تابع سهمی و نمودار آن ترسیم یک تابع درجه دوم

تابع فرم که در آن نامیده می شود تابع درجه دوم.

نمودار تابع درجه دوم - سهمی.

موارد را در نظر بگیرید:

مورد I، پارابولای کلاسیک

به این معنا که ، ،

برای ساخت، جدول را با جایگزین کردن مقادیر x در فرمول پر کنید:

علامت گذاری امتیاز (0;0)؛ (1;1); (-1;1) و غیره بر روی هواپیمای مختصات(هر چه گام کوچکتر مقادیر x را برداریم (در این مورد، مرحله 1)، و هر چه مقادیر x بیشتری برداریم، منحنی صاف تر خواهد بود)، یک سهمی دریافت می کنیم:

به راحتی می توان فهمید که اگر حالت , , , را در نظر بگیریم، یک سهمی متقارن حول محور (گاو) بدست می آوریم. تأیید این موضوع با پر کردن جدول مشابه آسان است:

مورد دوم، "الف" متفاوت از یک

چه اتفاقی می افتد اگر ما , , , ? رفتار سهمی چگونه تغییر خواهد کرد؟ با title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

تصویر اول (به بالا مراجعه کنید) به وضوح نشان می دهد که نقاط جدول برای سهمی (1;1)، (1;1-) به نقاط (1;4)، (1;-4) تبدیل شده اند، یعنی، با مقادیر یکسان، مختصات هر نقطه در 4 ضرب می شود. این اتفاق برای تمام نقاط کلیدی جدول اصلی رخ می دهد. در مورد تصاویر 2 و 3 نیز به همین ترتیب بحث می کنیم.

و هنگامی که سهمی "عریض تر" می شود سهمی:

بیایید خلاصه کنیم:

1)علامت ضریب مسئول جهت انشعابات است. با title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) قدر مطلقضریب (مدول) مسئول "انبساط"، "فشردگی" سهمی است. هر چه سهمی بزرگتر، باریکتر باشد، سهمی |a| کوچکتر، سهمی پهن تر است.

مورد III، "C" ظاهر می شود

حال بیایید وارد بازی شویم (یعنی موردی را در نظر بگیریم که ) ، سهمی های شکل را در نظر خواهیم گرفت. به راحتی می توان حدس زد (همیشه می توانید به جدول مراجعه کنید) بسته به علامت، سهمی در امتداد محور به سمت بالا یا پایین حرکت می کند:

IV CASE، "b" ظاهر می شود

چه زمانی سهمی از محور "پاره می شود" و در نهایت در امتداد کل صفحه مختصات "راه می رود"؟ زمانی که دیگر برابر نیست.

در اینجا، برای ساختن سهمی، ما نیاز داریم فرمول محاسبه راس: , .

بنابراین در این نقطه (مانند نقطه (0; 0) سیستم جدیدمختصات) سهمی خواهیم ساخت که در حال حاضر در توان ماست. اگر با این مورد سروکار داریم ، از بالا یک بخش واحد را به سمت راست کنار می گذاریم ، یکی به بالا ، - نقطه حاصل مال ما است (به طور مشابه ، یک قدم به سمت چپ ، یک پله به بالا نقطه ما است). اگر مثلاً با آن سر و کار داریم ، از بالا یک قسمت را به سمت راست ، دو - بالا و غیره کنار می گذاریم.

برای مثال، راس سهمی:

اکنون نکته اصلی این است که در این راس، یک سهمی را مطابق با الگوی سهمی خواهیم ساخت، زیرا در مورد ما.

هنگام ساختن سهمی پس از یافتن مختصات راس بسیار استدر نظر گرفتن نکات زیر راحت است:

1) سهمی باید از نقطه عبور کند . در واقع، با جایگزینی x=0 در فرمول، به این نتیجه می رسیم. یعنی ترتیب نقطه تلاقی سهمی با محور (oy) این است. در مثال ما (بالا)، سهمی محور y را در نقطه قطع می کند، زیرا .

2) محور تقارن سهمی ها یک خط مستقیم است، بنابراین تمام نقاط سهمی در مورد آن متقارن خواهند بود. در مثال ما، بلافاصله نقطه (0؛ -2) را می گیریم و یک سهمی متقارن حول محور تقارن می سازیم، نقطه (4؛ -2) را می گیریم، که از آن سهمی عبور می کند.

3) با برابر شدن با ، نقاط تقاطع سهمی با محور (گاو) را می یابیم. برای این کار معادله را حل می کنیم. بسته به تمایز، یک (، )، دو ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com) خواهیم داشت" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . در مثال قبلی، ما ریشه افتراق را داریم - نه یک عدد صحیح، در هنگام ساختن آن، واقعاً منطقی نیست که ریشه ها را پیدا کنیم، اما به وضوح می توانیم ببینیم که دو نقطه تقاطع با آن خواهیم داشت. (oh) محور (از عنوان = "(!LANG: ارائه شده توسط QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

پس بیایید کار کنیم

الگوریتم ساخت سهمی اگر به شکل داده شود

1) جهت شاخه ها را تعیین کنید (a>0 - بالا، a<0 – вниз)

2) مختصات راس سهمی را با فرمول پیدا کنید.

3) نقطه تقاطع سهمی را با محور (oy) با عبارت آزاد می یابیم، با توجه به محور تقارن سهمی نقطه ای متقارن با نقطه داده شده می سازیم (لازم به ذکر است که اتفاق می افتد که اینطور است. برای مثال علامت گذاری این نقطه سودمند نیست، زیرا مقدار آن زیاد است ... از این نقطه می گذریم ...)

4) در نقطه پیدا شده - بالای سهمی (مانند نقطه (0؛ 0) سیستم مختصات جدید)، یک سهمی می سازیم. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) ما نقاط تقاطع سهمی را با محور (oy) می یابیم (اگر آنها هنوز "سطح" را پیدا نکرده باشند)، معادله را حل می کنیم.

مثال 1

مثال 2

تبصره 1.اگر سهمی در ابتدا به شکل به ما داده شود، جایی که تعدادی اعداد وجود دارند (مثلاً)، ساختن آن آسان تر خواهد بود، زیرا قبلا مختصات راس به ما داده شده است. چرا؟

بیایید یک مثلث مربع را در نظر بگیریم و یک مربع کامل در آن انتخاب کنیم: ببینید، در اینجا به آن رسیدیم، . ما قبلاً بالای سهمی را می نامیم، یعنی اکنون،.

مثلا، . ما بالای سهمی را در هواپیما علامت گذاری می کنیم، می فهمیم که شاخه ها به سمت پایین هدایت می شوند، سهمی منبسط شده است (نسبت). یعنی مراحل 1 را انجام می دهیم. 3; چهار 5 از الگوریتم ساخت سهمی (به بالا مراجعه کنید).

تبصره 2.اگر سهمی به شکلی مشابه این داده شود (یعنی حاصل ضرب دو عامل خطی نشان داده شود)، بلافاصله نقاط تقاطع سهمی را با محور (x) می بینیم. در این مورد - (0;0) و (4;0). برای بقیه، طبق الگوریتم عمل می کنیم و براکت ها را باز می کنیم.