روش خطی سازی داده های تجربی. روش خطی سازی عمومی

روش خطی سازی هارمونیک اجازه می دهد تا با دقت کافی برای تمرین، پایداری و دقت را بررسی کنیم. سیستم های خطی، با استفاده از روش های توسعه یافته برای سیستم های خطی. این روش امکان تعیین حضور خود نوسانات و همچنین فرکانس و دامنه آنها را فراهم می کند.

یک سیستم غیر خطی به صورت ترکیبی از یک بخش خطی و یک بخش غیر خطی نشان داده می شود (شکل 5).

برنج. 5 نمودار یک سیستم غیر خطی

سیگنال خروجی قسمت غیر خطی سیستم در مورد کلیبا عبارت تعریف می شود

به عنوان نشان دهید تابع انتقالقسمت خطی سیستم معادلات شکل می گیرد

اجازه دهید شرایطی را پیدا کنیم که تحت آن نوسانات هارمونیک شکل در خروجی قسمت خطی سیستم ایجاد می شود.

در این مورد، سیگنال y(t)بخش غیر خطی نیز یک تابع تناوبی خواهد بود، اما با یک سینوسی متفاوت است. این تابع را می توان به یک سری فوریه گسترش داد

در این بیان آ منو ب من- ضرایب فوریه. برای غیرخطی های متقارن اف 0 =0.

شرط اصلی که روش بر قسمت خطی سیستم تحمیل می کند، وضعیت فیلتر پایین گذر است. اعتقاد بر این است که قسمت خطیتنها هارمونیک اول نوسانات را می گذراند. این فرض به ما این امکان را می دهد که هارمونیک های بالاتر در (7.19) را ناچیز در نظر بگیریم و خود را به در نظر گرفتن تنها هارمونیک اول سیگنال محدود کنیم. y (t).

سپس عبارت (7.20) را می توان به صورت بازنویسی کرد

اولین معادله سیستم (7.17) شکل می گیرد

در این بیان

نتیجه جایگزینی غیرخطی F(x، sx)اصطلاح

و خطی سازی هارمونیک نامیده می شود. مقادیر qو q 1 ضرایب خطی سازی هارمونیک یا به سادگی ضرایب هارمونیک نامیده می شوند. معمولاً برای غیرخطی های تک ارزشی q 1 =0 . فرمول های ضرایب هارمونیک مربوط به غیرخطی های معمولی در ضمیمه ها آورده شده است.

تفاوت اساسی بین خطی سازی هارمونیک و خطی سازی معمولی در این است که با خطی سازی متعارف، مشخصه غیرخطی با یک خط مستقیم با شیب ثابت معین و با خطی سازی هارمونیک با یک خط مستقیم که شیب آن به دامنه بستگی دارد جایگزین می شود. سیگنال ورودی عنصر غیر خطی

روشی را برای تعیین دامنه و فرکانس خود نوسانات در نظر بگیرید.

یک). در معادله مشخصه سیستم به دست آمده از (7.22) تغییر را ایجاد می کنیم s=jو دریافت کنید

2). از عبارت به دست آمده، قسمت های واقعی و خیالی را انتخاب می کنیم و آنها را با صفر برابر می کنیم که با توجه به معیار میخائیلوف، مطابق با قرار گرفتن سیستم در مرز پایداری نوسانی است.

• 3) حل این سیستم فرکانس و مقادیر ضرایب هارمونیک را می دهد. اگر این مقادیر واقعی و مثبت باشند، سیستم دارای یک چرخه محدود است. مقادیر ضرایب هارمونیک را می توان برای تعیین دامنه چرخه حد استفاده کرد.
• 4). ویژگی مشترکثبات چرخه حدی، یعنی وجود خود نوسانات، برابری با صفر تعیین کننده ماقبل آخر هورویتز برای مقادیر بدست آمده از دامنه و فرکانس چرخه حد است. اغلب استفاده از شرایط پایداری سیکل حدی بر اساس معیار پایداری میخائیلوف راحت‌تر است.

اگر این نابرابری برآورده شود، سیکل حدی پایدار است و خود نوساناتی در سیستم با دامنه و فرکانس تعریف شده در بالا وجود دارد. شاخص "*" به این معنی است که مشتقات از قبل محاسبه شده اند ارزش های شناخته شدهضرایب هارمونیک، دامنه و فرکانس.

مثال. فرض کنید در سیستم تثبیت زاویه شیب هواپیما که قبلاً در بالا در نظر گرفته شد، چرخ دنده فرمان غیر خطی است و بلوک دیاگرام آن به شکل نشان داده شده در شکل 1 است. 7.6.

شکل 6 نمودار یک درایو غیر خطی فرمان

اجازه دهید پارامترهای زیر را برای غیر خطی بودن ویژگی های سرعت درایو فرمان تنظیم کنیم: b = 0.12، k 1 =tg =c/b = 6.7.ضرایب خطی سازی هارمونیک این غیرخطی بودن توسط عبارات تعیین می شود

با جایگزینی مشخصه غیر خطی در مدار با یک ضریب هارمونیک، تابع انتقال چرخ دنده فرمان را به دست می آوریم.

ما این تابع انتقال را در بلوک دیاگرام سیستم تثبیت زاویه گام جایگزین می کنیم و تابع انتقال سیستم بسته را تعیین می کنیم.

در معادله مشخصه یک سیستم بسته، تغییر را ایجاد می کنیم s = jو قسمت واقعی و خیالی را انتخاب کنید.

از معادله دوم سیستم، عبارتی برای فرکانس بدست می آوریم: و با جایگزینی آن به معادله اول، پس از تبدیل ها، به دست می آوریم.

در اینجا عبارات تعریف شده قبلی را برای ضرایب جایگزین کنید معادله مشخصه، در دسترس معادله درجه دومنسبت به ضریب هارمونیک که حل آن را پیدا می کنیم

از این مقادیر می توان برای دو حالت تمام ضرایب معادله مشخصه را محاسبه کرد و فرکانس های مربوط به هر مقدار را تعیین کرد. q(A).ما گرفتیم:

هر دو مقدار ضریب هارمونیک و فرکانس های مربوطه واقعی و مثبت هستند. بنابراین دو سیکل حدی در سیستم وجود دارد. مقادیر دامنه سیکل حدی با انتخاب چنین مقداری به صورت عددی تعیین می شود که در آن فرمول ضریب خطی سازی هارمونیک مقداری برابر با مقدار محاسبه شده قبلی می دهد. در مورد مورد بررسی، دریافت می کنیم

حال اجازه دهید پایداری چرخه های حدی را تخمین بزنیم. ما از نابرابری به دست آمده از معیار میخائیلوف استفاده می کنیم که برای آن تعریف می کنیم

مشتق ضریب خطی سازی هارمونیک موجود در عبارات به دست آمده با فرمول محاسبه می شود

محاسبات با استفاده از فرمول های بالا نشان می دهد که اولین چرخه حد پایدار نیست و زمانی اتفاق می افتد (0) 0.1166(6.7 0 ). اگر انحراف اولیه کمتر از انحراف مشخص شده باشد، آنگاه فرآیند در ورودی عنصر غیرخطی تحلیل می‌رود (شکل 7. 7) و سیستم پایدار است.

اگر مقدار اولیه زاویه گام بزرگتر از مقدار مشخص شده باشد، فرآیندها به چرخه حدی دوم همگرا می شوند که پایدار است و بنابراین، خود نوسانی در سیستم رخ می دهد (شکل 8).

برنج. هشت

با مدل‌سازی مشخص می‌شود که ناحیه جذب یک چرخه حد پایدار تقریباً درون آن قرار دارد (0) 0.1167 - 1.4 (6.71 0 - 80.2 0 ).

خطی سازی رایج ترین راه برای کاهش پیچیدگی MM است و مبنایی برای کاربرد است نظریه خطی.

ماهیت هر خطی سازی این است تقریبیجایگزینی وابستگی غیرخطی اصلی (غیرخطی) با مقداری وابستگی خطی مطابق با یک شرط (معیار) هم ارزی خاص. در میان روش های ممکن، رایج ترین مورد استفاده قرار می گیرد روش مماس(خطی سازی در یک محله کوچک از یک نقطه معین). این روش به نوع سیگنال های تبدیل شده بستگی ندارد و می تواند به همان اندازه با موفقیت مورد استفاده قرار گیرد ناهمسانانواع غیرخطی ها که می توانند تک بعدی و چند بعدی باشند. بدون اینرسی (استاتیک) و پویا.

غیرخطی های اینرسییک رابطه عملکردی بین مقادیر ورودی ایجاد کنید تو(تی) و خارج شوید y(تی) در همان زمان فعلی تیو قابل تنظیم است به وضوح(فرمول ها، نمودارها، جداول)، یا به طور ضمنی(معادلات جبری). در بلوک دیاگرام ها مطابقت دارند بی اینرسی(بدون حافظه) لینک های غیر خطی.

غیر خطی های دینامیکیبا معادلات دیفرانسیل غیر خطی و در نمودارهای بلوکی که مطابقت دارند، به صورت ریاضی توصیف می شوند پیوندهای دینامیکی غیرخطی. در این مورد، مقادیر خروجی y(تی) در زمان فعلی تینه تنها به مقادیر ورودی در همان زمان، بلکه به مشتقات، انتگرال ها یا هر مقدار دیگری نیز بستگی دارد.

مبنای ریاضی روش مماس، بسط یک تابع غیر خطی در یک سری تیلور در یک همسایگی کوچک از یک "نقطه خطی سازی" است، و به دنبال آن رد عبارت های غیر خطی حاوی درجات انحراف متغیرها (افزایش) است. ) بالاتر از اولی.

اجازه دهید ماهیت روش را در موارد خاص با تعمیم های بعدی در نظر بگیریم.

1) اجازه دهید y= اف(تو) - به صراحت داده شده است یک بعدیغیرخطی اینرسی، صاف و پیوسته در همسایگی فلان نقطه تو=تو*. با فرض اینکه تو=تو*+D تو;y=y*+D y، جایی که y*=اف(تو*)، سری تیلور را برای این تابع به شکل زیر می نویسیم:

کنار گذاشتن عبارات مرتبه بالاتر کوچکی و باقی گذاشتن فقط عبارات حاوی D تودر درجه اول، برابری تقریبی را بدست می آوریم

. (2)

این عبارت تقریباً رابطه را توصیف می کند کم اهمیتافزایش D yو D تومانند خطیوابستگی است و نتیجه خطی سازی در مورد مورد بررسی است. اینجا بهاین دارد حس هندسیشیب شیب مماس بر نمودار تابع در نقطه با مختصات تو=تو*.

چه زمانی چند بعدیغیر خطی بودن y=اف(تو)، چه زمانی y={y من}, اف={F i) و تو={u j) بردار هستند، به طور مشابه به دست می آوریم که D y=ک D تو. اینجا ک={K ij) یک ضریب ماتریسی است که عناصر آن K ijبه عنوان مقادیر مشتقات جزئی توابع تعریف می شوند F iتوسط متغیرها u jمحاسبه شده در "نقطه" تو=تو*.

2. اجازه دهید غیرخطی بدون اینرسی داده شود به طور ضمنیبا استفاده از معادله جبری اف(y,تو)=0 . لازم است این غیرخطی بودن را در یک محله کوچک از یک راه حل خاص شناخته شده خطی کنیم ( تو*, y*) با این فرض که همه توابع غیر خطی F iبعنوان بخشی از افدر این محله پیوسته و قابل تمایز هستند. با گسترش این تابع برداری به یک سری تیلور و کنار گذاشتن شرایط مرتبه های دوم و بالاتر کوچکی، به دست می آوریم خطیمعادله تقریبی اول:

, (3)

جایی که D y=y–y*؛ D تو=تو–تو*; - ماتریس مشتقات جزئی محاسبه شده در نقطه خطی.

3. اجازه دهید یک بعدی پویاغیر خطی بودن با معادله دیفرانسیل "ورودی-خروجی" به دست می آید. n- مرتبه:

اف(y, y (1) , …, y (n) , تو, تو (1) , …تو (متر))=0. (4)

ما این غیرخطی بودن را با روش مماس در یک محله کوچک از معلوم خطی می کنیم خصوصیراه حل های این معادله y*(تی) متناظر داده شدهورود تو*(تی). مشتقات زمانی سفارشات مربوطه از y*(تی) و تو*(تی) نیز شناخته شده فرض می شوند.

با فرض عملکرد افبه طور پیوسته در همه آرگومان هایش قابل تمایز است و با پیروی از تکنیک کلی در نظر گرفته شده در بالا (بسط به یک سری و با در نظر گرفتن فقط عباراتی که نسبت به افزایش آرگومان ها خطی هستند) می نویسیم. خطیاولین معادله تقریبی برای یک معادله غیر خطی:

(5)

در اینجا نماد (*) به این معنی است که مشتقات جزئی برای مقادیر متغیرها و مشتقات آنها مربوط به راه حل خاص تعریف می شوند. y*(تی), تو*(تی)). در حالت کلی، مقادیر آنها (ضرایب معادله) به زمان بستگی دارد و مدل خطی شده خواهد بود. غیر ثابت. اما اگر راه حل خاص مطابقت دارد حالت استاتیک، سپس این ضرایب خواهد بود دائمی.

برای سهولت و اختصار نشانه گذاری، نماد زیر را معرفی می کنیم:

= یک من; = -b i; D y (من) =D i D y; D تو (من) =D i D تو; D=د/dt.

سپس خطی شدهمعادله (5) به صورت عملگر کوتاه نوشته شده است:

آ(D)D y(تی)=ب(D)D تو(تی),

جایی که آ(D) چند جمله ای درجه است nبا توجه به عملگر تمایز D;

ب(D) یک چند جمله ای عملگر مشابه است متر- درجه

4. اجازه دهید چند بعدی پویاغیرخطی بودن با معادلات غیرخطی حالت شکل داده می شود

(6)

مشابه موارد قبلی، این غیرخطی بودن را با روش مماس در یک همسایگی کوچک از معلوم خطی می کنیم. خصوصیراه حل ها ( ایکس*, y*) متناظر داده شدهورود تو*(تی). در این صورت معادلات تقریب اول به شکل زیر خواهد بود:

(7)

جایی که - ماتریس هایی با اندازه های مناسب عناصر آنها در حالت کلی تابعی از زمان خواهند بود، اما اگر راه حل خاصی مطابقت داشته باشد ایستارژیم، دائمی خواهند بود.

اجازه دهید نکات پایانی را در مورد استفاده از روش مماس در خطی سازی MM کل ACS بیان کنیم، که مجموعه ای از توصیفات بلوک های ساختمانی متقابل است.

1) "حالت مرجع" (*)، نسبت به آن خطی سازی انجام می شود، برای کل سیستم از MM کامل (غیر خطی) آن محاسبه می شود. برای محاسبه می توان از هر دو روش گرافیکی و عددی (کامپیوتری) استفاده کرد. در این حالت، ضرایب تمام معادلات خطی شده و وابستگی های تابعی به نقاط خطی انتخاب شده بستگی دارد.

2) تمام وابستگی های غیرخطی MM باید پیوسته و پیوسته قابل تمایز (هموار) در یک همسایگی کوچک از رژیم باشند (*).

3) انحراف متغیرها از مقادیر آنها در حالت مرجع باید به اندازه کافی کوچک باشد. برای SAR و Y، این الزام کاملاً با هدف کنترل سازگار است - تنظیم مقادیر متغیرهای کنترل شده مطابق با قوانین تعیین شده تغییر آنها.

4) برای معادلات خطیبه عنوان بخشی از MM، خطی سازی شامل جایگزینی رسمی همه متغیرها با انحرافات (افزایش) آنها است.

5) برای به دست آوردن یک MM خطی از کل سیستم به شکل استاندارد، به عنوان مثال، در قالب معادلات حالت، ابتدا باید هر یک از معادلات موجود در MM را خطی کرد. این بسیار ساده تر و سریعتر از تلاش برای به دست آوردن یک سیستم MM غیر خطی به شکل استاندارد با خطی سازی بعدی آن خواهد بود.

6) با توجه به تمام شرایط برای اعمال روش مماس، خواص یک MM خطی شده یک ایده عینی از خواص محلی یک MM غیر خطی در محله کوچکحالت مرجع این واقعیت در قالب قضایای لیاپانوف (روش اول) توجیه ریاضی دقیقی دارد و مبنای نظری است. کاربرد عملیتئوری کنترل خطی

وابستگی ها

پردازش نتایج اندازه گیری های غیر مستقیم با غیرخطی

ارائه نتایج اندازه گیری

با توجه به اینکه هر آرگومان می تواند محدودیت های اطمینان متناظری برای خطاهای سیستماتیک و تصادفی غیر مستثنی داشته باشد، وظیفه تعیین خطای اندازه گیری غیرمستقیم در این موارد به سه مرحله تقسیم می شود:

الف) جمع بندی خطاهای سیستماتیک جزئی و غیر مستثنی آرگومان ها؛

ب) جمع بندی خطاهای تصادفی خاص آرگومان ها.

ج) جمع اجزای سیستماتیک و تصادفی خطا.

حد اطمینان خطای سیستماتیک غیر مستثنی اندازه گیری غیرمستقیم تحت شرایط یکسان سطح اطمینانخطاهای جزئی و آنها توزیع یکنواختدر داخل مرزهای داده شده با فرمول (بدون توجه به علامت) تعیین می شود:

جایی که θ yحد اطمینان خطای سیستماتیک غیر مستثنی مقدار میانگین است Xj-ام استدلال در غیاب همبستگی بین آرگومان ها، برآورد RMS خطای تصادفی اندازه گیری غیرمستقیم از

جایی که S x j- برآورد RMS از خطای تصادفی نتیجه اندازه گیری Xj-ام استدلال

در توزیع نرمالاز خطاهای اندازه گیری غیر مستقیم، حد اطمینان جزء تصادفی خطا با فرمول محاسبه می شود:

جایی که tp- چندک دانش آموز با احتمال اطمینان پبا عدد موثردرجه آزادی k eff، برای اندازه های کوچک نمونه با فرمول تعیین می شود:

برای حجم های بزرگ، تعداد درجات آزادی با فرمول پیدا می شود

حد اطمینان از کل خطای نتیجه غیر مستقیم

اندازه گیری ها طبق قوانین ذکر شده در بالا تعیین می شود.

دو روش برای تعیین تخمین نقطه ای نتیجه اندازه گیری غیر مستقیم و خطای آن وجود دارد: خطی سازی و کاهش.

برای اندازه گیری های غیر مستقیم با وابستگی های غیر خطی و خطاهای اندازه گیری نامرتبط آرگومان ها، از روش خطی سازی استفاده می شود. روش خطی سازی مبتنی بر این واقعیت است که خطای اندازه گیری بسیار کمتر از مقدار اندازه گیری شده است و بنابراین نزدیک به مقادیر متوسط ​​است. شیآرگومان‌ها، وابستگی تابعی غیرخطی خطی شده و به یک سری تیلور گسترش می‌یابد (شرایط مرتبه بالا در نظر گرفته نمی‌شوند). با خطی کردن تابع چندین آرگومان تصادفی (که نتایج اندازه گیری ها و خطاهای آنها هستند)، معمولاً می توان یک عبارت نسبتاً ساده برای محاسبه تخمین های میانگین به دست آورد.

مقدار و انحراف استاندارد تابع بسط یک تابع غیر خطی در یک سری تیلور به شکل زیر است:

در صورتی که بتوان از عبارت باقیمانده صرف نظر کرد، روش خطی سازی قابل قبول است آر. عضو باقیمانده

نادیده گرفته شده اگر

جایی که X S- میانگین انحراف معیارخطاهای تصادفی نتیجه اندازه گیری x i-ام استدلال اولین جمله در سمت راست معادله است تخمین نقطه ایمقدار واقعی کمیت غیر مستقیم که با جایگزینی در بدست می آید

وابستگی عملکردی میانگین های حسابی X i، مقادیر آرگومان:

ترم دوم

مجموع اجزای خطای اندازه گیری غیرمستقیم به نام خطای جزئی و مشتقات جزئی است.

ضرایب نفوذ

انحرافات Δ شیباید از مقادیر خطای به‌دست‌آمده گرفته شود و به گونه‌ای باشد که بیان را برای عبارت باقی‌مانده به حداکثر برسانند آر. اگر خطاهای جزئی اندازه‌گیری غیرمستقیم به یکدیگر وابسته نباشند، یعنی نامرتبط باشند، و حدود اطمینان خطای آرگومان‌ها به همان احتمال شناخته شوند، خطای حاشیه‌ای (بدون در نظر گرفتن علامت) اندازه گیری غیر مستقیم با فرمول محاسبه می شود:

مقادیر مشتقات جزئی وابستگی عملکردی در مقادیر میانگین آرگومان ها تعیین می شود.

این روش که حداکثر - حداقل نامیده می شود، مقدار قابل توجهی بالاتری برای خطای اندازه گیری غیرمستقیم می دهد. تخمین نسبتاً صحیحی از خطای اندازه گیری غیرمستقیم با روش جمع درجه دوم به دست می آید

در تعدادی از موارد، محاسبه خطای اندازه گیری غیر مستقیم با عبور از خطاهای نسبی. برای انجام این کار، از تکنیک گرفتن لگاریتم و متعاقب آن تمایز وابستگی تابعی استفاده کنید. زمانی که خطای حاشیه ای اندازه گیری غیرمستقیم، با روش حداکثر - حداقل به دست می آید.

خطی سازی مدل غیرخطی اصلی حل یک مسئله تحقیقاتی خاص را تسهیل می کند. بنابراین، به منظور ساده سازی مدل سازی و تحقیق، در صورت امکان، جایگزینی مطلوب است معادله غیر خطیخطی تقریبی که راه حل آن ویژگی سیستم غیرخطی اصلی را با درجه دقت کافی توصیف می کند. فرآیند جایگزینی مدل غیرخطی با مدل خطی را خطی‌سازی می‌گویند.

اگر یک معادله دیفرانسیلجسم به دلیل غیر خطی بودن مشخصه استاتیکی آن غیرخطی است، پس برای خطی کردن معادله باید مشخصه استاتیک غیرخطی جایگزین شود.

اغلب استفاده می شود روش انحراف کوچک .

تکنیک کامپایل معادلات خطی اساساً ساده است. توجیه ریاضی این روش در الزامات نوع غیر خطی بودن تابع نهفته است. برای پذیرش خطی سازی کافی است که در برخی از همسایگی های نقطه وجود داشته باشد و پیوسته باشد ( ایکس 0 , y 0 , تو 0). سپس خطی سازی با استفاده از بسط در یک سری تیلور از تابع در مجاورت نقطه انجام می شود ( ایکس 0 , y 0 , تو 0) و تمام عبارات غیر خطی این سری را کنار می گذارند. به طور شهودی واضح است که مدل خطی به دست آمده با استفاده از بسط سری تیلور ممکن است برای توصیف فرآیندهایی در یک کارخانه غیرخطی که با تغییرات زیادی در متغیرهای مجاور نقطه همراه نیستند مناسب باشد. ایکس 0 , y 0). خطای مدل سازی کوچکتر است، انحرافات متغیرها کوچکتر است.

بنابراین، ایده خطی سازی مدل های غیرخطی این است که به جای (4.42) ساده شده است. مدل های ریاضی، بر اساس این واقعیت که فرآیندهای سیستم با کمی انحراف از برخی از مسیرهای به اصطلاح مرجع پیش می روند ( ایکس 0 ,تو 0 ,y 0) ارضای معادلات:

. (4.43)

سپس می توانیم یک عدد تقریبی بنویسیم مدل خطی شدهدر انحرافات از این رژیم:

, (4.44)

مثال 1.1. معادله حالت را خطی کنید.

راه حل.ما معادله حالت را در نزدیکی مسیر مربوط به خطی می کنیم. از حل این معادله داریم که یا (برای ) یا .

مورد دوم را در نظر بگیرید (چون مورد اول بی اهمیت است):

.

.

در انحرافات , معادله خطی به شکل زیر است:

. (4.45)

اگر حالت طراحی ثابت باشد، به عنوان مثال. به زمان بستگی ندارد، سپس ضرایب در (4.44) نیز به زمان بستگی ندارد. چنین سیستم هایی نامیده می شوند ثابتبه خصوص اغلب در عمل، سیستم های پیوسته خطی ثابت وجود دارد که با معادلات شرح داده شده است:

اگر خطی سازی منجر به خطاهای بزرگ شود، لازم است مدلی را انتخاب کنید که از نظر پارامترها خطی باشد:

جایی که آ- ماتریس سفارش n´ ن; Yیک تابع برداری غیرخطی است.

این کلاس شامل، برای مثال، اشیاء دو خطی است:

ایکس"=آ 1 ایکس+آ 2 xi+آ 3 تو، جایی که آ= (آ 1 ، آ 2 ، آ 3), Y= (x، xu، u).

این همچنین در مورد سیستم هایی که از نظر زمان گسسته هستند صدق می کند.

AT

برنج. 2.2. لینک ATS

در بیشتر موارد، می توان وابستگی های غیرخطی را با استفاده از روش انحرافات یا تغییرات کوچک خطی کرد. برای در نظر گرفتن آن، اجازه دهید به یک پیوند خاص در سیستم کنترل خودکار روی آوریم (شکل 2.2). کمیت های ورودی و خروجی با X 1 و X 2 و اغتشاش خارجی با F(t) نشان داده می شوند.

اجازه دهید فرض کنیم که پیوند با برخی معادله دیفرانسیل غیرخطی شکل توصیف شده است

برای تدوین چنین معادله ای باید از شاخه مناسب علوم فنی (مثلاً مهندسی برق، مکانیک، هیدرولیک و ...) که این نوع خاص از دستگاه را مطالعه می کند، استفاده کرد.

مبنای خطی‌سازی این فرض است که انحرافات همه متغیرهای موجود در معادله دینامیک پیوند به اندازه کافی کوچک هستند، زیرا دقیقاً در یک بخش به اندازه کافی کوچک است که مشخصه منحنی را می‌توان با یک بخش خط مستقیم جایگزین کرد. انحراف متغیرها در این مورد از مقادیر آنها در فرآیند ثابت یا در حالت تعادل معینی از سیستم اندازه گیری می شود. برای مثال، اجازه دهید یک فرآیند ثابت با مقدار ثابت متغیر X 1 مشخص شود که آن را به عنوان X 10 نشان می دهیم. در فرآیند تنظیم (شکل 2.3)، متغیر X 1 دارای مقادیری است که در آن
نشان دهنده انحراف متغیر X 1 از مقدار ثابت X 10 است.

ولی

برنج. 2.3. فرآیند تنظیم پیوند

نسبت های مالیاتی برای سایر متغیرها معرفی شده است. برای مورد مورد بررسی، ما داریم: و
.

بعد، می توانید بنویسید:
;
و
، زیرا
و

همه انحرافات به اندازه کافی کوچک فرض می شود. این فرض ریاضی با معنای فیزیکی مسئله مغایرتی ندارد، زیرا ایده کنترل خودکار مستلزم آن است که تمام انحرافات متغیر کنترل شده در طول فرآیند کنترل به اندازه کافی کوچک باشد.

حالت پایدار پیوند با مقادیر X 10، X 20 و F 0 تعیین می شود. سپس می توان معادله (2.1) را برای حالت پایدار در فرم نوشت

اجازه دهید سمت چپ معادله (2.1) را در سری تیلور گسترش دهیم

جایی که  اعضا هستند مرتبه بالاتر. شاخص 0 برای مشتقات جزئی به این معنی است که پس از گرفتن مشتق، مقدار ثابت همه متغیرها باید در بیان آن جایگزین شود.
.

عبارات مرتبه بالاتر در فرمول (2.3) مشتقات جزئی بالاتر ضرب در مربع، مکعب و درجات بالاتر انحراف و همچنین محصولات انحرافات را شامل می شود. آنها در مقایسه با خود انحرافات که از مرتبه اول کوچک هستند، از مرتبه بالاتری برخوردار خواهند بود.

معادله (2.3) یک معادله دینامیک پیوند است، درست مانند (2.1)، اما به شکل متفاوتی نوشته شده است. اجازه دهید کوچک‌های مرتبه بالاتر را در این معادله کنار بگذاریم و پس از آن معادلات حالت پایدار (2.2) را از معادله (2.3) کم کنیم. در نتیجه، معادله دینامیک پیوند تقریبی زیر را در انحرافات کوچک بدست می آوریم:

در این معادله همه متغیرها و مشتقات آنها به صورت خطی یعنی تا درجه اول وارد می شوند. همه مشتقات جزئی برخی از ضرایب ثابت هستند در صورتی که سیستمی با پارامترهای ثابت مورد بررسی قرار گیرد. اگر سیستم دارای پارامترهای متغیر باشد، معادله (2.4) دارای ضرایب متغیر خواهد بود. اجازه دهید فقط مورد ضرایب ثابت را در نظر بگیریم.

به دست آوردن معادله (2.4) هدف خطی سازی انجام شده است. در تئوری کنترل خودکار، مرسوم است که معادلات همه لینک ها را طوری بنویسند که مقدار خروجی در سمت چپ معادله باشد و سایر عبارت ها به سمت راست منتقل شوند. در این حالت، تمام عبارات معادله بر ضریب مقدار خروجی تقسیم می شوند. در نتیجه معادله (2.4) شکل می گیرد

که در آن نماد زیر معرفی شده است

. (2.6)

علاوه بر این، برای راحتی، مرسوم است که تمام معادلات دیفرانسیل را به شکل عملگر با علامت گذاری بنویسید.

سپس معادله دیفرانسیل (2.5) را می توان به شکل نوشت

این رکورد فرم استاندارد معادله دینامیک پیوند نامیده می شود.

ضرایب T 1 و T 2 دارای بعد زمان - ثانیه هستند. این امر از این واقعیت ناشی می شود که همه عبارت های معادله (2.8) باید دارای یک بعد باشند و برای مثال، بعد (یا px 2) از ابعاد x 2 در ثانیه به منهای توان اول متفاوت است (
). بنابراین ضرایب T 1 و T 2 نامیده می شوند ثابت های زمانی .

ضریب k 1 دارای بعد مقدار خروجی تقسیم بر بعد ورودی است. نامیده می شود نسبت انتقال ارتباط دادن. برای پیوندهایی که مقادیر خروجی و ورودی آن‌ها ابعاد یکسانی دارند، از اصطلاحات زیر نیز استفاده می‌شود: بهره - برای پیوندی که تقویت‌کننده است یا در ترکیب آن تقویت‌کننده وجود دارد. نسبت دنده - برای گیربکس ها، تقسیم کننده های ولتاژ، دستگاه های مقیاس و غیره.

ضریب انتقال ویژگی های استاتیک پیوند را مشخص می کند، زیرا در حالت پایدار است
. بنابراین، شیب مشخصه استاتیک را در انحرافات کوچک تعیین می کند. اگر کل مشخصه استاتیک واقعی پیوند را به تصویر بکشیم
، سپس خطی سازی می دهد
یا
. ضریب انتقال k 1 مماس شیب خواهد بود مماس در آن نقطه C (نگاه کنید به شکل 2.3)، که از آن انحرافات کوچک x 1 و x 2 اندازه گیری می شود.

از شکل می توان دریافت که خطی سازی معادله فوق برای فرآیندهای کنترلی معتبر است که چنین مقطعی از مشخصه AB را نشان می دهد، که در آن مماس تفاوت کمی با خود منحنی دارد.

علاوه بر این، یکی دیگر از روش های گرافیکی خطی سازی از این نتیجه می گیرد. اگر مشخصه استاتیک و نقطه C شناخته شده باشد که حالت پایداری را که فرآیند تنظیم در اطراف آن انجام می شود مشخص می کند، ضریب انتقال در معادله پیوند به صورت گرافیکی از روی نقشه با توجه به وابستگی k 1 = tg تعیین می شود. با در نظر گرفتن مقیاس نقشه و ابعاد x 2. در بسیاری از موارد روش خطی سازی گرافیکی راحت تر است و سریعتر به هدف می رسد.

بعد ضریب k 2 برابر است با بعد بهره k 1 برابر زمان. بنابراین، معادله (2.8) اغلب به شکل نوشته می شود

جایی که
ثابت زمانی است

پ

برنج. 2.4. موتور تحریک مستقل

ثابت های زمانی T 1، T 2 و T 3 خواص دینامیکی پیوند را تعیین می کنند. این موضوع در ادامه به تفصیل بررسی خواهد شد.

ضریب k 3 بهره برای اغتشاش خارجی است.

به عنوان نمونه ای از خطی سازی، یک موتور الکتریکی را در نظر بگیرید که از سمت مدار تحریک کنترل می شود (شکل 2.4).

برای یافتن یک معادله دیفرانسیل که افزایش سرعت را به افزایش ولتاژ روی سیم پیچ تحریک مربوط می کند، قانون تعادل نیروهای الکتروموتور (emf) در مدار تحریک، قانون تعادل emf در مدار آرمیچر و قانون تعادل را می نویسیم. تعادل گشتاورها روی شفت موتور:

;

.

در معادله دوم، برای سادگی، عبارت مربوط به emf خود القایی در مدار آرمیچر حذف شده است.

در این فرمول ها، R B و R I مقاومت مدار تحریک و مدار آرمیچر هستند. І В و І Я - جریان در این مدارها. U V و U I ولتاژهای اعمال شده به این مدارها هستند؛  V تعداد دورهای سیم پیچ تحریک است. Ф - شار مغناطیسی؛ Ω سرعت زاویه ای چرخش محور موتور است. M لحظه مقاومت نیروهای خارجی است، J ممان اینرسی کاهش یافته موتور است. C E و C M - ضرایب تناسب.

فرض کنید قبل از ظهور یک افزایش در ولتاژ اعمال شده به سیم پیچ تحریک، یک حالت ثابت وجود داشت که معادلات (2.10) به صورت زیر نوشته می شود:

(2.11)

اگر اکنون ولتاژ تحریک افزایشی U B = U B0 + ΔU B دریافت کند، آنگاه همه متغیرهایی که وضعیت سیستم را تعیین می کنند نیز افزایشی دریافت خواهند کرد. در نتیجه، خواهیم داشت: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I I \u003d I I0 + ΔІ I; Ω = Ω0 + ΔΩ.

ما این مقادیر را با (2.10) جایگزین می کنیم، مقادیر کوچک درجه بالاتر را کنار می گذاریم و می گیریم:

(2.12)

با تفریق معادلات (2.11) از معادلات (2.12)، سیستمی از معادلات برای انحرافات بدست می آوریم:

(2.13)

AT

برنج. 2.5. منحنی مغناطیسی

این معادلات ضریب تناسب بین افزایش شار و افزایش جریان تحریک را معرفی کردند.
از منحنی مغناطیسی موتور الکتریکی تعیین می شود (شکل 2.5).

راه حل مشترک سیستم (2.13) می دهد

ضریب انتقال کجاست ,

; (2.15)

ثابت زمانی الکترومغناطیسی مدار تحریک، s،

(2.16)

که در آن L B = a B ضریب دینامیکی خود القای مدار تحریک است. ثابت زمانی الکترومغناطیسی موتور، s،

. (2.17)

از عبارات (2.15) - (2.17) می توان دریافت که سیستم مورد بررسی اساساً غیر خطی است، زیرا ضریب انتقال و زمان "ثابت" در واقع ثابت نیستند. آنها را می توان تنها تقریباً برای یک حالت خاص ثابت در نظر گرفت، مشروط بر اینکه انحراف همه متغیرها از مقادیر حالت پایدار کم باشد.

یک مورد خاص زمانی است که در حالت پایدار U B0 = 0 است. I B0 = 0; Ф 0 = 0 و Ω 0 = 0. سپس فرمول (2.14) شکل می گیرد

. (2.18)

در این مورد، مشخصه استاتیک افزایش شتاب موتور را مرتبط خواهد کرد
و افزایش ولتاژ در مدار تحریک.