مفاهیم اساسی، حل سیستم های نابرابری های خطی. ماشین حساب آنلاین

بیایید به نمونه هایی از نحوه حل سیستم نگاه کنیم نابرابری های خطی.

4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

برای حل یک سیستم، به هر یک از نابرابری های تشکیل دهنده آن نیاز است. فقط تصمیم گرفته می شود که نه به طور جداگانه، بلکه با هم بنویسید و آنها را با یک براکت مجعد ترکیب کنید.

در هر یک از نابرابری های سیستم، مجهولات را به یک طرف، مجهولات را با علامت مخالف به طرف دیگر منتقل می کنیم:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

پس از ساده سازی، هر دو قسمت نابرابری باید بر عدد قبل از x تقسیم شود. اولین نامساوی را بر عدد مثبت تقسیم می کنیم، بنابراین علامت نابرابری تغییر نمی کند. نابرابری دوم را بر عدد منفی تقسیم می کنیم، بنابراین علامت نابرابری باید معکوس شود:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

حل نامساوی ها را روی خطوط اعداد مشخص می کنیم:

در پاسخ محل تلاقی محلول ها یعنی قسمتی که سایه روی هر دو خط است را می نویسیم.

پاسخ: x∈[-2;1).

بیایید از کسری در نامعادله اول خلاص شویم. برای انجام این کار، هر دو جزء را در ترم در کمترین مخرج مشترک 2 ضرب می کنیم. وقتی در یک عدد مثبت ضرب شود، علامت نابرابری تغییر نمی کند.

پرانتزها را در نابرابری دوم باز کنید. حاصل ضرب مجموع و تفاضل دو عبارت برابر است با اختلاف مجذورات این عبارات. در سمت راست مربع تفاوت بین دو عبارت است.

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

مجهولات را به یک طرف و مجهولات را با علامت مخالف به طرف دیگر منتقل می کنیم و ساده می کنیم:

دو طرف نامساوی را بر عدد قبل از x تقسیم کنید. در نابرابری اول بر یک عدد منفی تقسیم می کنیم، بنابراین علامت نابرابری معکوس می شود. در دومی، بر عدد مثبت تقسیم می کنیم، علامت نابرابری تغییر نمی کند:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

هر دو نابرابری "کمتر از" علامت گذاری شده اند (ضروری نیست که یک علامت به شدت "کمتر از" باشد، دیگری سخت نباشد، "کمتر از یا مساوی" باشد). ما نمی توانیم هر دو راه حل را علامت گذاری کنیم، اما از قانون "" استفاده می کنیم. کوچکترین 1 است، بنابراین، سیستم به نابرابری کاهش می یابد

حل آن را روی خط عدد علامت گذاری می کنیم:

پاسخ: x∈(-∞;1].

براکت ها را باز می کنیم. در نابرابری اول - . برابر است با مجموع مکعب های این عبارات.

در دوم - حاصل ضرب مجموع و تفاضل دو عبارت است که برابر است با اختلاف مربع ها. از آنجایی که در جلوی براکت ها علامت منفی وجود دارد، بهتر است آنها را در دو مرحله باز کنید: ابتدا از فرمول استفاده کنید و فقط بعد از آن براکت ها را باز کنید و علامت هر عبارت را به عکس تغییر دهید.

مجهولات را به یک طرف و مجهولات را با علامت مخالف به طرف دیگر منتقل می کنیم:

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

هر دو بزرگتر از نشانه هستند. با استفاده از قانون "بیشتر از بیشتر"، سیستم نابرابری ها را به یک نابرابری کاهش می دهیم. بزرگتر از این دو عدد 5 است، بنابراین

Title=" ارائه شده توسط QuickLaTeX.com">!}

حل نامساوی را روی یک خط عددی مشخص می کنیم و جواب را می نویسیم:

پاسخ: x∈(5;∞).

از آنجایی که سیستم‌های نابرابری‌های خطی در جبر نه تنها به‌عنوان وظایف مستقل، بلکه در حل انواع معادلات، نابرابری‌ها و غیره در جبر رخ می‌دهند، یادگیری به موقع این موضوع مهم است.

دفعه بعد مثال هایی از حل سیستم نامساوی خطی را در موارد خاصی که یکی از نامعادله ها جواب ندارد یا هر عددی جواب آن باشد را بررسی می کنیم.

همه نمی دانند چگونه نابرابری هایی را که از نظر ساختاری مشابه و مشابه هستند، حل کنند ویژگی های متمایز کنندهبا معادلات معادله تمرینی است متشکل از دو قسمت که بین آنها علامت مساوی وجود دارد و بین قسمتهای نابرابری ممکن است علامت بزرگتر یا کمتر از آن وجود داشته باشد. بنابراین، قبل از یافتن راه حلی برای یک نابرابری خاص، باید درک کنیم که اگر لازم باشد هر دو قسمت را در هر عبارتی ضرب کنیم، ارزش آن را دارد که علامت عدد (مثبت یا منفی) را در نظر بگیریم. اگر برای حل نابرابری به مربع نیاز است، باید همین واقعیت را در نظر گرفت، زیرا مربع کردن با ضرب انجام می شود.

چگونه یک سیستم نابرابری را حل کنیم

حل سیستم های نابرابری بسیار دشوارتر از نابرابری های معمولی است. نحوه حل نابرابری های کلاس 9، مثال های خاصی را در نظر بگیرید. باید درک کرد که قبل از حل نابرابری های درجه دوم (سیستم ها) یا هر سیستم نابرابری دیگر، لازم است هر نابرابری را به طور جداگانه حل کرده و سپس آنها را با هم مقایسه کنیم. راه حل سیستم نابرابری یا پاسخ مثبت یا منفی خواهد بود (خواه سیستم راه حلی داشته باشد یا نداشته باشد).

وظیفه حل مجموعه ای از نابرابری ها است:

بیایید هر نابرابری را جداگانه حل کنیم

ما یک خط عددی می سازیم که روی آن مجموعه راه حل ها را به تصویر می کشیم

از آنجایی که مجموعه مجموعه ای از مجموعه راه حل ها است، این مجموعه در خط اعداد باید حداقل با یک خط زیر خط کشیده شود.

حل نابرابری ها با مدول

این مثال نحوه حل نابرابری ها را با مدول نشان می دهد. بنابراین ما یک تعریف داریم:

ما باید نابرابری را حل کنیم:

قبل از حل چنین نابرابری، لازم است از شر ماژول (علامت) خلاص شوید.

ما بر اساس داده های تعریف می نویسیم:

حال باید هر کدام از سیستم ها را به صورت جداگانه حل کرد.

بیایید یک خط عددی بسازیم که روی آن مجموعه راه حل ها را به تصویر می کشیم.

در نتیجه ما مجموعه ای داریم که راه حل های زیادی را با هم ترکیب می کند.

حل نابرابری های درجه دوم

با استفاده از خط اعداد، مثال حل نابرابری های درجه دوم را در نظر بگیرید. ما یک نابرابری داریم:

می دانیم که نمودار یک مثلث مربع یک سهمی است. همچنین می دانیم که اگر a>0 باشد، شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

x2-3x-4< 0

با استفاده از قضیه Vieta، ریشه های x 1 = - 1 را پیدا می کنیم. x 2 = 4

بیایید یک سهمی، یا بهتر است بگوییم، طرح آن را بکشیم.

بنابراین، متوجه شدیم که مقادیر سه جمله ای مربع در قسمت 1- تا 4 کمتر از 0 خواهد بود.

بسیاری از مردم هنگام حل نابرابری های مضاعف مانند g(x) سؤالاتی دارند.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

در واقع روش‌های مختلفی برای حل نابرابری‌ها وجود دارد، بنابراین می‌توانید برای حل آن استفاده کنید نابرابری های پیچیدهروش گرافیکی

حل نابرابری های کسری

نابرابری های کسری نیاز به رویکرد دقیق تری دارند. این به دلیل این واقعیت است که در روند حل برخی از نابرابری های کسریعلامت ممکن است تغییر کند قبل از حل نابرابری های کسری، باید بدانید که برای حل آنها از روش بازه استفاده می شود. نابرابری کسری باید به گونه ای نشان داده شود که یک طرف علامت مانند یک عبارت منطقی کسری به نظر برسد و طرف دیگر - "- 0". با تبدیل نابرابری به این ترتیب، در نتیجه f(x)/g(x) > (.

حل نامساوی ها به روش بازه ای

تکنیک فاصله بر اساس روش القاء کامل است، یعنی باید از همه عبور کرد گزینه های ممکن. این روش حل ممکن است برای دانش آموزان پایه هشتم مورد نیاز نباشد، زیرا آنها باید بدانند که چگونه نابرابری های کلاس هشتم را که ساده ترین تمرین ها هستند، حل کنند. اما برای کلاس های قدیمی تر، این روش ضروری است، زیرا به حل نابرابری های کسری کمک می کند. حل نابرابری ها با استفاده از این تکنیک نیز بر اساس ویژگی تابع پیوسته مانند حفظ علامت بین مقادیری است که در آن به 0 تبدیل می شود.

بیایید یک چند جمله ای رسم کنیم. این عملکرد پیوسته، با بدست آوردن مقدار 0 3 برابر، یعنی f(x) برابر با 0 در نقاط x 1، x 2 و x 3، ریشه های چند جمله ای خواهد بود. بین این نقاط، علامت تابع حفظ می شود.

از آنجایی که برای حل نابرابری f(x)>0 به علامت تابع نیاز داریم، به خط مختصات منتقل می‌شویم و نمودار را ترک می‌کنیم.

f(x)> 0 برای x(x 1 ; x 2) و برای x(x 3 ;)

f (x) x (-; x 1) و برای x (x 2; x 3)

نمودار به وضوح جواب نابرابری‌های f(x)f(x)>0 را نشان می‌دهد (راه‌حل نابرابری اول به رنگ آبی و جواب دومی به رنگ قرمز است). برای تعیین برای تعیین علامت یک تابع در بازه کافی است که علامت تابع را در یکی از نقاط بدانید. این تکنیک به شما امکان می دهد نابرابری هایی را که در آن سمت چپ فاکتورسازی شده است، به سرعت حل کنید، زیرا یافتن ریشه در چنین نابرابری ها بسیار آسان است.

در این درس، مطالعه سیستم های نابرابری ها را آغاز می کنیم. ابتدا سیستم های نابرابری های خطی را در نظر خواهیم گرفت. در ابتدای درس، مکان و چرا سیستم های نابرابری را در نظر خواهیم گرفت. بعد، معنی حل یک سیستم را مطالعه می کنیم و اتحاد و تقاطع مجموعه ها را به خاطر می آوریم. در پایان مثال های خاصی را برای سیستم های نابرابری های خطی حل خواهیم کرد.

موضوع: رژیم غذایینابرابری های واقعی و سیستم های آنها

درس:اصلیمفاهیم، ​​حل سیستم های نابرابری های خطی

تاکنون نابرابری‌های فردی را حل کرده‌ایم و روش بازه‌ای را برای آن‌ها اعمال کرده‌ایم، اینها می‌تواند باشد نابرابری های خطی، و مربع و منطقی. حالا بیایید ابتدا به حل سیستم های نابرابری بپردازیم سیستم های خطی. بیایید به مثالی نگاه کنیم که در آن نیاز به در نظر گرفتن سیستم های نابرابری از آنجا ناشی می شود.

محدوده یک تابع را پیدا کنید

محدوده یک تابع را پیدا کنید

تابع زمانی وجود دارد که هر دو ریشه مربع وجود داشته باشند، یعنی.

چگونه چنین سیستمی را حل کنیم؟ لازم است همه x را که هر دو نابرابری اول و دوم را برآورده می کنند، پیدا کنیم.

مجموعه راه حل های نامساوی اول و دوم را روی محور x رسم کنید.

فاصله تقاطع دو پرتو راه حل ما است.

این روش برای نمایش حل یک سیستم نابرابری گاهی اوقات روش سقف نامیده می شود.

راه حل سیستم تقاطع دو مجموعه است.

بیایید این را به صورت گرافیکی نشان دهیم. ما یک مجموعه A با طبیعت دلخواه و یک مجموعه B با طبیعت دلخواه داریم که قطع می شوند.

تعریف: محل تلاقی دو مجموعه A و B مجموعه سومی است که از تمام عناصر موجود در هر دو A و B تشکیل شده است.

با استفاده از مثال‌های مشخصی از حل سیستم‌های خطی نابرابری‌ها، نحوه یافتن تقاطع‌های مجموعه‌های راه‌حل نابرابری‌های فردی موجود در سیستم را در نظر بگیرید.

حل سیستم نابرابری ها:

پاسخ: (7؛ 10).

4. سیستم را حل کنید

نابرابری دوم سیستم از کجا می تواند ناشی شود؟ به عنوان مثال، از نابرابری

حل های هر نابرابری را به صورت گرافیکی نشان می دهیم و فاصله تقاطع آنها را پیدا می کنیم.

بنابراین، اگر سیستمی داشته باشیم که در آن یکی از نابرابری ها هر مقدار x را برآورده کند، می توان آن را حذف کرد.

پاسخ: سیستم ناسازگار است.

ما مسائل پشتیبانی معمولی را در نظر گرفته‌ایم، که حل هر سیستم خطی نابرابری به آنها کاهش می‌یابد.

سیستم زیر را در نظر بگیرید.

7.

گاهی اوقات یک سیستم خطی با یک نابرابری مضاعف داده می شود؛ این مورد را در نظر بگیرید.

8.

ما سیستم‌های نابرابری‌های خطی را بررسی کردیم، متوجه شدیم که از کجا می‌آیند، سیستم‌های معمولی را مورد بررسی قرار دادیم سیستم های خطیو برخی از آنها را حل کرد.

1. موردکوویچ A.G. و دیگران جبر پایه نهم: Proc. برای آموزش عمومی موسسات - ویرایش چهارم. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. موردکوویچ A.G. و همکاران جبر کلاس 9: کتاب کار برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina و همکاران - ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. یو.ن. ماکاریچف، جبر. پایه نهم: کتاب درسی. برای دانش آموزان آموزش عمومی مؤسسات / Yu. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، I. E. Feoktistov. - ویرایش هفتم، کشیش. و اضافی - M.: Mnemosyne، 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. جبر. درجه 9 ویرایش شانزدهم - م.، 2011. - 287 ص.

5. موردکوویچ A. G. جبر. درجه 9 در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوازدهم، پاک شد. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. جبر. درجه 9 در 2 ساعت. قسمت 2. کتاب کار برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، L. A. Aleksandrova، T. N. Mishustina و دیگران؛ اد. A. G. Mordkovich. - چاپ دوازدهم، Rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. پورتال علوم طبیعی ().

2. مجتمع آموزشی و روش شناسی الکترونیکی برای آماده سازی پایه های 10-11 برای کنکور در رشته های علوم کامپیوتر، ریاضی، زبان روسی ().

4. مرکز آموزش "فناوری آموزش" ().

5. بخش College.ru در ریاضیات ().

1. موردکوویچ A.G. و همکاران جبر کلاس 9: کتاب کار برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina و همکاران - ویرایش 4. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. شماره 53; 54; 56; 57.

یکی از موضوعاتی که حداکثر توجه و پشتکار دانش آموزان را می طلبد حل نابرابری ها است. بسیار شبیه به معادلات و در عین حال بسیار متفاوت از آنها. زیرا حل آنها نیازمند رویکرد خاصی است.

ویژگی های مورد نیاز برای یافتن پاسخ

همه آنها برای جایگزینی یک ورودی موجود با یک معادل استفاده می شوند. بسیاری از آنها شبیه به آنچه در معادلات بود. اما تفاوت هایی نیز وجود دارد.

• تابعی که در DPV یا هر عددی تعریف شده است را می توان به هر دو قسمت نابرابری اصلی اضافه کرد.
• به طور مشابه، ضرب ممکن است، اما فقط با یک تابع یا عدد مثبت.
• اگر این عمل با یک تابع یا عدد منفی انجام شود، علامت نابرابری باید معکوس شود.
• کارکردهایی که غیرمنفی هستند را می توان به یک قدرت مثبت ارتقا داد.

گاهی اوقات حل نابرابری ها با اقداماتی همراه است که پاسخ های اضافی می دهد. آنها باید با مقایسه ناحیه ODZ و مجموعه راه حل ها حذف شوند.

با استفاده از روش فاصله گذاری

ماهیت آن کاهش نابرابری به معادله ای است که در آن صفر در سمت راست است.

1. ناحیه ای را که مقادیر مجاز متغیرها در آن قرار دارد، یعنی ODZ تعیین کنید.
2. نابرابری را با استفاده از عملیات ریاضی تبدیل کنید تا سمت راست آن صفر شود.
3. علامت نامساوی را با "=" جایگزین کنید و معادله مربوطه را حل کنید.
4. روی محور عددی، تمام پاسخ هایی که در حین حل به دست آمده اند و همچنین فواصل ODZ را علامت بزنید. در صورت نابرابری شدید، نقاط باید سوراخ شوند. اگر علامت مساوی وجود داشته باشد، قرار است روی آنها نقاشی شود.
5. علامت تابع اصلی را در هر بازه حاصل از نقاط ODZ و پاسخ های تقسیم کننده آن مشخص کنید. اگر علامت تابع در هنگام عبور از نقطه ای تغییر نکند، وارد پاسخ می شود. در غیر این صورت منتفی است.
6. نقاط مرزی برای ODZ باید به طور اضافی بررسی شوند و تنها پس از آن در پاسخ گنجانده شوند یا نه.
7. پاسخی که به دست می آید باید به صورت مجموعه های متحد نوشته شود.

کمی در مورد نابرابری های مضاعف

آن ها همزمان از دو علامت نابرابری در رکورد استفاده می کنند. یعنی برخی از عملکردها توسط شرایط دو بار در یک زمان محدود می شود. چنین نابرابری‌هایی به صورت یک سیستم دوتایی حل می‌شوند، زمانی که یکی اصلی به بخش‌ها تقسیم می‌شود. و در روش فواصل، پاسخ از حل هر دو معادله مشخص شده است.

برای حل آنها، استفاده از خواص ذکر شده در بالا نیز مجاز است. با کمک آنها، کاهش نابرابری به صفر راحت است.

در مورد نابرابری هایی که مدول دارند چطور؟

در این مورد، حل نابرابری ها از ویژگی های زیر استفاده می کند و آنها برای مقدار مثبت "a" معتبر هستند.

اگر "x" یک عبارت جبری بگیرد، جایگزین های زیر معتبر هستند:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a روی x< -a или х >آ.

اگر نابرابری ها دقیق نباشند، فرمول ها نیز صادق هستند، فقط در آنها، علاوه بر علامت بزرگ یا کمتر، "=" ظاهر می شود.

چگونه سیستم نابرابری ها حل می شود؟

این دانش در مواردی مورد نیاز خواهد بود که چنین وظیفه ای داده شود یا سابقه یک نابرابری مضاعف وجود داشته باشد یا یک ماژول در رکورد ظاهر شود. در چنین شرایطی، راه حل، مقادیری از متغیرها خواهد بود که تمام نابرابری های موجود در رکورد را برآورده می کند. اگر چنین اعدادی وجود نداشته باشد، سیستم هیچ راه حلی ندارد.

طرحی که بر اساس آن حل سیستم نابرابری ها انجام می شود:

• هر کدام را جداگانه حل کنید؛
• تمام فواصل روی محور عددی را به تصویر بکشید و تقاطع آنها را تعیین کنید.
• پاسخ سیستم را بنویسید که اتحاد اتفاقات پاراگراف دوم خواهد بود.

در مورد نابرابری های کسری چطور؟

از آنجایی که در حین حل آنها ممکن است نیاز به تغییر علامت نابرابری باشد، باید تمام نکات طرح را با دقت و دقت بسیار رعایت کرد. در غیر این صورت ممکن است پاسخی برعکس دریافت کنید.

حل نابرابری های کسری نیز از روش بازه استفاده می کند. و برنامه عملیاتی این خواهد بود:

• با استفاده از ویژگی های توصیف شده، به کسری شکلی بدهید که فقط صفر در سمت راست علامت باقی بماند.
• نامبرابری را با "="" جایگزین کنید و نقاطی را که تابع برابر با صفر خواهد بود، تعیین کنید.
• آنها را روی محور مختصات علامت گذاری کنید. در این حالت، اعداد حاصل از محاسبات در مخرج همیشه حذف خواهند شد. بقیه بر اساس شرط نابرابری است.
• فواصل پایداری را تعیین کنید.
• در پاسخ، اتحاد آن فواصل را بنویسید که علامت آنها مطابق با نابرابری اولیه است.

موقعیت هایی که بی منطقی در نابرابری ظاهر می شود

به عبارت دیگر، یک ریشه ریاضی در رکورد وجود دارد. از آنجایی که بیشتر تکالیف درس جبر مدرسه برای جبر است، این اوست که در نظر گرفته می شود.

حل نابرابری های غیرمنطقی به دست آوردن یک سیستم دو یا سه است که معادل سیستم اصلی خواهد بود.

نمونه هایی از حل انواع نابرابری ها

برای وضوح بیشتر نظریه حل نابرابری ها، مثال هایی در زیر آورده شده است.

مثال اول 2x - 4 > 1 + x

راه حل: برای تعیین DHS، فقط باید به نابرابری دقت کرد. از تشکیل شده است توابع خطی، بنابراین برای تمام مقادیر متغیر تعریف شده است.

اکنون از هر دو طرف نابرابری باید (1 + x) را کم کنید. معلوم می شود: 2x - 4 - (1 + x) > 0. پس از باز شدن پرانتزها و ارائه عبارت های مشابه، نابرابری به شکل زیر خواهد بود: x - 5 > 0.

با برابر کردن آن با صفر، به راحتی می توان جواب آن را پیدا کرد: x = 5.

حالا این نقطه با عدد 5 روی پرتو مختصات مشخص شود. سپس علائم عملکرد اصلی را بررسی کنید. در بازه اول از منهای بی نهایت تا 5 می توانید عدد 0 را گرفته و آن را به نامساوی به دست آمده پس از تبدیل ها جایگزین کنید. پس از محاسبات به نظر می رسد -7>0. در زیر قوس فاصله باید علامت منفی را امضا کنید.

در فاصله بعدی از 5 تا بی نهایت، می توانید عدد 6 را انتخاب کنید. سپس معلوم می شود که 1 > 0. علامت "+" در زیر قوس امضا می شود. این بازه دوم پاسخ نابرابری خواهد بود.

پاسخ: x در بازه (5؛ ∞) قرار دارد.

مثال دوم برای حل یک سیستم از دو معادله لازم است: 3x + 3 ≤ 2x + 1 و 3x - 2 ≤ 4x + 2.

راه حل. ODZ این نابرابری ها نیز در ناحیه هر عددی قرار دارد، زیرا توابع خطی داده شده است.

نابرابری دوم به شکل معادله زیر خواهد بود: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. پس از تبدیل: -x - 4 =0. برای متغیر مقداری برابر با -4 تولید می کند.

این دو عدد باید روی محور مشخص شوند و فواصل زمانی را نشان دهند. از آنجایی که نابرابری سخت نیست، همه نقاط باید سایه دار شوند. بازه اول از منهای بی نهایت تا -4 است. بگذارید عدد -5 انتخاب شود. نابرابری اول مقدار -3 و دومی 1 را می دهد. بنابراین این فاصله در پاسخ گنجانده نشده است.

بازه دوم از -4 تا -2 است. می توانید عدد -3 را انتخاب کنید و آن را در هر دو نامساوی جایگزین کنید. در اولی و دومی مقدار -1 به دست می آید. بنابراین، در زیر قوس "-".

در آخرین بازه از 2- تا بی نهایت، صفر بهترین عدد است. شما باید آن را جایگزین کنید و مقادیر نابرابری ها را پیدا کنید. در اولی آنها یک عدد مثبت و در دومی صفر به دست می آید. این فاصله نیز باید از پاسخ حذف شود.

از بین سه بازه، تنها یکی راه حل نابرابری است.

پاسخ: x متعلق به [-4; -2].

مثال سوم. |1 - x| > 2 |x - 1|.

راه حل. اولین قدم تعیین نقاطی است که در آن توابع ناپدید می شوند. برای سمت چپ، این عدد 2 خواهد بود، برای سمت راست - 1. آنها باید روی پرتو مشخص شوند و فواصل پایداری باید تعیین شوند.

در بازه اول، از منهای بی نهایت تا 1، تابع سمت چپ نابرابری می گیرد. ارزش های مثبت، و از سمت راست - منفی. در زیر قوس، باید دو علامت "+" و "-" را در کنار یکدیگر بنویسید.

فاصله بعدی از 1 تا 2 است. در آن، هر دو تابع مقادیر مثبت می گیرند. بنابراین، دو مثبت در زیر قوس وجود دارد.

بازه سوم از 2 تا بی نهایت نتیجه زیر را به دست می دهد: تابع چپ منفی است، سمت راست مثبت است.

با در نظر گرفتن علائم حاصل، لازم است مقادیر نابرابری برای تمام فواصل محاسبه شود.

در مورد اول، نابرابری زیر به دست می آید: 2 - x > - 2 (x - 1). منهای قبل از دو در نابرابری دوم به دلیل منفی بودن این تابع است.

پس از تبدیل، نابرابری به صورت زیر است: x > 0. بلافاصله مقادیر متغیر را می دهد. یعنی از این بازه فقط بازه 0 تا 1 در پاسخ خواهد رفت.

در دوم: 2 - x\u003e 2 (x - 1). تبدیل ها چنین نابرابری را به دست می دهند: -3x + 4 بزرگتر از صفر است. صفر آن مقدار x = 4/3 خواهد بود. با توجه به علامت نابرابری، معلوم می شود که x باید کمتر از این عدد باشد. به این معنی که این فاصله از 1 به 4/3 کاهش می یابد.

دومی رکورد زیر را از نابرابری به دست می دهد: - (2 - x) > 2 (x - 1). تبدیل آن به این منجر می شود: -x > 0. یعنی معادله برای x کمتر از صفر صادق است. این بدان معنی است که نابرابری در بازه مورد نیاز راه حل نمی دهد.

در دو بازه اول، عدد مرز 1 بود. باید جداگانه بررسی شود. یعنی با نابرابری اصلی جایگزین کنید. معلوم شد: |2 - 1| > 2 | 1 - 1|. شمارش نشان می دهد که 1 بزرگتر از 0 است. این یک جمله درست است، بنابراین یک در پاسخ گنجانده شده است.

پاسخ: x در بازه (0؛ 4/3) قرار دارد.

نابرابری ها و سیستم های نابرابری یکی از موضوعاتی است که در آن به آن پرداخته شده است دبیرستاندر جبر از نظر سختی، سخت ترین نیست، زیرا قوانین ساده ای دارد (در مورد آنها کمی بعد). به عنوان یک قاعده، دانش آموزان مدرسه راه حل سیستم های نابرابری را به راحتی یاد می گیرند. این نیز به این دلیل است که معلمان به سادگی دانش آموزان خود را در مورد این موضوع "آموزش" می دهند. و آنها نمی توانند این کار را انجام دهند، زیرا در آینده با استفاده از مقادیر ریاضی دیگر مورد مطالعه قرار می گیرد و همچنین برای OGE و آزمون یکپارچه ایالت بررسی می شود. که در کتاب های درسی مدرسهمبحث نابرابری ها و سیستم های نابرابری با جزئیات کامل پوشش داده شده است، بنابراین اگر قصد مطالعه آن را دارید، بهتر است به آنها متوسل شوید. این مقاله فقط مطالب بزرگ را بازگو می کند و ممکن است مواردی از قلم افتاده باشد.

مفهوم سیستم نابرابری

اگر به زبان علمی بپردازیم، می‌توان مفهوم «نظام نابرابری‌ها» را تعریف کرد. این یک مدل ریاضی است که چندین نابرابری را نشان می دهد. این مدل البته نیاز به یک راه حل دارد و پاسخ کلی برای تمام نابرابری های سیستم پیشنهادی در کار خواهد بود (معمولاً به این صورت نوشته می شود: "حل سیستم نابرابری ها 4 x + 1 > 2 و 30 - x > 6..."). با این حال، قبل از رفتن به انواع و روش های راه حل، باید چیز دیگری را درک کنید.

سیستم های نابرابری ها و سیستم های معادلات

در روند مطالعه موضوع جدیداغلب اوقات سوء تفاهم وجود دارد. از یک طرف، همه چیز روشن است و من ترجیح می دهم شروع به حل وظایف کنم، اما از طرف دیگر، برخی از لحظات در "سایه" می مانند، آنها به خوبی درک نمی شوند. همچنین، برخی از عناصر دانش از قبل به دست آمده را می توان با موارد جدید در هم آمیخت. در نتیجه این "همپوشانی" اغلب خطاها رخ می دهد.

بنابراین، قبل از شروع به تجزیه و تحلیل موضوع خود، باید تفاوت بین معادلات و نابرابری ها، سیستم های آنها را یادآور شویم. برای این کار باید یک بار دیگر توضیح دهید که این مفاهیم ریاضی چیست. یک معادله همیشه یک برابر است و همیشه با چیزی برابر است (در ریاضیات این کلمه با علامت "=" نشان داده می شود). نابرابری مدلی است که در آن یک مقدار یا بزرگتر یا کوچکتر از مقدار دیگر است یا حاوی این ادعا است که آنها یکسان نیستند. بنابراین، در مورد اول، مناسب است در مورد برابری صحبت کنیم، و در مورد دوم، هر چقدر هم که از نام خود واضح به نظر برسد، در مورد نابرابری داده های اولیه. سیستم های معادلات و نابرابری ها عملاً با یکدیگر تفاوتی ندارند و روش حل آنها یکسان است. تنها تفاوت این است که اولی از برابری ها استفاده می کند، در حالی که دومی از نابرابری ها استفاده می کند.

انواع نابرابری ها

دو نوع نامساوی وجود دارد: عددی و با متغیر مجهول. نوع اول مقادیر (اعداد) ارائه شده است که با یکدیگر برابر نیستند، به عنوان مثال، 8 > 10. نوع دوم نابرابری های حاوی یک متغیر ناشناخته (که با برخی از حروف الفبای لاتین، اغلب X نشان داده می شود) است. این متغیر باید پیدا شود. بسته به تعداد آنها، مدل ریاضی بین نابرابری ها با یک (آنها سیستمی از نابرابری ها را با یک متغیر می سازند) یا چندین متغیر (یک سیستم نابرابری با چندین متغیر را می سازند) تمایز قائل می شود.

دو نوع آخر با توجه به درجه ساخت و میزان پیچیدگی راه حل به ساده و پیچیده تقسیم می شوند. ساده ها را نابرابری خطی نیز می گویند. آنها به نوبه خود به سختگیرانه و غیر سختگیرانه تقسیم می شوند. به طور خاص "بگویید" که یک مقدار باید یا کمتر یا بیشتر باشد، بنابراین این نابرابری محض است. چندین مثال وجود دارد: 8 x + 9 > 2، 100 - 3 x > 5، و غیره. موارد غیر دقیق نیز شامل برابری می شوند. یعنی یک مقدار می تواند بزرگتر یا مساوی با مقدار دیگری باشد (علامت "≥") یا کمتر یا مساوی با مقدار دیگر (علامت "≤"). حتی در نابرابری های خطی، متغیر در ریشه نمی ایستد، مربع، بر چیزی تقسیم نمی شود، به همین دلیل است که آنها را "ساده" می نامند. پیچیده شامل متغیرهای ناشناخته است که یافتن آنها نیاز به اجرا دارد بیشترعملیات ریاضی آنها اغلب در یک مربع، مکعب یا زیر ریشه هستند، می توانند مدولار، لگاریتمی، کسری و غیره باشند. اما از آنجایی که وظیفه ما درک حل سیستم های نامساوی است، در مورد سیستم نابرابری های خطی صحبت خواهیم کرد. اما قبل از آن باید چند کلمه در مورد خواص آنها گفت.

ویژگی های نابرابری ها

خواص نابرابری ها شامل مقررات زیر است:

1. اگر عمل تغییر ترتیب اضلاع اعمال شود، علامت نابرابری معکوس می شود (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2، سپس t 2 ≥ t 1).
2. هر دو بخش نابرابری به شما این امکان را می دهند که همان عدد را به خود اضافه کنید (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2، سپس t 1 + عدد ≤ t 2 + عدد).
3. دو یا چند نابرابری که علامت یکسانی دارند به شما امکان می‌دهند قسمت چپ و راست آنها را اضافه کنید (به عنوان مثال، اگر t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، سپس t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. هر دو بخش نابرابری به خود اجازه می دهند که بر یک عدد مثبت یکسان ضرب یا تقسیم شوند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و عدد ≤ 0، آنگاه عدد t 1 ≥ عدد t 2).
5. دو یا چند نابرابری که دارای جملات مثبت و علامتی در یک جهت هستند به خود اجازه می دهند در یکدیگر ضرب شوند (مثلاً اگر t 1 ≤ t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 ≥ 0 سپس t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. هر دو بخش نابرابری به خود اجازه می دهند که در یک عدد منفی یکسان ضرب یا تقسیم شوند، اما علامت نابرابری تغییر می کند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و عدد ≤ 0، سپس عدد t 1 ≥ t 2 ).
7. همه نابرابری ها دارای خاصیت گذر هستند (به عنوان مثال، اگر t 1 ≤ t 2 و t 2 ≤ t 3، سپس t 1 ≤ t 3).

حال پس از مطالعه مفاد اصلی نظریه مربوط به نابرابری ها، می توان مستقیماً به بررسی قواعد حل سیستم های آنها پرداخت.

حل سیستم های نابرابری. اطلاعات کلی. راه حل ها

همانطور که در بالا ذکر شد، راه حل مقادیر متغیری است که با تمام نابرابری های سیستم داده شده مطابقت دارد. حل سیستم های نابرابری، اجرای عملیات ریاضی است که در نهایت به حل کل سیستم می انجامد یا ثابت می کند که هیچ راه حلی ندارد. در این مورد، گفته می شود که متغیر به مجموعه عددی خالی اشاره دارد (به شکل زیر نوشته شده است: حرفی که نشان دهنده یک متغیر است∈ (علامت «متعلق است») ø (علامت «مجموعه خالی»)، به عنوان مثال، x ∈ ø (می خواند: «متغیر «x» متعلق به مجموعه خالی است»). روش های مختلفی برای حل سیستم های نابرابری وجود دارد: روش گرافیکی، جبری، روش جایگزینی. لازم به ذکر است که هستند مدل های ریاضی، که دارای چندین متغیر ناشناخته هستند. در موردی که فقط یکی وجود دارد، روش فاصله مناسب است.

روش گرافیکی

به شما امکان می دهد یک سیستم نابرابری را با چندین مجهول (از دو یا بیشتر) حل کنید. به لطف این روش، سیستم نابرابری های خطی به راحتی و سریع حل می شود، بنابراین رایج ترین روش است. این به این دلیل است که رسم کردن میزان نوشتن عملیات ریاضی را کاهش می دهد. زمانی که کار زیادی انجام شده است و کمی تنوع می خواهید، کمی استراحت از قلم، برداشتن یک مداد با خط کش و انجام اقدامات بعدی با کمک آنها بسیار لذت بخش می شود. با این حال این روشبرخی آن را دوست ندارند زیرا باید از کار جدا شوید و فعالیت ذهنی خود را به نقاشی تغییر دهید. با این حال، این یک راه بسیار موثر است.

برای حل یک سیستم نابرابری با استفاده از روش گرافیکی، لازم است تمام عبارات هر نابرابری به سمت چپ آنها منتقل شود. علائم معکوس خواهند شد، صفر باید در سمت راست نوشته شود، سپس هر نابرابری باید جداگانه نوشته شود. در نتیجه توابع از نابرابری ها به دست خواهند آمد. پس از آن، می توانید یک مداد و یک خط کش دریافت کنید: اکنون باید نموداری از هر تابع به دست آمده را رسم کنید. کل مجموعه اعدادی که در بازه تقاطع آنها خواهد بود، حل سیستم نامساوی خواهد بود.

راه جبری

به شما امکان می دهد یک سیستم نابرابری را با دو متغیر مجهول حل کنید. همچنین، نابرابری‌ها باید علامت نابرابری یکسانی داشته باشند (یعنی فقط علامت «بزرگتر از» یا فقط علامت «کمتر از» و غیره را داشته باشند.) علیرغم محدودیت‌هایی که دارد، این روش نیز پیچیده‌تر است. در دو مرحله اعمال می شود.

اولی شامل اقداماتی برای خلاص شدن از شر یکی از متغیرهای ناشناخته است. ابتدا باید آن را انتخاب کنید، سپس وجود اعداد در مقابل این متغیر را بررسی کنید. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد (پس متغیر شبیه یک حرف واحد خواهد بود)، پس ما چیزی را تغییر نمی دهیم، اگر وجود داشته باشد (نوع متغیر مثلاً 5y یا 12y خواهد بود)، پس باید مطمئن شد که در هر نابرابری عدد مقابل متغیر انتخاب شده یکسان است. برای انجام این کار، باید هر یک از اعضای نابرابری ها را در یک عامل مشترک ضرب کنید، به عنوان مثال، اگر در نامعادله اول 3y و در دومی 5y نوشته شده باشد، باید تمام اعضای نامعادله اول را در 5 ضرب کنید. و دومی با 3. به ترتیب 15 و 15 سال می شود.

مرحله دوم تصمیم گیری لازم است سمت چپ هر نابرابری را با تغییر علامت هر جمله به سمت مقابل به سمت راست آنها منتقل کنید، در سمت راست صفر بنویسید. سپس بخش سرگرم کننده می آید: خلاص شدن از متغیر انتخاب شده (که به عنوان "کاهش" شناخته می شود) در حالی که نابرابری ها را جمع می کند. یک نابرابری با یک متغیر دریافت خواهید کرد که باید حل شود. پس از آن، شما باید همین کار را انجام دهید، فقط با یک متغیر ناشناخته دیگر. نتایج به دست آمده راه حل سیستم خواهد بود.

روش تعویض

به شما این امکان را می دهد که در صورت امکان یک متغیر جدید، سیستمی از نابرابری ها را حل کنید. معمولاً از این روش زمانی استفاده می شود که متغیر مجهول در یک جمله نابرابری به توان چهارم و در جمله دیگر مجذور شود. بنابراین، این روش با هدف کاهش درجه نابرابری در سیستم است. نابرابری نمونه x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 به این ترتیب به صورت زیر حل می شود. یک متغیر جدید معرفی شده است، به عنوان مثال t. آنها می نویسند: "T = x 2"، سپس مدل به شکل جدیدی بازنویسی می شود. در مورد ما، t 2 - t - 1 ≤0 را دریافت می کنیم. این نابرابری باید با روش بازه حل شود (در مورد آن کمی بعد)، سپس به متغیر X برگردید، سپس همین کار را با نابرابری دیگر انجام دهید. پاسخ های دریافتی تصمیم سیستم خواهد بود.

روش فاصله گذاری

این ساده ترین راه برای حل سیستم های نابرابری است و در عین حال جهانی و گسترده است. این در دبیرستان و حتی در دبیرستان استفاده می شود. ماهیت آن در این واقعیت نهفته است که دانش آموز به دنبال فواصل نابرابری در خط اعداد است که در یک دفترچه رسم شده است (این یک نمودار نیست، بلکه فقط یک خط مستقیم معمولی با اعداد است). در جایی که فواصل نابرابری ها تلاقی می کنند، جواب سیستم پیدا می شود. برای استفاده از روش فاصله گذاری، باید مراحل زیر را دنبال کنید:

1. همه اعضای هر نابرابری با تغییر علامت به سمت چپ به سمت چپ منتقل می شوند (در سمت راست صفر نوشته شده است).
2. نابرابری ها به طور جداگانه نوشته می شوند، راه حل هر یک از آنها مشخص می شود.
3. تقاطع نابرابری ها روی خط واقعی پیدا می شود. همه اعداد در این تقاطع ها راه حل خواهند بود.

از کدام راه استفاده کنیم؟

بدیهی است که آسان ترین و راحت ترین به نظر می رسد، اما مواقعی وجود دارد که وظایف به روش خاصی نیاز دارند. اغلب آنها می گویند که باید با استفاده از نمودار یا با استفاده از روش فاصله حل کنید. روش جبری و جایگزینی به ندرت استفاده می شود یا اصلاً استفاده نمی شود، زیرا بسیار پیچیده و گیج کننده هستند و علاوه بر این، بیشتر برای حل سیستم معادلات به جای نامساوی استفاده می شوند، بنابراین باید به رسم نمودارها و فواصل متوسل شوید. آنها دید را به ارمغان می آورند، که نمی تواند به انجام کارآمد و سریع عملیات ریاضی کمک کند.

اگر چیزی کار نمی کند

در طول مطالعه یک موضوع خاص در جبر، البته ممکن است مشکلاتی در درک آن ایجاد شود. و این طبیعی است، زیرا مغز ما به گونه ای طراحی شده است که قادر به درک مطالب پیچیده در یک حرکت نیست. اغلب شما نیاز دارید که یک پاراگراف را دوباره بخوانید، از یک معلم کمک بگیرید یا حل مسائل معمولی را تمرین کنید. در مورد ما، به عنوان مثال، آنها به این شکل به نظر می رسند: "نظام نابرابری ها را حل کنید 3 x + 1 ≥ 0 و 2 x - 1 > 3". بنابراین، تلاش شخصی، کمک افراد ثالث و تمرین به درک هر موضوع پیچیده کمک می کند.

رشبنیک؟

و کتاب راه حل نیز بسیار مناسب است، اما نه برای تقلب در مشق شب، بلکه برای خودیاری. در آنها، می توانید سیستم های نابرابری را با یک راه حل پیدا کنید، به آنها نگاه کنید (به عنوان الگو)، سعی کنید دقیقاً بفهمید نویسنده راه حل چگونه با کار کنار آمده است، و سپس سعی کنید آن را به تنهایی انجام دهید.

نتیجه گیری

جبر یکی از سخت ترین درس ها در مدرسه است. خوب، چه کاری می توانید انجام دهید؟ ریاضیات همیشه اینگونه بوده است: برای برخی آسان است و برای برخی دیگر دشوار است. اما در هر صورت باید به خاطر داشت که برنامه آموزش عمومی به گونه ای طراحی شده است که هر دانش آموزی بتواند با آن کنار بیاید. علاوه بر این، باید تعداد زیادی دستیار را در نظر داشته باشید. برخی از آنها در بالا ذکر شده است.