انتگرال های معین واگرایی همگرایی چگونه حل شود. انتگرال قطعی آنلاین

انتگرال های قطعی آنلاین به سایت برای ادغام مطالب تحت پوشش دانش آموزان و دانش آموزان. و مهارت های عملی خود را تمرین کنید. راه حل کامل انتگرال های قطعی آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل فرآیند را تعیین کنید انتگرال های آنلاین - انتگرال قطعی آنلاین. انتگرال های آنلاین خاصی در سایت برای ادغام کامل مطالب تحت پوشش دانش آموزان و دانش آموزان و آموزش مهارت های عملی آنها. راه حل کامل انتگرال های قطعی آنلاین برای شما در چند لحظه به شما کمک می کند تا تمام مراحل فرآیند را تعیین کنید انتگرال های آنلاین - انتگرال قطعی آنلاین. برای ما، استفاده از یک انتگرال قطعی آنلاین به نظر نمی رسد چیزی فوق العاده طبیعی باشد، زیرا این موضوع را از کتابی از نویسندگان برجسته مطالعه کرده ایم. از آنها بسیار سپاسگزاریم و به این افراد ابراز احترام می کنیم. به تعیین انتگرال معین کمک می کند سرویس آنلایندر محاسبه چنین مسائلی در یک لحظه. فقط داده های صحیح را وارد کنید و همه چیز خوب خواهد بود! هر انتگرال قطعی به عنوان راه حل مشکل باعث افزایش سواد دانش آموزان می شود. این آرزوی هر تنبلی است و ما نیز از این قاعده مستثنی نیستیم، صادقانه به آن اعتراف می کنیم. اگر هنوز موفق به محاسبه انتگرال قطعی آنلاین با راه حل به صورت رایگان هستید، لطفاً آدرس وب سایت را برای همه کسانی که می خواهند از آن استفاده کنند بنویسید. همانطور که می گویند، یک پیوند مفید را به اشتراک بگذارید - و از شما تشکر می شود مردم مهربانبرای هدیه تجزیه و تحلیل مسئله ای که در آن یک انتگرال معین توسط ماشین حساب به تنهایی حل می شود و نه به قیمت اتلاف وقت گرانبهای شما بسیار جالب خواهد بود. به همین دلیل است که آنها ماشینی برای شخم زدن مردم هستند. با این حال، راه حل انتگرال های قطعی آنلاین برای هر سایتی سخت نیست و بررسی آن آسان است، یعنی کافی است که مثال پیچیدهو سعی کنید با هر سرویسی آن را حل کنید. تفاوت را در پوست خود احساس خواهید کرد. اغلب، یافتن یک انتگرال قطعی آنلاین بدون هیچ تلاشی بسیار دشوار می شود و پاسخ شما در پس زمینه مضحک به نظر می رسد. تصویر کلیارائه نتیجه بهتر است ابتدا دوره یک مبارز جوان را طی کنیم. هر راه حلی برای انتگرال های نامناسب به صورت آنلاین ابتدا به محاسبه نامتعین تقلیل می یابد و سپس از طریق تئوری حدود، به عنوان یک قاعده، حدود یک طرفه از عبارات به دست آمده با مرزهای جایگزین A و B محاسبه می شود. انتگرال قطعی آنلاین با راه حل دقیق، به این نتیجه رسیدیم که در مرحله پنجم، یعنی هنگام استفاده از فرمول تغییر متغیر Chebyshev اشتباه کردید. در تصمیم بعدی خود بسیار مراقب باشید. اگر انتگرال قطعی شماست ماشین حساب آنلاینبار اول نتوانستم آن را تحمل کنم، سپس اول از همه ارزش دارد که داده های نوشته شده را در فرم های مناسب در سایت دوباره بررسی کنید. مطمئن شوید که همه چیز مرتب است و بروید، برو برو! برای هر دانش آموز، مانع محاسبه انتگرال های نادرست به صورت آنلاین در مقابل خود معلم است، زیرا این یا یک امتحان است، یا یک کلاس آموزشی، یا به سادگی تستروی یک جفت.. به محض اینکه ماشین حساب آنلاین انتگرال نادرست داده شده در اختیار شما قرار گرفت، بلافاصله وارد شوید عملکرد داده شده، جایگزین محدودیت های از پیش تعیین شدهادغام و بر روی دکمه Solution کلیک کنید، پس از آن پاسخ کامل و دقیق در دسترس شما خواهد بود. و با این حال وقتی سایت فوق العاده ای به عنوان یک سایت وجود دارد خوب است، زیرا هم رایگان است و هم استفاده از آن آسان است، همچنین شامل بخش های زیادی است. که دانش آموزان هر روز از آن استفاده می کنند، یکی از آنها فقط یک انتگرال قطعی آنلاین با راه حل کامل است. در همان بخش، می توانید انتگرال نامناسب را به صورت آنلاین با یک راه حل دقیق برای کاربردهای بیشتر پاسخ چه در مؤسسه و چه در کارهای مهندسی محاسبه کنید. به نظر می رسد تعیین یک انتگرال معین به صورت آنلاین برای همه دشوار نیست، اگر چنین مثالی از قبل بدون کران بالا و پایین حل شود، یعنی نه انتگرال لایب نیتس، بلکه انتگرال نامعین. اما در اینجا ما به طور قاطع با شما مخالفیم، زیرا در نگاه اول ممکن است اینطور به نظر برسد، اما یک تفاوت قابل توجه وجود دارد، بیایید همه چیز را از هم جدا کنیم. راه حل چنین انتگرال معینی را نه به شکل صریح، بلکه در نتیجه تبدیل عبارت به مقدار محدود می دهد. به عبارت دیگر، ابتدا باید انتگرال را با جایگزینی مقادیر نمادین مرزها حل کرد و سپس حد را در بی نهایت یا در یک نقطه مشخص محاسبه کرد. از اینجا، محاسبه یک انتگرال معین به صورت آنلاین با یک راه حل به صورت رایگان به معنای نشان دادن جواب دقیق با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس نیست. اگر انتگرال قطعی خود را در نظر بگیریم، ماشین حساب به شما کمک می کند آن را در چند ثانیه درست در مقابل چشمان خود محاسبه کنید. چنین عجله ای برای هرکسی که می خواهد هر چه سریعتر با این کار کنار بیاید و برای امور شخصی آزاد شود، نیاز دارد. شما نباید در اینترنت به دنبال سایت هایی بگردید که از شما بخواهند ثبت نام کنید، سپس پول موجودی خود را دوباره پر کنید، و همه اینها به خاطر اینکه یک فرد باهوش راه حل انتگرال های خاص را به صورت آنلاین آماده می کند. به یاد داشته باشید که آدرس Math24 یک سرویس حل مجموعه رایگان است مشکلات ریاضی، از جمله ما به شما کمک می کنیم تا یک انتگرال قطعی آنلاین پیدا کنید، و برای اطمینان از این موضوع، لطفاً بیانیه ما را در نمونه های خاص بررسی کنید. انتگرال را در فیلد مناسب وارد کنید، سپس یا مقادیر حدی بی نهایت را مشخص کنید (در این صورت جواب انتگرال های نامناسب به صورت آنلاین محاسبه و به دست می آید)، یا مرزهای عددی یا نمادین خود و انتگرال آنلاین قطعی را با یک راه حل دقیق تنظیم کنید. پس از کلیک بر روی دکمه "راه حل" در صفحه نمایش داده می شود. آیا این درست نیست - بسیار ساده است، نیازی به هیچ گونه اقدام اضافی از شما، رایگان نیست، که مهمترین چیز و در عین حال موثر است. شما می توانید خودتان از این سرویس استفاده کنید تا ماشین حساب آنلاین انتگرال قطعی حداکثر سود را برای شما به ارمغان بیاورد و بدون فشار بر پیچیدگی همه فرآیندهای محاسباتی، حالتی راحت به دست آورید، اجازه دهید ما همه چیز را برای شما انجام دهیم و قدرت کامل فناوری رایانه را نشان دهیم. دنیای مدرن. اگر وارد جنگل پیچیده ترین فرمول ها شوید و به تنهایی محاسبه انتگرال های نامناسب را به صورت آنلاین مطالعه کنید، این قابل ستایش است و می توانید فرصت نوشتن پایان نامه دکتری را داشته باشید، اما بیایید به واقعیت برگردیم. زندگی دانشجویی. و دانشجو کیست؟ اول از همه، این یک مرد جوان، پرانرژی و شاد است که می خواهد زمانی برای استراحت و انجام تکالیف خود داشته باشد! بنابراین، ما از دانش آموزانی مراقبت کردیم که در حال تلاش برای یافتن یک ماشین حساب آنلاین انتگرال نادرست در شبکه گسترده جهانی هستند و در اینجا مورد توجه شماست - سایت مفیدترین حل کننده آنلاین برای جوانان است. ضمناً، اگرچه سرویس ما به عنوان دستیار به دانش آموزان و دانش آموزان ارائه می شود، اما برای هر مهندس کاملاً مناسب است، زیرا ما می توانیم هر نوع کار را انجام دهیم و راه حل آنها در قالب حرفه ای ارائه می شود. به عنوان مثال، ما یک انتگرال قطعی آنلاین را با یک راه حل به صورت کامل در مراحل ارائه می دهیم، یعنی به هر بلوک منطقی (subtask) یک رکورد جداگانه با تمام محاسبات در طول فرآیند اختصاص داده می شود. راه حل مشترک. این، البته، درک طرح‌بندی‌های متوالی چند مرحله‌ای را ساده‌تر می‌کند، و در نتیجه مزیت پروژه سایت نسبت به خدمات مشابه برای یافتن یک انتگرال آنلاین نامناسب با یک راه‌حل دقیق است.

انتگرال معین به عنوان حد مجموع انتگرال

فقط در صورت رعایت شرایط می تواند وجود داشته باشد (یعنی دارای یک مقدار نهایی مشخص باشد).

اگر حداقل یکی از این شرایط نقض شود، تعریف مفهوم خود را از دست می دهد. در واقع، در مورد یک قطعه نامتناهی، برای مثال [ آ; ) نمی توان آن را تجزیه کرد پقطعات با طول محدود
، که علاوه بر این، با افزایش تعداد بخش ها به صفر گرایش پیدا می کند. در مورد نامحدود در نقطه ای با[آ; ب] شرط انتخاب خودسرانه یک نقطه نقض شده است در بخش های جزئی - نمی توان انتخاب کرد =با، از آنجایی که مقدار تابع در این نقطه تعریف نشده است. با این حال، مفهوم انتگرال معین را نیز می توان برای این موارد با معرفی یک گذر دیگر به حد تعمیم داد. انتگرال در فواصل نامتناهی و از توابع ناپیوسته (نامحدود) نامیده می شود غیر خودی.

تعریف.

اجازه دهید تابع
تعریف شده در بازه [ آ; ) و در هر بازه محدود [ آ; ب]، یعنی وجود دارد
برای هرکس ب > آ. محدودیت مشاهده
تماس گرفت انتگرال نامناسب اولین نوع (یا توسط یک انتگرال نامناسب در یک بازه نامتناهی) و نشان می دهد
.

بنابراین، طبق تعریف،
=
.

اگر حد سمت راست وجود داشته باشد و متناهی باشد، انتگرال نامناسب
تماس گرفت همگرا . اگر این حد نامحدود باشد یا اصلا وجود نداشته باشد، انتگرال نامناسب گفته می شود واگرا می شود .

به طور مشابه، می توانیم مفهوم انتگرال نامناسب یک تابع را معرفی کنیم
با فاصله (–; ب]:

=
.

و انتگرال نامناسب تابع
در بازه (–؛ +) به عنوان مجموع انتگرال های معرفی شده در بالا تعریف می شود:

=
+
,

جایی که آیک نقطه دلخواه است این انتگرال در صورتی همگرا می شود که هر دو عبارت همگرا باشند و اگر حداقل یکی از عبارت ها واگرا شود واگرا می شود.

از دیدگاه هندسی، انتگرال
,
، مقدار عددی مساحت یک ذوزنقه منحنی خطی نامتناهی را تعیین می کند که از بالا توسط نمودار تابع محدود شده است.
، چپ - راست
، از پایین - محور OX. همگرایی انتگرال به معنای وجود مساحت محدود چنین ذوزنقه ای و برابری آن با حد مساحت ذوزنقه منحنی با دیوار سمت راست متحرک است.
.

در مورد انتگرال با حد نامتناهی نیز می توان تعمیم داد فرمول نیوتن لایب نیتس:

=
=F( + ) – F( آ),

جایی که F( + ) =
. اگر این حد وجود داشته باشد، انتگرال همگرا می شود، در غیر این صورت، واگرا می شود.

ما تعمیم مفهوم یک انتگرال معین را در مورد یک فاصله بینهایت در نظر گرفته ایم.

اجازه دهید اکنون یک تعمیم برای مورد یک تابع نامحدود در نظر بگیریم.

تعریف

اجازه دهید تابع
تعریف شده در بازه [ آ; ب)، در برخی از محله های نقطه نامحدود است ب، و در هر بخش پیوسته است
، جایی که> 0 (و بنابراین، در این بخش قابل ادغام است، یعنی.
وجود دارد). محدودیت مشاهده
تماس گرفت انتگرال نادرست نوع دوم (یا با انتگرال نامناسب یک تابع نامحدود) و نشان داده می شود
.

بنابراین، انتگرال نامناسب در یک نقطه بتوابع طبق تعریف هستند

=
.

اگر حد سمت راست وجود داشته باشد و متناهی باشد، انتگرال نامیده می شود همگرا. اگر حد محدودی وجود نداشته باشد، انتگرال نامناسب نامیده می شود واگرا.

به طور مشابه، می توان یک انتگرال نامناسب از تابع را تعریف کرد
داشتن یک ناپیوستگی بی نهایت در یک نقطه آ:

=
.

اگر تابع
یک ناپیوستگی بی نهایت در یک نقطه داخلی دارد با
، سپس انتگرال نامناسب به صورت زیر تعریف می شود

=
+
=
+
.

این انتگرال در صورتی همگرا می شود که هر دو عبارت همگرا باشند و اگر حداقل یک جمله واگرا شود واگرا می شود.

از نقطه نظر هندسی، انتگرال نامناسب یک تابع نامحدود نیز ناحیه یک ذوزنقه منحنی نامحدود را مشخص می کند:

از آنجایی که انتگرال نامناسب با عبور از حد از انتگرال معین به دست می آید، پس تمام ویژگی های انتگرال معین را می توان (با اصلاحات مناسب) به انتگرال های نادرست نوع اول و دوم منتقل کرد.

در بسیاری از مسائلی که منجر به انتگرال های نامناسب می شود، لازم نیست که بدانیم این انتگرال با چه چیزی برابر است، فقط کافی است از همگرا یا واگرایی آن اطمینان حاصل کنیم. برای این استفاده نشانه های همگرایی. نشانه های همگرایی انتگرال های نامناسب:

1) علامت مقایسه.

بگذار برای همه ایکس

. سپس اگر
همگرا می شود، سپس همگرا می شود و
، و

. اگر یک
واگرا می شود، سپس واگرا می شود و
.

2) اگر همگرا باشد
، سپس همگرا می شود و
(آخرین انتگرال در این مورد نامیده می شود کاملا همگرا).

معیارهای همگرایی و واگرایی انتگرال های نامناسب توابع نامحدود مشابه مواردی است که در بالا فرموله شد.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1

آ)
; ب)
; که در)

ز)
; ه)
.

راه حل.

الف) طبق تعریف داریم:

.

ب) به همین ترتیب

بنابراین این انتگرال همگرا می شود و برابر است با .

ج) طبق تعریف
=
+
، علاوه بر این، آیک عدد دلخواه است بیایید در مورد خود قرار دهیم
، سپس دریافت می کنیم:

این انتگرال همگرا می شود.

بنابراین این انتگرال از هم جدا می شود.

ه) در نظر بگیرید
. برای یافتن پاد مشتق انتگرال، باید از روش یکپارچه سازی توسط قطعات استفاده کرد. سپس دریافت می کنیم:

از آنجایی که هیچ کدام
، نه
وجود ندارد، پس وجود ندارد و

بنابراین، این انتگرال از هم جدا می شود.

مثال 2

همگرایی انتگرال را بررسی کنید بسته به پ.

راه حل.

در
ما داریم:

اگر یک
، سپس
و بنابراین، انتگرال واگرا می شود.

اگر یک
، سپس
، آ
، سپس

=,

بنابراین، انتگرال همگرا می شود.

اگر یک
، سپس

از این رو انتگرال واگرا می شود.

به این ترتیب،

مثال 3

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تنظیم کنید:

آ)
; ب)
; که در)
.

راه حل.

الف) انتگرال
یک انتگرال نادرست از نوع دوم است، زیرا انتگرال
در یک نقطه محدود نمی شود

. سپس طبق تعریف،

.

انتگرال همگرا می شود و برابر است با .

ب) در نظر بگیرید
. در اینجا نیز انتگرال در نقطه محدود نمی شود
. بنابراین، این انتگرال از نوع دوم نامناسب است و بنا به تعریف،

بنابراین، انتگرال واگرا می شود.

ج) در نظر بگیرید
. یکپارچه سازی
در دو نقطه دچار ناپیوستگی بی نهایت می شود:
و
، که اولی مربوط به فاصله ادغام است
. بنابراین، این انتگرال از نوع دوم نامناسب است. سپس، طبق تعریف

=

=

.

بنابراین، انتگرال همگرا می شود و برابر است با
.

انتگرال معین

\[I=\int_a^bf(x)dx \]

با این فرض که اعداد $a,\,b$ متناهی هستند و $f(x)$ یک تابع پیوسته ساخته شده است. اگر یکی از این مفروضات نقض شود، از انتگرال های نادرست صحبت می شود.

10.1 انتگرال های نادرست از نوع اول

یک انتگرال نادرست از نوع اول زمانی به وجود می آید که، با توجه به حداقلیکی از اعداد $a,\,b$ بی نهایت است.

10.1.1 تعریف و ویژگی های اساسی

اجازه دهید ابتدا وضعیتی را در نظر بگیریم که حد پایینی ادغام محدود و حد بالایی برابر با $+\infty$ است؛ گزینه های دیگر بعداً مورد بحث قرار خواهند گرفت. برای $f(x)$ پیوسته برای همه $x$ مورد علاقه ما، انتگرال را در نظر بگیرید

\begin(معادله) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(معادله)

اول از همه، لازم است معنای این عبارت را مشخص کنیم. برای این کار تابع را معرفی می کنیم

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

و رفتار آن را به صورت $N\rightarrow +\infty$ در نظر بگیرید.

تعریف. بگذار حدی وجود داشته باشد

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

سپس انتگرال نامناسب از نوع اول (19) گفته می شود که همگرا می شود و مقدار $A$ به آن اختصاص می یابد، خود تابع در بازه $\left[ a, \, +\infty \right)$ integrable نامیده می شود. . اگر حد مشخص شده وجود نداشته باشد یا برابر با $\pm \infty$ باشد، انتگرال (19) واگرا می شود.

انتگرال های نامناسب همگرا از نوع 1 همه ویژگی های استاندارد انتگرال های معین معمولی را دارند.

1. اگر $f(x)$، $g(x)$ در بازه $\left[ a, \, +\infty \right)$ قابل ادغام هستند، پس مجموع آنها $f(x)+g(x) $ نیز در این بازه قابل ادغام است و \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x )dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. اگر $f(x)$ در بازه $\left[a, \, +\infty \right)$ قابل ادغام باشد، برای هر $C$ ثابت تابع $C\cdot f(x)$ همچنین در این بازه قابل ادغام است و \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. اگر $f(x)$ در بازه $\left[ a, \, +\infty \right)$ و $f(x)>0$ در این بازه قابل ادغام باشد، \[ \int _a ^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. اگر $f(x)$ در بازه $\left[ a, \, +\infty \right)$ قابل ادغام باشد، برای هر $b>a$ انتگرال \[ \int _b^(+ \infty) f(x)dx \] همگرا می شود و \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty ) f(x)dx \] (افزایش انتگرال در بازه).

فرمول های تغییر متغیر، ادغام با قطعات و غیره نیز معتبر هستند. (با رزرو طبیعی).

حال اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که حد پایین ادغام برابر با $-\infty$ و حد بالایی محدود است، یعنی. انتگرال ها را در نظر بگیرید

\[ I=\int _(-\infty)^af(x)dx. \]

با این حال، اگر متغیرهای $x=-s$ را تغییر دهیم و سپس محدودیت‌های ادغام را عوض کنیم، می‌توان این نوع را به نسخه قبلی کاهش داد، به طوری که

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds، \]

$g(s)=f(-s)$. حال اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که دو حد نامتناهی وجود دارد، یعنی. انتگرال

\begin(معادله) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(معادله)

جایی که $f(x)$ برای همه $x \in \mathbb(R)$ پیوسته است. بیایید بازه را به دو قسمت تقسیم کنیم: $c \in \mathbb(R)$ را بگیرید و دو انتگرال را در نظر بگیرید.

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

تعریف. اگر هر دو انتگرال $I_1$، $I_2$ همگرا شوند، انتگرال (21) همگرا نامیده می شود، مقدار $I=I_1+I_2$ به آن اختصاص داده می شود (با توجه به افزایش بازه). اگر حداقل یکی از انتگرال های $I_1$، $I_2$ واگرا شود، انتگرال (21) واگرا گفته می شود.

می توان ثابت کرد که همگرایی انتگرال (21) به انتخاب نقطه $c$ بستگی ندارد.

انتگرال های نامناسب 1 نوع با فواصل ادغام $\left(-\infty, \, c \right]$ یا $(-\infty, \, +\infty)$ همچنین دارای تمام خصوصیات استاندارد انتگرال های معین است (با یک فرمول مجدد متناظر که طول می کشد انتخاب فاصله ادغام را در نظر بگیرید).

10.1.2 معیارهای همگرایی انتگرال های نادرست از نوع اول

قضیه (نخستین نشانه مقایسه). اجازه دهید $f(x)$، $g(x)$ برای $x>a$ پیوسته باشد و اجازه دهید $0 a$. سپس

1. اگر انتگرال \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] همگرا شود، انتگرال \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx نیز همگرا می شود. \] 2. اگر انتگرال \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] واگرا شود، انتگرال \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx نیز واگرا می شود. \]

قضیه (نشان دوم مقایسه). اجازه دهید $f(x)$، $g(x)$ برای $x>a$ پیوسته و مثبت باشد و یک حد محدود وجود داشته باشد.

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

سپس انتگرال ها

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

به طور همزمان همگرا یا واگرا شوند.

الان اینجایی؟ =) نه، من سعی نکردم کسی را بترسانم، فقط موضوع انتگرال های نامناسب نشان دهنده اهمیت عدم اجرای ریاضیات عالی و سایر علوم دقیق است. برای تسلط بر درس در سایت، همه چیز وجود دارد - به شکل دقیق و در دسترس، میل وجود خواهد داشت ....

بنابراین، بیایید شروع کنیم. به بیان تصویری، یک انتگرال نامناسب یک انتگرال معین "پیشرفته" است و در واقع مشکلات زیادی با آنها وجود ندارد، علاوه بر این، یک انتگرال نامناسب معنای هندسی بسیار خوبی دارد.

محاسبه انتگرال نامناسب به چه معناست؟

انتگرال نادرست را محاسبه کنید - به معنای پیدا کردن یک عدد است(دقیقاً مانند انتگرال معین) یا ثابت کنید که اختلاف دارد(یعنی به جای عدد به بی نهایت برسید).

انتگرال های نامناسب دو نوع هستند.

انتگرال نامناسب با حد(های) بی نهایت ادغام

گاهی اوقات چنین انتگرال نامناسبی نامیده می شود انتگرال نادرست از نوع اول. AT نمای کلیانتگرال نامناسب با حد نامتناهی اغلب به این صورت است: . چه تفاوتی با انتگرال معین دارد؟ در حد بالایی. بی پایان است:

انتگرال هایی با حد پایین بی نهایت یا با دو حد نامتناهی کمتر رایج هستند: و بعداً آنها را در نظر خواهیم گرفت - وقتی طعم آن را به دست آوردید :)

خوب، اکنون بیایید محبوب ترین مورد را تجزیه و تحلیل کنیم. در اکثریت قریب به اتفاق مثال ها، تابع انتگرال مداومدر بین و این یکی یک واقعیت مهم که ابتدا باید بررسی شود!زیرا اگر شکاف هایی وجود داشته باشد، تفاوت های ظریف دیگری نیز وجود دارد. برای قطعیت، فرض می‌کنیم که حتی در آن صورت هم معمولی است ذوزنقه منحنیبه این صورت خواهد بود:

توجه داشته باشید که بی نهایت است (در سمت راست محدود نمی شود)، و انتگرال نامناسبعددی برابر مساحت آن است. در این مورد، گزینه های زیر امکان پذیر است:

1) اولین فکری که به ذهن می رسد این است: «چون رقم بی نهایت است، پس ” به عبارت دیگر مساحت نیز بی نهایت است. بنابراین ممکن است.در این صورت می گوییم انتگرال نامناسب واگرا می شود.

2) ولی. هر چقدر هم که ممکن است متناقض به نظر برسد، مساحت یک رقم بی نهایت می تواند برابر با ... یک عدد متناهی باشد! مثلا: . ممکنه؟ آسان. در حالت دوم، انتگرال نامناسب همگرا می شود.

3) در مورد گزینه سوم کمی بعد.

یک انتگرال نامناسب چه زمانی واگرا می شود و چه زمانی همگرا می شود؟ این به انتگرال بستگی دارد و ما به زودی به نمونه های عینی نگاه خواهیم کرد.

اما اگر ذوزنقه منحنی بی نهایت در زیر محور قرار گیرد چه اتفاقی می افتد؟ در این صورت، انتگرال نامناسب (واگرا) یا برابر با یک عدد منفی متناهی است.

به این ترتیب، انتگرال نامناسب می تواند منفی باشد.

مهم!وقتی هر انتگرال نامناسبی برای حل کردن به شما پیشنهاد می شود، به طور کلی، صحبت از هیچ منطقه ای نیست و نیازی به ساختن نقشه نیست. حس هندسیمن فقط در مورد انتگرال نامناسب گفتم تا درک مطالب را آسانتر کنم.

از آنجایی که انتگرال نامناسب بسیار شبیه به انتگرال معین است، فرمول نیوتن-لایبنیتس را به یاد می آوریم: . در واقع، این فرمول برای انتگرال های نامناسب نیز قابل استفاده است، فقط باید کمی اصلاح شود. تفاوت در چیست؟ در حد بالایی بی نهایت ادغام: . احتمالاً، بسیاری حدس زده‌اند که این قبلاً بوی استفاده از نظریه حدود را می‌دهد و فرمول به صورت زیر نوشته می‌شود: .

چه تفاوتی با انتگرال معین دارد؟ بله، چیز خاصی نیست! همانطور که در یک انتگرال معین، شما باید بتوانید تابع ضد مشتق (انتگرال نامعین) را پیدا کنید، بتوانید فرمول نیوتن-لایبنیتس را اعمال کنید. تنها چیزی که اضافه شده محاسبه حد است. چه کسی با آنها بد است، عبرت بگیرید محدودیت توابع نمونه های راه حلچون دیرتر از سربازی بهتره

دو مثال کلاسیک را در نظر بگیرید:

مثال 1

برای وضوح، من یک نقاشی خواهم ساخت، هرچند، یک بار دیگر تأکید می کنم، در تمرین در این کار نیازی به ساخت نقشه نیست.

انتگرال در نیم فاصله پیوسته است، به این معنی که همه چیز خوب است و انتگرال نامناسب را می توان با استفاده از روش "منظم" محاسبه کرد.

کاربرد فرمول ما و راه حل به این صورت است:

یعنی انتگرال نامناسب واگرا می شود و مساحت ذوزنقه منحنی سایه دار برابر با بی نهایت است.

در مثال در نظر گرفته شده، ما ساده ترین انتگرال جدولی و همان تکنیک را برای اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس در انتگرال معین داریم. اما این فرمول تحت علامت حد اعمال می شود. به جای حرف معمول متغیر "دینامیک"، حرف "be" ظاهر می شود. این نباید گیج یا گیج شود، زیرا هر حرفی بدتر از "X" استاندارد نیست.

اگر نمی‌دانید چرا در، این خیلی بد است، یا ساده‌ترین محدودیت‌ها را نمی‌دانید (و اصلاً نمی‌دانید محدودیت چیست)، یا نمی‌دانید نمودار چگونه است. تابع لگاریتمی. در مورد دوم، از درس بازدید کنید نمودارها و خواص توابع ابتدایی.

هنگام حل انتگرال های نامناسب، بسیار مهم است که بدانید نمودارهای توابع ابتدایی اصلی چگونه به نظر می رسند!

یک طراحی کار تمیز باید چیزی شبیه به این باشد:

“

! هنگام طراحی یک مثال، ما همیشه راه حل را قطع می کنیم و نشان می دهیم که چه اتفاقی برای انتگرال می افتد – آیا در بازه ادغام پیوسته است یا خیر؟. با این کار نوع انتگرال نامناسب را شناسایی کرده و اقدامات بعدی را اثبات می کنیم.

مثال 2

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

بیایید یک نقاشی بکشیم:

ابتدا به موارد زیر توجه می کنیم: انتگرال در نیم بازه پیوسته است. خوب حل با فرمول :

(1) ساده ترین انتگرال را می گیریم تابع توان(این مورد خاص در بسیاری از جداول یافت می شود). بهتر است فورا علامت منهای را از حد مجاز خارج کنید تا در محاسبات بعدی زیر پا نرود.

(2) حد بالا و پایین را طبق فرمول نیوتن لایب نیتس جایگزین می کنیم.

(3) اشاره می کنیم که وقتی (آقایان از دیرباز این را فهمیده اند) و پاسخ را ساده می کنیم.

در اینجا مساحت یک ذوزنقه منحنی بی نهایت برابر با یک عدد محدود است! باور نکردنی است، اما یک واقعیت است.

طراحی تمیز نمونه باید چیزی شبیه به این باشد:

“

انتگرال پیوسته روشن است

“

اگر به یک انتگرال مانند - با برخورد کردید چه باید کرد نقطه شکستدر فاصله ادغام؟ یعنی اشتباه تایپی در مثال وجود دارد (به احتمال زیاد)یا سطح تحصیلات پیشرفته. در مورد دوم، به دلیل خواص افزایشی، باید دو انتگرال نامناسب را روی فواصل در نظر گرفت و سپس به جمع پرداخت.

گاهی به دلیل اشتباه تایپی یا قصد انتگرال نامناسب می تواند اصلا وجود نداردبنابراین، برای مثال، اگر جذر «x» در مخرج انتگرال فوق قرار داده شود، آنگاه بخشی از بازه انتگرال به هیچ وجه وارد حوزه تعریف انتگرال نمی شود.

علاوه بر این، یک انتگرال نامناسب ممکن است حتی با تمام "بهزیستی ظاهری" وجود نداشته باشد. مثال کلاسیک: . با وجود قطعیت و پیوستگی کسینوس، چنین انتگرال نادرستی وجود ندارد! چرا؟ بسیار ساده است زیرا:
- وجود ندارد حد مربوطه.

و نمونه هایی از این دست اگرچه نادر است اما در عمل یافت می شود! بنابراین، علاوه بر همگرایی و واگرایی، نتیجه سومی نیز با پاسخ کامل وجود دارد: «انتگرال نادرست وجود ندارد».

همچنین لازم به ذکر است که تعریف دقیقی از انتگرال نامناسب دقیقاً از نظر حد ارائه شده است و کسانی که مایلند می توانند با آن آشنا شوند. ادبیات آموزشی. خب ادامه میدیم درس عملیو به سمت کارهای معنادارتر بروید:

مثال 3

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

ابتدا بیایید سعی کنیم تابع ضد مشتق (انتگرال نامعین) را پیدا کنیم. اگر موفق به انجام این کار نشدیم، طبیعتاً انتگرال نامناسب را نیز حل نمی کنیم.

انتگرال شبیه کدام یک از انتگرال های جدول است؟ مرا به یاد مماس قوس می‌اندازد: . از این ملاحظات، این فکر خود را نشان می دهد که خوب است که یک مربع در مخرج به دست آوریم. این کار با جایگزینی انجام می شود.

بیایید جایگزین کنیم:

انتگرال نامعین پیدا شده است، اضافه کردن یک ثابت در این مورد معنی ندارد.

در یک پیش نویس، انجام یک بررسی، یعنی متمایز کردن نتیجه، همیشه مفید است:

انتگرال اصلی بدست آمد، یعنی انتگرال نامعین به درستی پیدا شد.

اکنون انتگرال نامناسب را پیدا می کنیم:

(1) محلول را مطابق فرمول می نویسیم . بهتر است بلافاصله ثابت را فراتر از علامت حد قرار دهید تا در محاسبات بعدی تداخل نداشته باشد.

(2) حد بالا و پایین را مطابق با فرمول نیوتن لایب نیتس جایگزین می کنیم. چرا در ? نمودار مماس قوس را در مقاله ای که قبلاً بارها توصیه شده است ببینید.

(3) ما پاسخ نهایی را دریافت می کنیم. این حقیقت که دانستن آن از روی قلب مفید است.

دانش آموزان پیشرفته ممکن است انتگرال نامعین را جداگانه پیدا نکنند و از روش جایگزینی استفاده نکنند، اما از روش جمع کردن تابع زیر علامت دیفرانسیل استفاده کنند و انتگرال نامناسب را "فورا" حل کنند. در این مورد، راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:

“

انتگرال پیوسته است.

“

مثال 4

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

! آی تی نمونه معمولی، و انتگرال های مشابه بسیار رایج هستند. خوب کار کن! عملکرد ضد مشتقدر اینجا روش انتخاب مربع کامل است، جزئیات بیشتر در مورد روش را می توانید در درس پیدا کنید ادغام برخی کسرها.

مثال 5

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

این انتگرال را می توان با جزئیات حل کرد، یعنی ابتدا با تغییر متغیر، انتگرال نامعین را پیدا کنید. و می توانید آن را "فورا" حل کنید - با جمع کردن تابع زیر علامت دیفرانسیل. کسی که سابقه ریاضی دارد.

راه حل های کاملو در پایان درس پاسخ می دهد.

نمونه‌هایی از راه‌حل‌های انتگرال‌های نامناسب با حد پایین بی‌نهایت ادغام را می‌توانید در صفحه پیدا کنید. روش های کارآمد برای حل انتگرال های نامناسب. موردی که هر دو حد ادغام بی نهایت باشند نیز در آنجا در نظر گرفته می شود.

انتگرال های نامناسب توابع نامحدود

یا انتگرال های نادرست نوع دوم. انتگرال های نادرست نوع دوم با حیله گری در زیر انتگرال معین معمول «رمزگذاری» می شوند و دقیقاً یکسان به نظر می رسند: اما، برخلاف انتگرال معین، انتگرال دچار ناپیوستگی بی نهایت می شود (وجود ندارد): 1) در نقطه، 2) یا در نقطه، 3) یا در هر دو نقطه به طور همزمان، 4) یا حتی در فاصله ادغام. ما دو مورد اول را در نظر خواهیم گرفت، برای موارد 3-4 در پایان مقاله پیوندی به یک درس اضافی وجود دارد.

فقط یک مثال برای روشن شدن مطلب:. به نظر می رسد یک انتگرال قطعی است. اما در واقع، این یک انتگرال نادرست از نوع دوم است، اگر مقدار حد پایین را جایگزین انتگرال کنیم، مخرج ناپدید می شود، یعنی انتگرال به سادگی در این مرحله وجود ندارد!

به طور کلی، هنگام تجزیه و تحلیل انتگرال نامناسب همیشه لازم است که هر دو حد یکپارچه سازی را با انتگرال جایگزین کنیم. در این رابطه، حد بالایی را نیز بررسی می کنیم: . اینجا همه چیز خوب است.

ذوزنقه منحنی برای انواع در نظر گرفته شده انتگرال نامناسب اساساً به این صورت است:

در اینجا تقریباً همه چیز مانند انتگرال نوع اول است.

انتگرال ما عددی است برابر مساحتیک ذوزنقه منحنی شکل که از بالا محدود نشده است. در این مورد، دو گزینه می تواند وجود داشته باشد *: انتگرال نامناسب واگرا می شود (مساحت نامتناهی است) یا انتگرال نامناسب برابر با یک عدد متناهی است (یعنی مساحت یک رقم نامتناهی محدود است!).

* به طور پیش فرض، ما معمولاً فرض می کنیم که انتگرال نامناسب وجود دارد

تنها برای اصلاح فرمول نیوتن-لایبنیتس باقی مانده است. همچنین به کمک حد اصلاح می شود، اما حد دیگر به بی نهایت تمایل ندارد، بلکه به مقدار سمت راستدنبال کردن نقشه آسان است: در امتداد محور، باید به نقطه شکست بی نهایت نزدیک شویم سمت راست.

بیایید ببینیم که چگونه این در عمل اجرا می شود.

مثال 6

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

انتگرال در نقطه‌ای دچار شکست بی‌نهایتی می‌شود (فراموش نکنید که به صورت شفاهی یا پیش‌نویس بررسی کنید اگر همه چیز با حد بالایی خوب است!)

ابتدا انتگرال نامعین را محاسبه می کنیم:

جایگزینی:

کسانی که با تعویض مشکل دارند به درس مراجعه کنند روش جایگزینی در انتگرال نامعین.

ما انتگرال نامناسب را محاسبه می کنیم:

(1) اینجا چه چیز جدیدی است؟ از نظر تکنیک عملا هیچی. تنها چیزی که تغییر کرده است ورودی زیر نماد محدودیت است: . افزودن به این معنی است که ما به دنبال مقدار سمت راست هستیم (که منطقی است - نمودار را ببینید). چنین حدی در نظریه حدود نامیده می شود حد یک طرفه. در این مورد داریم حد سمت راست.

(2) حد بالا و پایین را طبق فرمول نیوتن لایب نیتس جایگزین می کنیم.

(3) برخورد با در . چگونه تعیین می کنید که یک عبارت به کجا هدایت می شود؟ به طور کلی، شما فقط باید مقدار را جایگزین آن کنید، سه چهارم را جایگزین کنید و آن را نشان دهید. شانه زدن پاسخ.

در این حالت انتگرال نامناسب برابر با یک عدد منفی است. هیچ جرمی در این مورد وجود ندارد، فقط ذوزنقه منحنی متناظر در زیر محور قرار دارد.

و اکنون دو مثال برای یک راه حل مستقل.

مثال 7

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

مثال 8

انتگرال نامناسب را محاسبه کنید یا واگرایی آن را تعیین کنید.

اگر انتگرال در نقطه وجود نداشته باشد

یک ذوزنقه منحنی بی نهایت برای چنین انتگرال نامناسبی اساساً به این شکل است.