نحوه پیدا کردن مساحت مثلث در صورتی که همه اضلاع آن مشخص باشد. نحوه محاسبه مساحت مثلث

بیش از 10 فرمول برای محاسبه مساحت یک مثلث در اینترنت یافت می شود که بسیاری از آنها در مشکلات با احزاب شناخته شدهو گوشه های مثلث. با این حال، تعدادی وجود دارد نمونه های دشوارکه در آن با توجه به شرط انتساب، فقط یک ضلع و زوایای مثلث یا شعاع دایره محصور یا محاط و یک مشخصه دیگر مشخص است. در اینگونه موارد یک فرمول سادهقابل اعمال نیست.

فرمول های زیر 95 درصد از مسائلی را که در آنها باید مساحت مثلث را پیدا کنید حل می کند.
بیایید به بررسی فرمول های منطقه مشترک برویم.
مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید

در شکل و در ادامه در فرمول ها، عناوین کلاسیک تمام ویژگی های آن معرفی شده است
a,b,c اضلاع مثلث هستند
R شعاع دایره محدود شده است،
r شعاع دایره محاطی است،
h[b]،h[a]،h[c] - ارتفاعات ترسیم شده مطابق با اضلاع a،b،c.
آلفا، بتا، هاما - گوشه های نزدیک رئوس.

فرمول های اصلی برای مساحت مثلث

1. مساحت برابر است با نصف حاصلضرب ضلع مثلث و ارتفاع پایین آمده به این ضلع. در زبان فرمول، این تعریف را می توان به صورت نوشتاری نوشت

بنابراین، اگر ضلع و ارتفاع مشخص باشد، هر دانش آموز منطقه را پیدا می کند.
به هر حال، یک رابطه مفید بین ارتفاعات را می توان از این فرمول به دست آورد

2. اگر در نظر بگیریم که ارتفاع مثلث از ضلع مجاور با وابستگی بیان می شود.

سپس از فرمول اول منطقه همان نوع دوم را دنبال کنید

به دقت به فرمول ها نگاه کنید - آنها به راحتی قابل یادآوری هستند، زیرا کار دارای دو طرف و زاویه بین آنها است. اگر اضلاع و زوایای مثلث را به درستی تعیین کنیم (مانند شکل بالا)، دو به دست می آید اضلاع a،b و زاویه مربوط به سوم استج (هاما).

3. برای زوایای مثلث، رابطه

وابستگی به شما اجازه می دهد تا فرمول های زیر را برای مساحت یک مثلث در محاسبات اعمال کنید

نمونه هایی از این وابستگی بسیار نادر هستند، اما باید به یاد داشته باشید که چنین فرمولی وجود دارد.

4. اگر ضلع و دو زاویه مجاور شناخته شده باشند، مساحت با فرمول پیدا می شود

5. فرمول مساحت بر حسب ضلع و کتانژانت زوایای مجاور به شرح زیر است.

با مرتب کردن مجدد شاخص ها، می توانید وابستگی هایی برای طرف های دیگر دریافت کنید.

6. از فرمول مساحت زیر در وظایف زمانی استفاده می شود که رئوس یک مثلث روی صفحه با مختصات داده شود. در این حالت، مساحت برابر با نصف تعیین کننده مدول است.

7. فرمول هروندر مثال هایی با اضلاع شناخته شده مثلث استفاده می شود.
ابتدا نیم محیط مثلث را پیدا کنید

و سپس مساحت را با فرمول تعیین کنید

یا

اغلب در کد برنامه های ماشین حساب استفاده می شود.

8. اگر تمام ارتفاعات مثلث مشخص باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود

محاسبه بر روی ماشین حساب دشوار است، با این حال، در بسته های MathCad، Mathematica، Maple، مساحت "یک دو" است.

9. فرمول های زیر از شعاع شناخته شده دایره های محاطی و محاطی استفاده می کنند.

به ویژه، اگر شعاع و اضلاع یک مثلث یا محیط آن مشخص باشد، مساحت طبق فرمول محاسبه می شود.

10. در مثال هایی که اضلاع و شعاع یا قطر دایره محدود شده آورده شده است، مساحت با فرمول بدست می آید.

11. فرمول زیر مساحت یک مثلث را بر حسب ضلع و زوایای مثلث تعیین می کند.

و در نهایت - موارد خاص:
مربع راست گوشه با پاهای a و b برابر است با نصف حاصلضرب آنها

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع (منظم).=

\u003d یک چهارم حاصلضرب مربع ضلع و ریشه سه.

تحت نظر گرفتن مثلث ABC، که در آن زاویه C- سر راست.

اضلاع این مثلث در مجاورت زاویه راست(آنها اضلاع AC و BC) نامیده می شوند پاها، و ضلع مقابل زاویه قائمه (یعنی سمت AB) — هیپوتنوئوس.

مساحت مثلث قائم الزاویه در صورتی که پاها مشخص باشد

مساحت مثلث قائم الزاویه نصف حاصلضرب پاهای آن است.

مثال ها.

در مثلث ABC (زاویه C \u003d 90º)، پایه AC 5 سانتی متر است و پایه BC 3 سانتی متر است. مساحت مثلث ABC برابر است با:

SABC = 0.5 5 3 = 7.5 cm2.

در مثلث MNP (زاویه N = 90º) پایه PN 102 میلی متر و ساقه MN 76 میلی متر است. مساحت مثلث MNP برابر است با:

SABC = 0.5 102 76 = 3876 mm2.

مساحت مثلث قائم الزاویه اگر دو ضلع مشخص باشد

باید فهمید که کدام اضلاع خاص مثلث قائم الزاویه شناخته شده است: دو پایه یا هیپوتنوس و یکی از پاها، زیرا رویکرد کاملا متفاوت خواهد بود. موردی که طول دو پا مشخص باشد در بالا در نظر گرفته شده است. در زیر موردی را در نظر می گیریم که طول هیپوتنوز و یکی از پاها مشخص باشد.

مساحت مثلث قائم الزاویه در امتداد ساق و هیپوتنوز

دنباله حل به شرح زیر است:

مثال.

در مثلث ABC (زاویه C \u003d 90º)، پای AC 6 سانتی متر است و هیپوتانوز AB 9.22 سانتی متر است. طول پایه دوم است.

قبل از میلاد \u003d ریشه (9.222 - 62) \u003d 7 سانتی متر.

اکنون با استفاده از دو پایه شناخته شده (AC \u003d 6 cm ، BC \u003d 7 cm) می توانید مساحت یک مثلث را تعیین کنید:

SABC = 0.5 6 7 = 21 cm2.

مساحت مثلث قائم الزاویه در صورتی که هیپوتانوس مشخص باشد

یافتن مساحت یک مثلث فقط با دانستن طول هیپوتنوز آن غیرممکن است، زیرا هیپوتنوز به طور منحصر به فرد یک مثلث قائم الزاویه را تعریف نمی کند. از این گذشته ، چندین مثلث می توانند طول هیپوتنوز یکسان داشته باشند ، اما طول پاها کاملاً متفاوت و بر این اساس ، مناطق متفاوتی دارند.

مثلا:

• هیپوتنوز AC = 10 سانتی متر، پاها AC = 6 سانتی متر، BC = 8 سانتی متر، مساحت S = 0.5 6 8 = 24 سانتی متر مربع؛
• هیپوتنوز AC = 10 سانتی متر، پاها AC = 5 سانتی متر، BC = 8.66 سانتی متر، مساحت S = 0.5 5 8.66 = 21.65 سانتی متر مربع.
• هیپوتنوز AC = 10 سانتی متر، پاها AC = 4 سانتی متر، BC = 9.165 سانتی متر، مساحت S = 0.5 4 9.165 = 18.33 سانتی متر مربع.

علاوه بر طول هیپوتنوز، برای تعریف منحصر به فرد مثلث، باید یا طول یکی از پاها، یا مقدار یکی از زوایای تند را دانست.

تعیین مساحت مثلث قائم الزاویه توسط هیپوتنوز و یکی از پاها در بالا مورد بحث قرار گرفته است.

مساحت یک مثلث قائم الزاویه با هیپوتانوس و زاویه

با دانستن طول هیپوتنوز و مقدار یکی از زوایای حاد آن، می توان طول هر دو پا - مجاور این زاویه حاد و مخالف از این زاویه را پیدا کرد. علاوه بر این، با دانستن طول هر دو پا، می توان به راحتی مساحت مثلث را تعیین کرد.

مربع شکل هندسی - مشخصه عددی شکل که اندازه این شکل را به واحد مربع نشان می دهد. نام استاندارد برای یک منطقه حرف S است.

فرمول های مساحت مثلث

1. فرمول مساحت مثلث از نظر ضلع و ارتفاع.
مساحت یک مثلث نصف حاصلضرب طول یک ضلع مثلث و طول ارتفاع کشیده شده به آن ضلع است.

2. فرمول مساحت یک مثلث در سه ضلع.فرمول هرون.

مساحت مثلث برابر با جذر حاصلضرب است که یکی از عوامل آن نیم محیط و سه عامل دیگر اختلاف نیم محیط در هر ضلع مثلث است.

S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

3. فرمول مساحت یک مثلث در دو ضلع و زاویه بین آنها.
مساحت مثلث نصف حاصل ضرب دو ضلع آن در سینوس زاویه بین آنهاست.

S = 1/2 a b sin γ

4. فرمول مساحت مثلث در سه ضلع و شعاع دایره محدود شده.

مساحت یک مثلث برابر است با حاصلضرب تمام اضلاع آن تقسیم بر چهار شعاع دایره محصور در اطراف آن.

5. فرمول مساحت مثلث در سه ضلع و شعاع دایره محاط شده.
مساحت یک مثلث برابر است با حاصل ضرب نیم محیط مثلث و شعاع دایره محاطی.

نام گذاری ها:

S مساحت مثلث است،
a، b، c طول اضلاع مثلث هستند،
h ارتفاع مثلث است،
γ زاویه بین ضلع a و b است،
r شعاع دایره محاطی است،
R شعاع دایره محدود شده است،

p = (a + b + c)/2 نیمی از محیط مثلث است.

فرمول های مساحت مربع

1. فرمول مساحت مربع در طول یک ضلع.
مساحت مربع برابر است با مربع طول ضلع آن.

2. فرمول مساحت مربع در طول قطر.
مساحت مربع نصف مربع طول قطر آن است.

نام گذاری ها:

S مساحت مربع است،
a طول ضلع مربع است،
d طول قطر مربع است.

فرمول مساحت مستطیل

مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب طول دو ضلع مجاور آن.

نام گذاری ها:

S مساحت مستطیل است،
a و b طول اضلاع مستطیل هستند.

فرمول های مساحت متوازی الاضلاع

1. فرمول مساحت متوازی الاضلاع بر حسب طول و ارتفاع ضلع.
مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب طول ضلع آن و طول پایین آمده به این سمت از ارتفاع.

S=ah

2. فرمول مساحت متوازی الاضلاع در دو ضلع و زاویه بین آنها.
مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب طول اضلاع آن ضربدر سینوس زاویه بین آنها.

S = a b sinα

3. فرمول مساحت متوازی الاضلاع نسبت به دو قطر و زاویه بین آنها.
مساحت متوازی الاضلاع برابر است با نصف حاصل ضرب طول قطرهای آن در سینوس زاویه بین آنها.

S = 1/2 d 1 d 2 sin γ

نام گذاری ها:

S مساحت متوازی الاضلاع است،
a، b طول اضلاع متوازی الاضلاع هستند،
h طول ارتفاع متوازی الاضلاع است،
d 1، d 2 طول قطرهای متوازی الاضلاع هستند،
α زاویه بین اضلاع متوازی الاضلاع است،

γ زاویه بین قطرهای متوازی الاضلاع است.

فرمول های مساحت یک لوزی

1. فرمول مساحت لوزی از نظر طول و ارتفاع ضلع.
مساحت یک لوزی برابر است با حاصل ضرب طول ضلع آن و طول کاهش یافته به این سمت از ارتفاع.

S=ah

2. فرمول مساحت لوزی از نظر طول ضلع و زاویه.
مساحت یک لوزی برابر است با حاصل ضرب مربع طول ضلع آن و سینوس زاویه بین اضلاع لوزی.

S = a 2 sin α

3. فرمول مساحت یک لوزی بر حسب طول قطرهای آن.
مساحت یک لوزی نصف حاصلضرب طول قطرهای آن است.

S = 1/2 d 1 d 2

نام گذاری ها:

S مساحت لوزی است،
a طول ضلع لوزی است،
h طول ارتفاع لوزی است،
α زاویه بین اضلاع لوزی است،
d 1 , d 2 طول قطرها هستند.

فرمول های ناحیه ذوزنقه ای

1. فرمول مساحت ذوزنقه با توجه به طول پایه و ارتفاع.
مساحت ذوزنقه نصف مجموع قاعده ها و ارتفاع آن است.

S = 1/2 (a + b) h

2. فرمول هرون برای ذوزنقه.

S = (a + b)/4|a - b| √(p - a)(p - b)(p - a - c)(p - a - d)

نام گذاری ها:

S مساحت ذوزنقه است،
a، b طول قاعده ذوزنقه است،
c و d طول اضلاع ذوزنقه است،

p = a + b + c + d نیم محیط ذوزنقه است.

فرمول های مساحت یک چهارضلعی محدب

1. فرمول مساحت یک چهارضلعی بر حسب طول قطرها و زاویه بین آنها.
مساحت یک چهارضلعی محدب نصف حاصل ضرب قطرهای آن در سینوس زاویه بین آنهاست.

S = 1/2 d 1 d 2 sin α

نام گذاری ها:

S مساحت چهارضلعی است،
d 1، d 2 طول قطرهای چهارضلعی هستند،
α زاویه بین قطرهای چهارضلعی است.

2. فرمول مساحت چهار ضلعی محاط شده (براساس طول محیط و شعاع دایره محاط).
مساحت یک چهارضلعی محدب برابر است با حاصلضرب نیم محیط و شعاع دایره محاطی.

3. فرمول مساحت یک چهار ضلعی بر حسب طول اضلاع و مقدار زوایای مقابل.

S = √(p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 θ

4. فرمول مساحت چهار ضلعی که دور آن دایره قابل توصیف است.

S = √(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)

نام گذاری ها:

S مساحت چهارضلعی است،
a، b، c، d طول اضلاع چهار ضلعی هستند،
p = (a + b + c + d)/2 نیم محیط چهارضلعی است،
θ = (α + β)/2 نصف مجموع دو گوشه مقابل چهار ضلعی است.

فرمول های مساحت دایره

1. فرمول مساحت دایره بر حسب شعاع.
مساحت دایره برابر است با حاصل ضرب مربع شعاع و پی.

2. فرمول مساحت دایره بر حسب قطر.
مساحت دایره یک چهارم حاصل ضرب مربع قطر و پی است.

S = 1/4 π d2

نام گذاری ها:

S مساحت دایره است،
r طول شعاع دایره است،
d طول قطر دایره است.

فرمول ناحیه بیضی

مساحت یک بیضی برابر است با حاصل ضرب طول نیم محور اصلی و فرعی بیضی و عدد پی.

نام گذاری ها:

S مساحت بیضی است،
a طول نیم محور اصلی بیضی است،
b طول نیم محور کوچک بیضی است.

منابع:

• ru.onlinemschool.com - فرمول های مساحت اشکال هندسی؛