راه های زیادی برای یافتن مساحت ذوزنقه وجود دارد. معمولاً یک معلم ریاضی چندین روش برای محاسبه آن می داند، بیایید با جزئیات بیشتر در مورد آنها صحبت کنیم:
1) ، جایی که AD و BC پایه هستند و BH ارتفاع ذوزنقه است. برهان: یک BD مورب رسم کنید و مساحت مثلث های ABD و CDB را بر حسب حاصلضرب نصف پایه و ارتفاع آنها بیان کنید:

، که در آن DP ارتفاع خارجی در است

این برابری ها را به صورت ترم اضافه می کنیم و با توجه به اینکه ارتفاع BH و DP برابر است، به دست می آوریم:

بیایید آن را از براکت خارج کنیم

Q.E.D.

نتیجه فرمول مساحت ذوزنقه:
از آنجایی که نیمی از مجموع پایه ها برابر است با MN - خط وسط ذوزنقه، پس

2) استفاده از فرمول کلی برای مساحت یک چهار ضلعی.
مساحت یک چهار ضلعی نصف حاصل ضرب مورب ها در سینوس زاویه بین آنهاست.
برای اثبات آن کافی است ذوزنقه را به 4 مثلث بشکنید و مساحت هر یک را بر حسب «نصف حاصلضرب مورب ها و سینوس زاویه بین آنها» بیان کنید (به عنوان زاویه در نظر گرفته می شود. ، عبارات به دست آمده را اضافه کنید، آن را خارج از براکت قرار دهید و این براکت را با استفاده از روش گروه بندی به فاکتورها تجزیه کنید تا برابری آن را با عبارت بدست آورید.

3) روش شیفت مورب
این عنوان من است. AT کتاب های درسی مدرسهمعلم ریاضی آن عنوان را نمی بیند. توضیحات پذیرش را فقط می توان در موارد اضافی یافت وسایل کمک آموزشیبه عنوان مثالی برای حل یک مشکل من توجه داشته باشید که بیشتر از جالب و حقایق مفیدمعلمان ریاضی پلان سنجی برای دانش آموزان در حال انجام باز هستند کار عملی. این بسیار نابهینه است، زیرا دانش آموز باید آنها را به قضایای جداگانه جدا کند و آنها را "نام های بزرگ" بخواند. یکی از اینها "تغییر مورب" است. در مورد چی در سوال?اجازه دهید یک خط مستقیم به موازات AC از طریق راس B بکشیم تا زمانی که با قاعده پایینی در نقطه E قطع شود. در این حالت، EBCA چهار ضلعی متوازی الاضلاع (طبق تعریف) خواهد بود و بنابراین BC=EA و EB=AC خواهد بود. ما اکنون نگران برابری اول هستیم. ما داریم:

توجه داشته باشید که مثلث BED که مساحت آن برابر با مساحت ذوزنقه است، چندین ویژگی قابل توجه دیگر نیز دارد:
1) مساحت آن برابر با مساحت ذوزنقه است
2) متساوی الساقین آن به طور همزمان با متساوی الساقین خود ذوزنقه رخ می دهد.
3) زاویه بالایی آن در راس B برابر است با زاویه بین قطرهای ذوزنقه (که اغلب در مسائل استفاده می شود)
4) BK میانه آن برابر است با فاصله QS بین نقاط میانی پایه ذوزنقه. من اخیراً با استفاده از این ویژگی هنگام آماده کردن دانشجو برای مخمت دانشگاه دولتی مسکو با استفاده از کتاب درسی Tkachuk نسخه 1973 مواجه شدم (تکلیف در پایین صفحه آورده شده است).

ویژه معلم خصوصی ریاضی.

گاهی اوقات من برای یافتن مربع ذوزنقه به روشی بسیار مشکل پیشنهاد می کنم. من آن را به حرکت های خاص نسبت می دهم، زیرا در عمل معلم به ندرت از آنها استفاده می کند. اگر فقط در قسمت B نیاز به آمادگی برای امتحان ریاضی دارید، نمی توانید در مورد آنها مطالعه کنید. برای دیگران، بیشتر به شما خواهم گفت. معلوم می شود که مساحت ذوزنقه دو برابر مساحت مثلث با رئوس در انتهای یک ضلع و وسط طرف دیگر است، یعنی مثلث ABS در شکل:
اثبات: ارتفاعات SM و SN را در مثلث های BCS و ADS رسم کنید و مجموع مساحت این مثلث ها را بیان کنید:

از آنجایی که نقطه S نقطه وسط CD است، پس (خودت ثابت کن) بیایید مجموع مساحت مثلث ها را پیدا کنیم:

از آنجایی که معلوم شد این مقدار برابر با نصف مساحت ذوزنقه است، پس نیمه دوم آن است. Ch.t.d.

من شکل محاسبه مساحت ذوزنقه متساوی الساقین را در امتداد اضلاع آن در خزانه حرکات ویژه معلم قرار می دهم: جایی که p نیمی از محیط ذوزنقه است. من مدرک نمی دهم. در غیر این صورت معلم ریاضی شما بیکار می شود :). به کلاس بیا!

وظایف ناحیه ذوزنقه:

یادداشت معلم خصوصی ریاضی: لیست زیر یک راهنمای روش شناختی برای موضوع نیست، فقط یک انتخاب کوچک است وظایف جالببه روش های مورد بحث در بالا

1) قاعده پایین ذوزنقه متساوی الساقین 13 و قاعده فوقانی 5 است. مساحت ذوزنقه را اگر مورب آن عمود بر ضلع باشد، بیابید.
2) مساحت ذوزنقه ای را در صورتی پیدا کنید که پایه های آن 2 و 5 سانتی متر و اضلاع آن 2 و 3 سانتی متر باشد.
3) در ذوزنقه متساوی الساقین، قاعده بزرگتر 11، ضلع آن 5 و قطر آن مساحت ذوزنقه را بیابید.
4) قطر ذوزنقه متساوی الساقین 5 و خط وسط آن 4 است. مساحت را پیدا کنید.
5) در ذوزنقه متساوی الساقین، قاعده های 12 و 20 و مورب ها بر هم عمود هستند. مساحت ذوزنقه را محاسبه کنید
6) قطر ذوزنقه متساوی الساقین با قاعده پایینی خود زاویه ایجاد می کند. اگر ارتفاع ذوزنقه 6 سانتی متر باشد، مساحت آن را بیابید.
7) مساحت ذوزنقه 20 و یک ضلع آن 4 سانتی متر است، فاصله آن را از وسط طرف مقابل پیدا کنید.
8) قطر ذوزنقه متساوی الساقین آن را به مثلث هایی با مساحت های 6 و 14 تقسیم می کند اگر ضلع آن 4 باشد ارتفاع را پیدا کنید.
9) در یک ذوزنقه، مورب ها 3 و 5 هستند و قسمت اتصال نقاط میانی پایه ها 2 است. مساحت ذوزنقه را پیدا کنید (مخمت از دانشگاه دولتی مسکو، 1970).

من سخت ترین کارها را انتخاب نکردم (از مخمت نترسید!) با انتظار امکان حل مستقل آنها. در مورد سلامتی تصمیم بگیرید! اگر نیاز به آمادگی برای امتحان ریاضی دارید، بدون شرکت فرمول ناحیه ذوزنقه ای در این فرآیند، مشکلات جدی حتی با کار B6 و حتی بیشتر از آن با C4 ممکن است ایجاد شود. موضوع را شروع نکنید و در صورت بروز هر گونه مشکل کمک بخواهید. یک معلم ریاضی همیشه خوشحال است که به شما کمک کند.

کولپاکوف A.N.
معلم ریاضی در مسکو, آمادگی برای امتحان در استروژینو.

دستورالعمل

برای درک بیشتر هر دو روش، می توان چند مثال ارائه داد.

مثال 1: طول خط وسط ذوزنقه 10 سانتی متر و مساحت آن 100 سانتی متر مربع است. برای یافتن ارتفاع این ذوزنقه باید موارد زیر را انجام دهید:

h = 100/10 = 10 سانتی متر

پاسخ: ارتفاع این ذوزنقه 10 سانتی متر است

مثال 2: مساحت ذوزنقه 100 سانتی متر مربع، طول پایه ها 8 سانتی متر و 12 سانتی متر است. برای یافتن ارتفاع این ذوزنقه باید این عمل را انجام دهید:

h \u003d (2 * 100) / (8 + 12) \u003d 200/20 \u003d 10 سانتی متر

پاسخ: ارتفاع این ذوزنقه 20 سانتی متر است

توجه داشته باشید

چند نوع ذوزنقه وجود دارد:
ذوزنقه متساوی الساقین به ذوزنقه ای گفته می شود که اضلاع آن با هم برابر باشند.
ذوزنقه راست به ذوزنقه ای گفته می شود که یکی از زوایای داخلی آن برابر 90 درجه باشد.
شایان ذکر است که در ذوزنقه مستطیلیارتفاع به اندازه طول ضلع است زاویه راست.
یک دایره را می توان در اطراف یک ذوزنقه توصیف کرد، یا می توان آن را در داخل یک شکل معین حک کرد. یک دایره را فقط در صورتی می توان نوشت که مجموع پایه های آن با مجموع اضلاع مقابل آن برابر باشد. یک دایره را فقط می توان در اطراف یک ذوزنقه متساوی الساقین توصیف کرد.

توصیه مفید

متوازی الاضلاع حالت خاصی از ذوزنقه است، زیرا تعریف ذوزنقه با تعریف متوازی الاضلاع منافاتی ندارد. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن با یکدیگر موازی هستند. در تعریف ذوزنقه، ما فقط در مورد یک جفت اضلاع آن صحبت می کنیم. بنابراین، هر متوازی الاضلاع نیز ذوزنقه است. این صحبت درست نیست.

منابع:

• چگونه مساحت فرمول ذوزنقه ای را پیدا کنیم

نکته 2: چگونه ارتفاع ذوزنقه را در صورت شناخت منطقه پیدا کنید

ذوزنقه چهارضلعی است که دو ضلع از چهار ضلع آن با یکدیگر موازی هستند. ضلع های موازی پایه های این هستند، دو ضلع دیگر اضلاع داده شده هستند ذوزنقه. پیدا کردن ارتفاع ذوزنقهاگر معلوم باشد مربع، بسیار آسان خواهد بود.

دستورالعمل

ما باید نحوه محاسبه را دریابیم مربعاصلی ذوزنقه. برای این، چندین فرمول، بسته به داده های اولیه: S = ((a + b) * h) / 2، که در آن a و b پایه هستند ذوزنقهو h ارتفاع آن است (ارتفاع ذوزنقه- یک عمود از یک پایه افتاده است ذوزنقهبه دیگری)؛
S = m*h، جایی که m یک خط است ذوزنقه(خط وسط - قطعه، پایه ها ذوزنقهو وسط اضلاع آن را به هم وصل می کند).

به منظور روشن تر شدن، می توان چنین وظایفی را در نظر گرفت: مثال 1: ذوزنقه ای آورده شده است که در آن مربع 68 سانتی متر مربع، که خط متوسط ​​آن 8 سانتی متر است، باید پیدا کنید ارتفاعداده شده ذوزنقه. برای حل این مشکل، باید از فرمول مشتق شده قبلی استفاده کنید:
h \u003d 68/8 \u003d 8.5 سانتی متر پاسخ: ارتفاع این ذوزنقه 8.5 سانتی متر است مثال 2: بگذارید y ذوزنقه مربعبرابر 120 سانتی متر مربع، طول پایه های این است ذوزنقه 8 سانتی متر و 12 سانتی متر به ترتیب، شما باید پیدا کنید ارتفاعاین ذوزنقه. برای انجام این کار، یکی از فرمول های مشتق شده را اعمال کنید:
h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 سانتی متر پاسخ: ارتفاع داده شده ذوزنقهبرابر با 12 سانتی متر

ویدیو های مرتبط

توجه داشته باشید

هر ذوزنقه دارای تعدادی ویژگی است:

خط وسط ذوزنقه نصف مجموع قاعده های آن است.

قطعه ای که مورب های ذوزنقه را به هم وصل می کند برابر با نصف اختلاف پایه های آن است.

اگر یک خط مستقیم از میان نقاط پایه رسم شود، آنگاه نقطه تقاطع قطرهای ذوزنقه را قطع می کند.

اگر مجموع قاعده های این ذوزنقه با مجموع اضلاع آن برابر باشد، می توان دایره ای را در ذوزنقه حک کرد.

هنگام حل مسائل از این ویژگی ها استفاده کنید.

نکته 3: چگونه می توان مساحت ذوزنقه را در صورت مشخص بودن پایه ها پیدا کرد

طبق تعریف هندسی، ذوزنقه چهار ضلعی است که فقط یک جفت ضلع آن موازی است. این طرف ها او هستند زمینه. فاصله بین زمینهارتفاع نامیده می شود ذوزنقه. پیدا کردن مربع ذوزنقهامکان استفاده فرمول های هندسی.

دستورالعمل

پایه ها را اندازه گیری کنید و ذوزنقه ABSD. معمولاً آنها به عنوان وظایف داده می شوند. اجازه دهید در این مثال از مسئله، پایه AD (a) ذوزنقهبرابر با 10 سانتی متر، پایه BC (b) - 6 سانتی متر، ارتفاع خواهد بود ذوزنقه BK (h) - 8 سانتی متر هندسی را برای یافتن منطقه اعمال کنید ذوزنقه، اگر طول قاعده و ارتفاع آن مشخص باشد - S= 1/2 (a+b)*h که: - a - مقدار پایه AD ذوزنقه ABCD، - b - مقدار پایه BC، - h - مقدار ارتفاع BK.

این ماشین حساب 2192 مسئله را در موضوع "مساحت ذوزنقه" محاسبه کرده است.

میدان ذوزنقه

فرمولی را برای محاسبه مساحت ذوزنقه ای که قصد دارید برای حل مشکل خود اعمال کنید، انتخاب کنید:

نظریه کلی برای محاسبه مساحت ذوزنقه.

ذوزنقه - این یک شکل مسطح است که از چهار نقطه تشکیل شده است که سه تای آنها روی یک خط مستقیم قرار ندارند و چهار بخش (ضلع) که این چهار نقطه را به صورت جفت به هم وصل می کنند که در آن دو ضلع مقابل موازی هستند (روی خطوط موازی قرار دارند) و دو تای دیگر موازی نیستند.

نقاط نامیده می شود بالای یک ذوزنقه و با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند.

بخش ها نامیده می شوند دو طرف ذوزنقه و با یک جفت حرف بزرگ نشان داده می شود حروف لاتینمربوط به رئوس هایی است که بخش ها به هم متصل می شوند.

دو ضلع موازی ذوزنقه نامیده می شود پایه های یک ذوزنقه .

دو ضلع غیر موازی ذوزنقه نامیده می شود دو طرف ذوزنقه .

شکل شماره 1: ذوزنقه ABCD

شکل 1 ذوزنقه ABCD با رئوس A,B,C,D و اضلاع AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - پایه های ذوزنقه ABCD.

بعد از میلاد، قبل از میلاد اضلاع ذوزنقه ABCD هستند.

زاویه ای که توسط پرتوهای AB و AD تشکیل می شود، زاویه در راس A نامیده می شود و به صورت ÐA یا ÐBAD یا ÐDAB مشخص می شود.

زاویه ای که توسط پرتوهای BA و BC تشکیل می شود، زاویه در راس B نامیده می شود. این زاویه به عنوان ÐB یا ÐABC یا ÐCBA تعیین می شود.

زاویه ای که توسط پرتوهای CB و CD ایجاد می شود، زاویه راس C نامیده می شود. آن را به صورت ÐC یا ÐDCB یا ÐBCD نشان می دهند.

زاویه ای که توسط پرتوهای AD و CD ایجاد می شود، زاویه رأس D نامیده می شود که به صورت ÐD یا ÐADC یا ÐCDA نشان داده می شود.

شکل 2: ذوزنقه ABCD

در شکل 2 قطعه MN که نقاط میانی اضلاع را به هم وصل می کند نامیده می شود خط وسط ذوزنقه

خط میانی ذوزنقهبه موازات قاعده ها و برابر با نیم جمع آنها. به این معنا که، .

شکل شماره 3: ذوزنقه متساوی الساقین ABCD

در شکل 3، AD=BC.

ذوزنقه نامیده می شود متساوی الساقین (متساوی الساقین)اگر اضلاع آن برابر باشد

شکل 4: ذوزنقه مستطیلی ABCD

در شکل شماره 4، زاویه D مستقیم است (برابر 90 درجه).

ذوزنقه نامیده می شود مستطیل شکل،اگر زاویه ضلع جانبی صاف باشد.

مربع S تختشکل هایی که ذوزنقه نیز به آنها تعلق دارد، فضای بسته محدود در یک صفحه نامیده می شود. مساحت یک شکل صاف اندازه این شکل را نشان می دهد.

این منطقه دارای چندین ویژگی است:

1. نمی تواند منفی باشد.

2. اگر برخی منطقه محصوردر صفحه ای که از چندین شکل تشکیل شده است که با یکدیگر تلاقی ندارند (یعنی شکل ها نقاط مشترک داخلی ندارند، اما ممکن است به خوبی یکدیگر را لمس کنند)، پس مساحت چنین منطقه ای است. برابر مجموع مساحت ارقام تشکیل دهنده آن است.

3. اگر دو رقم مساوی باشند، مساحت آنها برابر است.

4. مساحت مربع ساخته شده بر روی یک قطعه واحد برابر با یک است.

مطابق واحد اندازه گیری ها حوزهمساحت مربعی را بگیرید که ضلع آن برابر است واحد اندازه گیری هابخش ها

هنگام حل مسائل، اغلب از فرمول های زیر برای محاسبه مساحت ذوزنقه استفاده می شود:

1. مساحت ذوزنقه نصف مجموع قاعده های آن ضرب در ارتفاع آن است:

2. مساحت ذوزنقه برابر است با حاصل ضرب خط وسط و ارتفاع آن:

3. وقتی طول های شناخته شدهپایه ها و اضلاع ذوزنقه، مساحت آن را می توان با فرمول محاسبه کرد:

4. می توان مساحت ذوزنقه متساوی الساقین را با طول مشخصی از شعاع دایره محاط شده در ذوزنقه محاسبه کرد و ارزش شناخته شدهزاویه در پایه طبق فرمول زیر:

مثال 1:مساحت ذوزنقه با پایه های a=7، b=3 و ارتفاع h=15 را محاسبه کنید.

راه حل:

پاسخ:

مثال 2:ضلع قاعده ذوزنقه با مساحت S=35 سانتی متر مربع، ارتفاع h=7 سانتی متر و قاعده دوم b=2 سانتی متر را پیدا کنید.

راه حل:

برای پیدا کردن ضلع قاعده ذوزنقه از فرمول محاسبه مساحت استفاده می کنیم:

از این فرمول سمت قاعده ذوزنقه را بیان می کنیم:

بنابرین ما اینها را داریم:

پاسخ:

مثال 3:ارتفاع ذوزنقه ای به مساحت S=17 سانتی متر مربع و قاعده a=30 سانتی متر، b=4 سانتی متر را بیابید.

راه حل:

برای یافتن ارتفاع ذوزنقه از فرمول محاسبه مساحت استفاده می کنیم:

بنابرین ما اینها را داریم:

پاسخ:

مثال 4:مساحت ذوزنقه ای با ارتفاع h=24 و خط وسط m=5 را محاسبه کنید.

راه حل:

برای پیدا کردن مساحت ذوزنقه از فرمول زیر برای محاسبه مساحت استفاده کنید:

بنابرین ما اینها را داریم:

پاسخ:

مثال 5:ارتفاع ذوزنقه ای را با مساحت S = 48 سانتی متر مربع و خط وسط m = 6 سانتی متر بیابید.

راه حل:

برای یافتن ارتفاع ذوزنقه از فرمول محاسبه مساحت ذوزنقه استفاده می کنیم:

ارتفاع ذوزنقه را از این فرمول بیان می کنیم:

بنابرین ما اینها را داریم:

پاسخ:

مثال 6:خط وسط ذوزنقه ای با مساحت S=56 و ارتفاع h=4 را پیدا کنید.

راه حل:

برای یافتن خط وسط ذوزنقه از فرمول محاسبه مساحت ذوزنقه استفاده می کنیم:

از این فرمول خط وسط ذوزنقه را بیان می کنیم:

بنابرین ما اینها را داریم.

در ریاضیات، چند نوع چهارضلعی شناخته شده است: مربع، مستطیل، لوزی، متوازی الاضلاع. در میان آنها یک ذوزنقه وجود دارد - نوعی چهار ضلعی محدب که در آن دو ضلع موازی هستند و دو طرف دیگر موازی نیستند. اضلاع مقابل موازی را قاعده و دو طرف دیگر را اضلاع ذوزنقه می نامند. قسمتی که نقاط میانی اضلاع را به هم متصل می کند خط وسط نامیده می شود. چند نوع ذوزنقه وجود دارد: متساوی الساقین، مستطیلی، منحنی. برای هر نوع ذوزنقه فرمول هایی برای یافتن مساحت وجود دارد.

منطقه ذوزنقه

برای یافتن مساحت ذوزنقه باید طول پایه و ارتفاع آن را بدانید. ارتفاع ذوزنقه قطعه ای عمود بر پایه ها است. بگذارید پایه بالا a، پایه پایین b و ارتفاع h باشد. سپس می توانید مساحت S را با فرمول محاسبه کنید:

S = ½ * (a + b) * h

آن ها نصف مجموع پایه ها را ضرب در ارتفاع بگیرید.

اگر مقدار ارتفاع و خط وسط را بدانید می توانید مساحت ذوزنقه را نیز محاسبه کنید. بیایید خط وسط را نشان دهیم - m. سپس

بیایید مشکل را پیچیده تر حل کنیم: طول چهار طرف ذوزنقه - a، b، c، d را می دانیم. سپس مساحت با فرمول پیدا می شود:

اگر طول قطرها و زاویه بین آنها مشخص باشد، مساحت به صورت زیر جستجو می شود:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

که در آن d با شاخص های 1 و 2 مورب هستند. در این فرمول، سینوس زاویه در محاسبه آورده شده است.

با طول های پایه شناخته شده a و b و دو زاویه در پایه پایینمساحت به صورت زیر محاسبه می شود:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

مساحت ذوزنقه متساوی الساقین

ذوزنقه متساوی الساقین حالت خاصی از ذوزنقه است. تفاوت آن در این است که چنین ذوزنقه ای یک چهار ضلعی محدب با محور تقارن است که از وسط دو ضلع مخالف می گذرد. اضلاع آن برابر است.

راه های مختلفی برای یافتن مساحت ذوزنقه متساوی الساقین وجود دارد.

• از طول سه ضلع. در این مورد، طول اضلاع مطابقت خواهد داشت، بنابراین آنها با یک مقدار نشان داده می شوند - c، a و b - طول پایه ها:

• اگر طول قاعده بالا، ضلع جانبی و زاویه پایه پایین مشخص باشد، مساحت به صورت زیر محاسبه می شود:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

جایی که a پایه بالایی است، c طرف است.

• اگر به جای پایه بالایی، طول پایه پایینی مشخص باشد - b، مساحت با فرمول محاسبه می شود:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

• اگر دو قاعده و زاویه در قاعده پایین مشخص باشد، مساحت با استفاده از مماس زاویه محاسبه می شود:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

• همچنین مساحت از طریق مورب ها و زاویه بین آنها محاسبه می شود. در این مورد، قطرها از نظر طول برابر هستند، بنابراین هر کدام با حرف d بدون شاخص نشان داده می شوند:

S = ½ * d2 * sinα

• مساحت ذوزنقه را با دانستن طول ضلع جانبی، خط وسط و زاویه در پایه پایین محاسبه کنید.

اجازه دهید طرف - c، خط وسط - m، گوشه - a، سپس:

S = m * c * sinα

گاهی اوقات می توان دایره ای را در ذوزنقه متساوی الاضلاع حک کرد که شعاع آن - r خواهد بود.

معلوم است که در هر ذوزنقه ای می توان دایره ای را حک کرد که مجموع طول پایه ها با مجموع طول اضلاع آن برابر باشد. سپس این ناحیه از طریق شعاع دایره محاط شده و زاویه در قاعده پایین پیدا می شود:

S = 4r2 / sinα

همین محاسبه از طریق قطر D دایره محاطی شده انجام می شود (به هر حال، منطبق بر ارتفاع ذوزنقه است):

با دانستن پایه ها و زاویه، مساحت ذوزنقه متساوی الساقین به صورت زیر محاسبه می شود:

S = a*b/sinα

(این فرمول و فرمول های بعدی فقط برای ذوزنقه هایی با دایره محاط شده معتبر است).

از طریق پایه ها و شعاع دایره، مساحت به صورت زیر جستجو می شود:

اگر فقط پایه ها شناخته شده باشند، مساحت طبق فرمول محاسبه می شود:

از طریق پایه ها و خط کناری، مساحت ذوزنقه با دایره محاطی و از طریق پایه ها و خط وسط - m به صورت زیر محاسبه می شود:

مساحت یک ذوزنقه مستطیلی شکل

ذوزنقه را مستطیل می گویند که یکی از اضلاع آن بر پایه ها عمود باشد. در این حالت طول ضلع با ارتفاع ذوزنقه منطبق است.

ذوزنقه مستطیل شکل مربع و مثلث است. پس از یافتن مساحت هر یک از شکل ها، نتایج را جمع کنید و مساحت کل شکل را بدست آورید.

همچنین فرمول های کلی برای محاسبه مساحت ذوزنقه برای محاسبه مساحت ذوزنقه مستطیلی مناسب است.

• اگر طول پایه ها و ارتفاع (یا ضلع عمود) مشخص باشد، مساحت با فرمول محاسبه می شود:

S = (a + b) * h / 2

همانطور که h (ارتفاع) می تواند سمت با. سپس فرمول به صورت زیر است:

S = (a + b) * c / 2

• روش دیگر برای محاسبه مساحت این است که طول خط وسط را در ارتفاع ضرب کنیم:

یا با طول ضلع عمود بر جانبی:

• روش محاسبه بعدی از طریق نصف حاصلضرب قطرها و سینوس زاویه بین آنها است:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

اگر مورب ها عمود باشند، فرمول به صورت زیر ساده می شود:

S = ½ * d1 * d2

• روش دیگر محاسبه از طریق نیم محیط (مجموع طول دو ضلع مقابل) و شعاع دایره محاط است.

این فرمول برای پایه ها معتبر است. اگر طول اضلاع را در نظر بگیریم، یکی از آنها برابر با دو برابر شعاع خواهد بود. فرمول به صورت زیر خواهد بود:

S = (2r + c) * r

• اگر دایره ای در ذوزنقه حک شده باشد، مساحت به همین ترتیب محاسبه می شود:

که در آن m طول خط وسط است.

مساحت ذوزنقه منحنی شکل

ذوزنقه منحنی شکلی صاف است که با یک نمودار غیر منفی محدود شده است عملکرد پیوسته y = f(x) تعریف شده بر روی پاره، محور x و خطوط مستقیم x = a، x = b. در واقع دو ضلع آن با یکدیگر موازی هستند (پایه ها)، ضلع سوم عمود بر پایه ها و ضلع چهارم منحنی مطابق با نمودار تابع است.

مساحت ذوزنقه منحنی از طریق انتگرال با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس جستجو می شود:

نحوه محاسبه مساحت ها انواع مختلفذوزنقه اما، علاوه بر خواص اضلاع، ذوزنقه ها دارای همان خواص زاویه هستند. مانند تمام چهارضلعی های موجود، مجموع زوایای داخلی ذوزنقه 360 درجه است. و مجموع زوایای مجاور ضلع 180 درجه است.

ذوزنقهچهار ضلعی نامیده می شود فقط دوتااضلاع با هم موازی هستند

آنها پایه های شکل نامیده می شوند، بقیه - طرفین. متوازی الاضلاع یک مورد خاص از یک شکل در نظر گرفته می شود. همچنین یک ذوزنقه منحنی وجود دارد که شامل نمودار تابع است. فرمول های مساحت ذوزنقه تقریباً همه عناصر آن را شامل می شود و بسته به مقادیر داده شده بهترین راه حل انتخاب می شود.
نقش های اصلی در ذوزنقه به ارتفاع و خط وسط اختصاص داده شده است. خط وسط- این خطی است که نقاط میانی طرفین را به هم وصل می کند. ارتفاعذوزنقه با زاویه قائمه از گوشه بالا تا پایه کشیده شده است.
مساحت یک ذوزنقه در طول ارتفاع برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع طول پایه ها، ضرب در ارتفاع:

اگر خط میانه با توجه به شرایط شناخته شود، این فرمول بسیار ساده شده است، زیرا برابر است با نصف مجموع طول پایه ها:

اگر با توجه به شرایط، طول همه ضلع ها داده شود، می توان مثالی از محاسبه مساحت ذوزنقه از طریق این داده ها را در نظر گرفت:

فرض کنید ذوزنقه ای با پایه های a = 3 سانتی متر، b = 7 سانتی متر و اضلاع c = 5 سانتی متر، d = 4 سانتی متر داده شده است. مساحت شکل را پیدا کنید:

مساحت ذوزنقه متساوی الساقین

یک مورد جداگانه یک متساوی الساقین یا همانطور که به آن ذوزنقه متساوی الساقین نیز گفته می شود.
یک مورد خاص نیز یافتن مساحت ذوزنقه متساوی الساقین (متساوی الساقین) است. فرمول مشتق شده روش های مختلف- از طریق مورب ها، از طریق زوایای مجاور پایه و شعاع دایره محاط شده.
اگر طول قطرها با شرایط مشخص شده باشد و زاویه بین آنها مشخص باشد، می توانید از فرمول زیر استفاده کنید:

به یاد داشته باشید که قطرهای یک ذوزنقه متساوی الساقین با هم برابرند!

یعنی با دانستن یکی از پایه ها، ضلع و زاویه آنها به راحتی می توانید مساحت را محاسبه کنید.

مساحت ذوزنقه منحنی شکل

یک مورد جداگانه است ذوزنقه منحنی. بر روی محور مختصات قرار دارد و به نمودار یک تابع مثبت پیوسته محدود می شود.

پایه آن بر روی محور X قرار دارد و به دو نقطه محدود می شود:
انتگرال ها به محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی کمک می کنند.
فرمول به صورت زیر نوشته شده است:

مثالی از محاسبه مساحت ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید. فرمول برای کار کردن به دانش خاصی نیاز دارد انتگرال های معین. ابتدا بیایید مقدار انتگرال معین را تحلیل کنیم:

در اینجا F(a) مقدار است تابع ضد مشتق f(x) در نقطه a، F(b) مقدار همان تابع f(x) در نقطه b است.

حالا بیایید مشکل را حل کنیم. شکل یک ذوزنقه منحنی را نشان می دهد که توسط یک تابع محدود شده است. عملکرد
ما باید مساحت شکل انتخاب شده را پیدا کنیم، که یک ذوزنقه منحنی است که در بالا با یک نمودار محدود شده است، در سمت راست یک خط مستقیم x = (-8)، در سمت چپ یک خط مستقیم x = (- است. 10) و محور OX در زیر است.
مساحت این رقم را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم:

با توجه به شرایط مسئله تابعی به ما داده می شود. با استفاده از آن، مقادیر ضد مشتق را در هر یک از نقاط خود خواهیم یافت:


اکنون
پاسخ:مساحت ذوزنقه منحنی معین 4 است.

هیچ چیز دشواری در محاسبه این مقدار وجود ندارد. فقط نهایت دقت در محاسبات مهم است.