ساده ترین نابرابری های مرتبط با مدول. روش بازه ای یک روش جهانی برای حل نابرابری ها با مدول است

امروز دوستان هیچ خرافاتی و احساسی وجود نخواهد داشت. در عوض، من شما را بدون سوال بیشتر به جنگ با یکی از سرسخت ترین مخالفان درس جبر پایه هشتم تا نهم می فرستم.

بله، شما همه چیز را به درستی فهمیدید: ما در مورد نابرابری با مدول صحبت می کنیم. ما به چهار تکنیک اساسی نگاه خواهیم کرد که با آنها حل حدود 90٪ از این مشکلات را یاد خواهید گرفت. 10 درصد دیگر چطور؟ خوب، ما در یک درس جداگانه در مورد آنها صحبت خواهیم کرد. :)

با این حال، قبل از تجزیه و تحلیل هر ترفندی در آنجا، می خواهم دو واقعیت را یادآوری کنم که قبلاً باید بدانید. در غیر این صورت، شما خطر می کنید که اصلاً مطالب درس امروز را درک نکنید.

آنچه قبلاً باید بدانید

Captain Evidence، همانطور که بود، اشاره می کند که برای حل نابرابری ها با مدول، باید دو چیز را بدانید:

چگونه نابرابری ها حل می شود؟
ماژول چیست.

بیایید با نکته دوم شروع کنیم.

تعریف ماژول

اینجا همه چیز ساده است. دو تعریف وجود دارد: جبری و گرافیک. بیایید با جبر شروع کنیم:

تعریف. ماژول عدد $x$ یا خود عدد است، اگر غیر منفی باشد، یا عدد مقابل آن، اگر $x$ اصلی هنوز منفی است.

اینگونه نوشته شده است:

\[\چپ| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end (تراز کردن) \راست.\]

به عبارت ساده، مدول "عددی بدون منهای" است. و در این دوگانگی است (جایی که نیازی به انجام کاری با شماره اصلی نیست، اما در جایی باید مقداری از منهای آنجا را حذف کنید) و تمام دشواری برای دانش آموزان مبتدی نهفته است.

یک تعریف هندسی نیز وجود دارد. دانستن آن نیز مفید است، اما تنها در موارد پیچیده و در موارد خاص که رویکرد هندسی راحت‌تر از جبری است، به آن اشاره می‌کنیم (اسپویل: امروز نیست).

تعریف. بگذارید نقطه $a$ روی خط واقعی مشخص شود. سپس ماژول $\left| x-a \right|$ فاصله نقطه $x$ تا نقطه $a$ در این خط است.

اگر یک تصویر بکشید، چیزی شبیه به این دریافت می کنید:

تعریف ماژول گرافیکی

به هر حال، ویژگی کلیدی آن بلافاصله از تعریف ماژول ناشی می شود: مدول یک عدد همیشه یک مقدار غیر منفی است. این واقعیت یک رشته قرمز خواهد بود که در کل داستان امروز ما جاری است.

حل نابرابری ها روش فاصله گذاری

حالا بیایید به نابرابری ها بپردازیم. تعداد زیادی از آنها وجود دارد، اما وظیفه ما اکنون این است که بتوانیم حداقل ساده ترین آنها را حل کنیم. آنهایی که به پایین می آیند نابرابری های خطی، و همچنین به روش فواصل.

من دو آموزش بزرگ در مورد این موضوع دارم (به هر حال، بسیار، بسیار مفید - توصیه می کنم مطالعه کنید):

روش فاصله برای نابرابری ها (به خصوص تماشای ویدیو)؛
نابرابری های کسری-عقلی درس بسیار پرحجمی است، اما بعد از آن اصلاً سؤالی برای شما باقی نمی ماند.

اگر همه اینها را می دانید، اگر عبارت "بیایید از نابرابری به معادله برویم" باعث نمی شود به طور مبهم بخواهید خود را به دیوار بکشید، پس آماده اید: به موضوع اصلی درس به جهنم خوش آمدید. :)

1. نابرابری های شکل "ماژول کمتر از تابع"

این یکی از کارهایی است که اغلب در ماژول ها با آن مواجه می شویم. برای حل یک نابرابری از فرم لازم است:

\[\چپ| f\right| \ltg\]

هر چیزی می تواند به عنوان توابع $f$ و $g$ عمل کند، اما معمولاً آنها چند جمله ای هستند. نمونه هایی از این نابرابری ها:

همه آنها طبق این طرح به معنای واقعی کلمه در یک خط حل می شوند:

\[\چپ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end (تراز کردن) \راست.\راست)\]

به راحتی می توان فهمید که ما از شر ماژول خلاص می شویم، اما در عوض یک نابرابری مضاعف (یا، که یکسان است، سیستمی از دو نابرابری) دریافت می کنیم. اما این انتقال کاملاً تمام مشکلات ممکن را در نظر می گیرد: اگر عدد زیر ماژول مثبت باشد، روش کار می کند. اگر منفی باشد، همچنان کار می کند. و حتی با ناکافی ترین تابع به جای $f$ یا $g$، روش همچنان کار خواهد کرد.

طبیعتاً این سؤال پیش می آید: آیا آسان تر نیست؟ متاسفانه، شما نمی توانید. این تمام نکته ماژول است.

اما به اندازه کافی فلسفه ورزی کنید. بیایید یکی دو مشکل را حل کنیم:

یک وظیفه. حل نابرابری:

\[\چپ| 2x+3\right| \ltx+7\]

راه حل. بنابراین، ما یک نابرابری کلاسیک به شکل "ماژول کمتر از" داریم - حتی چیزی برای تبدیل وجود ندارد. ما طبق الگوریتم کار می کنیم:

\[\شروع(تراز) و \چپ| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \ چپ| 2x+3\right| \lt x+7\پیکان راست -\چپ(x+7 \راست) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\پایان (تراز کردن)\]

برای باز کردن پرانتزهایی که قبل از آنها "منفی" وجود دارد عجله نکنید: ممکن است به دلیل عجله اشتباهی تهاجمی مرتکب شوید.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\ چپ\( \شروع (تراز) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end (تراز کردن) \راست.\]

\[\ چپ\( \شروع (تراز) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

\[\چپ\( \شروع(تراز) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \انتها (تراز کردن) \راست.\]

مشکل به دو نابرابری ابتدایی کاهش یافته است. ما راه حل های آنها را روی خطوط واقعی موازی یادداشت می کنیم:
تقاطع بسیاری
تقاطع این مجموعه ها پاسخ خواهد بود.

پاسخ: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \راست)$

یک وظیفه. حل نابرابری:

\[\چپ| ((x)^(2))+2x-3 \راست|+3\چپ(x+1 \راست) \lt 0\]

راه حل. این کار کمی دشوارتر است. برای شروع، ماژول را با انتقال عبارت دوم به سمت راست جدا می کنیم:

\[\چپ| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\ چپ (x+1 \راست)\]

بدیهی است که ما دوباره یک نابرابری از شکل "ماژول کمتر است" داریم، بنابراین طبق الگوریتم از قبل شناخته شده از شر ماژول خلاص می شویم:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \راست)\]

حالا توجه کنید: با این همه پرانتز یکی می گوید من کمی منحرف هستم. اما یک بار دیگر به شما یادآوری می کنم که هدف اصلی ما این است نابرابری را به درستی حل کنید و جواب بگیرید. بعداً، وقتی به همه چیزهایی که در این درس توضیح داده شده است تسلط کامل پیدا کردید، می توانید هر طور که دوست دارید خود را منحرف کنید: پرانتزها را باز کنید، نکات منفی را اضافه کنید و غیره.

و برای شروع، ما فقط از منهای دوگانه سمت چپ خلاص می شویم:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\ چپ (x+1\راست)\]

حالا بیایید تمام پرانتزهای نابرابری دوگانه را باز کنیم:

بیایید به سمت نابرابری مضاعف برویم. این بار محاسبات جدی تر خواهد بود:

\[\left\( \begin(تراز کردن) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \پایان(تراز) \راست.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( تراز کردن)\راست.\]

هر دو نابرابری مربع هستند و با روش بازه ای حل می شوند (به همین دلیل می گویم: اگر نمی دانید چیست، بهتر است هنوز ماژول ها را نگیرید). به معادله در نابرابری اول می رویم:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\پایان (تراز کردن)\]

همانطور که می بینید، خروجی یک معادله درجه دوم ناقص است که به صورت ابتدایی حل شده است. حال به نابرابری دوم سیستم می پردازیم. در آنجا باید قضیه Vieta را اعمال کنید:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\پایان (تراز کردن)\]

اعداد به دست آمده را روی دو خط موازی علامت گذاری می کنیم (برای نابرابری اول جدا و برای دوم جدا):
باز هم، از آنجایی که ما در حال حل یک سیستم نابرابری هستیم، ما به تقاطع مجموعه های سایه دار علاقه مندیم: $x\in \left(-5;-2 \right)$. این پاسخ است.
پاسخ: $x\in \left(-5;-2 \right)$

من فکر می کنم پس از این مثال ها، طرح راه حل بسیار واضح است:

ماژول را با جابجایی سایر عبارت ها به سمت مخالف نابرابری جدا کنید. بنابراین یک نابرابری از شکل $\left| دریافت می کنیم f\right| \ltg$.
با خلاص شدن از شر ماژول همانطور که در بالا توضیح داده شد، این نابرابری را حل کنید. در برخی موارد، لازم است از یک نابرابری مضاعف به سیستمی از دو عبارت مستقل حرکت کنیم، که هر کدام را می توان به طور جداگانه حل کرد.
در نهایت، تنها عبور از راه حل های این دو عبارت مستقل باقی می ماند - و بس، ما به پاسخ نهایی خواهیم رسید.

الگوریتم مشابهی برای نابرابری های نوع زیر وجود دارد، زمانی که مدول بزرگتر از تابع باشد. با این حال، چند "اما" جدی وجود دارد. اکنون در مورد این "اما" صحبت خواهیم کرد.

2. نابرابری های شکل "ماژول بزرگتر از تابع است"

آنها به این شکل هستند:

\[\چپ| f\right| \gt g\]

مشابه قبلی؟ به نظر می رسد. با این وجود، چنین وظایفی به روشی کاملاً متفاوت حل می شوند. به طور رسمی، این طرح به شرح زیر است:

\[\چپ| f\right| \gt g\پیکان راست \چپ[ \begin(تراز) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end (تراز کردن) \راست.\]

به عبارت دیگر دو مورد را در نظر می گیریم:

اول، ما به سادگی ماژول را نادیده می گیریم - نابرابری معمول را حل می کنیم.
سپس، در واقع، ماژول را با علامت منهای باز می کنیم، و سپس هر دو قسمت نابرابری را با یک علامت در -1 ضرب می کنیم.

در این مورد، گزینه ها با یک براکت مربع ترکیب می شوند، یعنی. ما ترکیبی از دو الزام داریم.

دوباره توجه کنید: بنابراین، پیش روی ما یک سیستم نیست، بلکه یک مجموعه است در پاسخ، مجموعه ها با هم ترکیب می شوند، نه تلاقی. آی تی تفاوت اساسیاز نکته قبل!

به طور کلی، بسیاری از دانش آموزان با اتحادیه ها و تقاطع ها سردرگمی زیادی دارند، بنابراین بیایید یک بار برای همیشه به این موضوع بپردازیم:

"∪" علامت الحاق است. در واقع، این یک حرف تلطیف شده "U" است که از آن به ما رسیده است از زبان انگلیسیو مخفف "اتحادیه" است، i.e. "انجمن ها".
"∩" علامت تقاطع است. این مزخرفات از هیچ جا نیامد، بلکه فقط به عنوان مخالفت با "∪" ظاهر شد.

برای اینکه راحت‌تر به خاطر بسپارید، فقط پاها را به این نشانه‌ها اضافه کنید تا عینک بسازید (فقط اکنون مرا به ترویج اعتیاد به مواد مخدر و اعتیاد به الکل متهم نکنید: اگر به طور جدی این درس را مطالعه می‌کنید، پس قبلاً معتاد به مواد مخدر هستید):

تفاوت بین تقاطع و اتحاد مجموعه ها

به روسی ترجمه شده است، این به معنای زیر است: اتحادیه (مجموعه) شامل عناصری از هر دو مجموعه است، بنابراین، کمتر از هر یک از آنها نیست. اما تقاطع (سیستم) فقط شامل عناصری است که هم در مجموعه اول و هم در مجموعه دوم هستند. بنابراین، تلاقی مجموعه ها هرگز از مجموعه های مبدا بیشتر نیست.

پس واضح تر شد؟ عالی است. بیایید به سراغ تمرین برویم.

یک وظیفه. حل نابرابری:

\[\چپ| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

راه حل. ما طبق این طرح عمل می کنیم:

\[\چپ| 3x+1 \right| \gt 5-4x\پیکان راست \چپ[ \شروع(تراز) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\چپ(5-4x \راست) \\\پایان (تراز کردن) \ درست.\]

ما هر نابرابری جمعیت را حل می کنیم:

\[\چپ[ \شروع(تراز) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \انتها (تراز کردن) \راست.\]

\[\چپ[ \begin(تراز) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end (تراز کردن) \راست.\]

\[\چپ[ \شروع(تراز) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \پایان (تراز کردن) \راست.\]

هر مجموعه به دست آمده را روی خط اعداد علامت گذاری می کنیم و سپس آنها را ترکیب می کنیم:
اتحاد مجموعه ها
بدیهی است که پاسخ $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ است

پاسخ: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

یک وظیفه. حل نابرابری:

\[\چپ| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gtx\]

راه حل. خوب؟ نه، همه چیز یکسان است. ما از یک نابرابری با مدول به مجموعه ای از دو نامساوی عبور می کنیم:

\[\چپ| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\پیکان راست \چپ[ \شروع(تراز) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

ما هر نابرابری را حل می کنیم. متأسفانه، ریشه ها در آنجا خیلی خوب نخواهند بود:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\پایان (تراز کردن)\]

در نابرابری دوم، کمی بازی نیز وجود دارد:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\پایان (تراز کردن)\]

اکنون باید این اعداد را روی دو محور علامت گذاری کنیم - یک محور برای هر نابرابری. با این حال، باید نقاط را به ترتیب صحیح علامت گذاری کنید: تعداد بیشتر، هر چه بیشتر نقطه را به سمت راست تغییر دهیم.

و در اینجا ما منتظر راه اندازی هستیم. اگر همه چیز با اعداد $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ واضح است (شرایط در شماره‌گر اولی کسری کوچکتر از عبارات موجود در عدد دوم هستند، بنابراین مجموع آن نیز کوچکتر است، با اعداد $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21)) (2)$ همچنین هیچ مشکلی وجود نخواهد داشت (عدد مثبت بدیهی است منفی تر است)، اما با زوج آخر، همه چیز چندان ساده نیست. کدام بزرگتر است: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ یا $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$؟ چیدمان نقاط روی خطوط عددی و در واقع پاسخ به پاسخ این سوال بستگی دارد.

پس بیایید مقایسه کنیم:

\[\begin(ماتریس) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end (ماتریس)\]

ما ریشه را جدا کردیم، اعداد غیر منفی را در دو طرف نابرابری به دست آوردیم، بنابراین ما حق داریم هر دو طرف را مربع کنیم:

\[\begin(ماتریس) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end (ماتریس)\]

فکر می‌کنم 4$\sqrt(13) \gt 3$ بی‌معنی است، بنابراین $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$، در نهایت نقاط روی محورها به این صورت مرتب می شوند:
مورد ریشه های زشت
به شما یادآوری می کنم که ما در حال حل یک مجموعه هستیم، بنابراین پاسخ اتحاد خواهد بود و نه تقاطع مجموعه های سایه دار.

پاسخ: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\right)$

همانطور که می بینید، طرح ما برای هر دو عالی کار می کند کارهای سادهو برای موارد بسیار سفت و سخت. تنها "نقطه ضعف" در این رویکرد این است که شما باید اعداد غیر منطقی را به درستی مقایسه کنید (و باور کنید: اینها فقط ریشه نیستند). اما یک درس جداگانه (و بسیار جدی) به سؤالات مقایسه اختصاص داده خواهد شد. و ما ادامه می دهیم.

3. نابرابری با "دم" غیر منفی

بنابراین به جالب ترین آنها رسیدیم. اینها نابرابری های شکل هستند:

\[\چپ| f\right| \gt\left| g\راست|\]

به طور کلی، الگوریتمی که اکنون می خواهیم در مورد آن صحبت کنیم، فقط برای ماژول صادق است. در تمام نابرابری‌هایی که عبارات غیر منفی تضمین شده در سمت چپ و راست وجود دارد، کار می‌کند:

با این وظایف چه باید کرد؟ فقط به یاد داشته باشید:

در نابرابری هایی با دم غیر منفی، هر دو طرف را می توان به هر قدرت طبیعی رساند. هیچ محدودیت اضافی وجود نخواهد داشت.

اول از همه، ما به مربع کردن علاقه مند خواهیم شد - ماژول ها و ریشه ها را می سوزاند:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \راست))^(2))=f. \\\پایان (تراز کردن)\]

فقط این را با گرفتن ریشه مربع اشتباه نگیرید:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\ چپ| f \right|\ne f\]

وقتی دانشجویی فراموش کرد ماژول نصب کند اشتباهات بی شماری انجام شد! اما این یک داستان کاملا متفاوت است (مثلا معادلات غیر منطقی)، بنابراین ما اکنون وارد آن نمی شویم. بهتر است یکی دو مشکل را حل کنیم:

یک وظیفه. حل نابرابری:

\[\چپ| x+2 \راست|\ge \چپ| 1-2x \راست|\]

راه حل. ما بلافاصله متوجه دو چیز می شویم:

این یک نابرابری غیر دقیق است. نقاط روی خط شماره حذف خواهند شد.

بدیهی است که هر دو طرف نابرابری غیر منفی هستند (این ویژگی ماژول است: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

بنابراین، می‌توانیم دو طرف نابرابری را مربع کنیم تا از مدول خلاص شویم و مشکل را حل کنیم روش مرسومفواصل:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \راست| \راست) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \راست))^(2))\ge ((\left(2x-1 \راست))^(2)). \\\پایان (تراز کردن)\]

در آخرین مرحلهمن کمی تقلب کردم: من توالی عبارات را با استفاده از برابری مدول تغییر دادم (در واقع، عبارت $1-2x$ را در -1 ضرب کردم).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \راست) \راست)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ راست)\راست)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end (تراز کردن)\]

ما با روش فاصله حل می کنیم. بیایید از نابرابری به معادله برویم:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\پایان (تراز کردن)\]

ریشه های پیدا شده را روی خط عدد مشخص می کنیم. بار دیگر: همه نقاط سایه می اندازند زیرا نابرابری اصلی سختگیرانه نیست!
خلاص شدن از شر علامت ماژول
اجازه دهید برای سرسختی به شما یادآوری کنم: ما علائم را از آخرین نابرابری که قبل از حرکت به معادله یادداشت شده است، می گیریم. و مناطق مورد نیاز را در همان نابرابری رنگ می کنیم. در مورد ما، این $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ است.

باشه الان تموم شد مشکل حل شد.

پاسخ: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

یک وظیفه. حل نابرابری:

\[\چپ| ((x)^(2))+x+1 \راست|\le \چپ| ((x)^(2))+3x+4 \راست|\]

راه حل. ما همه کارها را یکسان انجام می دهیم. من نظر نمی دهم - فقط به دنباله اقدامات نگاه کنید.

بیایید آن را مربع کنیم:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \راست))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \راست))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \راست))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ راست))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \راست)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end (تراز کردن)\]

روش فاصله گذاری:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ فلش راست x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\پایان (تراز کردن)\]

در خط اعداد فقط یک ریشه وجود دارد:
پاسخ یک طیف کامل است
پاسخ: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

یک نکته کوچک در مورد آخرین کار. همانطور که یکی از دانش‌آموزان من به دقت اشاره کرد، هر دو عبارت زیرماژول در این نابرابری به وضوح مثبت هستند، بنابراین علامت مدول را می‌توان بدون آسیب رساندن به سلامتی حذف کرد.

اما این در حال حاضر یک سطح کاملا متفاوت از تفکر و یک رویکرد متفاوت است - می توان آن را مشروط به روش عواقب نامید. درباره او - در یک درس جداگانه. و حالا بیایید به قسمت پایانی درس امروز برویم و یک الگوریتم جهانی را در نظر بگیریم که همیشه کار می کند. حتی زمانی که تمام رویکردهای قبلی ناتوان بودند. :)

4. روش شمارش گزینه ها

اگر همه این ترفندها جواب ندهند چه؟ اگر نابرابری به دنباله‌های غیرمنفی کاهش پیدا نکند، اگر جدا کردن ماژول غیرممکن است، اگر اصلاً درد-غم و اشتیاق وجود دارد؟

سپس "توپخانه سنگین" تمام ریاضیات وارد صحنه می شود - روش شمارش. با توجه به نابرابری های مدول، به نظر می رسد:

تمام عبارات زیر ماژول را بنویسید و آنها را با صفر برابر کنید.
معادلات حاصل را حل کنید و ریشه های پیدا شده را روی یک خط عددی علامت بزنید.
خط مستقیم به چندین بخش تقسیم می شود که در آن هر ماژول دارای یک علامت ثابت است و بنابراین به طور واضح گسترش می یابد.
نابرابری را در هر بخش حل کنید (می توانید ریشه های مرزی به دست آمده در بند 2 را به طور جداگانه در نظر بگیرید - برای قابلیت اطمینان). نتایج را ترکیب کنید - این پاسخ خواهد بود. :)

خوب، چطور؟ ضعیف؟ به آسانی! فقط برای مدت طولانی. بیایید در عمل ببینیم:

یک وظیفه. حل نابرابری:

\[\چپ| x+2 \right| \lt\چپ| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

راه حل. این مزخرف به نابرابری هایی مانند $\left| خلاصه نمی شود f\right| \lt g$, $\ چپ| f\right| \gt g$ یا $\left| f\right| \lt\چپ| g \right|$، پس بیایید جلو برویم.

عبارات زیر ماژول را می نویسیم، آنها را با صفر برابر می کنیم و ریشه ها را پیدا می کنیم:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\ فلش راست x=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

در مجموع، ما دو ریشه داریم که خط اعداد را به سه بخش تقسیم می کنند، که در داخل آن هر ماژول به طور منحصر به فرد نشان داده می شود:
تقسیم خط اعداد بر صفر توابع زیر مدولار
بیایید هر بخش را جداگانه در نظر بگیریم.

1. اجازه دهید $x \lt -2$. سپس هر دو عبارت زیرماژول منفی هستند و نابرابری اصلی به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\شروع(تراز) & -\چپ(x+2 \راست) \lt -\چپ(x-1 \راست)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end (تراز کردن)\]

ما یک محدودیت نسبتا ساده دریافت کردیم. بیایید آن را با این فرض اصلی تلاقی کنیم که $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end (align) \راست.\Rightflock x\in \varnothing \]

بدیهی است که متغیر $x$ نمی تواند به طور همزمان کمتر از 2- اما بزرگتر از 1.5 باشد. هیچ راه حلی در این زمینه وجود ندارد.

1.1. اجازه دهید به طور جداگانه مورد مرزی را در نظر بگیریم: $x=-2$. بیایید فقط این عدد را با نامساوی اصلی جایگزین کنیم و بررسی کنیم: آیا آن را حفظ می کند؟

\[\شروع(تراز) & ((\چپ. \چپ| x+2 \راست| \lt \چپ| x-1 \راست|+x-1,5 \راست|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \چپ| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\پایان (تراز کردن)\]

بدیهی است که زنجیره محاسبات ما را به نابرابری اشتباه سوق داده است. بنابراین، نابرابری اصلی نیز نادرست است و $x=-2$ در پاسخ گنجانده نشده است.

2. حالا اجازه دهید $-2 \lt x \lt 1$. ماژول سمت چپ قبلاً با یک "plus" باز می شود، اما سمت راست هنوز با "منهای" است. ما داریم:

\[\شروع(تراز) & x+2 \lt -\چپ(x-1 \راست)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\پایان (تراز)\]

دوباره با نیاز اصلی تلاقی می کنیم:

\[\ چپ\( \شروع(تراز) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\پایان(تراز) \راست.\فلش راست x\in \varnothing \]

و دوباره، مجموعه خالی از راه حل ها، زیرا هیچ عددی وجود ندارد که هم کوچکتر از 2.5- و هم بزرگتر از -2 باشد.

2.1. و دوباره یک مورد خاص: $x=1$. نابرابری اصلی را جایگزین می کنیم:

\[\شروع(تراز) & ((\چپ. \چپ| x+2 \راست| \lt \چپ| x-1 \راست|+x-1,5 \راست|)_(x=1)) \\ & \ چپ| 3\راست| \lt\چپ| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\پایان (تراز کردن)\]

به طور مشابه به "مورد خاص" قبلی، عدد $x=1$ به وضوح در پاسخ گنجانده نشده است.

3. آخرین قطعه خط: $x \gt 1$. در اینجا همه ماژول ها با علامت مثبت گسترش می یابند:

\[\شروع (تراز) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \پایان (تراز)\ ]

و دوباره مجموعه یافت شده را با محدودیت اصلی قطع می کنیم:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end (align) \right.\Rightfilter x\in \left(4,5;+\infty \درست)\]

سرانجام! ما فاصله را پیدا کرده ایم که جواب خواهد بود.

پاسخ: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

در نهایت، یک نکته که ممکن است هنگام حل مشکلات واقعی شما را از اشتباهات احمقانه نجات دهد:

راه حل های نابرابری با ماژول ها معمولاً مجموعه های پیوسته روی خط اعداد - فواصل و بخش ها هستند. نقاط جدا شده بسیار نادرتر هستند. و حتی به ندرت اتفاق می افتد که مرزهای راه حل (پایان بخش) با مرز محدوده مورد بررسی منطبق باشد.

در نتیجه، اگر مرزها (همان موارد خاص) در پاسخ گنجانده نشوند، تقریباً به طور قطع مناطق سمت چپ و راست این مرزها نیز در پاسخ گنجانده نمی شوند. و بالعکس: مرز در پاسخ وارد شده است، به این معنی که برخی از مناطق اطراف آن نیز پاسخ خواهد بود.

هنگامی که راه حل های خود را بررسی می کنید این را در نظر داشته باشید.

ریاضی نمادی از حکمت علم است,

نمونه ای از دقت و سادگی علمی,

معیار کمال و زیبایی در علم

فیلسوف روسی، پروفسور A.V. ولوشینوف

نابرابری های مدول

مشکل ترین مسائل حل در ریاضیات مدرسه، نابرابری ها هستند, حاوی متغیرهایی در زیر علامت ماژول. برای حل موفقیت آمیز چنین نابرابری هایی، لازم است ویژگی های ماژول را به خوبی بشناسیم و مهارت استفاده از آنها را داشته باشیم.

مفاهیم و ویژگی های اساسی

مدول (مقدار مطلق) یک عدد واقعینشان داده شده است و به صورت زیر تعریف می شود:

به خواص سادهماژول شامل روابط زیر است:

و .

توجه داشته باشید، که دو خاصیت آخر برای هر درجه زوجی وجود دارد.

همچنین، اگر، کجا، سپس و

ویژگی های پیچیده تر ماژول, که می تواند به طور موثر در حل معادلات و نابرابری ها با ماژول ها استفاده شود, با استفاده از قضایای زیر فرموله می شوند:

قضیه 1.برای هر توابع تحلیلیو نابرابری.

قضیه 2.برابری معادل نابرابری است.

قضیه 3.برابری معادل نابرابری است.

رایج ترین نابرابری ها در ریاضیات مدرسه, حاوی متغیرهای ناشناخته در زیر علامت مدول, نابرابری های شکل هستندو کجا مقداری ثابت مثبت

قضیه 4.نابرابری معادل یک نابرابری مضاعف است, و راه حل نابرابریبه حل مجموعه نابرابری ها تقلیل می دهدو .

این قضیه یک مورد خاص از قضایای 6 و 7 است.

نابرابری های پیچیده تر, حاوی ماژول نابرابری های فرم هستند، و .

با استفاده از سه قضیه زیر می‌توان روش‌های حل چنین نامساوی‌هایی را فرمول‌بندی کرد.

قضیه 5.نابرابری معادل ترکیب دو سیستم نابرابری است

و (1)

اثباتاز آن به بعد

این دلالت بر اعتبار (1) دارد.

قضیه 6.نابرابری معادل سیستم نابرابری است

اثباتزیرا ، سپس از نابرابریبه دنبال آن است . تحت این شرایط، نابرابریو در این حالت سیستم دوم نابرابری ها (1) ناسازگار است.

قضیه ثابت شده است.

قضیه 7.نابرابری معادل ترکیب یک نابرابری و دو سیستم نابرابری است

و (3)

اثباتاز آنجا که، پس از آن نابرابری همیشه اجرا می شود، اگر .

اجازه دهید ، سپس نابرابریمساوی با نابرابری خواهد بود, که مجموعه دو نامساوی از آن به دست می آیدو .

قضیه ثابت شده است.

در نظر گرفتن نمونه های معمولیحل مسائل با موضوع "نابرابری ها, حاوی متغیرهایی در زیر علامت ماژول.

حل نابرابری ها با مدول

اکثر روش سادهحل نامساوی با مدول روش است, بر اساس گسترش ماژول این روش عمومی است, با این حال، در مورد کلیاستفاده از آن می تواند منجر به محاسبات بسیار دست و پا گیر شود. بنابراین، دانش‌آموزان باید روش‌ها و تکنیک‌های دیگر (کارآمدتر) را نیز برای حل این نابرابری‌ها بدانند. به خصوص, نیاز به داشتن مهارت برای اعمال قضایا, در این مقاله ارائه شده است.

مثال 1نابرابری را حل کنید

. (4)

راه حل.نابرابری (4) با روش "کلاسیک" - روش گسترش مدول حل خواهد شد. برای این منظور، محور عددی را می شکنیمنقطه و فواصل و سه مورد را در نظر بگیرید.

1. اگر، پس،،، و نابرابری (4) شکل می گیردیا .

از آنجایی که مورد در اینجا در نظر گرفته شده است، راه حلی برای نابرابری است (4).

2. اگر، سپس از نابرابری (4) بدست می آوریمیا . از آنجایی که تقاطع فواصلو خالی است, پس هیچ راه حلی برای نابرابری (4) در بازه در نظر گرفته شده وجود ندارد.

3. اگر، سپس نابرابری (4) شکل می گیردیا . بدیهی است که همچنین راه حلی برای نابرابری است (4).

پاسخ: ، .

مثال 2نابرابری را حل کنید.

راه حل.بیایید آن را فرض کنیم. زیرا ، سپس نابرابری داده شده شکل می گیردیا . از آن به بعد و از این رو به دنبال داردیا .

با این حال , بنابراین یا .

مثال 3نابرابری را حل کنید

. (5)

راه حل.زیرا ، آنگاه نابرابری (5) معادل نابرابری ها استیا . از اینجا، طبق قضیه 4, مجموعه ای از نابرابری ها داریمو .

پاسخ: ، .

مثال 4نابرابری را حل کنید

. (6)

راه حل.بیایید نشان دهیم. سپس از نابرابری (6) نابرابری های , , یا .

از اینجا، با استفاده از روش فاصله، ما گرفتیم . زیرا ، پس در اینجا ما یک سیستم نابرابری داریم

راه حل اولین نابرابری سیستم (7) اتحاد دو بازه استو و حل نابرابری دوم نابرابری مضاعف است. این دلالت می کنه که ، که راه حل سیستم نابرابری ها (7) اتحاد دو بازه استو .

پاسخ: ،

مثال 5نابرابری را حل کنید

. (8)

راه حل. نابرابری (8) را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

یا .

استفاده از روش فاصله, راه حلی برای نابرابری بدست می آوریم (8).

پاسخ: .

توجه داشته باشید. اگر و را در شرط قضیه 5 قرار دهیم، آنگاه بدست می آوریم.

مثال 6نابرابری را حل کنید

. (9)

راه حل. از نابرابری (9) به دست می آید. نابرابری (9) را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

یا

از آن پس یا .

پاسخ: .

مثال 7نابرابری را حل کنید

. (10)

راه حل.از آنجا که و پس از آن یا .

در این اتصال و نابرابری (10) شکل می گیرد

یا

. (11)

از این نتیجه می شود که یا . از آنجا که ، پس نابرابری (11) نیز دلالت دارد یا .

پاسخ: .

توجه داشته باشید. اگر قضیه 1 را در سمت چپ نابرابری اعمال کنیم (10)، سپس دریافت می کنیم . از اینجا و از نابرابری (10) به دست می آید، آن یا . زیرا ، سپس نابرابری (10) شکل می گیردیا .

مثال 8نابرابری را حل کنید

. (12)

راه حل.از آن به بعد و نابرابری (12) دلالت داردیا . با این حال , بنابراین یا . از اینجا می گیریم یا .

پاسخ: .

مثال 9نابرابری را حل کنید

. (13)

راه حل.با توجه به قضیه 7، راه حل های نابرابری (13) یا .

بگذار حالا در این مورد و نابرابری (13) شکل می گیردیا .

اگر فواصل را با هم ترکیب کنیمو سپس راه حلی برای نابرابری (13) شکل بدست می آوریم.

مثال 10نابرابری را حل کنید

. (14)

راه حل.اجازه دهید نابرابری (14) را به شکلی معادل بازنویسی کنیم: . اگر قضیه 1 را در سمت چپ این نابرابری اعمال کنیم، نابرابری را بدست می آوریم.

از اینجا و از قضیه 1 نتیجه می شود, که نابرابری (14) برای هر مقداری برآورده می شود.

پاسخ: هر عددی.

مثال 11.نابرابری را حل کنید

. (15)

راه حل. اعمال قضیه 1 در سمت چپ نابرابری (15)، ما گرفتیم . از اینجا و از نابرابری (15) معادله را دنبال می کند, که به نظر می رسد.

طبق قضیه 3، معادله معادل نابرابری است. از اینجا می گیریم.

مثال 12.نابرابری را حل کنید

. (16)

راه حل. از نابرابری (16)، طبق قضیه 4، سیستم نابرابری ها را به دست می آوریم

هنگام حل نابرابریاز قضیه 6 استفاده می کنیم و سیستم نابرابری ها را به دست می آوریمکه از آن در زیر آمده است.

نابرابری را در نظر بگیرید. طبق قضیه 7, مجموعه ای از نابرابری ها را به دست می آوریمو . دومین نابرابری جمعیت برای هر واقعیتی صادق است.

در نتیجه ، راه حل نابرابری (16) هستند.

مثال 13نابرابری را حل کنید

. (17)

راه حل.طبق قضیه 1 می توانیم بنویسیم

(18)

با در نظر گرفتن نابرابری (17)، نتیجه می گیریم که هر دو نابرابری (18) به برابری تبدیل می شوند، یعنی. یک سیستم معادلات وجود دارد

با قضیه 3، این سیستم معادلات معادل سیستم نامساوی است

یا

مثال 14نابرابری را حل کنید

. (19)

راه حل.از آن به بعد . اجازه دهید هر دو بخش نابرابری (19) را در عبارت ضرب کنیم، که برای هر مقداری فقط ارزش های مثبت. سپس نابرابری را به دست می آوریم که معادل نامساوی (19) است

از اینجا می رسیم یا کجا . از آنجایی که و سپس راه حل های نابرابری (19) هستندو .

پاسخ: ، .

برای مطالعه عمیق تر روش های حل نابرابری ها با ماژول، توصیه می شود به آموزش ها مراجعه کنید., در لیست خواندن های توصیه شده ذکر شده است.

1. مجموعه تکالیف ریاضی برای متقاضیان دانشگاه فنی / ویرایش. M.I. اسکانوی. - م .: جهان و آموزش، 2013. - 608 ص.

2. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش هایی برای حل و اثبات نابرابری ها. - M.: Lenand / URSS، 2018. - 264 ص.

3. Suprun V.P. ریاضیات برای دانش آموزان دبیرستانی: روش های غیر استاندارد برای حل مسائل. - M .: KD "Librocom" / URSS، 2017. - 296 ص.

آیا هیچ سوالی دارید؟

برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

روش‌ها (قوانین) برای آشکار کردن نابرابری‌ها با ماژول‌ها شامل افشای متوالی ماژول‌ها، در حالی که از فواصل علامت ثابت توابع زیرماژول استفاده می‌کنند. در نسخه نهایی، چندین نابرابری به دست می آید که از آنها فواصل یا بازه هایی را پیدا می کنند که شرط مسئله را برآورده می کند.

بیایید به سراغ حل مثال هایی برویم که در عمل رایج هستند.

نابرابری های خطی با ماژول ها

منظور از خطی معادلاتی است که متغیر به صورت خطی وارد معادله می شود.

مثال 1. راه حلی برای نابرابری بیابید

راه حل:
از شرط مسئله نتیجه می شود که ماژول ها در x=-1 و x=-2 به صفر تبدیل می شوند. این نقاط محور عددی را به فواصل تقسیم می کنند

در هر یک از این بازه ها، نابرابری داده شده را حل می کنیم. برای انجام این کار، اول از همه، نقشه های گرافیکی مناطق علامت ثابت توابع زیر مدولار را ترسیم می کنیم. آنها به عنوان مناطقی با نشانه هایی از هر یک از عملکردها به تصویر کشیده می شوند.

یا فواصل با علائم همه عملکردها.

در اولین فاصله، ماژول ها را باز کنید

هر دو قسمت را در منهای یک ضرب می کنیم، در حالی که علامت در نابرابری به عکس تغییر می کند. اگر عادت کردن به این قانون برای شما سخت است، می توانید برای خلاص شدن از شر منهای، هر یک از قسمت ها را فراتر از علامت حرکت دهید. در پایان دریافت خواهید کرد

تقاطع مجموعه x>-3 با مساحتی که معادلات در آن حل شده اند، بازه (-3;-2) خواهد بود. برای کسانی که پیدا کردن راه حل ها به صورت گرافیکی راحت تر است، می توانید تقاطع این مناطق را ترسیم کنید

تقاطع عمومی مناطق راه حل خواهد بود. با ناهمواری شدید، لبه ها شامل نمی شوند. اگر غیر محدود با تعویض بررسی شود.

در بازه دوم، دریافت می کنیم

بخش فاصله زمانی (-2؛ -5/3) خواهد بود. از نظر گرافیکی، راه حل به نظر می رسد

در بازه سوم، دریافت می کنیم

این شرایط در ناحیه مورد نیاز راه حل نمی دهد.

از آنجایی که دو راه حل یافت شده (-3;-2) و (-2;-5/3) با نقطه x=-2 هم مرز هستند، آن را نیز بررسی می کنیم.

بنابراین نقطه x=-2 راه حل است. تصمیم مشترکبا در نظر گرفتن این موضوع، به نظر می رسد (-3؛ 5/3).

مثال 2. راه حلی برای نابرابری بیابید
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

راه حل:
صفرهای توابع زیرماژول، نقاط x=2، x=3، x=4 خواهند بود. زمانی که مقادیر آرگومان ها کمتر از این نقاط باشد، توابع زیر ماژول منفی و زمانی که مقادیر بزرگ هستند، مثبت هستند.

نقاط، محور واقعی را به چهار بازه تقسیم می کنند. ماژول ها را با توجه به فواصل ثابت علامت باز می کنیم و نابرابری ها را حل می کنیم.

1) در بازه اول، تمام توابع ساب مدولار منفی هستند، بنابراین، هنگام گسترش ماژول ها، علامت را به عکس تغییر می دهیم.

محل تلاقی مقادیر x یافت شده با بازه در نظر گرفته شده، مجموعه نقاط خواهد بود

2) در فاصله بین نقاط x=2 و x=3 تابع زیرماژول اول مثبت و دوم و سوم منفی است. با گسترش ماژول ها، دریافت می کنیم

نابرابری که در تقاطع با بازه ای که در آن حل می کنیم، یک جواب می دهد - x=3.

3) در فاصله بین نقاط x=3 و x=4 تابع زیرماژول اول و دوم مثبت و سومی منفی است. بر این اساس می گیریم

این شرط نشان می دهد که کل بازه نابرابری با ماژول ها را برآورده می کند.

4) برای مقادیر x>4، همه توابع علامت مثبت هستند. هنگام گسترش ماژول ها، علامت آنها را تغییر نمی دهیم.

شرط یافت شده در تقاطع با بازه مجموعه ای از راه حل های زیر را به دست می دهد

از آنجایی که نابرابری در تمام بازه‌ها حل می‌شود، یافتن مقدار مشترک همه مقادیر x یافت شده باقی می‌ماند. راه حل دو بازه است

این مثال حل شده است.

مثال 3. راه حلی برای نابرابری بیابید
||x-1|-5|>3-2x

راه حل:
ما یک نابرابری با یک ماژول از یک ماژول داریم. چنین نابرابری‌هایی با تودرتو شدن ماژول‌ها آشکار می‌شوند و با مواردی که عمیق‌تر قرار می‌گیرند شروع می‌شود.

تابع زیرماژول x-1 در نقطه x=1 به صفر تبدیل می شود. برای مقادیر کوچکتر فراتر از 1 منفی و برای x>1 مثبت است. بر این اساس ماژول داخلی را باز می کنیم و نابرابری را در هر یک از بازه ها در نظر می گیریم.

ابتدا فاصله منهای بی نهایت تا یک را در نظر بگیرید

تابع زیرماژول در نقطه x=-4 صفر است. برای مقادیر کوچکتر مثبت و برای مقادیر بزرگتر منفی است. ماژول را برای x گسترش دهید<-4:

در تقاطع با منطقه ای که در نظر می گیریم، مجموعه ای از راه حل ها را به دست می آوریم

مرحله بعدی گسترش ماژول در بازه (-4; 1) است.

با در نظر گرفتن منطقه گسترش ماژول، فاصله راه حل ها را به دست می آوریم

به یاد داشته باشید: اگر در چنین بی نظمی هایی با ماژول ها دو فاصله در مرز یک نقطه مشترک دریافت کنید، به عنوان یک قاعده، این نیز یک راه حل است.

برای انجام این کار، فقط باید بررسی کنید.

در این صورت نقطه x=-4 را جایگزین می کنیم.

بنابراین x=-4 راه حل است.
ماژول داخلی را برای x>1 گسترش دهید

تابع زیر ماژول برای x منفی است<6.
با گسترش ماژول، دریافت می کنیم

این شرط در بخش با فاصله (1;6) مجموعه ای خالی از راه حل ها را به دست می دهد.

برای x>6 نابرابری را دریافت می کنیم

همچنین با حل کردن، یک مجموعه خالی گرفتیم.
با توجه به تمامی موارد فوق، تنها راه حلنابرابری با ماژول ها بازه بعدی خواهد بود.

نابرابری با ماژول های حاوی معادلات درجه دوم

مثال 4. راه حلی برای نابرابری بیابید
|x^2+3x|>=2-x^2

راه حل:
تابع زیرماژول در نقاط x=0، x=-3 ناپدید می شود. با جایگزینی ساده منهای یک

ما تعیین می کنیم که در بازه (3-; 0) کمتر از صفر و فراتر از آن مثبت باشد.
ماژول را در مناطقی که تابع زیر ماژول مثبت است گسترش دهید

باقی مانده است که مناطقی که در آن قرار دارند مشخص شود تابع مربعمثبت برای این کار، ریشه های معادله درجه دوم را تعیین می کنیم

برای راحتی، نقطه x=0 را که به بازه (-2;1/2) تعلق دارد، جایگزین می کنیم. تابع در این بازه منفی است، بنابراین جواب مجموعه های زیر x خواهد بود

در اینجا، براکت‌ها لبه‌های نواحی را با محلول نشان می‌دهند؛ این کار به عمد و با در نظر گرفتن قانون زیر انجام شد.

به یاد داشته باشید: اگر نابرابری با ماژول ها یا یک نابرابری ساده سخت باشد، آنگاه لبه های نواحی یافت شده راه حل نیستند، اما اگر نابرابری ها دقیق نباشند ()، آنگاه یال ها راه حل هستند (با کروشه نشان داده می شوند).

این قانون توسط بسیاری از معلمان استفاده می شود: اگر یک نابرابری دقیق داده شود، و شما یک کروشه ([،]) در راه حل در طول محاسبات بنویسید، آنها به طور خودکار این را یک پاسخ نادرست در نظر می گیرند. همچنین، هنگام آزمایش، اگر یک نابرابری غیر دقیق با ماژول ها مشخص شده است، در بین راه حل ها، به دنبال مناطقی با براکت مربع باشید.

در بازه (-3؛ 0)، با گسترش ماژول، علامت تابع را به عکس تغییر می دهیم

با در نظر گرفتن دامنه افشای نابرابری، راه حل شکل خواهد داشت

همراه با منطقه قبلی، این دو نیم فاصله ایجاد می کند

مثال 5. راه حلی برای نابرابری بیابید
9x^2-|x-3|>=9x-2

راه حل:
یک نابرابری غیر دقیق داده می شود که تابع زیرماژول آن در نقطه x=3 برابر با صفر است. در مقادیر کوچکتر منفی و در مقادیر بزرگتر مثبت است. ماژول را در بازه x گسترش می دهیم<3.

یافتن ممیز معادله

و ریشه ها

با جایگزینی نقطه صفر، متوجه می شویم که در بازه [-1/9؛ 1] تابع درجه دوم منفی است، بنابراین بازه یک راه حل است. بعد، ماژول را برای x>3 باز کنید

شماره مدولخود این عدد اگر غیر منفی باشد یا همان عدد با علامت مقابل اگر منفی باشد نامیده می شود.

مثلاً مدول 6 برابر با 6 است و مدول 6- نیز 6 است.

یعنی مدول یک عدد به عنوان یک مقدار مطلق درک می شود، قدر مطلق این عدد بدون در نظر گرفتن علامت آن.

به صورت زیر مشخص می شود: |6|، | ایکس|, |آ| و غیره.

(برای جزئیات بیشتر به بخش "ماژول شماره" مراجعه کنید).

معادلات مدولو

مثال 1 . معادله را حل کنید|10 ایکس - 5| = 15.

راه حل.

مطابق قانون، معادله معادل ترکیب دو معادله است:

10ایکس - 5 = 15
10ایکس - 5 = -15

ما تصمیم گرفتیم:

10ایکس = 15 + 5 = 20
10ایکس = -15 + 5 = -10

ایکس = 20: 10
ایکس = -10: 10

ایکس = 2
ایکس = -1

پاسخ: ایکس 1 = 2, ایکس 2 = -1.

مثال 2 . معادله را حل کنید|2 ایکس + 1| = ایکس + 2.

راه حل.

از آنجایی که مدول یک عدد غیر منفی است، پس ایکس+ 2 ≥ 0. بر این اساس:

ایکس ≥ -2.

دو معادله می سازیم:

2ایکس + 1 = ایکس + 2
2ایکس + 1 = -(ایکس + 2)

ما تصمیم گرفتیم:

2ایکس + 1 = ایکس + 2
2ایکس + 1 = -ایکس - 2

2ایکس - ایکس = 2 - 1
2ایکس + ایکس = -2 - 1

ایکس = 1
ایکس = -1

هر دو عدد بزرگتر از 2- هستند. بنابراین هر دو ریشه معادله هستند.

پاسخ: ایکس 1 = -1, ایکس 2 = 1.

مثال 3 . معادله را حل کنید

|ایکس + 3| - 1
————— = 4
ایکس - 1

راه حل.

اگر مخرج برابر با صفر نباشد معادله معنا دارد - پس اگر ایکس≠ 1. بیایید این شرط را در نظر بگیریم. اولین اقدام ما ساده است - ما نه تنها از شر کسری خلاص می شویم، بلکه آن را به گونه ای تغییر می دهیم که ماژول را به خالص ترین شکل آن تبدیل کنیم:

|ایکس+ 3| - 1 = 4 ( ایکس - 1),

|ایکس + 3| - 1 = 4ایکس - 4,

|ایکس + 3| = 4ایکس - 4 + 1,

|ایکس + 3| = 4ایکس - 3.

اکنون فقط عبارت زیر مدول سمت چپ معادله را داریم. حرکت کن.
مدول یک عدد یک عدد غیر منفی است - یعنی باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. بر این اساس، نابرابری را حل می کنیم:

4ایکس - 3 ≥ 0

4ایکس ≥ 3

ایکس ≥ 3/4

بنابراین، یک شرط دوم داریم: ریشه معادله باید حداقل 3/4 باشد.

طبق قانون، مجموعه ای از دو معادله را می سازیم و آنها را حل می کنیم:

ایکس + 3 = 4ایکس - 3
ایکس + 3 = -(4ایکس - 3)

ایکس + 3 = 4ایکس - 3
ایکس + 3 = -4ایکس + 3

ایکس - 4ایکس = -3 - 3
ایکس + 4ایکس = 3 - 3

ایکس = 2
ایکس = 0

ما دو پاسخ دریافت کردیم. بیایید بررسی کنیم که آیا آنها ریشه های معادله اصلی هستند یا خیر.

ما دو شرط داشتیم: ریشه معادله نمی تواند برابر با 1 باشد و باید حداقل 3/4 باشد. به این معنا که ایکس ≠ 1, ایکس≥ 3/4. هر دوی این شرایط تنها با یکی از دو پاسخ دریافت شده مطابقت دارند - عدد 2. بنابراین، فقط آن ریشه معادله اصلی است.

پاسخ: ایکس = 2.

نابرابری با مدول.

مثال 1 . نابرابری را حل کنید| ایکس - 3| < 4

راه حل.

قانون ماژول می گوید:

|آ| = آ، اگر آ ≥ 0.

|آ| = -آ، اگر آ < 0.

مدول می تواند هم عدد غیر منفی و هم عدد منفی داشته باشد. پس باید هر دو مورد را در نظر بگیریم: ایکس- 3 ≥ 0 و ایکس - 3 < 0.

1) چه زمانی ایکس- 3 ≥ 0 نابرابری اصلی ما فقط بدون علامت مدول باقی می ماند:
ایکس - 3 < 4.

2) چه زمانی ایکس - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(ایکس - 3) < 4.

با باز کردن پرانتزها دریافت می کنیم:

-ایکس + 3 < 4.

بنابراین، از این دو شرط، به اتحاد دو نظام نابرابری رسیده ایم:

ایکس - 3 ≥ 0
ایکس - 3 < 4

ایکس - 3 < 0
-ایکس + 3 < 4

بیایید آنها را حل کنیم:

ایکس ≥ 3
ایکس < 7

ایکس < 3
ایکس > -1

بنابراین، در پاسخ ما اتحاد دو مجموعه را داریم:

3 ≤ ایکس < 7 U -1 < ایکس < 3.

ما کوچکترین و را تعیین می کنیم بزرگترین ارزش. اینها -1 و 7 هستند. در همان زمان ایکسبزرگتر از -1 اما کمتر از 7.
بعلاوه، ایکس≥ 3. بنابراین، راه حل نابرابری کل مجموعه اعداد از 1- تا 7 است، به استثنای این اعداد شدید.

پاسخ: -1 < ایکس < 7.

یا: ایکس ∈ (-1; 7).

افزونه ها.

1) یک راه ساده تر و کوتاهتر برای حل نابرابری ما وجود دارد - گرافیکی. برای این کار یک محور افقی رسم کنید (شکل 1).

بیان | ایکس - 3| < 4 означает, что расстояние от точки ایکسبه نقطه 3 کمتر از چهار واحد. روی محور عدد 3 را علامت می زنیم و 4 تقسیم را در سمت چپ و راست آن می شماریم. در سمت چپ به نقطه -1 خواهیم رسید، در سمت راست - به نقطه 7. بنابراین، نقاط ایکسما فقط بدون محاسبه آنها را دیدیم.

علاوه بر این، با توجه به شرط نابرابری، 1- و 7 خود در مجموعه راه حل ها قرار نمی گیرند. بنابراین، ما به پاسخ می رسیم:

1 < ایکس < 7.

2) اما راه حل دیگری وجود دارد که حتی ساده تر است روش گرافیکی. برای انجام این کار، نابرابری ما باید به شکل زیر ارائه شود:

4 < ایکس - 3 < 4.

بالاخره طبق قاعده ماژول اینطور است. عدد غیر منفی 4 و عدد منفی مشابه -4 مرزهای حل نابرابری هستند.

4 + 3 < ایکس < 4 + 3

1 < ایکس < 7.

مثال 2 . نابرابری را حل کنید| ایکس - 2| ≥ 5

راه حل.

این مثال تفاوت قابل توجهی با نمونه قبلی دارد. سمت چپ بزرگتر از 5 یا مساوی 5 است نقطه هندسیاز نظر، راه حل نابرابری همه اعدادی هستند که در فاصله 5 واحد یا بیشتر از نقطه 2 قرار دارند (شکل 2). نمودار نشان می دهد که اینها همه اعدادی هستند که کوچکتر یا مساوی 3- و بزرگتر یا مساوی 7 هستند. بنابراین، ما قبلاً پاسخ را دریافت کرده ایم.

پاسخ: -3 ≥ ایکس ≥ 7.

در طول مسیر، همان نابرابری را با مرتب کردن مجدد عبارت آزاد به چپ و راست با علامت مخالف حل می کنیم:

5 ≥ ایکس - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ ایکس ≥ 5 + 2

پاسخ یکسان است: -3 ≥ ایکس ≥ 7.

یا: ایکس ∈ [-3; 7]

مثال حل شد

مثال 3 . نابرابری را حل کنید 6 ایکس 2 - | ایکس| - 2 ≤ 0

راه حل.

عدد ایکسمی تواند مثبت، منفی یا صفر باشد. بنابراین، ما باید هر سه شرایط را در نظر بگیریم. همانطور که می دانید، آنها در دو نابرابری در نظر گرفته می شوند: ایکس≥ 0 و ایکس < 0. При ایکس≥ 0، فقط بدون علامت مدول، نابرابری اصلی خود را همانطور که هست بازنویسی می کنیم:

6x 2 - ایکس - 2 ≤ 0.

حال برای مورد دوم: اگر ایکس < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6ایکس 2 - (-ایکس) - 2 ≤ 0.

گسترش براکت ها:

6ایکس 2 + ایکس - 2 ≤ 0.

بنابراین، ما دو سیستم معادلات را دریافت کردیم:

6ایکس 2 - ایکس - 2 ≤ 0
ایکس ≥ 0

6ایکس 2 + ایکس - 2 ≤ 0
ایکس < 0

ما باید نابرابری ها را در سیستم ها حل کنیم - به این معنی که باید ریشه های دو معادله درجه دوم را پیدا کنیم. برای این کار، سمت چپ نابرابری ها را با صفر برابر می کنیم.

بیایید با اولی شروع کنیم:

6ایکس 2 - ایکس - 2 = 0.

چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم - بخش " را ببینید معادله درجه دوم". ما بلافاصله پاسخ را نام می بریم:

ایکس 1 \u003d -1/2، x 2 \u003d 2/3.

از اولین سیستم نابرابری ها، دریافتیم که راه حل نابرابری اصلی، کل مجموعه اعداد از 1/2- تا 2/3 است. ما اتحاد راه حل ها را برای ایکس ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

حالا معادله درجه دوم را حل می کنیم:

6ایکس 2 + ایکس - 2 = 0.

ریشه های آن:

ایکس 1 = -2/3, ایکس 2 = 1/2.

نتیجه گیری: چه زمانی ایکس < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

بیایید این دو پاسخ را با هم ترکیب کنیم و پاسخ نهایی را دریافت کنیم: راه حل کل مجموعه اعداد از 2/3- تا 2/3 است، از جمله این اعداد شدید.

پاسخ: -2/3 ≤ ایکس ≤ 2/3.

یا: ایکس ∈ [-2/3; 2/3].

چگونه مردم بیشتریمی فهمد، میل به درک قوی تر است

توماس آکویناس

روش بازه به شما امکان می دهد هر معادله ای را که دارای مدول است حل کنید. ماهیت این روش تقسیم محور عددی به چند بخش (فاصله) است و باید محور را با صفر عبارات موجود در ماژول ها تقسیم کرد. سپس، در هر یک از بخش های حاصل، هر عبارت زیرماژول یا مثبت یا منفی است. بنابراین، هر یک از ماژول ها را می توان یا با علامت منفی یا با علامت مثبت گسترش داد. پس از این اقدامات، تنها حل هر یک از موارد به دست آمده باقی می ماند معادلات سادهدر فاصله در نظر گرفته شده و ترکیب پاسخ های دریافتی.

در نظر گرفتن این روشدر یک مثال خاص

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x - 6.

1) صفر عبارات موجود در ماژول ها را بیابید. برای این کار آنها را با صفر برابر می کنیم و معادلات حاصل را حل می کنیم.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) نقاط به دست آمده را به ترتیب دلخواه روی خط مختصات بچینید. آنها کل محور را به چهار بخش تقسیم می کنند.

3) بیایید در هر یک از بخش های به دست آمده علائم عبارات موجود در ماژول ها را تعیین کنیم. برای انجام این کار، ما هر عددی را از فواصل مورد علاقه خود در آنها جایگزین می کنیم. اگر نتیجه محاسبه یک عدد مثبت باشد، در جدول "+" و اگر عدد منفی باشد، "-" را قرار می دهیم. این را می توان به شکل زیر تصویر کرد:

4) حالا معادله را در هر چهار بازه حل می کنیم و ماژول ها را با علائمی که در جدول هستند باز می کنیم. بنابراین، فاصله اول را در نظر بگیرید:

فاصله من (-∞؛ -3). روی آن، همه ماژول ها با علامت "-" باز می شوند. معادله زیر را بدست می آوریم:

-(x + 1) - (2x - 4) - (-(x + 3)) \u003d 2x - 6. ما عبارات مشابهی را ارائه می دهیم که قبلاً پرانتزها را در معادله حاصل باز کرده ایم:

X - 1 - 2x + 4 + x + 3 = 2x - 6

پاسخ دریافتی در بازه زمانی در نظر گرفته نشده است، بنابراین نوشتن آن در پاسخ نهایی ضروری نیست.

فاصله دوم [-3; -یک). در این فاصله در جدول علائم "-"، "-"، "+" وجود دارد. به این ترتیب ماژول های معادله اصلی را آشکار می کنیم:

-(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. با گسترش براکت ها ساده کنید:

X - 1 - 2x + 4 - x - 3 \u003d 2x - 6. ما در معادله حاصل موارد زیر را ارائه می دهیم:

x = 6/5. عدد حاصل به بازه مورد نظر تعلق ندارد، بنابراین ریشه معادله اصلی نیست.

فاصله III [-1; 2). ماژول های معادله اصلی را با علائمی که در شکل در ستون سوم هستند باز می کنیم. ما گرفتیم:

(x + 1) - (2x - 4) - (x + 3) = 2x - 6. از براکت ها خلاص شوید، عبارت های حاوی متغیر x را به سمت چپ معادله و غیر حاوی x را به سمت راست منتقل کنید. . خواهد داشت:

x + 1 - 2x + 4 - x - 3 = 2x - 6

عدد 2 در بازه در نظر گرفته نشده است.

فاصله IV)