هرم مالکیت صحیح هرم

مقدمه

وقتی شروع به مطالعه فیگورهای استریومتریک کردیم، موضوع "هرم" را لمس کردیم. ما این موضوع را دوست داشتیم زیرا هرم اغلب در معماری استفاده می شود. و از آنجایی که ما حرفه آیندهمعمار، با الهام از این چهره، ما فکر می کنیم که او می تواند ما را به پروژه های بزرگ سوق دهد.

استحکام سازه های معماری، مهمترین کیفیت آنهاست. ارتباط استحکام، اولاً با موادی که از آنها ایجاد شده‌اند، و ثانیاً، با ویژگی‌های راه‌حل‌های طراحی، معلوم می‌شود که استحکام یک سازه مستقیماً با شکل هندسی که برای آن اساسی است مرتبط است.

به عبارت دیگر، ما داریم صحبت می کنیمدر مورد آن شکل هندسی که می توان آن را الگویی از فرم معماری مربوطه در نظر گرفت. به نظر می رسد که شکل هندسی نیز استحکام ساختار معماری را تعیین می کند.

اهرام مصر از دیرباز به عنوان بادوام ترین سازه معماری در نظر گرفته می شدند. همانطور که می دانید، آنها شکل اهرام چهار گوش منظم دارند.

این شکل هندسی است که به دلیل مساحت پایه بزرگ، بیشترین ثبات را ایجاد می کند. از طرف دیگر، شکل هرم تضمین می کند که با افزایش ارتفاع از سطح زمین، جرم کاهش می یابد. این دو ویژگی است که هرم را در شرایط گرانش پایدار و در نتیجه قوی می کند.

هدف پروژه: چیز جدیدی در مورد اهرام بیاموزید، دانش را عمیق تر کنید و کاربردهای عملی پیدا کنید.

برای رسیدن به این هدف، حل وظایف زیر ضروری بود:

اطلاعات تاریخی در مورد هرم بیاموزید

هرم را در نظر بگیرید شکل هندسی

در زندگی و معماری کاربرد پیدا کنید

شباهت ها و تفاوت های بین اهرام واقع در آن را بیابید بخش های مختلفسوتا

بخش تئوری

اطلاعات تاریخی

آغاز هندسه هرم در مصر باستان و بابل گذاشته شد، اما به طور فعال در سال توسعه یافت. یونان باستان. اولین کسی که میزان حجم هرم را برابر با دموکریتوس تعیین کرد و ادوکسوس کنیدوس آن را ثابت کرد. ریاضیدان یونانی باستان اقلیدس دانش در مورد هرم را در جلد دوازدهم "آغاز" خود سیستماتیک کرد و همچنین اولین تعریف از هرم را ارائه کرد: یک شکل بدنی محدود شده توسط صفحاتی که از یک صفحه در یک نقطه همگرا می شوند.

مقبره های فراعنه مصر. بزرگترین آنها - اهرام خئوپس، خفره و میکرین در ال جیزا در دوران باستان یکی از عجایب هفتگانه جهان به حساب می آمد. برپایی هرم که در آن یونانیان و رومیان قبلاً بنای غرور بی‌سابقه پادشاهان و ظلم را دیدند که تمام مردم مصر را محکوم به ساخت و سازهای بی‌معنا می‌کرد، مهمترین عمل مذهبی بود و ظاهراً قرار بود بیان کند: هویت عرفانی کشور و حاکم آن. جمعیت کشور در بخشی از سال فارغ از کار کشاورزی در ساخت آرامگاه کار می کردند. تعدادی از متون گواهی بر توجه و عنایتی است که خود پادشاهان (البته در زمان های بعد) به ساختن آرامگاه خود و سازندگان آن داشته اند. همچنین در مورد افتخارات ویژه فرقه که معلوم شد خود هرم است نیز شناخته شده است.

مفاهیم اساسی

هرمچند ضلعی نامیده می شود که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده مثلث هایی هستند که یک راس مشترک دارند.

آپوتم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منظم که از بالای آن کشیده شده است.

صورت های جانبی- مثلث های همگرا در بالا؛

دنده های کناری- طرف های مشترک وجه های جانبی؛

بالای هرم- نقطه ای که لبه های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.

ارتفاع- قسمتی از یک عمود که از بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده شده است (انتهای این بخش بالای هرم و قاعده عمود است).

بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.

پایه- چند ضلعی که به بالای هرم تعلق ندارد.

ویژگی های اصلی هرم صحیح

لبه های جانبی، وجه های جانبی و آپوتم ها به ترتیب برابر هستند.

زوایای دو وجهی در پایه برابر است.

زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است.

هر نقطه ارتفاع از تمام رئوس پایه فاصله دارد.

هر نقطه ارتفاع از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد.

فرمول های اساسی هرم

ناحیه جانبی و سطح کاملاهرام.

مساحت سطح جانبی هرم (کامل و ناقص) مجموع مساحت تمام وجوه جانبی آن است، مساحت کل سطح مجموع مساحت تمام وجوه آن است.

قضیه: مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم هرم است.

پ- محیط پایه؛

ساعت- فریضه.

مساحت سطوح جانبی و کامل یک هرم ناقص.

p1، پ 2 - محیط های پایه؛

ساعت- فریضه.

آر- سطح کل یک هرم منقطع منظم؛

سمت S- مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم؛

S1 + S2- مساحت پایه

حجم هرم

فرم مقیاس حجم برای اهرام از هر نوعی استفاده می شود.

اچارتفاع هرم است.

زوایای هرم

زوایایی که توسط وجه جانبی و قاعده هرم ایجاد می شوند، زوایای دو وجهی در قاعده هرم نامیده می شوند.

یک زاویه دو وجهی از دو عمود تشکیل می شود.

برای تعیین این زاویه، اغلب باید از قضیه سه عمود بر هم استفاده کنید.

زوایایی که توسط یک لبه کناری و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه تشکیل می شود نامیده می شود زوایای بین لبه جانبی و صفحه پایه.

زاویه تشکیل شده توسط دو وجه جانبی نامیده می شود زاویه دو وجهی در لبه جانبی هرم.

زاویه ای که توسط دو لبه کناری یک وجه هرم تشکیل می شود، نامیده می شود گوشه ای در بالای هرم.

بخش هایی از هرم

سطح یک هرم سطح یک چند وجهی است. هر یک از وجوه آن یک صفحه است، بنابراین قسمتی از هرم که توسط صفحه سکونت داده شده است، یک خط شکسته است که از خطوط مستقیم جداگانه تشکیل شده است.

بخش مورب

قسمتی از هرم که توسط صفحه ای که از دو لبه جانبی که روی یک وجه قرار ندارند می گذرد نامیده می شود. بخش مورباهرام.

بخش های موازی

قضیه:

اگر هرم با صفحه ای موازی با قاعده عبور کند، لبه های جانبی و ارتفاعات هرم توسط این صفحه به قسمت های متناسب تقسیم می شود.

بخش این صفحه چند ضلعی شبیه به قاعده است.

مساحت های مقطع و پایه به عنوان مربع فاصله آنها از بالا به یکدیگر مرتبط هستند.

انواع هرم

هرم درست- هرمی که قاعده آن چند ضلعی منتظم است و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده است.

در هرم صحیح:

1. دنده های جانبی برابر هستند

2. صورت های جانبی برابر است

3. آپوتم ها برابرند

4. زوایای دو وجهی در پایه برابر است

5. زوایای دو وجهی در لبه های جانبی برابر است

6. هر نقطه ارتفاع از تمام رئوس پایه فاصله دارد

7. هر نقطه ارتفاع از تمام وجوه جانبی به یک اندازه فاصله دارد

هرم کوتاه شده- قسمتی از هرم که بین پایه آن و صفحه برش موازی با پایه محصور شده است.

قاعده و بخش مربوط به یک هرم بریده شده نامیده می شود پایه های یک هرم کوتاه.

عمودی که از هر نقطه از یک قاعده به صفحه قاعده دیگر کشیده می شود نامیده می شود ارتفاع هرم کوتاه شده

وظایف

شماره 1. در یک هرم چهار گوش منتظم نقطه O مرکز قاعده SO=8 سانتی متر، BD=30 سانتی متر است. لبه جانبی SA را پیدا کنید.

حل مسئله

شماره 1. در یک هرم منظم، تمام وجوه و لبه ها با هم برابرند.

بیایید OSB را در نظر بگیریم: OSB- مستطیل مستطیلی، زیرا.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

هرم در معماری

هرم - یک ساختار تاریخی به شکل یک هرم هندسی معمولی که در آن دو طرف در یک نقطه همگرا می شوند. با توجه به هدف کارکردی، اهرام در دوران باستان محل دفن یا عبادت بوده اند. قاعده هرم می تواند مثلثی، چهار گوش یا چند ضلعی با تعداد دلخواه رئوس باشد، اما رایج ترین نسخه، قاعده چهار گوش است.

تعداد قابل توجهی از اهرام شناخته شده، ساخته شده است فرهنگ های مختلف دنیای باستانبیشتر به عنوان معابد یا بناهای تاریخی. بزرگترین اهرام اهرام مصر هستند.

در سرتاسر زمین می توانید سازه های معماری را به شکل اهرام مشاهده کنید. ساختمان های هرمی یادآور دوران باستان هستند و بسیار زیبا به نظر می رسند.

اهرام مصربزرگترین بناهای معماری مصر باستانکه یکی از «عجایب هفتگانه جهان» هرم خئوپس است. از پا به بالا به 137.3 متر می رسد و قبل از اینکه قله را از دست بدهد ارتفاع آن 146.7 متر بوده است.

ساختمان ایستگاه رادیویی در پایتخت اسلواکی، شبیه یک هرم وارونه، در سال 1983 ساخته شد. علاوه بر دفاتر و اماکن خدماتی، در داخل حجم نیز فضای نسبتاً جاداری وجود دارد. سالن کنسرتکه یکی از بزرگترین اجسام را در اسلواکی دارد.

موزه لوور که "به مانند یک هرم ساکت و باشکوه است" در طول قرن ها دستخوش تغییرات بسیاری شده است. بزرگترین موزهصلح این قلعه به عنوان یک قلعه متولد شد که توسط فیلیپ آگوستوس در سال 1190 ساخته شد و به زودی به یک اقامتگاه سلطنتی تبدیل شد. در سال 1793 این کاخ به موزه تبدیل شد. مجموعه ها از طریق وصیت یا خرید غنی می شوند.

دانش آموزان مدت ها قبل از مطالعه هندسه با مفهوم هرم مواجه می شوند. عجایب مشهور مصری جهان را سرزنش کنید. بنابراین، با شروع مطالعه این چند وجهی شگفت انگیز، اکثر دانش آموزان به وضوح آن را تصور می کنند. تمام مناظر فوق در شکل درستی هستند. چی هرم راستو اینکه چه خواصی دارد و در ادامه بحث خواهد شد.

در تماس با

تعریف

تعاریف زیادی از هرم وجود دارد. از زمان های قدیم بسیار محبوب بوده است.

به عنوان مثال، اقلیدس آن را به عنوان یک شکل جامد، متشکل از صفحات، که از یک شروع می شود، در نقطه خاصی همگرا می شوند، تعریف کرد.

هرون فرمول دقیق تری ارائه کرد. او اصرار داشت که این رقمی است که دارای قاعده و صفحاتی به شکل مثلث،در یک نقطه همگرایی

بر اساس تفسیر مدرن، هرم به عنوان یک چند وجهی فضایی، متشکل از یک شکل مثلثی مسطح k-gon و k که دارای یک نقطه مشترک است، ارائه می شود.

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم، از چه عناصری تشکیل شده است؟

• k-gon اساس شکل در نظر گرفته می شود.
• فیگورهای 3 زاویه دار به عنوان طرفین قسمت کناری بیرون زده اند.
• قسمت بالایی که عناصر جانبی از آن سرچشمه می گیرند، بالا نامیده می شود.
• تمام بخش هایی که راس را به هم متصل می کنند لبه نامیده می شوند.
• اگر یک خط مستقیم از بالا به صفحه شکل با زاویه 90 درجه پایین بیاید، قسمتی که در فضای داخلی محصور شده است ارتفاع هرم است.
• در هر عنصر جانبی به سمت چند وجهی ما، می توانید یک عمود به نام آپوتم رسم کنید.

تعداد یال ها با استفاده از فرمول 2*k محاسبه می شود که k تعداد اضلاع k-gon است. چند وجهی یک چند وجهی مانند هرم را می توان با عبارت k + 1 تعیین کرد.

مهم!هرم فرم صحیحشکل استریومتری که صفحه پایه آن k-gon با اضلاع مساوی است نامیده می شود.

خواص اساسی

هرم درست خواص زیادی داردکه مختص او هستند بیایید آنها را فهرست کنیم:

1. پایه یک شکل از فرم صحیح است.
2. لبه های هرم که عناصر جانبی را محدود می کند دارای مقادیر عددی برابر است.
3. عناصر جانبی مثلث متساوی الساقین هستند.
4. قاعده ارتفاع شکل به مرکز چند ضلعی می‌افتد، در حالی که به طور همزمان نقطه مرکزی حکاکی شده و توصیف شده است.
5. همه دنده های جانبی با یک زاویه به صفحه پایه متمایل می شوند.
6. تمام سطوح جانبی نسبت به پایه دارای زاویه شیب یکسانی هستند.

به لطف تمام ویژگی های ذکر شده، عملکرد محاسبات عناصر بسیار ساده شده است. بر اساس خواص فوق به آن توجه می کنیم دو نشانه:

1. در صورتی که چند ضلعی در یک دایره قرار گیرد، وجه های جانبی دارای زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.
2. هنگام توصیف یک دایره در اطراف یک چند ضلعی، تمام لبه های هرم که از رأس خارج می شوند دارای طول یکسان و زوایای مساوی با قاعده خواهند بود.

مربع مستقر است

هرم چهار گوش منظم - چند ضلعی بر پایه مربع.

دارای چهار وجه جانبی است که از نظر ظاهری متساوی الساقین هستند.

در یک صفحه، یک مربع به تصویر کشیده شده است، اما آنها بر اساس تمام ویژگی های یک چهار ضلعی منظم هستند.

به عنوان مثال، اگر لازم است ضلع مربع را به قطر آن متصل کنیم، از فرمول زیر استفاده می شود: مورب برابر است با حاصلضرب ضلع مربع و جذر دو.

بر اساس یک مثلث منظم

هرم مثلثی منتظم چند وجهی است که قاعده آن 3 ضلعی منظم است.

اگر پایه یک مثلث منظم باشد و لبه های جانبی برابر با لبه های پایه باشد، چنین شکلی چهار وجهی نامیده می شود.

تمام وجوه یک چهار وجهی 3 ضلعی متساوی الاضلاع هستند. در این مورد، شما باید نکاتی را بدانید و هنگام محاسبه زمان را روی آنها تلف نکنید:

• زاویه شیب دنده ها به هر پایه 60 درجه است.
• مقدار تمام چهره های داخلی نیز 60 درجه است.
• هر صورت می تواند به عنوان یک پایه عمل کند.
• ترسیم شده در داخل شکل عناصر مساوی هستند.

بخش های چند وجهی

در هر چند وجهی وجود دارد چندین نوع بخشسطح. اغلب در یک دوره هندسه مدرسه با دو کار می کنند:

• محوری؛
• مبنای موازی

یک مقطع محوری با تقاطع یک چند وجهی با صفحه ای که از راس، لبه های جانبی و محور می گذرد به دست می آید. در این حالت، محور ارتفاعی است که از راس گرفته شده است. صفحه برش توسط خطوط تقاطع با تمام وجوه محدود می شود و در نتیجه یک مثلث ایجاد می شود.

توجه!در یک هرم منظم، بخش محوری یک مثلث متساوی الساقین است.

اگر صفحه برش موازی با پایه باشد، نتیجه گزینه دوم است. در این مورد، ما در زمینه یک شکل شبیه به پایه داریم.

به عنوان مثال، اگر پایه مربع باشد، بخش موازی با پایه نیز یک مربع خواهد بود، فقط اندازه کوچکتر.

هنگام حل مسائل تحت این شرایط، از علائم و ویژگی های شباهت شکل ها استفاده می شود. بر اساس قضیه تالس. ابتدا باید ضریب تشابه را تعیین کرد.

اگر صفحه به موازات قاعده کشیده شود و قسمت بالایی چند وجهی را قطع کند، در قسمت پایین یک هرم منقطع منظم به دست می آید. سپس گفته می شود که پایه های چندوجهی کوتاه شده چندضلعی مشابه هستند. در این حالت، وجوه جانبی ذوزنقه ای متساوی الساقین هستند. قسمت محوری نیز متساوی الساقین است.

برای تعیین ارتفاع چند وجهی کوتاه، لازم است ارتفاع را در یک مقطع محوری، یعنی ذوزنقه ترسیم کنیم.

مناطق سطحی

عمده ترین مسائل هندسی که باید در درس هندسه مدرسه حل شوند عبارتند از پیدا کردن مساحت و حجم هرم

دو نوع سطح وجود دارد:

• ناحیه عناصر جانبی؛
• کل سطح

از خود عنوان مشخص است که در مورد چیست. سطح جانبیفقط شامل عناصر جانبی است. از این نتیجه می شود که برای پیدا کردن آن، فقط باید مناطق صفحات جانبی، یعنی مناطق متساوی الساقین 3 ضلعی را با هم جمع کنید. بیایید سعی کنیم فرمول مساحت عناصر جانبی را استخراج کنیم:

1. مساحت یک متساوی الساقین 3 ضلعی Str=1/2(aL) است، جایی که a ضلع قاعده است، L نقطه پایانی است.
2. تعداد صفحات جانبی به نوع k-gon در پایه بستگی دارد. مثلا درست کن هرم چهار گوشدارای چهار صفحه جانبی بنابراین لازم است مساحت های چهار شکل را جمع کنیم Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. . عبارت به این صورت ساده شده است زیرا مقدار 4a=POS که در آن POS محیط پایه است. و عبارت 1/2 * Rosn نیم محیط آن است.
3. بنابراین، نتیجه می گیریم که مساحت عناصر جانبی یک هرم منظم برابر است با حاصلضرب نیم محیط قاعده و آپوتم: Sside \u003d Rosn * L.

مساحت سطح کامل هرم از مجموع مساحت صفحات جانبی و قاعده تشکیل شده است: Sp.p. = Sside + Sbase.

در مورد مساحت پایه، در اینجا فرمول با توجه به نوع چند ضلعی استفاده می شود.

حجم یک هرم منظمبرابر است با حاصل ضرب سطح صفحه پایه و تقسیم ارتفاع بر سه: V=1/3*Sbase*H که H ارتفاع چندوجهی است.

هرم منظم در هندسه چیست؟

ویژگی های یک هرم چهار گوش منتظم

• حکم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منتظم که از بالای آن کشیده شده است (علاوه بر این، نقطه عمودی طول عمود است که از وسط یک چند ضلعی منتظم به 1 ضلع آن پایین می آید).
• صورت های جانبی (ASB، BSC، CSD، DSA) - مثلث هایی که در بالا همگرا می شوند.
• دنده های جانبی ( مانند , لیسانس , CS , D.S. ) - طرف های مشترک وجه های جانبی؛
• بالای هرم (در مقابل) - نقطه ای که لبه های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.
• ارتفاع ( بنابراین ) - بخشی از عمود، که از طریق بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده می شود (انتهای یک قسمت بالای هرم و قاعده عمود خواهد بود).
• بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.
• پایه (آ ب پ ت) چند ضلعی است که بالای هرم به آن تعلق ندارد.

خواص هرمی

1. هنگامی که تمام لبه های جانبی یک اندازه هستند، پس:

• در نزدیکی قاعده هرم، توصیف یک دایره آسان است، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• دنده های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند.
• علاوه بر این، برعکس نیز صادق است، یعنی. هنگامی که لبه های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند، یا زمانی که بتوان یک دایره را در نزدیکی قاعده هرم توصیف کرد و بالای هرم به مرکز این دایره بیرون زد، آنگاه تمام لبه های جانبی هرم دارای همان اندازه.

2. هنگامی که وجوه جانبی دارای زاویه تمایل نسبت به صفحه قاعده با همان مقدار هستند، آنگاه:

• در نزدیکی قاعده هرم، توصیف یک دایره آسان است، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
• ارتفاع وجه های جانبی از طول مساوی است.
• مساحت سطح جانبی ½ حاصلضرب محیط پایه و ارتفاع وجه جانبی است.

3. یک کره را می توان در نزدیکی هرم توصیف کرد اگر در قاعده هرم چند ضلعی قرار داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (لازم و شرایط کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که از نقاط میانی لبه های هرم عمود بر آنها عبور می کنند. از این قضیه نتیجه می گیریم که یک کره را می توان هم در اطراف هر مثلثی و هم در اطراف هر هرم منظم توصیف کرد.

4. اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در نقطه 1 همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) می توان یک کره را در یک هرم حک کرد. این نقطه به مرکز کره تبدیل خواهد شد.

ساده ترین هرم

با توجه به تعداد گوشه های قاعده هرم به سه گوش، چهار گوش و ... تقسیم می شوند.

هرم خواهد مثلثی, چهار گوشو غیره، زمانی که قاعده هرم مثلث، چهار ضلعی و غیره باشد. هرم مثلثییک چهار وجهی وجود دارد - یک چهار وجهی. چهار گوش - پنج وجهی و غیره.

تعریف. صورت کناری- این مثلثی است که در آن یک زاویه در بالای هرم قرار دارد و ضلع مقابل آن با ضلع قاعده (چند ضلعی) منطبق است.

تعریف. دنده های کناریاضلاع مشترک وجه های جانبی هستند. هرم به اندازه گوشه های یک چندضلعی لبه دارد.

تعریف. ارتفاع هرمعمودی است که از بالا به قاعده هرم افتاده است.

تعریف. آپوتم- این عمود بر وجه جانبی هرم است که از بالای هرم به سمت پایه پایین آمده است.

تعریف. بخش مورب- این قسمتی از هرم است که توسط صفحه ای که از بالای هرم و مورب قاعده عبور می کند.

تعریف. هرم درست- این هرمی است که قاعده آن یک چندضلعی منتظم است و ارتفاع آن تا مرکز قاعده پایین می آید.

حجم و سطح هرم

فرمول. حجم هرماز طریق مساحت و ارتفاع پایه:

خواص هرمی

اگر تمام لبه های جانبی با هم برابر باشند، می توان یک دایره را در اطراف قاعده هرم ترسیم کرد و مرکز پایه با مرکز دایره منطبق است. همچنین عمود رها شده از بالا از مرکز پایه (دایره) عبور می کند.

اگر همه دنده های جانبی با هم برابر باشند، آنگاه آنها در زوایای یکسان به صفحه پایه متمایل می شوند.

دنده های جانبی زمانی برابر هستند که با صفحه پایه زوایای مساوی تشکیل دهند یا اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کرد.

اگر وجوه جانبی در یک زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، می توان دایره ای را در قاعده هرم حک کرد و بالای هرم به مرکز آن کشیده شود.

اگر وجه‌های جانبی در یک زاویه به صفحه پایه متمایل شوند، آنگاه آپوتم‌های وجه‌های جانبی برابر هستند.

ویژگی های یک هرم منظم

1. بالای هرم از تمام زوایای قاعده فاصله دارد.

2. تمام لبه های جانبی برابر هستند.

3. همه دنده های جانبی در زوایای یکسانی نسبت به پایه متمایل هستند.

4. آپوتم تمام وجوه جانبی برابر است.

5. مساحت تمام وجوه جانبی برابر است.

6. همه وجوه دارای زوایای دو وجهی (مسطح) یکسانی هستند.

7. یک کره را می توان در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره توصیف شده نقطه تلاقی عمودهایی خواهد بود که از وسط لبه ها عبور می کنند.

8. یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. مرکز کره محاط شده، نقطه تقاطع نیمسازها خواهد بود که از زاویه بین لبه و پایه سرچشمه می گیرد.

9. اگر مرکز کره محاطی با مرکز کره محصور منطبق باشد، مجموع زوایای مسطح در راس برابر است با π یا بالعکس، یک زاویه برابر است با π / n، که در آن n عدد است. زوایای قاعده هرم

ارتباط هرم با کره

زمانی می توان یک کره را در اطراف هرم توصیف کرد که در قاعده هرم یک چندوجهی قرار داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (شرط لازم و کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که به طور عمود از نقاط میانی لبه های جانبی هرم عبور می کنند.

یک کره همیشه می تواند در اطراف هرم مثلثی یا منظم توصیف شود.

اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در یک نقطه همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه مرکز کره خواهد بود.

اتصال هرم با مخروط

مخروط در صورتی محاط شده در هرم نامیده می شود که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط در قاعده هرم حک شده باشد.

یک مخروط را می توان در یک هرم حک کرد اگر آپوتم های هرم برابر باشد.

مخروط به دور هرم احاطه شده است که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط دور قاعده هرم احاطه شده باشد.

یک مخروط را می توان در اطراف هرم توصیف کرد اگر تمام لبه های کناری هرم با یکدیگر برابر باشند.

اتصال یک هرم با یک استوانه

به هرم گفته می شود که در یک استوانه حک شده است اگر بالای هرم بر روی یک پایه استوانه باشد و قاعده هرم در پایه دیگر استوانه حک شده باشد.

اگر بتوان دایره ای را دور قاعده هرم محصور کرد، می توان یک استوانه را دور هرم محصور کرد.

تعریف. هرم بریده شده (منشور هرمی)- این یک چند وجهی است که بین قاعده هرم و صفحه مقطع موازی با قاعده قرار دارد. بنابراین هرم دارای یک پایه بزرگ و یک پایه کوچکتر است که شبیه به بزرگتر است. وجه های جانبی ذوزنقه ای هستند.

تعریف. هرم مثلثی (چهار ضلعی)- این هرمی است که در آن سه وجه و قاعده مثلث های دلخواه هستند.

یک چهار وجهی دارای چهار وجه و چهار رأس و شش یال است که در آن هر دو یال هیچ رئوس مشترکی ندارند اما با هم تماس ندارند.

هر رأس از سه وجه و یال تشکیل شده است که تشکیل می شوند زاویه سه وجهی.

قطعه ای که راس چهار ضلعی را به مرکز وجه مقابل متصل می کند نامیده می شود میانه چهار وجهی(GM).

دو میانیقطعه ای نامیده می شود که نقاط میانی لبه های مخالف را که با یکدیگر تماس ندارند (KL) را به هم وصل می کند.

همه دومیان ها و میانه های یک چهار وجهی در یک نقطه (S) قطع می شوند. در این حالت، دوسطح ها به نصف تقسیم می شوند و میانه ها به نسبت 3: 1 از بالا شروع می شوند.

تعریف. هرم مایل هرمی است که در آن یکی از لبه های آن با قاعده یک زاویه منفرد (β) تشکیل می دهد.

تعریف. هرم مستطیلیهرمی است که یکی از وجوه کناری آن عمود بر قاعده است.

تعریف. هرم زاویه دار حادهرمی است که در آن آپوتم بیش از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. هرم ماتهرمی است که در آن آپوتم کمتر از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. چهار وجهی منظم- چهار وجهی با هر چهار وجه - مثلث های متساوی الاضلاع. او یکی از پنج نفر است چند ضلعی های منظم. در یک چهار وجهی منتظم، تمام زوایای دو وجهی (بین وجهی) و زوایای سه وجهی (در یک راس) با هم برابرند.

تعریف. چهار وجهی مستطیلیچهار ضلعی نامیده می شود که بین سه یال در راس زاویه قائمه دارد (لبه ها عمود هستند). سه چهره تشکیل می شود زاویه سه وجهی مستطیلیو لبه ها هستند مثلث های قائم الزاویه، و پایه یک مثلث دلخواه است. آپوتم هر صورت برابر است با نصف ضلع پایه ای که آپوتم روی آن می افتد.

تعریف. چهار وجهی ایزوهدرالچهار ضلعی نامیده می شود که وجوه جانبی آن با یکدیگر برابر است و قاعده آن است راست گوشه. صورت های چنین چهار وجهی مثلث های متساوی الساقین هستند.

تعریف. چهار وجهی ارتوسنتریکچهار ضلعی نامیده می شود که در آن تمام ارتفاعات (عمود) که از بالا به طرف مقابل پایین می آیند در یک نقطه قطع می شوند.

تعریف. هرم ستاره ایچندوجهی که قاعده آن ستاره است نامیده می شود.

تعریف. دو هرم- یک چندوجهی متشکل از دو هرم مختلف (اهرام را نیز می توان قطع کرد)، دارای یک پایه مشترک، و رئوس در طرفین مخالف صفحه پایه قرار دارند.