هنگام حل مسئله C2 با استفاده از روش مختصات، بسیاری از دانش آموزان با همین مشکل مواجه می شوند. نمی توانند محاسبه کنند مختصات نقطهدر فرمول گنجانده شده است محصول نقطه ای. بزرگترین مشکلات هستند اهرام. و اگر نقاط پایه کم و بیش نرمال در نظر گرفته شوند، آنگاه تاپ ها یک جهنم واقعی هستند.

امروز به یک هرم چهار گوش منظم می پردازیم. همچنین یک هرم مثلثی (معروف به - چهار وجهی). این یک طراحی پیچیده تر است، بنابراین یک درس جداگانه به آن اختصاص داده خواهد شد.

بیایید با تعریف شروع کنیم:

هرم منظم هرمی است که در آن:

1. در پایه نهفته است چند ضلعی منظم: مثلث، مربع و غیره؛
2. ارتفاع کشیده شده به پایه از مرکز آن می گذرد.

به طور خاص، اساس هرم چهار گوشاست مربع. درست مثل خئوپس، فقط کمی کوچکتر.

در زیر محاسبات هرمی با تمام لبه‌های آن برابر با 1 است. اگر در مشکل شما اینطور نیست، محاسبات تغییر نمی‌کند - فقط اعداد متفاوت خواهند بود.

رئوس یک هرم چهار گوش

بنابراین، اجازه دهید یک هرم چهار گوش منتظم SABCD داده شود، جایی که S بالای آن است، قاعده ABCD یک مربع است. همه یال ها برابر با 1 هستند. لازم است یک سیستم مختصات را وارد کنید و مختصات همه نقاط را پیدا کنید. ما داریم:

ما یک سیستم مختصات را با مبدا در نقطه A معرفی می کنیم:

1. محور OX به موازات لبه AB هدایت می شود.
2. محور OY - موازی با AD. از آنجایی که ABCD یک مربع است، AB ⊥ AD ;
3. در نهایت، محور OZ به سمت بالا، عمود بر صفحه ABCD هدایت می شود.

حالا مختصات را در نظر می گیریم. ساخت و ساز اضافی: SH - ارتفاع کشیده شده به پایه. برای راحتی، پایه هرم را در یک شکل جداگانه بیرون می آوریم. از آنجایی که نقاط A، B، C و D در صفحه OXY قرار دارند، مختصات آنها z = 0 است.

1. A = (0; 0; 0) - منطبق با مبدا.
2. B = (1؛ 0؛ 0) - گام به 1 در امتداد محور OX از مبدا.
3. C = (1؛ 1؛ 0) - گام به 1 در امتداد محور OX و 1 در امتداد محور OY.
4. D = (0؛ 1؛ 0) - فقط در امتداد محور OY قدم بردارید.
5. H \u003d (0.5؛ 0.5؛ 0) - مرکز مربع، وسط بخش AC.

باقی مانده است که مختصات نقطه S را پیدا کنیم. توجه داشته باشید که مختصات x و y نقاط S و H یکسان هستند زیرا روی یک خط مستقیم موازی با محور OZ قرار دارند. باقی مانده است که مختصات z را برای نقطه S پیدا کنیم.

مثلث های ASH و ABH را در نظر بگیرید:

1. AS = AB = 1 با شرط.
2. زاویه AHS = AHB = 90 درجه زیرا SH ارتفاع و AH ⊥ HB به عنوان قطرهای مربع است.
3. طرف ق - مشترک.

بنابراین مثلث های قائم الزاویه ASH و ABH برابریک پا و یک هیپوتانوز. بنابراین SH = BH = 0.5 BD. اما BD مورب مربعی با ضلع 1 است. بنابراین داریم:

مجموع مختصات نقطه S:

در پایان، مختصات تمام رئوس یک هرم مستطیلی منظم را می نویسیم:

وقتی دنده ها متفاوت هستند چه باید کرد

اما اگر لبه های کناری هرم با لبه های پایه برابر نباشد چه؟ در این مورد مثلث AHS را در نظر بگیرید:

مثلث AHS- مستطیل شکلو هیپوتونوس AS نیز لبه جانبی هرم اصلی SABCD است. پایه AH به راحتی در نظر گرفته می شود: AH = 0.5 AC. پای باقی مانده SH را پیدا کنید طبق قضیه فیثاغورث. این مختصات z برای نقطه S خواهد بود.

یک وظیفه. یک هرم چهار گوش منتظم SABCD را در نظر می گیریم که در قاعده آن مربعی با ضلع 1 قرار دارد. لبه جانبی BS = 3. مختصات نقطه S را پیدا کنید.

ما قبلاً مختصات x و y این نقطه را می دانیم: x = y = 0.5. این از دو واقعیت ناشی می شود:

1. طرح نقطه S بر روی صفحه OXY نقطه H است.
2. در عین حال نقطه H مرکز مربع ABCD است که تمام اضلاع آن برابر با 1 است.

باقی مانده است که مختصات نقطه S را پیدا کنیم. مثلث AHS را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است، با فرض AS = BS = 3، پایه AH نصف قطر است. برای محاسبات بیشتر به طول آن نیاز داریم:

قضیه فیثاغورث برای مثلث AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . ما داریم:

بنابراین، مختصات نقطه S:

تعریف. صورت کناری- این مثلثی است که در آن یک زاویه در بالای هرم قرار دارد و ضلع مقابل آن با ضلع قاعده (چند ضلعی) منطبق است.

تعریف. دنده های کناریاضلاع مشترک وجه های جانبی هستند. هرم به اندازه گوشه های یک چندضلعی لبه دارد.

تعریف. ارتفاع هرمعمودی است که از بالا به قاعده هرم افتاده است.

تعریف. آپوتم- این عمود بر وجه جانبی هرم است که از بالای هرم به سمت پایه پایین آمده است.

تعریف. بخش مورب- این قسمتی از هرم است که توسط صفحه ای که از بالای هرم و مورب قاعده عبور می کند.

تعریف. هرم درست- این هرمی است که قاعده آن یک چندضلعی منتظم است و ارتفاع آن تا مرکز قاعده پایین می آید.

حجم و سطح هرم

فرمول. حجم هرماز طریق مساحت و ارتفاع پایه:

خواص هرم

اگر تمام لبه های کناری با هم برابر باشند، می توان یک دایره را در اطراف قاعده هرم ترسیم کرد و مرکز پایه با مرکز دایره منطبق است. همچنین عمود رها شده از بالا از مرکز پایه (دایره) عبور می کند.

اگر همه دنده های جانبی با هم برابر باشند، آنگاه آنها در زوایای یکسان به صفحه پایه متمایل می شوند.

دنده های جانبی زمانی برابر هستند که با صفحه پایه زوایای مساوی تشکیل دهند یا اگر بتوان دایره ای را در اطراف قاعده هرم توصیف کرد.

اگر وجه‌های جانبی در یک زاویه به صفحه قاعده متمایل شوند، می‌توان دایره‌ای را در قاعده هرم حک کرد و بالای هرم به مرکز آن کشیده شود.

اگر وجه‌های جانبی در یک زاویه به صفحه پایه متمایل شوند، آنگاه آپوتم‌های وجه‌های جانبی برابر هستند.

ویژگی های یک هرم منظم

1. بالای هرم از تمام زوایای قاعده فاصله دارد.

2. تمام لبه های جانبی برابر هستند.

3. همه دنده های جانبی در زوایای یکسانی نسبت به پایه متمایل هستند.

4. آپوتم تمام وجوه جانبی برابر است.

5. مساحت تمام وجوه جانبی برابر است.

6. همه وجوه دارای زوایای دو وجهی (مسطح) یکسانی هستند.

7. یک کره را می توان در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره توصیف شده نقطه تلاقی عمودهایی خواهد بود که از وسط لبه ها عبور می کنند.

8. یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. مرکز کره محاط شده، نقطه تقاطع نیمسازها خواهد بود که از زاویه بین لبه و پایه سرچشمه می گیرد.

9. اگر مرکز کره محاطی با مرکز کره محصور منطبق باشد، مجموع زوایای مسطح در راس برابر است با π یا بالعکس، یک زاویه برابر با π / n است که n عدد است. زوایای قاعده هرم

ارتباط هرم با کره

زمانی می توان یک کره را در اطراف هرم توصیف کرد که در قاعده هرم یک چند وجهی قرار داشته باشد که دور آن دایره ای توصیف شود (لازم و شرایط کافی). مرکز کره نقطه تلاقی صفحاتی خواهد بود که به طور عمود از نقاط میانی لبه های جانبی هرم عبور می کنند.

اطراف هر مثلثی یا هرم صحیحهمیشه می توان یک کره را توصیف کرد.

اگر صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم در یک نقطه همدیگر را قطع کنند (شرط لازم و کافی) یک کره را می توان در یک هرم حک کرد. این نقطه مرکز کره خواهد بود.

اتصال هرم با مخروط

مخروط در صورتی محاط شده در هرم نامیده می شود که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط در قاعده هرم حک شده باشد.

یک مخروط را می توان در یک هرم حک کرد اگر آپوتم های هرم برابر باشد.

مخروط به دور هرم احاطه شده است که رئوس آنها منطبق باشند و قاعده مخروط دور قاعده هرم احاطه شده باشد.

یک مخروط را می توان در اطراف هرم توصیف کرد اگر تمام لبه های کناری هرم با یکدیگر برابر باشند.

اتصال یک هرم با یک استوانه

به هرم گفته می شود که در یک استوانه حک شده است اگر بالای هرم روی یک پایه استوانه باشد و قاعده هرم در پایه دیگر استوانه حک شده باشد.

اگر بتوان دایره ای را دور قاعده هرم محصور کرد، می توان یک استوانه را دور هرم محصور کرد.

تعریف. هرم بریده شده (منشور هرمی)- این یک چند وجهی است که بین قاعده هرم و صفحه مقطع موازی با قاعده قرار دارد. بنابراین هرم دارای یک پایه بزرگ و یک پایه کوچکتر است که شبیه به بزرگتر است. وجه های جانبی ذوزنقه ای هستند.

تعریف. هرم مثلثی (چهار وجهی)- این هرمی است که در آن سه وجه و قاعده مثلث های دلخواه هستند.

یک چهار وجهی دارای چهار وجه و چهار رأس و شش یال است که در آن هر دو یال هیچ رئوس مشترکی ندارند اما با هم تماس ندارند.

هر رأس از سه وجه و یال تشکیل شده است که تشکیل می شوند زاویه سه وجهی.

قطعه ای که راس چهار ضلعی را به مرکز وجه مقابل متصل می کند نامیده می شود میانه چهار وجهی(GM).

دو میانیقطعه ای نامیده می شود که نقاط میانی لبه های مخالف را که با یکدیگر تماس ندارند (KL) را به هم وصل می کند.

همه دومیان ها و میانه های یک چهار وجهی در یک نقطه (S) قطع می شوند. در این حالت، دوسطح ها به نصف تقسیم می شوند و میانه ها به نسبت 3: 1 از بالا شروع می شوند.

تعریف. هرم مایلهرمی است که در آن یکی از لبه های آن با قاعده یک زاویه منفرد (β) تشکیل می دهد.

تعریف. هرم مستطیلیهرمی است که یکی از وجوه کناری آن عمود بر قاعده است.

تعریف. هرم زاویه دار حادهرمی است که در آن آپوتم بیش از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. هرم ماتهرمی است که در آن آپوتم کمتر از نصف طول ضلع قاعده است.

تعریف. چهار وجهی منظمچهار وجهی که چهار وجه آن مثلث متساوی الاضلاع است. این یکی از پنج چند ضلعی منظم است. در یک چهار وجهی منتظم، تمام زوایای دو وجهی (بین وجهی) و زوایای سه وجهی (در یک راس) با هم برابرند.

تعریف. چهار وجهی مستطیلیچهار ضلعی نامیده می شود که بین سه یال در راس زاویه قائمه دارد (لبه ها عمود هستند). سه چهره تشکیل می شود زاویه سه وجهی مستطیلیو لبه ها هستند مثلث های قائم الزاویه، و پایه یک مثلث دلخواه است. آپوتم هر صورت برابر است با نصف ضلع پایه ای که آپوتم روی آن می افتد.

تعریف. چهار وجهی ایزوهدرالچهار ضلعی نامیده می شود که وجوه جانبی آن با یکدیگر برابر است و قاعده آن است راست گوشه. چنین چهار وجهی دارای صورت است مثلث متساوی الساقین.

تعریف. چهار وجهی ارتوسنتریکچهار ضلعی نامیده می شود که در آن تمام ارتفاعات (عمود) که از بالا به طرف مقابل پایین می آیند در یک نقطه قطع می شوند.

تعریف. هرم ستارهچندوجهی که قاعده آن ستاره است نامیده می شود.

تعریف. دو هرمی- یک چندوجهی متشکل از دو هرم مختلف (اهرام را نیز می توان قطع کرد)، دارای یک پایه مشترک، و رئوس در طرف مقابل صفحه پایه قرار دارند.

مفهوم هرم

تعریف 1

شکل هندسی تشکیل شده توسط یک چند ضلعی و نقطه ای که در صفحه حاوی این چندضلعی قرار ندارد و به تمام رئوس چند ضلعی متصل است، هرم نامیده می شود (شکل 1).

چند ضلعی که هرم از آن تشکیل شده است قاعده هرم نامیده می شود، مثلث هایی که از اتصال به نقطه به دست می آیند، وجه های کناری هرم، اضلاع مثلث ها اضلاع هرم و نقطه مشترک همه هستند. مثلث بالای هرم است.

انواع اهرام

بسته به تعداد گوشه های قاعده هرم می توان آن را مثلثی، چهار گوش و غیره نامید (شکل 2).

شکل 2.

نوع دیگر هرم، هرم معمولی است.

بیایید ویژگی یک هرم منظم را معرفی و اثبات کنیم.

قضیه 1

تمام وجوه جانبی هرم منظم مثلث هایی متساوی الساقین هستند که با هم برابرند.

اثبات

یک هرم $n-$gonal معمولی با راس $S$ ارتفاع $h=SO$ را در نظر بگیرید. بیایید یک دایره در اطراف پایه را توصیف کنیم (شکل 4).

شکل 4

مثلث $SOA$ را در نظر بگیرید. با قضیه فیثاغورث، به دست می آوریم

بدیهی است که هر لبه جانبی به این صورت تعریف خواهد شد. بنابراین تمام لبه های اضلاع با یکدیگر برابرند، یعنی تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین هستند. بیایید ثابت کنیم که آنها با یکدیگر برابر هستند. از آنجایی که قاعده یک چند ضلعی منتظم است، پایه های تمام وجوه جانبی با یکدیگر برابر هستند. در نتیجه، تمام وجوه اضلاع با توجه به علامت III برابری مثلث ها برابر هستند.

قضیه ثابت شده است.

اکنون تعریف زیر را در رابطه با مفهوم هرم منظم معرفی می کنیم.

تعریف 3

نشانه یک هرم منظم ارتفاع وجه جانبی آن است.

بدیهی است که طبق قضیه 1، همه آپوته ها برابر هستند.

قضیه 2

مساحت سطح جانبی هرم منظم به عنوان حاصل ضرب نیم محیط قاعده و آپوتم تعریف می شود.

اثبات

اجازه دهید ضلع قاعده هرم زغال سنگ $n-$ را با $a$ و آپوتم را $d$ نشان دهیم. بنابراین، مساحت صورت کناری برابر است

از آنجایی که طبق قضیه 1، همه اضلاع برابر هستند، پس

قضیه ثابت شده است.

نوع دیگر هرم، هرم بریده ای است.

تعریف 4

اگر صفحه ای به موازات قاعده آن از طریق یک هرم معمولی کشیده شود، شکلی که بین این صفحه و صفحه قاعده تشکیل شده است، هرم بریده نامیده می شود (شکل 5).

شکل 5. هرم کوتاه شده

وجوه جانبی هرم بریده به شکل ذوزنقه است.

قضیه 3

مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منتظم به صورت حاصل ضرب مجموع نیم محیط قاعده ها و آپوتم تعریف می شود.

اثبات

اجازه دهید اضلاع پایه های هرم زغال سنگ $n-$ را به ترتیب با $a\ و\ b$ و آپوتم را با $d$ نشان دهیم. بنابراین، مساحت صورت کناری برابر است

از آنجایی که همه طرف ها برابر هستند، پس

قضیه ثابت شده است.

نمونه کار

مثال 1

مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی ناقص را در صورتی که از یک هرم منتظم با ضلع پایه 4 و آپوتم 5 با برش توسط صفحه ای که از خط وسط وجوه جانبی می گذرد به دست آید، بیابید.

راه حل.

با قضیه خط میانه، آن را دریافت می کنیم پایه بالااز هرم کوتاه شده $4\cdot \frac(1)(2)=2$ است، و حرف آخر $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$ است.

سپس با قضیه 3 به دست می آوریم

هرم. هرم کوتاه شده

هرمچند وجهی نامیده می شود که یکی از وجوه آن چند ضلعی است ( پایه ، و تمام وجوه دیگر مثلث هایی هستند با یک راس مشترک ( صورت های جانبی ) (شکل 15). هرم نامیده می شود درست ، اگر قاعده آن چند ضلعی منتظم باشد و بالای هرم به مرکز قاعده بیرون زده باشد (شکل 16). هرم مثلثی که تمام لبه های آن با هم برابر هستند نامیده می شود چهار وجهی .

دنده کناریهرم به طرف وجه جانبی گفته می شود که به قاعده تعلق ندارد ارتفاع هرم فاصله بالای آن تا صفحه قاعده است. تمام لبه های کناری هرم منظم با یکدیگر برابرند، تمام وجوه جانبی مثلث های متساوی الساقین مساوی هستند. ارتفاع وجه جانبی هرم منظمی که از راس کشیده شده است نامیده می شود آپوتما . بخش مورب قسمتی از هرم به صفحه ای گفته می شود که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.

مساحت سطح جانبیهرم به مجموع مساحت تمام وجوه جانبی گفته می شود. حوزه سطح کامل مجموع مساحت تمام وجوه جانبی و قاعده است.

قضایا

1. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی به طور مساوی به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محصور نزدیک قاعده کشیده می شود.

2. اگر در یک هرم تمام لبه های جانبی طول مساوی داشته باشند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محصور نزدیک قاعده بیرون زده می شود.

3. اگر در هرم همه وجوه به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه بالای هرم به مرکز دایره محاط شده در قاعده بیرون زده می شود.

برای محاسبه حجم هرم دلخواه، فرمول صحیح است:

جایی که V- جلد؛

S اصلی- مساحت پایه؛

اچارتفاع هرم است.

برای یک هرم معمولی، فرمول های زیر درست است:

جایی که پ- محیط پایه؛

ساعت یک- ابهام

اچ- ارتفاع؛

اس پر

سمت S

S اصلی- مساحت پایه؛

Vحجم یک هرم منظم است.

هرم کوتاه شدهبه بخشی از هرم که بین پایه و صفحه برش موازی با پایه هرم محصور شده است (شکل 17). هرم کوتاه شده را اصلاح کنید بخشی از یک هرم منظم نامیده می شود که بین پایه و صفحه برش موازی با قاعده هرم محصور شده است.

پایه هاهرم کوتاه - چند ضلعی های مشابه. صورت های جانبی - ذوزنقه ارتفاع هرم ناقص فاصله بین قاعده های آن نامیده می شود. مورب هرم ناقص قطعه ای است که رئوس آن را به هم متصل می کند که روی یک صورت قرار ندارند. بخش مورب قسمتی از هرم بریده به صفحه ای گفته می شود که از دو لبه جانبی که به یک وجه تعلق ندارند می گذرد.

برای یک هرم کوتاه، فرمول ها معتبر هستند:

(4)

جایی که اس 1 , اس 2 - نواحی بالا و پایه های پایین تر;

اس پرمساحت کل است؛

سمت Sمساحت سطح جانبی است.

اچ- ارتفاع؛

Vحجم هرم کوتاه شده است.

برای یک هرم کوتاه معمولی، فرمول زیر صادق است:

جایی که پ 1 , پ 2 - محیط های پایه;

ساعت یک- شعار یک هرم منقطع منظم.

مثال 1سمت راست هرم مثلثیزاویه دو وجهی در پایه 60 درجه است. مماس زاویه میل لبه کناری بر صفحه قاعده را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 18).

هرم درست است یعنی در قاعده مثلث متساوی الاضلاعو تمام وجوه جانبی مثلث متساوی الساقین مساوی هستند. زاویه دو وجهی در قاعده، زاویه تمایل وجه جانبی هرم به صفحه قاعده است. زاویه خطی زاویه خواهد بود آبین دو عمود: i.e. بالای هرم در مرکز مثلث پیش بینی شده است (مرکز دایره محصور و دایره محاط شده در مثلث ABC). زاویه شیب دنده جانبی (به عنوان مثال SB) زاویه بین خود لبه و برآمدگی آن بر روی صفحه پایه است. برای دنده SBاین زاویه زاویه خواهد بود SBD. برای پیدا کردن مماس باید پاها را بشناسید بنابراینو OB. طول قطعه را بگذارید BD 3 است آ. نقطه Oبخش خط BDبه قطعات تقسیم می شود: و از ما پیدا می کنیم بنابراین: از ما در می یابیم:

پاسخ:

مثال 2اگر قطرهای قاعده های آن سانتی متر و سانتی متر و ارتفاع آن 4 سانتی متر باشد، حجم هرم چهار گوش منقطع را بیابید.

راه حل.برای یافتن حجم هرم ناقص از فرمول (4) استفاده می کنیم. برای پیدا کردن مساحت پایه ها، باید اضلاع مربع های پایه را با دانستن قطر آنها پیدا کنید. اضلاع پایه ها به ترتیب 2 سانتی متر و 8 سانتی متر است، یعنی مساحت پایه ها و با جایگزینی تمام داده ها در فرمول، حجم هرم بریده شده را محاسبه می کنیم:

پاسخ: 112 سانتی متر مکعب.

مثال 3مساحت وجه جانبی یک هرم منقطع مثلثی منظم را که اضلاع قاعده آن 10 سانتی متر و 4 سانتی متر و ارتفاع هرم 2 سانتی متر است را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 19).

وجه جانبی این هرم ذوزنقه ای متساوی الساقین است. برای محاسبه مساحت ذوزنقه باید پایه ها و ارتفاع را بدانید. پایه ها با شرط داده شده است، فقط ارتفاع ناشناخته باقی مانده است. از کجا پیداش کن ولی 1 Eعمود بر یک نقطه ولی 1 در صفحه پایه پایین، آ 1 D- عمود بر ولی 1 در AC. ولی 1 E\u003d 2 سانتی متر، زیرا این ارتفاع هرم است. برای یافتن DEما یک نقاشی اضافی ایجاد می کنیم که در آن نمای بالایی را به تصویر می کشیم (شکل 20). نقطه O- پیش بینی مراکز پایه های بالا و پایین. از آنجا که (نگاه کنید به شکل 20) و از سوی دیگر خوبشعاع دایره محاطی است و OMشعاع دایره محاطی است:

MK=DE.

با توجه به قضیه فیثاغورث از

ناحیه کناری صورت:

پاسخ:

مثال 4در قاعده هرم یک ذوزنقه متساوی الساقین قرار دارد که پایه های آن قرار دارد آو ب (آ> ب). هر وجه جانبی زاویه ای برابر با صفحه قاعده هرم تشکیل می دهد j. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 21). مساحت کل هرم SABCDبرابر است با مجموع مساحت ها و مساحت ذوزنقه آ ب پ ت.

اجازه دهید از این جمله استفاده کنیم که اگر تمام وجوه هرم به یک اندازه به صفحه قاعده متمایل شوند، آنگاه راس به مرکز دایره محاط شده در قاعده کشیده می شود. نقطه O- طرح ریزی راس اسدر قاعده هرم مثلث SODبرآمدگی متعامد مثلث است CSDبه هواپیمای پایه با توجه به قضیه در مورد مساحت طرح متعامد یک شکل مسطح، به دست می آوریم:

به همین ترتیب، به معنای بنابراین، مشکل به یافتن ناحیه ذوزنقه کاهش یافت آ ب پ ت. یک ذوزنقه بکشید آ ب پ تبه طور جداگانه (شکل 22). نقطه Oمرکز دایره ای است که در ذوزنقه ای محاط شده است.

از آنجایی که یک دایره را می توان در یک ذوزنقه حک کرد، پس یا توسط قضیه فیثاغورث داریم