درس تصویری "روش گرافیکی برای حل سیستم معادلات" ارائه می شود مطالب آموزشیبرای بررسی این موضوع مواد حاوی مفهوم کلیدر مورد حل یک سیستم معادلات، و همچنین توضیح مفصلدر مثالی از نحوه حل نموداری سیستم معادلات.

کمک بصری از انیمیشن برای اجرای راحت تر و قابل فهم تر ساخت و سازها و همچنین استفاده می کند روش های مختلفبرجسته کردن مفاهیم و جزئیات مهم برای درک عمیق مطالب، به خاطر سپردن بهتر.

آموزش تصویری با معرفی موضوع شروع می شود. به دانش‌آموزان یادآوری می‌شود که سیستم معادلات چیست و قبلاً باید در کلاس هفتم با چه سیستم‌هایی از معادلات آشنا می‌شدند. قبلاً دانش‌آموزان باید سیستم‌های معادلات به شکل ax+by=c را حل می‌کردند. با تعمیق مفهوم حل سیستم معادلات و به منظور ایجاد توانایی حل آنها، در این آموزش تصویری حل یک سیستم متشکل از دو معادله درجه دوم و همچنین یک معادله درجه دوم و دوم مورد بحث قرار گرفته است. - درجه یک به شما یادآوری می کند که راه حل یک سیستم معادلات چیست. تعریف راه حل سیستم به عنوان یک جفت مقادیر متغیرهایی که معادلات آن را در هنگام جایگزینی به برابری صحیح معکوس می کنند، روی صفحه نمایش داده می شود. مطابق با تعریف راه حل سیستم، وظیفه مشخص می شود. به یاد داشته باشید که حل یک سیستم به معنای یافتن راه حل های مناسب یا اثبات عدم وجود آنها بر روی صفحه نمایش داده می شود.

تسلط بر روش گرافیکی حل یک سیستم معین از معادلات پیشنهاد شده است. کاربرد این روش بر روی مثال حل یک سیستم متشکل از معادلات x 2 +y 2 =16 و y=-x 2 +2x+4 در نظر گرفته شده است. راه حل گرافیکیسیستم با ترسیم هر یک از این معادلات شروع می شود. بدیهی است که نمودار معادله x 2 + y 2 \u003d 16 یک دایره خواهد بود. نقاط متعلق به این دایره راه حل معادله هستند. در کنار معادله ساخته شده است هواپیمای مختصاتدایره ای به شعاع 4 با مرکز O در مبدا. نمودار معادله دوم سهمی است که شاخه های آن پایین آمده است. این سهمی بر روی صفحه مختصات، مطابق با نمودار معادله ساخته شده است. هر نقطه متعلق به سهمی راه حلی برای معادله y \u003d -x 2 + 2x + 4 است. توضیح داده شده است که حل یک سیستم معادلات، نقاطی از نمودارها هستند که به طور همزمان به نمودارهای هر دو معادله تعلق دارند. این بدان معنی است که نقاط تقاطع نمودارهای ساخته شده راه حلی برای سیستم معادلات خواهد بود.

خاطرنشان می شود که روش گرافیکی شامل یافتن مقدار تقریبی مختصات نقاط واقع در تقاطع دو نمودار است که مجموعه راه حل های هر معادله سیستم را منعکس می کند. شکل مختصات نقاط تقاطع یافت شده دو نمودار را نشان می دهد: A، B، C، D[-2;-3.5]. این نقاط راه حل های سیستم معادلات هستند که به صورت گرافیکی یافت می شوند. می توانید صحت آنها را با جایگزین کردن آنها در معادله و به دست آوردن یک برابری منصفانه بررسی کنید. پس از جایگزینی نقاط در معادله، مشاهده می شود که برخی از نقاط مقدار دقیق راه حل را نشان می دهند و برخی نیز مقدار تقریبی حل معادله را نشان می دهند: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2، y 2 ≈3.5; x 3 ≈3.5، y 3 \u003d -2؛ x 4 \u003d -2، y 4 ≈ -3.5.

فیلم آموزشی ماهیت و کاربرد روش گرافیکی برای حل یک سیستم معادلات را با جزئیات توضیح می دهد. این امکان استفاده از آن را به عنوان کمک تصویری در درس جبر در مدرسه در هنگام مطالعه این مبحث فراهم می کند. همچنین، مواد مفید خواهد بود برای خودخواندانش آموزان و می توانند به توضیح موضوع در آموزش از راه دور کمک کنند.

یکی از راه های حل معادلات، روش گرافیکی است. این بر اساس رسم توابع و تعیین نقاط تقاطع آنها است. یک روش گرافیکی برای حل معادله درجه دوم a*x^2+b*x+c=0 در نظر بگیرید.

اولین راه حل

اجازه دهید معادله a*x^2+b*x+c=0 را به شکل a*x^2 =-b*x-c تبدیل کنیم. ما نمودارهایی از دو تابع y= a*x^2 (پارابولا) و y=-b*x-c (خط مستقیم) می سازیم. به دنبال نقاط تقاطع ابسیساهای نقاط تقاطع راه حل معادله خواهند بود.

بیایید با یک مثال نشان دهیم:معادله x^2-2*x-3=0 را حل کنید.

بیایید آن را به x^2 =2*x+3 تبدیل کنیم. ما نمودارهای توابع y= x^2 و y=2*x+3 را در یک سیستم مختصات می سازیم.

نمودارها در دو نقطه تلاقی می کنند. ابسیساهای آنها ریشه معادله ما خواهد بود.

محلول فرمول

برای قانع شدن، این راه حل را به صورت تحلیلی بررسی می کنیم. تصمیم خواهیم گرفت معادله درجه دومطبق فرمول:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

به معنای، راه حل ها مطابقت دارند

روش گرافیکی حل معادلات نیز دارای اشکالاتی است که با کمک آن همیشه نمی توان جواب دقیق معادله را به دست آورد. بیایید سعی کنیم معادله x^2=3+x را حل کنیم.

بیایید یک سهمی y=x^2 و یک خط مستقیم y=3+x را در همان سیستم مختصات بسازیم.

دوباره گرفتم نقاشی مشابه. یک خط و یک سهمی در دو نقطه یکدیگر را قطع می کنند. ولی مقادیر دقیقنمی‌توانیم ابسیسا این نقاط را بگوییم، فقط موارد تقریبی: x≈-1.3 x≈2.3.

اگر از پاسخ های با چنین دقتی راضی باشیم، می توانیم از این روش استفاده کنیم، اما به ندرت این اتفاق می افتد. معمولاً راه حل های دقیقی مورد نیاز است. بنابراین، روش گرافیکی به ندرت و عمدتاً برای بررسی راه حل های موجود استفاده می شود.

برای مطالعات خود به کمک نیاز دارید؟

در این درس به حل سیستم های دو معادله با دو متغیر می پردازیم. ابتدا حل گرافیکی یک سیستم از دو معادله خطی را در نظر بگیرید، مشخصات کلیت نمودارهای آنها. سپس چندین سیستم را با استفاده از روش گرافیکی حل می کنیم.

موضوع: سیستم های معادلات

درس: روش گرافیکیحل سیستم معادلات

سیستم را در نظر بگیرید

جفت اعدادی که به طور همزمان جواب هر دو معادله اول و دوم سیستم باشد نامیده می شود. حل سیستم معادلات.

حل یک سیستم معادلات به معنای یافتن تمام راه‌حل‌های آن است، یا ثابت کردن اینکه هیچ راه‌حلی وجود ندارد. ما نمودارهای معادلات اساسی را در نظر گرفتیم، اجازه دهید به بررسی سیستم ها بپردازیم.

مثال 1. حل سیستم

راه حل:

این معادلات خطی هستند، نمودار هر یک از آنها یک خط مستقیم است. نمودار معادله اول از نقاط (0; 1) و (-1; 0) عبور می کند. نمودار معادله دوم از نقاط (0; -1) و (-1; 0) عبور می کند. خطوط در نقطه (-1؛ 0) قطع می شوند، این راه حل برای سیستم معادلات است ( برنج. 1).

جواب سیستم یک جفت اعداد است که با جایگزینی این جفت اعداد در هر معادله برابری صحیح را بدست می آوریم.

ما تنها راه حل را پیدا کردیم سیستم خطی.

به یاد بیاورید که هنگام حل یک سیستم خطی، موارد زیر ممکن است:

سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد - خطوط قطع می شوند،

سیستم هیچ راه حلی ندارد - خطوط موازی هستند،

سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است - خطوط منطبق هستند.

ما یک مورد خاص از سیستم را در نظر گرفته ایم، زمانی که p(x; y) و q(x; y) عبارت های خطی x و y هستند.

مثال 2. حل یک سیستم معادلات

راه حل:

نمودار معادله اول یک خط مستقیم است، نمودار معادله دوم یک دایره است. بیایید اولین نمودار را با نقاط بسازیم (شکل 2).

مرکز دایره در نقطه O(0; 0) است، شعاع آن 1 است.

نمودارها در نقطه A (0; 1) و نقطه B (-1; 0) قطع می شوند.

مثال 3. سیستم را به صورت گرافیکی حل کنید

راه حل: بیایید یک نمودار از معادله اول بسازیم - این یک دایره با مرکز در نقطه O (0؛ 0) و شعاع 2 است. نمودار معادله دوم یک سهمی است. نسبت به مبدا 2 به سمت بالا جابه جا می شود، یعنی. بالای آن نقطه (0؛ 2) است (شکل 3).

نمودارها یکی دارند نقطه مشترک- t. A (0; 2). راه حل سیستم است. برای بررسی صحت، چند عدد را در معادله جایگزین کنید.

مثال 4. حل سیستم

راه حل: بیایید یک نمودار از معادله اول بسازیم - این یک دایره با مرکز در نقطه O (0؛ 0) و شعاع 1 است (شکل 4).

بیایید یک نمودار از تابع این یک خط شکسته بسازیم (شکل 5).

حالا بیایید آن را 1 در امتداد محور oy به پایین حرکت دهیم. این نمودار تابع خواهد بود

بیایید هر دو نمودار را در یک سیستم مختصات قرار دهیم (شکل 6).

ما سه نقطه تقاطع دریافت می کنیم - نقطه A (1؛ 0)، نقطه B (-1؛ 0)، نقطه C (0؛ -1).

ما یک روش گرافیکی برای حل سیستم ها در نظر گرفته ایم. اگر بتوان هر معادله را نمودار کرد و مختصات نقاط تقاطع را پیدا کرد، این روش کاملاً کافی است.

اما اغلب روش گرافیکی این امکان را می دهد که فقط یک راه حل تقریبی سیستم را پیدا کنید یا به سؤال در مورد تعداد راه حل ها پاسخ دهید. بنابراین روش های دیگری دقیق تر مورد نیاز است که در درس های بعدی به آنها خواهیم پرداخت.

1. موردکوویچ A.G. و دیگران جبر پایه نهم: Proc. برای آموزش عمومی موسسات - ویرایش چهارم. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.

2. موردکوویچ A.G. و همکاران جبر کلاس 9: کتاب کار برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina و همکاران - ویرایش 4. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.

3. یو.ن. ماکاریچف، جبر. پایه نهم: کتاب درسی. برای دانش آموزان آموزش عمومی مؤسسات / Yu. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، I. E. Feoktistov. - ویرایش هفتم، کشیش. و اضافی - M.: Mnemosyne، 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. جبر. درجه 9 ویرایش شانزدهم - م.، 2011. - 287 ص.

5. موردکوویچ A. G. جبر. درجه 9 در ساعت 2 بعد از ظهر قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - چاپ دوازدهم، پاک شد. - M.: 2010. - 224 p.: ill.

6. جبر. درجه 9 در 2 ساعت. قسمت 2. کتاب کار برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، L. A. Aleksandrova، T. N. Mishustina و دیگران؛ اد. A. G. Mordkovich. - چاپ دوازدهم، Rev. - M.: 2010.-223 p.: ill.

1. بخش College.ru در مورد ریاضیات ().

2. پروژه اینترنتی "وظایف" ().

3. پورتال آموزشی"من استفاده را حل خواهم کرد" ().

1. موردکوویچ A.G. و همکاران جبر کلاس 9: کتاب کار برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina و همکاران - ویرایش 4. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. شماره 105، 107، 114، 115.

قابل اعتمادتر از روش گرافیکی مورد بحث در پاراگراف قبلی.

روش تعویض

ما از این روش در کلاس هفتم برای حل سیستم معادلات خطی استفاده کردیم. الگوریتمی که در کلاس هفتم ایجاد شد برای حل سیستم های هر دو معادله (نه لزوما خطی) با دو متغیر x و y کاملاً مناسب است (البته متغیرها را می توان با حروف دیگری نشان داد که مهم نیست). در واقع از این الگوریتم در قسمت قبل استفاده کردیم که مشکل از دو رقمیمنجر شد به مدل ریاضی، که یک سیستم معادلات است. ما این سیستم معادلات فوق را با روش جایگزینی حل کردیم (به مثال 1 از § 4 مراجعه کنید).

الگوریتم استفاده از روش جایگزینی هنگام حل یک سیستم دو معادله با دو متغیر x, y.

1. y را بر حسب x از یک معادله سیستم بیان کنید.
2. عبارت حاصل را به جای y در معادله دیگری از سیستم جایگزین کنید.
3. معادله بدست آمده را برای x حل کنید.
4. هر یک از ریشه های معادله موجود در مرحله سوم را به جای x با عبارت y تا x به دست آمده در مرحله اول جایگزین کنید.
5. پاسخ را به صورت جفت مقادیر (x; y) که به ترتیب در مرحله سوم و چهارم پیدا شده اند، یادداشت کنید.

4) هر یک از مقادیر یافت شده y را به نوبه خود با فرمول x \u003d 5 - Zy جایگزین کنید. اگر پس از آن
5) جفت (2؛ 1) و راه حل های یک سیستم معین از معادلات.

پاسخ: (2؛ 1);

روش جمع جبری

این روش مانند روش جایگزینی از درس جبر پایه هفتم که برای حل سیستم معادلات خطی استفاده می شد برای شما آشناست. ماهیت روش را در مثال زیر به یاد می آوریم.

مثال 2حل یک سیستم معادلات

تمام عبارت های معادله اول سیستم را در 3 ضرب می کنیم و معادله دوم را بدون تغییر می گذاریم:
معادله دوم سیستم را از معادله اول کم کنید:

در نتیجه جمع جبری دو معادله سیستم اصلی، معادله ای به دست آمد که از معادله اول و دوم سیستم داده شده ساده تر است. با این معادله ساده تر، ما حق داریم هر معادله ای از یک سیستم معین را جایگزین کنیم، مثلاً معادله دوم. سپس سیستم معادلات داده شده با یک سیستم ساده تر جایگزین می شود:

این سیستم با روش جایگزینی قابل حل است. از معادله دوم می یابیم که با جایگزینی این عبارت به جای y در معادله اول سیستم، به دست می آوریم.

باقی مانده است که مقادیر یافت شده x را در فرمول جایگزین کنیم.

اگر x = 2 پس

بنابراین، ما دو راه حل برای سیستم پیدا کرده ایم:

روشی برای معرفی متغیرهای جدید

با روش معرفی متغیر جدید در حل معادلات گویا با یک متغیر در درس جبر پایه هشتم آشنا شدید. ماهیت این روش برای حل سیستم معادلات یکسان است، اما از نظر فنی ویژگی هایی دارد که در مثال های زیر به آنها خواهیم پرداخت.

مثال 3حل یک سیستم معادلات

اجازه دهید یک متغیر جدید معرفی کنیم سپس اولین معادله سیستم را می توان در موارد بیشتری بازنویسی کرد فرم ساده: بیایید این معادله را برای متغیر t حل کنیم:

هر دوی این مقادیر شرط را برآورده می کنند و بنابراین ریشه هستند معادله منطقیبا متغیر t. اما این بدان معناست که یا از جایی که می‌یابیم x = 2y، یا
بنابراین، با استفاده از روش معرفی یک متغیر جدید، موفق شدیم که معادله اول سیستم را که از نظر ظاهری کاملاً پیچیده است، به دو معادله ساده تر "طبقه بندی" کنیم:

x = 2 y; y - 2x.

بعدش چی؟ و سپس هر دو دریافت کردند معادلات سادهلازم است به نوبه خود در سیستم با معادله x 2 - y 2 \u003d 3 در نظر بگیریم که هنوز آن را به خاطر نیاورده ایم. به عبارت دیگر، مسئله به حل دو سیستم معادله خلاصه می شود:

باید راه حل هایی برای سیستم اول، سیستم دوم پیدا کرد و تمام جفت مقادیر حاصل را در پاسخ گنجاند. بیایید اولین سیستم معادلات را حل کنیم:

بیایید از روش جایگزینی استفاده کنیم، به خصوص که در اینجا همه چیز برای آن آماده است: عبارت 2y را به جای x در معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم. گرفتن

از آنجایی که x \u003d 2y، به ترتیب x 1 \u003d 2، x 2 \u003d 2 را پیدا می کنیم. بنابراین، دو راه حل برای سیستم داده شده به دست می آید: (2؛ 1) و (-2؛ -1). بیایید سیستم معادلات دوم را حل کنیم:

بیایید دوباره از روش جایگزینی استفاده کنیم: عبارت 2x را به جای y در معادله دوم سیستم جایگزین می کنیم. گرفتن

این معادله ریشه ندارد، یعنی سیستم معادلات هیچ راه حلی ندارد. بنابراین تنها راه حل های سیستم اول باید در پاسخ گنجانده شود.

پاسخ: (2؛ 1); (-2;-1).

روش معرفی متغیرهای جدید در حل سیستم های دو معادله با دو متغیر در دو نسخه استفاده می شود. گزینه اول: یک متغیر جدید تنها در یک معادله سیستم معرفی و استفاده می شود. این دقیقا همان چیزی است که در مثال 3 رخ داد. گزینه دوم: دو متغیر جدید به طور همزمان در هر دو معادله سیستم معرفی و استفاده می شوند. این مورد در مثال 4 خواهد بود.

مثال 4حل یک سیستم معادلات

بیایید دو متغیر جدید را معرفی کنیم:

اونوقت یاد میگیریم

این به شما امکان می دهد بازنویسی کنید سیستم داده شدهبه شکلی بسیار ساده تر، اما با توجه به متغیرهای جدید a و b:

از آنجایی که a \u003d 1، سپس از معادله a + 6 \u003d 2 پیدا می کنیم: 1 + 6 \u003d 2؛ 6=1. بنابراین، برای متغیرهای a و b، یک راه حل دریافت کردیم:

با بازگشت به متغیرهای x و y، سیستم معادلات را بدست می آوریم

برای حل این سیستم از روش استفاده می کنیم جمع جبری:

از آن زمان از معادله 2x + y = 3 به دست می آوریم:
بنابراین، برای متغیرهای x و y، یک راه حل دریافت کردیم:

اجازه دهید این بخش را با یک بحث نظری کوتاه اما نسبتاً جدی به پایان برسانیم. آیا قبلاً در حل کردن تجربه کسب کرده اید معادلات مختلف: خطی، مربع، عقلانی، غیر منطقی. می دانید که ایده اصلی حل یک معادله این است که به تدریج از یک معادله به معادله دیگر، ساده تر اما معادل معادله داده شده حرکت کنید. در بخش قبل مفهوم هم ارزی معادلات با دو متغیر را معرفی کردیم. این مفهوم همچنین برای سیستم های معادلات استفاده می شود.

تعریف.

دو سیستم معادله با متغیرهای x و y اگر جوابهای یکسانی داشته باشند یا هر دو سیستم هیچ جوابی نداشته باشند، معادل هستند.

هر سه روش (جایگزینی، جمع جبری و معرفی متغیرهای جدید) که در این قسمت به آن پرداختیم، از نظر هم ارزی کاملاً صحیح هستند. به عبارت دیگر، با استفاده از این روش ها، یک سیستم معادلات را با سیستم دیگری، ساده تر، اما معادل سیستم اصلی جایگزین می کنیم.

روش گرافیکی برای حل سیستم معادلات

ما قبلاً یاد گرفته‌ایم که چگونه سیستم‌های معادلات را به روش‌های متداول و قابل اعتمادی مانند روش جایگزینی، جمع جبری و معرفی متغیرهای جدید حل کنیم. و اکنون بیایید روشی را که قبلاً در درس قبلی مطالعه کرده اید به یاد بیاوریم. یعنی آنچه را که در مورد روش حل گرافیکی می دانید تکرار کنیم.

روش حل گرافیکی سیستم معادلات، ساختن یک نمودار برای هر یک از معادلات خاصی است که در این سیستم گنجانده شده و در همان صفحه مختصات قرار دارند و همچنین در جایی که لازم است محل تلاقی نقاط این نمودارها را پیدا کنید. . برای حل این سیستم معادلات مختصات این نقطه (x; y) است.

باید به خاطر داشت که برای سیستم گرافیکیمعادلات تمایل دارند که یکی از آنها منحصر به فرد باشد تصمیم درست، یا تعداد بی نهایت راه حل، یا اصلاً راه حلی ندارند.

حال بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از این راه حل ها بیندازیم. و بنابراین، سیستم معادلات می تواند یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد اگر خطوط، که نمودار معادلات سیستم هستند، قطع شوند. اگر این خطوط موازی باشند، چنین سیستم معادلاتی مطلقاً هیچ راه حلی ندارد. در صورت همزمانی نمودارهای مستقیم معادلات سیستم، چنین سیستمی به شما امکان می دهد راه حل های زیادی را پیدا کنید.

خب حالا بیایید نگاهی به الگوریتم حل یک سیستم دو معادله با 2 مجهول با استفاده از روش گرافیکی بیندازیم:

ابتدا، در ابتدا نموداری از معادله 1 می سازیم.
مرحله دوم ترسیم نموداری است که به معادله دوم مربوط می شود.
ثالثاً باید نقاط تقاطع نمودارها را پیدا کنیم.
و در نتیجه مختصات هر نقطه تقاطع را بدست می آوریم که جواب سیستم معادلات خواهد بود.

بیایید با یک مثال به این روش با جزئیات بیشتری نگاه کنیم. به ما یک سیستم معادلات داده می شود که باید حل شود:

حل معادلات

1. ابتدا نموداری از این معادله می سازیم: x2+y2=9.

اما لازم به ذکر است که این نمودار معادلات دایره ای خواهد بود که در مرکز مبدا قرار دارد و شعاع آن برابر با سه خواهد بود.

2. مرحله بعدی ما ترسیم معادله ای مانند: y = x - 3 خواهد بود.

در این حالت باید یک خط بسازیم و نقاط (0;−3) و (3;0) را پیدا کنیم.

3. بیایید ببینیم چه چیزی به دست آوردیم. می بینیم که خط در دو نقطه A و B دایره را قطع می کند.

حال به دنبال مختصات این نقاط هستیم. می بینیم که مختصات (3;0) با نقطه A و مختصات (0;-3) با نقطه B مطابقت دارند.

و در نتیجه چه چیزی بدست می آوریم؟

اعداد (3;0) و (0;-3) که در تقاطع یک خط مستقیم با یک دایره به دست می آیند، دقیقاً جواب هر دو معادله سیستم هستند. و از اینجا نتیجه می گیرد که این اعداد نیز راه حل های این سیستم معادلات هستند.

یعنی جواب این جواب اعداد: (3;0) و (0;−3) است.

سطح اول

حل معادلات، نابرابری ها، سیستم ها با استفاده از نمودار تابع. راهنمای تصویری (2019)

بسیاری از کارهایی که ما به محاسبه صرف جبری عادت داریم بسیار ساده تر و سریعتر حل می شوند، استفاده از نمودارهای تابع به ما در این امر کمک می کند. شما می گویید "چطور؟" برای کشیدن چیزی، و چه چیزی را ترسیم کنیم؟ به من اعتماد کنید، گاهی اوقات راحت تر و راحت تر است. شروع کنیم؟ بیایید با معادلات شروع کنیم!

حل گرافیکی معادلات

حل گرافیکی معادلات خطی

همانطور که می دانید، نمودار یک معادله خطی یک خط مستقیم است، از این رو نام این نوع است. حل معادلات خطی از نظر جبری بسیار آسان است - ما همه مجهولات را به یک طرف معادله منتقل می کنیم، همه چیزهایی را که می دانیم - به طرف دیگر، و voila! ما ریشه را پیدا کرده ایم. حالا من به شما نشان خواهم داد که چگونه این کار را انجام دهید روش گرافیکی

بنابراین شما یک معادله دارید:

چگونه آن را حل کنیم؟
انتخاب 1و متداول ترین آن انتقال مجهولات به یک طرف و شناخته شده به طرف دیگر است، دریافت می کنیم:

و اکنون در حال ساختن هستیم. چی به دست آوردی؟

به نظر شما ریشه معادله ما چیست؟ درست است، مختصات نقطه تقاطع نمودارها:

پاسخ ما این است

این کل حکمت راه حل گرافیکی است. همانطور که به راحتی می توانید بررسی کنید، ریشه معادله ما یک عدد است!

همانطور که در بالا گفتم، این رایج ترین گزینه است، نزدیک به حل جبری، اما می توان آن را به روش دیگری نیز انجام داد. برای در نظر گرفتن یک راه حل جایگزین، اجازه دهید به معادله خود بازگردیم:

این بار ما چیزی را از این طرف به سمت دیگر منتقل نمی کنیم، بلکه مستقیماً نمودارها را می سازیم، همانطور که اکنون هستند:

ساخته شده؟ نگاه کن

این بار چاره چیست؟ خیلی خوب. همان مختصات نقطه تقاطع نمودارها است:

و باز هم پاسخ ما این است.

همانطور که می بینید، با معادلات خطیهمه چیز بسیار ساده است وقت آن است که چیزهای پیچیده تری را در نظر بگیریم... به عنوان مثال، حل گرافیکی معادلات درجه دوم

حل گرافیکی معادلات درجه دوم

خب حالا بیایید حل معادله درجه دوم را شروع کنیم. فرض کنید باید ریشه های این معادله را پیدا کنید:

البته، اکنون می توانید شمارش را از طریق ممیز یا طبق قضیه ویتا شروع کنید، اما بسیاری از افراد روی اعصاب هنگام ضرب یا مربع کردن اشتباه می کنند، به خصوص اگر مثال با اعداد بزرگ، و همانطور که می دانید در امتحان ماشین حساب نخواهید داشت ... بنابراین ، بیایید سعی کنیم کمی استراحت کنیم و در حین حل این معادله نقاشی بکشیم.

شما می توانید راه حل های این معادله را به صورت گرافیکی پیدا کنید. روش های مختلف. در نظر گرفتن گزینه های مختلفو شما می توانید انتخاب کنید که کدام را بیشتر دوست دارید.

روش 1. به طور مستقیم

ما فقط یک سهمی را طبق این معادله می سازیم:

برای اینکه سریع تر انجام شود، یک نکته کوچک به شما می دهم: شروع ساخت با تعیین رأس سهمی راحت است.فرمول های زیر به تعیین مختصات راس سهمی کمک می کند:

شما می گویید "ایست! فرمول برای بسیار شبیه به فرمول برای یافتن متمایز "بله، این است، و این یک نقطه ضعف بزرگ" مستقیم "ساختن یک سهمی برای یافتن ریشه های آن است. با این حال، بیایید تا آخر بشماریم، و سپس به شما نشان خواهم داد که چگونه آن را بسیار (بسیار!) آسان تر کنید!

حساب کردی؟ مختصات راس سهمی چیست؟ بیایید با هم بفهمیم:

دقیقا همون جواب؟ آفرین! و اکنون مختصات رأس را می دانیم و برای ساختن سهمی به ... نقاط بیشتری نیاز داریم. به نظر شما چه تعداد حداقل امتیاز نیاز داریم؟ به درستی، .

می دانید که سهمی نسبت به رأس خود متقارن است، برای مثال:

بر این اساس، ما به دو نقطه دیگر در امتداد شاخه چپ یا راست سهمی نیاز داریم و در آینده به طور متقارن این نقاط را در طرف مقابل منعکس خواهیم کرد:

به سهمی خود برمی گردیم. برای مورد ما، نکته. ما به ترتیب به دو امتیاز دیگر نیاز داریم، آیا می توانیم نکات مثبت را بگیریم، اما آیا می توانیم منفی را بگیریم؟ بهترین امتیاز برای شما چیست؟ برای من راحت تر است که با موارد مثبت کار کنم ، بنابراین با و محاسبه خواهم کرد.

اکنون ما سه نقطه داریم و به راحتی می توانیم سهمی خود را با انعکاس دو بسازیم آخرین امتیازدر مورد بالای آن:

به نظر شما راه حل معادله چیست؟ درست است، نقاطی که در آن، یعنی، و. زیرا.

و اگر بگوییم یعنی باید مساوی باشد یا.

فقط؟ ما حل معادله را با شما به روش گرافیکی پیچیده به پایان رسانده ایم، وگرنه بیشتر خواهد شد!

البته، می توانید پاسخ ما را به صورت جبری بررسی کنید - می توانید ریشه ها را از طریق قضیه Vieta یا Discriminant محاسبه کنید. چی به دست آوردی؟ یکسان؟ در اینجا می بینید! حالا بیایید یک راه حل گرافیکی بسیار ساده ببینیم، مطمئنم که آن را بسیار دوست خواهید داشت!

روش 2. تقسیم به چندین تابع

بیایید همه چیز را نیز معادله خود در نظر بگیریم: ، اما آن را به روشی متفاوت می نویسیم، یعنی:

آیا می توانیم آن را اینگونه بنویسیم؟ ما می توانیم، زیرا تبدیل معادل است. بیایید بیشتر نگاه کنیم.

بیایید دو تابع را جداگانه بسازیم:

1. - نمودار یک سهمی ساده است که حتی بدون تعریف رأس با استفاده از فرمول ها و ایجاد جدول برای تعیین نقاط دیگر به راحتی می توانید آن را بسازید.
2. - نمودار یک خط مستقیم است که می توانید به راحتی آن را با تخمین مقادیر و در ذهن خود بدون استفاده از ماشین حساب بسازید.

ساخته شده؟ با چیزی که من گرفتم مقایسه کنید:

به نظر شما ریشه معادله در این مورد چیست؟ به درستی! مختصات توسط، که با تلاقی دو نمودار به دست می آیند، یعنی:

بر این اساس، جواب این معادله به صورت زیر است:

چه می گویید؟ موافقم، این روش راه حل بسیار ساده تر از روش قبلی و حتی ساده تر از جستجوی ریشه از طریق تشخیص است! اگر چنین است، این روش را برای حل معادله زیر امتحان کنید:

چی به دست آوردی؟ بیایید نمودارهای خود را با هم مقایسه کنیم:

نمودارها نشان می دهند که پاسخ ها عبارتند از:

توانستی مدیریت کنی؟ آفرین! حالا بیایید به معادلات کمی پیچیده تر نگاه کنیم، یعنی حل معادلات مختلط، یعنی معادلات حاوی توابع از انواع مختلف.

حل گرافیکی معادلات مختلط

حالا بیایید سعی کنیم موارد زیر را حل کنیم:

البته، شما می توانید همه چیز را به یک مخرج مشترک بیاورید، ریشه های معادله حاصل را بیابید، در حالی که فراموش نکنید که ODZ را در نظر بگیرید، اما دوباره، ما سعی می کنیم آن را به صورت گرافیکی حل کنیم، همانطور که در همه موارد قبلی انجام دادیم.

این بار 2 نمودار زیر را رسم می کنیم:

1. - نمودار یک هذلولی است
2. - یک نمودار یک خط مستقیم است که می توانید به راحتی با تخمین مقادیر و در ذهن خود بدون استفاده از ماشین حساب ایجاد کنید.

متوجه شد؟ حالا شروع به ساختن کنید.

این چیزی است که برای من اتفاق افتاد:

با نگاهی به این تصویر، ریشه های معادله ما چیست؟

درست است و. اینم تاییدیه:

سعی کنید ریشه های ما را به معادله متصل کنید. اتفاق افتاد؟

خیلی خوب! موافقم، حل گرافیکی چنین معادلاتی لذت بخش است!

سعی کنید معادله را خودتان به صورت گرافیکی حل کنید:

من به شما یک راهنمایی می کنم: بخشی از معادله را به سمت راست حرکت دهید تا هر دو طرف ساده ترین توابع را برای ساختن داشته باشند. اشاره کردید؟ اقدام به!

حالا بیایید ببینیم چه چیزی بدست آورده اید:

به ترتیب:

1. - سهمی مکعبی
2. - یک خط مستقیم معمولی

خوب، ما در حال ساختن هستیم:

همانطور که برای مدت طولانی یادداشت کردید، ریشه این معادله - است.

با حل چنین تعداد زیادی مثال، مطمئنم متوجه شده اید که چگونه می توانید به راحتی و به سرعت معادلات را به صورت گرافیکی حل کنید. زمان آن فرا رسیده است که بفهمیم چگونه سیستم ها را به این روش حل کنیم.

راه حل گرافیکی سیستم ها

حل گرافیکی سیستم ها اساساً هیچ تفاوتی با حل گرافیکی معادلات ندارد. ما همچنین دو نمودار خواهیم ساخت که نقاط تقاطع آنها ریشه های این سیستم خواهد بود. یک نمودار یک معادله است، نمودار دوم یک معادله دیگر. همه چیز بسیار ساده است!

بیایید با ساده ترین - حل سیستم های معادلات خطی شروع کنیم.

حل سیستم معادلات خطی

فرض کنید سیستم زیر را داریم:

برای شروع، ما آن را به گونه ای تغییر می دهیم که در سمت چپ هر چیزی که به آن متصل است و در سمت راست - آنچه با آن مرتبط است وجود دارد. به عبارت دیگر، این معادلات را به صورت تابعی به شکل معمول برای خود می نویسیم:

و اکنون ما فقط دو خط مستقیم می سازیم. راه حل در مورد ما چیست؟ به درستی! نقطه تقاطع آنها! و در اینجا شما باید بسیار بسیار مراقب باشید! فکر کن چرا؟ من به شما یک اشاره می کنم: ما با یک سیستم سر و کار داریم: سیستم هر دو را دارد و... متوجه شدی؟

خیلی خوب! هنگام حل سیستم باید به هر دو مختصات نگاه کنیم و نه تنها مانند حل معادلات! نکته مهم دیگر این است که آنها را به درستی یادداشت کنیم و گیج نکنیم که کجا ارزش داریم و کجا! ثبت شده؟ حالا بیایید همه چیز را به ترتیب مقایسه کنیم:

و پاسخ می دهد: i. چک کنید - ریشه های پیدا شده را جایگزین سیستم کنید و مطمئن شوید که آن را به صورت گرافیکی درست حل کرده ایم؟

حل سیستم معادلات غیر خطی

اما اگر به جای یک خط مستقیم، یک معادله درجه دوم داشته باشیم چه؟ مشکلی نیست! شما فقط به جای خط مستقیم یک سهمی می سازید! اعتماد نکن؟ سعی کنید سیستم زیر را حل کنید:

قدم بعدی ما چیست؟ درست است، آن را یادداشت کنید تا ساختن نمودارها برای ما راحت باشد:

و اکنون همه چیز در مورد چیز کوچک است - من آن را به سرعت ساختم و در اینجا راه حل برای شما وجود دارد! ساختمان:

گرافیکش یکیه؟ حالا راه حل های سیستم را در تصویر علامت بزنید و پاسخ های فاش شده را به درستی یادداشت کنید!

من همه کارها را انجام داده ام؟ با یادداشت های من مقایسه کنید:

خیلی خوب؟ آفرین! شما قبلاً روی کارهایی مانند آجیل کلیک کرده اید! و اگر چنین است، اجازه دهید یک سیستم پیچیده تر به شما ارائه دهیم:

ما چه کار می کنیم؟ به درستی! ما سیستم را طوری می نویسیم که ساخت آن راحت باشد:

من به شما یک اشاره کوچک می کنم، زیرا سیستم بسیار پیچیده به نظر می رسد! هنگام ساختن نمودارها، آنها را "بیشتر" بسازید و مهمتر از همه، از تعداد نقاط تقاطع تعجب نکنید.

پس بزن بریم! بازدم؟ اکنون شروع به ساختن کنید!

خوب، چطور؟ خوش تیپ؟ چند نقطه تقاطع به دست آوردید؟ من سه تا دارم! بیایید نمودارهای خود را با هم مقایسه کنیم:

همون روش؟ اکنون تمام راه حل های سیستم ما را با دقت بنویسید:

حالا دوباره به سیستم نگاه کنید:

آیا می توانید تصور کنید که آن را فقط در 15 دقیقه حل کردید؟ موافقم، ریاضیات هنوز ساده است، مخصوصاً وقتی به یک عبارت نگاه می کنید، از اشتباه کردن نمی ترسید، بلکه آن را می گیرید و تصمیم می گیرید! تو پسر بزرگی هستی

حل گرافیکی نابرابری ها

حل گرافیکی نابرابری های خطی

بعد از آخرین مثال، شما در حال انجام وظیفه هستید! اکنون بازدم - در مقایسه با بخش های قبلی، این یکی بسیار بسیار آسان خواهد بود!

ما طبق معمول با یک راه حل گرافیکی شروع خواهیم کرد نابرابری خطی. مثلا این یکی:

برای شروع، ما ساده ترین تبدیل ها را انجام خواهیم داد - براکت های مربع های کامل را باز می کنیم و اصطلاحات مشابهی را ارائه می دهیم:

نابرابری سخت نیست، بنابراین - در بازه گنجانده نشده است، و راه حل تمام نقاط سمت راست خواهد بود، زیرا بیشتر، بیشتر و غیره:

پاسخ:

همین! به آسانی؟ بیایید یک نابرابری ساده را با دو متغیر حل کنیم:

بیایید یک تابع در سیستم مختصات رسم کنیم.

آیا شما چنین نموداری دارید؟ و اکنون ما با دقت به آنچه در نابرابری داریم نگاه می کنیم؟ کمتر؟ بنابراین، روی هر چیزی که در سمت چپ خط مستقیم ما قرار دارد، نقاشی می کنیم. اگه بیشتر بود چی؟ درست است، سپس روی هر چیزی که در سمت راست خط مستقیم ما قرار دارد نقاشی می‌کردند. همه چیز ساده است.

همه راه حل های این نابرابری "سایه دار" هستند نارنجی. تمام شد، نابرابری دو متغیر حل شد. این بدان معنی است که مختصات و هر نقطه از ناحیه سایه دار راه حل هستند.

حل گرافیکی نابرابری های درجه دوم

حال به چگونگی حل گرافیکی نابرابری های درجه دوم می پردازیم.

اما قبل از اینکه مستقیماً به اصل مطلب بپردازیم، اجازه دهید مواردی را در مورد تابع مربع خلاصه کنیم.

ممیز مسئول چیست؟ این درست است، برای موقعیت نمودار نسبت به محور (اگر این را به خاطر ندارید، تئوری مربوط به توابع درجه دوم را حتما بخوانید).

در هر صورت، در اینجا یک یادآوری کوچک برای شما وجود دارد:

اکنون که همه مطالب را در حافظه خود تازه کرده ایم، بیایید به کار بپردازیم - نابرابری را به صورت گرافیکی حل خواهیم کرد.

من بلافاصله به شما می گویم که دو گزینه برای حل آن وجود دارد.

انتخاب 1

سهمی خود را به صورت تابع می نویسیم:

با استفاده از فرمول ها، مختصات راس سهمی را تعیین می کنیم (همانطور که هنگام حل معادلات درجه دوم):

حساب کردی؟ چی به دست آوردی؟

حالا بیایید دو مورد دیگر را در نظر بگیریم نقاط مختلفو برای آنها محاسبه کنید:

ما شروع به ساختن یک شاخه از سهمی می کنیم:

ما به طور متقارن نقاط خود را در شاخه دیگری از سهمی منعکس می کنیم:

اکنون به نابرابری خود برگردیم.

به ترتیب باید کمتر از صفر باشد:

از آنجایی که در نابرابری ما یک علامت به شدت کمتر وجود دارد، ما نقاط پایانی را حذف می کنیم - "بیرون می زنیم".

پاسخ:

راه طولانی، درست است؟ حالا من یک نسخه ساده تر از راه حل گرافیکی را با استفاده از همان نابرابری به عنوان مثال به شما نشان می دهم:

گزینه 2

ما به نابرابری خود برمی گردیم و فواصل مورد نیاز خود را مشخص می کنیم:

موافقم، خیلی سریعتر است.

حالا بیایید جواب را یادداشت کنیم:

بیایید روش حل دیگری را در نظر بگیریم که بخش جبری را ساده می کند، اما نکته اصلی این است که گیج نشویم.

ضلع چپ و راست را در:

سعی کنید موارد زیر را حل کنید نابرابری مربعبه هر شکلی که دوست دارید

توانستی مدیریت کنی؟

ببینید نمودار من چطور شد:

پاسخ: .

حل گرافیکی نابرابری های مختلط

حالا بیایید به سراغ نابرابری های پیچیده تر برویم!

چگونه این را دوست دارید:

وحشتناک است، درست است؟ راستش را بخواهید، من نمی دانم چگونه این را به صورت جبری حل کنم ... اما، لازم نیست. از نظر گرافیکی، هیچ چیز پیچیده ای در این وجود ندارد! چشم ها می ترسند، اما دست ها انجام می دهند!

اولین چیزی که با آن شروع می کنیم ساخت دو نمودار است:

من یک جدول برای همه نمی نویسم - مطمئن هستم که می توانید این کار را به تنهایی انجام دهید (البته مثال های زیادی برای حل وجود دارد!).

نقاشی شده؟ حالا دو نمودار بسازید.

بیایید نقاشی هایمان را با هم مقایسه کنیم؟

آیا شما هم همین را دارید؟ عالی! حالا بیایید نقاط تقاطع را قرار دهیم و با رنگ مشخص کنیم که کدام نمودار باید در تئوری بزرگتر باشد، یعنی. ببین آخرش چی شد:

و اکنون ما فقط به این نگاه می کنیم که نمودار انتخابی ما کجا بالاتر از نمودار است؟ با خیال راحت یک مداد بردارید و روی این قسمت نقاشی کنید! راه حلی برای نابرابری پیچیده ما خواهد بود!

در امتداد محور از چه فواصلی بالاتر هستیم؟ درست، . این جواب است!

خوب، حالا شما می توانید هر معادله و هر سیستمی و حتی بیشتر از آن هر نابرابری را مدیریت کنید!

به طور خلاصه در مورد اصلی

الگوریتم حل معادلات با استفاده از نمودار تابع:

1. بیان از طریق
2. نوع تابع را تعریف کنید
3. بیایید نمودارهایی از توابع حاصل بسازیم
4. نقاط تقاطع نمودارها را پیدا کنید
5. پاسخ را به درستی یادداشت کنید (با در نظر گرفتن علائم ODZ و نابرابری)
6. پاسخ را بررسی کنید (ریشه های معادله یا سیستم را جایگزین کنید)

برای اطلاعات بیشتر در مورد رسم نمودارهای تابع، به مبحث "" مراجعه کنید.