حجم یک شکل محدود شده با خطوط را به صورت آنلاین محاسبه کنید. درس "محاسبه حجم بدنه های انقلاب با استفاده از یک انتگرال معین

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

در فرمول باید قبل از انتگرال یک عدد وجود داشته باشد. این اتفاق افتاد - هر چیزی که در زندگی می چرخد با این ثابت مرتبط است.

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی از بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است:، بنابراین حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که کاملاً منطقی است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب، شاید کیلومتر مکعب و غیره، این همان تعداد مرد سبز کوچک است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم بدن را پیدا کنید با چرخش تشکیل شده استحول محور شکل محدود شده توسط خطوط،

این یک مثال برای خودتان است. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل:بیایید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط , , , , , , , , , , محصور شده است، در حالی که فراموش نکنیم که معادله محور را تعریف می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. بیایید حجم این مخروط کوتاه شده را به صورت .

شکل دایره شده را در نظر بگیرید به رنگ سبز. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (نه مشابه) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق به مساحت 18 می نوشد. متر مربع، که برعکس به نظر خیلی کوچک است.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که توسط او در سال 1950 نوشته شده است، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی توسعه می یابد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان دوستان هم قابل دسترسی است. نه، شما مجبور نیستید لبخند بزنید که من یک سرگرمی فوق العاده را به شما پیشنهاد دادم، دانش و نگرش گسترده در ارتباطات چیز خوبی است.

بعد از انحرافمناسب برای تصمیم گیری کار خلاقانه:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای خودتان است. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی تقریبا آماده داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی ترسیم کنید، اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، سپس نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید با توجه به جداول مثلثاتیو نقاشی را دقیق تر کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور y نیز یک مهمان نسبتاً مکرر در کنترل کار. گذرا در نظر گرفته خواهد شد مشکل پیدا کردن مساحت یک شکلراه دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. معنای کاربردی هم دارد! همانطور که معلم من در روش تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان خود را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار از دو بخش تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

به راحتی می توان فهمید که تابع شاخه بالایی سهمی را تعریف می کند و تابع شاخه پایینی سهمی را تعریف می کند. پیش روی ما سهمی بی اهمیت است که "در کنار خود قرار دارد."

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد توجه قرار گرفت، یافت. انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مساحت ها یافت می شود:
- در بخش ;
- در بخش

از همین رو:

راه حل معمول در این مورد چه اشکالی دارد؟ اول، دو انتگرال وجود دارد. ثانیاً، ریشه های زیر انتگرال، و ریشه در انتگرال ها موهبتی نیستند، علاوه بر این، می توان در جایگزینی حدود انتگرال گیج شد. در واقع، انتگرال ها، البته، کشنده نیستند، اما در عمل همه چیز بسیار غم انگیزتر است، من فقط توابع "بهتر" را برای این کار انتخاب کردم.

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. علاوه بر این، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشنا است پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

برای یافتن حجم بدنه انقلاب در امتداد محور ادغام می کنیم. ابتدا باید به سراغ توابع معکوس برویم. این کار قبلا انجام شده و در پاراگراف قبل به تفصیل توضیح داده شده است.

حالا دوباره سرمان را به سمت راست خم می کنیم و شکل خود را مطالعه می کنیم. بدیهی است که حجم بدنه انقلاب را باید به عنوان اختلاف بین احجام یافت.

شکل دایره شده به رنگ قرمز را حول محور می چرخانیم و در نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می کنیم. بیایید این حجم را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را از طریق حجم بدنه حاصل از چرخش نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

و در اینجا مزیت یکپارچه سازی است که چندی پیش در مورد آن صحبت کردم، پیدا کردن آن بسیار ساده تر است به جای اینکه ابتدا انتگرال را به توان 4 برسانید.

پاسخ:

با این حال، یک پروانه بیمار.

توجه داشته باشید که اگر همان شکل صاف حول محور بچرخد، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی به وجود می‌آید، با حجمی طبیعی و متفاوت.

مثال 6

با توجه به یک شکل صاف محدود شده توسط خطوط و یک محور.

1) به توابع معکوس بروید و با ادغام کردن روی متغیر، مساحت یک شکل صاف را که با این خطوط محدود شده است، پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، محاسبه کنید.

نحوه محاسبه حجم یک بدنه انقلاب
با استفاده از انتگرال معین?

به طور کلی، در حساب انتگرال تعداد زیادی وجود دارد برنامه های کاربردی جالب، با استفاده از یک انتگرال مشخص، می توانید مساحت شکل، حجم بدنه چرخش، طول قوس، سطح چرخش و موارد دیگر را محاسبه کنید. پس سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوشبین باشید!

تصویر هواپیما را تصور کنید هواپیمای مختصات. نمایندگی؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش، و به دو صورت چرخش:

- حول محور x؛
- حول محور y

در این مقاله هر دو مورد بحث خواهد شد. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان پاداش، من به مشکل یافتن مساحت یک شکل، و به شما می گوید که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. حتی آنقدر هم امتیازی نیست که مواد به خوبی با موضوع مطابقت دارند.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

شکل صاف حول یک محور

حجم جسم را با چرخاندن شکل محدود شده با خطوط حول محور محاسبه کنید.

راه حل: همانطور که در مشکل منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف شروع می شود. یعنی در هواپیما لازم است شکلی با خطوط محدود ساخته شود، در حالی که فراموش نکنید که این معادله محور را مشخص می کند. نحوه ایجاد یک نقاشی منطقی تر و سریعتر را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتداییو . این یک یادآوری چینی است و من در این مرحله متوقف نمی شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه انداخته شده است و این شکل است که حول محور می چرخد و در نتیجه چرخش چنین بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل به دست می آید که به صورت متقارن حول محور است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما برای مشخص کردن چیزی در کتاب مرجع بسیار تنبل است، بنابراین ما ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - انتگرال در فرمول مربع است:، بنابراین انتگرال همیشه غیر منفی است، که کاملاً منطقی است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این چند مرد کوچک سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده توسط خطوط، تشکیل شده است، بیابید.

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل: یک شکل مسطح در نقاشی بکشید که با خطوط محدود شده است، در حالی که فراموش نکنید که این معادله محور را مشخص می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت حجم ها دقیقاً حجم «دونات» ماست.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (یکی دیگر) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق 18 متر مربع می نوشد، که برعکس، حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای خودتان است. توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی آماده در واقع داده شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید، من مطالب درس را به شما یادآوری می کنم تبدیل هندسی نمودارها: اگر آرگومان بر دو بخش پذیر باشد، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. یافتن حداقل 3-4 امتیاز مطلوب است با توجه به جداول مثلثاتیبرای تکمیل دقیقتر نقاشی حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور y نیز در آزمایش‌ها یک بازدیدکننده نسبتاً مکرر است. گذرا در نظر گرفته خواهد شد مشکل پیدا کردن مساحت یک شکلراه دوم - با ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. معنای کاربردی هم دارد! همانطور که معلم من در روش تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان خود را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

خواندن آن را به همه توصیه می کنم، حتی ساختگی های کامل. علاوه بر این، مواد جذب شده پاراگراف دوم کمک ارزنده ای در محاسبه انتگرال های دوگانه خواهد بود..

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط،،.

توجه!حتی اگر می خواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، حتماً اول اول را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

از همین رو:

راه حل معمول در این مورد چه اشکالی دارد؟ اول، دو انتگرال وجود دارد. ثانیاً، ریشه های زیر انتگرال، و ریشه در انتگرال ها موهبتی نیستند، علاوه بر این، می توان در جایگزینی حدود انتگرال دچار سردرگمی شد. در واقع، انتگرال ها، البته، کشنده نیستند، اما در عمل همه چیز بسیار غم انگیزتر است، من فقط توابع "بهتر" را برای این کار انتخاب کردم.

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

! توجه داشته باشید: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را از طریق حجم بدنه حاصل از چرخش نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

پاسخ:

با توجه به یک شکل صاف محدود شده توسط خطوط و یک محور.

این یک مثال برای خودتان است. کسانی که مایل هستند همچنین می توانند مساحت شکل را به روش "معمول" پیدا کنند و بدین ترتیب تست نقطه 1 را تکمیل کنند). اما اگر، تکرار می کنم، یک شکل صاف را حول محور بچرخانید، بدنه چرخشی کاملا متفاوتی با حجم متفاوت به دست می آورید، اتفاقاً، پاسخ صحیح (همچنین برای کسانی که دوست دارند حل کنند).

حل کامل دو مورد پیشنهادی تکلیف در پایان درس.

اوه، و فراموش نکنید که سر خود را به سمت راست خم کنید تا بدن های چرخشی و درون یکپارچگی را درک کنید!

می خواستم، قبلاً بود، مقاله را تمام کنم، اما امروز آوردند مثال جالبفقط برای یافتن حجم یک جسم چرخشی حول محور y. تازه:

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده توسط منحنی ها و .

راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم:

در طول مسیر با نمودارهای برخی توابع دیگر آشنا می شویم. این یک نمودار بسیار جالب است. حتی عملکرد ….

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی در بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این چند مرد کوچک سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکل که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید،

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده با خطوط، و

راه حل: بیایید یک شکل مسطح در نقاشی بکشیم که با خطوط،،، محدود شده است، در حالی که فراموش نکنیم که معادله محور را تعیین می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. حجم این مخروط کوتاه شده را با نشان دهید.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که در سال 1950 منتشر شد، همانطور که طنزنویس گفت، استدلال بسیار خوبی دارد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان دوستان هم قابل دسترسی است. نه، شما مجبور نیستید لبخند بزنید که من یک سرگرمی فوق العاده را به شما پیشنهاد دادم، دانش و نگرش گسترده در ارتباطات چیز خوبی است.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای خودتان است. توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی آماده در واقع داده شده است. نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی رسم کنید، من مطالب درس را به شما یادآوری می کنم تبدیل هندسی نمودارها : اگر آرگومان بر دو بخش پذیر باشد، نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. یافتن حداقل 3-4 امتیاز مطلوب است طبق جداول مثلثاتی برای تکمیل دقیقتر نقاشی حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

چگونه با استفاده از یک انتگرال معین حجم یک بدنه چرخشی را محاسبه کنیم؟

جدا از یافتن مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین مهمترین کاربرد تم است محاسبه حجم یک بدنه چرخشی. مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: لازم است که بتواند حل کند انتگرال های نامعین پیچیدگی متوسط و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین . همانند مشکل یافتن منطقه، به مهارت های ترسیمی مطمئن نیاز دارید - این تقریباً مهمترین چیز است (زیرا خود انتگرال ها اغلب آسان خواهند بود). شما می توانید با استفاده از مواد روش شناختی، بر تکنیک ماهر و سریع رسم نمودارها مسلط شوید . اما، در واقع، من بارها در مورد اهمیت نقاشی در درس صحبت کرده ام. .

به طور کلی، کاربردهای جالب زیادی در حساب انتگرال وجود دارد؛ با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید مساحت یک شکل، حجم یک جسم چرخشی، طول قوس، مساحت سطح را محاسبه کنید. از بدن، و خیلی بیشتر. پس سرگرم کننده خواهد بود، لطفا خوشبین باشید!

یک شکل صاف را روی صفحه مختصات تصور کنید. نمایندگی؟ ... من تعجب می کنم که چه کسی ... =))) ما قبلاً منطقه آن را پیدا کرده ایم. اما، علاوه بر این، این رقم نیز می تواند چرخش، و به دو صورت چرخش:

– حول محور x؛ - حول محور y

در این مقاله هر دو مورد بحث خواهد شد. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. به عنوان پاداش، من به مشکل یافتن مساحت یک شکل ، و به شما می گوید که چگونه منطقه را به روش دوم - در امتداد محور پیدا کنید. حتی آنقدر هم امتیازی نیست که مواد به خوبی با موضوع مطابقت دارند.

بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

مثال 1

حجم جسمی را که با چرخاندن شکلی که با خطوط حول یک محور محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف شروع می شود. یعنی در یک هواپیما لازم است یک شکل محدود شده با خطوط ساخته شود، در حالی که فراموش نکنید که این معادله محور را تعیین می کند. نحوه ایجاد یک نقاشی منطقی تر و سریعتر را می توان در صفحات پیدا کرد نمودارها و خواص توابع ابتدایی و انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . این یک یادآوری چینی است و من در این مرحله متوقف نمی شوم.

نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است، این اوست که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، این بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل به دست می آید که حول محور متقارن است. در واقع، بدن یک نام ریاضی دارد، اما برای نگاه کردن به چیزی در کتاب مرجع بسیار تنبل است، بنابراین ادامه می دهیم.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این چند مرد کوچک سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکل که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید،

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده با خطوط، و

راه حل:بیایید یک شکل صاف را در نقاشی به تصویر بکشیم که با خطوط،،، محدود شده است، در حالی که فراموش نکنیم که این معادله محور را تعیین می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (نه مشابه) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق 18 متر مربع می نوشد، که برعکس، حجم آن بسیار کم به نظر می رسد.

پس از یک انحراف غنایی، فقط مناسب است که یک کار خلاقانه را حل کنیم:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح که با خطوط محدود شده است، محاسبه کنید.

این یک مثال برای خودتان است. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی تقریبا آماده داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی ترسیم کنید، اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، سپس نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتی و نقاشی را دقیق تر کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور y نیز در آزمایش‌ها یک بازدیدکننده نسبتاً مکرر است. گذرا در نظر گرفته خواهد شد مشکل پیدا کردن مساحت یک شکل راه دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. معنای کاربردی هم دارد! همانطور که معلم من در روش تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان خود را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

با توجه به یک شکل صاف محدود شده با خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید. 2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار از دو بخش تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد توجه قرار گرفت، یافت. انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل . علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مناطق یافت می شود: - در بخش ; - در بخش

از همین رو:

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. در همان زمان، در بخش، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شودبه شدت از پایین به بالا !

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل را که به رنگ سبز دایره شده است، حول محور می چرخانیم و از طریق حجم بدنه چرخش حاصل مشخص می کنیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

تعریف 3. جسم چرخشی جسمی است که از چرخاندن یک شکل صاف حول محوری که شکل را قطع نمی کند و در همان صفحه با آن قرار دارد به دست می آید.

محور چرخش در صورتی که محور تقارن شکل باشد می تواند شکل را قطع کند.

قضیه 2.
، محور
و قطعات خط مستقیم
و

حول یک محور می چرخد
. سپس حجم چرخش حاصل را می توان با فرمول محاسبه کرد

(2)

اثبات برای چنین بدنه، بخش با آبسیسا دایره ای با شعاع است
، به معنای
و فرمول (1) نتیجه مطلوب را می دهد.

اگر شکل با نمودارهای دو تابع پیوسته محدود شود
و
، و بخش های خط
و
، علاوه بر این
و
، سپس هنگام چرخش حول محور آبسیسا، جسمی به دست می آید که حجم آن

مثال 3 حجم چنبره ای را که با چرخاندن یک دایره محدود به دایره به دست می آید، محاسبه کنید

حول محور x

آر راه حل. دایره مشخص شده از زیر با نمودار تابع محدود می شود
، و بالاتر -
. تفاوت مربع های این توابع:

حجم مورد نظر

(گراف انتگرال نیم دایره بالایی است، بنابراین انتگرال نوشته شده در بالا مساحت نیم دایره است).

مثال 4 بخش سهموی با پایه
، و ارتفاع ، دور پایه می چرخد. حجم بدن حاصل ("لیمو" توسط کاوالیری) را محاسبه کنید.

آر راه حل. سهمی را همانطور که در شکل نشان داده شده است قرار دهید. سپس معادله آن
، و
. بیایید مقدار پارامتر را پیدا کنیم :
. بنابراین، حجم مورد نظر:

قضیه 3. اجازه دهید یک ذوزنقه منحنی با نمودار یک تابع غیر منفی پیوسته محدود شود
، محور
و قطعات خط مستقیم
و
، علاوه بر این
، حول یک محور می چرخد
. سپس حجم بدنه حاصل از انقلاب را می توان با فرمول پیدا کرد

(3)

ایده اثبات تقسیم بخش
نقطه ها

، به قطعات تقسیم شده و خطوط مستقیم بکشید
. کل ذوزنقه به نوارهایی تجزیه می شود که تقریباً می توان آنها را مستطیل با پایه در نظر گرفت.
و ارتفاع
.

سیلندر حاصل از چرخش چنین مستطیلی در امتداد ژنراتیکس بریده شده و باز می شود. ما یک متوازی الاضلاع "تقریبا" با ابعاد دریافت می کنیم:
,
و
. حجم آن
. بنابراین، برای حجم یک بدنه انقلاب یک برابری تقریبی خواهیم داشت

برای به دست آوردن برابری دقیق، باید از حد در عبور کنیم
. مجموع نوشته شده در بالا مجموع انتگرال تابع است
بنابراین، در حد، انتگرال را از فرمول (3) بدست می آوریم. قضیه ثابت شده است.

تبصره 1. در قضایای 2 و 3 شرط
را می توان حذف کرد: فرمول (2) به طور کلی به علامت غیر حساس است
، و در فرمول (3) کافی است
جایگزین توسط
.

مثال 5 بخش سهموی (پایه
، ارتفاع ) حول ارتفاع می چرخد. حجم جسم حاصل را بیابید.

راه حل. سهمی را مطابق شکل بچینید. و اگرچه محور چرخش از شکل عبور می کند، آن - محور - محور تقارن است. بنابراین، فقط نیمه سمت راست بخش باید در نظر گرفته شود. معادله سهمی
، و
، به معنای
. برای حجم داریم:

تبصره 2. اگر مرز منحنی یک ذوزنقه منحنی با معادلات پارامتری بدست آید.
,
,
و
,
سپس فرمول های (2) و (3) را می توان با جایگزینی استفاده کرد بر روی
و
بر روی
وقتی تغییر می کند تیاز جانب
قبل از .

مثال 6 شکل توسط اولین قوس سیکلوئید محدود شده است
,
,
، و محور آبسیسا. حجم جسمی را که با چرخاندن این شکل حول: 1) محور به دست می آید، بیابید
; 2) محورها
.

راه حل. 1) فرمول کلی
در مورد ما:

2) فرمول کلی
برای شکل ما:

ما دانش آموزان را تشویق می کنیم که همه محاسبات را خودشان انجام دهند.

تبصره 3. اجازه دهید یک بخش منحنی خطی با یک خط پیوسته محدود شود
و پرتوها
,

، حول محور قطبی می چرخد. حجم بدن حاصل را می توان با فرمول محاسبه کرد.

مثال 7 بخشی از یک شکل که توسط یک کاردیوئید محدود شده است
، خارج از دایره دراز کشیده است
، حول محور قطبی می چرخد. حجم جسم حاصل را بیابید.

راه حل. هر دو خط، و از این رو شکلی که محدود می کنند، در مورد محور قطبی متقارن هستند. بنابراین باید تنها بخشی را در نظر گرفت که برای آن
. منحنی ها در همدیگر تلاقی می کنند
و