نشانه های یک هرم مثلثی منظم. اشکال هندسی

تعریف. صورت کناری- این مثلثی است که در آن یک زاویه در بالای هرم قرار دارد و ضلع مقابل آن با ضلع قاعده (چند ضلعی) منطبق است.

تعریف. دنده های کناریاضلاع مشترک وجه های جانبی هستند. هرم به اندازه گوشه های یک چندضلعی لبه دارد.

تعریف. ارتفاع هرمعمودی است که از بالا به قاعده هرم افتاده است.

تعریف. آپوتم- این عمود بر وجه جانبی هرم است که از بالای هرم به سمت پایه پایین آمده است.

تعریف. بخش مورب- این قسمتی از هرم است که توسط صفحه ای که از بالای هرم و مورب قاعده عبور می کند.

تعریف. هرم درست- این هرمی است که قاعده آن یک چندضلعی منتظم است و ارتفاع آن تا مرکز قاعده پایین می آید.

حجم و سطح هرم

فرمول. حجم هرماز طریق مساحت و ارتفاع پایه:

خواص هرم

اگر تمام لبه های جانبی با هم برابر باشند، می توان یک دایره را در اطراف قاعده هرم ترسیم کرد و مرکز پایه با مرکز دایره منطبق است. همچنین عمود رها شده از بالا از مرکز پایه (دایره) عبور می کند.

اگر همه دنده های جانبی با هم برابر باشند، آنگاه آنها در زوایای یکسان به صفحه پایه متمایل می شوند.

دنده های جانبی زمانی برابر هستند که با صفحه پایه زوایای مساوی تشکیل دهند یا اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کرد.

اگر وجوه جانبی در یک زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، می توان دایره ای را در قاعده هرم حک کرد و بالای هرم به مرکز آن کشیده شود.

اگر وجه‌های جانبی در یک زاویه به صفحه پایه متمایل شوند، آنگاه آپوتم‌های وجه‌های جانبی برابر هستند.

ویژگی های یک هرم منظم

1. بالای هرم از تمام زوایای قاعده فاصله دارد.

2. تمام لبه های جانبی برابر هستند.

3. همه دنده های جانبی در زوایای یکسانی نسبت به پایه متمایل هستند.

4. آپوتم تمام وجوه جانبی برابر است.

5. مساحت تمام وجوه جانبی برابر است.

6. همه وجوه دارای زوایای دو وجهی (مسطح) یکسانی هستند.

7. یک کره را می توان در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره توصیف شده نقطه تلاقی عمودهایی خواهد بود که از وسط لبه ها عبور می کنند.

8. یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. مرکز کره محاط شده، نقطه تقاطع نیمسازها خواهد بود که از زاویه بین لبه و پایه سرچشمه می گیرد.

9. اگر مرکز کره محاطی با مرکز کره محصور منطبق باشد، مجموع زوایای مسطح در راس برابر است با π یا بالعکس، یک زاویه برابر است با π / n، که در آن n عدد است. زوایای قاعده هرم

ارتباط هرم با کره

زمانی می توان یک کره را در اطراف هرم توصیف کرد که در قاعده هرم یک چند وجهی قرار داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (لازم و شرایط کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که به طور عمود از نقاط میانی لبه های جانبی هرم عبور می کنند.

اطراف هر مثلثی یا هرم صحیحهمیشه می توان یک کره را توصیف کرد.

اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در یک نقطه همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه مرکز کره خواهد بود.

اتصال هرم با مخروط

مخروط در صورتی محاط شده در هرم نامیده می شود که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط در قاعده هرم حک شده باشد.

یک مخروط را می توان در یک هرم حک کرد اگر آپوتم های هرم برابر باشد.

مخروط به دور هرم احاطه شده است که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط دور قاعده هرم احاطه شده باشد.

یک مخروط را می توان در اطراف هرم توصیف کرد اگر تمام لبه های کناری هرم با یکدیگر برابر باشند.

اتصال یک هرم با یک استوانه

به هرم گفته می شود که در یک استوانه حک شده است اگر بالای هرم بر روی یک پایه استوانه باشد و قاعده هرم در پایه دیگر استوانه حک شده باشد.

اگر بتوان دایره ای را دور قاعده هرم محصور کرد، می توان یک استوانه را دور هرم محصور کرد.

تعریف. هرم بریده شده (منشور هرمی)- این یک چند وجهی است که بین قاعده هرم و صفحه مقطع موازی با قاعده قرار دارد. بنابراین هرم دارای یک پایه بزرگ و یک پایه کوچکتر است که شبیه به بزرگتر است. وجه های جانبی ذوزنقه ای هستند.

تعریف. هرم مثلثی (چهار ضلعی)- این هرمی است که در آن سه وجه و قاعده مثلث های دلخواه هستند.

یک چهار وجهی دارای چهار وجه و چهار رأس و شش یال است که در آن هر دو یال هیچ رئوس مشترکی ندارند اما با هم تماس ندارند.

هر رأس از سه وجه و یال تشکیل شده است که تشکیل می شوند زاویه سه وجهی.

قطعه ای که راس چهار ضلعی را به مرکز وجه مقابل متصل می کند نامیده می شود میانه چهار وجهی(GM).

دو میانیقطعه ای نامیده می شود که نقاط میانی لبه های مخالف را که با یکدیگر تماس ندارند (KL) را به هم وصل می کند.

همه دومیان ها و میانه های یک چهار وجهی در یک نقطه (S) قطع می شوند. در این حالت، دوسطح ها به نصف تقسیم می شوند و میانه ها به نسبت 3: 1 از بالا شروع می شوند.

تعریف. هرم مایل هرمی است که در آن یکی از لبه های آن با قاعده یک زاویه منفرد (β) تشکیل می دهد.

تعریف. هرم مستطیلیهرمی است که یکی از وجوه کناری آن عمود بر قاعده است.

تعریف. هرم زاویه دار حادهرمی است که در آن آپوتم بیش از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. هرم ماتهرمی است که در آن آپوتم کمتر از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. چهار وجهی منظم- چهار وجهی با هر چهار وجه - مثلث های متساوی الاضلاع. این یکی از پنج چند ضلعی منظم است. در یک چهار وجهی منتظم، تمام زوایای دو وجهی (بین وجهی) و زوایای سه وجهی (در یک راس) با هم برابرند.

تعریف. چهار وجهی مستطیلیچهار ضلعی نامیده می شود که بین سه یال در راس زاویه قائمه دارد (لبه ها عمود هستند). سه چهره تشکیل می شود زاویه سه وجهی مستطیلیو وجه ها مثلث قائم الزاویه هستند و قاعده مثلث دلخواه است. آپوتم هر صورت برابر است با نصف ضلع پایه ای که آپوتم روی آن می افتد.

تعریف. چهار وجهی ایزوهدرالچهار ضلعی نامیده می شود که وجوه جانبی آن با یکدیگر برابر است و قاعده آن است راست گوشه. صورت های چنین چهار وجهی مثلث های متساوی الساقین هستند.

تعریف. چهار وجهی ارتوسنتریکچهار ضلعی نامیده می شود که در آن تمام ارتفاعات (عمود) که از بالا به طرف مقابل پایین می آیند در یک نقطه قطع می شوند.

تعریف. هرم ستاره ایچندوجهی که قاعده آن ستاره است نامیده می شود.

تعریف. دو هرم- یک چندوجهی متشکل از دو هرم مختلف (اهرام را نیز می توان قطع کرد)، دارای یک پایه مشترک، و رئوس در طرفین مخالف صفحه پایه قرار دارند.

تعریف

هرمچند ضلعی متشکل از چند ضلعی \(A_1A_2...A_n\) و \(n\) مثلث با راس مشترک \(P\) (در صفحه چندضلعی نیست) و اضلاع مقابل منطبق بر اضلاع چند ضلعی
نامگذاری: \(PA_1A_2...A_n\) .
مثال: هرم پنج ضلعی \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

مثلث \(PA_1A_2، \ PA_2A_3\) و غیره. تماس گرفت صورت های جانبیاهرام، بخش‌های \(PA_1، PA_2\) و غیره - دنده های جانبی، چند ضلعی \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - اساس، نقطه \(P\) - اجلاس - همایش.

ارتفاعاهرام عمودی هستند که از بالای هرم به صفحه قاعده می افتند.

هرمی که قاعده آن مثلثی باشد نامیده می شود چهار وجهی.

هرم نامیده می شود درستاگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و یکی از شرایط زیر را داشته باشد:

\((a)\) لبه های کناری هرم برابر است.

\((ب)\) ارتفاع هرم از مرکز دایره محصور نزدیک قاعده می گذرد.

\((c)\) دنده های جانبی با همان زاویه به صفحه پایه متمایل می شوند.

\((d)\) وجه های جانبی با همان زاویه به صفحه پایه متمایل می شوند.

چهار وجهی منظمیک هرم مثلثی است که تمام وجوه آن مثلث های متساوی الاضلاع هستند.

قضیه

شرایط \((الف)، (ب)، (ج)، (د)\) معادل هستند.

اثبات

ارتفاع هرم \(PH\) را رسم کنید. فرض کنید \(\alpha\) صفحه قاعده هرم باشد.

1) اجازه دهید ثابت کنیم که \((a)\) به معنای \((b)\) است. اجازه دهید \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

زیرا \(PH\perp \alpha\)، سپس \(PH\) عمود بر هر خطی است که در این صفحه قرار دارد، بنابراین مثلث ها قائم الزاویه هستند. بنابراین این مثلث ها در پایه مشترک \(PH\) و هیپوتانوس \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) برابر هستند. بنابراین \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . این بدان معنی است که نقاط \(A_1، A_2، ...، A_n\) در فاصله یکسانی از نقطه \(H\) قرار دارند، بنابراین روی یک دایره با شعاع \(A_1H\) قرار دارند. این دایره، طبق تعریف، حدود چند ضلعی \(A_1A_2...A_n\) است.

2) اجازه دهید ثابت کنیم که \((b)\) به معنای \((c)\) است.

\(PA_1H، PA_2H، PA_3H،...، PA_nH\)مستطیلی و در دو پایه مساوی. بنابراین، زوایای آنها نیز برابر است، بنابراین، \(\زاویه PA_1H=\زاویه PA_2H=...=\زاویه PA_nH\).

3) اجازه دهید ثابت کنیم که \((c)\) به معنای \((a)\) است.

مشابه نقطه اول مثلث ها \(PA_1H، PA_2H، PA_3H،...، PA_nH\)مستطیلی و در امتداد ساق و گوشه ی تیز. این بدان معنی است که هیپوتانوس آنها نیز برابر است، یعنی \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) اجازه دهید ثابت کنیم که \((b)\) به معنای \((d)\) است.

زیرا در یک چند ضلعی منتظم، مرکز دایره های محاط شده و محاط شده بر هم منطبق هستند (به طور کلی، این نقطه مرکز یک چند ضلعی منتظم نامیده می شود)، سپس \(H\) مرکز دایره محاط است. بیایید از نقطه \(H\) به اضلاع قاعده عمود بکشیم: \(HK_1, HK_2\) و غیره. اینها شعاع دایره محاطی شده (طبق تعریف) هستند. سپس با توجه به TTP، (\(PH\) عمود بر صفحه است، \(HK_1، HK_2\) و غیره برآمدگی های عمود بر اضلاع هستند) مورب \(PK_1، PK_2\) و غیره. عمود بر اضلاع \(A_1A_2، A_2A_3\) و غیره. به ترتیب. بنابراین، طبق تعریف \(\زاویه PK_1H، \زاویه PK_2H\)برابر با زوایای بین وجوه جانبی و پایه است. زیرا مثلث های \(PK_1H، PK_2H، ...\) برابر هستند (به صورت قائم الزاویه روی دو پایه)، سپس زوایا \(\ زاویه PK_1H، \زاویه PK_2H، ...\)برابر هستند.

5) اجازه دهید ثابت کنیم که \((d)\) به معنای \((b)\) است.

مانند نقطه چهارم، مثلث های \(PK_1H, PK_2H, ...\) برابر هستند (به صورت مستطیل در امتداد ساق و زاویه حاد) به این معنی که بخش های \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) برابر هستند. از این رو، طبق تعریف، \(H\) مرکز دایره ای است که در پایه محاط شده است. اما از آنجایی که برای چند ضلعی های منتظم، مرکز دایره های محاط شده و محصور بر هم منطبق هستند، سپس \(H\) مرکز دایره محصور است. Chtd.

نتیجه

وجوه جانبی هرم منظم مثلثهای متساوی الساقین هستند.

تعریف

ارتفاع وجه جانبی یک هرم منظم که از بالای آن کشیده شده است نامیده می شود آپوتما.
آپوتم های تمام وجوه جانبی هرم منتظم با یکدیگر مساوی و وسط و نیمساز هستند.

یادداشت های مهم

1. ارتفاع هرم مثلثی منتظم به نقطه تقاطع ارتفاعات (یا نیمسازها یا میانه ها) قاعده می رسد (پایه یک مثلث منظم است).

2. ارتفاع هرم چهار گوش منتظم به نقطه تقاطع مورب های قاعده می رسد (پایه یک مربع است).

3. ارتفاع یک هرم شش ضلعی منتظم به نقطه تلاقی مورب های قاعده می رسد (پایه یک شش ضلعی منتظم است).

4. ارتفاع هرم عمود بر هر خط مستقیمی است که در قاعده قرار دارد.

تعریف

هرم نامیده می شود مستطیل شکلاگر یکی از لبه های جانبی آن عمود بر صفحه قاعده باشد.

یادداشت های مهم

1. برای هرم مستطیلی، لبه عمود بر قاعده، ارتفاع هرم است. یعنی \(SR\) ارتفاع است.

2. چون \(SR\) عمود بر هر خطی از پایه است، سپس \(\ مثلث SRM، \مثلث SRP\) – مثلث های قائم الزاویه.

3. مثلث \(\مثلث SRN، \مثلث SRK\)مستطیل شکل نیز هستند.
یعنی هر مثلثی که از این یال و مورب بیرون آمده از راس این یال که در قاعده قرار دارد، قائم الزاویه خواهد بود.

\[(\Large(\text(حجم و سطح هرم)))\]

قضیه

حجم هرم برابر با یک سوم حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع هرم است: \

عواقب

اجازه دهید \(a\) ضلع پایه، \(h\) ارتفاع هرم باشد.

1. حجم هرم مثلثی منظم است \(V_(\text(مثلث راست pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. حجم هرم چهار گوش منتظم است \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. حجم هرم شش ضلعی منظم است \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. حجم چهار وجهی منظم است \(V_(\text(tetra سمت راست.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

قضیه

مساحت سطح جانبی هرم منظم برابر با نصف حاصلضرب محیط قاعده و آپوتم است.

\[(\Large(\text(هرم کوتاه شده)))\]

تعریف

یک هرم دلخواه \(PA_1A_2A_3...A_n\) را در نظر بگیرید. اجازه دهید صفحه ای موازی با قاعده هرم از طریق نقطه خاصی که در لبه کناری هرم قرار دارد ترسیم کنیم. این صفحه هرم را به دو چند وجهی تقسیم می کند که یکی از آنها هرم است (\(PB_1B_2...B_n\)) و دیگری نامیده می شود. هرم کوتاه شده(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\)).

هرم بریده دارای دو پایه است - چند ضلعی \(A_1A_2...A_n\) و \(B_1B_2...B_n\) که شبیه یکدیگر هستند.

ارتفاع هرم ناقص عمودی است که از نقطه ای کشیده شده است پایه بالاییبه صفحه پایین

یادداشت های مهم

1. تمام وجوه جانبی هرم ناقص ذوزنقه هستند.

2. پاره ای که مرکز پایه های یک هرم منقطع منتظم را به هم وصل می کند (یعنی هرمی که توسط قسمتی از هرم منظم به دست می آید) ارتفاع است.

هنگام حل مسئله C2 با استفاده از روش مختصات، بسیاری از دانش آموزان با همین مشکل مواجه می شوند. نمی توانند محاسبه کنند مختصات نقطهدر فرمول گنجانده شده است محصول نقطه ای. بزرگترین مشکلات هستند اهرام. و اگر نقاط پایه کم و بیش نرمال در نظر گرفته شوند، آنگاه تاپ ها یک جهنم واقعی هستند.

امروز به یک هرم چهار گوش منظم می پردازیم. همچنین یک هرم مثلثی (معروف به - چهار وجهی). این یک طراحی پیچیده تر است، بنابراین یک درس جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد.

بیایید با تعریف شروع کنیم:

هرم منظم هرمی است که در آن:

پایه یک چند ضلعی منظم است: مثلث، مربع، و غیره.

ارتفاع کشیده شده به پایه از مرکز آن می گذرد.

به طور خاص، پایه یک هرم چهار گوش است مربع. درست مثل خئوپس، فقط کمی کوچکتر.

در زیر محاسبات مربوط به هرمی با تمام لبه های آن برابر با 1 است. اگر در مشکل شما اینطور نیست، محاسبات تغییر نمی کند - فقط اعداد متفاوت خواهند بود.

رئوس یک هرم چهار گوش

بنابراین، اجازه دهید درست شود هرم چهار گوش SABCD، جایی که S بالا است، پایه ABCD مربع است. همه یال ها برابر با 1 هستند. لازم است یک سیستم مختصات را وارد کنید و مختصات همه نقاط را پیدا کنید. ما داریم:

ما یک سیستم مختصات را با مبدا در نقطه A معرفی می کنیم:

محور OX به موازات لبه AB هدایت می شود.
محور OY - موازی با AD. از آنجایی که ABCD یک مربع است، AB ⊥ AD ;
در نهایت، محور OZ به سمت بالا، عمود بر صفحه ABCD هدایت می شود.

حالا مختصات را در نظر می گیریم. ساخت و ساز اضافی: SH - ارتفاع کشیده شده به پایه. برای راحتی، پایه هرم را در یک شکل جداگانه بیرون می آوریم. از آنجایی که نقاط A، B، C و D در صفحه OXY قرار دارند، مختصات آنها z = 0 است.

A = (0; 0; 0) - منطبق با مبدا.
B = (1؛ 0؛ 0) - گام به 1 در امتداد محور OX از مبدا.
C = (1؛ 1؛ 0) - گام به 1 در امتداد محور OX و 1 در امتداد محور OY.
D = (0؛ 1؛ 0) - فقط در امتداد محور OY قدم بردارید.
H \u003d (0.5؛ 0.5؛ 0) - مرکز مربع، وسط بخش AC.

باقی مانده است که مختصات نقطه S را پیدا کنیم. توجه داشته باشید که مختصات x و y نقاط S و H یکسان هستند زیرا روی یک خط مستقیم موازی با محور OZ قرار دارند. باقی مانده است که مختصات z را برای نقطه S پیدا کنیم.

مثلث های ASH و ABH را در نظر بگیرید:

AS = AB = 1 با شرط.
زاویه AHS = AHB = 90 درجه زیرا SH ارتفاع و AH ⊥ HB به عنوان قطرهای مربع است.
طرف ق - مشترک.

بنابراین مثلث های قائم الزاویه ASH و ABH برابریک پا و یک هیپوتانوز. بنابراین SH = BH = 0.5 BD. اما BD مورب مربعی با ضلع 1 است. بنابراین داریم:

مجموع مختصات نقطه S:

در پایان، مختصات تمام رئوس یک هرم مستطیلی منظم را می نویسیم:

وقتی دنده ها متفاوت هستند چه باید کرد

اما اگر لبه های کناری هرم با لبه های پایه برابر نباشد چه؟ در این مورد مثلث AHS را در نظر بگیرید:

مثلث AHS- مستطیل شکلو هیپوتونوس AS نیز لبه جانبی هرم اصلی SABCD است. پایه AH به راحتی در نظر گرفته می شود: AH = 0.5 AC. پای باقی مانده SH را پیدا کنید طبق قضیه فیثاغورث. این مختصات z برای نقطه S خواهد بود.

یک وظیفه. یک هرم چهار گوش منتظم SABCD را در نظر می گیریم که در قاعده آن مربعی با ضلع 1 قرار دارد. لبه جانبی BS = 3. مختصات نقطه S را پیدا کنید.

ما قبلاً مختصات x و y این نقطه را می دانیم: x = y = 0.5. این از دو واقعیت ناشی می شود:

طرح نقطه S بر روی صفحه OXY نقطه H است.
در عین حال نقطه H مرکز مربع ABCD است که تمام اضلاع آن برابر با 1 است.

باقی مانده است که مختصات نقطه S را پیدا کنیم. مثلث AHS را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است، با فرض AS = BS = 3، پایه AH نصف قطر است. برای محاسبات بیشتر به طول آن نیاز داریم:

قضیه فیثاغورث برای مثلث AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . ما داریم:

بنابراین، مختصات نقطه S:

حکم- ارتفاع وجه جانبی یک هرم منتظم که از بالای آن کشیده شده است (علاوه بر این، نقطه عمودی طول عمود است که از وسط یک چند ضلعی منتظم به 1 ضلع آن پایین می آید).
صورت های جانبی (ASB، BSC، CSD، DSA) - مثلث هایی که در بالا همگرا می شوند.
دنده های جانبی ( مانند , لیسانس , CS , D.S. ) - طرف های مشترک وجه های جانبی؛
بالای هرم (در مقابل) - نقطه ای که لبه های جانبی را به هم متصل می کند و در صفحه پایه قرار ندارد.
ارتفاع ( بنابراین ) - بخشی از عمود، که از طریق بالای هرم به صفحه قاعده آن کشیده می شود (انتهای یک قسمت بالای هرم و قاعده عمود خواهد بود).
بخش مورب هرم- بخشی از هرم که از بالا و مورب پایه عبور می کند.
پایه (آ ب پ ت) چند ضلعی است که بالای هرم به آن تعلق ندارد.

خواص هرمی

1. هنگامی که تمام لبه های جانبی یک اندازه هستند، پس:

در نزدیکی قاعده هرم، توصیف یک دایره آسان است، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
دنده های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند.
علاوه بر این، برعکس نیز صادق است، یعنی. هنگامی که لبه های جانبی زوایای مساوی با صفحه پایه تشکیل می دهند، یا زمانی که بتوان یک دایره را در نزدیکی قاعده هرم توصیف کرد و بالای هرم به مرکز این دایره بیرون زد، آنگاه تمام لبه های جانبی هرم دارای همان اندازه.

2. هنگامی که وجوه جانبی دارای زاویه تمایل نسبت به صفحه قاعده با همان مقدار هستند، آنگاه:

در نزدیکی قاعده هرم، توصیف یک دایره آسان است، در حالی که بالای هرم به مرکز این دایره کشیده می شود.
ارتفاع وجه های جانبی از طول مساوی است.
مساحت سطح جانبی ½ حاصلضرب محیط پایه و ارتفاع وجه جانبی است.

3. اگر قاعده هرم چند ضلعی باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در نزدیکی هرم توصیف کرد. مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که از نقاط میانی لبه های هرم عمود بر آنها عبور می کنند. از این قضیه نتیجه می گیریم که یک کره را می توان هم در اطراف هر مثلثی و هم در اطراف هر هرم منظم توصیف کرد.

4. اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در نقطه 1 همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) می توان یک کره را در یک هرم حک کرد. این نقطه به مرکز کره تبدیل خواهد شد.

ساده ترین هرم

با توجه به تعداد گوشه های قاعده هرم به سه گوش، چهار گوش و ... تقسیم می شوند.

هرم خواهد مثلثی, چهار گوشو غیره، زمانی که قاعده هرم مثلث، چهار ضلعی و غیره باشد. یک هرم مثلثی یک چهار وجهی است - یک چهار وجهی. چهار گوش - پنج وجهی و غیره.

در اینجا اطلاعات اولیه در مورد اهرام و فرمول ها و مفاهیم مربوطه جمع آوری شده است. همه آنها با یک معلم خصوصی در ریاضیات برای آمادگی برای امتحان مطالعه می شوند.

یک صفحه، یک چند ضلعی را در نظر بگیرید در آن خوابیده و یک نقطه S در آن قرار ندارد. S را به تمام رئوس چند ضلعی وصل کنید. چندوجهی به دست آمده هرم نامیده می شود. قطعات را لبه های جانبی می نامند. چند ضلعی را قاعده و نقطه S را بالای هرم می نامند. بسته به عدد n، هرم را مثلثی (n=3)، چهار گوش (n=4)، پنج ضلعی (n=5) و غیره می نامند. نام جایگزین برای هرم مثلثی - چهار وجهی. ارتفاع هرم عمودی است که از راس آن به صفحه پایه کشیده شده است.

هرم اگر صحیح نامیده می شود یک چندضلعی منتظم و قاعده ارتفاع هرم (پایه عمود) مرکز آن است.

نظر استاد راهنما:
مفهوم "هرم منظم" و "چهار ضلعی منظم" را با هم اشتباه نگیرید. در هرم منظم، لبه های کناری لزوماً با لبه های قاعده برابر نیستند، اما در چهار وجهی منظم، تمام 6 یال لبه ها برابر هستند. این تعریف اوست. به راحتی می توان ثابت کرد که تساوی دلالت بر مرکز P چند ضلعی دارد با قاعده ارتفاع، بنابراین یک چهار وجهی منظم یک هرم منظم است.

آپوتم چیست؟
علامت هرم ارتفاع وجه جانبی آن است. اگر هرم منتظم باشد، پس تمام اثار آن برابر است. عکس این قضیه درست نیست.

معلم ریاضی در مورد اصطلاحات خود: کار با اهرام 80٪ از طریق دو نوع مثلث ساخته می شود:
1) حاوی آپوتم SK و ارتفاع SP
2) حاوی لبه جانبی SA و PA برآمدگی آن

برای ساده کردن ارجاعات به این مثلث ها، نام بردن اولین آنها برای معلم ریاضی راحت تر است. بی روح، و دوم ساحلی. متأسفانه در هیچ یک از کتاب های درسی این اصطلاح را پیدا نمی کنید و معلم باید آن را یک طرفه معرفی کند.

فرمول حجم هرم:
1) ، مساحت قاعده هرم کجاست و ارتفاع هرم است
2) ، که در آن شعاع کره محاطی است و مساحت است سطح کاملاهرام.
3) ، که در آن MN فاصله هر دو یال متقاطع است و مساحت متوازی الاضلاع است که توسط نقاط میانی چهار یال باقی مانده تشکیل شده است.

ویژگی پایه ارتفاع هرم:

نقطه P (نگاه کنید به شکل) با مرکز دایره محاطی شده در قاعده هرم منطبق است اگر یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:
1) همه ابهام ها برابرند
2) تمام وجوه جانبی به یک اندازه به سمت پایه متمایل هستند
3) همه آپوتم ها به یک اندازه به ارتفاع هرم تمایل دارند
4) ارتفاع هرم به یک اندازه به تمام وجوه جانبی متمایل است

تفسیر معلم ریاضی: توجه داشته باشید که همه موارد با یک متحد می شوند اموال عمومی: به هر طریقی، چهره های جانبی در همه جا شرکت می کنند (آپوتم عناصر آنها هستند). بنابراین، معلم می‌تواند فرمول کمتر دقیق‌تر، اما راحت‌تری را برای به خاطر سپردن ارائه دهد: نقطه P با مرکز دایره محاط شده، پایه هرم، منطبق است، اگر اطلاعات مساوی در مورد وجوه جانبی آن وجود داشته باشد. برای اثبات آن کافی است نشان دهیم که همه مثلث های غیرمعمول برابر هستند.

نقطه P با مرکز دایره محصور در نزدیکی قاعده هرم منطبق است، اگر یکی از سه شرط درست باشد:
1) تمام لبه های جانبی برابر هستند
2) همه دنده های جانبی به یک اندازه به سمت پایه متمایل می شوند
3) همه دنده های جانبی به یک اندازه به ارتفاع متمایل می شوند