسمت بعدی انواع معادلات دیفرانسیل مرتبه اول را بررسی می کنیم و سپس نحوه حل آنها را یاد می گیریم.

کلاس های معادلات دیفرانسیل

«دیفورا» به ترتیب مشتقات دخیل در آنها تقسیم می شوند. بنابراین، ترتیب اول، دوم، سوم و بیشتر وجود دارد. همچنین می توان آنها را به چند دسته تقسیم کرد: مشتقات معمولی و جزئی.

در این مقاله معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه اول را بررسی خواهیم کرد. همچنین در قسمت های بعدی به مثال ها و راه های حل آن ها خواهیم پرداخت. ما فقط ODE ها را در نظر می گیریم، زیرا این ها رایج ترین انواع معادلات هستند. معمولی به زیر گونه ها تقسیم می شوند: با متغیرهای قابل تفکیک، همگن و ناهمگن. در مرحله بعد، تفاوت آنها با یکدیگر را یاد خواهید گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهید گرفت.

علاوه بر این، می توان این معادلات را با هم ترکیب کرد، به طوری که پس از یک سیستم معادلات دیفرانسیل درجه اول به دست می آید. ما همچنین چنین سیستم هایی را در نظر خواهیم گرفت و نحوه حل آنها را یاد خواهیم گرفت.

چرا فقط دستور اول را در نظر می گیریم؟ زیرا شما باید با یک مورد ساده شروع کنید و توصیف همه چیز مربوط به معادلات دیفرانسیل در یک مقاله به سادگی غیرممکن است.

معادلات متغیر قابل تفکیک

اینها شاید ساده ترین معادلات دیفرانسیل مرتبه اول باشند. اینها شامل نمونه هایی هستند که می توانند به این صورت نوشته شوند: y "=f (x) * f (y). برای حل این معادله، ما به فرمولی برای نمایش مشتق به عنوان نسبت دیفرانسیل ها نیاز داریم: y" = dy / dx. با استفاده از آن، معادله زیر را بدست می آوریم: dy/dx=f(x)*f(y). حالا می‌توانیم به روش حل مثال‌های استاندارد بپردازیم: متغیرها را به قسمت‌هایی تقسیم می‌کنیم، یعنی همه چیز را با متغیر y به قسمتی که dy در آن قرار دارد منتقل می‌کنیم و با متغیر x نیز همین کار را می‌کنیم. معادله ای به شکل dy/f(y)=f(x)dx بدست می آوریم که با گرفتن انتگرال هر دو قسمت حل می شود. ثابت را فراموش نکنید که باید پس از گرفتن انتگرال تنظیم شود.

جواب هر «تفاوت» تابعی از وابستگی x به y است (در مورد ما) یا اگر شرط عددی وجود داشته باشد، پاسخ به شکل یک عدد است. بیایید با استفاده از یک مثال خاص به کل راه حل نگاهی بیندازیم:

ما متغیرها را در جهات مختلف انتقال می دهیم:

حالا انتگرال ها را می گیریم. همه آنها را می توان در جدول ویژه ای از انتگرال ها یافت. و دریافت می کنیم:

log(y) = -2*cos(x) + C

در صورت لزوم، می توانیم "y" را به عنوان تابعی از "x" بیان کنیم. حال می توان گفت که معادله دیفرانسیل ما حل می شود اگر شرطی داده نشود. یک شرط می تواند داده شود، برای مثال، y(n/2)=e. سپس به سادگی مقدار این متغیرها را جایگزین جواب می کنیم و مقدار ثابت را پیدا می کنیم. در مثال ما برابر با 1 است.

معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول

حالا بیایید به قسمت دشوارتر برویم. معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول را می توان در آن نوشت نمای کلیبنابراین: y"=z(x,y). لازم به ذکر است که تابع سمت راست دو متغیر همگن است و نمی توان آن را به دو وابستگی تقسیم کرد: z روی x و z روی y. بررسی همگن بودن معادله یا not بسیار ساده است: ما جایگزین x=k*x و y=k*y می کنیم. اکنون همه k را لغو می کنیم. اگر همه این حروف کاهش یافته باشند، معادله همگن است و می توانید با خیال راحت به حل آن ادامه دهید. پیش از این، بیایید بگوییم: اصل حل این مثال ها نیز بسیار ساده است.

ما باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=t(x)*x، جایی که t تابعی است که به x نیز بستگی دارد. سپس می توانیم مشتق را بیان کنیم: y"=t"(x)*x+t. با جایگزینی همه اینها به معادله اصلی خود و ساده کردن آن، مثالی با متغیرهای قابل تفکیک t و x می‌گیریم. آن را حل می کنیم و وابستگی t(x) را بدست می آوریم. وقتی آن را دریافت کردیم، به سادگی y=t(x)*x را با جایگزین قبلی خود جایگزین می کنیم. سپس وابستگی y را به x می گیریم.

برای روشن‌تر شدن، اجازه دهید به یک مثال نگاه کنیم: x*y"=y-x*e y/x.

هنگام بررسی با جایگزین، همه چیز کاهش می یابد. بنابراین معادله واقعاً همگن است. حالا ما جایگزین دیگری می کنیم که در مورد آن صحبت کردیم: y=t(x)*x و y"=t"(x)*x+t(x). پس از ساده سازی، معادله زیر را به دست می آوریم: t "(x) * x \u003d -e t. مثال حاصل را با متغیرهای جدا شده حل می کنیم و می گیریم: e -t \u003dln (C * x). فقط باید t را جایگزین کنیم. با y / x (زیرا اگر y \u003d t * x ، سپس t \u003d y / x) ، و پاسخ را می گیریم: e -y / x \u003d ln (x * C).

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

وقت آن است که یک موضوع گسترده دیگر را در نظر بگیریم. ما معادلات دیفرانسیل ناهمگن مرتبه اول را تحلیل خواهیم کرد. تفاوت آنها با دو مورد قبلی چیست؟ بیایید آن را بفهمیم. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول را می توان به صورت زیر نوشت: y " + g (x) * y \u003d z (x). شایان ذکر است که z (x) و g (x) می توانند مقادیر ثابت باشند. .

و اکنون یک مثال: y" - y*x=x 2 .

دو راه برای حل وجود دارد و ما هر دو را به ترتیب تجزیه و تحلیل می کنیم. اولین روش، روش تغییر ثوابت دلخواه است.

برای حل معادله به این صورت، ابتدا باید سمت راست را با صفر برابر کنید و معادله حاصل را حل کنید که پس از انتقال قطعات به شکل زیر در می آید:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

حالا باید ثابت C 1 را با تابع v(x) جایگزین کنیم که باید آن را پیدا کنیم.

بیایید مشتق را تغییر دهیم:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

بیایید این عبارات را در معادله اصلی جایگزین کنیم:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

مشاهده می شود که دو ترم در سمت چپ لغو شده است. اگر در مثالی این اتفاق نیفتاد، پس شما کار اشتباهی انجام دادید. بیا ادامه بدهیم:

v"*e x2/2 = x 2.

اکنون معادله معمولی را حل می کنیم که در آن باید متغیرها را از هم جدا کنیم:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

برای استخراج انتگرال، باید یکپارچه سازی توسط قطعات را در اینجا اعمال کنیم. با این حال، این موضوع مقاله ما نیست. اگر علاقه مند هستید، می توانید نحوه انجام چنین اقداماتی را خودتان یاد بگیرید. کار سختی نیست و با مهارت و دقت کافی زمان زیادی نمی برد.

اجازه دهید به روش دوم برای حل معادلات ناهمگن بپردازیم: روش برنولی. اینکه کدام روش سریعتر و آسانتر است به شما بستگی دارد.

بنابراین، هنگام حل معادله با این روش، باید یک جایگزین ایجاد کنیم: y=k*n. در اینجا k و n برخی از توابع وابسته به x هستند. سپس مشتق شبیه به این خواهد شد: y"=k"*n+k*n. هر دو جایگزین را در معادله جایگزین می کنیم:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

گروه بندی:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

اکنون باید آنچه را که در پرانتز است با صفر برابر کنیم. حال، اگر دو معادله حاصل را با هم ترکیب کنیم، سیستمی از معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به دست می آید که باید حل شوند:

تساوی اول را به صورت یک معادله معمولی حل می کنیم. برای این کار باید متغیرها را از هم جدا کنید:

انتگرال را می گیریم و می گیریم: ln(n)=x 2/2. سپس، اگر n را بیان کنیم:

اکنون تساوی حاصل را با معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

و با تبدیل، برابری مشابه روش اول را بدست می آوریم:

dk=x 2 /e x2/2 .

ما همچنین اقدامات بعدی را تجزیه و تحلیل نخواهیم کرد. شایان ذکر است که در ابتدا حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول مشکلات قابل توجهی ایجاد می کند. با این حال، با غوطه ور شدن بیشتر در موضوع، شروع به بهتر شدن و بهتر شدن می کند.

معادلات دیفرانسیل کجا استفاده می شود؟

معادلات دیفرانسیل به طور فعال در فیزیک استفاده می شوند، زیرا تقریباً تمام قوانین اساسی به شکل دیفرانسیل نوشته شده اند و فرمول هایی که می بینیم حل این معادلات هستند. در شیمی، آنها به همین دلیل استفاده می شوند: قوانین اساسی از آنها مشتق شده است. در زیست‌شناسی، معادلات دیفرانسیل برای مدل‌سازی رفتار سیستم‌هایی مانند شکارچی-شکار استفاده می‌شود. آنها همچنین می توانند برای ایجاد مدل های تولید مثل مثلاً یک کلونی از میکروارگانیسم ها استفاده شوند.

معادلات دیفرانسیل چگونه در زندگی کمک خواهد کرد؟

پاسخ به این سوال ساده است: به هیچ وجه. اگر دانشمند یا مهندس نیستید، بعید است که آنها برای شما مفید باشند. با این حال، برای توسعه عمومیدانستن اینکه معادله دیفرانسیل چیست و چگونه حل می شود، ضرری ندارد. و سپس سوال پسر یا دختر "معادله دیفرانسیل چیست؟" شما را گیج نمی کند خوب، اگر دانشمند یا مهندس هستید، پس خودتان اهمیت این موضوع را در هر علمی درک می کنید. اما مهمترین چیز این است که اکنون این سوال مطرح می شود که "چگونه معادله دیفرانسیل مرتبه اول را حل کنیم؟" شما همیشه می توانید پاسخ دهید موافقم، وقتی می فهمی که مردم حتی از درک آن چه می ترسند، همیشه خوب است.

مشکلات اصلی در یادگیری

مشکل اصلی در درک این موضوع، مهارت ضعیف در یکپارچه سازی و تمایز توابع است. اگر در گرفتن مشتقات و انتگرال ها خوب نیستید، احتمالاً ارزش یادگیری بیشتر، تسلط بر روش های مختلف ادغام و تمایز را دارد و تنها پس از آن به مطالعه مطالبی که در مقاله توضیح داده شد، ادامه دهید.

برخی از افراد وقتی می آموزند که dx قابل انتقال است شگفت زده می شوند، زیرا قبلا (در مدرسه) گفته شده بود که کسری dy / dx غیرقابل تقسیم است. در اینجا باید ادبیات مشتق را بخوانید و بفهمید که این نسبت کمیت های بی نهایت کوچک است که می توان هنگام حل معادلات دستکاری کرد.

بسیاری بلافاصله متوجه نمی شوند که حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول اغلب یک تابع یا یک انتگرال است که نمی توان آن را گرفت و این توهم برای آنها دردسرهای زیادی ایجاد می کند.

چه چیز دیگری را می توان برای درک بهتر مطالعه کرد؟

بهتر است غوطه ور شدن بیشتر در دنیای حساب دیفرانسیل را با کتاب های درسی تخصصی شروع کنید، به عنوان مثال، تجزیه و تحلیل ریاضیبرای دانشجویان رشته های غیر ریاضی سپس می توانید به سراغ ادبیات تخصصی تری بروید.

شایان ذکر است که علاوه بر معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال نیز وجود دارد، بنابراین شما همیشه چیزی برای تلاش و چیزی برای مطالعه خواهید داشت.

نتیجه

امیدواریم پس از خواندن این مقاله ایده ای در مورد اینکه معادلات دیفرانسیل چیست و چگونه آنها را به درستی حل کنید، داشته باشید.

در هر صورت، ریاضیات به نوعی برای ما در زندگی مفید است. این منطق و توجه را توسعه می دهد که بدون آن هر فرد مانند بدون دست است.

همگن

در این درس، به اصطلاح نگاه خواهیم کرد معادلات دیفرانسیل همگن مرتبه اول. همراه با معادلات متغیر قابل تفکیکو معادلات ناهمگن خطیاین نوع از کنترل از راه دور تقریباً در همه یافت می شود کنترل کاردر موضوع انتشار اگر از یک موتور جستجو وارد صفحه شده اید یا به معادلات دیفرانسیل خیلی مطمئن نیستید، ابتدا به شدت توصیه می کنم که یک درس مقدماتی در مورد این موضوع داشته باشید - معادلات دیفرانسیل مرتبه اول. واقعیت این است که بسیاری از اصول برای حل معادلات همگن و تکنیک های مورد استفاده دقیقاً مشابه ساده ترین معادلات با متغیرهای قابل تفکیک خواهد بود.

تفاوت بین معادلات دیفرانسیل همگن و سایر انواع DE چیست؟ این ساده ترین است که بلافاصله با یک مثال ملموس توضیح دهید.

مثال 1

راه حل:
چی اول از همههنگام تصمیم گیری باید تجزیه و تحلیل شود هرمعادله دیفرانسیل سفارش اول? قبل از هر چیز، لازم است بررسی شود که آیا می توان بلافاصله متغیرها را با استفاده از اقدامات "مدرسه" جدا کرد؟ معمولاً چنین تحلیلی به صورت ذهنی یا تلاش برای جداسازی متغیرها در پیش نویس انجام می شود.

در این مثال متغیرها قابل تفکیک نیستند(می توانید سعی کنید اصطلاحات را از قسمتی به قسمت دیگر برگردانید، فاکتورها را از پرانتز خارج کنید و غیره). به هر حال، در این مثال، این واقعیت که متغیرها قابل تقسیم نیستند به دلیل وجود عامل کاملاً مشهود است.

این سوال مطرح می شود - چگونه این اختلاف را حل کنیم؟

نیاز به بررسی و آیا این معادله همگن است؟? تأیید ساده است و خود الگوریتم تأیید را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

به معادله اصلی:

بجایجایگزین ، بجایجایگزین ، مشتق را لمس نکنید:

حرف لامبدا یک پارامتر شرطی است و در اینجا نقش زیر را ایفا می کند: اگر در نتیجه تبدیل ها بتوان همه لامبداها را "از بین برد" و معادله اصلی را به دست آورد، پس این معادله دیفرانسیل همگن است.

بدیهی است که لامبداها بلافاصله در توان خنثی می شوند:

حالا در سمت راست، لامبدا را از پرانتز خارج می کنیم:

و هر دو قسمت را بر همین لامبدا تقسیم کنید:

در نتیجه همهلامبداها مانند یک رویا، مانند مه صبحگاهی ناپدید شدند، و ما معادله اصلی را دریافت کردیم.

نتیجه:این معادله همگن است

چگونه یک معادله دیفرانسیل همگن را حل کنیم؟

یه خبر خیلی خوب دارم مطلقاً تمام معادلات همگن را می توان با یک جایگزین استاندارد (!) حل کرد.

تابع "y" باید جایگزین کردن کار کردنبرخی از عملکردها (همچنین وابسته به "x")و "x":

تقریباً همیشه به طور خلاصه بنویسید:

ما متوجه می شویم که مشتق با چنین جایگزینی به چه چیزی تبدیل می شود، از قانون متمایز کردن یک محصول استفاده می کنیم. اگر پس از آن:

جایگزین در معادله اصلی:

چنین جایگزینی چه خواهد کرد؟ پس از این جایگزینی و ساده سازی های انجام شده، ما تضمینمعادله ای با متغیرهای قابل تفکیک به دست می آوریم. یاد آوردنمثل عشق اول :) و بر این اساس، .

پس از تعویض، ما حداکثر ساده سازی را انجام می دهیم:

از آنجایی که تابعی است که به "x" بستگی دارد، پس مشتق آن را می توان به صورت کسری استاندارد نوشت: .
به این ترتیب:

ما متغیرها را جدا می کنیم، در حالی که در سمت چپ شما باید فقط "te" را جمع آوری کنید، و در سمت راست - فقط "x":

متغیرها از هم جدا می شوند، ما ادغام می کنیم:


طبق اولین نکته فنی من از مقاله معادلات دیفرانسیل مرتبه اولدر بسیاری از موارد مصلحت است که یک ثابت را به شکل لگاریتم "فرمول بندی" کنیم.

پس از یکپارچه شدن معادله، باید آن را انجام دهید تعویض معکوس، همچنین استاندارد و منحصر به فرد است:
اگر پس از آن
در این مورد:

در 18-19 مورد از 20 مورد، حل معادله همگن به صورت یک انتگرال کلی نوشته می شود..

پاسخ:انتگرال عمومی:

چرا پاسخ یک معادله همگن تقریباً همیشه به صورت یک انتگرال کلی داده می شود؟
در بیشتر موارد، بیان "y" به شکل صریح (برای به دست آوردن یک راه حل کلی) غیرممکن است، و اگر امکان پذیر باشد، اغلب راه حل کلی دست و پا گیر و دست و پا گیر می شود.

بنابراین، به عنوان مثال، در مثال در نظر گرفته شده، راه حل کلی را می توان با آویزان کردن لگاریتم ها در هر دو قسمت انتگرال کلی به دست آورد:

- خب، هنوز خوبه. گرچه، می بینید، هنوز کج است.

به هر حال، در این مثال، من انتگرال کلی را کاملاً "محتوا" ننوشتم. این یک اشتباه نیست، اما به سبک "خوب" یادآوری می کنم، مرسوم است که انتگرال کلی را به شکل بنویسید. برای انجام این کار، بلافاصله پس از ادغام معادله، ثابت باید بدون هیچ لگاریتمی نوشته شود (این استثنا قاعده است!):

و پس از جایگزینی معکوس، انتگرال کلی را به شکل "کلاسیک" دریافت کنید:

پاسخ دریافتی قابل بررسی است. برای انجام این کار، باید انتگرال کلی را متمایز کنید، یعنی پیدا کنید مشتق تابعی که به طور ضمنی تعریف شده است:

با ضرب هر ضلع معادله در: از شر کسر خلاص شوید:

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

توصیه می شود همیشه بررسی کنید. اما معادلات همگن ناخوشایند هستند زیرا معمولاً بررسی انتگرال های کلی آنها دشوار است - این به یک تکنیک تمایز بسیار بسیار مناسب نیاز دارد. در مثال در نظر گرفته شده، در حین تأیید، لازم بود که ساده ترین مشتقات را پیدا نکنید (اگرچه خود مثال بسیار ساده است). اگر می توانید آن را بررسی کنید، آن را بررسی کنید!

مثال 2

معادله را برای همگنی بررسی کنید و انتگرال کلی آن را بیابید.

پاسخ را در فرم بنویسید

این نمونه ای برای یک تصمیم مستقل است - به طوری که به خود الگوریتم اقدامات عادت کنید. در اوقات فراغت خود را بررسی کنید، زیرا. اینجا کاملاً پیچیده است و من حتی شروع به آوردن آن نکردم ، در غیر این صورت دیگر به چنین دیوانه ای نخواهید رسید :)

و اینک نکته مهم وعده داده شده که در قسمت بسیار ذکر شده است ابتدای موضوع,
با حروف سیاه پررنگ:

اگر در جریان تحولات عامل را "بازنشانی" کنیم (نه ثابت)به مخرج، پس ما در خطر از دست دادن راه حل ها هستیم!

و در واقع در همان مثال اول با این مورد مواجه شدیم. درس مقدماتی معادلات دیفرانسیل. در فرآیند حل معادله، "y" در مخرج است: ، اما، بدیهی است، راه حلی برای DE است، و در نتیجه یک تبدیل غیر معادل (تقسیم)، هر شانسی وجود دارد. از دست دادنش! نکته دیگر این است که در مقدار صفر ثابت وارد راه حل کلی می شود. تنظیم مجدد "x" به مخرج نیز می تواند نادیده گرفته شود، زیرا انتشار اصلی را برآورده نمی کند.

داستانی مشابه با معادله سوم همان درس که در حین حل آن به مخرج "افتادیم". به طور دقیق، در اینجا لازم بود بررسی شود که آیا انتشار داده شده یک راه حل است؟ پس از همه، آن است! اما حتی در اینجا "همه چیز درست شد" ، زیرا این تابع وارد انتگرال عمومی شد در .

و اگر معمولاً در معادلات «جداپذیر» چنین است؛) «غلط می‌کند»، در صورت همگن و برخی دیگر پراکنده‌ها ممکن است «نغلتد». با احتمال زیاد.

بیایید مشکلاتی را که قبلاً در این درس حل شده است تجزیه و تحلیل کنیم: مثال 1"تنظیم مجدد" x وجود دارد، با این حال، نمی تواند راه حلی برای معادله باشد. ولی در مثال 2تقسیم کردیم ، اما این نیز "از بین رفت": از آنجایی که راه حل ها نمی توانند گم شوند، آنها به سادگی در اینجا وجود ندارند. اما، البته، من "موارد خوشحال کننده" را عمدا ترتیب دادم، و این واقعیتی نیست که آنها در عمل با آنها برخورد کنند:

مثال 3

حل معادله دیفرانسیل

مثال ساده ای نیست؟ ;-)

راه حل:همگنی این معادله واضح است، اما هنوز - در اولین پلههمیشه بررسی کنید که آیا متغیرها قابل جدا شدن هستند یا خیر. زیرا معادله نیز همگن است، اما متغیرهای موجود در آن بی سر و صدا از هم جدا می شوند. بله، تعدادی وجود دارد!

پس از بررسی "جدایی پذیری"، معادله را جایگزین می کنیم و تا حد امکان معادله را ساده می کنیم:

متغیرها را جدا می کنیم، در سمت چپ "te" را جمع آوری می کنیم، در سمت راست - "x":

و اینجا STOP است. هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن دو عملکرد را در یک زمان داریم. از آنجا که ، پس این توابع هستند:

تابع اول واضح است که جواب معادله است . ما مورد دوم را بررسی می کنیم - مشتق آن را در دیفور خود جایگزین می کنیم:

- برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که تابع یک راه حل است.

و خطر از دست دادن این تصمیمات را داریم.

علاوه بر این، مخرج "X" بود، با این حال، جایگزینی نشان می دهد که آن غیر صفر است. این واقعیت را به خاطر بسپارید. ولی! حتما بررسی کنید، آیا راه حلی برای معادله دیفرانسیل ORIGINAL است. نه اینطور نیست.

بیایید به همه اینها توجه کنیم و ادامه دهیم:

باید گفت با انتگرال سمت چپ خوش شانس بودیم، خیلی بدتر اتفاق می افتد.

ما یک لگاریتم را در سمت راست جمع آوری می کنیم و قیدها را دوباره تنظیم می کنیم:

و همین الان جایگزین معکوس:

ضرب همه عبارت ها در:

حالا برای بررسی - آیا راه حل های "خطرناک" در انتگرال کلی گنجانده شده است. بله، هر دو راه حل با مقدار صفر ثابت در انتگرال کلی گنجانده می شوند: بنابراین نیازی به نشان دادن اضافی در پاسخ:

انتگرال عمومی:

معاینه. نه حتی یک امتحان، اما لذت خالص :)

معادله دیفرانسیل اصلی به دست آمده است، به این معنی که راه حل به درستی پیدا شده است.

برای یک راه حل مستقل:

مثال 4

تست همگنی انجام دهید و معادله دیفرانسیل را حل کنید

انتگرال کلی را می توان با تمایز بررسی کرد.

راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

چند مثال را در نظر بگیرید که در آن یک معادله همگن با دیفرانسیل های آماده ارائه شده است.

مثال 5

حل معادله دیفرانسیل

این خیلی مثال جالب، به طور مستقیم کل هیجان انگیز!

راه حلما به فشرده تر کردن آن عادت خواهیم کرد. ابتدا به صورت ذهنی یا روی یک پیش نویس، مطمئن می شویم که متغیرها نمی توانند در اینجا تقسیم شوند، پس از آن یکنواختی را بررسی می کنیم - معمولاً روی یک کپی تمیز انجام نمی شود. (مگر اینکه به طور خاص مورد نیاز باشد). بنابراین، تقریباً همیشه راه حل با این ورودی شروع می شود: " این معادله همگن است، بیایید جایگزینی ایجاد کنیم: ...».

اگر یک معادله همگن حاوی دیفرانسیل های آماده باشد، می توان آن را با یک جایگزینی اصلاح شده حل کرد:

اما من استفاده از چنین جایگزینی را توصیه نمی کنم، زیرا معلوم می شود که دیوار بزرگ چین از دیفرانسیل ها است، جایی که شما به یک چشم و یک چشم نیاز دارید. از نقطه نظر فنی، بهتر است که به علامت "خطوط" مشتق بروید، برای این کار ما تمام عبارات معادله را بر اساس تقسیم می کنیم:

و در حال حاضر در اینجا ما یک تحول "خطرناک" ایجاد کرده ایم!دیفرانسیل صفر مربوط به - خانواده ای از خطوط موازی با محور است. آیا آنها ریشه DU ما هستند؟ جایگزین در معادله اصلی:

این برابری در صورتی صادق است که، یعنی، هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن راه حل را داشته باشیم، و ما آن را از دست دادیم- چون اون دیگر راضی نمی کندمعادله حاصل .

لازم به ذکر است که اگر ما در اصلمعادله داده شد ، در این صورت ریشه از بحث خارج می شود. اما ما آن را داریم و به موقع آن را "گرفتیم".

راه حل را با یک جایگزین استاندارد ادامه می دهیم:
:

پس از تعویض، معادله را تا حد امکان ساده می کنیم:

جداسازی متغیرها:

و دوباره STOP: هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن دو تابع را داریم. از آنجا که ، پس این توابع هستند:

بدیهی است که تابع اول یک راه حل برای معادله است . ما دوم را بررسی می کنیم - ما و مشتق آن را جایگزین می کنیم:

- اخذ شده برابری واقعی، بنابراین تابع نیز حل معادله دیفرانسیل است.

و هنگام تقسیم بر، خطر از دست دادن این راه حل ها را داریم. با این حال، آنها می توانند وارد یک انتگرال مشترک شوند. اما ممکن است وارد نشوند.

بیایید به این نکته توجه داشته باشیم و هر دو بخش را ادغام کنیم:

انتگرال سمت چپ به طور استاندارد با استفاده از حل می شود انتخاب یک مربع کامل، اما در دیفیوزرها استفاده از آن بسیار راحت تر است روش ضرایب نامشخص:

با استفاده از روش ضرایب نامعین، انتگرال را به مجموع کسرهای ابتدایی گسترش می دهیم:


به این ترتیب:

ما انتگرال ها را پیدا می کنیم:

- از آنجایی که ما فقط لگاریتم ها را ترسیم کرده ایم، ثابت را نیز زیر لگاریتم فشار می دهیم.

قبل از تعویض همه چیز را که می توان ساده کرد دوباره ساده کنید:

زنجیر انداختن:

و جایگزینی معکوس:

اکنون "زیان" را به یاد می آوریم: راه حل در انتگرال عمومی وارد شد ، اما - "از صندوق پول عبور کرد" ، زیرا در مخرج ظاهر شد. بنابراین، در پاسخ، یک عبارت جداگانه به آن تعلق می گیرد، و بله - تصمیم از دست رفته را فراموش نکنید، که به هر حال، در پایین نیز معلوم شد.

پاسخ:انتگرال عمومی: . راه حل های بیشتر:

بیان راه حل کلی در اینجا چندان دشوار نیست:
، اما این در حال حاضر خودنمایی است.

با این حال، برای آزمایش راحت است. بیایید مشتق را پیدا کنیم:

و جایگزین سمت چپ معادله:

- در نتیجه دریافت شد قسمت راستمعادلات، که قرار بود تایید شود.

تفاوت زیر به خودی خود است:

مثال 6

حل معادله دیفرانسیل

حل کامل و پاسخ در پایان درس. در عین حال برای آموزش تلاش کنید و راه حل کلی را در اینجا بیان کنید.

در بخش پایانی درس، چند کار مشخص دیگر را در مورد این موضوع در نظر خواهیم گرفت:

مثال 7

حل معادله دیفرانسیل

راه حل:بیایید مسیر شکست خورده را برویم. این معادله همگن است، تغییر می دهیم:

با "x" همه چیز مرتب است، اما در مورد مثلث مربع چطور؟ از آنجایی که به عوامل : تجزیه ناپذیر است، پس قطعا راه حل ها را از دست نمی دهیم. همیشه اینطوری خواهد بود! مربع کامل سمت چپ را انتخاب کرده و ادغام کنید:

در اینجا چیزی برای ساده کردن وجود ندارد، و بنابراین جایگزینی معکوس:

پاسخ:انتگرال عمومی:

مثال 8

حل معادله دیفرانسیل

این یک مثال برای خودتان است.

بنابراین:

برای تبدیل های غیر معادل، همیشه بررسی کنید (حداقل شفاهی), آیا تصمیمات خود را از دست ندهید!این دگرگونی ها چیست؟ به عنوان یک قاعده، کاهش به چیزی یا تقسیم بر چیزی. بنابراین، برای مثال، هنگام تقسیم بر، باید بررسی کنید که آیا توابع راه حل های یک معادله دیفرانسیل هستند یا خیر. در عین حال ، هنگام تقسیم بر نیاز به چنین چکی قبلاً ناپدید می شود - به دلیل این واقعیت که این مقسوم علیه ناپدید نمی شود.

در اینجا یک وضعیت خطرناک دیگر وجود دارد:

در اینجا، برای خلاص شدن از شر، باید بررسی کرد که آیا راه حلی برای DE است یا خیر. اغلب، "x"، "y" به عنوان چنین عاملی یافت می شوند، و با کاهش آنها، ما توابعی را از دست می دهیم که ممکن است راه حل باشند.

از سوی دیگر، اگر چیزی در ابتدا در مخرج باشد، دلیلی برای چنین نگرانی وجود ندارد. بنابراین، در یک معادله همگن، لازم نیست نگران تابع باشید، زیرا در مخرج "اعلام" شده است.

ظرافت های ذکر شده ارتباط خود را از دست نمی دهند، حتی اگر لازم باشد فقط یک راه حل خاص در مشکل پیدا شود. یک شانس کوچک، اما این احتمال وجود دارد که دقیقاً راه حل خاص مورد نیاز را از دست بدهیم. حقیقت مشکل کوشیدر کارهای عملی با معادلات همگن، به ندرت درخواست می شود. با این حال، چنین نمونه هایی در مقاله وجود دارد معادلات تقلیل به همگن، که توصیه می کنم برای تثبیت مهارت های حل خود، آن را "در تعقیب داغ" مطالعه کنید.

معادلات همگن پیچیده تری نیز وجود دارد. مشکل در تغییر متغیر یا ساده سازی نیست، بلکه در انتگرال های نسبتاً دشوار یا کمیاب است که در نتیجه جداسازی متغیرها به وجود می آیند. من نمونه هایی از راه حل های چنین معادلات همگن را دارم - انتگرال های زشت و پاسخ های زشت. اما ما در مورد آنها صحبت نمی کنیم، زیرا در درس های بعدی (پایین را ببینید)من هنوز برای شکنجه کردنت وقت دارم، می خواهم تو را سرحال و خوش بین ببینم!

ارتقاء موفق!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل:معادله را برای همگنی، برای این، در معادله اصلی بررسی کنید بجایبگذاریم، و بجایبیایید جایگزین کنیم:

در نتیجه معادله اصلی به دست می آید، یعنی این DE همگن است.