خلاصه: حل گرافیکی معادلات. چگونه یک معادله درجه دوم را به صورت گرافیکی حل کنیم

در برنامه ریزی خطی از روش گرافیکی برای تعیین مجموعه های محدب (چند وجهی حل) استفاده می شود. اگر وظیفه اصلی برنامه ریزی خطییک طرح بهینه دارد، سپس تابع هدف در یکی از رئوس چندوجهی تصمیم گیری مقدار می گیرد (شکل را ببینید).

واگذاری خدمات. با استفاده از این سرویس می توانید مشکل برنامه نویسی خطی را به روش هندسی به صورت آنلاین حل کنید و همچنین برای مسئله دوگانه (تخمین استفاده بهینه از منابع) راه حلی دریافت کنید. علاوه بر این، یک الگوی راه حل در اکسل ایجاد می شود.

دستورالعمل. تعداد ردیف ها (تعداد محدودیت) را انتخاب کنید.

اگر تعداد متغیرها بیش از دو باشد، لازم است سیستم را به SZLP برسانید (به مثال و مثال شماره 2 مراجعه کنید). اگر محدودیت دو برابر باشد، به عنوان مثال، 1 ≤ x 1 ≤ 4، آنگاه به دو قسمت تقسیم می شود: x 1 ≥ 1، x 1 ≤ 4 (یعنی تعداد ردیف ها 1 افزایش می یابد).
همچنین می توانید با استفاده از این سرویس یک منطقه راه حل عملی (DDR) بسازید.

موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:
روش ساده برای حل LLP

حل مشکل حمل و نقل
راه حل بازی ماتریس
با استفاده از خدمات آنلاین، می توانید قیمت را تعیین کنید بازی ماتریسی(کرانه های پایین و بالایی)، نقطه زینی را بررسی کنید، با استفاده از روش های زیر راه حلی برای یک استراتژی ترکیبی پیدا کنید: مینی ماکس، روش سیمپلکس، روش گرافیکی (هندسی)، روش براون.
حداکثر یک تابع از دو متغیر
محاسبه حد

حل مسئله برنامه ریزی خطی روش گرافیکیشامل مراحل زیر می باشد:

خطوط در هواپیما X 1 0X 2 ساخته شده است.
نیم هواپیما تعریف شده است.
یک چند ضلعی تصمیم را تعریف کنید.
یک بردار N(c 1 ,c 2) بسازید که جهت تابع هدف را نشان می دهد.
تابع هدف مستقیم را حرکت دهید c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 در جهت بردار N تا نقطه افراطیچند ضلعی حل
مختصات نقطه و مقدار تابع هدف را در این نقطه محاسبه کنید.

در این حالت، شرایط زیر ممکن است رخ دهد:

مثال. این شرکت دو نوع محصول را تولید می کند - P1 و P2. برای تولید محصولات از دو نوع مواد اولیه - C1 و C2 استفاده می شود. قیمت عمده فروشی یک واحد تولیدی برابر با 5 متر مربع می باشد برای P1 و 4 c.u. برای P2. میزان مصرف مواد اولیه در واحد تولید نوع P1 و نوع P2 در جدول آورده شده است.
جدول - مصرف مواد اولیه برای تولید

محدودیت در تقاضا برای محصولات ایجاد شده است: حجم روزانه تولید محصولات P2 نباید بیش از 1 تن از حجم روزانه تولید محصولات P1 تجاوز کند. حداکثر تولید روزانه P2 نباید بیش از 2 تن باشد.
لازم است تعیین شود:
شرکت باید چند محصول از هر نوع تولید کند تا درآمد حاصل از فروش محصولات را به حداکثر برساند؟

فرموله کنید مدل ریاضیمشکلات برنامه ریزی خطی
یک مسئله برنامه ریزی خطی را به صورت گرافیکی (برای دو متغیر) حل کنید.

راه حل.
اجازه دهید یک مدل ریاضی از یک مسئله برنامه ریزی خطی را فرموله کنیم.
x 1 - تولید P1، واحد.
x 2 - تولید محصولات P2، واحد.
x 1، x 2 ≥ 0

محدودیت منابع
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6

محدودیت های تقاضا
x 1 +1 ≥ x 2
x2 ≤ 2

تابع هدف
5x1 + 4x2 → حداکثر

سپس LLP زیر را دریافت می کنیم:
6x1 + 4x2 ≤ 24
x1 + 2x2 ≤ 6
x 2 - x 1 ≤ 1
x2 ≤ 2
x 1، x 2 ≥ 0
5x1 + 4x2 → حداکثر

راه حل گرافیکیمعادلات

هیدی، 2009

مقدمه

نیاز به حل معادلات درجه دوم در دوران باستان به دلیل نیاز به حل مسائل مربوط به یافتن مناطق زمین و کارهای خاکی با ماهیت نظامی و همچنین توسعه خود نجوم و ریاضیات بود. بابلی ها می دانستند که چگونه معادلات درجه دوم را حدود 2000 سال قبل از میلاد حل کنند. قاعده حل این معادلات که در متون بابلی بیان شده است، اساساً با معادلات امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند.

فرمول های حل معادلات درجه دوم در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است، بیان شد. کتاب او به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد.

ولی قانون کلیحل معادلات درجه دوم، با تمام ترکیبات ممکن ضرایب b و c، در اروپا تنها در سال 1544 توسط M. Stiefel فرموله شد.

در سال 1591 فرانسوا ویت فرمول هایی را برای حل معادلات درجه دوم معرفی کرد.

برخی از انواع معادلات درجه دوم را می توان در بابل باستان حل کرد.

دیوفانتوس اسکندریه و اقلیدس, خوارزمیو عمر خیامحل معادلات به روش های هندسی و گرافیکی

در کلاس هفتم توابع را مطالعه کردیم y \u003d C، y=kx، y =kx+ متر، y =ایکس 2,y = -ایکس 2, در کلاس هشتم - y = √ایکس، y =|ایکس|, y=تبر2 + bx+ ج، y =ک/ ایکس. در کتاب جبر پایه نهم توابعی دیدم که هنوز برایم شناخته نشده بودند: y=ایکس 3, y=ایکس 4,y=ایکس 2n، y=ایکس- 2n، y= 3√ایکس, (ایکس– آ) 2 + (y -ب) 2 = r 2 و دیگران. قوانینی برای ساخت نمودارهای این توابع وجود دارد. می خواستم بدانم آیا عملکردهای دیگری وجود دارد که از این قوانین پیروی می کند؟

کار من مطالعه نمودار توابع و حل معادلات گرافیکی است.

1. توابع چیست

نمودار یک تابع مجموعه ای از تمام نقاط است هواپیمای مختصاتکه ابسیساهای آن برابر با مقادیر آرگومان ها و مختصات آن برابر با مقادیر مربوط به تابع هستند.

تابع خطیتوسط معادله داده شده است y=kx+ ب، جایی که کو ب- تعدادی اعداد نمودار این تابع یک خط مستقیم است.

عملکرد نسبت معکوس y=ک/ ایکس، که در آن k ¹ 0. نمودار این تابع هذلولی نامیده می شود.

عملکرد (ایکس– آ) 2 + (y -ب) 2 = r2 ، جایی که آ, بو r- تعدادی اعداد نمودار این تابع دایره ای به شعاع r است که در نقطه A ( آ, ب).

تابع درجه دوم y= تبر2 + bx+ ججایی که آ،ب، با- تعدادی اعداد و آ¹ 0. نمودار این تابع یک سهمی است.

معادله در2 (آ– ایکس) = ایکس2 (آ+ ایکس) . نمودار این معادله منحنی به نام استروفوئید خواهد بود.

/>معادله (ایکس2 + y2 ) 2 = آ(ایکس2 – y2 ) . نمودار این معادله برنولی lemniscate نام دارد.

معادله. نمودار این معادله اختر نامیده می شود.

منحنی (ایکس2 y2 - 2 در x)2 =4 a2 (ایکس2 +y2 ) . این منحنی کاردیوئید نامیده می شود.

کارکرد: y=ایکس 3 - سهمی مکعبی، y=ایکس 4, y = 1/ایکس 2.

2. مفهوم معادله، حل گرافیکی آن

معادلهعبارتی حاوی یک متغیر است.

معادله را حل کنید- این به معنای یافتن تمام ریشه های آن، یا اثبات عدم وجود آنها است.

ریشه معادلهعددی است که با جایگزینی آن در معادله، برابری عددی صحیح را ایجاد می کند.

حل معادلات به صورت گرافیکیبه شما امکان می دهد مقدار دقیق یا تقریبی ریشه ها را پیدا کنید، به شما امکان می دهد تعداد ریشه های معادله را پیدا کنید.

هنگام ترسیم نمودارها و حل معادلات، از ویژگی های یک تابع استفاده می شود، بنابراین این روش اغلب تابعی-گرافی نامیده می شود.

برای حل معادله، آن را به دو قسمت "تقسیم" می کنیم، دو تابع را معرفی می کنیم، نمودارهای آنها را می سازیم، مختصات نقاط تقاطع نمودارها را پیدا می کنیم. ابسیساهای این نقاط ریشه معادله هستند.

3. الگوریتم ساخت نمودار یک تابع

دانستن نمودار تابع y=f(ایکس) ، می توانید توابع را رسم کنید y=f(ایکس+ متر) ,y=f(ایکس)+ لو y=f(ایکس+ متر)+ ل. همه این نمودارها از نمودار تابع به دست می آیند y=f(ایکس) با استفاده از تبدیل ترجمه موازی: در │ متر│ واحدهای مقیاس را به سمت راست یا چپ در امتداد محور x و روی │ ل│ واحدهای مقیاس را در امتداد محور بالا یا پایین کنید y.

4. حل گرافیکی معادله درجه دوم

مثلا تابع درجه دومحل گرافیکی یک معادله درجه دوم را در نظر خواهیم گرفت. نمودار تابع درجه دوم سهمی است.

یونانیان باستان در مورد سهمی چه می دانستند؟

نمادگرایی ریاضی مدرن در قرن شانزدهم سرچشمه گرفت.

ریاضیدانان یونان باستان نه روش مختصاتی داشتند و نه مفهوم تابع. با این حال، خواص سهمی توسط آنها به طور دقیق مورد مطالعه قرار گرفت. خلاقیت ریاضیدانان باستان به سادگی شگفت انگیز است، زیرا آنها فقط می توانستند از نقاشی ها و توصیف های شفاهی وابستگی ها استفاده کنند.

بیشتر سهمی، هذلولی و بیضی را به طور کامل بررسی کردند آپولونیوس پرگا، که در قرن 3 قبل از میلاد می زیسته است. او همچنین نام هایی برای این منحنی ها گذاشت و نشان داد که نقاطی که روی یک منحنی خاص قرار دارند چه شرایطی را برآورده می کنند (در نهایت هیچ فرمولی وجود نداشت!).

یک الگوریتم برای ساخت سهمی وجود دارد:

مختصات راس سهمی A را پیدا کنید (x0; y0): ایکس=- ب/2 آ;

y0=aho2+in0+s;

محور تقارن سهمی را بیابید (خط مستقیم x=x0).

PAGE_BREAK--

تدوین جدول مقادیر برای نقاط کنترل ساختمان؛

نقاط به دست آمده را می سازیم و نقاط متقارن با آنها را نسبت به محور تقارن می سازیم.

1. طبق الگوریتم سهمی بسازیم y= ایکس2 – 2 ایکس– 3 . ابسیسا نقاط تقاطع با محور ایکسو ریشه های معادله درجه دوم هستند ایکس2 – 2 ایکس– 3 = 0.

پنج راه برای حل گرافیکی این معادله وجود دارد.

2. بیایید معادله را به دو تابع تقسیم کنیم: y= ایکس2 و y= 2 ایکس+ 3

3. بیایید معادله را به دو تابع تقسیم کنیم: y= ایکس2 –3 و y=2 ایکس. ریشه های معادله ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی با خط هستند.

4. معادله را تبدیل کنید ایکس2 – 2 ایکس– 3 = 0 با انتخاب مربع کامل روی تابع: y= (ایکس–1) 2 و y=4. ریشه های معادله ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی با خط هستند.

5. هر دو قسمت معادله را ترم به جمله تقسیم می کنیم ایکس2 – 2 ایکس– 3 = 0 بر روی ایکس، ما گرفتیم ایکس– 2 – 3/ ایکس= 0 بیایید این معادله را به دو تابع تقسیم کنیم: y= ایکس– 2, y= 3/ ایکس. ریشه های معادله ابسیساهای نقاط تقاطع خط و هذلولی هستند.

5. حل گرافیکی معادلات درجهn

مثال 1معادله را حل کنید ایکس5 = 3 – 2 ایکس.

y= ایکس5 , y= 3 – 2 ایکس.

پاسخ: x = 1.

مثال 2معادله را حل کنید 3 √ ایکس= 10 – ایکس.

ریشه این معادله ابسیسا نقطه تقاطع نمودارهای دو تابع است: y= 3 √ ایکس, y= 10 – ایکس.

پاسخ: x=8.

نتیجه

در نظر گرفتن نمودارهای تابع: y=تبر2 + bx+ ج، y =ک/ ایکس، y = √ایکس، y =|ایکس|, y=ایکس 3, y=ایکس 4,y= 3√ایکس, من متوجه شدم که همه این نمودارها بر اساس قانون ترجمه موازی نسبت به محورها ساخته شده اند ایکسو y.

با استفاده از مثال حل معادله درجه دوم می توان نتیجه گرفت که روش گرافیکی برای معادلات درجه n نیز قابل استفاده است.

روش های گرافیکی برای حل معادلات زیبا و قابل درک هستند، اما 100٪ تضمینی برای حل هیچ معادله ای ارائه نمی دهند. ابسیساهای نقاط تقاطع نمودارها می تواند تقریبی باشد.

در کلاس نهم و در کلاس های ارشد همچنان با کارکردهای دیگر آشنا خواهم شد. من علاقه مندم بدانم آیا آن توابع هنگام ترسیم نمودارهای خود از قوانین ترجمه موازی پیروی می کنند یا خیر.

در سال آیندهمن همچنین می خواهم مسائل حل گرافیکی سیستم های معادلات و نابرابری ها را در نظر بگیرم.

ادبیات

1. جبر. درجه 7 ام. بخش 1. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی / A.G. موردکوویچ. مسکو: Mnemosyne، 2007.

2. جبر. کلاس هشتم. بخش 1. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی / A.G. موردکوویچ. مسکو: Mnemosyne، 2007.

3. جبر. درجه 9 بخش 1. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی / A.G. موردکوویچ. مسکو: Mnemosyne، 2007.

4. گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه کلاس های VII-VIII. - م.: روشنگری، 1982.

5. مجله ریاضیات №5 2009; شماره 8 2007; شماره 23 2008.

6. حل گرافیکی معادلات سایت های اینترنتی: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

اگر می خواهید شنا یاد بگیرید، با جسارت وارد آب شوید و اگر می خواهید یاد بگیرید چگونه مشکلات را حل کنید، آنها را حل کنید.

دی. پویا

معادلهبرابری است که حاوی یک یا چند مجهول است، مشروط بر اینکه وظیفه یافتن مقادیر مجهولاتی است که برای آنها صادق است.

معادله را حل کنید- این به معنای یافتن تمام مقادیر مجهولاتی است که برای آنها به برابری عددی صحیح تبدیل می شود یا اینکه چنین مقادیری وجود ندارد.

محدوده معتبرمعادلات (O.D.Z.)مجموعه ای از تمام مقادیر متغیر (متغیرها) است که تمام عبارات موجود در معادله برای آنها تعریف شده است.

بسیاری از معادلات ارائه شده در آزمون با روش های استاندارد حل می شوند. اما هیچ کس استفاده از چیزی غیر معمول را حتی در ساده ترین موارد منع نمی کند.

بنابراین، برای مثال، معادله را در نظر بگیرید 3 – x 2 \u003d 6 / (2 - x).

حلش کنیم به صورت گرافیکی، و سپس میانگین حسابی ریشه های آن شش برابر افزایش یافته است.

برای انجام این کار، توابع را در نظر بگیرید y=3 – x2و y = 6 / (2 - x)و نمودارهای آنها را رسم کنید.

تابع y \u003d 3 - x 2 درجه دوم است.

بازنویسی کنیم این تابعبه شکل y \u003d -x 2 + 3. نمودار آن یک سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین هدایت می شوند (زیرا \u003d -1< 0).

قسمت بالای سهمی در امتداد محور y 3 واحد به سمت بالا جابه جا می شود. بنابراین مختصات رأس (0; 3) است.

برای یافتن مختصات نقاط تقاطع سهمی با محور آبسیسا، این تابع را با صفر برابر می کنیم و معادله حاصل را حل می کنیم:

بنابراین، در نقاطی با مختصات (√3؛ 0) و (-√3؛ 0) سهمی محور x را قطع می کند (شکل 1).

نمودار تابع y = 6 / (2 - x) یک هذلولی است.

این تابع را می توان با استفاده از تبدیل های زیر نمودار کرد:

1) y = 6 / x - تناسب معکوس. نمودار تابع یک هذلولی است. می توان آن را با نقاط ساخت، برای این ما جدولی از مقادیر x و y را جمع آوری می کنیم:

x | -6 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 6 |

y | -1 | -2 | -3 | -6 | 6 | 3 | 2 | 1 |

2) y = 6 / (-x) - نمودار تابع به دست آمده در بند 1 به طور متقارن با توجه به محور y نمایش داده می شود (شکل 3).

3) y = 6 / (-x + 2) - نمودار به دست آمده در بند 2 را در امتداد محور x دو واحد به سمت راست منتقل می کنیم (شکل 4).

حال بیایید نمودارهای توابع y = 3 را رسم کنیم – x 2 و y = 6 / (2 - x) در همان سیستم مختصات (شکل 5).

شکل نشان می دهد که نمودارها در سه نقطه تلاقی می کنند.

درک این نکته مهم است که روش گرافیکی حل به شما امکان نمی دهد ارزش دقیق ریشه را پیدا کنید. بنابراین اعداد -1؛ 0; 3 (آبسیساهای نقاط تقاطع نمودارهای توابع) تاکنون فقط ریشه های فرضی معادله هستند.

با بررسی متقاعد خواهیم شد که اعداد -1; 0; 3- واقعاً ریشه های معادله اصلی:

ریشه -1:

3 – 1 = 6 / (2 – (-1));

3 – 0 = 6 / (2 – 0);

3 – 9 = 6 / (2 – 3);

میانگین حسابی آنها:

(-1 + 0 + 3) / 3 = 2/3.

بیایید آن را شش برابر کنیم: 6 2/3 = 4.

البته این معادله را می توان به روشی آشناتر حل کرد. - جبری.

بنابراین، میانگین حسابی ریشه های معادله 3 را شش برابر افزایش دهید – x 2 \u003d 6 / (2 - x).

حل معادله را با جستجوی O.D.Z شروع می کنیم. مخرج کسری نباید صفر باشد، بنابراین:

برای حل معادله، از خاصیت اولیه نسبت استفاده می کنیم، این باعث خلاص شدن از شر کسر می شود.

(3 – x 2) (2 - x) = 6.

بیایید پرانتزها را باز کنیم و عبارات مشابهی را بیان کنیم:

6-3 برابر – 2x2 + x3 = 6;

x 3 – 2x 2 - 3x = 0.

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

x(x2 – 2x - 3) = 0.

ما از این واقعیت استفاده می کنیم که حاصل برابر با صفر است فقط زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، بنابراین داریم:

x = 0 یا x2 – 2x - 3 = 0.

بیایید معادله دوم را حل کنیم.

x2 – 2x - 3 = 0. مربع است، پس بیایید از تفکیک کننده استفاده کنیم.

D=4 – 4 (-3) = 16;

x 1 \u003d (2 + 4) / 2 \u003d 3;

x 2 = (2 – 4) / 2 = -1.

هر سه ریشه به دست آمده O.D.Z را برآورده می کند.

بنابراین، میانگین حسابی آنها را پیدا کرده و آن را شش برابر می کنیم:

6 (-1 + 3 + 0) / 3 = 4.

در واقع از روش گرافیکی حل معادلات به ندرت استفاده می شود. این به این دلیل است که نمایش گرافیکی توابع اجازه می دهد معادلات را فقط به طور تقریبی حل کنیم. اساساً ، این روش در آن دسته از وظایف استفاده می شود که در آن جستجو برای ریشه های خود معادله - مقادیر عددی آنها، بلکه فقط تعداد آنها مهم است.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

حل گرافیکی معادلات

هیدی، 2009

مقدمه

اما قاعده کلی برای حل معادلات درجه دوم با تمام ترکیبات ممکن ضرایب b و c در اروپا تنها در سال 1544 توسط M. Stiefel تدوین شد.

در سال 1591 فرانسوا ویت فرمول هایی را برای حل معادلات درجه دوم معرفی کرد.

برخی از انواع معادلات درجه دوم را می توان در بابل باستان حل کرد.

دیوفانتوس اسکندریه و اقلیدس , خوارزمیو عمر خیامحل معادلات به روش های هندسی و گرافیکی

در کلاس هفتم توابع را مطالعه کردیم y \u003d C، y= kx ، y = kx + متر ، y = ایکس 2 ,y = - ایکس 2 , در کلاس هشتم - y = √ ایکس ، y = |ایکس |, y= تبر 2 + bx + ج ، y = ک / ایکس. در کتاب جبر پایه نهم توابعی دیدم که هنوز برایم شناخته نشده بودند: y= ایکس 3 , y= ایکس 4 ,y= ایکس 2 n y= ایکس - 2 n y= 3 √ایکس , ( ایکس – آ ) 2 + (y - ب ) 2 = r 2 و دیگران. قوانینی برای ساخت نمودارهای این توابع وجود دارد. می خواستم بدانم آیا عملکردهای دیگری وجود دارد که از این قوانین پیروی می کند؟

کار من مطالعه نمودار توابع و حل معادلات گرافیکی است.

1. توابع چیست

نمودار یک تابع مجموعه ای از تمام نقاط صفحه مختصات است که ابسیساهای آنها برابر با مقادیر آرگومان ها و مختصات برابر با مقادیر مربوط به تابع است.

تابع خطی با معادله به دست می آید y= kx + ب، جایی که کو ب- تعدادی اعداد نمودار این تابع یک خط مستقیم است.

تابع متناسب معکوس y= ک / ایکس، که در آن k¹ 0 است. نمودار این تابع هذلولی نامیده می شود.

عملکرد ( ایکس – آ ) 2 + (y - ب ) 2 = r 2 ، جایی که آ , بو r- تعدادی اعداد نمودار این تابع دایره ای به شعاع r است که در نقطه A ( آ , ب).

تابع درجه دوم y = تبر 2 + bx + ججایی که آ، ب ، با- تعدادی اعداد و آ¹ 0. نمودار این تابع یک سهمی است.

معادله y 2 ( آ – ایکس ) = ایکس 2 ( آ + ایکس ) . نمودار این معادله منحنی به نام استروفوئید خواهد بود.

معادله ( ایکس 2 + y 2 ) 2 = آ ( ایکس 2 – y 2 ) . نمودار این معادله برنولی lemniscate نام دارد.

معادله. نمودار این معادله اختر نامیده می شود.

منحنی (x 2 y 2 - 2 a x) 2 \u003d 4 a 2 (x 2 + y 2). این منحنی کاردیوئید نامیده می شود.

کارکرد: y= ایکس 3 - سهمی مکعبی، y= ایکس 4 , y = 1/ ایکس 2 .

2. مفهوم معادله، حل گرافیکی آن

معادلهعبارتی حاوی یک متغیر است.

معادله را حل کنید- این به معنای یافتن تمام ریشه های آن، یا اثبات عدم وجود آنها است.

ریشه معادلهعددی است که با جایگزینی آن در معادله، برابری عددی صحیح را ایجاد می کند.

3. الگوریتم ساخت نمودار یک تابع

دانستن نمودار تابع y= f ( ایکس ) ، می توانید توابع را رسم کنید y= f ( ایکس + متر ) ,y= f ( ایکس )+ لو y= f ( ایکس + متر )+ ل. همه این نمودارها از نمودار تابع به دست می آیند y= f ( ایکس ) با استفاده از تبدیل ترجمه موازی: در │ متر │ واحدهای مقیاس را به سمت راست یا چپ در امتداد محور x و روی │ ل │ واحدهای مقیاس را در امتداد محور بالا یا پایین کنید y .

4. حل گرافیکی معادله درجه دوم

با استفاده از مثال تابع درجه دوم، حل گرافیکی یک معادله درجه دوم را در نظر خواهیم گرفت. نمودار تابع درجه دوم سهمی است.

یونانیان باستان در مورد سهمی چه می دانستند؟

نمادگرایی ریاضی مدرن در قرن شانزدهم سرچشمه گرفت.

یک الگوریتم برای ساخت سهمی وجود دارد:

مختصات راس سهمی A (x 0; y 0) را پیدا می کنیم: x 0 =- ب /2 آ ;

Y 0 \u003d تبر حدود 2 + در 0 + c.

ما محور تقارن سهمی را پیدا می کنیم (خط مستقیم x \u003d x 0)؛

تدوین جدول مقادیر برای نقاط کنترل ساختمان؛

نقاط به دست آمده را می سازیم و نقاط متقارن با آنها را نسبت به محور تقارن می سازیم.

1. طبق الگوریتم سهمی بسازیم y = ایکس 2 – 2 ایکس – 3 . ابسیسا نقاط تقاطع با محور ایکسو ریشه های معادله درجه دوم هستند ایکس 2 – 2 ایکس – 3 = 0.

پنج راه برای حل گرافیکی این معادله وجود دارد.

2. بیایید معادله را به دو تابع تقسیم کنیم: y = ایکس 2 و y = 2 ایکس + 3

3. بیایید معادله را به دو تابع تقسیم کنیم: y = ایکس 2 –3 و y =2 ایکس. ریشه های معادله ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی با خط هستند.

4. معادله را تبدیل کنید ایکس 2 – 2 ایکس – 3 = 0 با انتخاب مربع کامل روی تابع: y = ( ایکس –1) 2 و y =4. ریشه های معادله ابسیساهای نقاط تقاطع سهمی با خط هستند.

5. هر دو قسمت معادله را ترم به جمله تقسیم می کنیم ایکس 2 – 2 ایکس – 3 = 0 بر روی ایکس، ما گرفتیم ایکس – 2 – 3/ ایکس = 0 بیایید این معادله را به دو تابع تقسیم کنیم: y = ایکس – 2, y = 3/ ایکس . ریشه های معادله ابسیساهای نقاط تقاطع خط و هذلولی هستند.

5. حل گرافیکی معادلات درجه n

مثال 1معادله را حل کنید ایکس 5 = 3 – 2 ایکس .

y = ایکس 5 , y = 3 – 2 ایکس .

پاسخ: x = 1.

مثال 2معادله را حل کنید 3 √ ایکس = 10 – ایکس .

ریشه این معادله ابسیسا نقطه تقاطع نمودارهای دو تابع است: y = 3 √ ایکس , y = 10 – ایکس .

پاسخ: x=8.

نتیجه

در نظر گرفتن نمودارهای تابع: y= تبر 2 + bx + ج ، y = ک / ایکس ، y = √ ایکس ، y = |ایکس |, y= ایکس 3 , y= ایکس 4 ,y= 3 √ایکس , من متوجه شدم که همه این نمودارها بر اساس قانون ترجمه موازی نسبت به محورها ساخته شده اند ایکسو y .

سال آینده می خواهم مسائل حل گرافیکی سیستم های معادلات و نابرابری ها را نیز در نظر بگیرم.

ادبیات

1. جبر. درجه 7 ام. بخش 1. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی / A.G. موردکوویچ. مسکو: Mnemosyne، 2007.

2. جبر. کلاس هشتم. بخش 1. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی / A.G. موردکوویچ. مسکو: Mnemosyne، 2007.

3. جبر. درجه 9 بخش 1. کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی / A.G. موردکوویچ. مسکو: Mnemosyne، 2007.

4. گلیزر جی.آی. تاریخچه ریاضیات در مدرسه کلاس های VII-VIII. - م.: روشنگری، 1982.

5. مجله ریاضیات №5 2009; شماره 8 2007; شماره 23 2008.

6. حل گرافیکی معادلات سایت های اینترنتی: Tol WIKI; stimul.biz/en; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

یکی از راه های حل معادلات، روش گرافیکی است. این بر اساس رسم توابع و تعیین نقاط تقاطع آنها است. یک روش گرافیکی برای حل معادله درجه دوم a*x^2+b*x+c=0 در نظر بگیرید.

اولین راه حل

اجازه دهید معادله a*x^2+b*x+c=0 را به شکل a*x^2 =-b*x-c تبدیل کنیم. ما نمودارهایی از دو تابع y= a*x^2 (پارابولا) و y=-b*x-c (خط مستقیم) می سازیم. به دنبال نقاط تقاطع ابسیساهای نقاط تقاطع حل معادله خواهد بود.

بیایید با یک مثال نشان دهیم:معادله x^2-2*x-3=0 را حل کنید.

بیایید آن را به x^2 =2*x+3 تبدیل کنیم. ما نمودارهای توابع y= x^2 و y=2*x+3 را در یک سیستم مختصات می سازیم.

نمودارها در دو نقطه تلاقی می کنند. ابسیساهای آنها ریشه معادله ما خواهد بود.

راه حل فرمول

برای قانع شدن، این راه حل را به صورت تحلیلی بررسی می کنیم. تصمیم خواهیم گرفت معادله درجه دومطبق فرمول:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

به معنای، راه حل ها مطابقت دارند

روش گرافیکی حل معادلات نیز دارای اشکالاتی است که با کمک آن همیشه نمی توان جواب دقیق معادله را به دست آورد. بیایید سعی کنیم معادله x^2=3+x را حل کنیم.

بیایید یک سهمی y=x^2 و یک خط مستقیم y=3+x را در همان سیستم مختصات بسازیم.

دوباره گرفتم نقاشی مشابه. یک خط و یک سهمی در دو نقطه یکدیگر را قطع می کنند. ولی مقادیر دقیقنمی‌توانیم ابسیسا این نقاط را بگوییم، فقط موارد تقریبی: x≈-1.3 x≈2.3.

اگر از پاسخ های با چنین دقتی راضی باشیم، می توانیم از این روش استفاده کنیم، اما به ندرت این اتفاق می افتد. معمولاً راه حل های دقیقی مورد نیاز است. بنابراین، روش گرافیکی به ندرت و عمدتاً برای بررسی راه حل های موجود استفاده می شود.

برای مطالعات خود به کمک نیاز دارید؟

موضوع قبلی: