بسط در سری تیلور یک جذر است. گسترش توابع به سری قدرت

اگر تابع f(x) مشتقاتی از تمام دستورات در بازه‌ای حاوی نقطه a داشته باشد، می‌توان فرمول تیلور را برای آن اعمال کرد:
,
جایی که rn- اصطلاح باقیمانده یا باقیمانده سری را می توان با استفاده از فرمول لاگرانژ تخمین زد:
، جایی که عدد x بین x و a قرار دارد.

f(x)=

در نقطه x 0 =
تعداد عناصر ردیف 3 4 5 6 7
استفاده از بسط توابع ابتدایی e x، cos(x)، sin(x)، ln(1+x)، (1+x) m

قوانین ورود توابع:

اگر برای مقداری ارزش ایکس rn→ 0 در n→∞، سپس در حد، فرمول تیلور برای این مقدار به همگرا تبدیل می شود سریال تیلور:
,
بنابراین، تابع f(x) را می توان به یک سری تیلور در نقطه x در نظر گرفت، اگر:
1) دارای مشتقات تمام سفارشات است.
2) سری ساخته شده در این نقطه همگرا می شود.

برای a = 0 یک سری به نام دریافت می کنیم نزدیک مکلارین:
,
بسط ساده ترین توابع (ابتدایی) در سری Maclaurin:
توابع نمایی
، R=∞
توابع مثلثاتی
، R=∞
، R=∞
، (-π/2< x < π/2), R=π/2
تابع actgx در توان های x گسترش نمی یابد، زیرا ctg0=∞
توابع هذلولی


توابع لگاریتمی
, -1
سری دو جمله ای
.

مثال شماره 1. عملکرد را به یک سری توان بسط دهید f(x)= 2ایکس.
راه حل. اجازه دهید مقادیر تابع و مشتقات آن را در پیدا کنیم ایکس=0
f(x) = 2ایکس, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2ایکس ln2، f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2ایکس ln 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2 = log 2 2;
…
f(n)(x) = 2ایکسلوگاریتم n 2, f(n)( 0) = 2 0 لوگاریتم n 2=ln n 2.
با جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات به فرمول سری تیلور، به دست می آوریم:

شعاع همگرایی این سری برابر با بی نهایت است، بنابراین این بسط برای -∞ معتبر است.<ایکس<+∞.

مثال شماره 2. یک سری تیلور در قدرت بنویسید ( ایکس+4) برای تابع f(x)=ه ایکس.
راه حل. یافتن مشتقات تابع e ایکسو ارزش آنها در نقطه ایکس=-4.
f(x)= e ایکس, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e ایکس, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e ایکس, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e ایکس, f(n)( -4) = e -4 .
بنابراین، سری تیلور مورد نظر تابع به شکل زیر است:

این بسط برای -∞ نیز معتبر است<ایکس<+∞.

مثال شماره 3. گسترش تابع f(x)=ln ایکسدر یک سری به درجه ( ایکس- 1),
(یعنی در یک سریال تیلور در مجاورت نقطه ایکس=1).
راه حل. مشتقات این تابع را پیدا می کنیم.
f(x)=lnx،،،،،

f(1)=ln1=0، f"(1)=1، f""(1)=-1، f"""(1)=1*2،...، f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
با جایگزینی این مقادیر در فرمول، سری تیلور مورد نظر را بدست می آوریم:

با کمک آزمون دالامبر، می توان تأیید کرد که این سری در ½x-1½ همگرا هستند.<1 . Действительно,

سری همگرا می شود اگر ½ ایکس- 1 ½<1, т.е. при 0<ایکس<2. При ایکس=2 یک سری متناوب بدست می آوریم که شرایط آزمون لایب نیتس را برآورده می کند. برای x=0 تابع تعریف نشده است. بنابراین، منطقه همگرایی سری تیلور بازه نیمه باز است (0;2).

مثال شماره 4. عملکرد را در یک سری توانی بسط دهید.
راه حل. در تجزیه (1) x را با -x 2 جایگزین می کنیم، به دست می آوریم:
, -∞

مثال شماره 5. عملکرد را در یک سری Maclaurin گسترش دهید.
راه حل. ما داریم
با استفاده از فرمول (4) می توانیم بنویسیم:

با جایگزین کردن x در فرمول -x، دریافت می کنیم:

از اینجا پیدا می کنیم: ln(1+x)-ln(1-x) = -
با گسترش براکت ها، مرتب کردن مجدد اصطلاحات سری و کاهش اصطلاحات مشابه، به دست می آوریم
. این سری در بازه (-1;) همگرا می شود زیرا از دو سری به دست می آید که هر کدام در این بازه همگرا می شوند.

اظهار نظر .
از فرمول های (1)-(5) نیز می توان برای گسترش توابع مربوطه در یک سری تیلور استفاده کرد. برای بسط توابع در توان های عدد صحیح مثبت ( ها). برای انجام این کار، لازم است چنین تبدیل‌های یکسانی روی یک تابع داده شده انجام شود تا یکی از توابع (1) - (5) به دست آید، که در آن به جای ایکسهزینه ها k( ها) m، جایی که k یک عدد ثابت است، m یک عدد صحیح مثبت است. اغلب تغییر متغیر راحت است تی=هاو تابع حاصل را با توجه به t در سری Maclaurin گسترش دهید.

این روش بر اساس قضیه منحصر به فرد بودن بسط یک تابع در یک سری توان است. ماهیت این قضیه این است که در مجاورت یک نقطه، دو سری توان متفاوت را نمی توان به دست آورد که به یک تابع همگرا شوند، مهم نیست که چگونه بسط آن انجام شود.

مثال شماره 5a. تابع را در یک سری Maclaurin گسترش دهید، ناحیه همگرایی را نشان دهید.
راه حل. ابتدا 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) را پیدا می کنیم.
به ابتدایی:

کسر 3/(1-3x) را می توان به عنوان مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش با مخرج 3x مشاهده کرد اگر |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

با منطقه همگرایی |x|< 1/3.

مثال شماره 6. تابع را در یک سری تیلور در مجاورت نقطه x = 3 گسترش دهید.
راه حل. این مشکل را می توان مانند قبل با استفاده از تعریف سری تیلور حل کرد که برای آن لازم است مشتقات توابع و مقادیر آنها را در ایکس=3. با این حال، استفاده از تجزیه موجود آسان تر خواهد بود (5):
=
سری حاصل در 3- یا همگرا می شود

مثال شماره 7. یک سری تیلور را با توان (x -1) تابع ln(x+2) بنویسید.
راه حل.


سری در 2- یا همگرا می شود< x < 5.

مثال شماره 8. تابع f(x)=sin(πx/4) را در یک سری تیلور حول نقطه x=2 بسط دهید.
راه حل. بیایید جایگزین t=x-2 را ایجاد کنیم:

با استفاده از بسط (3)، که در آن π / 4 t را جایگزین x می کنیم، به دست می آوریم:

سری حاصل به تابع داده شده در -∞ همگرا می شود< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞به این ترتیب،
, (-∞

محاسبات تقریبی با استفاده از سری توان

سری های توان به طور گسترده ای در محاسبات تقریبی استفاده می شود. با کمک آنها، با دقت داده شده، می توانید مقادیر ریشه ها، توابع مثلثاتی، لگاریتم اعداد، انتگرال های معین را محاسبه کنید. از سری ها نیز در ادغام معادلات دیفرانسیل استفاده می شود.
بسط تابع را در یک سری توان در نظر بگیرید:

برای محاسبه مقدار تقریبی یک تابع در یک نقطه مشخص ایکس، متعلق به منطقه همگرایی سری نشان داده شده، اولین nاعضا ( nیک عدد محدود است)، و عبارات باقی مانده کنار گذاشته می شوند:

برای تخمین خطای مقدار تقریبی به دست آمده، لازم است مقدار باقیمانده دور ریخته شده r n (x) برآورد شود. برای این کار از روش های زیر استفاده می شود:

• اگر سری به دست آمده متناوب کاراکتر باشد، از ویژگی زیر استفاده می شود: برای یک سری متناوب که شرایط لایب نیتس را برآورده می کند، قدر مطلق باقیمانده سری از اولین جمله حذف شده تجاوز نمی کند..
• اگر سری داده شده دارای علامت ثابت باشد، آنگاه سری متشکل از عبارت های دور ریخته شده با یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش مقایسه می شود.
• در حالت کلی، برای تخمین باقی مانده سری تیلور، می توانید از فرمول لاگرانژ استفاده کنید: a ایکس ).

مثال شماره 1. ln(3) را با 0.01 محاسبه کنید.
راه حل. بیایید از تجزیه استفاده کنیم، که در آن x=1/2 (به مثال 5 در مبحث قبلی مراجعه کنید):

بیایید بررسی کنیم که آیا می‌توانیم باقیمانده را پس از سه ترم اول بسط کنار بگذاریم، برای این کار، آن را با استفاده از مجموع یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت در حال کاهش ارزیابی می‌کنیم:

بنابراین می توانیم این باقیمانده را دور بریزیم و بدست آوریم

مثال شماره 2. با نزدیکترین 0.0001 محاسبه کنید.
راه حل. بیایید از سری دو جمله ای استفاده کنیم. از آنجایی که 5 3 نزدیکترین مکعب عدد صحیح به 130 است، توصیه می شود عدد 130 را به صورت 130=5 3 +5 نشان دهیم.



از آنجایی که عبارت چهارم از سری متناوب علامت به دست آمده که آزمون لایب نیتس را برآورده می کند، در حال حاضر کمتر از دقت لازم است:
، بنابراین می توان آن و اصطلاحات پس از آن را کنار گذاشت.
بسیاری از انتگرال‌های معین یا نامناسب عملاً ضروری را نمی‌توان با استفاده از فرمول نیوتن-لایب‌نیتس محاسبه کرد، زیرا کاربرد آن با یافتن یک پاد مشتق همراه است، که اغلب بیانی در توابع ابتدایی ندارد. همچنین اتفاق می‌افتد که یافتن یک آنتی‌مشتق ممکن است، اما بی‌رویه پر زحمت. با این حال، اگر انتگرال به یک سری توان بسط داده شود، و حدود یکپارچه سازی به بازه همگرایی این سری تعلق داشته باشد، آنگاه محاسبه تقریبی انتگرال با دقت از پیش تعیین شده امکان پذیر است.

مثال شماره 3. انتگرال ∫ 0 1 4 sin (x) x را در داخل 10 -5 محاسبه کنید.
راه حل. انتگرال نامعین مربوطه را نمی توان در توابع ابتدایی بیان کرد، یعنی. یک "انتگرال غیر ممکن" است. فرمول نیوتن-لایبنیتس را نمی توان در اینجا اعمال کرد. اجازه دهید انتگرال را تقریباً محاسبه کنیم.
تقسیم ترم به اصطلاح سری گناه ایکسبر روی ایکس، ما گرفتیم:

با ادغام این سری به صورت ترم (این امکان پذیر است، زیرا حدود ادغام مربوط به فاصله همگرایی این سری است)، به دست می آوریم:

از آنجایی که سری به دست آمده شرایط لایب نیتس را برآورده می کند و برای به دست آوردن مقدار مورد نظر با دقت معین کافی است مجموع دو جمله اول را بگیرید.
بنابراین، ما پیدا می کنیم
.

مثال شماره 4. انتگرال ∫ 0 1 4 e x 2 را در داخل 0.001 محاسبه کنید.
راه حل.
. بیایید بررسی کنیم که آیا می‌توانیم باقیمانده را بعد از ترم دوم سری به‌دست‌آمده دور بریزیم.
0.0001<0.001. Следовательно, .

در تئوری سری های تابعی، بخشی که به بسط یک تابع به یک سری اختصاص دارد، جایگاه مرکزی را اشغال می کند.

بنابراین، مشکل مطرح می شود: برای یک تابع معین برای یافتن چنین سری توانی لازم است

که در بازه ای همگرا شد و مجموع آن برابر بود
, آن ها

= ..

این وظیفه نامیده می شود مشکل گسترش یک تابع به یک سری توان.

شرط لازم برای بسط یک تابع به یک سری توانتمایز آن به تعداد بی نهایت بار است - این از ویژگی های سری توان همگرا ناشی می شود. این شرط، به عنوان یک قاعده، برای توابع ابتدایی در حوزه تعریف آنها برآورده می شود.

بنابراین بیایید فرض کنیم که تابع
مشتقات هر مرتبه ای دارد. آیا می توان آن را به یک سری پاور گسترش داد، اگر چنین است، چگونه این سری را پیدا کنیم؟ حل بخش دوم مشکل آسان تر است، بنابراین بیایید با آن شروع کنیم.

بیایید فرض کنیم که تابع
را می توان به عنوان مجموع یک سری توان همگرا در بازه ای حاوی یک نقطه نشان داد ایکس 0 :

= .. (*)

جایی که آ 0 ،آ 1 ،آ 2 ،...،آ پ ,... - ضرایب نامشخص (هنوز).

اجازه دهید در برابری (*) مقدار قرار دهیم x = x 0 , سپس دریافت می کنیم

.

سری توان (*) را به صورت ترم متمایز می کنیم

= ..

و گذاشتن اینجا x = x 0 , ما گرفتیم

.

با تمایز بعدی، سری را دریافت می کنیم

= ..

با فرض اینکه x = x 0 , ما گرفتیم
، جایی که
.

بعد از پتمایز برابری دریافت می کنیم

با فرض تساوی آخر x = x 0 , ما گرفتیم
، جایی که

بنابراین ضرایب پیدا می شود

,
,
, …,
,….,

با جایگزینی آن در یک ردیف (*)، دریافت می کنیم

سری حاصل نامیده می شود نزدیک تیلور برای عملکرد
.

بنابراین، ما آن را ثابت کردیم اگر بتوان تابع را به یک سری توان در توان ها گسترش داد (x - x 0 )، پس این بسط منحصر به فرد است و سریال حاصل لزوماً یک سری تیلور است.

توجه داشته باشید که سری تیلور را می توان برای هر تابعی که مشتقاتی از هر مرتبه ای در آن نقطه دارد به دست آورد x = x 0 . اما این هنوز به این معنی نیست که می توان علامت مساوی بین تابع و سری حاصل قرار داد، یعنی. که مجموع سری برابر با تابع اصلی است. اولاً، چنین برابری فقط در ناحیه همگرایی می تواند معنا داشته باشد و سری تیلور به دست آمده برای تابع ممکن است واگرا شود و ثانیاً اگر سری تیلور همگرا شود، مجموع آن ممکن است با تابع اصلی مطابقت نداشته باشد.

3.2. شرایط کافی برای بسط یک تابع به یک سری تیلور

اجازه دهید بیانیه ای را تنظیم کنیم که با کمک آن مشکل بیان شده حل شود.

اگر تابع
در برخی از همسایگی های نقطه x 0 دارای مشتقات تا (n+ 1)-th order inclusive، سپس در این محله داریمفرمول تیلور

جایی کهآر n (ایکس)-اصطلاح باقیمانده از فرمول تیلور - دارای شکل (شکل لاگرانژ) است.

جایی که نقطهξ بین x و x قرار دارد 0 .

توجه داشته باشید که بین سری تیلور و فرمول تیلور تفاوت وجود دارد: فرمول تیلور یک مجموع محدود است، یعنی. پ -شماره ثابت

به یاد بیاورید که مجموع سریال اس(ایکس) را می توان به عنوان حد توالی تابعی از مجموع جزئی تعریف کرد اس پ (ایکس) در یک فاصله زمانی ایکس:

.

بر این اساس، گسترش یک تابع به یک سری تیلور به معنای پیدا کردن یک سری است که برای هر کدام ایکسایکس

فرمول تیلور را به شکل Where می نویسیم

توجه کنید که
خطایی که دریافت می کنیم را تعریف می کند، تابع را جایگزین می کند f(ایکس) چند جمله ای اس n (ایکس).

اگر یک
، سپس
، آن ها این تابع به یک سری تیلور گسترش می یابد. برعکس، اگر
، سپس
.

بنابراین، ما ثابت کرده ایم معیاری برای بسط یک تابع به یک سری تیلور.

به این منظور که در یک بازه زمانی تابعf(x) در یک سری تیلور گسترش می یابد، لازم و کافی است که در این بازه
، جایی کهآر n (ایکس) باقیمانده سری تیلور است.

با کمک معیار فرموله شده می توان به دست آورد کافیشرایط برای بسط یک تابع به یک سری تیلور.

اگر درنزدیکی نقطه x 0 مقادیر مطلق تمام مشتقات یک تابع با همان عدد M محدود می شود≥ 0، یعنی

، تیo در این محله، تابع به یک سری تیلور گسترش می یابد.

از موارد فوق نتیجه می گیرد الگوریتمگسترش تابع f(ایکس) در سریال تیلوردر مجاورت نقطه ایکس 0 :

1. یافتن توابع مشتق f(ایکس):

f(x)، f’(x)، f”(x)، f’”(x)، f (ن) (ایکس)،…

2. مقدار تابع و مقادیر مشتقات آن را در نقطه محاسبه می کنیم ایکس 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f” (x 0 ), f’” (x 0 f (ن) (ایکس 0 ),…

3. سری تیلور را به طور رسمی می نویسیم و ناحیه همگرایی سری توان حاصل را پیدا می کنیم.

4. ما انجام شرایط کافی را بررسی می کنیم، i.e. برای آن ایجاد کنید ایکساز منطقه همگرایی، ترم باقی مانده آر n (ایکس) به سمت صفر میل می کند
یا
.

بسط توابع در یک سری تیلور طبق این الگوریتم نامیده می شود بسط یک تابع در یک سری تیلور بر اساس تعریفیا تجزیه مستقیم

چگونه فرمول های ریاضی را در سایت درج کنیم؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانگونه است که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که Wolfram Alpha به طور خودکار تولید می کند در سایت درج می شوند. این روش جهانی علاوه بر سادگی، به بهبود دید سایت در موتورهای جستجو کمک خواهد کرد. مدت زیادی است که کار می کند (و فکر می کنم برای همیشه کار خواهد کرد) اما از نظر اخلاقی قدیمی است.

اگر دائماً از فرمول‌های ریاضی در سایت خود استفاده می‌کنید، توصیه می‌کنم از MathJax استفاده کنید، یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه‌گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می‌دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود آپلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم پیچیده‌تر و زمان‌برتر است و به شما این امکان را می‌دهد که سرعت بارگذاری صفحات سایت خود را افزایش دهید و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، به هیچ وجه روی سایت شما تأثیری نخواهد داشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم، زیرا ساده تر، سریع تر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از من پیروی کنید و در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا از صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها ویا درست بعد از برچسب . طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را ردیابی و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را بچسبانید، صفحات کندتر بارگیری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی های MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد بارگذاری بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیک تر قرار دهید. ابتدای الگو (به هر حال، این به هیچ وجه ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب خود جاسازی کنید.

هر فراکتال بر اساس قانون خاصی ساخته می شود که به طور مداوم تعداد نامحدودی بارها اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. به نظر می رسد مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند به صورت نامحدود، اسفنج منگر را به دست می آوریم.

دانش آموزان ریاضی بالاتر باید بدانند که مجموع چند سری توانی متعلق به بازه همگرایی سری هایی که به ما داده شده است، یک تابع متمایز پیوسته و نامحدود است. این سوال مطرح می شود: آیا می توان ادعا کرد که یک تابع دلخواه f(x) مجموع چند سری توان است؟ یعنی تابع f(x) را تحت چه شرایطی می توان با یک سری توانی نمایش داد؟ اهمیت این سوال در این است که تقریباً می توان تابع f(x) را با مجموع چند جمله اول سری توان، یعنی با یک چند جمله ای جایگزین کرد. چنین جایگزینی یک تابع با یک عبارت نسبتاً ساده - یک چند جمله ای - هنگام حل برخی از مسائل نیز راحت است، یعنی: هنگام حل انتگرال، هنگام محاسبه و غیره.

ثابت شده است که برای برخی از تابع f(x)، که در آن مشتقات تا مرتبه (n + 1)ام، از جمله آخرین، می توانند در همسایگی (α - R; x 0 + R) مقداری محاسبه شوند. نقطه x = فرمول α:

این فرمول به نام دانشمند معروف بروک تیلور نامگذاری شده است. سری که از قبلی بدست می آید سری Maclaurin نام دارد:

قاعده ای که امکان گسترش را در مجموعه Maclaurin فراهم می کند:

1. مشتقات مرتبه اول، دوم، سوم ... را تعیین کنید.
2. مشتقات x=0 را محاسبه کنید.
3. سری Maclaurin را برای این تابع بنویسید و سپس فاصله همگرایی آن را تعیین کنید.
4. بازه (-R;R) را که در آن باقیمانده فرمول Maclaurin قرار دارد، تعیین کنید

R n (x) -> 0 برای n -> بی نهایت. اگر یکی وجود داشته باشد، تابع f(x) در آن باید با مجموع سری Maclaurin منطبق باشد.

اکنون سری Maclaurin را برای عملکردهای فردی در نظر بگیرید.

1. بنابراین، اولین مورد f(x) = e x خواهد بود. البته، با توجه به ویژگی های آن، چنین تابعی مشتقاتی از مرتبه های بسیار متفاوت دارد، و f (k) (x) \u003d e x، که در آن k برابر با همه چیز است اجازه دهید x \u003d 0 را جایگزین کنیم. ما f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1 ، k \u003d 1.2 را دریافت می کنیم ... بر اساس موارد فوق ، سری e x به شکل زیر خواهد بود:

2. سری Maclaurin برای تابع f(x) = sin x. فوراً روشن کنید که تابع برای همه مجهولات مشتقاتی خواهد داشت، علاوه بر f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2)، f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)...، f(k)(x)=sin(x+k*n/2)، که k برابر هر عدد طبیعی است. یعنی با محاسبات ساده می توان نتیجه گرفت که سری f(x) = sin x به شکل زیر خواهد بود:

3. حالا بیایید سعی کنیم تابع f(x) = cos x را در نظر بگیریم. دارای مشتقاتی از نظم دلخواه برای همه مجهولات، و |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

بنابراین، ما مهمترین توابع قابل گسترش در سری Maclaurin را فهرست کرده ایم، اما آنها با سری تیلور برای برخی عملکردها تکمیل شده اند. اکنون آنها را فهرست می کنیم. همچنین شایان ذکر است که سری های تیلور و مکلارین بخش مهمی از تمرین حل سری در ریاضیات عالی هستند. بنابراین، سریال تیلور.

1. اولین ردیف برای f-ii f (x) = ln (1 + x) خواهد بود. همانطور که در مثال‌های قبلی، با f (x) = ln (1 + x)، می‌توانیم با استفاده از شکل کلی سری Maclaurin یک سری اضافه کنیم. با این حال، برای این تابع، سری Maclaurin را می توان بسیار ساده تر به دست آورد. پس از ادغام یک سری هندسی خاص، یک سری برای f (x) = ln (1 + x) از چنین نمونه ای بدست می آوریم:

2. و دومی که در مقاله ما نهایی خواهد شد، یک سری برای f (x) \u003d arctg x خواهد بود. برای x متعلق به بازه [-1; 1]، بسط معتبر است:

همین. در این مقاله پرکاربردترین سری های تیلور و مکلارین در ریاضیات عالی به ویژه در دانشگاه های اقتصادی و فنی مورد توجه قرار گرفت.

تجزیه یک تابع در یک سری از Taylor، Maclaurin و Laurent در سایت برای آموزش مهارت های عملی. این بسط سری یک تابع به ریاضیدانان ایده ای برای تخمین مقدار تقریبی یک تابع در نقطه ای از دامنه تعریف آن می دهد. در مقایسه با استفاده از جدول Bredis که در عصر محاسبات بسیار قدیمی است، محاسبه چنین مقدار تابعی بسیار ساده تر است. بسط یک تابع به یک سری تیلور یعنی محاسبه ضرایب جلوی توابع خطی این سری و نوشتن آن به شکل صحیح. دانش‌آموزان این دو سریال را با هم اشتباه می‌گیرند و متوجه نمی‌شوند که کدام مورد عمومی است و مورد خاص دومی چیست. یک بار برای همیشه یادآوری می کنیم که سری Maclaurin یک مورد خاص از سری تیلور است، یعنی سری تیلور است، اما در نقطه x = 0. تمام رکوردهای مختصر از گسترش توابع شناخته شده، مانند e ^x، Sin(x)، Cos(x) و موارد دیگر، اینها بسط های یک سری تیلور هستند، اما در نقطه 0 برای آرگومان. برای توابع یک آرگومان پیچیده، سری Laurent رایج ترین مشکل در TFKT است، زیرا یک سری بی نهایت دو طرفه را نشان می دهد. حاصل جمع دو ردیف است. پیشنهاد می کنیم نمونه تجزیه را مستقیماً در سایت سایت مشاهده کنید، با کلیک بر روی "مثال" با هر عددی و سپس دکمه "حل" بسیار آسان است. به این بسط یک تابع به یک سری است که سری بزرگ‌سازی مرتبط می‌شود، که اگر متغیر متعلق به ناحیه آبسیسا باشد، تابع اصلی را در ناحیه خاصی در امتداد محور ارتین محدود می‌کند. تجزیه و تحلیل برداری با یکی دیگر از رشته های جالب در ریاضیات مقایسه می شود. از آنجایی که هر اصطلاح نیاز به بررسی دارد، زمان زیادی برای فرآیند مورد نیاز است. هر سری تیلور را می توان با جایگزین کردن x0 با صفر با یک سری Maclaurin مرتبط کرد، اما برای سری Maclaurin، نمایش معکوس سری تیلور گاهی اوقات واضح نیست. مهم نیست که چگونه به شکل خالص آن انجام شود، برای خودسازی عمومی جالب است. هر سری Laurent مربوط به یک سری توان بی نهایت دو طرفه در توان های عدد صحیح z-a است، به عبارت دیگر، یک سری از همان نوع تیلور، اما در محاسبه ضرایب کمی متفاوت است. در مورد منطقه همگرایی سری Laurent کمی بعد، پس از چندین محاسبات نظری صحبت خواهیم کرد. مانند قرن گذشته، بسط مرحله‌ای یک تابع به یک سری به سختی می‌تواند تنها با کاهش عبارت‌ها به مخرج مشترک حاصل شود، زیرا توابع موجود در مخرج‌ها غیرخطی هستند. محاسبه تقریبی مقدار عملکردی مستلزم فرمول بندی مسائل است. به این واقعیت فکر کنید که وقتی آرگومان سری تیلور یک متغیر خطی است، بسط در چندین مرحله انجام می شود، اما تصویری کاملاً متفاوت، زمانی که یک تابع پیچیده یا غیر خطی به عنوان آرگومان تابع گسترش یافته عمل می کند، سپس فرآیند نمایش چنین تابعی در یک سری توانی بدیهی است، زیرا، به این ترتیب، محاسبه، هرچند تقریبی، آسان است، اما مقدار در هر نقطه از دامنه تعریف، با حداقل خطای کمی که دارد. تاثیر بر محاسبات بعدی این موضوع در مورد سری Maclaurin نیز صدق می کند. زمانی که لازم است تابع در نقطه صفر محاسبه شود. با این حال، خود سری Laurent در اینجا با یک بسط صفحه با واحدهای خیالی نشان داده می شود. همچنین راه حل صحیح مشکل در روند کلی بدون موفقیت نخواهد بود. در ریاضیات، این رویکرد شناخته شده نیست، اما به طور عینی وجود دارد. در نتیجه می‌توانید به زیر مجموعه‌های به اصطلاح نقطه‌ای برسید و در بسط یک تابع در یک سری، باید از روش‌های شناخته‌شده برای این فرآیند مانند استفاده از نظریه مشتقات استفاده کنید. یک بار دیگر ما به درستی معلمی که فرضیات خود را در مورد نتایج محاسبات پس از محاسبات انجام داده است، متقاعد شدیم. توجه داشته باشیم که سری تیلور که بر اساس تمامی قوانین ریاضی به دست آمده است، وجود دارد و بر روی کل محور عددی تعریف شده است، اما کاربران عزیز سرویس وب سایت، فرم تابع اصلی را فراموش نکنید، زیرا ممکن است مشخص شود. که در ابتدا لازم است دامنه تابع را تنظیم کنیم، یعنی نقاطی را که تابع در حوزه اعداد حقیقی تعریف نشده است، بنویسیم و از ملاحظات بعدی حذف کنیم. بنابراین، این سرعت شما را در حل مشکل نشان می دهد. ساخت سری Maclaurin با مقدار صفر استدلال از آنچه گفته شد مستثنی نخواهد بود. در عین حال، هیچ کس فرآیند یافتن دامنه تعریف یک تابع را لغو نکرد و باید با جدیت تمام به این اقدام ریاضی بپردازید. اگر سری Laurent شامل قسمت اصلی باشد، پارامتر "a" یک نقطه منفرد ایزوله نامیده می شود، و سری Laurent در حلقه گسترش می یابد - این محل تقاطع مناطق همگرایی قطعات آن است، که از آن مربوط می شود. قضیه دنبال خواهد شد. اما همه چیز به آن سختی نیست که در نگاه اول برای یک دانش آموز بی تجربه به نظر می رسد. با مطالعه فقط سری تیلور، می توان به راحتی سری Laurent را درک کرد - یک مورد کلی برای گسترش فضای اعداد. هر گونه بسط یک تابع به یک سری فقط در نقطه ای از دامنه تابع قابل انجام است. باید خصوصیات چنین توابعی را در نظر گرفت، به عنوان مثال، تناوب یا تمایز بی نهایت. همچنین پیشنهاد می‌کنیم از جدول بسط‌های آماده در سری توابع ابتدایی تیلور استفاده کنید، زیرا یک تابع را می‌توان با ده‌ها سری توان مختلف نشان داد که از استفاده از ماشین حساب آنلاین ما قابل مشاهده است. تشخیص اینکه آیا از سرویس سایت منحصربفرد استفاده می کنید یا نه، سری آنلاین مکلارین آسان تر از همیشه است، فقط کافی است عملکرد نوشتاری صحیح را وارد کنید و در عرض چند ثانیه پاسخ ارائه شده را دریافت خواهید کرد، تضمین دقیق و به صورت مکتوب استاندارد خواهد بود. . می توانید بلافاصله نتیجه را در یک نسخه تمیز برای تحویل به معلم بازنویسی کنید. درست است که ابتدا تحلیلی تابع مورد بررسی را در حلقه ها تعیین کنیم و سپس به طور واضح بیان کنیم که می توان آن را در یک سری Laurent در همه حلقه ها گسترش داد. یک لحظه مهم این است که اعضای سری Laurent حاوی درجات منفی را از دست ندهید. تا حد امکان روی این موضوع تمرکز کنید. از قضیه لورن در مورد بسط یک تابع به یک سری در توان های صحیح به خوبی استفاده کنید.