حجم بدنه انقلاب را بیابید. محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود

استفاده از انتگرال ها برای یافتن حجم های جامدات انقلاب

سودمندی عملی ریاضیات به این دلیل است که بدون

دانش ریاضی خاص درک اصول دستگاه و استفاده از فناوری مدرن را دشوار می کند. هر فرد در زندگی خود باید محاسبات نسبتاً پیچیده ای را انجام دهد، از تجهیزات رایج استفاده کند، فرمول های لازم را در کتاب های مرجع پیدا کند و الگوریتم های ساده ای برای حل مسائل بنویسد. AT جامعه مدرنتخصص های بیشتری نیاز دارد سطح بالاآموزش با کاربرد مستقیم ریاضیات همراه است. بنابراین، برای یک دانش آموز، ریاضیات به یک موضوع حرفه ای تبدیل می شود. نقش اصلی به ریاضیات در شکل گیری تفکر الگوریتمی تعلق دارد، توانایی عمل بر اساس یک الگوریتم معین و طراحی الگوریتم های جدید را به ارمغان می آورد.

با مطالعه مبحث استفاده از انتگرال برای محاسبه احجام اجسام انقلاب، به دانش آموزان در کلاس های اختیاری پیشنهاد می کنم موضوع: "حجم اجسام انقلاب با استفاده از انتگرال" را در نظر بگیرند. در اینجا چند دستورالعمل برای پرداختن به این موضوع وجود دارد:

1. مساحت یک شکل صاف.

از درس جبر می دانیم که مفهوم انتگرال معینکارهای عملی رهبری شده..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

برای یافتن حجم یک بدنه انقلاب، با چرخش تشکیل شده استذوزنقه منحنی حول محور Ox، محدود به خط شکسته y=f(x)، محور Ox، خطوط مستقیم x=a و x=b، با فرمول محاسبه می کنیم

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. حجم سیلندر.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">مخروط با چرخش به دست می آید راست گوشه ABC(C=90) حول محور Ox که پایه AC روی آن قرار دارد.

بخش AB روی خط y=kx+c قرار دارد، جایی که https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

بگذارید a=0، b=H (H ارتفاع مخروط است)، سپس Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src=" ">.

5. حجم مخروط کوتاه شده.

یک مخروط کوتاه را می توان با چرخش به دست آورد ذوزنقه مستطیلی ABCD (CDOx) حول محور Ox.

قطعه AB روی خط y=kx+c قرار دارد، جایی که ، c=r.

از آنجایی که خط از نقطه A می گذرد (0; r).

بنابراین، خط مستقیم شبیه به https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

بگذارید a=0، b=H (H ارتفاع مخروط کوتاه شده است)، سپس https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. حجم توپ.

توپ را می توان با چرخاندن دایره ای با مرکز (0;0) حول محور x بدست آورد. نیم دایره ای که بالای محور x قرار دارد با معادله به دست می آید

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

شکل صاف حول یک محور

مثال 3

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.

2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل: کار از دو قسمت تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

به راحتی می توان فهمید که تابع شاخه بالایی سهمی را تعریف می کند و تابع شاخه پایینی سهمی را تعریف می کند. پیش روی ما سهمی بی اهمیت است که "در کنار خود قرار دارد."

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "عادی" یافت. علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مساحت ها یافت می شود:

- در بخش ;

- در بخش

از همین رو:

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

اکنون به محور نگاه کنید: لطفاً همانطور که توضیح می دهید، به طور دوره ای سر خود را به سمت راست 90 درجه خم کنید (این یک شوخی نیست!). شکل مورد نیاز ما روی قسمت قرار دارد که با خط نقطه قرمز نشان داده شده است. علاوه بر این، در قسمت، خط مستقیم بالای سهمی قرار دارد، به این معنی که مساحت شکل را باید با استفاده از فرمولی که قبلاً برای شما آشناست پیدا کنید: . چه چیزی در فرمول تغییر کرده است؟ فقط یک نامه و نه بیشتر.

! توجه داشته باشید : محدودیت های یکپارچه سازی محور باید ترتیب داده شودبه شدت از پایین به بالا !

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

برای یافتن حجم بدنه انقلاب در امتداد محور ادغام می کنیم. ابتدا باید به سراغ توابع معکوس برویم. این کار قبلا انجام شده و در پاراگراف قبل به تفصیل توضیح داده شده است.

حالا دوباره سرمان را به سمت راست خم می کنیم و شکل خود را مطالعه می کنیم. بدیهی است که حجم بدنه انقلاب را باید به عنوان اختلاف بین احجام یافت.

شکل دایره شده به رنگ قرمز را حول محور می چرخانیم و در نتیجه یک مخروط کوتاه ایجاد می کنیم. بیایید این حجم را با علامت گذاری کنیم.

شکل دایره ای را بچرخانید به رنگ سبز، حول محور و با حجم بدنه انقلاب به دست آمده نشان داده می شود.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

و در اینجا مزیت یکپارچه سازی است که چندی پیش در مورد آن صحبت کردم، پیدا کردن آن بسیار ساده تر است به جای اینکه ابتدا انتگرال را به توان 4 برسانید.

پاسخ:

توجه داشته باشید که اگر همان شکل صاف حول محور بچرخد، بدنه چرخشی کاملاً متفاوتی به وجود می‌آید، با حجمی طبیعی و متفاوت.

مثال 7

حجم جسمی را که با چرخش حول محور شکل محدود شده توسط منحنی ها و .

راه حل: بیایید یک نقاشی بکشیم:

در طول مسیر با نمودارهای برخی توابع دیگر آشنا می شویم. این یک نمودار بسیار جالب است. حتی عملکرد ….

برای یافتن حجم بدنه انقلاب کافی است از نیمه سمت راست شکل که با رنگ آبی سایه زدم استفاده کنید. هر دو تابع زوج هستند، نمودارهای آنها در مورد محور متقارن است و شکل ما نیز متقارن است. بنابراین سایه دار قسمت راست، چرخش حول محور، مطمئناً با قسمت بدون پرایم سمت چپ منطبق خواهد شد.

حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

در فرمول باید قبل از انتگرال یک عدد وجود داشته باشد. این اتفاق افتاد - هر چیزی که در زندگی می چرخد با این ثابت مرتبط است.

من فکر می کنم که چگونه می توان حدود ادغام "a" و "be" را تعیین کرد، از نقاشی تکمیل شده به راحتی حدس زد.

تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی از بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است.

در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است:، بنابراین حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که کاملاً منطقی است.

حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب، شاید کیلومتر مکعب و غیره، این همان تعداد مرد سبز کوچک است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول محور شکل تشکیل شده است، بیابید. محدود به خطوط , ,

این یک مثال برای خودتان است. راه حل کاملو پاسخ در پایان درس.

بیایید دو مشکل پیچیده تر را در نظر بگیریم که اغلب در عمل نیز با آنها مواجه می شویم.

مثال 3

محاسبه حجم جسم به دست آمده از چرخش حول محور آبسیسا شکل محدود شده توسط خطوط، و

راه حل:بیایید در نقاشی یک شکل صاف را ترسیم کنیم که با خطوط , , , , , , , , , , محصور شده است، در حالی که فراموش نکنیم که معادله محور را تعریف می کند:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد، چنین دونات سورئال با چهار گوشه به دست می آید.

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن.

ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. هنگامی که حول محور می چرخد، یک مخروط کوتاه به دست می آید. بیایید حجم این مخروط کوتاه شده را به صورت .

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانید، یک مخروط کوتاه نیز خواهید داشت که فقط کمی کوچکتر است. بیایید حجم آن را با علامت گذاری کنیم.

و بدیهی است که تفاوت در حجم ها دقیقاً حجم "دونات" ما است.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

حالا بیایید کمی استراحت کنیم و در مورد توهمات هندسی صحبت کنیم.

مردم اغلب توهماتی در ارتباط با حجم دارند، که پرلمن (نه مشابه) در کتاب متوجه آن شده است هندسه جالب. به شکل مسطح در مشکل حل شده نگاه کنید - به نظر می رسد از نظر مساحت کوچک است و حجم بدنه انقلاب کمی بیش از 50 واحد مکعب است که خیلی بزرگ به نظر می رسد. به هر حال، یک فرد متوسط در تمام زندگی خود مایعی با حجم یک اتاق به مساحت 18 می نوشد. متر مربع، که برعکس، خیلی کوچک به نظر می رسد.

به طور کلی، سیستم آموزشی در اتحاد جماهیر شوروی واقعا بهترین بود. همان کتاب پرلمن که توسط او در سال 1950 نوشته شده است، همانطور که طنزنویس گفت، به خوبی توسعه می یابد و به شما می آموزد که به دنبال راه حل های غیر استاندارد اصلی برای مشکلات باشید. اخیراً چند فصل را با علاقه فراوان دوباره خواندم، آن را توصیه می کنم، حتی برای انسان دوستان هم قابل دسترسی است. نه، شما مجبور نیستید لبخند بزنید که من یک سرگرمی فوق العاده را به شما پیشنهاد دادم، دانش و نگرش گسترده در ارتباطات چیز خوبی است.

بعد از انحرافمناسب برای تصمیم گیری کار خلاقانه:

مثال 4

حجم جسمی را که با چرخش حول محور یک شکل مسطح محدود شده با خطوط , , که در آن .

این یک مثال برای خودتان است. لطفا توجه داشته باشید که همه چیز در باند اتفاق می افتد، به عبارت دیگر، محدودیت های یکپارچه سازی تقریبا آماده داده شده است. همچنین سعی کنید نمودارهای توابع مثلثاتی را به درستی ترسیم کنید، اگر آرگومان بر دو تقسیم شود، سپس نمودارها دو بار در امتداد محور کشیده می شوند. سعی کنید حداقل 3-4 امتیاز پیدا کنید طبق جداول مثلثاتیو نقاشی را دقیق تر کنید. حل کامل و پاسخ در پایان درس. به هر حال، تکلیف را می توان عقلانی و نه چندان منطقی حل کرد.

محاسبه حجم جسمی که در اثر چرخش ایجاد می شود
شکل صاف حول یک محور

پاراگراف دوم حتی جالب تر از پاراگراف اول خواهد بود. وظیفه محاسبه حجم یک بدنه چرخشی حول محور y نیز یک مهمان نسبتاً مکرر در کنترل کار. گذرا در نظر گرفته خواهد شد مشکل پیدا کردن مساحت یک شکلراه دوم - ادغام در امتداد محور، این به شما امکان می دهد نه تنها مهارت های خود را بهبود بخشید، بلکه به شما یاد می دهد که چگونه سودآورترین راه حل را پیدا کنید. معنای کاربردی هم دارد! همانطور که معلم من در روش تدریس ریاضی با لبخند به یاد می آورد، بسیاری از فارغ التحصیلان از او با این جمله تشکر کردند: "موضوع شما کمک زیادی به ما کرد، اکنون ما مدیران موثری هستیم و کارکنان خود را بهینه مدیریت می کنیم." با استفاده از این فرصت، من نیز از او سپاسگزاری می کنم، به خصوص که از دانش به دست آمده برای هدف مورد نظر خود استفاده می کنم =).

مثال 5

با توجه به یک شکل مسطح محدود شده توسط خطوط،،.

1) مساحت یک شکل صاف که با این خطوط محدود شده است را پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، بیابید.

توجه!حتی اگر بخواهید فقط پاراگراف دوم را بخوانید، اول لزومااولی را بخوانید!

راه حل:کار از دو بخش تشکیل شده است. بیایید با مربع شروع کنیم.

1) بیایید طراحی را اجرا کنیم:

شکل مورد نظر، مساحتی که باید پیدا شود، به رنگ آبی سایه زده شده است.

چگونه مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟ می توان آن را به روش "معمول" که در درس مورد توجه قرار گرفت، یافت. انتگرال معین. نحوه محاسبه مساحت یک شکل. علاوه بر این، مساحت شکل به عنوان مجموع مساحت ها یافت می شود:
- در بخش ;
- در بخش

از همین رو:

راه حل معمول در این مورد چه اشکالی دارد؟ اول، دو انتگرال وجود دارد. ثانیاً، ریشه های زیر انتگرال، و ریشه در انتگرال ها موهبتی نیستند، علاوه بر این، می توان در جایگزینی حدود انتگرال گیج شد. در واقع، انتگرال ها، البته، کشنده نیستند، اما در عمل همه چیز بسیار غم انگیزتر است، من فقط توابع "بهتر" را برای این کار انتخاب کردم.

راه حل منطقی تری وجود دارد: این شامل انتقال به توابع معکوس و ادغام در امتداد محور است.

چگونه به توابع معکوس منتقل کنیم؟ به طور کلی، شما باید "x" را از طریق "y" بیان کنید. ابتدا به سهمی می پردازیم:

این کافی است، اما بیایید مطمئن شویم که همان تابع را می توان از شاخه پایین مشتق کرد:

با یک خط مستقیم، همه چیز آسان تر است:

! توجه: حدود یکپارچه سازی در امتداد محور باید تعیین شود به شدت از پایین به بالا!

پیدا کردن منطقه:

بنابراین در بخش:

توجه کنید که من چگونه ادغام را انجام دادم، این منطقی ترین راه است و در پاراگراف بعدی تکلیف مشخص خواهد شد که چرا.

برای خوانندگانی که در صحت ادغام شک دارند، مشتقاتی را خواهم یافت:

انتگرال اصلی به دست می آید، به این معنی که ادغام به درستی انجام شده است.

پاسخ:

2) حجم جسمی را که از چرخش این شکل حول محور تشکیل شده است محاسبه کنید.

من نقاشی را با یک طرح کمی متفاوت دوباره ترسیم می کنم:

بنابراین، شکل سایه دار به رنگ آبی حول محور می چرخد. نتیجه یک "پروانه معلق" است که حول محور خود می چرخد.

شکل دایره شده به رنگ سبز را حول محور می چرخانیم و آن را از طریق حجم بدنه حاصل از چرخش نشان می دهیم.

حجم پروانه ما برابر با اختلاف حجم است.

ما از فرمول برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

چه تفاوتی با فرمول پاراگراف قبل دارد؟ فقط در حروف.

پاسخ:

با این حال، یک پروانه بیمار.

مثال 6

با توجه به یک شکل صاف محدود شده توسط خطوط و یک محور.

1) به توابع معکوس بروید و با ادغام کردن روی متغیر، مساحت یک شکل صاف را که با این خطوط محدود شده است، پیدا کنید.
2) حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل مسطح محدود شده توسط این خطوط حول محور به دست می آید، محاسبه کنید.

بجز یافتن مساحت یک شکل صاف با استفاده از یک انتگرال معین (به 7.2.3 مراجعه کنید.)مهمترین کاربرد تم است محاسبه حجم یک بدنه چرخشی. مطالب ساده است، اما خواننده باید آماده باشد: لازم است که بتواند حل کند انتگرال های نامعینپیچیدگی متوسط و استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین، nمهارت های پیش نویس قوی نیز مورد نیاز است. به طور کلی، در حساب انتگرال تعداد زیادی وجود دارد برنامه های کاربردی جالب، با استفاده از یک انتگرال مشخص، می توانید مساحت شکل، حجم بدنه چرخش، طول قوس، سطح بدن و موارد دیگر را محاسبه کنید. تصویر هواپیما را تصور کنید هواپیمای مختصات. نمایندگی؟ ... حال این شکل را نیز می توان چرخاند و به دو صورت چرخاند:

- حول محور x ;

- حول محور y .

بیایید نگاهی به هر دو مورد بیاندازیم. روش دوم چرخش به ویژه جالب است، بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع راه حل تقریباً مشابه چرخش رایج تر حول محور x است. بیایید با محبوب ترین نوع چرخش شروع کنیم.

محاسبه حجم جسمی که از چرخش یک شکل صاف به دور یک محور تشکیل شده است گاو نر

مثال 1

حجم جسم را با چرخاندن شکل محدود شده با خطوط حول محور محاسبه کنید.

راه حل:همانطور که در مشکل یافتن منطقه، راه حل با طراحی یک شکل صاف شروع می شود. یعنی در هواپیما XOYلازم است یک شکل محدود با خطوط ساخته شود، در حالی که فراموش نکنید که معادله محور را تعریف می کند. نقاشی در اینجا بسیار ساده است:

شکل مسطح مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است، این اوست که حول محور می چرخد. در نتیجه چرخش، چنین بشقاب پرنده کمی تخم مرغی شکل با دو قله تیز روی محور به دست می آید. گاو نر، متقارن حول محور گاو نر. در واقع بدن یک نام ریاضی دارد، در کتاب مرجع نگاه کنید.

چگونه حجم یک بدنه انقلاب را محاسبه کنیم؟ اگر جسم در نتیجه چرخش حول یک محور تشکیل شده باشدگاو نر، از نظر ذهنی به لایه های موازی با ضخامت کم تقسیم می شود dxکه عمود بر محور هستند گاو نر. حجم کل بدن آشکارا برابر است با مجموع حجم چنین لایه های ابتدایی. هر لایه، مانند یک برش گرد لیمو، یک استوانه کم ارتفاع دارد dxو با شعاع پایه f(ایکس). سپس حجم یک لایه حاصل ضرب سطح پایه π است f 2 به ارتفاع سیلندر ( dx) یا π∙ f 2 (ایکس)∙dx. و مساحت کل بدنه انقلاب مجموع احجام اولیه یا انتگرال معین مربوطه است. حجم یک بدنه چرخشی را می توان با فرمول محاسبه کرد:

نحوه تنظیم محدودیت های ادغام "a" و "be" به راحتی می توان از نقشه تکمیل شده حدس زد. تابع ... این تابع چیست؟ بیایید به نقاشی نگاه کنیم. شکل مسطح با نمودار سهمی از بالا محدود می شود. این تابعی است که در فرمول ذکر شده است. در کارهای عملی، گاهی اوقات می توان یک شکل صاف در زیر محور قرار داد گاو نر. این چیزی را تغییر نمی دهد - تابع در فرمول مربع است: f 2 (ایکس)، بدین ترتیب، حجم یک بدنه انقلاب همیشه غیرمنفی است، که کاملاً منطقی است. حجم بدنه چرخش را با استفاده از این فرمول محاسبه کنید:

همانطور که قبلاً اشاره کردیم ، انتگرال تقریباً همیشه ساده به نظر می رسد ، نکته اصلی این است که مراقب باشید.

پاسخ:

در پاسخ باید ابعاد - واحدهای مکعب را مشخص کرد. یعنی در بدنه چرخشی ما تقریباً 3.35 "مکعب" وجود دارد. چرا دقیقا مکعب واحدها? زیرا جهانی ترین فرمولاسیون است. ممکن است سانتی متر مکعب باشد، ممکن است متر مکعب باشد، ممکن است کیلومتر مکعب باشد، و غیره، این چند مرد کوچک سبز است که تصور شما می تواند در یک بشقاب پرنده جا شود.

مثال 2

حجم جسمی را که از چرخش حول یک محور تشکیل شده است، بیابید گاو نرشکل محدود شده توسط خطوط , , .

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مثال 3

حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیسا شکل محصور شده توسط خطوط، و .

راه حل:اجازه دهید در نقاشی یک شکل صاف را به تصویر بکشیم که با خطوط،،،، محدود شده است، در حالی که فراموش نکنیم که معادله ایکس= 0 محور را مشخص می کند OY:

شکل مورد نظر به رنگ آبی سایه زده شده است. وقتی حول محور می چرخد گاو نربه نظر می رسد یک نان شیرینی مسطح زاویه ای (یک واشر با دو سطح مخروطی).

حجم بدنه انقلاب به صورت محاسبه می شود تفاوت حجم بدن. ابتدا به شکلی که به رنگ قرمز دایره شده است نگاه می کنیم. وقتی حول محور می چرخد گاو نرمنجر به ایجاد یک مخروط کوتاه شده است. اجازه دهید حجم این مخروط کوتاه شده را به صورت مشخص نشان دهیم V 1 .

شکلی را که به رنگ سبز دایره شده است در نظر بگیرید. اگر این شکل را حول محور بچرخانیم گاو نر، سپس یک مخروط کوتاه نیز دریافت می کنید، فقط کمی کوچکتر. اجازه دهید حجم آن را با علامت گذاری کنیم V 2 .

بدیهی است که تفاوت حجم V = V 1 - V 2 حجم "دونات" ماست.

ما از فرمول استاندارد برای یافتن حجم یک بدنه چرخشی استفاده می کنیم:

1) شکل دایره شده به رنگ قرمز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

2) شکل دایره شده به رنگ سبز از بالا با یک خط مستقیم محدود می شود، بنابراین:

3) حجم بدنه مورد نظر انقلاب:

پاسخ:

جالب است که در این مورد می توان راه حل را با استفاده از فرمول مدرسه برای محاسبه حجم یک مخروط کوتاه بررسی کرد.

خود تصمیم اغلب کوتاهتر است، چیزی شبیه به این:

موضوع: "محاسبه حجم اجسام انقلاب با استفاده از انتگرال معین"

نوع درس:ترکیب شده.

هدف از درس:یاد بگیرید که حجم اجسام انقلاب را با استفاده از انتگرال محاسبه کنید.

وظایف:

توانایی انتخاب ذوزنقه های منحنی از یک ردیف را تثبیت کنید شکل های هندسیو مهارت محاسبه مساحت ذوزنقه های منحنی را به دست آورید.

با مفهوم یک شکل سه بعدی آشنا شوید.

یاد بگیرید که حجم بدنه های انقلاب را محاسبه کنید.

به توسعه کمک کنند تفکر منطقی، گفتار ریاضی شایسته ، دقت در ساخت نقشه ها.

پرورش علاقه به موضوع، عمل کردن با مفاهیم و تصاویر ریاضی، پرورش اراده، استقلال، پشتکار در دستیابی به نتیجه نهایی.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

احوالپرسی گروهی ارتباط با دانش آموزان از اهداف درس.

می خواهم درس امروز را با یک مثل شروع کنم. «مرد عاقلی بود که همه چیز را می دانست. یک نفر می خواست ثابت کند که حکیم همه چیز را نمی داند. پروانه را در دستانش گرفت و پرسید: حکیم بگو کدام پروانه در دستان من است مرده یا زنده؟ و خود او فکر می کند: "اگر زنده بگوید او را می کشم، اگر مرده بگوید او را بیرون می گذارم." حکیم پس از تفکر پاسخ داد: همه چیز در دست توست.

بنابراین بیایید امروز مثمر ثمر کار کنیم، ذخیره جدیدی از دانش به دست آوریم و مهارت ها و توانایی های به دست آمده را در زندگی بعدی و در فعالیت های عملی به کار ببریم.«همه چیز در دستان شماست».

II. تکرار مطالب آموخته شده قبلی

بیایید نکات اصلی مطالب قبلاً مورد مطالعه را به یاد بیاوریم. برای انجام این کار، کار "حذف کلمه اضافی" را تکمیل می کنیم.

(دانش آموزان یک کلمه اضافی می گویند.)

به درستی "دیفرانسیل".بقیه کلمات را امتحان کنید تا یکی را نام ببرید کلمه مشترک. (حساب انتگرال.)

بیایید مراحل و مفاهیم اصلی مربوط به حساب انتگرال را به یاد بیاوریم.

ورزش.بازیابی پاس ها (دانش آموز بیرون می آید و کلمات لازم را با نشانگر می نویسد.)

در نوت بوک کار کنید.

فرمول نیوتن-لایب نیتس توسط فیزیکدان انگلیسی، آیزاک نیوتن (1643-1727) و فیلسوف آلمانی گوتفرید لایب نیتس (1646-1716) ایجاد شد. و این تعجب آور نیست، زیرا ریاضیات زبانی است که خود طبیعت به آن صحبت می کند.

در نظر بگیرید که چگونه از این فرمول در حل وظایف عملی استفاده می شود.

مثال 1: مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

راه حل:اجازه دهید نمودار توابع را روی صفحه مختصات بسازیم . منطقه شکل مورد نظر را انتخاب کنید.

III. یادگیری مطالب جدید.

به صفحه نمایش توجه کنید. در تصویر اول چه چیزی نشان داده شده است؟ (شکل یک شکل صاف را نشان می دهد.)

در تصویر دوم چه چیزی نشان داده شده است؟ آیا این رقم صاف است؟ (شکل نشان می دهد شکل حجمی.)

در فضا، روی زمین و در زندگی روزمرهما نه تنها با ارقام مسطح، بلکه با ارقام سه بعدی نیز ملاقات می کنیم، اما چگونه می توان حجم چنین اجسامی را محاسبه کرد؟ به عنوان مثال: حجم یک سیاره، دنباله دار، شهاب سنگ و غیره.

آنها هنگام ساختن خانه ها و ریختن آب از ظرفی به ظرف دیگر به حجم فکر می کنند. قوانین و روش های محاسبه احجام باید به وجود می آمد، نکته دیگر اینکه چقدر دقیق و موجه بودند.

سال 1612 برای ساکنان شهر لینز اتریش، جایی که یوهانس کپلر، ستاره شناس مشهور آن زمان، در آن زمان زندگی می کرد، به ویژه برای انگور بسیار پربار بود. مردم در حال آماده کردن بشکه های شراب بودند و می خواستند بدانند که چگونه به طور عملی حجم آنها را تعیین کنند.

بنابراین، آثار مورد نظر کپلر آغاز یک جریان کامل از تحقیقات است که در ربع آخر قرن هفدهم به اوج خود رسید. طراحی در آثار I. Newton و G.V. حساب دیفرانسیل و انتگرال لایب نیتس. از آن زمان، ریاضیات متغیرهای قدر جایگاه پیشرو در سیستم دانش ریاضی را به خود اختصاص داده است.

بنابراین امروز ما درگیر چنین فعالیت های عملی خواهیم بود، بنابراین،

موضوع درس ما: "محاسبه حجم بدنه های انقلاب با استفاده از انتگرال معین".

با انجام کار زیر با تعریف بدنه انقلاب آشنا خواهید شد.

"هزارتو".

ورزش.راهی برای خروج از موقعیت گیج کننده پیدا کنید و تعریف را یادداشت کنید.

IVمحاسبه احجام.

با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید حجم یک جسم، به ویژه، یک جسم چرخشی را محاسبه کنید.

جسم چرخشی جسمی است که از چرخاندن ذوزنقه منحنی به دور قاعده آن به دست می آید (شکل 1 و 2).

حجم یک بدنه چرخشی با یکی از فرمول ها محاسبه می شود:

1. حول محور x

2. ، اگر چرخش ذوزنقه منحنی حول محور y

دانش آموزان فرمول های اصلی را در یک دفتر یادداشت می کنند.

معلم حل مثال های روی تخته را توضیح می دهد.

1. حجم جسمی را که با چرخش حول محور y یک ذوزنقه منحنی که با خطوط محدود شده است، بدست آورید: x2 + y2 = 64، y = -5، y = 5، x = 0.

راه حل.

جواب: 1163 سانتی متر مکعب.

2. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه سهموی حول محور آبسیسا را بیابید. y =، x = 4، y = 0.

راه حل.

V. شبیه ساز ریاضی

2. مجموعه تمام پاد مشتق های یک تابع معین نامیده می شود

الف) انتگرال نامعین

ب) عملکرد،

ب) تمایز

7. حجم جسمی را که با چرخش حول محور آبسیس یک ذوزنقه منحنی شکل که با خطوط محدود شده است، بدست آورید:

D/Z. تعمیر مواد جدید

حجم جسمی را که از چرخش گلبرگ به دور محور x تشکیل شده است محاسبه کنید y=x2، y2=x.

بیایید نمودارهای تابع را رسم کنیم. y=x2، y2=x. نمودار y2 = x به شکل y = تبدیل می شود.

V = V1 - V2 داریم بیایید حجم هر تابع را محاسبه کنیم:

نتیجه:

انتگرال معین نوعی پایه برای مطالعه ریاضیات است که کمکی ضروری در حل مسائل محتوای عملی می کند.

موضوع "انتگرال" به وضوح ارتباط بین ریاضیات و فیزیک، زیست شناسی، اقتصاد و فناوری را نشان می دهد.

توسعه علم مدرنبدون استفاده از انتگرال غیر قابل تصور است. در این راستا لازم است مطالعه آن در چارچوب میانه آغاز شود آموزش ویژه!

VI. درجه بندی.(همراه با تفسیر.)

عمر خیام بزرگ - ریاضیدان، شاعر، فیلسوف. او فرا می خواند تا بر سرنوشت خود مسلط شود. گزیده ای از آثار او را بشنوید:

شما می گویید این زندگی فقط یک لحظه است.
قدر آن را بدانید، از آن الهام بگیرید.
هر قدر خرج کنی، میگذره.
فراموش نکنید: او مخلوق شماست.