کاربردهای هندسی انتگرال معین کاربردهای فیزیکی انتگرال معین

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

موسسه آموزشی خودمختار ایالتی فدرال

آموزش عالی حرفه ای

"شمال ( قطب شمال) دانشگاه فدرالبه نام M.V. لومونوسوف"

گروه ریاضی

کار دوره

توسط رشته ریاضی

پیاتیشوا آناستازیا آندریونا

سرپرست

هنر معلم

Borodkina T. A.

آرخانگلسک 2014

وظیفه برای کار دوره

برنامه های کاربردی انتگرال معین

اطلاعات اولیه:

21. y=x 3، y= ; 22.

مقدمه

در این کار دوره، من وظایف زیر را دارم: محاسبه مساحت ارقام محدود شده توسط نمودارهای توابع، محدود شده با خطوط داده شده توسط معادلات، همچنین محدود شده با خطوط داده شده توسط معادلات در مختصات قطبی، محاسبه طول کمان منحنی های داده شده توسط معادلات در یک سیستم مختصات مستطیلی، که توسط معادلات پارامتری ارائه شده توسط معادلات در مختصات قطبی، و همچنین محاسبه حجم اجسام محدود شده توسط سطوح، محدود شده توسط نمودار توابع، و تشکیل شده توسط چرخش ارقام محدود شده توسط نمودار توابع به دور محور قطبی من یک مقاله ترمی با موضوع «انتگرال معین» انتخاب کردم. در این راستا، تصمیم گرفتم بفهمم که چقدر آسان و سریع می توانید از محاسبات انتگرال استفاده کنید و چقدر می توانید وظایف محول شده به من را با دقت محاسبه کنید.

INTEGRAL یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است که از یک طرف در ارتباط با نیاز به یافتن توابع به وسیله مشتقات آنها (مثلاً یافتن تابعی که مسیر طی شده توسط یک نقطه متحرک را بیان می کند، به وجود آمده است. سرعت این نقطه) و از طرف دیگر اندازه گیری مساحت ها، حجم ها، طول قوس ها، کار نیروها برای مدت زمان معین و غیره.

افشای موضوع مقاله ترممن طرح زیر را دنبال کردم: تعریف یک انتگرال معین و ویژگی های آن. طول قوس منحنی؛ ناحیه یک ذوزنقه منحنی؛ سطح چرخش

برای هر تابع f(x) پیوسته روی قطعه، یک پاد مشتق روی این قطعه وجود دارد که به این معنی است که یک انتگرال نامعین وجود دارد.

اگر تابع F(x) پاد مشتق تابع پیوسته f(x) باشد، این عبارت به فرمول نیوتن-لایب نیتس معروف است:

ویژگی های اصلی انتگرال معین:

اگر حد پایین و بالای انتگرال مساوی (a=b) باشد، انتگرال برابر با صفر است:

اگر f(x)=1، پس:

هنگام تنظیم مجدد حدود انتگرال، تغییرات انتگرال قطعی علامت مخالف را نشان می دهد:

عامل ثابت را می توان از علامت یک انتگرال معین خارج کرد:

اگر توابع روی انتگرال پذیر باشند، مجموع آنها انتگرال پذیر و انتگرال مجموع است برابر با مجموع استانتگرال:

همچنین روش های ادغام اولیه مانند تغییر متغیر وجود دارد:

رفع دیفرانسیل:

فرمول ادغام به بخش این امکان را فراهم می کند که محاسبه انتگرال را به محاسبه انتگرال کاهش دهیم، که ممکن است ساده تر باشد:

حس هندسییک انتگرال معین این است که برای یک تابع پیوسته و غیر منفی در مفهوم هندسی مساحت ذوزنقه منحنی متناظر است.

علاوه بر این، با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید مساحت منطقه محدود شده با منحنی ها، خطوط مستقیم و جایی را پیدا کنید که

اگر یک ذوزنقه منحنی با منحنی داده شده توسط خطوط پارامتری x = a و x = b و محور Ox محدود شود، مساحت آن با فرمول پیدا می شود، جایی که آنها از برابری تعیین می شوند:

. (12)

منطقه اصلی، مساحتی که با استفاده از یک انتگرال مشخص پیدا می شود، یک بخش منحنی است. این ناحیه ای است که توسط دو پرتو و یک منحنی محدود شده است، جایی که r و مختصات قطبی هستند:

اگر منحنی نمودار تابعی باشد که در آن، و تابع مشتق آن بر روی این بخش پیوسته باشد، مساحت شکل شکل گرفته از چرخش منحنی حول محور Ox را می توان با فرمول محاسبه کرد:

. (14)

اگر یک تابع و مشتق آن بر روی یک قطعه پیوسته باشند، منحنی دارای طولی برابر با:

اگر معادله منحنی به صورت پارامتریک داده شود

که در آن x(t) و y(t) توابع پیوسته با مشتقات پیوسته هستند و سپس طول منحنی با فرمول بدست می آید:

اگر منحنی با یک معادله در مختصات قطبی داده شود، جایی که و بر روی قطعه ممتد هستند، طول قوس را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

اگر یک ذوزنقه منحنی حول محور Ox بچرخد که توسط یک پاره خط پیوسته و خطوط مستقیم x \u003d a و x \u003d b محدود شده است، حجم بدن، با چرخش تشکیل شده استاین ذوزنقه حول محور Ox برابر است با:

اگر یک ذوزنقه منحنی با نمودار یک تابع پیوسته محدود شود و خطوط x = 0، y = c، y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:

اگر شکل با منحنی ها محدود شود و ("بالاتر" از خطوط مستقیم x = a، x = b باشد، حجم بدنه چرخش حول محور Ox برابر خواهد بود:

و حول محور y (:

اگر بخش منحنی حول محور قطبی بچرخد، مساحت جسم حاصل را می توان با فرمول پیدا کرد:

2. حل مسئله

تکلیف 14: مساحت شکل های محدود شده با نمودار تابع را محاسبه کنید:

1) راه حل:

شکل 1 - نمودار توابع

X از 0 به

x 1 = -1 و x 2 = 2 - محدودیت های ادغام (این را می توان در شکل 1 مشاهده کرد).

3) مساحت شکل را با استفاده از فرمول (10) محاسبه کنید.

پاسخ: S = .

تکلیف 15: مساحت اشکال محدود شده با خطوط داده شده توسط معادلات را محاسبه کنید:

1) راه حل:

شکل 2 - نمودار توابع

تابعی را روی بازه در نظر بگیرید.

شکل 3 - جدول متغیرهای تابع

از آنجا که، پس از آن 1 قوس در این دوره قرار می گیرد. این قوس از یک قسمت مرکزی (S 1) و قسمت های جانبی تشکیل شده است. قسمت مرکزی شامل قسمت مورد نظر و یک مستطیل (S pr):. بیایید مساحت یک قسمت مرکزی قوس را محاسبه کنیم.

2) حدود ادغام را بیابید.

و y = 6، از این رو

برای یک فاصله زمانی، محدودیت های ادغام.

3) مساحت شکل را با استفاده از فرمول (12) پیدا کنید.

ذوزنقه انتگرال منحنی

مسئله 16: مساحت ارقام محدود شده با خطوطی را که توسط معادلات مختصات قطبی به دست آمده است، محاسبه کنید:

1) راه حل:

شکل 4 - نمودار توابع،

شکل 5 - جدول توابع متغیر،

2) حدود ادغام را بیابید.

در نتیجه -

3) مساحت شکل را با استفاده از فرمول (13) بیابید.

پاسخ: S=.

وظیفه 17: محاسبه طول کمان منحنی های داده شده توسط معادلات در یک سیستم مختصات مستطیلی:

1) راه حل:

شکل 6 - نمودار تابع

شکل 7 - جدول متغیرهای تابع

2) حدود ادغام را بیابید.

از ln به ln متفاوت است، این از شرایط مشخص است.

3) طول قوس را با استفاده از فرمول (15) بیابید.

پاسخ: ل =

وظیفه 18: محاسبه طول کمان منحنی های داده شده توسط معادلات پارامتری: 1)

1) راه حل:

شکل 8- نمودار تابع

شکل 11 - جدول متغیرهای تابع

2) حدود ادغام را بیابید.

ts متفاوت است، این از شرایط مشخص است.

بیایید طول قوس را با استفاده از فرمول (17) پیدا کنیم.

وظیفه 20: محاسبه حجم اجسام محدود شده توسط سطوح:

1) راه حل:

شکل 12 - نمودار توابع:

2) حدود ادغام را بیابید.

Z از 0 به 3 تغییر می کند.

3) حجم شکل را با استفاده از فرمول (18) بیابید.

وظیفه 21: محاسبه حجم اجسام محدود شده توسط نمودارهای تابع، محور چرخش Ox: 1)

1) راه حل:

شکل 13 - نمودار توابع

شکل 15 - جدول نمودار توابع

2) حدود ادغام را بیابید.

نقاط (0;0) و (1;1) برای هر دو نمودار مشترک هستند، بنابراین این محدودیت‌های ادغام هستند که در شکل مشخص است.

3) حجم شکل را با استفاده از فرمول (20) بیابید.

وظیفه 22: محاسبه مساحت اجسام تشکیل شده توسط چرخش اشکال محدود شده توسط نمودارهای تابع حول محور قطبی:

1) راه حل:

شکل 16 - نمودار تابع

شکل 17 - جدول متغیرها برای نمودار تابع

2) حدود ادغام را بیابید.

c از

3) مساحت شکل را با استفاده از فرمول (22) بیابید.

جواب: 3.68

نتیجه

در روند تکمیل کار دوره خود در مورد موضوع "انتگرال معین"، یاد گرفتم که چگونه مساحت اجسام مختلف را محاسبه کنم، طول قوس های مختلف منحنی ها را بیابم و همچنین حجم ها را محاسبه کنم. این ایده کار با انتگرال ها در آینده به من کمک خواهد کرد فعالیت حرفه اینحوه انجام سریع و کارآمد اقدامات مختلف به هر حال، خود انتگرال یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است که از یک طرف در ارتباط با نیاز به یافتن توابع توسط مشتقات آنها (مثلاً یافتن تابعی که مسیر طی شده توسط نقطه متحرک با توجه به سرعت این نقطه) و از طرف دیگر اندازه گیری مساحت، حجم، طول قوس، کار نیروها برای مدت زمان معین و غیره.

فهرست منابع مورد استفاده

1. نوشته شده، D.T. یادداشت های سخنرانی در مورد ریاضیات عالی: قسمت 1 - ویرایش 9. - M.: Iris-press, 2008. - 288 p.

2. Bugrov، Ya.S.، Nikolsky، S.M. ریاضیات عالی حساب دیفرانسیل و انتگرال: V.2 - M.: Drofa, 2004. - 512 p.

3. V. A. Zorich، آنالیز ریاضی. قسمت اول - اد. چهارم - م.: MTSNMO، 2002. - 664 ص.

4. کوزنتسوف D.A. "مجموعه مسائل در ریاضیات عالی" مسکو، 1983

5. Nikolsky S. N. "عناصر تجزیه و تحلیل ریاضی". - M.: Nauka، 1981.

اسناد مشابه

محاسبه مساحت شکل های صفحه. یافتن انتگرال معین یک تابع تعیین مساحت زیر منحنی، مساحت شکل محصور بین منحنی ها. محاسبه حجم بدنه های انقلاب. حد مجموع انتگرال یک تابع. تعیین حجم سیلندر.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/18


ویژگی های محاسبه حجم اجسام محدود شده توسط سطوح با استفاده از معنای هندسی انتگرال دوگانه. تعیین مساحت شکل های صفحه محدود شده با خطوط با استفاده از روش انتگرال گیری در دوره تحلیل ریاضی.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/17


مشتق یک انتگرال معین با توجه به حد بالایی متغیر. محاسبه یک انتگرال معین به عنوان حدی از مجموع انتگرال طبق فرمول نیوتن-لایبنیتس، تغییر متغیر و انتگرال گیری توسط قطعات. طول قوس بر حسب مختصات قطبی

کار کنترل، اضافه شده در 2009/08/22


گشتاورها و مراکز جرم منحنی های مسطح. قضیه گولدن. مساحت سطحی که از چرخش قوس منحنی صفحه حول محوری که در صفحه کمان قرار دارد و آن را قطع نمی کند، برابر با حاصلضرب طول قوس و طول دایره است.

سخنرانی، اضافه شده در 09/04/2003


تکنیک و مراحل اصلی یافتن پارامترها: مساحت ذوزنقه و بخش منحنی، طول قوس منحنی، حجم اجسام، سطح اجسام چرخشی، کار یک نیروی متغیر ترتیب و مکانیزم محاسبه انتگرال ها با استفاده از بسته MathCAD.

کار کنترل، اضافه شده در 11/21/2010


لازم و شرایط کافیوجود یک انتگرال معین تساوی یک انتگرال معین از مجموع جبری (تفاوت) دو تابع. قضیه مقدار میانگین - نتیجه و اثبات. معنای هندسی یک انتگرال معین.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/18


یک وظیفه ادغام عددیکارکرد. محاسبه مقدار تقریبی یک انتگرال معین. یافتن انتگرال معین با استفاده از روش های مستطیل، مستطیل وسط، ذوزنقه. خطای فرمول ها و مقایسه روش ها از نظر دقت.

راهنمای آموزشی، اضافه شده در 07/01/2009


روش های محاسبه انتگرال فرمول ها و تأیید انتگرال نامعین. مساحت ذوزنقه منحنی شکل. انتگرال نامعین، معین و مختلط. کاربردهای اساسی انتگرال ها معنای هندسی انتگرال معین و نامعین.

ارائه، اضافه شده در 2014/01/15


محاسبه مساحت یک شکل محدود شده توسط خطوط داده شده با استفاده از یک انتگرال دوگانه. محاسبه انتگرال دوگانه با رفتن به مختصات قطبی. تکنیکی برای تعیین یک انتگرال منحنی از نوع دوم در امتداد یک خط معین و جریان یک میدان برداری.

کار کنترل، اضافه شده 12/14/2012


مفهوم انتگرال معین، محاسبه مساحت، حجم جسم و طول قوس، گشتاور ساکن و مرکز ثقل منحنی. محاسبه مساحت در مورد یک ناحیه منحنی مستطیلی شکل. کاربرد انتگرال های منحنی، سطحی و سه گانه.

اجازه دهید برخی از کاربردهای انتگرال معین را ارائه کنیم.

محاسبه مساحت یک شکل صاف

ناحیه یک ذوزنقه منحنی که توسط یک منحنی محدود شده است (که در آن
)، سر راست
,
و بخش
تبرها
، با فرمول محاسبه می شود

.

مساحت یک شکل محدود شده توسط منحنی ها
و
(جایی که
) سر راست
و
با فرمول محاسبه می شود

.

اگر منحنی با معادلات پارامتری داده شود
، سپس مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده توسط این منحنی، خطوط مستقیم است
,
و بخش
تبرها
، با فرمول محاسبه می شود

,

جایی که و از معادلات تعیین می شوند
,
، آ
در
.

مساحت یک بخش منحنی محدود به منحنی که در مختصات قطبی توسط معادله داده شده است
و دو شعاع قطبی
,
(
) با فرمول پیدا می شود

.

مثال 1.27.مساحت شکل محدود شده با سهمی را محاسبه کنید
و مستقیم
(شکل 1.1).

	راه حل.بیایید نقاط تلاقی خط و سهمی را پیدا کنیم. برای این کار معادله را حل می کنیم , . جایی که , . سپس با فرمول (1.6) داریم .

محاسبه طول قوس منحنی مسطح

اگر منحنی
در بخش
- صاف (یعنی مشتق
پیوسته است)، سپس طول قوس متناظر این منحنی با فرمول پیدا می شود

.

هنگام تعیین یک منحنی به صورت پارامتریک
(
- توابع متمایز پیوسته) طول قوس منحنی مربوط به تغییر یکنواخت در پارامتر از جانب قبل از ، با فرمول محاسبه می شود

مثال 1.28.طول قوس یک منحنی را محاسبه کنید
,
,
.

راه حل.بیایید مشتقات را با توجه به پارامتر پیدا کنیم :
,
. سپس با فرمول (1.7) بدست می آوریم

.

2. حساب دیفرانسیل توابع چند متغیر

اجازه دهید هر جفت از اعداد سفارش داده شود
از فلان منطقه
مربوط به عدد معینی است
. سپس تماس گرفت تابع دو متغیر و ,
-متغیرهای مستقل یا استدلال ها ,
-حوزه تعریف توابع، اما مجموعه تمام مقادیر تابع - محدوده آن و نشان دهند
.

از نظر هندسی، دامنه یک تابع معمولاً بخشی از صفحه است
محدود به خطوطی است که ممکن است متعلق به این منطقه باشد یا نباشد.

مثال 2.1.دامنه را پیدا کنید
کارکرد
.

راه حل.این تابع در آن نقاط صفحه تعریف می شود ، که در آن ، یا . نقاطی از هواپیما که برای آن ، مرز منطقه را تشکیل می دهند . معادله سهمی را تعریف می کند (شکل 2.1؛ زیرا سهمی به منطقه تعلق ندارد ، به صورت نقطه چین نشان داده شده است). علاوه بر این، به راحتی می توان مستقیماً تأیید کرد که نقاطی که برای آنها وجود دارد ، در بالای سهمی قرار دارد. منطقه باز است و می توان آن را با استفاده از سیستم نابرابری ها مشخص کرد:

اگر متغیر باشد مقداری تقویت کند
، آ آن را ثابت بگذارید، سپس تابع
افزایشی دریافت خواهد کرد
تماس گرفت تابع افزایش خصوصی توسط متغیر :

به طور مشابه، اگر متغیر افزایش می یابد
، آ ثابت می ماند، سپس تابع
افزایشی دریافت خواهد کرد
تماس گرفت تابع افزایش خصوصی توسط متغیر :

در صورت وجود محدودیت:

,

,

آنها نامیده می شوند مشتقات جزئی یک تابع
توسط متغیرها و به ترتیب.

تبصره 2.1. مشتقات جزئی توابع هر تعداد متغیر مستقل به طور مشابه تعریف می شوند.

نکته 2.2. از آنجایی که مشتق جزئی نسبت به هر متغیری مشتق نسبت به این متغیر است، مشروط بر اینکه سایر متغیرها ثابت باشند، پس تمامی قوانین تمایز توابع یک متغیر برای یافتن مشتقات جزئی توابع هر تعداد متغیر قابل اعمال است.

مثال 2.2.
.

راه حل. ما پیدا می کنیم:

,

.

مثال 2.3.مشتقات جزئی توابع را پیدا کنید
.

راه حل. ما پیدا می کنیم:

,

,

.

افزایش عملکرد کامل
تفاوت نامیده می شود

بخش اصلی افزایش تابع کل
، به طور خطی به افزایش متغیرهای مستقل وابسته است
و
,دیفرانسیل کل تابع نامیده می شود و نشان داد
. اگر تابعی مشتقات جزئی پیوسته داشته باشد، دیفرانسیل کل وجود دارد و برابر است با

,

جایی که
,
- افزایش دلخواه متغیرهای مستقل که دیفرانسیل آنها نامیده می شود.

به طور مشابه، برای تابعی از سه متغیر
دیفرانسیل کل توسط داده می شود

.

اجازه دهید تابع
در نقطه دارد
مشتقات جزئی مرتبه اول با توجه به همه متغیرها. سپس بردار فراخوانی می شود شیب کارکرد
در نقطه
و نشان داد
یا
.

تبصره 2.3. نماد
عملگر همیلتون نامیده می شود و "numbla" تلفظ می شود.

مثال 2.4.گرادیان یک تابع را در یک نقطه پیدا کنید
.

راه حل. بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

,
,

و مقادیر آنها را در نقطه محاسبه کنید
:

,
,
.

در نتیجه،
.

مشتق کارکرد
در نقطه
در جهت بردار
حد نسبت نامیده می شود
در
:

، جایی که
.

اگر تابع
قابل تمایز است، سپس مشتق در این جهت با فرمول محاسبه می شود:

,

جایی که ,- زوایا، کدام بردار با تبر فرم می دهد
و
به ترتیب.

در مورد تابعی از سه متغیر
مشتق جهت دار به طور مشابه تعریف می شود. فرمول مربوطه دارای فرم است

,

جایی که
- کسینوس جهت بردار .

مثال 2.5.مشتق یک تابع را پیدا کنید
در نقطه
در جهت بردار
، جایی که
.

راه حل. بیایید بردار را پیدا کنیم
و کسینوس های جهت آن:

,
,
,
.

مقادیر مشتقات جزئی را در نقطه محاسبه کنید
:

,
,
;
,
,
.

با جایگزینی (2.1)، به دست می آوریم

.

مشتقات جزئی مرتبه دوم مشتقات جزئی برگرفته از مشتقات جزئی مرتبه اول نامیده می شوند:

,

,

,

مشتقات جزئی
,
تماس گرفت مختلط . مقادیر مشتقات مخلوط در نقاطی که این مشتقات پیوسته هستند برابر است.

مثال 2.6.مشتقات جزئی مرتبه دوم یک تابع را پیدا کنید
.

راه حل. اولین مشتقات جزئی مرتبه اول را محاسبه کنید:

,
.

با تمایز مجدد آنها، دریافت می کنیم:

,
,

,
.

با مقایسه عبارات آخر، می بینیم که
.

مثال 2.7.ثابت کنید که تابع
معادله لاپلاس را برآورده می کند

.

راه حل. ما پیدا می کنیم:

,
.

,
.

.

نقطه
تماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین ) کارکرد
، اگر برای تمام نقاط
، غیر از
و متعلق به یک محله به اندازه کافی کوچک از آن، نابرابری است

(
).

حداکثر یا مینیمم یک تابع را آن می نامند نقاط بحرانی . نقطه ای که در آن حداکثر تابع به آن می رسد نامیده می شود نقطه افراطی تابع .

قضیه 2.1 (شرایط لازم برای افراط ). اگر نقطه
نقطه منتهی تابع است
، پس حداقل یکی از این مشتقات وجود ندارد.

نقاطی که این شرایط برای آنها برقرار است نامیده می شوند ثابت یا بحرانی . نقاط افراطی همیشه ثابت هستند، اما یک نقطه ثابت ممکن است یک نقطه افراطی نباشد. برای اینکه یک نقطه ثابت یک نقطه اکسترموم باشد، باید شرایط اکسترموم کافی رعایت شود.

اجازه دهید ابتدا نماد زیر را معرفی کنیم :

,
,
,
.

قضیه 2.2 (شرایط کافی برای یک افراطی ). اجازه دهید تابع
دو بار در همسایگی یک نقطه متمایز می شود
و نقطه
برای عملکرد ثابت است
. سپس:

1.اگر یک
، سپس نکته
حداکثر تابع است و
حداکثر نقطه در خواهد بود
(
)و حداقل نقطه در
(
).

2.اگر یک
، سپس در نقطه

افراطی وجود ندارد

3.اگر یک
، پس ممکن است افراطی وجود داشته باشد یا نباشد.

مثال 2.8.یک تابع را برای یک اکستروم بررسی کنید
.

راه حل. از آنجایی که در این مورد مشتقات جزئی مرتبه اول همیشه وجود دارند، برای یافتن نقاط ثابت (بحرانی) سیستم را حل می کنیم:

,
,

جایی که
,
,
,
. بنابراین، دو نقطه ثابت به دست آوردیم:
,
.

,
,
.

برای نقطه
دریافت می کنیم: یعنی در این مرحله هیچ افراطی وجود ندارد. برای نقطه
دریافت می کنیم: و
، در نتیجه

در این نقطه عملکرد داده شدهبه حداقل محلی می رسد: .

سخنرانی 8. کاربردهای یک انتگرال معین.

کاربرد انتگرال در مسائل فیزیکی بر اساس خاصیت افزایشی بودن انتگرال بر یک مجموعه است. بنابراین با کمک انتگرال می توان چنین کمیت هایی را محاسبه کرد که خود افزودنی در مجموعه هستند. به عنوان مثال مساحت یک شکل برابر است با مجموع مساحت اجزای آن، طول قوس، مساحت، حجم بدن و جرم بدن دارای خاصیت یکسانی هستند. بنابراین، تمام این کمیت ها را می توان با استفاده از یک انتگرال معین محاسبه کرد.

دو راه برای حل مشکلات وجود دارد: روش مجموع انتگرال و روش دیفرانسیل.

روش مجموع انتگرال ساخت یک انتگرال معین را تکرار می کند: یک پارتیشن ساخته می شود، نقاط علامت گذاری می شوند، یک تابع در آنها محاسبه می شود، یک مجموع انتگرال محاسبه می شود و عبور به حد انجام می شود. در این روش، مشکل اصلی اثبات این است که در حد دقیقاً آنچه در مسئله مورد نیاز است به دست خواهد آمد.

روش دیفرانسیل از انتگرال نامعین و فرمول نیوتن-لایب نیتس استفاده می کند. دیفرانسیل مقداری که باید تعیین شود محاسبه می شود و سپس با ادغام این دیفرانسیل مقدار مورد نیاز با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس به دست می آید. در این روش مشکل اصلی اثبات این است که دیفرانسیل مقدار مورد نظر محاسبه می شود نه چیز دیگری.

محاسبه مساحت شکل های صفحه.

1. شکل محدود به نمودار یک تابع داده شده در سیستم مختصات دکارتی است.

ما از مسئله مساحت ذوزنقه منحنی (در واقع با استفاده از روش مجموع انتگرال) به مفهوم انتگرال معین رسیدیم. اگر تابع فقط مقادیر غیر منفی بگیرد، می توان مساحت زیر نمودار تابع روی قطعه را با استفاده از انتگرال معین محاسبه کرد. توجه کنید که بنابراین در اینجا می توانید روش دیفرانسیل ها را ببینید.

اما تابع همچنین می تواند مقادیر منفی را روی یک بخش خاص بگیرد، سپس انتگرال روی این بخش یک ناحیه منفی به دست می دهد که با تعریف منطقه در تضاد است.

با استفاده از فرمول می توانید مساحت را محاسبه کنیداس=. این معادل تغییر علامت تابع در مناطقی است که در آن مقادیر منفی می گیرد.

اگر باید مساحت یک شکل را محاسبه کنید که از بالا توسط نمودار تابع و از پایین توسط نمودار تابع محدود شده است، سپس می توانید از فرمول استفاده کنیداس= ، زیرا .

مثال. مساحت شکل محدود شده با خطوط مستقیم x=0، x=2 و نمودارهای توابع y=x 2، y=x3 را محاسبه کنید.

توجه داشته باشید که در بازه (0,1) نابرابری x 2 > x 3 ارضا می شود و برای x > 1 نابرابری x 3 > x 2 ارضا می شود. از همین رو

2. شکل محدود به نمودار تابع داده شده در سیستم مختصات قطبی است.

اجازه دهید نمودار تابع در سیستم مختصات قطبی داده شود و می‌خواهیم مساحت بخش منحنی محدود شده توسط دو پرتو و نمودار تابع در سیستم مختصات قطبی را محاسبه کنیم.

در اینجا می توانید از روش مجموع انتگرال استفاده کنید و مساحت یک بخش منحنی را به عنوان حد مجموع مناطق بخش های ابتدایی محاسبه کنید که در آن نمودار تابع با قوس دایره ای جایگزین می شود. .

همچنین می توانید از روش دیفرانسیل استفاده کنید: .

شما می توانید اینگونه استدلال کنید. با جایگزینی بخش منحنی ابتدایی مربوط به زاویه مرکزی با یک بخش دایره ای، نسبت داریم. از اینجا . با ادغام و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس به دست می آوریم .

مثال. مساحت دایره را محاسبه کنید (فرمول را بررسی کنید). ما معتقدیم. مساحت دایره است .

مثال. ناحیه محدود شده توسط کاردیوئید را محاسبه کنید .

3 شکل محدود به نمودار یک تابع است که به صورت پارامتری مشخص شده است.

تابع را می توان به صورت پارامتری در فرم مشخص کرد. ما از فرمول استفاده می کنیم اس= ، جایگزین کردن محدودیت های ادغام با توجه به متغیر جدید در آن. . معمولاً هنگام محاسبه انتگرال، مناطقی از هم متمایز می شوند که انتگرال علامت مشخصی دارد و ناحیه مربوطه با یک علامت یا علامت دیگر در نظر گرفته می شود.

مثال. مساحت محصور شده توسط بیضی را محاسبه کنید.

با استفاده از تقارن بیضی، مساحت یک چهارم بیضی را که در ربع اول قرار دارد محاسبه می کنیم. در این ربع از همین رو .

محاسبه حجم اجسام.

1. محاسبه حجم اجسام از مساحت مقاطع موازی.

اجازه دهید محاسبه حجم بدن V از آن لازم باشد مربع های معروفمقاطع این جسم توسط صفحات عمود بر خط OX که از هر نقطه x از پاره خط OX کشیده شده اند.

ما از روش دیفرانسیل استفاده می کنیم. با در نظر گرفتن حجم اولیه، بالای قطعه به عنوان حجم یک استوانه دایره ای راست با مساحت و ارتفاع، به دست می آید. . با ادغام و اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس، به دست می آوریم

2. محاسبه حجم بدنه های انقلاب.

بگذارید محاسبه شود گاو نر.

سپس .

به همین ترتیب، حجم یک بدنه چرخشی حول یک محورOY، اگر تابع به شکل داده شده باشد، می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

اگر تابع به شکل داده شده باشد و لازم است حجم بدنه چرخش حول محور مشخص شودOY، سپس فرمول محاسبه حجم را می توان به صورت زیر بدست آورد.

با عبور از دیفرانسیل و غفلت از اصطلاحات درجه دوم، داریم . با ادغام و به کارگیری فرمول نیوتن-لایبنیتس، داریم.

مثال. حجم کره را محاسبه کنید.

مثال. حجم مخروط دایره ای راست که با یک سطح و یک صفحه محدود شده است را محاسبه کنید.

اجازه دهید حجم را به عنوان حجم یک بدنه چرخشی محاسبه کنیم که از چرخش حول محور OZ یک مثلث قائم الزاویه در صفحه OXZ تشکیل شده است که پایه های آن روی محور OZ و خط z \u003d H قرار دارد و هیپوتنوز روی خط قرار دارد.

با بیان x بر حسب z، دریافت می کنیم .

محاسبه طول قوس

برای به دست آوردن فرمول های محاسبه طول یک قوس، فرمول های دیفرانسیل طول کمان را که در ترم 1 به دست آمده است، یادآوری می کنیم.

اگر قوس نمودار یک تابع پیوسته قابل تمایز باشد، دیفرانسیل طول قوس را می توان با فرمول محاسبه کرد

. از همین رو

اگر قوس صاف به صورت پارامتری مشخص شود، سپس

. از همین رو .

اگر قوس در مختصات قطبی باشد، سپس

. از همین رو .

مثال. طول قوس نمودار تابع را محاسبه کنید. .

سخنرانی 21 کاربردهای یک انتگرال معین (2 ساعت)

کاربردهای هندسی

آ) مساحت شکل

همانطور که در سخنرانی 19 به صورت عددی اشاره شد برابر مساحتذوزنقه منحنی که توسط یک منحنی محدود شده است در = f(ایکس) ، خطوط مستقیم ایکس = آ, ایکس = بو بخش [ آ, ب] از محور OX. در عین حال، اگر f(ایکس) 0 پوند در [ آ, ب]، سپس انتگرال باید با علامت منفی گرفته شود.

اگر در یک بازه زمانی مشخص، تابع در = f(ایکس) علامت را تغییر می دهد، سپس برای محاسبه مساحت شکل محصور بین نمودار این تابع و محور OX، باید قطعه را به قسمت هایی تقسیم کرد که روی هر کدام از آنها تابع علامت خود را حفظ کرده و مساحت آن را یافت. هر قسمت از شکل مساحت مورد نظر در این مورد، مجموع جبری انتگرال های روی این بخش ها و انتگرال های مربوط به مقادیر منفیتوابع در این مجموع با علامت منفی گرفته می شود.

اگر شکل با دو منحنی محدود شود در = f 1 (ایکس) و در = f 2 (ایکس), f 1 (ایکس)£ f 2 (ایکس، سپس، همانطور که از شکل 9 نشان می دهد، مساحت آن برابر است با اختلاف بین مساحت ذوزنقه های منحنی. آآفتاب بو آآگهی بکه هر کدام از نظر عددی برابر با انتگرال است. به معنای،

توجه داشته باشید که مساحت شکل نشان داده شده در شکل 10، a با همان فرمول پیدا می شود: S = (اثباتش کن!). در مورد نحوه محاسبه مساحت شکل نشان داده شده در شکل 10، ب فکر کنید؟

ما فقط در مورد ذوزنقه های منحنی در مجاورت محور OX صحبت کردیم. اما فرمول های مشابه برای ارقام مجاور محور y نیز معتبر هستند. به عنوان مثال، مساحت شکل نشان داده شده در شکل 11 با فرمول پیدا می شود

بگذارید خط y=f(ایکسمحدود کردن ذوزنقه منحنی را می توان با معادلات پارامتری به دست آورد. تیО , و j(a)= آ، j(b) = ب، یعنی در= سپس مساحت این ذوزنقه منحنی شکل است

.

ب) طول قوس منحنی

بگذارید یک منحنی وجود داشته باشد در = f(ایکس). قوس این منحنی را مربوط به تغییر در نظر بگیرید ایکسدر بخش [ آ, ب]. بیایید طول این کمان را پیدا کنیم. برای این کار قوس AB را به دو قسمت تقسیم می کنیم پقطعات با نقاط A \u003d M 0، M 1، M 2، ...، M پ= B (شکل 14)، مربوط به نقاط ایکس 1 , ایکس 2 , ..., x n Î [ آ, ب].

D را نشان دهید منطول قوس، سپس ل= اگر طول قوس D باشد منبه اندازه کافی کوچک هستند، سپس می توان آنها را تقریباً برابر با طول بخش های مربوطه که نقاط M را به هم متصل می کند در نظر گرفت من-1، م من. این نقاط دارای مختصات M هستند من -1 (x i -1, f (x i-1)) ، م من(x i, f(x i)). سپس طول قطعات به ترتیب برابر است

در اینجا از فرمول لاگرانژ استفاده شده است. بگذاریم x i – x i-1=D x i، ما گرفتیم

سپس ل = ، جایی که

ل = .

بنابراین طول قوس منحنی در = f(ایکس) مربوط به تغییر است ایکسدر بخش [ آ, ب]، با فرمول پیدا می شود

ل = , (1)

اگر منحنی به صورت پارامتری داده شود، تیО، یعنی y(تی) = f(ایکس(تی))، سپس از فرمول (1) به دست می آوریم:

ل=
.

بنابراین، اگر منحنی به صورت پارامتری داده شود، طول قوس این منحنی مربوط به تغییر است تیн، با فرمول پیدا می شود

که در) حجم بدنه انقلاب.

شکل 15

یک ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید آ AB ب، محدود به یک خط در = f(ایکس)، سر راست ایکس = آ, ایکس = بو بخش [ آ,ب] از محور OX (شکل 15). اجازه دهید این ذوزنقه حول محور OX بچرخد، نتیجه یک بدنه چرخشی خواهد بود. می توان ثابت کرد که حجم این جسم برابر خواهد بود

به طور مشابه، شما می توانید فرمول حجم یک جسم را که با چرخش حول محور y یک ذوزنقه منحنی محدود شده توسط نمودار تابع به دست می آید، استخراج کنید. ایکس= j( در)، سر راست y = ج , y = دو بخش [ ج,د] محور y (شکل 15):

کاربردهای فیزیکی انتگرال معین

در سخنرانی 19، ما ثابت کردیم که از نظر فیزیکی، انتگرال از نظر عددی برابر با جرم یک میله ناهمگن نازک مستطیلی است. ل= ب – آ، با چگالی خطی متغیر r = f(ایکس), f(ایکس) ³ 0، که در آن ایکسفاصله از نقطه میله تا انتهای چپ آن است.

اجازه دهید سایر کاربردهای فیزیکی انتگرال معین را در نظر بگیریم.

وظیفه 1. کار مورد نیاز برای پمپاژ روغن از یک مخزن استوانه ای عمودی با ارتفاع H و شعاع پایه R را پیدا کنید. چگالی روغن r است.

راه حل.بیایید بسازیم مدل ریاضیاین وظیفه. اجازه دهید محور OX از امتداد محور تقارن استوانه ای به ارتفاع H و شعاع R عبور کند، ابتدا در مرکز است. پایه بالاسیلندر (شکل 17). بیایید سیلندر را شکافتیم پقطعات کوچک افقی بعد کجا Ai- کار پمپاژ منلایه ام این پارتیشن از سیلندر مربوط به پارتیشن از بخش از تغییر در ارتفاع لایه به پقطعات. یکی از این لایه ها را در نظر بگیرید که در فاصله ای دور قرار گرفته است x iاز سطح، عرض D ایکس(یا بلافاصله dx). پمپاژ از این لایه را می توان به عنوان "بالا بردن" لایه به ارتفاع در نظر گرفت x i.

سپس کار انجام شده برای پمپاژ این لایه برابر است با

Ai"ر من x i, ,

جایی که R من=rgV من= rgpR 2 dx، آر من– وزن، V منحجم لایه است. سپس Ai"ر من x i= rgpR 2 dx.x i، جایی که

، و از این رو .

وظیفه 2. گشتاور اینرسی را پیدا کنید

الف) استوانه ای توخالی با دیواره نازک حول محوری که از محور تقارن آن عبور می کند.

ب) یک استوانه جامد حول محوری که از محور تقارن آن می گذرد.

ج) طول میله نازک لدر مورد محوری که از وسط آن می گذرد.

د) طول میله نازک لدر مورد محوری که از انتهای چپ آن می گذرد.

راه حل.همانطور که می دانید ممان اینرسی یک نقطه نسبت به محور برابر است جی=آقای 2 , و سیستم از نقاط .

الف) استوانه جدار نازک است، به این معنی که می توان از ضخامت دیواره چشم پوشی کرد. شعاع قاعده استوانه R، ارتفاع H و چگالی جرم روی دیواره ها برابر با r باشد.

بیایید سیلندر را شکافتیم پقطعات و پیدا کردن کجا جی آی- ممان اینرسی منعنصر پارتیشن -امین

در نظر گرفتن منعنصر پارتیشن -امین (یک سیلندر بی نهایت کوچک). تمام نقاط آن در فاصله R از محور قرار دارند ل. جرم این استوانه را بگذارید تی من، سپس تی من= rV من» rs سمت= 2prR dx i، جایی که x i O. سپس جی آی» R 2 prR dx i، جایی که

.

اگر r یک ثابت است، پس جی= 2prR 3 N، و از آنجایی که جرم سیلندر M = 2prRН است، پس جی= MR 2.

ب) اگر استوانه جامد (پر) باشد آن را به دو قسمت تقسیم می کنیم پ vloاستوانه های نازکی که یکی داخل دیگری قرار گرفته اند. اگر یک پبزرگ، هر یک از این استوانه ها را می توان دیواره نازک در نظر گرفت. این پارتیشن مربوط به پارتیشن از بخش به پقطعات توسط نقاط R من. بیایید جرم را پیدا کنیم من- سیلندر جدار نازک: تی من= rV من، جایی که

V من= pR من 2 H - pR من- 1 2 H \u003d pH (R من 2-R من -1 2) =

PH(R من-ر من-1) (R من+R من -1).

از آنجایی که دیواره های سیلندر نازک هستند، می توانیم فرض کنیم که R من+R من-1 » 2R من، و R من-ر من-1=DR من، سپس V من» pH2R مندکتر من، جایی که تی من» rpН×2R مندکتر من,

سپس در نهایت

ج) میله ای به طول در نظر بگیرید ل، که چگالی جرم آن برابر با r است. اجازه دهید محور چرخش از وسط آن عبور کند.

میله را به عنوان قطعه ای از محور OX مدل می کنیم، سپس محور چرخش میله، محور OY است. یک قطعه ابتدایی را در نظر بگیرید، جرم آن، فاصله تا محور را می توان تقریباً برابر در نظر گرفت r i= x i. سپس ممان اینرسی این بخش برابر است با ممان اینرسی کل میله . با توجه به اینکه جرم میله است، پس

د) حال اجازه دهید محور چرخش از انتهای چپ میله عبور کند، یعنی. مدل میله قطعه ای از محور OX است. سپس به طور مشابه، r i= x i، ، جایی که و از آن پس .

وظیفه 3.نیروی فشار سیال با چگالی r را پیدا کنید راست گوشهبا پاها آو ب، به صورت عمودی در یک مایع غوطه ور می شود تا ساق پا آروی سطح مایع قرار دارد.

راه حل.

بیایید یک مدل کار بسازیم. اجازه دهید بالا زاویه راستمثلث در مبدا است، پا آمنطبق با بخش محور OY (محور OY سطح مایع را تعیین می کند)، محور OX به سمت پایین هدایت می شود، پا بمنطبق با بخش این محور است. هیپوتنوز این مثلث معادله یا .

مشخص است که اگر در ناحیه افقی منطقه باشد اس، غوطه ور در مایعی با چگالی r، توسط ستونی از مایع با ارتفاع فشرده می شود ساعت، سپس نیروی فشار برابر است با (قانون پاسکال). بیایید از این قانون استفاده کنیم.

صفحه اصلی > سخنرانی

سخنرانی 18. کاربردهای یک انتگرال معین.

18.1. محاسبه مساحت شکل های صفحه.

مشخص است که انتگرال معین روی یک قطعه، مساحت ذوزنقه منحنی است که با نمودار تابع f(x) محدود شده است. اگر نمودار زیر محور x قرار گیرد، یعنی. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0، سپس منطقه دارای علامت "+" است.

از فرمول برای یافتن مساحت کل استفاده می شود.

اگر معادلات این خطوط مشخص باشد، مساحت یک شکل محدود شده توسط برخی خطوط را می توان با استفاده از انتگرال های خاصی پیدا کرد.

مثال.مساحت شکل محدود شده با خطوط y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2 را پیدا کنید.

ناحیه مورد نظر (در شکل سایه دار) را می توان با فرمول پیدا کرد:

18.2. پیدا کردن مساحت یک بخش منحنی.

برای یافتن مساحت یک بخش منحنی، یک سیستم مختصات قطبی را معرفی می کنیم. معادله منحنی که بخش را در این سیستم مختصات محدود می کند به شکل  = f() است، که در آن  طول بردار شعاع اتصال قطب به یک نقطه دلخواه در منحنی است و  زاویه میل است. این بردار شعاع به محور قطبی.

مساحت یک بخش منحنی را می توان با فرمول پیدا کرد

18.3. محاسبه طول قوس یک منحنی.

y y = f(x)

S من y i

طول چند خطی که با قوس مطابقت دارد را می توان به صورت پیدا کرد
.

سپس طول قوس است
.

به دلایل هندسی:

در همان زمان

سپس می توان آن را نشان داد

آن ها

اگر معادله منحنی به صورت پارامتری داده شود، با در نظر گرفتن قوانین محاسبه مشتق پارامتری داده شده، به دست می آوریم

,

که در آن x = (t) و y = (t).

اگر تنظیم شود منحنی فضاییو x = (t)، y = (t) و z = Z(t)، سپس

اگر منحنی تنظیم شده باشد مختصات قطبی، سپس

،  = f().

مثال:محیط بدست آمده با معادله x 2 + y 2 = r 2 را بیابید.

1 راه.اجازه دهید متغیر y را از معادله بیان کنیم.

بیایید مشتق را پیدا کنیم

سپس S = 2r. ما فرمول معروف محیط دایره را بدست آوردیم.

2 راه.اگر معادله داده شده را در یک سیستم مختصات قطبی نشان دهیم، به دست می آید: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2، یعنی. تابع  = f() = r،
سپس

18.4. محاسبه حجم اجسام.

محاسبه حجم جسم از نواحی شناخته شده مقاطع موازی آن.

بگذارید جسمی با حجم V وجود داشته باشد. مساحت هر مقطع بدنه Q به عنوان شناخته می شود عملکرد پیوسته Q = Q (x). بیایید بدنه را با مقاطع عرضی که از نقاط x i تقسیم قطعه می گذرند به "لایه ها" تقسیم کنیم. زیرا تابع Q(x) در برخی از بخش های میانی پارتیشن پیوسته است، سپس بزرگترین و را می گیرد کوچکترین ارزش. بیایید آنها را بر این اساس M i و m i تعیین کنیم.

اگر در این بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین بخش‌ها استوانه‌هایی با ژنراتورهای موازی با محور x بسازیم، حجم این استوانه‌ها به ترتیب برابر با M i x i و m i x i در اینجا x i = x i - x i -1 خواهد بود.

با ساختن چنین ساختارهایی برای تمام بخش های پارتیشن، استوانه هایی را به دست می آوریم که حجم آنها به ترتیب،
و
.

از آنجایی که مرحله پارتیشن  به سمت صفر میل می کند، این مجموع یک حد مشترک دارند:

بنابراین، حجم بدن را می توان با فرمول پیدا کرد:

عیب این فرمول این است که برای یافتن حجم باید تابع Q(x) را دانست که برای اجسام پیچیده بسیار مشکل ساز است.

مثال:حجم کره ای به شعاع R را پیدا کنید.

در مقاطع توپ، دایره هایی با شعاع متغیر y به دست می آید. بسته به مختصات x فعلی، این شعاع با فرمول بیان می شود
.

سپس تابع سطح مقطع به شکل Q(x) = است
.

حجم توپ را بدست می آوریم:

مثال:حجم هرم دلخواه با ارتفاع H و مساحت پایه S را پیدا کنید.

هنگام عبور از هرم با صفحات عمود بر ارتفاع، در مقطع، ارقامی شبیه به قاعده بدست می آوریم. ضریب شباهت این ارقام برابر است با نسبت x / H که در آن x فاصله صفحه مقطع تا بالای هرم است.

از هندسه مشخص است که نسبت مساحت های شکل های مشابه برابر است با ضریب شباهت مجذور، یعنی.

از اینجا تابع ناحیه های مقطعی را دریافت می کنیم:

پیدا کردن حجم هرم:

18.5. حجم بدنه های انقلاب.

منحنی را در نظر بگیرید توسط معادله داده شده است y = f(x). فرض کنید تابع f(x) روی قطعه پیوسته است. اگر ذوزنقه منحنی منطبق با آن با پایه های a و b حول محور Ox بچرخد، به اصطلاح به دست می آوریم. بدنه انقلاب.

y = f(x)

زیرا هر بخش از بدن در صفحه x = const دایره ای با شعاع است
، سپس حجم بدنه چرخش را می توان با استفاده از فرمول به دست آمده در بالا به راحتی پیدا کرد:

18.6. سطح یک بدنه انقلاب.

M i B

تعریف: سطح چرخشمنحنی AB حول یک محور معین را حدی می گویند که نواحی سطوح چرخش خطوط شکسته محاط شده در منحنی AB به آن تمایل دارند، زمانی که بزرگترین طول پیوندهای این خطوط شکسته به صفر میل می کند.

بیایید قوس AB را با نقاط M 0 , M 1 , M 2 , … , M n به n قسمت تقسیم کنیم. رئوس چند خط حاصل دارای مختصات x i و y i هستند. هنگام چرخش خط شکسته حول محور، سطحی متشکل از سطوح جانبی مخروط های بریده به دست می آوریم که مساحت آن برابر با P i است. این ناحیه را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

در اینجا S i طول هر وتر است.

ما قضیه لاگرانژ را اعمال می کنیم (ر.ک. قضیه لاگرانژ) به رابطه
.