8 حل سیستم معادلات خطی به روش گاوس. روش گاوس (حذف متوالی مجهولات)

اجازه دهید یک سیستم خطی معادلات جبری، که باید حل شود (مقادیر مجهول xi را پیدا کنید که هر معادله سیستم را به یک برابری تبدیل می کند).

می دانیم که یک سیستم معادلات جبری خطی می تواند:

1) راه حلی نداشته باشید (باشید ناسازگار).
2) بی نهایت راه حل داشته باشید.
3) داشتن تنها تصمیم.

همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریس در مواردی که سیستم دارای راه حل های بی نهایت زیاد یا ناسازگار است نامناسب است. روش گاوس – قدرتمندترین و همه کاره ترین ابزار برای یافتن راه حل برای هر سیستمی معادلات خطی ، که در هر موردما را به پاسخ هدایت کنید! الگوریتم روش در هر سه حالت یکسان عمل می کند. اگر روش‌های کرامر و ماتریس نیاز به دانش تعیین‌کننده‌ها دارند، در آن صورت استفاده از روش گاوس فقط به دانش عملیات حسابی نیاز دارد که حتی برای دانش‌آموزان مقطع ابتدایی نیز قابل دسترسی است.

تبدیل های ماتریس توسعه یافته ( این ماتریس سیستم است - ماتریسی که فقط از ضرایب مجهولات به اضافه ستونی از عبارت های آزاد تشکیل شده است)سیستم های معادلات جبری خطی در روش گاوس:

1) با trokyماتریس ها می توان تنظیم مجددمکان ها

2) اگر ردیف های متناسب (به عنوان یک مورد خاص - یکسان) در ماتریس وجود داشته باشد (یا وجود داشته باشد)، پس از آن حذفاز ماتریس، همه این سطرها به جز یک.

3) اگر در طول تبدیل ها یک ردیف صفر در ماتریس ظاهر شد، آن را نیز دنبال می کند حذف.

4) ردیف ماتریس می تواند ضرب (تقسیم)به هر عددی غیر از صفر

5) به ردیف ماتریس، می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است.

در روش گاوس، تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند.

روش گاوس شامل دو مرحله است:

1. "حرکت مستقیم" - با استفاده از تبدیل های ابتدایی، ماتریس توسعه یافته یک سیستم معادلات جبری خطی را به یک "مثلثی" برسانید. نمای پلکانی: عناصر ماتریس منبسط شده در زیر قطر اصلی برابر با صفر هستند (حرکت از بالا به پایین). به عنوان مثال، به این نوع:

برای این کار مراحل زیر را انجام دهید:

1) اجازه دهید اولین معادله یک سیستم معادلات جبری خطی را در نظر بگیریم و ضریب در x 1 برابر با K است. دوم، سوم و غیره. معادلات را به صورت زیر تبدیل می کنیم: هر معادله (ضرایب مجهولات از جمله عبارات آزاد) را بر ضریب مجهول x 1 که در هر معادله است تقسیم می کنیم و در K ضرب می کنیم. پس از آن، معادله اول را از معادله دوم کم می کنیم. ضرایب برای مجهولات و عبارات آزاد). در x 1 در معادله دوم ضریب 0 را بدست می آوریم. از معادله تبدیل شده سوم، معادله اول را کم می کنیم، بنابراین تا زمانی که تمام معادلات به جز اولی، با مجهول x 1، ضریب 0 نخواهند داشت.

2) به معادله بعدی بروید. اجازه دهید این معادله دوم باشد و ضریب x 2 برابر با M باشد. بنابراین، "زیر" مجهول x 2 در تمام معادلات صفر خواهد بود.

3) به معادله بعدی می رویم و همینطور ادامه می دهیم تا آخرین جمله آزاد مجهول و تبدیل شده باقی بماند.

1. "حرکت معکوس" روش گاوس به دست آوردن جوابی برای یک سیستم معادلات جبری خطی است (حرکت "پایین به بالا"). از آخرین معادله "پایین" یک راه حل اول به دست می آوریم - مجهول x n. برای انجام این کار، معادله ابتدایی A * x n \u003d B را حل می کنیم. در مثال بالا، x 3 \u003d 4. مقدار پیدا شده را در معادله بعدی "بالا" جایگزین می کنیم و آن را با توجه به مجهول بعدی حل می کنیم. به عنوان مثال، x 2 - 4 \u003d 1، یعنی. x 2 \u003d 5. و به همین ترتیب تا زمانی که همه مجهولات را پیدا کنیم.

مثال.

ما سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش گاوس حل می کنیم، همانطور که برخی از نویسندگان توصیه می کنند:

ماتریس توسعه یافته سیستم را می نویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل مرحله ای می آوریم:

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. آنجا باید یک واحد داشته باشیم. مشکل این است که اصلاً در ستون اول کسی وجود ندارد، بنابراین با مرتب کردن مجدد سطرها چیزی حل نمی شود. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. بیایید این کار را به این صورت انجام دهیم:
1 مرحله . به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و جمع سطر اول و دوم را انجام دادیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک"، که کاملا مناسب ما است. هر کسی که بخواهد 1+ را دریافت کند می‌تواند یک عمل اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

2 مرحله . سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

3 مرحله . خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به مکان دوم منتقل شد و بدین ترتیب در «پله دوم» واحد مورد نظر را داشتیم.

4 مرحله . به خط سوم، خط دوم را در 2 ضرب کنید.

5 مرحله . خط سوم بر 3 تقسیم می شود.

نشانه ای که نشان دهنده خطا در محاسبات است (کمتر یک اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به (0 11 | 23) در زیر بدست آوریم، و بر این اساس، 11x 3 = 23، x 3 = 23/11، آنگاه با درجه احتمال بالایی می توانیم بگوییم که اشتباهی در دوره ابتدایی رخ داده است. تحولات

ما یک حرکت معکوس انجام می دهیم، در طراحی مثال ها، خود سیستم اغلب بازنویسی نمی شود و معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته می شوند". به شما یادآوری می کنم که حرکت معکوس "از پایین به بالا" کار می کند. در این مثال، هدیه معلوم شد:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1، بنابراین x 1 + 3 - 1 \u003d 1، x 1 \u003d -1

پاسخ:x 1 \u003d -1، x 2 \u003d 3، x 3 \u003d 1.

بیایید همان سیستم را با استفاده از الگوریتم پیشنهادی حل کنیم. ما گرفتیم

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

معادله دوم را بر 5 تقسیم کنید و معادله سوم را بر 3 تقسیم کنید.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

معادله دوم و سوم را در 4 ضرب کنیم، به دست می آید:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

معادله اول را از معادله دوم و سوم کم کنیم، داریم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

معادله سوم را بر 0.64 تقسیم کنید:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

معادله سوم را در 0.4 ضرب کنید

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

معادله دوم را از معادله سوم کم کنید، ماتریس تقویت شده "پله ای" را دریافت می کنیم:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

بنابراین، از آنجایی که یک خطا در فرآیند محاسبات انباشته شده است، x 3 \u003d 0.96 یا تقریباً 1 را دریافت می کنیم.

x 2 \u003d 3 و x 1 \u003d -1.

با این روش حل، هرگز در محاسبات دچار سردرگمی نخواهید شد و با وجود اشتباهات محاسباتی، به نتیجه خواهید رسید.

این روش برای حل یک سیستم معادلات جبری خطی به راحتی قابل برنامه ریزی است و به آن توجهی نمی شود. ویژگی های خاصضرایب برای مجهولات، زیرا در عمل (در محاسبات اقتصادی و فنی) باید با ضرایب غیر صحیح سروکار داشت.

برای شما آرزوی موفقیت می کنم! در کلاس می بینمت! معلم خصوصی

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

یکی از روش های جهانی و موثر برای حل سیستم های جبری خطی می باشد روش گاوس ، شامل حذف متوالی مجهولات است.

به یاد بیاورید که این دو سیستم نامیده می شوند معادل (معادل) اگر مجموعه راه حل های آنها یکسان باشد. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل برای یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس. سیستم های معادل با تحولات ابتدایی معادلات سیستم:

ضرب هر دو طرف معادله در یک عدد غیر صفر؛

افزودن قسمتهای متناظر معادله دیگر، ضرب در عددی غیر از صفر به معادله ای.

جایگشت دو معادله

اجازه دهید سیستم معادلات

فرآیند حل این سیستم به روش گاوس شامل دو مرحله است. در مرحله اول (اجرای رو به جلو)، سیستم با استفاده از تبدیل های اولیه به کاهش می یابد پا گذاشت , یا مثلثی ذهن، و در مرحله دوم (حرکت معکوس) متوالی وجود دارد که از آخرین متغیر شروع می شود، تعریف مجهولات از سیستم گام حاصل.

فرض کنید ضریب این سیستم است
، در غیر این صورت در سیستم می توان ردیف اول را با هر ردیف دیگری جایگزین کرد به طوری که ضریب در با صفر متفاوت بود

بیایید سیستم را تغییر دهیم و ناشناخته ها را حذف کنیم در تمام معادلات به جز معادلات اول برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید. سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و آن را به معادله سوم سیستم اضافه کنید. با ادامه این روند، یک سیستم معادل به دست می آوریم

اینجا
مقادیر جدید ضرایب و عبارات آزاد هستند که پس از مرحله اول به دست می آیند.

به همین ترتیب، با توجه به عنصر اصلی
، ناشناخته را حذف کنید از تمام معادلات سیستم به جز معادلات اول و دوم. ما این روند را تا زمانی که ممکن است ادامه می دهیم، در نتیجه یک سیستم مرحله ای دریافت می کنیم

,

جایی که ,
,…,- عناصر اصلی سیستم
.

اگر در فرآیند رساندن سیستم به یک فرم مرحله ای، معادلات ظاهر می شوند، یعنی برابری های فرم
، آنها دور ریخته می شوند، زیرا هر مجموعه ای از اعداد آنها را برآورده می کند
. من چاقم
پدیدار خواهد شد معادله فرم، که هیچ راه حلی ندارد، این نشان دهنده ناهماهنگی سیستم است.

در مسیر معکوس اولین مجهول از آخرین معادله سیستم گام تبدیل شده بیان می شود از طریق تمام ناشناخته های دیگر
که نامیده می شوند رایگان . سپس عبارت متغیر از آخرین معادله سیستم به معادله ماقبل آخر جایگزین شده و متغیر از آن بیان می شود.
. متغیرها به روشی مشابه تعریف می شوند
. متغیرها
، که بر حسب متغیرهای آزاد بیان می شوند، نامیده می شوند پایه ای (وابسته). نتیجه این است تصمیم مشترکسیستم های معادلات خطی

برای پیدا کردن راه حل خصوصی سیستم های مجهول مجهول
در راه حل کلی مقادیر دلخواه تخصیص داده شده و مقادیر متغیرها محاسبه می شود
.

از نظر فنی راحت‌تر است که تبدیل‌های اولیه را نه به معادلات سیستم، بلکه به ماتریس توسعه‌یافته سیستم تبدیل کنیم.

.

روش گاوس - روش جهانی، که اجازه می دهد تا نه تنها سیستم های مربع، بلکه مستطیل شکل، که در آن تعداد مجهولات حل شود
با تعداد معادلات برابر نیست
.

مزیت این روش همچنین در این واقعیت نهفته است که در فرآیند حل، ما به طور همزمان سیستم را برای سازگاری بررسی می کنیم، زیرا با کاهش ماتریس تقویت شده
به شکل پله ای، تعیین رتبه های ماتریس آسان است و ماتریس توسعه یافته
و اعمال کنید قضیه کرونکر-کاپلی .

مثال 2.1سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

راه حل. تعداد معادلات
و تعداد مجهولات
.

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را با اختصاص به سمت راست ماتریس ضرایب بسازیم. ستون اعضای رایگان .

بیایید ماتریس را بیاوریم به شکل مثلثی؛ برای انجام این کار، با استفاده از تبدیل های ابتدایی، زیر عناصر در مورب اصلی "0" دریافت می کنیم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت دوم ستون اول، ردیف اول را در (-1) ضرب کنید و به ردیف دوم اضافه کنید.

این تبدیل را به صورت یک عدد (-1) در مقابل خط اول می نویسیم و آن را با فلشی که از خط اول به خط دوم می رود نشان می دهیم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت سوم ستون اول، ردیف اول را در (-3) ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. بیایید این عمل را با یک فلش از خط اول به سوم نشان دهیم.

.

در ماتریس حاصل که در زنجیره ماتریس دوم نوشته شده است، در ستون دوم در موقعیت سوم "0" به دست می آید. برای این کار خط دوم را در (4-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه کنید. در ماتریس به دست آمده، ردیف دوم را در (-1) ضرب می کنیم و ردیف سوم را بر (8-) تقسیم می کنیم. تمام عناصر این ماتریس که زیر عناصر مورب قرار دارند، صفر هستند.

زیرا , این سیستم مشارکتی و خاص است.

سیستم معادلات مربوط به آخرین ماتریس شکل مثلثی دارد:

از آخرین (سومین) معادله
. در معادله دوم جایگزین کنید و بدست آورید
.

جایگزین
و
در معادله اول می یابیم


.

امروز به روش گاوس برای حل سیستم معادلات جبری خطی می پردازیم. در مقاله قبلی که به حل همان SLAE با روش کرامر اختصاص داده شده است، می توانید در مورد اینکه این سیستم ها چیستند. روش گاوس به دانش خاصی نیاز ندارد، فقط به دقت و ثبات نیاز است. علیرغم اینکه از نظر ریاضی، آمادگی مدرسه برای به کارگیری آن کافی است، تسلط بر این روش اغلب دانش آموزان را با مشکل مواجه می کند. در این مقاله سعی می کنیم آنها را به هیچ کاهش دهیم!

روش گاوس

م روش گاوسجهانی ترین روش برای حل SLAE است (به استثنای، خوب، خیلی سیستم های بزرگ). برخلاف آنچه قبلاً بحث شد، نه تنها برای سیستم هایی که راه حل منحصر به فرد دارند، بلکه برای سیستم هایی که تعداد بی نهایت راه حل دارند نیز مناسب است. در اینجا سه ​​گزینه وجود دارد.

1. سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد (تعیین کننده ماتریس اصلی سیستم برابر با صفر نیست).
2. این سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است.
3. هیچ راه حلی وجود ندارد، سیستم ناسازگار است.

بنابراین، ما یک سیستم داریم (اجازه دهید یک راه حل داشته باشد)، و می خواهیم آن را با استفاده از روش گاوسی حل کنیم. چگونه کار می کند؟

روش گاوسی شامل دو مرحله است - مستقیم و معکوس.

روش گاوس مستقیم

ابتدا ماتریس افزوده شده سیستم را می نویسیم. برای این کار، ستونی از اعضای آزاد را به ماتریس اصلی اضافه می کنیم.

تمام ماهیت روش گاوسی این است که این ماتریس را با استفاده از دگرگونی های ابتدایی به شکل پلکانی (یا همانطور که می گویند مثلثی) کاهش دهیم. در این شکل، فقط باید صفرها در زیر (یا بالاتر) قطر اصلی ماتریس وجود داشته باشد.

چه کاری می توان انجام داد:

1. شما می توانید ردیف های ماتریس را دوباره مرتب کنید.
2. اگر ردیف های یکسان (یا متناسب) در ماتریس وجود دارد، می توانید همه آنها را به جز یکی حذف کنید.
3. شما می توانید یک رشته را در هر عددی ضرب یا تقسیم کنید (به جز صفر).
4. خطوط صفر حذف می شوند.
5. می توانید یک رشته ضرب در یک عدد غیر صفر به یک رشته اضافه کنید.

روش گاوس معکوس

بعد از اینکه سیستم را به این شکل تبدیل کردیم، یک ناشناخته xn معلوم می شود و می توان تمام مجهولات باقیمانده را به ترتیب معکوس یافت و x های شناخته شده از قبل را در معادلات سیستم تا اولی جایگزین کرد.

هنگامی که اینترنت همیشه در دسترس است، می توانید سیستم معادلات را با استفاده از روش گاوس حل کنید برخط .تنها کاری که باید انجام دهید این است که شانس ها را در ماشین حساب آنلاین وارد کنید. اما باید اعتراف کنید، درک این موضوع بسیار خوشایندتر است که این مثال توسط یک برنامه رایانه ای حل نشده است، بلکه توسط مغز خود شما حل شده است.

نمونه ای از حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس

و اکنون - یک مثال، به طوری که همه چیز واضح و قابل درک شود. اجازه دهید یک سیستم معادلات خطی داده شود و حل آن با روش گاوس ضروری است:

ابتدا بیایید ماتریس تقویت شده را بنویسیم:

حال بیایید نگاهی به تحولات بیندازیم. به یاد داشته باشید که ما باید به شکل مثلثی از ماتریس برسیم. ردیف اول را در (3) ضرب کنید. ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید ردیف 2 را به ردیف 1 اضافه کنیم و دریافت کنیم:

سپس ردیف سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

ردیف اول را در (6) ضرب کنید. ردیف دوم را در (13) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

Voila - سیستم به فرم مناسب آورده می شود. باقی مانده است که مجهولات را پیدا کنیم:

سیستم در این مثال یک راه حل منحصر به فرد دارد. حل سیستم هایی با مجموعه بی نهایت راه حل را در مقاله ای جداگانه بررسی خواهیم کرد. شاید در ابتدا ندانید که با تبدیل ماتریس از کجا شروع کنید، اما پس از تمرین مناسب به آن دست خواهید یافت و مانند آجیل روی SLAE Gaussian کلیک کنید. و اگر به طور ناگهانی با یک SLOW مواجه شدید، که معلوم می شود نیز همینطور است مهره سختبا نویسندگان ما تماس بگیرید! می توانید با گذاشتن یک برنامه در مکاتبات. با هم هر مشکلی را حل خواهیم کرد!

به دو سیستم معادلات خطی معادل گفته می شود که مجموعه تمام جواب های آنها یکسان باشد.

تحولات ابتداییسیستم های معادلات عبارتند از:

1. حذف از سیستم معادلات بی اهمیت، یعنی. آنهایی که تمام ضرایب آنها برابر با صفر است.
2. ضرب هر معادله در یک عدد غیر صفر؛
3. جمع هر معادله i-ام هر معادله j-ام، ضرب در هر عدد.

متغیر x i در صورتی که این متغیر مجاز نباشد آزاد نامیده می شود و کل سیستم معادلات مجاز است.

قضیه. تبدیل های ابتدایی سیستم معادلات را به یک معادل تبدیل می کند.

منظور از روش گاوس تبدیل سیستم اصلی معادلات و به دست آوردن یک سیستم مجاز یا معادل ناسازگار است.

بنابراین، روش گاوس شامل مراحل زیر است:

1. معادله اول را در نظر بگیرید. اولین ضریب غیر صفر را انتخاب می کنیم و کل معادله را بر آن تقسیم می کنیم. معادله ای به دست می آوریم که در آن مقداری از متغیر x i با ضریب 1 وارد می شود.
2. اجازه دهید این معادله را از بقیه کم کنیم و آن را در اعداد ضرب کنیم به طوری که ضرایب متغیر x i در معادلات باقیمانده صفر شود. ما سیستمی را دریافت می کنیم که با توجه به متغیر x i حل می شود و معادل سیستم اصلی است.
3. اگر معادلات جزئی بوجود آیند (به ندرت، اما این اتفاق می افتد؛ به عنوان مثال، 0 = 0)، ما آنها را از سیستم حذف می کنیم. در نتیجه، معادلات یک کمتر می شوند.
4. مراحل قبلی را بیش از n بار تکرار نمی کنیم که n تعداد معادلات سیستم است. هر بار که متغیر جدیدی را برای "پردازش" انتخاب می کنیم. اگر معادلات متضاد ایجاد شود (مثلاً 0 = 8)، سیستم ناسازگار است.

در نتیجه، پس از چند مرحله، یا یک سیستم مجاز (احتمالاً با متغیرهای آزاد) یا یک سیستم ناسازگار به دست می‌آوریم. سیستم های مجاز به دو حالت تقسیم می شوند:

1. تعداد متغیرها برابر است با تعداد معادلات. بنابراین سیستم تعریف شده است.
2. تعداد متغیرها تعداد بیشترمعادلات ما همه متغیرهای رایگان را در سمت راست جمع آوری می کنیم - فرمول هایی برای متغیرهای مجاز دریافت می کنیم. این فرمول ها در پاسخ نوشته شده است.

همین! سیستم معادلات خطی حل شد! این یک الگوریتم نسبتاً ساده است و برای تسلط بر آن، نیازی به تماس با معلم خصوصی در ریاضیات نیست. به یک مثال توجه کنید:

یک وظیفه. حل سیستم معادلات:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از معادله دوم و سوم کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
2. ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم و معادله سوم را بر (-3) تقسیم می کنیم - دو معادله بدست می آوریم که در آن متغیر x 2 با ضریب 1 وارد می شود.
3. معادله دوم را به معادله اول اضافه می کنیم و از معادله سوم کم می کنیم. بیایید متغیر مجاز x 2 را بدست آوریم.
4. در نهایت، معادله سوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 3 را دریافت می کنیم.
5. ما یک سیستم مجاز دریافت کرده ایم، پاسخ را یادداشت می کنیم.

تصمیم مشترک سیستم مشترکمعادلات خطی است سیستم جدید، که معادل اصلی است که در آن همه متغیرهای مجاز بر حسب متغیر آزاد بیان می شوند.

چه زمانی ممکن است یک راه حل کلی مورد نیاز باشد؟ اگر باید انجام دهید قدم های کمتراز k (k در مجموع چند معادله است). با این حال، دلایلی که چرا این فرآیند در مرحله 1 به پایان می رسد< k , может быть две:

1. پس از مرحله l -ام، سیستمی به دست می آید که دارای معادله ای با عدد (l + 1) نیست. در واقع، این خوب است، زیرا. سیستم حل شده به هر حال دریافت می شود - حتی چند قدم زودتر.
2. بعد از مرحله l معادله ای به دست می آید که در آن تمام ضرایب متغیرها برابر با صفر و ضریب آزاد با صفر متفاوت است. این یک معادله ناسازگار است، و بنابراین، سیستم ناسازگار است.

درک این نکته مهم است که ظهور یک معادله ناسازگار با روش گاوس دلیل کافی برای ناسازگاری است. در همان زمان، ما توجه می کنیم که در نتیجه گام l، معادلات بی اهمیت نمی توانند باقی بمانند - همه آنها به طور مستقیم در فرآیند حذف می شوند.

شرح مراحل:

1. معادله اول را 4 از دومی کم کنید. و همچنین اولین معادله را به معادله سوم اضافه کنید - متغیر مجاز x 1 را دریافت می کنیم.
2. معادله سوم را که در 2 ضرب می کنیم از دومی کم می کنیم - معادله متناقض 0 = -5 را به دست می آوریم.

بنابراین، سیستم ناسازگار است، زیرا یک معادله ناسازگار پیدا شده است.

یک وظیفه. بررسی سازگاری و یافتن راه حل کلی سیستم:

شرح مراحل:

1. معادله اول را از دومی (پس از ضرب در دو) و سومی کم می کنیم - متغیر مجاز x 1 را بدست می آوریم.
2. معادله دوم را از معادله سوم کم کنید. از آنجایی که همه ضرایب در این معادلات یکسان هستند، معادله سوم بی اهمیت می شود. در همان زمان، ما معادله دوم را در (-1) ضرب می کنیم.
3. معادله دوم را از معادله اول کم می کنیم - متغیر مجاز x 2 را بدست می آوریم. کل سیستم معادلات هم اکنون حل شده است.
4. از آنجایی که متغیرهای x 3 و x 4 آزاد هستند، برای بیان متغیرهای مجاز آنها را به سمت راست منتقل می کنیم. این پاسخ است.

بنابراین، سیستم مشترک و نامعین است، زیرا دو متغیر مجاز (x 1 و x 2) و دو متغیر آزاد (x 3 و x 4) وجود دارد.

کارل فردریش گاوس، بزرگترین ریاضیدان، برای مدت طولانی تردید داشت و بین فلسفه و ریاضیات یکی را انتخاب کرد. شاید دقیقاً چنین طرز فکری بود که به او اجازه داد تا به طرز چشمگیری در علم جهان "ترک" کند. به طور خاص، با ایجاد "روش گاوس" ...

تقریباً 4 سال است که مقالات این سایت به آموزش مدرسه می پردازد، عمدتاً از دیدگاه فلسفه، اصول (سوء)تفاهم وارد شده به ذهن کودکان. زمان برای جزئیات بیشتر، مثال ها و روش ها فرا می رسد ... من معتقدم که این رویکرد به آشنا، گیج کننده و مهمزمینه های زندگی بهترین نتایج را می دهد.

ما انسانها آنقدر مرتب هستیم که هر چقدر هم در موردش صحبت کنید تفکر انتزاعی، ولی فهم همیشهاز طریق مثال اتفاق می افتد. اگر نمونه ای وجود نداشته باشد، پس گرفتن اصول غیرممکن است... چقدر غیر ممکن است که بر بالای یک کوه قرار بگیریم، مگر اینکه از تمام شیب آن از پا عبور کنیم.

مدرسه هم همینطور: فعلا داستان های زندهکافی نیست، ما به طور غریزی همچنان آن را مکانی می دانیم که در آن به کودکان یاد می دهند که بفهمند.

مثلا آموزش روش گاوس ...

روش گاوس در کلاس پنجم مدرسه

من فوراً رزرو می کنم: روش گاوس کاربرد بسیار گسترده تری دارد، به عنوان مثال، هنگام حل سیستم های معادلات خطی. آنچه در مورد آن صحبت می کنیم در کلاس پنجم اتفاق می افتد. آی تی شروع کنید، با درک کدامیک ، درک "گزینه های پیشرفته" بسیار ساده تر است. در این مقاله ما در مورد روش (روش) گاوس هنگام یافتن مجموع یک سری

اینم یه نمونه که از مدرسه آوردم پسر کوچکترحضور در کلاس پنجم ورزشگاه مسکو.

نمایش مدرسه روش گاوس

معلم ریاضی با استفاده از تخته سفید تعاملی (روش های مدرنآموزش) به کودکان ارائه ای از تاریخچه "ایجاد روش" توسط گاوس کوچک نشان داد.

معلم مدرسه کارل کوچک را شلاق زد (روشی قدیمی که اکنون در مدارس استفاده نمی شود) زیرا او،

به جای اینکه اعداد 1 تا 100 را به صورت متوالی جمع کنید تا مجموع آنها را بیابید متوجه شدکه جفت اعدادی که به طور مساوی از لبه های یک پیشروی حسابی فاصله دارند، به یک عدد می رسند. به عنوان مثال، 100 و 1، 99 و 2. با شمارش تعداد این جفت ها، گاوس کوچک تقریباً بلافاصله مسئله پیشنهاد شده توسط معلم را حل کرد. به همین دلیل او را در مقابل چشمان مردم حیرت زده اعدام کردند. برای بقیه فکر کردن بی احترامی بود.

گاوس کوچولو چه کرد توسعه یافته حس عدد? متوجه شدبرخی از ویژگی هاسری اعداد با گام ثابت (پیشرفت حسابی). و دقیقا اینبعدها او را به دانشمند بزرگی تبدیل کرد، قادر به توجه است، در اختیار داشتن احساس، غریزه درک.

این ارزش ریاضیات است که توسعه می یابد توانایی دیدنبه طور کلی به طور خاص - تفکر انتزاعی. بنابراین اکثر والدین و کارفرمایان به طور غریزی ریاضیات را یک رشته مهم در نظر بگیرید ...

«ریاضیات باید بعداً تدریس شود تا ذهن را مرتب کند.
M.V. Lomonosov".

با این حال، پیروان کسانی که نوابغ آینده را تازیانه زدند، روش را به چیزی برعکس تبدیل کردند. همانطور که سرپرست من 35 سال پیش گفت: "آنها سوال را یاد گرفتند." یا همانطور که پسر کوچکم دیروز در مورد روش گاوس گفت: "شاید ارزش این را نداشته باشد که یک علم بزرگ از این کار بسازید، ها؟"

پیامدهای خلاقیت «دانشمندان» در سطح ریاضیات فعلی مدرسه، سطح آموزش و درک آن از «ملکه علوم» توسط اکثریت قابل مشاهده است.

با این حال ادامه بدیم...

روش های تبیین روش گاوس در کلاس پنجم مدرسه

یک معلم ریاضیات در یک سالن ورزشی در مسکو، با توضیح روش گاوس به روش ویلنکین، کار را پیچیده کرد.

اگر تفاوت (مرحله) یک پیشروی حسابی یک نباشد، بلکه عدد دیگری باشد چه؟ مثلا 20.

وظیفه ای که به دانش آموزان کلاس پنجم داد:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

قبل از آشنایی با روش ورزشگاه، بیایید به وب نگاه کنیم: معلمان مدرسه - معلمان ریاضی چگونه این کار را انجام می دهند؟ ..

روش گاوس: توضیح شماره 1

یک معلم معروف در کانال یوتیوب خود استدلال زیر را ارائه می دهد:

بیایید اعداد 1 تا 100 را به این صورت بنویسیم:

ابتدا یک سری اعداد از 1 تا 50، و دقیقاً در زیر آن یک سری اعداد دیگر از 50 تا 100، اما به ترتیب معکوس"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"لطفا توجه داشته باشید: مجموع هر جفت اعداد از ردیف های بالا و پایین یکسان است و برابر با 101 است! بیایید تعداد جفت ها را بشماریم، 50 است و مجموع یک جفت را در تعداد جفت ها ضرب کنیم! Voila: پاسخ آماده است!".

معلم در طول توضیحات سه بار تکرار کرد: «اگر متوجه نشدی، ناراحت نشو! "این روش را در کلاس نهم پاس می کنید!"

روش گاوس: توضیح شماره 2

معلم دیگری که کمتر شناخته شده است (با قضاوت بر اساس تعداد بازدیدها) رویکرد علمی تری دارد و یک الگوریتم حل 5 نقطه ای را ارائه می دهد که باید به ترتیب تکمیل شود.

برای افراد ناآشنا: 5 یکی از اعداد فیبوناچی است که به طور سنتی جادویی در نظر گرفته می شود. روش 5 مرحله ای همیشه علمی تر از روش 6 مرحله ای است. ... و این به سختی تصادفی است، به احتمال زیاد، نویسنده از طرفداران پنهان نظریه فیبوناچی است.

دانا پیشرفت حسابی: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

الگوریتم یافتن مجموع اعداد در یک سری با استفاده از روش گاوس:

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

در عین حال، باید به یاد داشته باشید به علاوه یک قانون : لازم است به ضریب حاصل یک عدد اضافه کنیم: در غیر این صورت به نتیجه ای می رسیم که کمتر از یک است. عدد واقعیجفت: 42 + 1 = 43.

این مجموع پیشروی حسابی مورد نظر از 4 به 256 با اختلاف 6 است!

روش گاوس: توضیح در کلاس پنجم ورزشگاه مسکو

و در اینجا چگونه مورد نیاز برای حل مشکل یافتن مجموع یک سری بود:

20+40+60+ ... +460+480+500

در کلاس 5 مدرسه ورزش مسکو، کتاب درسی ویلنکین (به گفته پسرم).

پس از نمایش ارائه، معلم ریاضی چند مثال گاوسی را نشان داد و به کلاس وظیفه داد که مجموع اعداد یک سری را با گام 20 بیابند.

این مستلزم موارد زیر بود:

همانطور که می بینید، این یک تکنیک فشرده تر و کارآمدتر است: عدد 3 نیز عضوی از دنباله فیبوناچی است.

نظرات من در مورد نسخه مدرسه روش گاوس

ریاضیدان بزرگ اگر پیش‌بینی می‌کرد که پیروانش «روش» او را به چه چیزی تبدیل می‌کردند، قطعاً فلسفه را انتخاب می‌کرد. معلم آلمانیکه کارل را با چوب شلاق زد. او نمادگرایی و مارپیچ دیالکتیکی و حماقت بی پایان "معلمان" را می دید. تلاش برای سنجش هماهنگی اندیشه های زنده ریاضی با جبر سوء تفاهم ....

اتفاقا میدونی که سیستم آموزشی ما ریشه در مکتب آلمانی قرن 18 و 19 دارد؟

اما گاوس ریاضیات را انتخاب کرد.

ماهیت روش او چیست؟

AT ساده سازی. AT مشاهده و ضبطالگوهای ساده اعداد AT تبدیل ریاضی مدرسه خشک به جالب و یک فعالیت هیجان انگیز میل به ادامه در مغز را فعال می کند و فعالیت ذهنی پر هزینه را مسدود نمی کند.

آیا می توان مجموع اعداد یک تصاعد حسابی را با یکی از "اصلاحات روش گاوس" بالا محاسبه کرد. فورا? طبق «الگوریتم‌ها»، کارل کوچولو تضمین می‌شد که از کتک زدن خودداری کند، از ریاضیات بیزاری کند و انگیزه‌های خلاقانه‌اش را در جوانه سرکوب کند.

چرا معلم با اصرار به دانش‌آموزان کلاس پنجم توصیه می‌کند "از سوء تفاهم" این روش نترسند و آنها را متقاعد می‌کند که "چنین" مشکلات را قبلاً در کلاس نهم حل می‌کنند؟ عمل روانی بی سواد. نکته خوبی بود که توجه داشته باشید: "به امید دیدار در حال حاضر در کلاس پنجم شما می توانیدحل مشکلاتی که فقط 4 سال دیگر از آنها عبور خواهید کرد! چه آدم های خوبی هستید!"

برای استفاده از روش گاوسی سطح 3 کلاس کافی استهنگامی که کودکان عادی از قبل می دانند چگونه اعداد 2-3 رقمی را جمع، ضرب و تقسیم کنند. مشکلات ناشی از ناتوانی معلمان بزرگسالی است که "ورود نمی کنند" چگونه ساده ترین چیزها را به زبان عادی انسانی توضیح دهند، نه فقط ریاضی... آنها قادر به علاقه مندی به ریاضیات نیستند و حتی افراد "توانا" را کاملاً دلسرد می کنند.

یا به قول پسرم "یک علم بزرگ از آن درست کن."

روش گاوس، توضیحات من

من و همسرم این "روش" را برای فرزندمان توضیح دادیم ، به نظر می رسد حتی قبل از مدرسه ...

سادگی به جای پیچیدگی یا بازی سوالات - پاسخ

""نگاه کنید، این اعداد از 1 تا 100 هستند. چه می بینید؟"

موضوع چیزی نیست که کودک می بیند. ترفند این است که او را به نظر برسانید.

"چطور می توانید آنها را کنار هم قرار دهید؟" پسر متوجه شد که چنین سوالاتی "درست" پرسیده نمی شود و شما باید به سوال "به نحوی متفاوت، متفاوت از آنچه که معمولاً می کند" نگاه کنید.

مهم نیست که کودک فورا راه حل را ببیند، بعید است. مهم است که او دیگر از نگاه کردن نمی ترسید یا همانطور که می گویم: "تکلیف را جابجا کرد". این آغاز راه تفاهم است

"کدام ساده تر است: مثلاً 5 و 6 یا 5 و 95 را اضافه کنید؟" یک سوال پیشرو... اما به هر حال، هر آموزشی به "هدایت" یک فرد به یک "پاسخ" ختم می شود - به هر شکلی که برای او قابل قبول باشد.

در این مرحله، ممکن است از قبل حدس هایی در مورد نحوه "صرفه جویی" در محاسبات وجود داشته باشد.

تنها کاری که ما انجام داده‌ایم اشاره است: روش شمارش «جلو، خطی» تنها روش ممکن نیست. اگر کودک این را کوتاه کرده باشد، بعداً روشهای بسیار دیگری از این قبیل اختراع خواهد کرد. چون جالبه!!!و او قطعا از "سوء تفاهم" ریاضیات جلوگیری می کند، از آن احساس انزجار نمی کند. او برنده شد!

اگر یک عزیزم کشف کردپس اضافه کردن جفت اعدادی که مجموع آنها به صد می رسد، کار کوچکی است "پیشرفت حسابی با اختلاف 1"- یک چیز نسبتاً ترسناک و غیر جالب برای یک کودک - ناگهان به او زندگی داد . از هرج و مرج نظم به وجود آمد، و این همیشه مشتاق است: این راهی است که ما هستیم!

یک سوال سریع: چرا پس از بینش کودک، آنها باید دوباره به چارچوب الگوریتم های خشک سوق داده شوند، الگوریتم هایی که در این مورد از نظر عملکردی نیز بی فایده هستند؟!

چرا بازنویسی احمقانهاعداد دنباله ای در یک دفترچه: به طوری که حتی افراد توانا حتی یک فرصت برای درک ندارند؟ البته از نظر آماری، اما آموزش انبوه بر "آمار" متمرکز است ...

صفر کجا رفت؟

و با این حال، جمع کردن اعدادی که مجموع آنها به 100 می رسد برای ذهن بسیار قابل قبول تر از دادن 101 است.

"روش گاوس مدرسه" دقیقاً به این نیاز دارد: بی فکر تا کنیدفاصله یکسان از مرکز پیشرفت یک جفت اعداد، مهم نیست.

اگه نگاه کنی چی؟

هنوز هم صفر بزرگترین اختراعبشریت که بیش از 2000 سال قدمت دارد. و معلمان ریاضی همچنان او را نادیده می گیرند.

تبدیل یک سری از اعدادی که از 1 شروع می شوند به سری هایی که از 0 شروع می شوند بسیار ساده تر است. مجموع تغییر نمی کند، اینطور نیست؟ شما باید از "فکر کردن در کتاب های درسی" دست بردارید و شروع به جستجو کنید...و برای اینکه ببینید جفت هایی با مجموع 101 را می توان به طور کامل با جفت هایی با مجموع 100 جایگزین کرد!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

چگونه می توان "قاعده به علاوه 1" را لغو کرد؟

راستش من اولین بار در مورد چنین قانونی از آن معلم YouTube شنیدم ...

وقتی باید تعداد اعضای یک سریال را تعیین کنم هنوز چه کار می کنم؟

نگاهی به دنباله:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

و زمانی که کاملا خسته هستید، سپس در یک ردیف ساده تر:

1, 2, 3, 4, 5

و من تصور می کنم: اگر یک را از 5 کم کنید، 4 به دست می آید، اما من کاملاً واضح هستم دیدن 5 عدد! بنابراین، شما باید یکی را اضافه کنید! حس عدد توسعه یافته در دبستان، پیشنهاد می کند: حتی اگر کل گوگل از اعضای سری (قدرت 10 تا صدم) وجود داشته باشد، الگوی یکسان باقی می ماند.

لعنت به قوانین؟..

به طوری که در یکی دو - سه سال تمام فضای بین پیشانی و پشت سر را پر کنید و دیگر فکر نکنید؟ کسب نان و کره چطور؟ به هر حال، ما در رده‌های یکسان به عصر اقتصاد دیجیتال حرکت می‌کنیم!

بیشتر در مورد روش مدرسه گاوس: "چرا علم را از این کار بسازیم؟ .."

بیهوده اسکرین شات از دفترچه یادداشت پسرم گذاشتم...

"در درس چه چیزی وجود داشت؟"

"خب، من بلافاصله شمردم، دستم را بالا بردم، اما او نپرسید. بنابراین، در حالی که دیگران در حال شمارش بودند، من شروع به انجام DZ به زبان روسی کردم تا زمان را تلف نکنم. سپس، وقتی دیگران نوشتن را تمام کردند (?? ?)، او مرا به تخته صدا زد و من جواب را گفتم."

معلم گفت: درست است، به من نشان بده چگونه آن را حل کردی. نشان دادم. او گفت: "اشتباه، شما باید همانطور که من نشان دادم حساب کنید!"

"خوب است که من یک دونه قرار ندادم. و مجبورم کردم "فرایند تصمیم گیری" را به روش خودش در یک دفترچه بنویسم. چرا از این یک علم بزرگ بسازیم؟ ..."

جرم اصلی معلم ریاضی

به سختی بعد از آن پروندهکارل گاوس احساس احترام زیادی برای معلم ریاضیات مدرسه داشت. اما اگر می دانست چگونه پیروان آن معلم اصل روش را منحرف می کند... او با خشم ناله می کرد و از طریق سازمان جهانی مالکیت فکری WIPO ممنوعیت استفاده از نام نیک خود را در کتاب های درسی مدارس به دست می آورد!

چی اشتباه اصلیرویکرد مدرسه? یا به قول من جنایت معلمان ریاضی مدارس در حق کودکان؟

الگوریتم سوء تفاهم

روش شناسان مدرسه که اکثریت قریب به اتفاق آنها نمی دانند چگونه فکر کنند، چه می کنند؟

روش ها و الگوریتم ها را ایجاد کنید (نگاه کنید به). آی تی یک واکنش دفاعی که معلمان را از انتقاد محافظت می کند ("همه چیز طبق ... انجام می شود")، و کودکان را از درک محافظت می کند. و بنابراین - از میل به انتقاد از معلمان!(مشتق دوم «خرد» بوروکراتیک، رویکردی علمی به مسئله). کسی که معنی را درک نمی کند، اشتباه خود را مقصر می داند و نه حماقت سیستم مدرسه را.

چه اتفاقی می‌افتد: والدین کودکان را سرزنش می‌کنند و معلمان... برای کودکانی که "ریاضیات را نمی‌فهمند! ..

آیا شما باهوش هستید؟

کارل کوچولو چه کرد؟

کاملاً غیر متعارف به یک کار الگو نزدیک شد. این ماهیت رویکرد اوست. آی تی اصلی ترین چیزی که باید در مدرسه آموزش داده شود این است که نه با کتاب های درسی، بلکه با ذهن خود فکر کنید. البته یک قطعه ابزاری نیز وجود دارد که می توان از ... در جستجوی آن استفاده کرد ساده تر و روش های موثرحساب ها.

روش گاوس از نظر ویلنکین

در مدرسه می آموزند که روش گاوس است

چی، اگر تعداد عناصر در ردیف فرد باشد، همانطور که در وظیفه ای که به پسر محول شده بود؟ ..

«حیله» این است که در این مورد شما باید شماره "اضافی" سری را پیدا کنیدو به مجموع جفت ها اضافه کنید. در مثال ما این عدد 260 است.

چگونه کشف کنیم؟ بازنویسی همه جفت اعداد در یک دفترچه!(به همین دلیل است که معلم بچه ها را مجبور به انجام این کار احمقانه می کند و سعی می کند "خلاقیت" را با استفاده از روش گاوسی آموزش دهد ... و به همین دلیل است که چنین "روشی" عملاً برای مجموعه های داده بزرگ قابل اجرا نیست و به همین دلیل است که گاوسی نیست. روش).

کمی خلاقیت در روال مدرسه...

پسر جور دیگری عمل کرد.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

0+500, 20+480, 40+460 ...

آسان است، درست است؟

اما در عمل حتی ساده تر می شود، که به شما امکان می دهد 2-3 دقیقه برای سنجش از راه دور به زبان روسی حک کنید، در حالی که بقیه "شمارش" هستند. علاوه بر این، تعداد مراحل روش شناسی را حفظ می کند: 5، که اجازه نمی دهد رویکرد را به دلیل غیرعلمی بودن نقد کنید.

بدیهی است که این رویکرد به سبک روش ساده‌تر، سریع‌تر و همه‌کاره‌تر است. اما... معلم نه تنها تعریف نکرد، بلکه مرا وادار کرد که آن را «به روش درست» بازنویسی کنم (به اسکرین شات مراجعه کنید). یعنی او تلاش مذبوحانه ای برای خفه کردن انگیزه خلاقیت و توانایی درک ریاضیات در جوانی انجام داد! ظاهراً برای اینکه بعداً به عنوان معلم خصوصی استخدام شود ... او به اشتباهی حمله کرد ...

همه چیزهایی که اینقدر طولانی و خسته کننده توضیح دادم حداکثر در نیم ساعت برای یک کودک عادی قابل توضیح است. همراه با مثال.

و به طوری که هرگز آن را فراموش نکند.

و خواهد شد قدم به سوی درک... نه فقط ریاضیات.

بپذیرید: چند بار در زندگی خود با استفاده از روش گاوس اضافه کرده اید؟ و من هرگز!

ولی غریزه درک، که در فرآیند یادگیری توسعه می یابد (یا خاموش می شود). روش های ریاضیدر مدرسه ... اوه! .. این واقعا یک چیز غیر قابل تعویض است!

به ویژه در عصر دیجیتالی شدن جهانی، که ما بی سر و صدا تحت هدایت دقیق حزب و دولت وارد آن شدیم.

چند کلمه در دفاع از معلمان...

این ناعادلانه و اشتباه است که تمام مسئولیت این سبک تدریس را صرفاً بر عهده معلمان مدرسه بگذاریم. سیستم در حال کار است.

مقداریمعلمان پوچ بودن آنچه را که اتفاق می افتد می دانند، اما چه باید کرد؟ قانون آموزش، استانداردهای آموزشی ایالتی فدرال، روش ها، نقشه های تکنولوژیکیدرس ... همه چیز باید «بر اساس و بر اساس» انجام شود و همه چیز مستند باشد. کنار رفت - در صف اخراج ایستاد. منافق نباشیم: حقوق معلمان مسکو خیلی خوب است...اگر اخراج شوند کجا بروند؟..

بنابراین این سایت نه در مورد آموزش. او در مورد آموزش فردی، تنها راه ممکن برای خروج از جمعیت نسل Z ...