هرم. هرم کوتاه شده

• 09.10.2014

  پیش تقویت کننده نشان داده شده در شکل برای استفاده با 4 نوع منبع صدا مانند میکروفون، پخش کننده سی دی، ضبط رادیو و غیره طراحی شده است. در عین حال، پیش تقویت کننده دارای یک ورودی است که می تواند حساسیت را از 50 میلی ولت به 50 میلی ولت تغییر دهد. 500 میلی ولت ولتاژ خروجی تقویت کننده 1000 میلی ولت است. برقراری ارتباط منابع مختلفسیگنال هنگام تعویض سوئیچ SA1، ما همیشه ...

• 20.09.2014

  PSU برای بار با توان 15 ... 20 وات طراحی شده است. منبع مطابق با طرح مبدل پالس فرکانس بالا تک چرخه ساخته شده است. یک اسیلاتور که در فرکانس 20 ... 40 کیلوهرتز کار می کند روی ترانزیستور مونتاژ می شود. فرکانس توسط ظرفیت C5 تنظیم می شود. عناصر VD5، VD6 و C6 مداری را برای راه اندازی یک نوسان ساز تشکیل می دهند. در مدار ثانویه، پس از یکسو کننده پل، یک تثبیت کننده خطی معمولی بر روی یک میکرو مدار وجود دارد که به شما امکان می دهد ...

• 28.09.2014

  شکل یک ژنراتور روی تراشه K174XA11 را نشان می دهد که فرکانس آن توسط ولتاژ کنترل می شود. با تغییر ظرفیت خازن C1 از 560 به 4700pF می توان محدوده فرکانس وسیعی به دست آورد، در حالی که فرکانس با تغییر مقاومت R4 تنظیم می شود. به عنوان مثال، نویسنده متوجه شد که در C1 \u003d 560pF، فرکانس ژنراتور را می توان با استفاده از R4 از 600 هرتز به 200 کیلوهرتز تغییر داد، ...

• 03.10.2014

  این واحد برای تغذیه یک ULF قدرتمند طراحی شده است، برای ولتاژ خروجی ± 27 ولت طراحی شده است و بنابراین تا 3 آمپر روی هر بازو بارگیری می کند. PSU دو قطبی است که بر روی ترانزیستورهای کامپوزیت کامل KT825-KT827 ساخته شده است. هر دو بازوی تثبیت کننده طبق یک طرح ساخته شده اند، اما در بازوی دیگر (نشان داده نشده است)، قطبیت خازن ها تغییر می کند و از ترانزیستورهای دیگری استفاده می شود ...

به چندوجهی که یکی از وجوه آن چند ضلعی و سایر وجوه آن مثلث هایی با راس مشترک باشد، هرم می گویند.

این مثلث هایی که هرم را تشکیل می دهند نامیده می شوند صورت های جانبی، و چند ضلعی باقی مانده است اساساهرام.

در پایه هرم قرار دارد شکل هندسی- n-gon. در این مورد، هرم نیز نامیده می شود n-زغال سنگ.

هرم مثلثی که همه ی لبه های آن با هم برابر است نامیده می شود چهار وجهی

لبه های هرم که به قاعده تعلق ندارند نامیده می شوند جانبی، و آنها نقطه مشترک- این هست راساهرام. لبه های دیگر هرم معمولا به عنوان نامیده می شود احزاب بنیاد.

هرم نامیده می شود درست، اگر در قاعده خود چند ضلعی منتظم داشته باشد و تمام لبه های کناری با هم برابر باشند.

فاصله از بالای هرم تا صفحه قاعده نامیده می شود بلند قداهرام. می توان گفت که ارتفاع هرم قطعه ای عمود بر قاعده است که انتهای آن در بالای هرم و روی صفحه قاعده قرار دارد.

برای هر هرم، فرمول های زیر برقرار است:

1) S کامل \u003d S سمت + S اصلی، جایی که

S کامل - منطقه سطح کاملاهرام؛

مساحت سطح جانبی S، یعنی. مجموع مساحت تمام وجوه جانبی هرم؛

پایه S - مساحت پایه هرم.

2) V = 1/3 S N اصلی، جایی که

V حجم هرم است.

H ارتفاع هرم است.

برای هرم صحیحرخ می دهد:

سمت S = 1/2 P ساعت اصلی، جایی که

P اصلی - محیط پایه هرم؛

h طول آپوتم است، یعنی طول ارتفاع وجه جانبی که از بالای هرم پایین آمده است.

قسمتی از هرم که بین دو صفحه محصور شده است - صفحه قاعده و صفحه سکونت که به موازات قاعده کشیده شده است، نامیده می شود. هرم کوتاه شده.

قاعده هرم و مقطع هرم توسط صفحه موازی نامیده می شود زمینههرم کوتاه شده بقیه چهره ها نامیده می شوند جانبی. فاصله بین صفحات پایه ها نامیده می شود بلند قدهرم کوتاه شده لبه هایی که به پایه ها تعلق ندارند نامیده می شوند جانبی.

علاوه بر این، پایه های هرم ناقص n-gon های مشابه. اگر قاعده هرم کوتاه چند ضلعی منتظم باشد و تمام لبه های کناری با هم برابر باشند، چنین هرم کوتاهی نامیده می شود. درست.

برای هرم ناقص دلخواهفرمول های زیر برقرار است:

1) S کامل \u003d سمت S + S 1 + S 2، جایی که

S کامل - سطح کل.

مساحت سطح جانبی S، یعنی. مجموع مساحت تمام وجوه جانبی هرم ناقص که ذوزنقه هستند.

S 1، S 2 - مناطق پایه؛

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))H، جایی که

V حجم هرم کوتاه شده است.

H ارتفاع هرم ناقص است.

برای هرم منقطع منظمما همچنین داریم:

سمت S \u003d 1/2 (P 1 + P 2) ساعت،جایی که

P 1، P 2 - محیط پایه ها؛

ح - آپوتم (ارتفاع وجه جانبی که ذوزنقه است).

چندین مشکل را در یک هرم کوتاه در نظر بگیرید.

وظیفه 1.

در هرم منقطع مثلثی با ارتفاع 10 اضلاع یکی از قاعده ها 27 و 29 و 52 می باشد اگر محیط قاعده دیگر 72 باشد حجم هرم بریده را مشخص کنید.

راه حل.

هرم کوتاه ABCA 1 B 1 C 1 را در نظر بگیرید شکل 1.

1. حجم یک هرم کوتاه را می توان با فرمول پیدا کرد

V = 1/3H (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2))، که در آن S 1 مساحت یکی از پایه ها است، می توان با استفاده از فرمول Heron پیدا کرد.

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c))،

زیرا مشکل طول سه ضلع مثلث داده شده است.

ما داریم: p 1 \u003d (27 + 29 + 52) / 2 \u003d 54.

S 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) \u003d √ (54 27 25 2) \u003d 270.

2. هرم کوتاه است، به این معنی که چند ضلعی های مشابه در پایه ها قرار دارند. در مورد ما، مثلث ABC شبیه مثلث A 1 B 1 C 1 است. علاوه بر این، ضریب تشابه را می توان به عنوان نسبت محیط های مثلث های در نظر گرفته شده یافت و نسبت مساحت آنها برابر با مجذور ضریب تشابه خواهد بود. بنابراین، ما داریم:

S 1 /S 2 \u003d (P 1) 2 / (P 2) 2 \u003d 108 2 / 72 2 \u003d 9/4. بنابراین S 2 \u003d 4S 1 / 9 \u003d 4 270/9 \u003d 120.

بنابراین V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

جواب: 1900.

وظیفه 2.

در یک هرم بریده مثلثی، صفحه ای از ضلع قاعده بالایی موازی با لبه طرف مقابل کشیده می شود. اگر اضلاع مربوط به قاعده ها 1:2 به هم مربوط باشند حجم هرم بریده به چه نسبت تقسیم می شود؟

راه حل.

ABCA 1 B 1 C 1 را در نظر بگیرید - یک هرم کوتاه که در آن به تصویر کشیده شده است برنج. 2.

از آنجایی که در پایه ها اضلاع به صورت 1: 2 مرتبط هستند، پس مساحت پایه ها به صورت 1: 4 مرتبط می شوند (مثلث ABC شبیه مثلث A 1 B 1 C 1 است).

سپس حجم هرم بریده شده برابر است با:

V = 1/3h (S 1 + S 2 + √(S 1 S 2)) = 1/3h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 ساعت S 2، که در آن S 2 مساحت ​پایه بالایی، h ارتفاع است.

اما حجم منشور ADEA 1 B 1 C 1 V 1 = S 2 h است و بنابراین،

V 2 \u003d V - V 1 \u003d 7/3 h S 2 - h S 2 \u003d 4/3 h S 2.

بنابراین، V 2: V 1 \u003d 3: 4.

پاسخ: 3:4.

وظیفه 3.

اضلاع پایه های هرم منقطع چهار گوش منتظم 2 و 1 و ارتفاع آن 3 است. صفحه ای از نقطه تلاقی مورب های هرم به موازات پایه های هرم کشیده می شود و هرم را به دو قسمت تقسیم می کند. . حجم هر یک از آنها را بیابید.

راه حل.

هرم کوتاه ABCD 1 B 1 C 1 D 1 را در نظر بگیرید برنج. 3.

بیایید O 1 O 2 \u003d x ، سپس OO₂ \u003d O 1 O - O 1 O 2 \u003d 3 - x را نشان دهیم.

مثلث B 1 O 2 D 1 و مثلث BO 2 D را در نظر بگیرید:

زاویه B 1 O 2 D 1 برابر با زاویه BO 2 D به صورت عمودی است.

زاویه VDO 2 برابر با زاویه D 1 B 1 O 2 و زاویه O 2 ВD برابر با زاویه B 1 D 1 O 2 است که به صورت متقاطع در B 1 D 1 || BD و بخش های B1D و BD1 به ترتیب.

بنابراین، مثلث B 1 O 2 D 1 شبیه مثلث BO 2 D است و نسبت اضلاع صورت می گیرد:

B1D 1 / BD \u003d O 1 O 2 / OO 2 یا 1/2 \u003d x / (x - 3)، از آنجا x \u003d 1.

مثلث В 1 D 1 В و مثلث LO 2 B را در نظر بگیرید: زاویه В مشترک است و همچنین یک جفت زاویه یک طرفه در B 1 D 1 || LM ، سپس مثلث B 1 D 1 B شبیه مثلث LO 2 B است ، از آنجا B 1 D: LO 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2 ، یعنی.

LO 2 \u003d 2/3 B 1 D 1, LN \u003d 4/3 B 1 D 1.

سپس S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

بنابراین، V 1 \u003d 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27.

V 2 \u003d 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27.

جواب: 152/27; 37/27.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

توانایی محاسبه حجم ارقام مکانی هنگام حل یک سری مهم است وظایف عملیتوسط هندسه یکی از رایج ترین اشکال هرم است. در این مقاله اهرام پر و کوتاه را در نظر خواهیم گرفت.

هرم به عنوان یک شکل سه بعدی

همه می دانند در مورد اهرام مصربنابراین، به خوبی نشان داده می شود که چه رقمی مورد بحث قرار خواهد گرفت. با این وجود، سازه‌های سنگی مصری تنها نمونه‌ای خاص از دسته عظیمی از اهرام هستند.

جسم هندسی در نظر گرفته شده است مورد کلیقاعده ای چند ضلعی است که هر رأس آن به نقطه ای از فضا متصل است که به صفحه قاعده تعلق ندارد. این تعریفمنجر به شکلی متشکل از یک n ضلعی و n مثلث می شود.

هر هرمی از n+1 وجه، 2*n لبه و n+1 راس تشکیل شده است. از آنجایی که شکل مورد نظر یک چندوجهی کامل است، تعداد عناصر مشخص شده مطابق با معادله اویلر است:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

چند ضلعی که در قاعده قرار دارد نام هرم را می دهد، مثلاً مثلثی، پنج ضلعی و غیره. مجموعه اهرام با زمینه های مختلفدر عکس زیر نشان داده شده است.

نقطه ای که در آن n مثلث شکل به هم وصل می شود راس هرم می گویند. اگر یک عمود از آن به قاعده پایین بیاید و آن را در مرکز هندسی قطع کند، چنین شکلی را خط مستقیم می نامند. اگر این شرط برآورده نشد، پس یک هرم مایل وجود دارد.

شکل مستقیمی که قاعده آن توسط یک n-ضلعی متساوی الاضلاع (متساوی الاضلاع) تشکیل شده است، منظم نامیده می شود.

فرمول حجم هرم

برای محاسبه حجم هرم از حساب انتگرال استفاده می کنیم. برای این کار، شکل را با صفحات سکانس موازی با پایه به تعداد بی نهایت لایه نازک تقسیم می کنیم. شکل زیر یک هرم چهار گوش با ارتفاع h و طول ضلع L را نشان می دهد که در آن یک لایه مقطع نازک با یک چهار ضلعی مشخص شده است.

مساحت هر لایه را می توان با فرمول محاسبه کرد:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

در اینجا A 0 مساحت پایه است، z مقدار مختصات عمودی است. مشاهده می شود که اگر z = 0 باشد، فرمول مقدار A 0 را می دهد.

برای بدست آوردن فرمول حجم هرم، باید انتگرال را در تمام ارتفاع شکل محاسبه کنید، یعنی:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

با جایگزینی وابستگی A(z) و محاسبه ضد مشتق، به عبارت زیر می رسیم:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

ما فرمول حجم یک هرم را به دست آورده ایم. برای یافتن مقدار V کافی است ارتفاع شکل را در مساحت پایه ضرب کنید و سپس نتیجه را بر سه تقسیم کنید.

توجه داشته باشید که عبارت به دست آمده برای محاسبه حجم یک هرم از نوع دلخواه معتبر است. یعنی می تواند مایل باشد و پایه آن می تواند یک n-gon دلخواه باشد.

و حجم آن

فرمول کلی حجم به دست آمده در پاراگراف بالا را می توان در مورد هرم با پایه درست. مساحت چنین پایه ای با فرمول زیر محاسبه می شود:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

در اینجا L طول ضلع است چند ضلعی منظمبا n راس نماد پی عدد پی است.

با جایگزینی عبارت A 0 به فرمول کلی، حجم یک هرم منظم را بدست می آوریم:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

به عنوان مثال، برای هرم مثلثیاین فرمول به عبارت زیر منجر می شود:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

برای یک هرم چهار گوش معمولی، فرمول حجم به شکل زیر است:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

تعیین حجم اهرام منظم مستلزم دانستن ضلع قاعده آنها و ارتفاع شکل است.

هرم کوتاه شده است

فرض کنید یک هرم دلخواه را گرفته ایم و قسمتی از سطح جانبی آن را که دارای رأس است بریده ایم. شکل باقی مانده یک هرم کوتاه نامیده می شود. قبلاً از دو پایه n-گونال و n ذوزنقه تشکیل شده است که آنها را به هم متصل می کند. اگر صفحه برش موازی با پایه شکل بود، یک هرم کوتاه با پایه های مشابه موازی تشکیل می شود. یعنی طول اضلاع یکی از آنها را می توان با ضرب طول دیگری در مقداری ضریب k بدست آورد.

شکل بالا یک مورد صحیح کوتاه شده را نشان می دهد پایه بالاآن نیز مانند پایین تر از یک شش ضلعی منظم تشکیل شده است.

فرمولی که می توان با استفاده از حساب انتگرالی مشابه فرمول بالا به دست آورد:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

جایی که A 0 و A 1 به ترتیب نواحی پایه های پایین (بزرگ) و بالایی (کوچک) هستند. متغیر h نشان دهنده ارتفاع هرم کوتاه شده است.

حجم هرم خئوپس

حل مشکل تعیین حجم بزرگترین هرم مصر کنجکاو است.

در سال 1984، مصر شناسان بریتانیایی مارک لهنر و جان گودمن، ابعاد دقیق هرم خئوپس را تعیین کردند. او ارتفاع اولیه 146.50 متر (در حال حاضر حدود 137 متر) بود. میانگین طول هر یک از چهار ضلع سازه 230.363 متر بود. پایه هرم مربعی شکل با دقت بالا می باشد.

بیایید از ارقام داده شده برای تعیین حجم این غول سنگی استفاده کنیم. از آنجایی که هرم یک چهارگوش منظم است، پس فرمول برای آن معتبر است:

با وصل کردن اعداد، دریافت می کنیم:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m 3.

حجم هرم خئوپس تقریبا 2.6 میلیون متر مکعب است. برای مقایسه، خاطرنشان می کنیم که استخر المپیک دارای حجم 2.5 هزار متر مکعب است. یعنی برای پرکردن کل هرم خئوپس به بیش از 1000 استخر از این دست نیاز است!

- این یک چندوجهی است که از قاعده هرم و مقطعی موازی با آن تشکیل شده است. می توانیم بگوییم که هرم ناقص، هرمی است که بالای آن بریده شده است. این رقم دارای خواص منحصر به فرد بسیاری است:

• وجهه های جانبی هرم ذوزنقه ای هستند.
• دنده های جانبی یک هرم منقطع منظم به یک اندازه هستند و در یک زاویه به قاعده متمایل می شوند.
• پایه ها چند ضلعی های مشابه هستند.
• در یک هرم منقطع منظم، چهره ها یکسان هستند ذوزنقه های متساوی الساقین، که مساحت آن برابر است. آنها همچنین در یک زاویه به پایه متمایل هستند.

فرمول مساحت سطح جانبی هرم ناقص مجموع مساحت اضلاع آن است:

از آنجایی که اضلاع هرم ناقص ذوزنقه هستند، برای محاسبه پارامترها باید از فرمول استفاده کنید. ناحیه ذوزنقه ای. برای یک هرم منقطع معمولی می توان از فرمول دیگری برای محاسبه مساحت استفاده کرد. از آنجایی که تمام اضلاع، وجه ها و زوایای آن در قاعده برابر است، می توان محیط قاعده و آپوتم را اعمال کرد و همچنین مساحت را از طریق زاویه در قاعده استخراج کرد.

اگر با توجه به شرایط یک هرم ناقص منتظم، آپوتم (ارتفاع ضلع) و طول اضلاع قاعده داده شود، آنگاه می توان مساحت را از طریق حاصل نصف حاصل از مجموع محیط های قاعده محاسبه کرد. مبانی و حکم:

بیایید به مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم کوتاه نگاه کنیم.
با توجه به یک هرم پنج ضلعی منظم. آپوتم ل\u003d 5 سانتی متر، طول صورت در پایه بزرگ است آ\u003d 6 سانتی متر، و صورت در پایه کوچکتر است ب\u003d 4 سانتی متر. مساحت هرم کوتاه شده را محاسبه کنید.

ابتدا محیط پایه ها را پیدا می کنیم. از آنجایی که به ما یک هرم پنج ضلعی داده شده است، می فهمیم که پایه ها پنج ضلعی هستند. این بدان معنی است که پایه ها یک شکل با پنج ضلع یکسان هستند. محیط پایه بزرگتر را پیدا کنید:

به همین ترتیب، محیط پایه کوچکتر را پیدا می کنیم:

اکنون می توانیم مساحت یک هرم منقطع منظم را محاسبه کنیم. داده ها را در فرمول جایگزین می کنیم:

بنابراین، ما مساحت یک هرم منقطع منظم را از طریق محیط و آپوتم محاسبه کردیم.

روش دیگر برای محاسبه مساحت سطح جانبی هرم منظم فرمول است از طریق گوشه های پایه و منطقه همین پایه ها.

بیایید به یک محاسبه مثال نگاه کنیم. به یاد داشته باشید که این فرمول فقط برای یک هرم کوتاه معمولی کاربرد دارد.

بگذارید درست شود هرم چهار گوش. حاشیه، غیرمتمرکز پایه پایین a = 6 سانتی متر و لبه b = 4 سانتی متر بالا زاویه دو وجهی در پایه β = 60 درجه. مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم را پیدا کنید.

ابتدا مساحت پایه ها را محاسبه می کنیم. از آنجایی که هرم منظم است، تمام وجوه قاعده ها با هم برابرند. با توجه به اینکه پایه چهار ضلعی است، می فهمیم که محاسبه آن ضروری خواهد بود مساحت مربع. حاصلضرب عرض و طول است، اما مجذور، این مقادیر یکسان هستند. مساحت پایه بزرگتر را پیدا کنید:


اکنون از مقادیر یافت شده برای محاسبه مساحت سطح جانبی استفاده می کنیم.

با دانستن چند فرمول ساده، مساحت ذوزنقه جانبی یک هرم بریده را به راحتی از طریق مقادیر مختلف محاسبه کردیم.