روش هم ترازی تحلیلی. روش های هموارسازی و یکسان سازی سری های زمانی

تراز سطح تحلیلی سری پویااگر سطوح سری دارای نوسانات دوره ای شدید باشد، نتایج پیش بینی خوبی به دست نمی دهد. در این موارد برای تعیین روند توسعه پدیده از هموارسازی سری دینامیکی با روش میانگین متحرک استفاده می شود.

ماهیت تکنیک های مختلف هموارسازی جایگزینی سطوح واقعی سری های زمانی با سطوح محاسبه شده است که به میزان کمتری در معرض نوسانات هستند. این به تجلی واضح تر روند توسعه کمک می کند.

روش های هموارسازی را می توان بر اساس رویکردهای مختلف به دو دسته تقسیم کرد:

رویکرد تحلیلی؛

رویکرد الگوریتمی

رویکرد تحلیلی مبتنی بر این فرض است که محقق می تواند تعیین کند فرم کلیتابعی که یک جزء منظم و غیر تصادفی را توصیف می کند.

هنگام استفاده از رویکرد الگوریتمی، محدودیت ذاتی در رویکرد تحلیلی رها می شود. رویه های این کلاس به معنای توصیف پویایی یک جزء غیرتصادفی با استفاده از یک تابع منفرد نیستند، بلکه مستلزم توصیف دینامیک یک جزء غیر تصادفی با استفاده از یک تابع هستند، آنها تنها یک الگوریتم را در اختیار محقق قرار می دهند. برای محاسبه یک جزء غیر تصادفی در هر زمان معین. روش های هموارسازی سری های زمانی با استفاده از میانگین متحرک متعلق به این رویکرد است.

گاهی اوقات میانگین های متحرک به عنوان یک مرحله مقدماتی قبل از مدل سازی روند با استفاده از رویه های مرتبط با رویکرد تحلیلی استفاده می شود.

میانگین های متحرک امکان هموارسازی نوسانات تصادفی و دوره ای، شناسایی روند موجود در توسعه فرآیند را فراهم می کند و بنابراین به عنوان یک ابزار مهم در فیلتر کردن اجزای سری های زمانی عمل می کند.

الگوریتم هموارسازی میانگین متحرک ساده را می توان به صورت الگوریتم زیر نشان داد.

1. طول بازه هموارسازی g را که شامل g سطوح متوالی سری (g

2. کل دوره مشاهده را به بخش هایی تقسیم کنید، در حالی که به نظر می رسد فاصله هموارسازی در امتداد سری با یک پله برابر با 1 می لغزد.

3. میانگین های حسابی را از سطوح سری که هر طرح را تشکیل می دهند، محاسبه کنید.

4. مقادیر سری واقعی در مرکز هر نمودار را با میانگین مربوطه جایگزین کنید

در این حالت، راحت است که طول بازه هموارسازی g را به عنوان یک عدد فرد g=2p+1 در نظر بگیریم، زیرا در این حالت، مقادیر به دست آمده از میانگین متحرک روی عضو میانی بازه قرار می گیرد.

مشاهداتی که برای محاسبه میانگین انجام می شود منطقه هموارسازی فعال نامیده می شود.

برای مقدار فرد g، تمام سطوح سایت فعال را می توان به صورت زیر نشان داد:

و میانگین متحرک با فرمول تعیین می شود

جایی که − مقدار واقعی سطح -ام؛

- مقدار میانگین متحرک در حال حاضر؛

- طول فاصله صاف کردن.

روش هموارسازی منجر به حذف کامل نوسانات دوره ای در سری های زمانی می شود اگر طول بازه هموارسازی برابر یا مضربی از دوره نوسان در نظر گرفته شود.

برای حذف نوسانات فصلی، استفاده از میانگین متحرک چهار و دوازده مدت مطلوب است.

با تعداد سطوح زوج، مرسوم است که اولین و آخرین مشاهده در سایت فعال با نیم وزن انجام شود:

سپس، برای هموارسازی نوسانات هنگام کار با سری های زمانی دینامیک سه ماهه یا ماهانه، می توانید از میانگین متحرک زیر استفاده کنید:

اجازه دهید استفاده از میانگین متحرک را با توجه به مساحت کل اماکن مسکونی به ازای هر 1 نفر در قلمرو خاباروفسک در نظر بگیریم (جدول 2.1.1).

از آنجایی که دوره هموارسازی قابل توجیه نیست، محاسبات با میانگین متحرک 3 مدت شروع می شود. ما اولین سطح صاف شده را برای سال 1993 به دست می آوریم:

با تغییر متوالی شروع دوره لغزش به میزان یک سال، سطوح هموار شده را برای سال های بعدی می یابیم.

برای سال 94 میانگین متحرک خواهد بود

برای سال 1995 ، و غیره.

از آنجایی که میانگین متحرک به وسط بازه‌ای که برای آن محاسبه می‌شود اشاره دارد، سری دینامیکی سطوح هموار شده توسط یک سطح با دوره لغزشی فرد و با سطوح با دوره لغزشی زوج کاهش می‌یابد. بنابراین، در مثال ما، سری هموار شده برای میانگین سه مدت دو ترم و برای میانگین پنج ترم چهار ترم کوتاهتر شد (جدول 2.1.1).

هنگام محاسبه با میانگین متحرک زوج (در مثال ما، میانگین متحرک 4 مدت)، محاسبات به شرح زیر انجام می شود:

برای سال 1994 ;

1995 ;

1996 .

جدول 2.1.1 - نتایج هموارسازی با روش میانگین متحرک

سال ها	مساحت کل محل های مسکونی به ازای هر 1 نفر ساکن متر مربع،	سطوح صاف
میانگین متحرک ساده
3 ترم،	4 ترم،	5 ترم،	3 عضو	4 عضو	5 عضو
	15,4	-	-	-	-	-	-
	16,1	16,0	-	-	0,01	-	-
	16,5	16,4	16,3	16,3	0,01	0,026	0,040
	16,6	16,7	16,6	16,6	0,004	0,001	0,000
	16,9	16,8	16,8	16,8	0,004	0,006	0,006
	17,0	17,0	17,1	17,1		0,003	0,010
	17,1	17,3	17,4	17,4	0,05	0,083	0,102
	17,9	17,7	17,7	17,7	0,03	0,026	0,026
	18,2	18,2	18,2	18,2	0,00	0,000	0,000
	18,5	18,7	18,7	18,7	0,03	0,031	0,032
	19,3	19,1	19.1	19,0	0,04	0,056	0,068
	19,5	19,5	19,4	19,4		0,006	0,014
	19,7	19,7	-	-		-	-
	19,9	-	-	-	-	-	-
جمع	248,6	-	-	-	0,179	0,239	0,299

همانطور که از جدول 2.1.1 مشاهده می شود، میانگین متحرک سه دوره ای یک سری دینامیکی تراز شده با روند یک طرفه در سطوح را نشان می دهد. هموارسازی بر روی میانگین متحرک سه مدت، سری هموارتری به دست می دهد، زیرا برای میانگین متحرک سه مدته مجذور انحراف داده های واقعی () از هموار شده () (= 0.179) کمتر است (جدول). 2.1.1). به عبارت دیگر، میانگین متحرک سه ترم به بهترین شکل الگوی حرکت سطوح سری پویا را نشان می دهد.

پیش بینی سری های زمانی عنصر ضروری هر فعالیت سرمایه گذاری است. خود ایده سرمایه گذاری - سرمایه گذاری پول در حال حاضر به منظور ایجاد درآمد در آینده - بر اساس ایده پیش بینی آینده است. بر این اساس، پیش‌بینی سری‌های زمانی مالی زیربنای فعالیت‌های کل صنعت سرمایه‌گذاری - کلیه مبادلات و سیستم‌های معاملاتی اوراق بهادار خارج از بورس است.

فرآیندهای پویا که در سیستم های اقتصادی اتفاق می افتد اغلب خود را به صورت مجموعه ای از مقادیر متوالی مرتب شده در ترتیب زمانی یک یا شاخص دیگر نشان می دهد که در تغییرات آن نشان دهنده سیر توسعه پدیده مورد مطالعه در اقتصاد است. این ارزش‌ها، به ویژه، می‌توانند مدل‌های مختلف سیستم‌های اجتماعی-اقتصادی را اثبات کنند (یا انکار کنند). آنها همچنین به عنوان پایه ای برای توسعه مدل های پیش بینی کاربردی از نوع خاص عمل می کنند.

اگر یک روند بلندمدت در تغییر یک شاخص اقتصادی در سری زمانی وجود داشته باشد، می گویند یک روند وجود دارد. بنابراین، روند به عنوان تغییری درک می شود که جهت کلی توسعه، روند اصلی سری زمانی را تعیین می کند. در این راستا مدل پویایی اقتصادی-ریاضی که در آن توسعه نظام اقتصادی مدل شده از طریق روند شاخص های اصلی آن منعکس می شود، مدل روند نامیده می شود. برای شناسایی روند در سری های زمانی و همچنین برای ساخت و تحلیل مدل های روند، از دستگاه تئوری احتمال و آمار ریاضی استفاده می شود.

نوسانات کم و بیش منظم می تواند در سری زمانی فرآیندهای اقتصادی رخ دهد. اگر ماهیت آنها کاملاً دوره ای یا نزدیک به آن باشد و در عرض یک سال تکمیل شوند، به آنها نوسانات فصلی می گویند. در مواردی که دوره نوسانات چندین ساله است، گفته می شود که یک جزء چرخه ای در سری زمانی وجود دارد. مولفه های روند، فصلی و چرخه ای را مولفه های منظم یا سیستماتیک سری های زمانی می نامند. بخشی از سری زمانی که پس از انتخاب اجزای منظم از آن باقی می ماند، جزء تصادفی و نامنظم است. این جزء الزامی هر سری زمانی در اقتصاد است، زیرا انحرافات تصادفی ناگزیر با هر پدیده اقتصادی همراه است.

سری زمانی شاخص های اقتصادی را می توان به چهار عنصر ساختاری تجزیه کرد:

· روند، که اجزای آن با Ut نشان داده می شود، t = 1، 2، ...، n;

جزء فصلی که با Vt نشان داده می شود، t = 1، 2، ...، n;

جزء حلقوی که با Ct نشان داده می شود، t = 1، 2، ...، n;

· یک جزء تصادفی، که با εt، t = 1، 2، ...، n نشان داده می شود.

اگر مولفه‌های سیستماتیک سری‌های زمانی به درستی تعریف شده باشند، پس از انتخاب این مولفه‌ها از سری زمانی، آن چیزی که باقی می‌ماند (توالی باقیمانده) جزء تصادفی سری خواهد بود. این جزء دارای خواص زیر خواهد بود: نوسانات تصادفی در سطوح توالی باقیمانده. مطابقت توزیع مولفه تصادفی با قانون توزیع نرمال؛ برابری انتظارات ریاضی مولفه تصادفی به صفر. استقلال مقادیر سطوح توالی تصادفی، یعنی عدم وجود همبستگی معنی دار.

بررسی کفایت مدل‌های روند مبتنی بر بررسی اعتبار توالی باقی‌مانده این چهار ویژگی است. اگر حداقل یکی از آنها برآورده نشود، مدل ناکافی در نظر گرفته می شود. اگر هر چهار ویژگی راضی باشند، مدل مناسب است.

تجزیه و تحلیل اولیه سری زمانی شاخص های اقتصادی عمدتاً شامل شناسایی و حذف مقادیر غیرعادی سطوح سری و همچنین در تعیین وجود یک روند و ماهیت آن در سری زمانی اصلی است. پیش پردازش سری های زمانی شامل روش هایی برای تغییر سری های زمانی به منظور شناسایی واضح تر روندهای توسعه و هموارسازی سری های زمانی است.

سطح غیرعادی به عنوان یک مقدار جداگانه از سطح سری زمانی درک می شود که با قابلیت های بالقوه سیستم اقتصادی مورد مطالعه مطابقت ندارد و با باقی ماندن به عنوان سطح سری، تأثیر قابل توجهی بر مقادیر دارد. از ویژگی های اصلی سری های زمانی، از جمله مدل روند مربوطه. علل مشاهدات غیرعادی ممکن است خطاهای یک نظم فنی یا اشتباهات در انتقال اطلاعات باشد.

به منظور شناسایی واضح تر روند در توسعه فرآیند مورد مطالعه، از جمله برای کاربرد بیشتر روش های پیش بینی مبتنی بر مدل های روند، سری های زمانی هموار (تراز) می شوند.

روش های هموارسازی سری های زمانی به دو گروه اصلی تقسیم می شوند:

1) هم ترازی تحلیلی با استفاده از منحنی ترسیم شده بین سطوح خاص سری به طوری که روند ذاتی سری را منعکس کند و در عین حال آن را از نوسانات جزئی رها کند.

2) تراز مکانیکی سطوح فردی سری های زمانی با استفاده از مقادیر واقعی سطوح همسایه.

ماهیت روش های صافکاری مکانیکی به شرح زیر است. چند سطح اول سری های زمانی گرفته می شوند و فاصله هموارسازی را تشکیل می دهند. برای آنها یک چند جمله ای انتخاب می شود که درجه آن باید کمتر از تعداد سطوح موجود در فاصله هموارسازی باشد. با استفاده از یک چند جمله ای، مقادیر جدید و هم تراز سطوح در وسط فاصله هموارسازی تعیین می شود. بعد، فاصله هموارسازی یک سطح از سری به سمت راست منتقل می شود، مقدار هموار بعدی محاسبه می شود و غیره.

بنابراین می توان گفت که برای فعالیت مالی هر واحد تجاری باید بتواند منابع خود را به درستی و با حداکثر دقت برنامه ریزی کند تا به سودمندی اقتصادی دست یابد که به کارگیری صحیح شاخص های ریاضی و اقتصادی کمک شایانی می کند. آی تی.

در طول تراز تحلیلی سری های زمانی، مقادیر نظری (محاسبه شده) سری ها بر اساس فرض وابستگی آنها به زمان تعیین می شود، یعنی. y=f(تی). با این رویکرد، تغییر در شاخص مورد مطالعه تنها با گذشت زمان همراه است. تراز تحلیلی سری های زمانی شامل مراحل اصلی زیر است:

1) انتخاب نوع وابستگی عملکردی (فرم روند)، بیانگر ماهیت فرآیند مورد مطالعه.

2) محاسبه پارامترهای ناشناخته معادله روند.

3) محاسبه مقادیر تراز سطوح سری بر اساس معادله روند.

روند- این روند اصلی در توسعه پدیده در زمان، برخی از جهت گیری های کلی توسعه است. اشکال مختلفی از روندها را می توان برای تراز تحلیلی استفاده کرد، به عنوان مثال:

چند جمله ای درجه اول (تابع خطی، خط مستقیم): y = a + bt;

چند جمله ای درجه دوم (پارابولا): y \u003d a + bt + ct 2;

چند جمله ای درجه سوم (پارابولای مکعبی): y = a + bt + ct 2 +dt 3 ;

تابع توان: y = taو غیره.

برای تعیین بهترین شکل روند می توان از رویکردهای مختلفی استفاده کرد، به عنوان مثال:

1) بصری، بر اساس نمایش گرافیکی سری زمانی. اگر روند توسعه به وضوح در نمودار سری اصلی قابل مشاهده نباشد، می توان برخی از تبدیل های استاندارد سری را انجام داد، به عنوان مثال، صاف کردن. سپس یک تابع مربوط به نمودار سری تبدیل شده را انتخاب کنید.

2) سری زمانی معیار با استفاده از چندین نوع روند تراز شده است. نتایج به دست آمده با یکدیگر مقایسه می شوند. بهترین شکل روند می تواند شکلی باشد که برای آن مقدار بهینه برخی از معیارها به دست آید، مثلاً حداقل انحراف معیار.

پس از انتخاب فرم روند، پارامترهای معادله بر اساس برآورد می شوند روش حداقل مربعات(MNK).

میل به رسم منحنی، که در کل، نقاط منفرد نزدیک‌ترین نقطه به آن - داده‌های واقعی، به کمترین مربع‌ها متصل می‌شوند، به معیاری تبدیل می‌شود که براساس آن پارامترهای تابع باید طوری انتخاب شوند که مجموع مجذور انحراف داده های واقعی از روند حداقل است، به عنوان مثال:

جایی که y من- سطوح واقعی سری؛

- سطوح هم تراز از سری (نقاط روند).

به عنوان مثال، برای یک معادله خط مستقیم:

شرط لازم برای وجود یک نقطه حداقل برای تابعی از چندین متغیر، برابری مشتقات جزئی با صفر است، یعنی.

سیستم معادلات عادی برای یافتن پارامترهای معادله حداقل مربعات یک خط مستقیم به شکل زیر است:

با حل این سیستم معادلات، پارامترهای تابع را به دست می آوریم آو ب، یعنی معادله مورد نظر یک خط مستقیم محاسبه پارامترهای معادله را می توان ساده کرد اگر نماد زمان را به گونه ای معرفی کنیم که . برای انجام این کار، در مورد تعداد فرد از سطوح یک سری از دینامیک، زمان به صورت زیر نشان داده می شود:

t = ... -3; -2 -یک 0; یک 2 3;…

در این حالت، پارامترها طبق فرمول های زیر پیدا می شوند:

نمونه ای از تراز تحلیلی یک سری زمانی در شکل 1 نشان داده شده است. 9.3.

برنج. 9.3. تراز سری های زمانی بر اساس معادله خط مستقیم

تحلیل فصلی

یکی از وظایف تحلیل سری های زمانی، شناسایی فصلی بودن است. به فصلیشامل تمام پدیده هایی است که در توسعه خود یک الگوی واضح بیان شده از تغییرات درون سالانه را نشان می دهد، به عنوان مثال، نوسانات در سطوحی که به طور پیوسته از سال به سال تکرار می شوند.

اهداف مطالعه فصلی شامل موارد زیر است:

1) تعیین وجود نوسانات فصلی؛

2) آشکار کردن قدرت و ماهیت آنها در مراحل مختلف چرخه سالانه.

3) ویژگی های عوامل ایجاد کننده نوسانات فصلی.

4) مدلسازی ریاضی فصلی.

5) ارزیابی و حسابداری پیامدهای اقتصادی که ناشی از وجود نوسانات فصلی است.

رایج ترین روش برای مطالعه فصلی، محاسبه شاخص های فصلی است.

شاخص های فصلی شاخص هایی هستند که نتایج مقایسه سطوح واقعی یک ماه یا سه ماهه معین را با سطوح تخمینی مشخص می کنند که به روش های مختلف قابل تعیین است.

شاخص های فصلی فردیفصلی بودن را در محدوده یک سال خاص مشخص کنید. شاخص های فصلی عمومی (متوسط).روند ثابت فصلی را برای چندین سال مشخص می کند. یعنی شاخص‌های فصلی کلی میانگین شاخص‌های فصلی فردی برای هر ماه یا سه ماهه است. nسال ها.

; ,

شاخص فصلی فردی کجاست منماه یا سه ماهه در تی- سال;

من sez من- شاخص کلی فصلی من-ماه یا سه ماهه.

من- شماره ماه یا سه ماهه؛

من= 1-12 (اگر من- شماره ماه) یا من= 1-4 (اگر من- تعداد سه ماهه)؛

y من- سطوح واقعی سری؛

- سطوح ردیف تراز شده؛

روش های مختلفی برای یافتن مقادیر تعدیل شده سری های زمانی () در تحلیل فصلی وجود دارد. رایج ترین آنها شامل تعریف میانگین (سطح متوسط سری)، تراز بر اساس میانگین متحرک، تشخیص روند است.

هنگام تجزیه و تحلیل نوسانات فصلی بر اساس میانگین، روش محاسبه زیر باید رعایت شود:

1) مقادیر متوسط ماهانه یا متوسط سه ماهه سطوح سری های زمانی در هر سال محاسبه می شود:

جایی که L- طول چرخه فصلی: L= 12 برای ماه های سال، L= 4 برای سه ماهه سال.

2) برای هر سال، نسبت سطوح ماهانه به میانگین ماهانه (یا سه ماهه به متوسط سه ماهه) محاسبه می شود، یعنی. شاخص های فصلی فردی یافت می شود:

3) برای به دست آوردن یک تصویر معمولی از نوسانات فصلی، این نسبت ها برای هر ماه (سه ماهه) طی چند سال به طور میانگین محاسبه می شوند، یعنی. شاخص های فصلی عمومی یافت می شوند:

استفاده از شاخص‌های فصلی در نمودار به شما امکان می‌دهد یک تصویر دریافت کنید موج فصلی.

یکی از متداول‌ترین روش‌ها برای مدل‌سازی روند یک سری زمانی، ساخت یک تابع تحلیلی (یک روند، یا یک روند با یک جزء چرخه‌ای یا (و) فصلی) است که وابستگی سطوح سری به زمان را مشخص می‌کند. این روش نامیده می شود تراز تحلیلی سری های زمانی

برای حل این مشکل ابتدا باید نوع تابع را انتخاب کنید. متداول ترین توابع مورد استفاده عبارتند از:

خطی -

چند جمله ای -

نمایی -

لجستیک -

· گومپرزا -

این مرحله بسیار مهمی از تحقیق است. هنگام انتخاب تابع مناسب، از تحلیل معنی دار (که می تواند ماهیت پویایی فرآیند را مشخص کند)، مشاهدات بصری (بر اساس نمایش گرافیکی سری های زمانی) استفاده می شود. هنگام انتخاب یک تابع چند جمله ای، می توان از روش تفاوت های متوالی (شامل محاسبه تفاوت های مرتبه اول، دوم) استفاده کرد. و غیره)، و ترتیب تفاوت ها، که در آن تقریباً یکسان خواهند بود، به عنوان درجه چند جمله ای در نظر گرفته می شود.

از بین دو تابع، معمولاً تابعی است که در آن مجموع انحرافات مجذور داده های واقعی از توابع محاسبه شده بر اساس این توابع کوچکتر باشد. اما این اصل را نمی توان به نقطه پوچ رساند: به عنوان مثال، برای هر سری از نقاط، می توانید یک چند جمله ای درجه هفتم را انتخاب کنید که از همه نقاط عبور می کند، و بر این اساس، با حداقل - صفر - مجموع انحرافات مجذور، اما در این مورد، بدیهی است که با توجه به ماهیت تصادفی این نقاط، نباید در مورد انتخاب روند زیربنایی صحبت کرد. بنابراین، ceteris paribus، باید به توابع ساده تر اولویت داده شود.

پارامترهای روند اصلی را می توان با استفاده از روش حداقل مربعات تعیین کرد. در عین حال، مقادیر سری زمانی به عنوان یک متغیر وابسته و زمان - به عنوان یک متغیر توضیحی در نظر گرفته می شود:

اغتشاشاتی که پیش نیازهای اصلی تحلیل رگرسیون را برآورده می کنند، کجا هستند، یعنی. نشان دهنده متغیرهای تصادفی مستقل و با توزیع یکسان، که توزیع آنها نرمال فرض می شود.

با توجه به روش حداقل مربعات، پارامترهای خط مستقیم از سیستم معادلات نرمال (2.5) بدست می آید که در آن موارد زیر را می گیریم:

(7.10)

با توجه به اینکه مقادیر متغیر یک سری طبیعی از اعداد از 1 تا 1 را تشکیل می دهند، با استفاده از فرمول های شناخته شده در ریاضیات می توان مجموع را بر حسب تعداد اعضای سری بیان کرد:

(7.11)

در مثال در نظر گرفته شده 2 در صفحه 79، سیستم معادلات عادی به شکل زیر است:

از آنجا معادله روند، یعنی. تقاضا سالانه به طور متوسط 25.7 واحد افزایش می یابد.

اجازه دهید اهمیت معادله روند به دست آمده را بررسی کنیم افمعیار در سطح معنی داری 5 درصد، با استفاده از فرمول (3.40) مجموع مربع ها را محاسبه می کنیم:

الف) به دلیل رگرسیون -

ب) عمومی -

ج) باقیمانده

بیایید ارزش آمار را پیدا کنیم:

از آنجایی که معادله روند معنادار است.

روش دیگر تسطیح (هموارسازی) سری های زمانی، یعنی. انتخاب یک جزء غیر تصادفی روش میانگین متحرک است. این بر اساس انتقال از مقادیر اولیه اعضای سری به مقادیر متوسط آنها در یک بازه زمانی است که طول آن از قبل تعیین می شود. در این مورد، بازه زمانی انتخاب شده خود در امتداد سری "اسلاید" می شود.

سری میانگین‌های متحرک حاصل، به دلیل میانگین‌گیری انحرافات سری، روان‌تر از سری اصلی رفتار می‌کنند.

تراز تحلیلی سری های زمانی ساخت یک تابع تحلیلی، یک مدل روند است. برای این، انواع مختلفی از توابع استفاده می شود: خطی، استپی، سهمی و غیره.

پارامترهای روند مانند رگرسیون حداقل مربعات خطی تعیین می شوند که زمان متغیر مستقل و سطوح سری زمانی متغیر وابسته هستند. ملاک انتخاب بهترین شکل روند، بزرگترین مقدار ضریب تعیین، معیارهای فیشر و دانشجو است.

اجازه دهید فرض کنیم که برخی از مدل های نظری وابستگی خطی یکی از ویژگی های سیستم را به دیگری فرض می کند:

y= Y من ک من · ایکس من

(منتعداد متغیرهای مستقل است). کار به شرح زیر است: با پارامترهای ثابت ایکسو مقادیر اندازه گیری شده yمحاسبه بردار پارامتر ک ، که برخی از معیارهای بهینه را برآورده می کند.

در روش حداقل مربعات، این معیار حداقل مجموع مجذور انحرافات مقادیر محاسبه شده است. yاز مشاهده شده (تجربی):

دقیقه من (y اس، من - y من)І.

برای یافتن حداقل تابع، این عبارت باید با توجه به پارامترها متمایز شود و برابر با صفر (شرط حداقل) تنظیم شود. در نتیجه، جستجوی حداقل مجموع مربعات را می توان به عملیات ساده با ماتریس کاهش داد.

اگر مدل نظری یک وابستگی خطی به یک پارامتر باشد ( y = آ + ب· ایکس، سپس راه حل به شکل فرمول های ساده بیان می شود:

ز = nدر ایکس منمن - (U ایکس من)І;

آ= (Y y مندر ایکس منمن - یو y من ایکس مندر ایکس من) / ز; اس آ І = اس yمن ایکس من І / ز;

ب = (nدر y من ایکس من- یو y مندر ایکس من) / ز; اس ب І = اس y І n / ز;

اس yمن = Y( y اس، من - y من)І / ( n - 2)

(y اس، من- ارزش محاسبه شده، y من- مقدار اندازه گیری تجربی)

هنگام محاسبه خطاها، فرض می شود که دقت مقادیر x به طور قابل توجهی از دقت مقادیر اندازه گیری شده بیشتر است. yکه خطای اندازه گیری آن از توزیع نرمال تبعیت می کند.

خود همبستگی در باقیمانده ها - وابستگی همبستگی بین مقادیر باقیمانده برای لحظات فعلی و قبلی زمان.

مدل‌های رگرسیون خطی با باقیمانده‌های هم‌سداستیک و ناهمسان، مستقل و خودهمبسته. همانطور که از موارد بالا می بینیم، نکته اصلی "پاکسازی" سری زمانی از انحرافات تصادفی است، یعنی. برآورد انتظارات ریاضی از اینجا به طور طبیعی مدل های پیچیده تری پدیدار می شوند. برای مثال، واریانس ممکن است به زمان بستگی داشته باشد. به این گونه مدل ها هتروسکداستیک و مدل هایی که در آنها وابستگی زمانی وجود ندارد هموسکداستیک می گویند. (به طور دقیق تر، این عبارات می توانند نه تنها به متغیر "زمان"، بلکه به سایر متغیرها نیز اشاره کنند.) اگر خطاها به هیچ وجه مرتبط نیستند، تابع همبستگی خودکار باید منحط باشد - اگر آرگومان ها برابر باشند برابر با 1 و 0 اگر مساوی نباشند. واضح است که این موضوع همیشه برای سریال های زمان واقعی صدق نمی کند. اگر سیر طبیعی تغییرات در فرآیند مشاهده شده در مقایسه با فاصله بین مشاهدات متوالی به اندازه کافی سریع باشد، می توان "محو شدن" خودهمبستگی و به دست آوردن باقیمانده های عملاً مستقل را پیش بینی کرد، در غیر این صورت باقیمانده ها همبستگی خودکار خواهند داشت.

شناسایی مدل معمولاً به عنوان آشکار ساختن آنها و برآورد پارامترها درک می شود. از آنجایی که ساختار نیز یک پارامتر است، هرچند غیر عددی، ما در مورد یکی از وظایف معمول اقتصاد سنجی - تخمین پارامتر صحبت می کنیم.

مسئله تخمین به سادگی برای مدل‌های خطی (از نظر پارامترها) با باقیمانده‌های مستقل هموسداستیک حل می‌شود. بازیابی وابستگی‌ها در سری‌های زمانی را می‌توان بر اساس روش‌های حداقل مربعات و حداقل مدول‌ها انجام داد، نتایج مربوط به تخمین مجموعه رگرسیورهای مورد نیاز به سری‌های زمانی منتقل می‌شود، به ویژه، به‌دست آوردن محدودکننده آسان است. توزیع هندسی تخمین درجه یک چند جمله ای مثلثاتی.

با این حال، چنین انتقال ساده به یک وضعیت عمومی تر توصیه نمی شود. مثلاً در مورد سری زمانی با باقیمانده‌های ناهم‌همبسته و خودهمبسته، مجدداً می‌توانید از روش کلی روش حداقل مربعات استفاده کنید، اما سیستم معادلات روش حداقل مربعات و طبیعتاً حل آن متفاوت خواهد بود. . فرمول ها متفاوت خواهد بود. در این رابطه، این روش «روش حداقل مربعات تعمیم یافته (GLS)» نامیده می شود.

اجازه دهید یک مدل اقتصادسنجی از یک سری زمانی را که رشد شاخص قیمت مصرف کننده (شاخص تورم) را توصیف می کند، تحلیل کنیم. فرض کنید I(t) افزایش قیمت در ماه t باشد. بنابراین، به گفته برخی از اقتصاددانان، طبیعی است که فرض کنیم:

I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+

در جایی که I(t-1) افزایش قیمت در ماه قبل است (و c مقداری ضریب میرایی است، با فرض اینکه در غیاب تأثیرات خارجی، افزایش قیمت متوقف شود)، a ثابت است (مطابق با یک تغییر خطی است. در ارزش I(t) در طول زمان)، bS(t-4) - اصطلاح مربوط به اثر انتشار پول (یعنی افزایش مقدار پول در اقتصاد کشور، که توسط بانک مرکزی انجام می شود. ) به مقدار S(t-4) و متناسب با موضوع با ضریب b و این اثر بلافاصله ظاهر نمی شود و بعد از 4 ماه. در نهایت، این یک خطای اجتناب ناپذیر است.

این مدل، اگرچه ساده است، اما بسیاری از ویژگی های مدل های اقتصاد سنجی بسیار پیچیده تر را نشان می دهد. ابتدا به این نکته توجه می کنیم که برخی از متغیرها در داخل مدل به صورت I(t) تعریف (محاسبه) شده اند. آنها درون زا (داخلی) نامیده می شوند. بقیه از خارج تنظیم می شوند (اینها متغیرهای برونزا هستند). گاهی اوقات، مانند تئوری مدیریت، در بین متغیرهای برونزا، متغیرهای کنترل شده متمایز می شوند - آنهایی که با کمک آنها مدیر می تواند سیستم را به وضعیت مورد نیاز خود برساند.

در مرحله دوم، متغیرهای انواع جدید در نسبت ظاهر می شوند - با تاخیر، یعنی. آرگومان های موجود در متغیرها به لحظه فعلی در زمان اشاره نمی کنند، بلکه به برخی از لحظات گذشته اشاره می کنند.

سوم، تدوین یک مدل اقتصادسنجی از این نوع به هیچ وجه یک عملیات معمولی نیست. به عنوان مثال، تأخیر دقیقاً 4 ماهه در مدت مربوط به موضوع پول، نتیجه یک پردازش آماری اولیه نسبتاً پیچیده است.

اجرای خاص رویه روش حداقل مربعات به حل این موضوع بستگی دارد.

از طرف دیگر، در مدل (1) تنها 3 پارامتر مجهول وجود دارد و نوشتن فرمول روش حداقل مربعات کار دشواری نیست:

در مرحله بعد، این نوع مدل را با تعداد زیادی متغیر درون زا و برون زا، با تاخیر و ساختار داخلی پیچیده در نظر بگیرید. به عبارت دیگر، از هیچ جا بر نمی آید که حداقل یک راه حل برای چنین سیستمی وجود داشته باشد. این نه یک، بلکه دو مشکل را ایجاد می کند. آیا حتی یک راه حل وجود دارد؟ اگر بله، چگونه می توان بهترین راه حل ممکن را پیدا کرد؟ (این یک مشکل تخمین پارامترهای آماری است.)

هر دو کار بسیار دشوار است. برای حل هر دو مشکل، روش‌های زیادی توسعه یافته‌اند، معمولاً بسیار پیچیده، که فقط برخی از آنها توجیه علمی دارند. به طور خاص، اغلب از برآوردهای آماری استفاده می شود که سازگار نیستند (به بیان دقیق، حتی نمی توان آنها را تخمین نامید).

اجازه دهید به طور خلاصه برخی از تکنیک های رایج را در هنگام کار با سیستم های معادلات اقتصاد سنجی خطی شرح دهیم.

سیستم معادلات اقتصاد سنجی خطی همزمان. صرفاً به طور رسمی، همه متغیرها را می توان بر حسب متغیرهایی بیان کرد که فقط به لحظه فعلی در زمان بستگی دارند. برای مثال در مورد معادله فوق به قرار دادن بسنده می شود

H(t)=I(t-1)، G(t)=S(t-4)

سپس معادله نمونه ای از فرم است

I(t)=cH(t)+a+bG(t)+

اجازه دهید بلافاصله به امکان استفاده از مدل های رگرسیون با ساختار متغیر با معرفی متغیرهای ساختگی توجه کنیم. این متغیرها در برخی از مقادیر زمانی (مثلاً مقادیر اولیه) مقادیر قابل توجهی می گیرند و در برخی دیگر ناپدید می شوند (در واقع برابر با 0 می شوند). در نتیجه، به طور رسمی (ریاضی) یک مدل وابستگی های کاملاً متفاوتی را توصیف می کند.

همانطور که در بالا ذکر شد، روش های زیادی برای تحلیل اکتشافی سیستم های معادلات اقتصادسنجی ایجاد شده است. این روش ها برای حل مسائل خاصی طراحی شده اند که هنگام تلاش برای یافتن راه حل های عددی برای سیستم های معادلات به وجود می آیند.

یکی از مشکلات وجود محدودیت های پیشینی در پارامترهای برآورد شده است. به عنوان مثال، درآمد خانوار می تواند صرف مصرف یا پس انداز شود. از این رو مجموع سهام این دو نوع مخارج پیشینی برابر با 1 است و در نظام معادلات اقتصاد سنجی این سهام می توانند به طور مستقل شرکت کنند. از این رو این ایده مطرح می شود که آنها را با روش حداقل مربعات ارزیابی کنیم، محدودیت پیشینی را نادیده بگیریم و سپس آنها را اصلاح کنیم. این رویکرد را روش حداقل مربعات غیر مستقیم می نامند.

روش دو مرحله ای حداقل مربعات در این واقعیت نهفته است که روش فوق پارامترهای یک معادله جداگانه از سیستم را ارزیابی می کند و سیستم را به عنوان یک کل در نظر نمی گیرد. و همچنین از روش سه مرحله ای حداقل مربعات برای تخمین پارامترهای سیستم معادلات همزمان به عنوان یک کل استفاده می شود. در ابتدا یک روش دو مرحله ای برای هر معادله اعمال می شود که تنها هدف آن برآورد ضرایب و خطاهای هر معادله و سپس ساخت تخمینی برای ماتریس کوواریانس خطا است. سپس از روش حداقل مربعات تعمیم یافته برای تخمین ضرایب کل سیستم استفاده می شود.

به یک مدیر و اقتصاددان توصیه نمی شود که در زمینه تدوین و حل سیستم معادلات اقتصاد سنجی حتی با استفاده از نرم افزارهای خاص متخصص باشد، اما باید از امکان این جهت از اقتصاد سنجی مطلع شود. تدوین تکلیف برای متخصصان اقتصاد سنجی در صورت نیاز تولید.

از تخمین روند (روند اصلی)، اجازه دهید به دومین وظیفه اصلی اقتصاد سنجی سری زمانی - تخمین دوره (چرخه) برویم.

مشکل ناهمسانی. بیایید با مدل های ثابت شروع کنیم. آنها دارای توابع توزیع مشترک F(t 1 , t 2 ,…,t k ) برای هر تعداد از نقاط زمانی k هستند و بنابراین تمام ویژگی های سری زمانی ذکر شده در بالا با زمان تغییر نمی کنند. به طور خاص، انتظارات ریاضی و واریانس ثابت هستند، تابع همبستگی خودکار تنها به تفاوت t-s بستگی دارد. سری های زمانی که ساکن نیستند را غیر ساکن می گویند.

ناهمگونی یک ویژگی از موارد اولیه است، زمانی که واریانس خطا به عدد مشاهده بستگی دارد. در نمودار، ناهمگونی در این واقعیت آشکار می شود که با افزایش یا کاهش در شماره سریال اندازه گیری، پراکندگی اندازه گیری ها در اطراف خط روند افزایش می یابد. این می تواند منجر به خطاهای قابل توجهی در برآورد ضرایب معادله رگرسیون شود. ناهمگونی زمانی اتفاق می افتد که اشیا به طور کلی ناهمگن باشند. چندین روش اصلاحی وجود دارد که مشکل ناهمسانی را حل می کند. موثرترین آنها روش حداقل مربعات وزنی است.

ماهیت روش بسیار ساده است. بگذارید مدل اصلی به نظر برسد

سپس با تقسیم هر عنصر سیستم بر مقدار yt به سیستم دیگری می رسیم

که در آن y t2 = y 2w، واریانس وزنی.

Wt = n، n تعداد اندازه گیری ها است.

بنابراین، با این تحول، ناهمسانی را حذف می کنیم.

علاوه بر این، گرفتن لگاریتم داده های اولیه نیز در برخی موارد باعث کاهش خطا در تعیین پارامترهای مدل ناشی از ناهمسانی می شود.