یک نقطه متقارن در مورد یک خط مستقیم به صورت آنلاین پیدا کنید. ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما

وظیفه یافتن مختصات نقطه است که با نقطه متقارن با خط است. . من پیشنهاد می کنم اقدامات را به تنهایی انجام دهید، با این حال، الگوریتم راه حل را با نتایج متوسط ​​شرح می دهم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر یک خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات وسط قطعهپیدا کردن .

بررسی اینکه فاصله نیز برابر با 2.2 واحد است، اضافی نخواهد بود.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما در برج یک ریزماشین حساب کمک زیادی می کند و به شما امکان می دهد حساب کنید. کسرهای رایج. بارها توصیه کرده ام و دوباره توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای راه حل مستقل است. یک نکته کوچک: راه های بی نهایت زیادی برای حل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم شما به خوبی توانستید نبوغ خود را پراکنده کنید.

زاویه بین دو خط

هر گوشه ای باشد، پس گیره:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم به عنوان زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نشده است. و همسایه "سبز" آن یا مخالف جهت گیریگوشه زرشکی

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اول، جهت "پیمایش" گوشه اساسا مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، به عنوان مثال، اگر .

چرا این را گفتم؟ به نظر می رسد که می توانید با مفهوم معمول یک زاویه کنار بیایید. واقعیت این است که در فرمول هایی که با آن زاویه ها را پیدا خواهیم کرد، به راحتی می توان نتیجه منفی گرفت و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و یک زاویه بسیار خاص دارد معنی هندسی. در نقاشی برای زاویه منفی، نشان دادن جهت آن (در جهت عقربه های ساعت) با یک فلش ضروری است.

چگونه زاویه بین دو خط را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

دو خط را در نظر بگیرید توسط معادلات داده شده استکه در نمای کلی:

اگر مستقیم عمود نیست، سپس جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج دقت کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددی بردارهای جهت خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول ناپدید می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود خواهند بود. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط در فرمول بندی رزرو شده است.

بر اساس موارد فوق، راه حل به راحتی در دو مرحله رسمیت می یابد:

1) حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم را محاسبه کنید:

2) زاویه بین خطوط را با فرمول پیدا می کنیم:

با استفاده از تابع معکوس، به راحتی می توان خود زاویه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (شکل 2 را ببینید). نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ مشخص کنید ارزش دقیقو همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود.

خوب، منهای، پس منهای، اشکالی ندارد. در اینجا یک تصویر هندسی است:

جای تعجب نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در شرایط مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "پیچش" زاویه دقیقاً از آن شروع شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط مستقیم را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

پنهان نمی کنم، من خودم خطوط مستقیم را به ترتیب مثبت انتخاب می کنم. قشنگ تره ولی نه بیشتر

برای بررسی محلول، می توانید یک نقاله بردارید و زاویه را اندازه بگیرید.

روش دو

اگر خطوط با معادلات با شیب و عمود نیست، سپس جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

شرط عمود بودن خطوط مستقیم با تساوی بیان می شود که اتفاقاً رابطه بسیار مفیدی بین ضرایب زاویه ای خطوط عمود بر هم حاصل می شود: ، که در برخی از مسائل استفاده می شود.

الگوریتم حل مشابه پاراگراف قبل است. اما ابتدا بیایید خطوط خود را به شکل مورد نیاز بازنویسی کنیم:

بنابراین، ضرایب شیب:

1) بررسی کنید که آیا خطوط عمود هستند:
بنابراین خطوط عمود نیستند.

2) از فرمول استفاده می کنیم:

پاسخ:

روش دوم زمانی مناسب است که معادلات خطوط در ابتدا با شیب تنظیم شوند. لازم به ذکر است که اگر حداقل یک خط مستقیم موازی با محور ارتین باشد، این فرمول به هیچ وجه قابل اجرا نیست، زیرا برای چنین خطوط مستقیمی شیب تعریف نشده است (به مقاله مراجعه کنید. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه).

راه حل سومی نیز وجود دارد. ایده این است که با استفاده از فرمول مورد بحث در درس، زاویه بین بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم حاصل ضرب نقطه ای بردارها:

در اینجا ما در مورد یک زاویه جهت دار صحبت نمی کنیم، بلکه "فقط در مورد یک زاویه" صحبت می کنیم، یعنی نتیجه مطمئناً مثبت خواهد بود. نکته مهم این است که شما می توانید زاویه ای مبهم داشته باشید (نه آن چیزی که نیاز دارید). در این حالت، باید رزرو کنید که زاویه بین خطوط یک زاویه کوچکتر است و کسینوس قوس حاصل را از رادیان "pi" (180 درجه) کم کنید.

کسانی که مایل هستند می توانند مشکل را از راه سوم حل کنند. اما من همچنان توصیه می کنم به اولین رویکرد زاویه گرا پایبند باشید، زیرا به طور گسترده استفاده می شود.

مثال 11

زاویه بین خطوط را پیدا کنید.

این یک مثال برای خودتان است. سعی کنید از دو طریق آن را حل کنید.

به نوعی افسانه در طول راه از بین رفت .... چون کشچه ای جاودانه وجود ندارد. من وجود دارد، و نه به خصوص بخار. صادقانه بگویم، فکر می کردم مقاله بسیار طولانی تر باشد. اما با این وجود، کلاهی که به تازگی به دست آورده‌ام با عینک برمی‌دارم و برای شنا در آب دریاچه سپتامبر می‌روم. خستگی و انرژی منفی را کاملاً از بین می برد.

به زودی میبینمت!

و به یاد داشته باشید، بابا یاگا لغو نشده است =)

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 3:راه حل : بردار جهت خط راست را بیابید :

معادله خط مستقیم مورد نظر را با استفاده از نقطه می سازیم و بردار جهت . از آنجایی که یکی از مختصات بردار جهت صفر است، معادله بازنویسی به شکل:

پاسخ :

مثال 5:راه حل :
1) معادله خط مستقیم دو نکته را ذکر کنید :

2) معادله خط مستقیم دو نکته را ذکر کنید :

3) ضرایب متناظر برای متغیرها خارج از نسبت: ، بنابراین خطوط قطع می شوند.
4) یک نقطه پیدا کنید :


توجه داشته باشید : در اینجا اولین معادله سیستم در 5 ضرب می شود، سپس معادله 2 از معادله 1 کم می شود.
پاسخ :

یک خط مستقیم در فضا همیشه می تواند به عنوان خط تقاطع دو صفحه غیر موازی تعریف شود. اگر معادله یک صفحه معادله صفحه دوم باشد، معادله خط مستقیم به صورت

اینجا غیر خطی
. این معادلات نامیده می شوند معادلات کلی خط مستقیم در فضا

معادلات متعارف خط مستقیم

هر بردار غیر صفر که روی یک خط معین یا موازی با آن قرار گیرد، بردار هدایت کننده این خط نامیده می شود.

اگر نکته مشخص باشد
خط و بردار جهت آن
، سپس معادلات متعارف خط به شکل زیر است:

. (9)

معادلات پارامتریک خط مستقیم

اجازه دهید معادلات متعارف خط داده شود

.

از اینجا معادلات پارامتری خط مستقیم را بدست می آوریم:

(10)

این معادلات برای یافتن نقطه تقاطع یک خط و یک صفحه مفید است.

معادله خطی که از دو نقطه می گذرد
و
به نظر می رسد:

.

زاویه بین خطوط

زاویه بین خطوط

و

برابر است با زاویه بین بردارهای جهت آنها. بنابراین می توان آن را با فرمول (4) محاسبه کرد:

وضعیت خطوط موازی:

.

شرایط عمود بودن صفحات:

فاصله یک نقطه از یک خط مستقیم

پ نقطه داده شده
و مستقیم

.

از معادلات متعارف خط، نقطه مشخص می شود
، متعلق به خط و بردار جهت آن
. سپس فاصله نقطه
از یک خط مستقیم برابر است با ارتفاع متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها و
. در نتیجه،

.

وضعیت تقاطع خط

دو خط غیر موازی

,

اگر و فقط اگر را قطع کنند

.

ترتیب متقابل یک خط مستقیم و یک صفحه.

بگذارید خط مستقیم
و مسطح گوشه بین آنها را می توان با فرمول پیدا کرد

.

مسئله 73.معادلات متعارف خط را بنویسید

(11)

راه حل. برای نوشتن معادلات متعارف خط (9) باید هر نقطه متعلق به خط و بردار جهت دهنده خط را دانست.

بیایید بردار را پیدا کنیم به موازات خط داده شده از آنجایی که باید بر بردارهای عادی این صفحات عمود باشد، یعنی.

,
، سپس

.

از معادلات کلی خط مستقیم داریم که
,
. سپس

.

از آنجا که نقطه
هر نقطه از خط، پس مختصات آن باید معادلات خط را برآورده کند و می توان یکی از آنها را مشخص کرد، برای مثال،
، دو مختصات دیگر را از سیستم (11) پیدا می کنیم:

از اینجا،
.

بنابراین، معادلات متعارف خط مورد نظر به شکل زیر است:

یا
.

مسئله 74.

و
.

راه حل.از معادلات متعارف خط اول، مختصات نقطه مشخص است
متعلق به خط، و مختصات بردار جهت
. از معادلات متعارف خط دوم، مختصات نقطه نیز مشخص است
و مختصات بردار جهت
.

فاصله بین خطوط موازی برابر با فاصله یک نقطه است
از خط دوم این فاصله با فرمول محاسبه می شود

.

بیایید مختصات بردار را پیدا کنیم
.

محصول برداری را محاسبه کنید
:

.

مسئله 75.یک نقطه پیدا کن نقطه متقارن
نسبتا مستقیم

.

راه حل. معادله صفحه را عمود بر خط داده شده و عبور از نقطه می نویسیم . به عنوان بردار معمولی آن ما می توانیم بردار جهت را به عنوان یک خط مستقیم در نظر بگیریم. سپس
. در نتیجه،

بیایید یک نقطه پیدا کنیم
نقطه تلاقی خط داده شده با صفحه P. برای این کار معادلات پارامتریک خط را می نویسیم و با استفاده از معادلات (10) به دست می آوریم.

در نتیجه،
.

اجازه دهید
نقطه متقارن به نقطه
در مورد این خط سپس نکته
نقطه میانی
. برای یافتن مختصات یک نقطه ما از فرمول های مختصات وسط قطعه استفاده می کنیم:

,
,
.

بنابراین،
.

مسئله 76.معادله صفحه ای که از یک خط مستقیم می گذرد را بنویسید
و

الف) از طریق یک نقطه
;

ب) عمود بر صفحه.

راه حل.بیایید بنویسیم معادلات کلیاین خط مستقیم برای انجام این کار، دو برابری را در نظر بگیرید:

به این معنی که صفحه مورد نظر متعلق به یک مداد از صفحات با ژنراتور است و معادله آن را می توان به شکل (8) نوشت:

الف) پیدا کردن
و از شرایطی که هواپیما از نقطه عبور کند
بنابراین مختصات آن باید معادله صفحه را برآورده کند. مختصات نقطه را جایگزین کنید
به معادله یک پرتو از صفحات:

ارزش یافت شده
معادله (12) را جایگزین می کنیم. معادله صفحه مورد نظر را بدست می آوریم:

ب) پیدا کردن
و از شرایطی که صفحه مورد نظر عمود بر صفحه باشد. بردار نرمال یک صفحه معین
، بردار نرمال صفحه مورد نظر (به معادله یک دسته از صفحات (12) مراجعه کنید.

دو بردار عمود بر هم هستند اگر و فقط در صورتی که حاصلضرب نقطه آنها صفر باشد. در نتیجه،

مقدار پیدا شده را جایگزین کنید
به معادله یک پرتو از صفحات (12). معادله صفحه مورد نظر را بدست می آوریم:

وظایف برای راه حل مستقل

مسئله 77.معادلات خطوط را به شکل متعارف بیاورید:

1)
2)

مسئله 78.معادلات پارامتریک خط مستقیم را بنویسید
، اگر:

1)
,
; 2)
,
.

مسئله 79. برای صفحه ای که از نقطه ای می گذرد معادله بنویسید
عمود بر خط

مسئله 80.معادلات خط مستقیمی که از یک نقطه می گذرد را بنویسید
عمود بر صفحه

مسئله 81.زاویه بین خطوط را پیدا کنید:

1)
و
;

2)
و

مسئله 82.ثابت کردن خطوط موازی:

و
.

مسئله 83.عمود بودن خطوط را ثابت کنید:

و

مسئله 84.محاسبه فاصله نقطه
از مستقیم:

1)
; 2)
.

مسئله 85.محاسبه فاصله بین خطوط موازی:

و
.

مسئله 86. در معادلات خط مستقیم
پارامتر را تعریف کنید به طوری که این خط با خط قطع می شود و نقطه تقاطع آنها را پیدا می کند.

مسئله 87. نشان دهید که مستقیم است
موازی با هواپیما
، و خط مستقیم
در این هواپیما نهفته است

مسئله 88. یک نقطه پیدا کن نقطه متقارن نسبت به هواپیما
، اگر:

1)
, ;

2)
, ;.

مسئله 89.معادله عمودی که از یک نقطه افتاده است را بنویسید
به طور مستقیم
.

مسئله 90. یک نقطه پیدا کن نقطه متقارن
نسبتا مستقیم
.

اوه-او-او-او-اوه ... خوب، ریز است، انگار جمله را برای خود می خوانی =) با این حال، پس آرامش کمک می کند، به خصوص که من امروز لوازم جانبی مناسبی خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله حال و هوای شادی داشته باشم.

ترتیب متقابل دو خط مستقیم

موردی که سالن با هم آواز می خواند. دو خط می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه قطع می شوند: .

کمک به آدمک ها : لطفا علامت ریاضی تقاطع را به خاطر بسپارید، اغلب اتفاق می افتد. ورودی به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب مربوطه آنها متناسب باشد، یعنی چنین عددی "لامبدا" وجود دارد که برابری ها

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله بسازیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله با کاهش 2، معادله مشابه را بدست می آورید: .

حالت دوم وقتی خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها در متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، واضح است که.

و حالت سوم، وقتی خطوط را قطع می کنند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشد، یعنی چنین مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، سیستمی را می سازیم:

از معادله اول نتیجه می شود که و از معادله دوم: از این رو، سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب در متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه گیری: خطوط قطع می شوند

AT وظایف عملیمی توان از طرح راه حلی که به تازگی در مورد آن بحث شد استفاده کرد. به هر حال، بسیار شبیه به الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در درس در نظر گرفتیم. مفهوم وابستگی خطی (غیر) بردارها. مبنای برداری. اما یک بسته متمدن تر وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

، بنابراین بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی با اشاره گر در چهارراه می گذارم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای بی مرگ =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها موازی یا یکسان هستند. در اینجا تعیین کننده ضروری نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند، در حالی که .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

به این ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید تعیین کننده را محاسبه کنیم که از مختصات این بردارها تشکیل شده است:
بنابراین، بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی هستند یا منطبق هستند.

ضریب تناسب "لامبدا" به راحتی مستقیماً از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حالا بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار به دست آمده این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکل مورد نظر را به صورت شفاهی در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه، دلیلی برای ارائه چیزی برای یک راه حل مستقل نمی بینم، بهتر است یک آجر مهم دیگر در پایه هندسی بگذاریم:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده رسم کنیم؟

به خاطر بی اطلاعی از این موضوع ساده ترین کاربلبل دزد را به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: خط مجهول را با حرف مشخص کنید. شرط در مورد آن چه می گوید؟ خط از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت دهنده خط «ce» برای ساخت خط «ته» نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تأیید تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

تأیید تحلیلی در بیشتر موارد به صورت شفاهی آسان است. به دو معادله نگاه کنید و بسیاری از شما به سرعت متوجه خواهید شد که چگونه خطوط بدون ترسیم موازی هستند.

نمونه هایی برای حل خود امروز خلاقانه خواهد بود. چون هنوز باید با بابا یاگا رقابت کنی و او هم که می دانی عاشق انواع معماهاست.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین مشکلی را در نظر بگیرید که از آن به خوبی برای شما شناخته شده است برنامه آموزشی مدرسه:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل است سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

این برای تویه معنای هندسی یک سیستم از دو معادله خطی با دو مجهولدو خط مستقیم متقاطع (اغلب) روی یک صفحه هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

روش گرافیکیاین است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله یک خط مستقیم جایگزین کنید، آنها باید هم آنجا و هم آنجا قرار بگیرند. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه راه حل سیستم است. در واقع یک راه گرافیکی برای حل در نظر گرفتیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که کشیدن یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی خطوط چندان آسان نیست و خود نقطه تقاطع می تواند جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه دفترچه یادداشت باشد.

بنابراین بهتر است به دنبال نقطه تقاطع باشید روش تحلیلی. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترمی معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مربوطه، از درس دیدن کنید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

تأیید بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای خودتان است. کار را می توان به راحتی به چند مرحله تقسیم کرد. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله یک خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله یک خط مستقیم را بنویسید.
3) موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری از مسائل هندسی معمولی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

راه حل کاملو پاسخ در پایان درس:

یک جفت کفش هنوز کهنه نشده است که به بخش دوم درس رسیدیم:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط

بیایید با یک کار معمولی و بسیار مهم شروع کنیم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات خط داده شده بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین رسم کنیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط عمودی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید.

راه حل: با فرض معلوم است که . خوب است که بردار جهت خط مستقیم را پیدا کنیم. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار هدایت کننده خط مستقیم خواهد بود.

معادله یک خط مستقیم را با یک نقطه و یک بردار هدایت کننده می سازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را باز کنیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات استخراج کنید و با کمک حاصل ضرب نقطه ای بردارهانتیجه می گیریم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

باز هم تأیید صحت به صورت شفاهی آسان است.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را بیابید و نقطه

این یک مثال برای خودتان است. چندین عمل در کار وجود دارد، بنابراین راحت است که راه حل را نقطه به نقطه مرتب کنید.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

پیش روی ما یک نوار مستقیم از رودخانه است و وظیفه ما رسیدن به آن در کوتاه ترین راه است. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی نشان داده می شود نامه یونانی"ro"، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها چیزی که نیاز دارید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کنید و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید طراحی را اجرا کنیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد نقاشی بکشید. \u003d 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

با توجه به همان نقاشی، کار دیگری را در نظر بگیرید:

وظیفه یافتن مختصات نقطه است که با نقطه متقارن با خط است. . من پیشنهاد می کنم اقدامات را به تنهایی انجام دهید، با این حال، الگوریتم راه حل را با نتایج متوسط ​​شرح می دهم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر یک خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات وسط قطعهپیدا کردن .

بررسی اینکه فاصله نیز برابر با 2.2 واحد است، اضافی نخواهد بود.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما در برج یک ریز حساب کمک زیادی می کند و به شما امکان می دهد کسرهای معمولی را بشمارید. بارها توصیه کرده ام و دوباره توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای راه حل مستقل است. یک نکته کوچک: راه های بی نهایت زیادی برای حل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم شما به خوبی توانستید نبوغ خود را پراکنده کنید.

زاویه بین دو خط

هر گوشه ای باشد، پس گیره:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم به عنوان زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نشده است. و همسایه "سبز" آن یا مخالف جهت گیریگوشه زرشکی

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اول، جهت "پیمایش" گوشه اساسا مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، به عنوان مثال، اگر .

چرا این را گفتم؟ به نظر می رسد که می توانید با مفهوم معمول یک زاویه کنار بیایید. واقعیت این است که در فرمول هایی که با آن زاویه ها را پیدا خواهیم کرد، به راحتی می توان نتیجه منفی گرفت و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در نقاشی برای زاویه منفی، نشان دادن جهت آن (در جهت عقربه های ساعت) با یک فلش ضروری است.

چگونه زاویه بین دو خط را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

دو خط مستقیم را در نظر بگیرید که توسط معادلات به صورت کلی داده می شود:

اگر مستقیم عمود نیست، سپس جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج دقت کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول ناپدید می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود خواهند بود. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط در فرمول بندی رزرو شده است.

بر اساس موارد فوق، راه حل به راحتی در دو مرحله رسمیت می یابد:

1) حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم را محاسبه کنید:
بنابراین خطوط عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط را با فرمول پیدا می کنیم:

با استفاده از تابع معکوس، به راحتی می توان خود زاویه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (شکل 2 را ببینید). نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً هم بر حسب درجه و هم بر حسب رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، پس منهای، اشکالی ندارد. در اینجا یک تصویر هندسی است:

جای تعجب نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در شرایط مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "پیچش" زاویه دقیقاً از آن شروع شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط مستقیم را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

اجازه دهید یک خط مستقیم داده شود معادله خطیو نقطه ای با مختصات آن (x0, y0) داده می شود و روی این خط قرار نمی گیرد. لازم است نقطه ای را پیدا کنید که با یک نقطه معین نسبت به یک خط مستقیم متقارن باشد، یعنی با آن منطبق باشد، اگر هواپیما از نظر ذهنی در امتداد این خط مستقیم به نصف خم شود.

دستورالعمل

1. واضح است که هر دو نقطه - داده شده و مطلوب - باید روی یک خط مستقیم قرار گیرند و این خط باید عمود بر خط داده شده باشد. بنابراین، بخش اول مسئله یافتن معادله یک خط مستقیم است که عمود بر یک خط معین باشد و در عین حال از یک نقطه معین عبور کند.

2. خط مستقیم را می توان به دو صورت تعریف کرد. معادله متعارف یک خط مستقیم به این صورت است: Ax + By + C = 0، که در آن A، B و C ثابت هستند. همچنین می توان با استفاده از خط مستقیم تعریف کرد تابع خطی: y = kx + b، جایی که k توان زاویه ای است، b جابجایی است، این دو روش قابل تعویض هستند و امکان جابجایی از هر یک به دیگری وجود دارد. اگر Ax + By + C = 0، آنگاه y = – (Ax + C)/B. به عبارت دیگر، در یک تابع خطی y = kx + b، توان زاویه ای k = -A/B، و افست b = -C/B. برای کار در دست، راحت تر است که بر اساس آن استدلال کنید معادله متعارفسر راست.

3. اگر دو خط بر هم عمود باشند و معادله خط اول Ax + By + C = 0 باشد، معادله خط دوم باید Bx - Ay + D = 0 باشد که در آن D یک ثابت است. برای یافتن مقدار معینی از D، علاوه بر این باید بدانید که خط عمود از کدام نقطه عبور می کند. در این حالت، این نقطه (x0، y0) است، در نتیجه، D باید برابری را برآورده کند: Bx0 – Ay0 + D = 0، یعنی D = Ay0 – Bx0.

4. بعداً، پس از پیدا شدن خط عمود، لازم است مختصات نقطه تقاطع آن با مورد داده شده محاسبه شود. برای انجام این کار، باید یک سیستم معادلات خطی را حل کنید: Ax + By + C = 0، Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. حل آن اعداد (x1، y1) را به دست می دهد که به عنوان مختصات مربوط به نقطه تقاطع خطوط

5. نقطه مورد نظر باید روی خط تشخیص داده شود و فاصله آن تا نقطه تقاطع باید برابر با فاصله از نقطه تقاطع تا نقطه (x0, y0) باشد. بنابراین مختصات یک نقطه متقارن با نقطه (x0, y0) را می توان با حل سیستم معادلات یافت: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. اما اجازه دهید آن را آسان تر کنیم. اگر نقاط (x0, y0) و (x, y) در فواصل مساوی از نقطه (x1, y1) باشند و هر سه نقطه روی یک خط مستقیم قرار گیرند، آنگاه: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0. در نتیجه، x = 2×1 – x0، y = 2y1 – y0. با جایگزینی این مقادیر در معادله دوم سیستم اول و ساده سازی عبارات، به راحتی می توان مطمئن شد که سمت راست آن با سمت چپ یکسان می شود. علاوه بر این، منطقی نیست که معادله اول را دقیق تر در نظر بگیریم، زیرا مشخص است که نقاط (x0, y0) و (x1, y1) آن را برآورده می کنند و نقطه (x, y) قطعاً در یک خط قرار دارد. .

فرمول بندی مسئله. مختصات یک نقطه متقارن با یک نقطه را پیدا کنید نسبت به هواپیما

طرح راه حل.

1. معادله خط مستقیمی را می یابیم که بر صفحه معین عمود است و از نقطه ای می گذرد. . از آنجایی که خط بر صفحه داده شده عمود است، بردار نرمال صفحه را می توان به عنوان بردار جهت آن در نظر گرفت، یعنی.

.

بنابراین، معادله یک خط مستقیم خواهد بود

.

2. یک نقطه پیدا کنید تقاطع خط و هواپیماها (مشکل 13 را ببینید).

3. نقطه نقطه وسط قطعه، جایی که نقطه است یک نقطه متقارن با یک نقطه است ، از همین رو

وظیفه 14. یک نقطه متقارن با یک نقطه نسبت به صفحه پیدا کنید.

معادله خط مستقیمی که از نقطه ای عمود بر صفحه معین می گذرد به صورت زیر خواهد بود:

.

نقطه تلاقی خط و صفحه را پیدا کنید.

جایی که - نقطه تلاقی خط و صفحه، نقطه وسط پاره است، بنابراین

آن ها .

مختصات صفحه همگن دگرگونی های افین در هواپیما.

اجازه دهید م ایکسو در

م(ایکس, درمن (ایکس, در، 1) در فضا (شکل 8).

من (ایکس, در

من (ایکس, در هو

(hx، hy، h)، h  0،

اظهار نظر

ساعت(مثلا، ساعت

در واقع با توجه به ساعت

اظهار نظر

مثال 1

ب) در گوشه (شکل 9).

گام اول.

مرحله 2.چرخش زاویه 

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 3.انتقال به بردار A(a، ب)

ماتریس تبدیل مربوطه

مثال 3

 در امتداد محور x و

گام اول.

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 2.

مرحله 3.

در نهایت دریافت کنید

اظهار نظر

[R]، [D]، [M]، [T]،

اجازه دهید م- نقطه دلخواه هواپیما با مختصات ایکسو دربا توجه به یک سیستم مختصات مستطیلی داده شده محاسبه می شود. مختصات همگن این نقطه هر سه گانه از اعداد غیرصفر همزمان x 1، x 2، x 3 هستند که با روابط زیر با اعداد x و y مرتبط هستند:

هنگام حل مسائل گرافیک کامپیوتری، مختصات همگن معمولاً به صورت زیر معرفی می شوند: یک نقطه دلخواه م(ایکس, در) به هواپیما یک نقطه اختصاص داده شده است من (ایکس, در، 1) در فضا (شکل 8).

توجه داشته باشید که یک نقطه دلخواه در خطی که مبدا را به هم متصل می کند، نقطه 0(0, 0, 0) با نقطه من (ایکس, در، 1) را می توان با سه اعداد از شکل (hx، hy، h) به دست داد.

بردار با مختصات hx، hy بردار جهت خط مستقیم است که نقاط 0 (0، 0، 0) و را به هم متصل می کند. من (ایکس, در، یک). این خط صفحه z = 1 را در نقطه (x, y, 1) قطع می کند که به طور منحصر به فرد نقطه (x, y) صفحه مختصات را تعیین می کند. هو

بنابراین، بین یک نقطه دلخواه با مختصات (x، y) و مجموعه ای از سه گانه از اعداد شکل

(hx، hy، h)، h  0،

یک مطابقت (یک به یک) برقرار می شود که به ما امکان می دهد اعداد hx، hy، h را به عنوان مختصات جدید این نقطه در نظر بگیریم.

اظهار نظر

مختصات همگن که به طور گسترده در هندسه تصویری مورد استفاده قرار می‌گیرند، توصیف مؤثر عناصر به اصطلاح نامناسب را ممکن می‌سازد (در اصل، آنهایی که در آنها صفحه پرتابی با صفحه اقلیدسی آشنا برای ما متفاوت است). جزئیات بیشتر در مورد ویژگی های جدید ارائه شده توسط مختصات همگن معرفی شده در بخش چهارم این فصل بحث شده است.

در هندسه تصویری، برای مختصات همگن، نماد زیر پذیرفته می شود:

x: y: 1، یا، به طور کلی، x 1: x 2: x 3

(به یاد بیاورید که در اینجا کاملاً لازم است که اعداد x 1، x 2، x 3 در همان زمان ناپدید نشوند).

استفاده از مختصات همگن حتی در هنگام حل ساده ترین مسائل نیز راحت است.

به عنوان مثال، مسائل مربوط به مقیاس بندی را در نظر بگیرید. اگر دستگاه نمایشگر فقط با اعداد صحیح کار می کند (یا اگر لازم است فقط با اعداد صحیح کار کنید)، برای یک مقدار دلخواه ساعت(مثلا، ساعت= 1) نقطه ای با مختصات همگن

نمی توان تصور کرد با این حال، با انتخاب منطقی h، می توان از صحیح بودن مختصات این نقطه اطمینان حاصل کرد. به طور خاص، برای h = 10، برای مثال مورد بررسی، ما داریم

بیایید یک مورد دیگر را در نظر بگیریم. برای اینکه نتایج تبدیل منجر به سرریز حسابی نشود، برای نقطه ای با مختصات (80000 40000 1000) می توانید مثلاً h=0.001 بگیرید. در نتیجه، ما (80 40 1) را دریافت می کنیم.

مثال های ارائه شده سودمندی استفاده از مختصات همگن را در محاسبات نشان می دهد. با این حال، هدف اصلی از معرفی مختصات همگن در گرافیک کامپیوتری، سهولت بی‌تردید آن‌ها در اعمال تبدیل‌های هندسی است.

با کمک سه گانه مختصات همگن و ماتریس های مرتبه سوم، می توان هر تبدیل وابسته به صفحه را توصیف کرد.

در واقع با توجه به ساعت= 1، دو ورودی را مقایسه کنید: با علامت * و ماتریس زیر مشخص شده است:

به راحتی می توان فهمید که پس از ضرب عبارات سمت راست آخرین رابطه، هم فرمول (*) و هم برابری عددی صحیح 1=1 را بدست می آوریم.

اظهار نظر

گاهی اوقات در ادبیات از نماد دیگری استفاده می شود - نماد ستونی:

این نماد معادل نماد خط بالا است (و با جابجایی از آن به دست می آید).

عناصر یک ماتریس دلخواه یک تبدیل وابسته، معنای هندسی صریحی ندارند. بنابراین، برای اجرای یک نقشه برداری خاص، یعنی یافتن عناصر ماتریس مربوطه با توجه به توصیف هندسی داده شده، به تکنیک های خاصی نیاز است. معمولاً ساخت این ماتریس با توجه به پیچیدگی مسئله مورد بررسی و با موارد خاصی که در بالا توضیح داده شد، به چند مرحله تقسیم می شود.

در هر مرحله، ماتریسی جستجو می‌شود که مربوط به یکی از موارد فوق A، B، C یا D است که دارای ویژگی‌های هندسی کاملاً تعریف شده‌اند.

اجازه دهید ماتریس های مربوط به مرتبه سوم را بنویسیم.

الف. ماتریس چرخش، (چرخش)

ب. ماتریس اتساع

ب. ماتریس بازتاب

د. ماتریس انتقال (ترجمه)

نمونه هایی از تبدیل های افین هواپیما را در نظر بگیرید.

مثال 1

یک ماتریس چرخشی حول نقطه A بسازید (aب) در گوشه (شکل 9).

گام اول.انتقال به بردار - A (-a, -b) برای تراز کردن مرکز چرخش با مبدا.

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 2.چرخش زاویه 

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 3.انتقال به بردار A(a، ب)برای برگرداندن مرکز چرخش به موقعیت قبلی؛

ماتریس تبدیل مربوطه

ماتریس ها را به همان ترتیبی که نوشته شده اند ضرب می کنیم:

در نتیجه، دریافت می کنیم که تبدیل مورد نظر (در نماد ماتریسی) به صورت زیر خواهد بود:

به خاطر سپردن عناصر ماتریس حاصل (به ویژه در ردیف آخر) آسان نیست. در همان زمان، هر یک از سه ماتریس ضرب شده را می توان به راحتی از توضیحات هندسی نگاشت مربوطه ساخت.

مثال 3

ساخت ماتریس کشش با عوامل کشش در امتداد محور x و در امتداد محور y و در مرکز نقطه A(a, b).

گام اول.انتقال به بردار -А(-а, -b) برای تطبیق مرکز کشش با مبدا.

ماتریس تبدیل مربوطه

مرحله 2.کشش در امتداد محورهای مختصات با ضرایب  و ، به ترتیب. ماتریس تبدیل شکل دارد

مرحله 3.انتقال به بردار A(a, b) تا مرکز کشش به موقعیت قبلی خود بازگردد. ماتریس تبدیل مربوطه است

ماتریس ها را به همان ترتیب ضرب کنید

در نهایت دریافت کنید

اظهار نظر

استدلال به روشی مشابه، یعنی شکستن تبدیل پیشنهادی به مراحل پشتیبانی شده توسط ماتریس ها[R]، [D]، [M]، [T]، می توان ماتریس هر تبدیل وابسته را از توضیحات هندسی آن ساخت.

Shift با جمع اجرا می شود و مقیاس بندی و چرخش با ضرب.

تبدیل مقیاس (اتساع) نسبت به منشا به شکل زیر است:

یا به صورت ماتریسی:

جایی که Dایکس،Dyعوامل پوسته پوسته شدن در امتداد محورها هستند و

- ماتریس مقیاس بندی

برای D > 1، بسط رخ می دهد، برای 0<=D<1- сжатие

چرخش تبدیل نسبت به مبدا به شکل زیر است:

یا به صورت ماتریسی:

که در آن φ زاویه چرخش و

- ماتریس چرخش

اظهار نظر:ستون‌ها و ردیف‌های ماتریس چرخش بردارهای واحد متعامد هستند. در واقع، مربع طول بردارهای ردیف برابر با یک است:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 و (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1،

و حاصل ضرب اسکالر بردارهای ردیف است

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

از آنجایی که حاصل ضرب اسکالر بردارها آ · ب = |آ| ·| ب| ·cosψ، جایی که | آ| - طول برداری آ, |ب| - طول برداری بو ψ کوچکترین زاویه مثبت بین آنهاست، سپس از برابری 0 حاصل ضرب اسکالر دو بردار ردیفی به طول 1 نتیجه می شود که زاویه بین آنها 90 درجه است.