توابع زوج و فرد. توابع زوج و فرد

چگونه فرمول های ریاضی را در وب سایت درج کنیم؟

اگر زمانی نیاز دارید که یک یا دو فرمول ریاضی را به یک صفحه وب اضافه کنید، ساده ترین راه برای انجام این کار همانطور که در مقاله توضیح داده شده است: فرمول های ریاضی به راحتی به شکل تصاویری که به طور خودکار توسط Wolfram Alpha تولید می شوند در سایت قرار می گیرند. . علاوه بر سادگی، این روش جهانی به بهبود دید سایت در داخل کمک خواهد کرد موتورهای جستجو. برای مدت طولانی کار کرده است (و، من فکر می کنم، برای همیشه کار خواهد کرد)، اما از نظر اخلاقی منسوخ شده است.

اگر به طور مرتب از فرمول های ریاضی در سایت خود استفاده می کنید، توصیه می کنم از MathJax استفاده کنید - یک کتابخانه جاوا اسکریپت ویژه که نمادهای ریاضی را در مرورگرهای وب با استفاده از نشانه گذاری MathML، LaTeX یا ASCIIMathML نمایش می دهد.

دو راه برای شروع استفاده از MathJax وجود دارد: (1) با استفاده از یک کد ساده، می توانید به سرعت یک اسکریپت MathJax را به وب سایت خود متصل کنید، که به طور خودکار از یک سرور راه دور در زمان مناسب بارگذاری می شود (لیست سرورها). (2) اسکریپت MathJax را از یک سرور راه دور به سرور خود دانلود کنید و آن را به تمام صفحات سایت خود متصل کنید. روش دوم - پیچیده تر و وقت گیرتر - باعث افزایش سرعت بارگذاری صفحات سایت شما می شود و اگر سرور مادر MathJax به دلایلی موقتاً از دسترس خارج شود، این به هیچ وجه روی سایت شما تأثیر نخواهد گذاشت. با وجود این مزایا، من روش اول را انتخاب کردم زیرا ساده تر، سریعتر است و به مهارت های فنی نیاز ندارد. از مثال من پیروی کنید و تنها در عرض 5 دقیقه می توانید از تمام ویژگی های MathJax در سایت خود استفاده کنید.

می توانید اسکریپت کتابخانه MathJax را از یک سرور راه دور با استفاده از دو گزینه کد گرفته شده از وب سایت اصلی MathJax یا در صفحه مستندات متصل کنید:

یکی از این گزینه های کد باید کپی و در کد صفحه وب شما جایگذاری شود، ترجیحاً بین برچسب ها و یا بلافاصله بعد از برچسب. طبق گزینه اول MathJax سریعتر بارگذاری می شود و سرعت صفحه را کمتر می کند. اما گزینه دوم به طور خودکار آخرین نسخه های MathJax را نظارت و بارگذاری می کند. اگر اولین کد را وارد کنید، باید به صورت دوره ای به روز شود. اگر کد دوم را وارد کنید، صفحات کندتر بارگذاری می شوند، اما نیازی به نظارت مداوم به روز رسانی MathJax ندارید.

ساده ترین راه برای اتصال MathJax در بلاگر یا وردپرس است: در کنترل پنل سایت، ویجتی را اضافه کنید که برای درج کد جاوا اسکریپت شخص ثالث طراحی شده است، نسخه اول یا دوم کد دانلود ارائه شده در بالا را در آن کپی کنید و ویجت را نزدیکتر قرار دهید. به ابتدای الگو (به هر حال، این اصلا ضروری نیست، زیرا اسکریپت MathJax به صورت ناهمزمان بارگیری می شود). همین. اکنون نحو نشانه گذاری MathML، LaTeX و ASCIIMathML را یاد بگیرید و آماده هستید تا فرمول های ریاضی را در صفحات وب سایت خود وارد کنید.

هر فراکتال بر اساس ساخته شده است یک قانون خاص، که به صورت متوالی تعداد نامحدودی بار اعمال می شود. هر چنین زمانی را تکرار می نامند.

الگوریتم تکراری برای ساخت اسفنج منگر بسیار ساده است: مکعب اصلی با ضلع 1 توسط صفحات موازی با وجوه خود به 27 مکعب مساوی تقسیم می شود. یک مکعب مرکزی و 6 مکعب مجاور آن در امتداد وجوه از آن برداشته می شود. نتیجه مجموعه ای متشکل از 20 مکعب کوچکتر باقی مانده است. با انجام همین کار با هر یک از این مکعب ها، مجموعه ای متشکل از 400 مکعب کوچکتر بدست می آوریم. با ادامه این روند بی انتها، یک اسفنج منگر به دست می آوریم.

یک تابع زوج (فرد) اگر برای هر و برابری نامیده می شود

.

نمودار یک تابع زوج نسبت به محور متقارن است
.

نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.

مثال 6.2. زوج یا فرد بودن یک تابع را بررسی کنید

1)
; 2)
; 3)
.

راه حل.

1) تابع زمانی تعریف می شود
. پیدا خواهیم کرد
.

آن ها
. به معنای، این تابعیکنواخت است

2) تابع زمانی تعریف می شود

آن ها
. بنابراین، این تابع فرد است.

3) تابع برای تعریف شده است، یعنی. برای

,
. بنابراین تابع نه زوج است و نه فرد. بیایید آن را تابعی از فرم کلی بنامیم.

3. مطالعه تابع برای یکنواختی.

تابع
در صورتی که در این بازه هر مقدار بزرگتر آرگومان با مقدار بزرگتر (کوچکتر) تابع مطابقت داشته باشد، در یک بازه معین افزایش (کاهش) نامیده می شود.

به توابع افزایش (کاهش) در یک بازه زمانی معین، یکنواخت می گویند.

اگر تابع
قابل تفکیک در بازه
و مشتق مثبت (منفی) دارد
، سپس تابع
در این فاصله افزایش (کاهش) می یابد.

مثال 6.3. فواصل یکنواختی توابع را بیابید

1)
; 3)
.

راه حل.

1) این تابع در کل خط اعداد تعریف شده است. بیایید مشتق را پیدا کنیم.

مشتق برابر با صفر است اگر
و
. دامنه تعریف، محور اعداد است که بر نقطه تقسیم می شود
,
در فواصل زمانی اجازه دهید علامت مشتق را در هر بازه تعیین کنیم.

در فاصله زمانی
مشتق منفی است، تابع در این بازه کاهش می یابد.

در فاصله زمانی
مشتق مثبت است، بنابراین، تابع در این بازه افزایش می یابد.

2) این تابع اگر تعریف می شود
یا

.

علامت سه جمله درجه دوم را در هر بازه تعیین می کنیم.

بنابراین، دامنه تعریف تابع

بیایید مشتق را پیدا کنیم
,
، اگر
، یعنی
، ولی
. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم
.

در فاصله زمانی
مشتق منفی است، بنابراین، تابع در بازه کاهش می یابد
. در فاصله زمانی
مشتق مثبت است، تابع در طول بازه افزایش می یابد
.

4. مطالعه تابع در امتداد.

نقطه
حداکثر (حداقل) نقطه تابع نامیده می شود
، اگر چنین همسایگی نقطه وجود دارد این برای همه است
از این محله نابرابری وجود دارد

.

نقاط ماکزیمم و مینیمم یک تابع را نقاط انتهایی می نامند.

اگر تابع
در نقطه یک اکستروم دارد، پس مشتق تابع در این نقطه برابر با صفر است یا وجود ندارد (شرط لازم برای وجود اکستروم).

نقاطی که مشتق در آنها صفر است یا وجود ندارد بحرانی نامیده می شوند.

5. شرایط کافیوجود یک افراط

قانون 1. اگر در حین انتقال (از چپ به راست) از نقطه بحرانی مشتق
علامت "+" را به "-" و سپس در نقطه تغییر می دهد تابع
دارای حداکثر؛ اگر از "-" به "+"، سپس حداقل. اگر
علامت تغییر نمی کند، پس افراطی وجود ندارد.

قانون 2. اجازه دهید در نقطه
اولین مشتق از یک تابع
برابر با صفر
و مشتق دوم وجود دارد و با صفر متفاوت است. اگر
، آن - حداکثر امتیاز، اگر
، آن - حداقل نقطه تابع

مثال 6.4. توابع حداکثر و حداقل را کاوش کنید:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

راه حل.

1) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
.

بیایید مشتق را پیدا کنیم
و معادله را حل کنید
، یعنی
.از اینجا
- نقاط بحرانی.

اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم،
.

هنگام عبور از نقاط
و
مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین، طبق قانون 1
- حداقل امتیاز

هنگام عبور از یک نقطه
مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین
- حداکثر امتیاز

,
.

2) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
. بیایید مشتق را پیدا کنیم
.

با حل معادله
، پیدا خواهیم کرد
و
- نقاط بحرانی. اگر مخرج
، یعنی
، پس مشتق وجود ندارد. بنابراین،
- سوم نقطه بحرانی. اجازه دهید علامت مشتق را در فواصل مشخص کنیم.

بنابراین، تابع در نقطه حداقل دارد
، حداکثر در امتیاز
و
.

3) یک تابع تعریف شده و پیوسته است اگر
، یعنی در
.

بیایید مشتق را پیدا کنیم

.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

همسایگی نقاط
به حوزه تعریف تعلق ندارند، بنابراین افراطی نیستند. بنابراین، اجازه دهید نکات مهم را بررسی کنیم
و
.

4) تابع در بازه تعریف شده و پیوسته است
. بیایید از قانون 2 استفاده کنیم. مشتق را پیدا کنید
.

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم:

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم
و علامت آن را در نقاط مشخص کنید

در نقاط
تابع دارای حداقل است.

در نقاط
تابع دارای حداکثر است.

عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.

اهداف:

• مفهوم برابری و غریبی یک تابع را تشکیل می دهد، توانایی تعیین و استفاده از این ویژگی ها را آموزش می دهد تحقیق عملکرد، نقشه کشیدن
• توسعه فعالیت خلاق دانش آموزان، تفکر منطقیتوانایی مقایسه، تعمیم.
• پرورش کار سخت و فرهنگ ریاضی؛ توسعه مهارت های ارتباطی .

تجهیزات: نصب چند رسانه ای، تابلوی تعاملی، جزوه.

اشکال کار: جبهه ای و گروهی با عناصر جستجو و فعالیت های تحقیقاتی.

منابع اطلاعاتی:

1. جبر کلاس نهم A.G. Mordkovich. کتاب درسی.
2. جبر کلاس نهم A.G. Mordkovich. کتاب مسائل.
3. جبر پایه نهم. وظایف برای یادگیری و توسعه دانش آموزان. Belenkova E.Yu. لبدینتسوا E.A.

در طول کلاس ها

1. لحظه سازمانی

تعیین اهداف و مقاصد برای درس.

2. بررسی تکالیف

شماره 10.17 (کتاب مسائل پایه نهم. A.G. Mordkovich).

آ) در = f(ایکس), f(ایکس) =

ب) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

ج) 1. د( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(ایکس) = 0 در ایکس ~ 0,4
4. f(ایکس) > 0 در ایکس > 0,4 ; f(ایکس) < 0 при – 2 < ایکس < 0,4.
5. عملکرد زمانی که افزایش می یابد ایکس € [– 2; + ∞)
6. عملکرد از زیر محدود شده است.
7. در naim = – 3، درنایب وجود ندارد
8. تابع پیوسته است.

(آیا از الگوریتم کاوش تابع استفاده کرده اید؟) اسلاید.

2. بیایید جدولی را که از اسلاید از شما خواسته شده است بررسی کنیم.

جدول را پر کنید
	دامنه	تابع صفرها	فواصل پایداری علامت		مختصات نقاط تقاطع نمودار با Oy
		x = -5، x = 2	x € (-5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ∞ -5، x ≠ 2		x € (-5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (-3;2)
	x ≠ -5، x ≠ 2		x € (–∞؛ –5) U U(2;∞)	x € (-5; 2)

3. به روز رسانی دانش

- توابع داده شده است.
– محدوده تعریف را برای هر تابع مشخص کنید.
– مقدار هر تابع را برای هر جفت از مقادیر آرگومان مقایسه کنید: 1 و – 1. 2 و - 2.
- برای کدام یک از این توابع در حوزه تعریف، برابری ها برقرار است f(– ایکس) = f(ایکس), f(– ایکس) = – f(ایکس)? (داده های به دست آمده را در جدول وارد کنید) اسلاید

		f(1) و f(– 1)	f(2) و f(– 2)	گرافیک	f(– ایکس) = –f(ایکس)	f(– ایکس) = f(ایکس)
1. f(ایکس) =
2. f(ایکس) = ایکس 3
3. f(ایکس) = | ایکس |
4.f(ایکس) = 2ایکس – 3
5. f(ایکس) =	ایکس ≠ 0
6. f(ایکس)=	ایکس > –1		و تعریف نشده است

4. مواد جدید

- در حین انجام این کار، بچه ها، ما ویژگی دیگری از تابع را شناسایی کردیم که برای شما ناآشنا بود، اما از بقیه مهمتر نبود - این یکنواختی و عجیب بودن تابع است. موضوع درس را بنویسید: "توابع زوج و فرد"، وظیفه ما این است که یاد بگیریم یکنواختی و عجیب بودن یک تابع را تعیین کنیم، تا اهمیت این ویژگی را در مطالعه توابع و رسم نمودارها بفهمیم.
پس بیایید تعاریف کتاب درسی را پیدا کنیم و بخوانیم (ص 110) . اسلاید

Def. 1 عملکرد در = f (ایکس، تعریف شده در مجموعه X نامیده می شود زوج، اگر برای هر مقدار ایکسЄ X اجرا می شود برابری f(–x)= f(x). مثال بزن.

Def. 2 عملکرد y = f(x)تعریف شده بر روی مجموعه X نامیده می شود فرد، اگر برای هر مقدار ایکسЄ X برابری f(–х)= –f(х) برقرار است. مثال بزن.

اصطلاحات زوج و فرد را کجا دیدیم؟
به نظر شما کدام یک از این توابع زوج خواهد بود؟ چرا؟ کدام یک عجیب هستند؟ چرا؟
برای هر عملکردی از فرم در= x n، جایی که n- یک عدد صحیح، می توان استدلال کرد که تابع زمانی است که فرد است n- فرد و تابع زمانی است که زوج باشد n- زوج.
- مشاهده توابع در= و در = 2ایکس- 3 نه زوج هستند و نه فرد، زیرا برابری ها ارضا نمی شود f(– ایکس) = – f(ایکس), f(– ایکس) = f(ایکس)

مطالعه زوج یا فرد بودن یک تابع را مطالعه برابری یک تابع می نامند. اسلاید

در تعاریف 1 و 2 ما در مورد مقادیر تابع در x و - x صحبت کردیم، بنابراین فرض می شود که تابع نیز در مقدار تعریف شده است. ایکس، و در - ایکس.

تعریف 3. اگر یک مجموعه عددی، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، آنگاه مجموعه ایکسمجموعه متقارن نامیده می شود.

مثال ها:

(–2;2)، [–5;5]; (∞;∞) مجموعه‌های متقارن هستند و [–5;4] نامتقارن هستند.

- آیا توابع حتی دامنه تعریفی دارند که یک مجموعه متقارن است؟ عجیب و غریب؟
- اگر D( f) یک مجموعه نامتقارن است، پس تابع چیست؟
– بنابراین، اگر تابع در = f(ایکس) – زوج یا فرد، پس دامنه تعریف آن D( f) یک مجموعه متقارن است. آیا گزاره معکوس درست است: اگر دامنه تعریف یک تابع یک مجموعه متقارن باشد، زوج است یا فرد؟
- به این معنی که وجود یک مجموعه متقارن از حوزه تعریف شرط لازم است، اما کافی نیست.
- پس چگونه یک تابع را برای برابری بررسی می کنید؟ بیایید سعی کنیم یک الگوریتم ایجاد کنیم.

اسلاید

الگوریتم مطالعه تابع برای برابری

1. تعیین کنید که دامنه تعریف تابع متقارن است یا خیر. اگر نه، پس تابع نه زوج است و نه فرد. اگر بله، به مرحله 2 الگوریتم بروید.

2. یک عبارت برای f(–ایکس).

3. مقایسه کنید f(–ایکسو f(ایکس):

• اگر f(–ایکس).= f(ایکس، سپس تابع زوج است.
• اگر f(–ایکس).= – f(ایکس، سپس تابع فرد است.
• اگر f(–ایکس) ≠ f(ایکس) و f(–ایکس) ≠ –f(ایکس، سپس تابع نه زوج است و نه فرد.

مثال ها:

تابع a) را برای برابری بررسی کنید در= x 5 +; ب) در= V) در= .

راه حل.

الف) h(x) = x 5 +،

1) D(h) = (–∞؛ 0) U (0؛ +∞)، مجموعه متقارن.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +)،

3) h(– x) = – h (x) => تابع h(x) = x 5 + فرد.

ب) y =،

در = f(ایکس)، D(f) = (–∞؛ –9)؟ (-9؛ +∞)، یک مجموعه نامتقارن، به این معنی که تابع نه زوج است و نه فرد.

V) f(ایکس) =، y = f (x)،

1) د( f) = (–∞؛ 3] ≠ ؛ ب) (∞؛ –2)، (–4؛ 4]؟

گزینه 2

1. آیا مجموعه داده شده متقارن است: a) [–2;2]; ب) (∞؛ 0]، (0؛ 7) ?

آ)؛ ب) y = x (5 – x 2). 2. تابع برابری را بررسی کنید:

الف) y = x 2 (2x - x 3)، ب) y =

3. در شکل. یک نمودار ساخته شده است در = f(ایکس)، برای همه ایکس، ارضای شرط ایکس? 0.
نمودار تابع در = f(ایکس)، اگر در = f(ایکس) یک تابع زوج است.

3. در شکل. یک نمودار ساخته شده است در = f(ایکس، برای همه x که شرط x را برآورده می کنند؟ 0.
نمودار تابع در = f(ایکس)، اگر در = f(ایکس) یک تابع فرد است.

بررسی همتایان در اسلاید.

6. تکلیف: شماره 11.11، 11.21، 11.22;

اثبات معنای هندسی خاصیت برابری.

***(تخصیص گزینه واحد آزمون دولتی).

1. تابع فرد y = f(x) در کل خط اعداد تعریف شده است. برای هر مقدار غیر منفی متغیر x، مقدار این تابع با مقدار تابع g( ایکس) = ایکس(ایکس + 1)(ایکس + 3)(ایکس- 7). مقدار تابع h( ایکس) = در ایکس = 3.

7. جمع بندی

که تا حدودی برای شما آشنا بودند. همچنین در آنجا ذکر شد که موجودی ویژگی های تابع به تدریج دوباره پر می شود. دو ویژگی جدید در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت.

تعریف 1.

تابع y = f(x)، x є X، فراخوانی می شود حتی اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = f (x) برقرار باشد.

تعریف 2.

تابع y = f(x)، x є X، فرد نامیده می شود اگر برای هر مقدار x از مجموعه X برابری f (-x) = -f (x) برقرار باشد.

ثابت کنید که y = x 4 یک تابع زوج است.

راه حل. داریم: f(x) = x 4، f(-x) = (-x) 4. اما (-x) 4 = x 4. این بدان معناست که برای هر x برابری f(-x) = f(x) برقرار است، یعنی. عملکرد یکنواخت است

به طور مشابه، می توان ثابت کرد که توابع y - x 2، y = x 6، y - x 8 زوج هستند.

ثابت کنید که y = x 3 ~ یک تابع فرد است.

راه حل. داریم: f(x) = x 3، f(-x) = (-x) 3. اما (-x) 3 = -x 3. این بدان معنی است که برای هر x برابری f (-x) = -f (x) برقرار است، یعنی. تابع فرد است

به همین ترتیب، می توان ثابت کرد که توابع y = x، y = x 5، y = x 7 فرد هستند.

من و شما قبلاً بیش از یک بار متقاعد شده ایم که اصطلاحات جدید در ریاضیات اغلب منشأ "زمینی" دارند، یعنی. می توان آنها را به نوعی توضیح داد. این مورد در هر دو توابع زوج و فرد صادق است. ببینید: y - x 3، y = x 5، y = x 7 توابع فرد هستند، در حالی که y = x 2، y = x 4، y = x 6 توابع زوج هستند. و به طور کلی، برای هر تابعی از شکل y = x" (در زیر به طور خاص این توابع را مطالعه خواهیم کرد)، که در آن n یک عدد طبیعی است، می‌توان نتیجه گرفت: اگر n یک عدد فرد باشد، تابع y = x" است. فرد؛ اگر n یک عدد زوج باشد، تابع y = xn زوج است.

همچنین توابعی وجود دارند که نه زوج هستند و نه فرد. به عنوان مثال، تابع y = 2x + 3 است. در واقع، f(1) = 5، و f (-1) = 1. همانطور که می بینید، بنابراین، در اینجا، نه هویت f(-x) = f (x)، و نه هویت f(-x) = -f(x).

بنابراین، یک تابع می تواند زوج، فرد یا هیچکدام باشد.

مطالعه این سوال که آیا عملکرد داده شدهزوج یا فرد معمولاً مطالعه یک تابع برای برابری نامیده می شود.

در تعاریف 1 و 2 ما در مورددر مورد مقادیر تابع در نقاط x و -x. این فرض را بر این می گذارد که تابع در هر دو نقطه x و نقطه -x تعریف شده است. این بدان معنی است که نقطه -x به دامنه تعریف تابع به طور همزمان با نقطه x تعلق دارد. اگر یک مجموعه عددی X، همراه با هر یک از عناصر آن x، حاوی عنصر مقابل -x نیز باشد، X یک مجموعه متقارن نامیده می شود. فرض کنید، (-2، 2)، [-5، 5]، (-oo، +oo) مجموعه های متقارن هستند، در حالی که )