زاویه تمایل مماس بر نمودار. مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه

مبحث "ضریب زاویه ای مماس به عنوان مماس زاویه میل" در آزمون گواهینامه چندین کار به طور همزمان داده می شود. بسته به شرایط آنها، ممکن است فارغ التحصیل ملزم به ارائه پاسخ کامل و کوتاه باشد. در حال آماده سازی برای قبولی در امتحاندر ریاضیات، دانش آموز باید قطعاً کارهایی را که در آنها برای محاسبه شیب مماس لازم است، تکرار کند.

انجام این کار به شما کمک می کند پورتال آموزشی"شکولکوو". کارشناسان ما تا حد امکان مطالب تئوری و عملی را تهیه و ارائه کرده اند. پس از آشنایی با آن، فارغ التحصیلان با هر سطح آموزشی می توانند با موفقیت مشکلات مربوط به مشتقات را حل کنند، که در آن لازم است مماس شیب مماس را پیدا کنید.

لحظات اولیه

برای یافتن راه حل صحیح و منطقی برای چنین وظایفی در USE، لازم است تعریف اساسی را یادآوری کنیم: مشتق نرخ تغییر تابع است. برابر است با مماس شیب مماس کشیده شده به نمودار تابع در یک نقطه مشخص. تکمیل نقاشی به همان اندازه مهم است. این به شما امکان می دهد تا راه حل صحیحی برای مسائل USE در مشتق پیدا کنید، که در آن باید مماس شیب مماس را محاسبه کنید. برای وضوح، بهتر است یک نمودار بر روی صفحه OXY رسم کنید.

اگر قبلاً با مطالب اساسی در مورد مشتق آشنا شده اید و آماده شروع حل مسائل برای محاسبه مماس زاویه میل یک مماس هستید، شبیه به از تکالیف استفاده کنیدمی توانید آن را به صورت آنلاین انجام دهید. برای هر کار مثلاً تکالیفی با موضوع "رابطه مشتق با سرعت و شتاب بدن" جواب صحیح و الگوریتم حل را یادداشت کردیم. در این صورت دانش آموزان می توانند انجام وظایف با سطوح مختلف پیچیدگی را تمرین کنند. در صورت لزوم، تمرین را می توان در بخش "موارد دلخواه" ذخیره کرد تا بعداً تصمیم را با معلم در میان بگذارید.

در مرحله کنونی توسعه آموزش، یکی از وظایف اصلی آن شکل گیری شخصیت خلاق متفکر است. توانایی خلاقیت در دانش آموزان تنها در صورتی می تواند توسعه یابد که آنها به طور سیستماتیک در اصول اولیه فعالیت های پژوهشی شرکت داشته باشند. شالوده استفاده از نیروهای خلاق، توانایی ها و استعدادهای دانش آموزان، دانش و مهارت های تمام عیار است. در این راستا مشکل تشکیل نظام دانش و مهارت های پایه در هر مبحث درس ریاضی مدرسه اهمیت کمی ندارد. در عین حال، مهارت های تمام عیار باید هدف آموزشی نه وظایف فردی، بلکه سیستم دقیق فکر شده آنها باشد. در گسترده ترین مفهوم، یک سیستم به عنوان مجموعه ای از عناصر متقابل به هم پیوسته که دارای یکپارچگی و ساختاری پایدار است، درک می شود.

روشی را برای آموزش نحوه ترسیم معادله مماس بر نمودار تابع در نظر بگیرید. در اصل، تمام وظایف برای یافتن معادله مماس به نیاز به انتخاب از مجموعه (شف، خانواده) خطوط کاهش می یابد که یک نیاز خاص را برآورده می کنند - آنها بر نمودار یک تابع خاص مماس هستند. در این مورد، مجموعه خطوطی که انتخاب از آنها انجام می شود به دو صورت قابل تعیین است:

الف) نقطه ای که روی صفحه xOy قرار دارد (مداد مرکزی خطوط).
ب) ضریب زاویه ای (بسته موازی خطوط).

در این راستا، هنگام مطالعه مبحث "مماس بر نمودار یک تابع" به منظور جداسازی عناصر سیستم، دو نوع کار را شناسایی کردیم:

1) وظایف بر روی مماس داده شده توسط نقطه ای که از آن عبور می کند.
2) وظایف روی مماس داده شده توسط شیب آن.

یادگیری حل مسائل روی یک مماس با استفاده از الگوریتم ارائه شده توسط A.G انجام شد. موردکوویچ. خود تفاوت اساسیاز مواردی که قبلاً شناخته شده است این است که آبسیسا نقطه مماس با حرف a (به جای x0) نشان داده می شود که در رابطه با آن معادله مماس شکل می گیرد.

y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)

(مقایسه با y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). این تکنیک روش شناختی، به نظر ما، به دانش آموزان اجازه می دهد تا به سرعت و به راحتی متوجه شوند که مختصات نقطه فعلی کجا نوشته شده است. در معادله مماس کلی، و نقاط تماس کجا هستند.

الگوریتم کامپایل معادله مماس بر نمودار تابع y = f(x)

1. با حرف a ابسیسا نقطه تماس را مشخص کنید.
2. f(a) را پیدا کنید.
3. f "(x) و f "(a) را پیدا کنید.
4. اعداد a، f (a)، f "(a) را جایگزین کنید معادله کلیمماس y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).

این الگوریتم را می توان بر اساس انتخاب مستقل دانش آموزان از عملیات و ترتیب اجرای آنها تدوین کرد.

تمرین این را نشان داده است راه حل سازگارهر یک از وظایف کلیدی با کمک الگوریتم به شما امکان می دهد توانایی نوشتن معادله مماس بر نمودار تابع را در مراحل ایجاد کنید و مراحل الگوریتم به عنوان نقاط قوی برای اقدامات عمل می کند. این رویکرد مطابق با نظریه شکل گیری تدریجی اعمال ذهنی است که توسط P.Ya توسعه یافته است. گالپرین و N.F. تالیزینا.

در نوع اول وظایف، دو وظیفه کلیدی شناسایی شد:

• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی قرار دارد (مسئله 1).
• مماس از نقطه ای می گذرد که روی منحنی نیست (مساله 2).

وظیفه 1. مماس بر نمودار تابع را برابر کنید در نقطه M(3; – 2).

راه حل. نقطه M(3; – 2) نقطه تماس است، زیرا

1. a = 3 - آبسیس نقطه لمس.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4، f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3)، y \u003d 5x - 17 معادله مماس است.

وظیفه 2. معادلات همه مماس ها بر نمودار تابع y = - x 2 - 4x + 2 را که از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنویسید.

راه حل. نقطه M(- 3; 6) یک نقطه مماس نیست، زیرا f(-3) 6 (شکل 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4، f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - معادله مماس.

مماس از نقطه M(- 3; 6) عبور می کند، بنابراین، مختصات آن معادله مماس را برآورده می کند.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a)
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4، a 2 = - 2.

اگر a = – 4 باشد، معادله مماس y = 4x + 18 است.

اگر a \u003d - 2 باشد، معادله مماس به شکل y \u003d 6 است.

در نوع دوم، وظایف کلیدی به شرح زیر خواهد بود:

• مماس موازی با یک خط مستقیم است (مسئله 3).
• مماس در یک زاویه به خط داده شده می گذرد (مسئله 4).

وظیفه 3. معادلات همه مماس ها را به نمودار تابع y \u003d x 3 - 3x 2 + 3 موازی با خط y \u003d 9x + 1 بنویسید.

1. الف - آبسیسه نقطه لمس.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x، f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.

اما، از سوی دیگر، f "(a) \u003d 9 (شرط موازی). بنابراین، ما باید معادله 3a 2 - 6a \u003d 9 را حل کنیم. ریشه های آن a \u003d - 1، a \u003d 3 (شکل . 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 معادله مماس است.

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 معادله مماس است.

وظیفه 4. معادله مماس بر نمودار تابع y = 0.5x 2 - 3x + 1 را بنویسید که با زاویه 45 درجه از خط مستقیم y = 0 عبور می کند (شکل 4).

راه حل. از شرط f "(a) \u003d tg 45 درجه a را پیدا می کنیم: a - 3 \u003d 1 ^ a \u003d 4.

1. a = 4 - آبسیس نقطه لمس.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).

y \u003d x - 7 - معادله مماس.

به راحتی می توان نشان داد که راه حل هر مشکل دیگری به حل یک یا چند مسئله کلیدی خلاصه می شود. دو مشکل زیر را به عنوان مثال در نظر بگیرید.

1. معادلات مماس ها به سهمی y = 2x 2 - 5x - 2 را بنویسید، اگر مماس ها در یک زاویه قائمه قطع شوند و یکی از آنها سهمی را در نقطه ای با آبسیسا 3 لمس کند (شکل 5).

راه حل. از آنجایی که آبسیسا نقطه تماس داده شده است، بخش اول راه حل به مسئله کلیدی 1 کاهش می یابد.

1. a = 3 - آبسیس نقطه تماس یکی از طرفین زاویه راست.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5، f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3)، y \u003d 7x - 20 - معادله اولین مماس.

a شیب اولین مماس باشد. از آنجایی که مماس ها عمود هستند، پس زاویه میل مماس دوم است. از معادله y = 7x – 20 مماس اول tg a = 7 داریم. پیدا کنید

این بدان معنی است که شیب مماس دوم است.

راه حل بیشتر به وظیفه کلیدی 3 کاهش می یابد.

فرض کنید B(c؛ f(c)) نقطه مماس خط دوم باشد، پس

1. - آبسیس نقطه تماس دوم.
2.
3.
4.
معادله مماس دوم است.

توجه داشته باشید. اگر دانش آموزان نسبت ضرایب خطوط عمود بر k 1 k 2 = - 1 را بدانند، ضریب زاویه ای مماس را می توان آسان تر یافت.

2. معادلات تمام مماس های مشترک بر نمودارهای تابع را بنویسید

راه حل. مسئله به یافتن ابسیساهای نقاط مماس مشترک کاهش می یابد، یعنی به حل مسئله کلیدی 1 در نمای کلی، تدوین یک سیستم معادلات و حل بعدی آن (شکل 6).

1. فرض کنید a آبسیسا نقطه لمسی باشد که روی نمودار تابع y = x 2 + x + 1 قرار دارد.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.

1. فرض کنید c ابسیسا نقطه مماس واقع در نمودار تابع باشد.
2.
3. f "(c) = c.
4.

از آنجایی که مماس ها مشترک هستند، پس

بنابراین y = x + 1 و y = - 3x - 3 مماس های مشترک هستند.

هدف اصلی وظایف در نظر گرفته شده این است که دانش آموزان را برای تشخیص خود نوع کار کلیدی در هنگام حل وظایف پیچیده تری که به مهارت های تحقیقاتی خاصی نیاز دارد (توانایی تجزیه و تحلیل، مقایسه، تعمیم، ارائه یک فرضیه و غیره) آماده کند. چنین وظایفی شامل هر وظیفه ای است که وظیفه کلیدی به عنوان یک جزء در آن گنجانده شده است. اجازه دهید به عنوان مثال مسئله (معکوس مسئله 1) یافتن تابعی از خانواده مماس های آن را در نظر بگیریم.

3. برای کدام b و c خطوط y \u003d x و y \u003d - 2x مماس بر نمودار تابع y \u003d x 2 + bx + c هستند؟

فرض کنید t ابسیسا نقطه تماس خط y = x با سهمی y = x 2 + bx + c باشد. p ابسیسا نقطه تماس خط y = - 2x با سهمی y = x 2 + bx + c است. سپس معادله مماس y = x به شکل y = (2t + b)x + c - t 2 و معادله مماس y = - 2x به شکل y = (2p + b)x + c - p 2 خواهد بود. .

یک سیستم معادلات بسازید و حل کنید

پاسخ:

مثال 1یک تابع داده شده است f(ایکس) = 3ایکس 2 + 4ایکس– 5. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) در نقطه نمودار با آبسیسا ایکس 0 = 1.

راه حل.مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (3ایکس 2 + 4ایکس– 5) = 6 ایکس + 4.

سپس f(ایکس 0) = f(1) = 2; (ایکس 0) = = 10. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (ایکس 0) (ایکس – ایکس 0) + f(ایکس 0),

y = 10(ایکس – 1) + 2,

y = 10ایکس – 8.

پاسخ. y = 10ایکس – 8.

مثال 2یک تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس+ 5. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) موازی با خط y = 2ایکس – 11.

راه حل.مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 3 – 3ایکس 2 + 2ایکس+ 5) = 3 ایکس 2 – 6ایکس + 2.

از آنجایی که مماس بر نمودار تابع f(ایکس) در نقطه با آبسیسا ایکس 0 موازی خط است y = 2ایکس- 11، سپس شیب آن 2 است، یعنی ( ایکس 0) = 2. این آبسیسا را ​​از شرط 3 پیدا کنید ایکس– 6ایکس 0 + 2 = 2. این برابری فقط برای ایکس 0 = 0 و ایکس 0 = 2. از آنجایی که در هر دو مورد f(ایکس 0) = 5، سپس خط مستقیم y = 2ایکس + بنمودار تابع را در نقطه (0; 5) یا در نقطه (2; 5) لمس می کند.

در حالت اول، برابری عددی 5 = 2×0 + درست است ب، جایی که ب= 5، و در مورد دوم، برابری عددی درست است 5 = 2 × 2 + ب، جایی که ب = 1.

بنابراین دو مماس وجود دارد y = 2ایکس+ 5 و y = 2ایکس+ 1 به نمودار تابع f(ایکس) موازی با خط y = 2ایکس – 11.

پاسخ. y = 2ایکس + 5, y = 2ایکس + 1.

مثال 3یک تابع داده شده است f(ایکس) = ایکس 2 – 6ایکس+ 7. معادله مماس بر نمودار تابع را بنویسیم f(ایکس) عبور از نقطه آ (2; –5).

راه حل.زیرا f(2) -5، سپس نقطه آبه نمودار تابع تعلق ندارد f(ایکس). اجازه دهید ایکس 0 - آبسیسه نقطه لمس.

مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 6ایکس+ 1) = 2 ایکس – 6.

سپس f(ایکس 0) = ایکس– 6ایکس 0 + 7; (ایکس 0) = 2ایکس 0 - 6. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (2ایکس 0 – 6)(ایکس – ایکس 0) + ایکس– 6ایکس+ 7,

y = (2ایکس 0 – 6)ایکس– ایکس+ 7.

از آنجا که نقطه آمتعلق به مماس است، پس برابری عددی درست است

–5 = (2ایکس 0 – 6)×2– ایکس+ 7,

جایی که ایکس 0 = 0 یا ایکس 0 = 4. این بدان معنی است که از طریق نقطه آمی توان دو مماس بر روی نمودار تابع رسم کرد f(ایکس).

اگر یک ایکس 0 = 0، سپس معادله مماس شکل دارد y = –6ایکس+ 7. اگر ایکس 0 = 4، سپس معادله مماس شکل دارد y = 2ایکس – 9.

پاسخ. y = –6ایکس + 7, y = 2ایکس – 9.

مثال 4توابع داده شده f(ایکس) = ایکس 2 – 2ایکس+ 2 و g(ایکس) = –ایکس 2 - 3. معادله مماس مشترک بر نمودارهای این توابع را بنویسیم.

راه حل.اجازه دهید ایکس 1 - آبسیسه نقطه تماس خط مورد نظر با نمودار تابع f(ایکس)، آ ایکس 2 - آبسیسه نقطه تماس همان خط با نمودار تابع g(ایکس).

مشتق تابع f(ایکس) برای هر x وجود دارد آر . بیایید آن را پیدا کنیم:

= (ایکس 2 – 2ایکس+ 2) = 2 ایکس – 2.

سپس f(ایکس 1) = ایکس– 2ایکس 1 + 2; (ایکس 1) = 2ایکس 1 - 2. معادله مماس به شکل زیر است:

y = (2ایکس 1 – 2)(ایکس – ایکس 1) + ایکس– 2ایکس 1 + 2,

y = (2ایکس 1 – 2)ایکس – ایکس+ 2. (1)

بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم g(ایکس):

= (–ایکس 2 – 3)′ = –2 ایکس.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اطلاق می شود که می توان از آنها برای شناسایی یک فرد خاص یا تماس با او استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی به دلایل امنیتی، اجرای قانون یا سایر دلایل منافع عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

نوع شغل: 7

وضعیت

خط y=3x+2 مماس با نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 است. با توجه به اینکه آبسیسا نقطه تماس کمتر از صفر است، b را پیدا کنید.

راه حل

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y=-12x^2+bx-10 باشد که مماس بر این نمودار از آن عبور می کند.

مقدار مشتق در نقطه x_0 برابر است با شیب مماس، یعنی y"(x_0)=-24x_0+b=3. از طرف دیگر، نقطه مماس هم به نمودار تابع و هم به نمودار تعلق دارد. مماس، یعنی -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. ما یک سیستم معادلات به دست می آوریم \begin(موارد) -24x_0+b=3،\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \پایان (موارد)

با حل این سیستم، x_0^2=1 به دست می‌آید، یعنی یا x_0=-1 یا x_0=1. با توجه به شرایط آبسیسا، نقاط لمسی کمتر از صفر هستند، بنابراین x_0=-1، سپس b=3+24x_0=-21.

پاسخ

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

خط y=-3x+4 با مماس نمودار تابع y=-x^2+5x-7 موازی است. آبسیسا نقطه تماس را پیدا کنید.

راه حل

شیب خط به نمودار تابع y=-x^2+5x-7 در نقطه دلخواه x_0 y"(x_0) است. اما y"=-2x+5، بنابراین y"(x_0)=- 2x_0+5. زاویه ای ضریب خط y=-3x+4 مشخص شده در شرط -3 است. خطوط موازی ضرایب شیب یکسانی دارند.بنابراین، چنین مقدار x_0 را پیدا می کنیم که =-2x_0 +5=-3 است.

دریافت می کنیم: x_0 = 4.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح نمایه". اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

راه حل

از شکل مشخص می کنیم که مماس از نقاط A(-6; 2) و B(-1; 1) عبور می کند. نقطه تلاقی خطوط x=-6 و y=1 را با C(-6; 1) و با \alpha زاویه ABC را مشخص کنید (در شکل مشخص است که تیز است). سپس خط AB یک زاویه مبهم \pi -\alpha با جهت مثبت محور Ox تشکیل می دهد.

همانطور که می دانید tg(\pi -\alpha) مقدار مشتق تابع f(x) در نقطه x_0 خواهد بود. توجه کنید که tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.از اینجا، با فرمول های کاهش، به دست می آوریم: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

خط y=-2x-4 بر نمودار تابع y=16x^2+bx+12 مماس است. با توجه به اینکه ابسیسا نقطه تماس بزرگتر از صفر است b را پیدا کنید.

راه حل

فرض کنید x_0 ابسیسا نقطه روی نمودار تابع y=16x^2+bx+12 باشد که از طریق آن

مماس بر این نمودار است.

مقدار مشتق در نقطه x_0 برابر با شیب مماس است، یعنی y "(x_0)=32x_0+b=-2. از سوی دیگر، نقطه مماس هم به نمودار تابع و هم به نمودار تعلق دارد. مماس، یعنی 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 یک سیستم معادلات بدست می آوریم \begin(موارد) 32x_0+b=-2،\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \پایان (موارد)

با حل سیستم، x_0^2=1 را دریافت می کنیم، که به معنای x_0=-1 یا x_0=1 است. با توجه به شرایط آبسیسا، نقاط لمس بزرگتر از صفر هستند، بنابراین x_0=1، سپس b=-2-32x_0=-34.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

شکل نموداری از تابع y=f(x) را نشان می دهد که در بازه (2-؛ 8) تعریف شده است. تعداد نقاطی را که مماس نمودار تابع با خط مستقیم y=6 موازی است را تعیین کنید.

راه حل

خط y=6 با محور Ox موازی است. بنابراین، چنین نقاطی را می یابیم که در آن مماس نمودار تابع با محور Ox موازی است. در این نمودار، چنین نقاطی نقاط افراطی (حداکثر یا حداقل امتیاز) هستند. همانطور که می بینید، 4 نقطه افراطی وجود دارد.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

خط y=4x-6 موازی با مماس نمودار تابع y=x^2-4x+9 است. آبسیسا نقطه تماس را پیدا کنید.

راه حل

شیب مماس بر نمودار تابع y \u003d x ^ 2-4x + 9 در یک نقطه دلخواه x_0 y "(x_0) است. اما y" \u003d 2x-4، که به معنای y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. شیب مماس y \u003d 4x-7 مشخص شده در شرط برابر با 4 است. خطوط موازی دارای شیب های یکسانی هستند. بنابراین، مقداری x_0 را پیدا می کنیم که 2x_0-4 \u003d 4 است. : x_0 \u003d 4.

پاسخ

منبع: «ریاضیات. آمادگی برای آزمون 2017. سطح پروفایل اد. F. F. Lysenko، S. Yu. Kulabukhova.

نوع شغل: 7
موضوع: معنای هندسی مشتق. نمودار مماس بر تابع

وضعیت

شکل، نمودار تابع y=f(x) و مماس بر آن را در نقطه ای با آبسیسا x_0 نشان می دهد. مقدار مشتق تابع f(x) را در نقطه x_0 بیابید.

راه حل

از شکل مشخص می کنیم که مماس از نقاط A(1; 1) و B(5; 4) عبور می کند. نقطه تلاقی خطوط x=5 و y=1 را با C(5; 1) و با \alpha زاویه BAC را مشخص کنید (در شکل مشخص است که حاد است). سپس خط AB با جهت مثبت محور Ox یک زاویه آلفا تشکیل می دهد.