انتگرال کسری را حل کنید. ادغام کسرهای گویا

همانطور که مشخص است، هر تابع گویا از برخی متغیر x را می توان به کسرهای چند جمله ای و ساده، ابتدایی تجزیه کرد. چهار نوع کسر ساده وجود دارد:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
در اینجا a، A، B، b، c اعداد واقعی هستند. معادله x 2+bx+c=0ریشه واقعی ندارد

ادغام کسری از دو نوع اول

ادغام دو کسر اول با استفاده از فرمول های زیر از جدول انتگرال ها انجام می شود:
,
، n ≠ - 1 .

1. ادغام کسری از نوع اول

کسری از نوع اول با جایگزینی t = x - a به یک انتگرال جدول کاهش می یابد:
.

2. ادغام کسری از نوع دوم

کسری از نوع دوم با همان جایگزینی t \u003d x - a به یک انتگرال جدول کاهش می یابد:

.

3. ادغام کسری از نوع سوم

انتگرال کسری از نوع سوم را در نظر بگیرید:
.
در دو مرحله محاسبه می کنیم.

3.1. مرحله 1. مشتق مخرج را در صورتگر انتخاب کنید

مشتق مخرج را در صورت کسری انتخاب می کنیم. نشان دهید: u = x 2+bx+c. متمایز کردن: u = 2 x + b. سپس
;
.
ولی
.
ما علامت مدول را حذف کردیم زیرا .

سپس:
,
جایی که
.

3.2. مرحله 2. انتگرال را با A = 0، B=1 محاسبه کنید

حالا انتگرال باقی مانده را محاسبه می کنیم:
.

مخرج کسری را به می آوریم مجموع مربعات:
,
جایی که .
ما معتقدیم که معادله x 2+bx+c=0ریشه ندارد از همین رو .

بیایید یک تعویض انجام دهیم
,
.
.

بنابراین،
.

بنابراین، ما یک انتگرال از کسری از نوع سوم پیدا کرده ایم:

,
جایی که .

4. ادغام کسری از نوع چهارم

و در نهایت انتگرال کسری از نوع چهارم را در نظر بگیرید:
.
ما آن را در سه مرحله محاسبه می کنیم.

4.1) مشتق مخرج را در صورتگر انتخاب می کنیم:
.

4.2) انتگرال را محاسبه کنید
.

4.3) انتگرال ها را محاسبه کنید
,
با استفاده از فرمول بازیگری:
.

4.1. مرحله 1. استخراج مشتق مخرج در صورت

ما مشتق مخرج را در صورتگر انتخاب می کنیم، همانطور که در . u = x را نشان دهید 2+bx+c. متمایز کردن: u = 2 x + b. سپس
.

.
ولی
.

در نهایت داریم:
.

4.2. مرحله 2. محاسبه انتگرال با n = 1

انتگرال را محاسبه می کنیم
.
محاسبه آن در تنظیم شده است.

4.3. مرحله 3. استخراج فرمول کاهش

حالا انتگرال را در نظر بگیرید
.

سه جمله ای مربع را به مجموع مربع ها می آوریم:
.
اینجا .
تعویض می کنیم.
.
.

ما تبدیل ها را انجام می دهیم و با قطعات ادغام می کنیم.




.

ضربدر 2 (n - 1):
.
به x و I n برمی گردیم.
,
;
;
.

بنابراین، برای I n فرمول کاهش را دریافت کردیم:
.
با اعمال متوالی این فرمول، I n انتگرال را به I کاهش می دهیم 1 .

مثال

انتگرال را محاسبه کنید

راه حل

1. مشتق مخرج را در صورتگر انتخاب می کنیم.
;
;


.
اینجا
.

2. ما انتگرال ساده ترین کسر را محاسبه می کنیم.

.

3. ما فرمول کاهش را اعمال می کنیم:

برای انتگرال .
در مورد ما b = 1 ، ج = 1 , 4 c - b 2 = 3. ما این فرمول را برای n = می نویسیم 2 و n = 3 :
;
.
از اینجا

.

در نهایت داریم:

.
ما ضریب را در پیدا می کنیم.
.

تمام موارد فوق در پاراگراف های قبلی به ما اجازه می دهد تا قوانین اساسی برای ادغام یک کسر گویا را فرموله کنیم.

1. اگر کسر گویا نامناسب باشد، آنگاه به صورت مجموع یک کسر گویا و چند جمله ای مناسب نمایش داده می شود (به مورد 2 مراجعه کنید).

بنابراین، ادغام یک کسر گویا نامناسب به ادغام یک چند جمله ای و یک کسر گویا مناسب کاهش می یابد.

2. مخرج کسر مناسب را به ضریب تجزیه کنید.

3. کسر گویا صحیح به مجموع ساده ترین کسرها تجزیه می شود. بنابراین، ادغام یک کسر گویا مناسب به ادغام کسرهای ساده کاهش می یابد.

نمونه هایی را در نظر بگیرید.

مثال 1. پیدا کنید.

راه حل. زیر انتگرال یک کسر گویا نامناسب است. با در نظر گرفتن قسمت صحیح، دریافت می کنیم

در نتیجه،

با توجه به اینکه، کسر گویا مناسب را بسط می دهیم

به کسرهای ساده:

(به فرمول (18) مراجعه کنید). از همین رو

بنابراین، ما در نهایت داریم

مثال 2. پیدا کنید

راه حل. زیر انتگرال یک کسر گویا مناسب است.

با گسترش آن به کسرهای ساده (به فرمول (16) مراجعه کنید)، به دست می آوریم

مطالب ارائه شده در این مبحث بر اساس اطلاعات ارائه شده در مبحث "کسرهای گویا. تجزیه کسرهای گویا به کسرهای ابتدایی (ساده)" است. اکیداً به شما توصیه می‌کنم قبل از خواندن این مطالب، حداقل این موضوع را مرور کنید. علاوه بر این، به جدولی از انتگرال های نامعین نیاز خواهیم داشت.

بگذارید چند اصطلاح را به شما یادآوری کنم. آنها در موضوع مربوطه مورد بحث قرار گرفتند، بنابراین در اینجا به یک فرمول کوتاه محدود می شوم.

نسبت دو چند جمله ای $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ را تابع گویا یا کسر گویا می نامند. کسر گویا نامیده می شود درستاگر $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется اشتباه.

کسرهای گویا ابتدایی (ساده ترین) کسرهای گویا از چهار نوع هستند:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

نکته (مطلوب برای درک بهتر متن): show\hide

چرا شرط $p^2-4q ضروری است؟< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим معادله درجه دوم$x^2+px+q=0$. ممیز این معادله $D=p^2-4q$ است. در واقع شرط $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

به عنوان مثال، برای عبارت $x^2+5x+10$ دریافت می کنیم: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. از آنجایی که $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

به هر حال، برای این بررسی لازم نیست ضریب مقابل $x^2$ برابر با 1 باشد. برای مثال، برای $5x^2+7x-3=0$ دریافت می کنیم: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. از $D > 0$، عبارت $5x^2+7x-3$ قابل فاکتورسازی است.

نمونه هایی از کسرهای گویا (منظم و نامناسب) و همچنین نمونه هایی از بسط کسری گویا به کسرهای ابتدایی را می توان یافت. در اینجا ما فقط به سؤالات مربوط به ادغام آنها علاقه مند هستیم. بیایید با ادغام کسرهای ابتدایی شروع کنیم. بنابراین، ادغام هر یک از چهار نوع کسر ابتدایی فوق با استفاده از فرمول های زیر آسان است. اجازه دهید یادآوری کنم که هنگام ادغام کسرهای نوع (2) و (4) $n=2,3,4,\ldots$ فرض می شود. فرمول های (3) و (4) به شرط $p^2-4q نیاز دارند< 0$.

\ابتدا(معادله) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \پایان(معادله) \شروع(معادله) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(معادله)

برای $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ جایگزینی $t=x+\frac(p)(2)$ ساخته می‌شود، پس از آن انتگرال حاصل می‌شود به دو قسمت تقسیم شود اولین مورد با قرار دادن آن در زیر علامت دیفرانسیل محاسبه می شود و دومی شبیه $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ خواهد بود. این انتگرال با استفاده از رابطه عود گرفته شده است

\begin(معادله) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n، \; n\in N \end (معادله)

محاسبه چنین انتگرالی در مثال شماره 7 تحلیل شده است (به بخش سوم مراجعه کنید).

طرحی برای محاسبه انتگرال از توابع گویا (کسری گویا):

1. اگر انتگرال ابتدایی است، فرمول های (1)-(4) را اعمال کنید.
2. اگر انتگرال ابتدایی نیست، آن را به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نشان دهید و سپس با استفاده از فرمول های (1)-(4) ادغام کنید.

الگوریتم فوق برای ادغام کسرهای گویا یک مزیت غیرقابل انکار دارد - جهانی است. آن ها با استفاده از این الگوریتم می توان ادغام کرد هرکسر گویا به همین دلیل است که تقریباً تمام جایگزینی های متغیرها در انتگرال نامعین (تبدیل های اویلر، چبیشف، جایگزینی مثلثاتی جهانی) به گونه ای انجام می شود که پس از این جایگزینی یک کسری گویا در زیر بازه به دست می آوریم. و الگوریتم را روی آن اعمال کنید. پس از یادداشتی کوچک، کاربرد مستقیم این الگوریتم را با استفاده از مثال ها تحلیل خواهیم کرد.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

در اصل، این انتگرال بدون کاربرد مکانیکی فرمول به راحتی بدست می آید. اگر ثابت $7$ را از علامت انتگرال خارج کنیم و $dx=d(x+9)$ را در نظر بگیریم، آنگاه به دست می آوریم:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

برای اطلاعات دقیق توصیه می کنم به موضوع نگاه کنید. به طور مفصل توضیح می دهد که چگونه چنین انتگرال هایی حل می شوند. به هر حال، فرمول با همان تبدیل هایی که در این پاراگراف هنگام حل "دستی" اعمال شد، ثابت می شود.

2) باز هم دو راه وجود دارد: استفاده از فرمول آماده یا بدون آن. اگر فرمول را اعمال کنید، باید در نظر داشته باشید که ضریب مقابل x$ (عدد 4) باید حذف شود. برای انجام این کار، به سادگی چهار مورد از آنها را در پرانتز بیرون می آوریم:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\راست)\راست)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

اکنون زمان اعمال فرمول است:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \راست)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \راست )^7)+C. $$

شما می توانید بدون استفاده از فرمول انجام دهید. و حتی بدون قرار دادن $4$ ثابت خارج از براکت. اگر $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ را در نظر بگیریم، آنگاه به دست می‌آییم:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

توضیحات مفصل در مورد یافتن چنین انتگرالهایی در مبحث "ادغام با جایگزینی (مقدمه تحت علامت دیفرانسیل)" ارائه شده است.

3) ما باید کسر $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ را ادغام کنیم. این کسر دارای ساختار $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ است که در آن $M=4$، $N=7$، $p=10$، $q=34$. با این حال، برای اطمینان از اینکه این واقعاً یک کسر ابتدایی از نوع سوم است، باید شرط $p^2-4q را بررسی کنید.< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

بیایید همان مثال را حل کنیم، اما بدون استفاده از فرمول آماده. بیایید سعی کنیم مشتق مخرج را در صورت جدا کنیم. این یعنی چی؟ ما می دانیم که $(x^2+10x+34)"=2x+10$. این عبارت $2x+10$ است که باید آن را در صورتگر جدا کنیم. تا کنون، صورتگر فقط شامل $4x+7$ است. ، اما این مدت زیادی نیست. تبدیل زیر را به صورتگر اعمال کنید:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

اکنون عبارت مورد نیاز $2x+10$ در صورتگر ظاهر شده است. و انتگرال ما را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

بیایید انتگرال را به دو قسمت تقسیم کنیم. خوب، و بر این اساس، خود انتگرال نیز "شکاف" است:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \راست)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

بیایید ابتدا در مورد انتگرال اول صحبت کنیم، i.e. حدود $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. از آنجایی که $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$، پس دیفرانسیل مخرج در صورت انتگرال قرار دارد. به طور خلاصه، در عوض از عبارت $( 2x+10)dx$ می نویسیم $d(x^2+10x+34)$.

حال اجازه دهید چند کلمه در مورد انتگرال دوم بگوییم. بیایید مربع کامل را در مخرج جدا کنیم: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. علاوه بر این، $dx=d(x+5)$ را نیز در نظر می گیریم. اکنون مجموع انتگرال هایی که قبلاً توسط ما به دست آمده است را می توان به شکل کمی متفاوت بازنویسی کرد:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

اگر تغییر $u=x^2+10x+34$ را در انتگرال اول ایجاد کنیم، به شکل $\int\frac(du)(u)$ خواهد بود و با استفاده از فرمول دوم از . در مورد انتگرال دوم، جایگزینی $u=x+5$ برای آن امکان پذیر است، پس از آن به شکل $\int\frac(du)(u^2+9)$ می رسد. آی تی خالص ترین آبیازدهمین فرمول از جدول انتگرال های نامعین. بنابراین، با بازگشت به مجموع انتگرال ها، خواهیم داشت:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

ما همان پاسخی را دریافت کردیم که هنگام استفاده از فرمول، که در واقع تعجب آور نیست. به طور کلی، فرمول با همان روش هایی که برای یافتن این انتگرال استفاده کردیم ثابت می شود. من معتقدم که یک خواننده با دقت ممکن است یک سوال در اینجا داشته باشد، بنابراین من آن را فرموله می کنم:

سوال 1

اگر فرمول دوم را از جدول انتگرال های نامشخص به انتگرال $\int \frac(d(x^2+10x+34)) (x^2+10x+34)$ اعمال کنیم، نتیجه زیر را بدست می آوریم:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

چرا ماژول در راه حل گم شده بود؟

پاسخ به سوال شماره 1

سوال کاملاً قانونی است. مدول فقط به این دلیل وجود نداشت که عبارت $x^2+10x+34$ برای هر $x\in R$ بزرگتر از صفر است. نشان دادن این امر از چند جهت بسیار آسان است. برای مثال، از آنجایی که $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ و $(x+5)^2 ≥ 0$، سپس $(x+5)^2+9 > 0$ . می توان به روشی متفاوت قضاوت کرد، بدون اینکه شامل انتخاب یک مربع کامل شود. از 10^2-4$\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ برای هر $x\in R$ (اگر این زنجیره منطقی تعجب آور است، به شما توصیه می کنم نگاه کنید روش گرافیکیراه حل ها نابرابری های مربع). در هر صورت، از $x^2+10x+34 > 0$، سپس $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$، یعنی. می توانید به جای ماژول از براکت های معمولی استفاده کنید.

تمام نکات مثال شماره 1 حل شده است، فقط باید پاسخ را یادداشت کنیم.

پاسخ:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5) (3) + C$.

مثال شماره 2

انتگرال $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ را بیابید.

در نگاه اول، انتگرال $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ بسیار شبیه یک کسر ابتدایی از نوع سوم است، یعنی. به $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. به نظر می رسد که تنها تفاوت ضریب $3$ در مقابل $x^2$ است، اما حذف ضریب (خارج از پرانتز) زمان زیادی نمی برد. با این حال، این شباهت آشکار است. برای کسری $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ شرط $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

ضریب ما در مقابل $x^2$ برابر با یک نیست، بنابراین شرط $p^2-4q را بررسی کنید.< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$، بنابراین عبارت $3x^2-5x-2$ را می توان فاکتور گرفت. و این بدان معنی است که کسری $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ یک کسر ابتدایی از نوع سوم نیست و برای انتگرال $\int\frac(7x+12)( فرمول 3x^2- 5x-2)dx$ مجاز نیست.

خوب، اگر کسر گویا ابتدایی نباشد، باید به صورت مجموع کسرهای ابتدایی نمایش داده شود و سپس ادغام شود. به طور خلاصه، دنباله استفاده از. نحوه تجزیه کسری گویا به کسری ابتدایی به تفصیل نوشته شده است. بیایید با فاکتورگیری مخرج شروع کنیم:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(تراز شده) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(تراز شده)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

کسر فرعی را به شکل زیر نشان می دهیم:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\راست)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

حالا بیایید کسر $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ را به موارد ابتدایی گسترش دهیم:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\راست))(\چپ(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\راست). $$

برای یافتن ضرایب $A$ و $B$ دو راه استاندارد وجود دارد: روش ضرایب نامشخص و روش جایگزینی مقادیر جزئی. بیایید روش جایگزینی مقدار جزئی را با جایگزین کردن $x=2$ و سپس $x=-\frac(1)(3)$ اعمال کنیم:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\راست)+B\چپ (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

از آنجایی که ضرایب پیدا شده اند، فقط نوشتن بسط نهایی باقی مانده است:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

در اصل، شما می توانید این ورودی را ترک کنید، اما من یک نسخه دقیق تر را دوست دارم:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

با بازگشت به انتگرال اصلی، بسط حاصل را در آن جایگزین می کنیم. سپس انتگرال را به دو قسمت تقسیم می کنیم و فرمول را برای هر کدام اعمال می کنیم. ترجیح می دهم فوراً ثابت های خارج از علامت انتگرال را حذف کنم:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\راست)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\راست)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

پاسخ: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

مثال شماره 3

انتگرال $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ را بیابید.

ما باید کسر $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ را ادغام کنیم. صورت یک چند جمله ای درجه دوم و مخرج چند جمله ای درجه سوم است. از آنجایی که درجه چند جمله ای در صورت از درجه چند جمله ای در مخرج کمتر است، یعنی. 2 دلار< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

فقط باید انتگرال داده شده را به سه تقسیم کنیم و فرمول را برای هر کدام اعمال کنیم. ترجیح می دهم فوراً ثابت های خارج از علامت انتگرال را حذف کنم:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

پاسخ: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

ادامه تحلیل نمونه هایی از این موضوع در قسمت دوم قرار دارد.

همانطور که قبلاً اشاره کردم، در حساب انتگرال هیچ فرمول مناسبی برای ادغام کسری وجود ندارد. و بنابراین، روند غم انگیزی وجود دارد: هرچه کسری "فانتزی" تر باشد، یافتن انتگرال از آن دشوارتر است. در این زمینه باید به ترفندهای مختلفی متوسل شد که اکنون به آنها خواهم پرداخت. خوانندگان آماده می توانند بلافاصله استفاده کنند فهرست مطالب:

• روش قرار دادن زیر علامت دیفرانسیل برای کسرهای ساده

روش تبدیل مصنوعی شمارنده

مثال 1

به هر حال، انتگرال در نظر گرفته شده را نیز می توان با تغییر روش متغیر حل کرد، اما راه حل بسیار طولانی تر خواهد بود.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

این یک مثال برای خودتان است. لازم به ذکر است که در اینجا روش جایگزینی متغیر دیگر کار نخواهد کرد.

توجه مهم! مثال های شماره 1، 2 معمولی و رایج هستند. به طور خاص، چنین انتگرال هایی اغلب در جریان حل انتگرال های دیگر، به ویژه، هنگام ادغام توابع غیر منطقی (ریشه ها) به وجود می آیند.

روش فوق در مورد نیز کار می کند اگر بالاترین توان صورت از بالاترین توان مخرج بزرگتر باشد.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

بیایید با صورتگر شروع کنیم.

الگوریتم انتخاب عددی چیزی شبیه به این است:

1) در صورتگر باید سازماندهی کنم، اما وجود دارد. چه باید کرد؟ داخل پرانتز می گذارم و ضرب در: .

2) حالا سعی می کنم این براکت ها را باز کنم، چه اتفاقی می افتد؟ . هوم ... در حال حاضر بهتر است، اما هیچ دوشی در ابتدا در صورت شمار وجود ندارد. چه باید کرد؟ باید ضرب کنید در:

3) باز کردن دوباره براکت ها: . و این اولین موفقیت است! مورد نیاز معلوم شد! اما مشکل این است که یک اصطلاح اضافی ظاهر شده است. چه باید کرد؟ برای اینکه عبارت تغییر نکند، باید همان را به ساخت خود اضافه کنم:
. زندگی راحت تر شده است. آیا امکان سازماندهی مجدد در صورتگر وجود دارد؟

4) شما می توانید. ما سعی می کنیم: . پرانتز ترم دوم را بسط دهید:
. متاسفم، اما من در واقع در مرحله قبل داشتم، و نه. چه باید کرد؟ باید جمله دوم را ضرب کنیم:

5) مجدداً برای تأیید، پرانتزها را در ترم دوم باز می کنم:
. حالا طبیعی است: از ساخت نهایی بند 3 به دست آمده است! اما دوباره یک "اما" کوچک وجود دارد، یک اصطلاح اضافی ظاهر شده است، به این معنی که باید به عبارت خود اضافه کنم:

اگر همه چیز به درستی انجام شود، هنگام باز کردن تمام براکت ها، باید عدد اصلی انتگرال را دریافت کنیم. بررسی می کنیم:
خوب

به این ترتیب:

آماده. در ترم آخر، من از روش آوردن تابع زیر دیفرانسیل استفاده کردم.

اگر مشتق پاسخ را پیدا کنیم و عبارت را به مخرج مشترک بیاوریم، دقیقاً انتگرال اصلی را بدست می آوریم. روش در نظر گرفته شده برای بسط به یک جمع چیزی نیست جز عمل معکوس برای آوردن عبارت به یک مخرج مشترک.

الگوریتم انتخاب شمارنده در چنین مثال هایی به بهترین وجه روی پیش نویس اجرا می شود. با داشتن برخی مهارت ها، از نظر ذهنی نیز کار خواهد کرد. زمانی رکوردی را به یاد می‌آورم که یک انتخاب برای توان یازدهم انجام دادم و بسط شمارنده تقریباً دو خط ورد را گرفت.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید. یک چک اجرا کنید.

این یک مثال برای خودتان است.

روش قرار دادن زیر علامت دیفرانسیل برای کسرهای ساده

بیایید به سراغ نوع بعدی کسرها برویم.
, , , (ضرایب و برابر با صفر نیستند).

در واقع، چند مورد با آرکسین و آرکتانژانت قبلاً در درس لغزش یافته است روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین. چنین مثال هایی با آوردن تابع زیر علامت دیفرانسیل و سپس ادغام با استفاده از جدول حل می شوند. اینم یکی دیگه نمونه های معمولیبا لگاریتم طولانی و بالا:

مثال 5

مثال 6

در اینجا توصیه می شود جدولی از انتگرال ها را بردارید و از چه فرمول هایی پیروی کنید چگونهتحول صورت می گیرد. توجه داشته باشید، چگونه و چرامربع ها در این مثال ها برجسته شده اند. به طور خاص، در مثال 6، ابتدا باید مخرج را به عنوان نشان دهیم ، سپس زیر علامت دیفرانسیل بیاورید. و برای استفاده از فرمول استاندارد جدولی باید همه اینها را انجام دهید .

اما به چه چیزی نگاه کنید، سعی کنید نمونه های شماره 7،8 را به تنهایی حل کنید، به خصوص که آنها بسیار کوتاه هستند:

مثال 7

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

اگر می‌توانید این نمونه‌ها را نیز بررسی کنید، پس احترام بزرگ مهارت‌های تمایز شما در بهترین حالت است.

روش انتخاب مربع کامل

انتگرال های فرم، (ضرایب و برابر با صفر نیستند) حل می شوند روش انتخاب مربع کامل، که قبلاً در درس ظاهر شده است تحولات نمودار هندسی.

در واقع، چنین انتگرال هایی به یکی از چهار انتگرال جدولی که به تازگی در نظر گرفته ایم، کاهش می یابد. و این با استفاده از فرمول های ضرب مختصر آشنا به دست می آید:

فرمول ها در این جهت اعمال می شوند، یعنی ایده روش این است که عبارات را به صورت مصنوعی در مخرج سازماندهی کرده و سپس آنها را به ترتیب به یا تبدیل می کند.

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

آی تی ساده ترین مثال، که در آن با عبارت - ضریب واحد(و نه عددی یا منفی).

ما به مخرج نگاه می کنیم، در اینجا همه چیز به وضوح به مورد خلاصه می شود. بیایید تبدیل مخرج را شروع کنیم:

بدیهی است که باید 4 را اضافه کنید. و به طوری که عبارت تغییر نکند - همان چهار و تفریق:

اکنون می توانید فرمول را اعمال کنید:

پس از اتمام تبدیل همیشهمطلوب است برآورده شود سکته مغزی معکوس: همه چیز خوب است، هیچ خطایی وجود ندارد.

طراحی تمیز نمونه مورد نظر باید چیزی شبیه به این باشد:

آماده. جمع بندی "رایگان" تابع پیچیدهتحت علامت دیفرانسیل:، در اصل، می توان نادیده گرفت

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

این یک مثال برای حل خود است، پاسخ در پایان درس است.

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

وقتی منهای جلو وجود دارد چه باید کرد؟ در این مورد، باید منهای را از پرانتز خارج کنید و شرایط را به ترتیبی که نیاز داریم مرتب کنید:. مقدار ثابت("دو" در این مورد) دست نزن!

حالا یکی را در پرانتز اضافه می کنیم. با تجزیه و تحلیل عبارت، به این نتیجه می رسیم که به یکی در پشت براکت نیاز داریم - اضافه کنید:

این فرمول است، اعمال کنید:

همیشهما پیش نویس را بررسی می کنیم:
، که قرار بود تایید شود.

طراحی تمیز نمونه چیزی شبیه به این است:

ما کار را پیچیده می کنیم

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

در اینجا، با این اصطلاح، دیگر یک ضریب واحد نیست، بلکه یک "پنج" است.

(1) اگر یک ثابت در پیدا شد، بلافاصله آن را از پرانتز خارج می کنیم.

(2) به طور کلی، همیشه بهتر است این ثابت را از انتگرال خارج کنید تا مانعی برای آن نشود.

(3) بدیهی است که همه چیز به فرمول کاهش می یابد. درک این اصطلاح، یعنی به دست آوردن یک "دو" ضروری است.

(4) بله، . بنابراین، ما به عبارت اضافه می کنیم و همان کسر را کم می کنیم.

(5) اکنون یک مربع کامل را انتخاب کنید. AT مورد کلیهمچنین باید محاسبه شود، اما در اینجا ما یک فرمول لگاریتمی طولانی داریم ، و انجام عمل معنی ندارد، چرا - کمی پایین تر مشخص می شود.

(6) در واقع، ما می توانیم فرمول را اعمال کنیم ، فقط به جای "x" داریم که اعتبار انتگرال جدولی را نفی نمی کند. به طور دقیق، یک مرحله از دست رفته است - قبل از ادغام، تابع باید تحت علامت دیفرانسیل قرار می گرفت: ، اما، همانطور که بارها اشاره کرده ام، این اغلب نادیده گرفته می شود.

(7) در پاسخ زیر ریشه، مطلوب است که همه براکت ها را به عقب باز کنید:

دشوار؟ این سخت ترین در حساب انتگرال نیست. اگرچه، مثال‌های مورد بررسی چندان پیچیده نیستند زیرا به تکنیک محاسباتی خوب نیاز دارند.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

این یک مثال برای خودتان است. در پایان درس پاسخ دهید.

انتگرال هایی با ریشه در مخرج وجود دارد که با کمک جایگزینی به انتگرال هایی از نوع در نظر گرفته شده کاهش می یابد، می توانید در مورد آنها در مقاله بخوانید. انتگرال های مختلط، اما برای دانش آموزان با آمادگی بالا طراحی شده است.

آوردن شمارنده زیر علامت دیفرانسیل

این قسمت پایانی درس است، با این حال، انتگرال های این نوع بسیار رایج هستند! اگر خستگی جمع شده، شاید بهتر است فردا بخوانیم؟ ;)

انتگرال هایی که در نظر خواهیم گرفت مشابه انتگرال های پاراگراف قبل هستند، شکل: یا دارند (ضرایب و برابر با صفر نیستند).

یعنی در صورت شماری که داریم تابع خطی. چگونه می توان چنین انتگرال هایی را حل کرد؟

در اینجا ارائه می دهیم راه حل های دقیقسه مثال از ادغام کسرهای گویا زیر:
, , .

مثال 1

محاسبه انتگرال:
.

راه حل

در اینجا، زیر علامت انتگرال یک تابع گویا وجود دارد، زیرا انتگرال کسری از چندجمله ای ها است. درجه چند جمله ای مخرج ( 3 ) کمتر از درجه چند جمله ای عددی است ( 4 ). بنابراین، ابتدا باید کل قسمت کسری را انتخاب کنید.

1. بیایید قسمت صحیح کسر را در نظر بگیریم. x را تقسیم کنید 4 روی x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

از اینجا
.

2. بیایید مخرج را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله مکعب را حل کنید:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
جایگزین x = 1 :
.

1 . تقسیم بر x - 1 :

از اینجا
.
معادله درجه دوم را حل می کنیم.
.
ریشه معادله: , .
سپس
.

3. بیایید کسر را به کسرهای ساده تجزیه کنیم.

.

بنابراین یافتیم:
.
بیایید ادغام کنیم.

پاسخ

مثال 2

محاسبه انتگرال:
.

راه حل

در اینجا در صورت شمار کسر یک چند جمله ای درجه صفر است ( 1 = x0). مخرج چند جمله ای درجه سوم است. از آنجا که 0 < 3 ، پس کسر صحیح است. بیایید آن را به کسرهای ساده تقسیم کنیم.

1. بیایید مخرج را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله درجه سوم را حل کنید:
.
فرض کنید حداقل یک ریشه عدد صحیح دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 3 (یک عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 3, -1, -3 .
جایگزین x = 1 :
.

بنابراین ما یک ریشه x = پیدا کردیم 1 . x را تقسیم کنید 3 + 2 x - 3در x- 1 :

بنابراین،
.

معادله درجه دوم را حل می کنیم:
ایکس 2 + x + 3 = 0.
متمایز را پیدا کنید: D = 1 2 - 4 3 = -11. زیرا دی< 0 ، پس معادله هیچ ریشه واقعی ندارد. بنابراین، ما تجزیه مخرج را به عوامل به دست آورده ایم:
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
جایگزین x = 1 . سپس x- 1 = 0 ,
.

جایگزین در (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

برابر کردن در (2.1) ضرایب در x 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. بیایید ادغام کنیم.
(2.2) .
برای محاسبه انتگرال دوم، مشتق مخرج را در صورت انتخاب می کنیم و مخرج را به مجموع مربع ها کاهش می دهیم.

;
;
.

من را محاسبه کنید 2 .


.
از آنجایی که معادله x 2 + x + 3 = 0ریشه واقعی ندارد، پس x 2 + x + 3 > 0. بنابراین، علامت ماژول را می توان حذف کرد.

تحویل می دهیم به (2.2) :
.

پاسخ

مثال 3

محاسبه انتگرال:
.

راه حل

در اینجا، زیر علامت انتگرال کسری از چند جمله ای ها است. بنابراین، انتگرال یک تابع عقلی است. درجه چند جمله ای در صورتگر است 3 . درجه چند جمله ای مخرج کسری است 4 . از آنجا که 3 < 4 ، پس کسر صحیح است. بنابراین، می توان آن را به کسرهای ساده تجزیه کرد. اما برای این شما باید مخرج را به عوامل تجزیه کنید.

1. بیایید مخرج را فاکتورسازی کنیم. برای این کار باید معادله درجه چهارم را حل کنید:
.
فرض کنید حداقل یک ریشه عدد صحیح دارد. سپس مقسوم علیه عدد است 2 (یک عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
جایگزین x = -1 :
.

بنابراین ما یک ریشه x = پیدا کردیم -1 . تقسیم بر x - (-1) = x + 1:


بنابراین،
.

حال باید معادله درجه سوم را حل کنیم:
.
اگر فرض کنیم که این معادله یک ریشه صحیح داشته باشد، مقسوم علیه عدد است 2 (یک عضو بدون x). یعنی کل ریشه می تواند یکی از اعداد باشد:
1, 2, -1, -2 .
جایگزین x = -1 :
.

بنابراین، ما یک ریشه دیگر x = پیدا کرده ایم -1 . ممکن است، مانند مورد قبلی، چند جمله ای را بر تقسیم کنیم، اما ما عبارت ها را گروه بندی می کنیم:
.

از آنجایی که معادله x 2 + 2 = 0 هیچ ریشه واقعی ندارد، سپس فاکتورگیری مخرج را بدست می آوریم:
.

2. بیایید کسر را به کسرهای ساده تجزیه کنیم. ما به دنبال تجزیه به شکل زیر هستیم:
.
ما از مخرج کسر خلاص می شویم، ضرب در (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
جایگزین x = -1 . سپس x + 1 = 0 ,
.

متمایز کردن (3.1) :

;

.
جایگزین x = -1 و در نظر بگیرید که x + 1 = 0 :
;
; .

جایگزین در (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

برابر کردن در (3.1) ضرایب در x 3 :
;
1=B+C;
.

بنابراین، ما تجزیه به کسرهای ساده را پیدا کردیم:
.

3. بیایید ادغام کنیم.


.