مساحت یک ماشین حساب دایره ای را محاسبه کنید. مساحت دایره: فرمول

دایره مجموعه ای قابل مشاهده از نقاط زیادی است که در فاصله یکسانی از مرکز قرار دارند. برای پیدا کردن مساحت آن، باید بدانید شعاع، قطر، عدد π و محیط آن چقدر است.

مقادیری که در محاسبه مساحت دایره نقش دارند

فاصله محدود شده با نقطه مرکزی دایره و هر یک از نقاط دایره را شعاع این شکل هندسی می گویند. طول تمام شعاع های یک دایره یکسان است. پاره خط بین هر 2 نقطه از دایره که از نقطه مرکزی می گذرد قطر نامیده می شود. طول قطر برابر است با طول شعاع ضرب در 2.

برای محاسبه مساحت دایره از عدد π استفاده می شود. این مقدار برابر است با نسبت محیط به طول قطر دایره و مقدار ثابتی دارد. Π = 3.1415926. دور با استفاده از فرمول L=2πR محاسبه می شود.

مساحت دایره را با استفاده از شعاع پیدا کنید

بنابراین، مساحت یک دایره برابر است با حاصل ضرب عدد π و شعاع دایره به توان 2 افزایش یافته است. به عنوان مثال، طول شعاع دایره را برابر با 5 سانتی متر در نظر می گیریم. سپس مساحت دایره S برابر با 3.14 * 5 ^ 2 = 78.5 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

مساحت دایره از نظر قطر

مساحت دایره را نیز می توان با دانستن قطر دایره محاسبه کرد. در این حالت S = (π/4)*d^2 که d قطر دایره است. همین مثال را در نظر می گیریم که شعاع آن 5 سانتی متر است سپس قطر آن 5*2=10 سانتی متر می شود. مساحت دایره S=3.14/4*10^2=78.5 متر مربع است. نتیجه که برابر با مجموع محاسبات در مثال اول است، صحت محاسبات را در هر دو مورد تایید می کند.

مساحت دایره بر حسب محیط

اگر شعاع یک دایره از طریق محیط نشان داده شود، فرمول به این صورت خواهد بود: R=(L/2)π. این عبارت را با فرمول مساحت دایره جایگزین کنید و در نتیجه S=(L^2)/4π بدست می آوریم. مثالی را در نظر بگیرید که در آن محیط 10 سانتی متر است. سپس مساحت دایره S = (10 ^ 2) / 4 * 3.14 = 7.96 متر مربع است. سانتی متر.

مساحت دایره بر حسب طول ضلع مربع محاطی

اگر مربعی در دایره حک شود، طول قطر دایره برابر با طول قطر مربع است. با دانستن اندازه ضلع مربع، می توانید به راحتی قطر دایره را با فرمول پیدا کنید: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. به عبارت دیگر، قطر به توان 2 برابر است با ضلع مربع به توان 2 ضربدر 2.

با محاسبه مقدار طول قطر یک دایره، می توانید شعاع آن را نیز پیدا کنید و سپس از یکی از فرمول ها برای تعیین مساحت دایره استفاده کنید.

ناحیه بخش یک دایره

یک بخش بخشی از یک دایره است که توسط 2 شعاع و یک قوس بین آنها محدود شده است. برای پیدا کردن مساحت آن، باید زاویه بخش را اندازه گیری کنید. پس از آن، لازم است کسری تشکیل شود، که در صورت‌دهنده آن مقدار زاویه بخش، و در مخرج - 360 وجود دارد. برای محاسبه مساحت بخش، مقدار به دست آمده در نتیجه تقسیم کسری باید در مساحت دایره محاسبه شده با استفاده از یکی از فرمول های فوق ضرب شود.

در هندسه دور و برمجموعه ای از تمام نقاط صفحه نامیده می شود، که از یک نقطه به نام مرکز آن، در فاصله ای نه بیشتر از یک معین، که شعاع آن نامیده می شود، حذف می شوند. در این حالت، مرز بیرونی دایره است دایرهو اگر طول شعاع برابر با صفر باشد، یک دایرهتا حدی منحط می شود

تعیین مساحت دایره

در صورت لزوم مساحت یک دایرهرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

r- شعاع دایره

D- قطر دایره

اس- مساحت یک دایره

π - 3.14

این شکل هندسیدر مهندسی و معماری بسیار رایج است. طراحان ماشین ها و مکانیزم ها توسعه می یابند جزئیات مختلف، بخش های بسیاری از آنها دقیقا یک دایره. به عنوان مثال، اینها شفت، میله، میله، سیلندر، محور، پیستون و غیره هستند. در ساخت این قطعات از بلنک استفاده می شود مواد مختلف(فلزات، چوب، پلاستیک)، بخش های آنها نیز دقیقاً نشان می دهد یک دایره. ناگفته نماند که توسعه دهندگان اغلب مجبور به محاسبه هستند مساحت یک دایرهاز طریق قطر یا شعاع، برای این منظور از فرمول های ریاضی ساده کشف شده در دوران باستان استفاده می شود.

دقیقا اون موقع عناصر گردشروع به استفاده فعال و گسترده در معماری کرد. یکی از بارزترین نمونه های آن سیرک است که نوعی ساختمان برای نگهداری انواع مختلف طراحی شده است رویدادهای سرگرمی. عرصه های آنها شکل گرفته است دایره، و برای اولین بار ساخت آنها در دوران باستان آغاز شد. همین کلمه " دایره"در لاتین به معنی" یک دایره". اگر در زمان های قدیم سیرک ها بودند اجراهای تئاتریو مبارزات گلادیاتورها برگزار شد، در حال حاضر آنها به عنوان مکانی که تقریبا به طور انحصاری خدمت می کنند اجرای سیرکبا مشارکت مربیان، آکروبات ها، شعبده بازان، دلقک ها و غیره. قطر استاندارد سالن سیرک 13 متر است و این اصلا تصادفی نیست: واقعیت این است که حداقل پارامترهای هندسی لازم را فراهم می کند. اسب های سیرک می توانند به صورت دایره وار بدود. اگر محاسبه کنیم مساحت یک دایرهاز طریق قطر، معلوم می شود که برای عرصه سیرک این مقدار 113.04 متر مربع است.

عناصر معماری که می توانند به شکل دایره درآیند پنجره ها هستند. البته در بیشتر موارد مستطیل یا مربع هستند (تا حد زیادی به این دلیل که هم برای معماران و هم برای سازندگان راحت‌تر است)، اما در برخی ساختمان‌ها می‌توانید پنجره‌های گرد هم پیدا کنید. علاوه بر این ، در وسایل نقلیه ای مانند کشتی های هوایی ، دریایی و رودخانه ای ، آنها اغلب دقیقاً همینطور هستند.

استفاده از عناصر گرد برای تولید مبلمان مانند میز و صندلی به هیچ وجه غیر معمول نیست. حتی یک مفهوم وجود دارد میزگرد"، که حاکی از یک بحث سازنده است که طی آن بحث جامعی در مورد مسائل مهم مختلف صورت می گیرد و راه های حل آنها ارائه می شود. در مورد ساخت خود میزها که دارای شکل گرد هستند، برای تولید آنها از ابزار و تجهیزات تخصصی استفاده می شود، مشروط به مشارکت کارگران با صلاحیت های نسبتاً بالا.

دستورالعمل

برای پیدا کردن شعاع از پی استفاده کنید منطقه معروفدایره. این ثابت نسبت بین قطر یک دایره و طول مرز آن (دایره) را مشخص می کند. محیط دایره حداکثر مساحت صفحه ای است که می توان با آن پوشانید و قطر آن برابر با دو شعاع است، بنابراین، مساحت با شعاع نیز با نسبتی که می تواند بیان شود با یکدیگر همبستگی دارد. شرایط پی. این ثابت (π) به عنوان مساحت (S) و شعاع مجذور (r) دایره تعریف می شود. از این نتیجه می شود که شعاع را می توان به صورت بیان کرد ریشه دوماز ضریب تقسیم مساحت بر پی: r=√(S/π).

برای مدت طولانی، اراستوفن ریاست کتابخانه اسکندریه، معروف ترین کتابخانه را بر عهده داشت دنیای باستان. او علاوه بر این که اندازه سیاره ما را محاسبه کرد، تعدادی اختراع و اکتشافات مهم نیز انجام داد. یک روش ساده برای تعیین اختراع کرد اعداد اول، که اکنون "الک اراستوتن" نامیده می شود.

او "نقشه جهان" را ترسیم کرد که در آن تمام نقاط شناخته شده جهان در آن زمان را به یونانیان باستان نشان داد. این نقشه در زمان خود یکی از بهترین ها به حساب می آمد. یک سیستم طول و عرض جغرافیایی و یک تقویم که شامل سالهای کبیسه. اختراع کره آریلاری، یک وسیله مکانیکی که توسط ستاره شناسان اولیه برای نشان دادن و پیش بینی حرکت ظاهری ستارگان در آسمان استفاده می شد. او همچنین کاتالوگ ستاره ای را تهیه کرد که شامل 675 ستاره بود.

منابع:

• دانشمند یونانی اراتوستنس سیرنی برای اولین بار در جهان شعاع زمین را محاسبه کرد.
• اراتوستن "محاسبه محیط زمین".
• اراتوستن

چگونه مساحت دایره را پیدا کنیم؟ ابتدا شعاع را پیدا کنید. حل مسائل ساده و پیچیده را یاد بگیرید.

دایره یک منحنی بسته است. هر نقطه روی خط دایره به همان اندازه از نقطه مرکزی فاصله خواهد داشت. دایره یک شکل مسطح است، بنابراین حل مشکلات با پیدا کردن منطقه آسان است. در این مقاله به نحوه یافتن مساحت دایره ای که به صورت مثلث، ذوزنقه، مربع و پیرامون این شکل ها شرح داده شده است، می پردازیم.

برای پیدا کردن مساحت یک شکل داده شده، باید شعاع، قطر و عدد π را بدانید.

شعاع Rفاصله محدود شده توسط مرکز دایره است. طول تمام شعاع های R یک دایره برابر خواهد بود.

قطر Dخطی است بین هر دو نقطه روی دایره ای که از نقطه مرکزی می گذرد. طول این قطعه برابر است با طول شعاع R ضربدر 2.

شماره πیک مقدار ثابت است که برابر با 3.1415926 است. در ریاضیات معمولاً این عدد به 3.14 گرد می شود.

فرمول یافتن مساحت دایره با استفاده از شعاع:

نمونه هایی از حل وظایف برای یافتن ناحیه S یک دایره از طریق شعاع R:

یک وظیفه:اگر شعاع دایره ای 7 سانتی متر باشد مساحت دایره را بیابید.

راه حل: S=πR²، S=3.14*7²، S=3.14*49=153.86 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت دایره 153.86 سانتی متر مربع است.

فرمول برای یافتن مساحت S دایره بر حسب قطر D به صورت زیر است:

نمونه هایی از حل تکالیف برای یافتن S، اگر D شناخته شده باشد:

————————————————————————————————————————-

یک وظیفه: S دایره را در صورتی که D آن 10 سانتی متر باشد، پیدا کنید.

راه حل: P=π*d²/4، P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت یک شکل گرد صاف 78.5 سانتی متر مربع است.

یافتن دایره S در صورتی که محیط آن مشخص باشد:

ابتدا شعاع آن را پیدا کنید. محیط با فرمول محاسبه می شود: L=2πR، به ترتیب، شعاع R برابر با L/2π خواهد بود. اکنون مساحت دایره را با استفاده از فرمول از طریق R پیدا می کنیم.

راه حل را در مثال مسئله در نظر بگیرید:

———————————————————————————————————————-

یک وظیفه:اگر محیط L مشخص است مساحت دایره را بیابید - 12 سانتی متر.

راه حل:ابتدا شعاع را پیدا می کنیم: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

اکنون مساحت را از طریق شعاع پیدا می کنیم: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت دایره 11.46 سانتی متر مربع است.

پیدا کردن مساحت یک دایره حک شده در یک مربع آسان است. ضلع مربع قطر دایره است. برای پیدا کردن شعاع، باید ضلع را بر 2 تقسیم کنید.

فرمول برای یافتن مساحت دایره محاط شده در مربع به صورت زیر است:

نمونه هایی از حل مسائل برای یافتن مساحت دایره ای که در یک مربع حک شده است:

———————————————————————————————————————

وظیفه شماره 1:ضلع یک شکل مربع مشخص است که برابر با 6 سانتی متر است. ناحیه S دایره محاط شده را پیدا کنید.

راه حل: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 سانتی متر مربع.

پاسخ:مساحت یک شکل گرد صاف 28.26 سانتی متر مربع است.

————————————————————————————————————————

وظیفه شماره 2: S دایره محاط شده به شکل مربع و شعاع آن را در صورتی که یک ضلع آن a=4 سانتی متر باشد را بیابید.

اینجوری تصمیم بگیر: ابتدا R=a/2=4/2=2 سانتی متر را پیدا کنید.

حالا بیایید مساحت دایره S=3.14*2²=3.14*4=12.56 سانتی متر مربع را پیدا کنیم.

پاسخ:مساحت یک شکل گرد صاف 12.56 سانتی متر مربع است.

پیدا کردن مساحت یک شکل گرد که توسط یک مربع احاطه شده است کمی دشوارتر است. اما با دانستن فرمول، می توانید به سرعت این مقدار را محاسبه کنید.

فرمول یافتن S از دایره ای که در اطراف یک شکل مربع است:

نمونه هایی از حل وظایف برای یافتن مساحت یک دایره که در نزدیکی یک شکل مربع توضیح داده شده است:

یک وظیفه

دایره ای که در آن حک شده است شکل مثلثیدایره ای است که هر سه ضلع مثلث را لمس می کند. یک دایره را می توان در هر شکل مثلثی حک کرد، اما فقط یک دایره. مرکز دایره نقطه تقاطع نیمسازهای زوایای مثلث خواهد بود.

فرمول یافتن مساحت دایره محاط شده در مثلث متساوی الساقین:

هنگامی که شعاع مشخص است، مساحت را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: S=πR².

فرمول یافتن مساحت دایره محاط شده در راست گوشه:

نمونه هایی از حل وظایف:

وظیفه شماره 1

اگر در این مشکل نیز باید مساحت دایره ای با شعاع 4 سانتی متر را پیدا کنید، این کار را می توان با استفاده از فرمول انجام داد: S=πR²

وظیفه شماره 2

راه حل:

اکنون که شعاع را می دانید، می توانید مساحت دایره را بر حسب شعاع پیدا کنید. فرمول بالا را ببینید.

وظیفه شماره 3

مساحت دایره ای که پیرامون یک مثلث قائم الزاویه و متساوی الساقین محصور شده است: فرمول، نمونه هایی از حل مسئله

تمام فرمول های یافتن مساحت دایره به این واقعیت مربوط می شود که ابتدا باید شعاع آن را پیدا کنید. هنگامی که شعاع مشخص است، پیدا کردن منطقه ساده است، همانطور که در بالا توضیح داده شد.

مساحت دایره ای که اطراف یک مثلث قائم الزاویه و متساوی الساقین قرار دارد با فرمول زیر بدست می آید:

نمونه هایی از حل مسئله:

در اینجا مثال دیگری از حل یک مسئله با استفاده از فرمول هرون آورده شده است.

حل چنین مسائلی دشوار است، اما اگر همه فرمول ها را بدانید می توان به آنها مسلط شد. دانش آموزان در کلاس نهم چنین مسائلی را حل می کنند.

مساحت دایره محاط شده در ذوزنقه مستطیلی و متساوی الساقین: فرمول، نمونه هایی از حل مسئله

ذوزنقه متساوی الساقین دو ضلع مساوی دارد. یک ذوزنقه مستطیلی یک زاویه برابر 90 درجه دارد. نحوه یافتن مساحت دایره ای که در یک ذوزنقه مستطیلی و متساوی الساقین با استفاده از مثال حل مسائل حک شده است را در نظر بگیرید.

به عنوان مثال، دایره ای در ذوزنقه ای متساوی الساقین حک شده است که در نقطه تماس یک طرف را به قطعات m و n تقسیم می کند.

برای حل این مشکل باید از فرمول های زیر استفاده کنید:

پیدا کردن مساحت دایره ای که در آن حک شده است ذوزنقه مستطیلی، طبق فرمول زیر تولید می شود:

اگر طرف جانبی مشخص باشد، می توانید شعاع را از طریق این مقدار پیدا کنید. ارتفاع ضلع ذوزنقه برابر با قطر دایره و شعاع آن نصف قطر است. بر این اساس، شعاع R=d/2 است.

نمونه هایی از حل مسئله:

زمانی می توان یک ذوزنقه را در دایره ای حک کرد که مجموع زوایای مقابل آن 180 درجه باشد. بنابراین فقط ذوزنقه متساوی الساقین را می توان کتیبه کرد. شعاع برای محاسبه مساحت دایره ای که در اطراف یک ذوزنقه مستطیلی یا متساوی الساقین قرار دارد با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

نمونه هایی از حل مسئله:

راه حل:پایه بزرگ در این مورد از مرکز عبور می کند، زیرا یک ذوزنقه متساوی الساقین در یک دایره حک شده است. مرکز این پایه را دقیقاً به نصف تقسیم می کند. اگر پایه AB 12 باشد، شعاع R را می توان به صورت زیر یافت: R=12/2=6.

پاسخ:شعاع 6 است.

در هندسه، دانستن فرمول ها مهم است. اما به خاطر سپردن همه آنها غیرممکن است، بنابراین حتی در بسیاری از امتحانات استفاده از فرم مخصوص مجاز است. با این حال، مهم است که بتوانید پیدا کنید فرمول صحیحبرای حل یک مشکل خاص حل مسائل مختلف برای یافتن شعاع و مساحت یک دایره را تمرین کنید تا بتوانید فرمول ها را به درستی جایگزین کنید و پاسخ های دقیق بگیرید.

ویدئو: ریاضیات | محاسبه مساحت دایره و اجزای آن