اجازه دهید تابع به طور ضمنی به عنوان یک معادله داده شود
. افتراق این معادله با توجه به ایکسو حل معادله حاصل با توجه به مشتق ، مشتق مرتبه اول (مشتق اول) را پیدا می کنیم. متمایز کردن با توجه به ایکسمشتق اول، مشتق دوم تابع ضمنی را دریافت می کنیم. جایگزین کردن یک مقدار از قبل یافت شده در بیان مشتق دوم، بیان می کنیم از طریق ایکسو yما به طور مشابه برای یافتن مشتق مرتبه سوم (و فراتر از آن) پیش می رویم.

مثال. پیدا کنید ، اگر
.

راه حل: معادله را با توجه به ایکس:
. از اینجا پیدا می کنیم
. به علاوه .

مشتقات مرتبه های بالاتر از توابع داده شده به صورت پارامتری.

اجازه دهید تابع
توسط معادلات پارامتری ارائه می شود
.

همانطور که می دانید اولین مشتق طبق فرمول یافت می شود
. بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم
، یعنی
. به همین ترتیب
.

مثال. مشتق دوم را بیابید
.

راه حل: اولین مشتق را پیدا کنید
. پیدا کردن مشتق دوم
.

دیفرانسیل عملکرد

اجازه دهید تابع
قابل تمایز توسط
. مشتق این تابع در یک نقطه
با برابری تعریف می شود
. نگرش
در
بنابراین با مشتق متفاوت است
با مقدار b.m.، یعنی. می توان نوشت
(
). بیایید همه چیز را در ضرب کنیم
، ما گرفتیم
. افزایش تابع
از دو اصطلاح تشکیل شده است ترم اول
- قسمت اصلی افزایش، دیفرانسیل تابع است.

Def. دیفرانسیل عملکرد
حاصل ضرب مشتق و افزایش برهان نامیده می شود. نشان داده شده است
.

دیفرانسیل یک متغیر مستقل همان افزایش آن است
.

(). بنابراین، فرمول دیفرانسیل را می توان نوشت
. دیفرانسیل یک تابع برابر است با حاصلضرب مشتق و دیفرانسیل متغیر مستقل. از این رابطه نتیجه می شود که مشتق را می توان به عنوان نسبت دیفرانسیل ها در نظر گرفت
.

دیفرانسیل در محاسبات تقریبی استفاده می شود. از آنجایی که در بیان
ترم دوم
یک کمیت بی نهایت کوچک از برابری تقریبی استفاده می کند
یا گسترش یافته است

مثال: یک مقدار تقریبی را محاسبه کنید
.

عملکرد
مشتق دارد
.

طبق فرمول (*) : .

مثال: دیفرانسیل یک تابع را پیدا کنید

معنای هندسی دیفرانسیل.

به نمودار تابع
در نقطه M( ایکس;y) یک مماس رسم کنید و ترتیب این مماس را برای نقطه در نظر بگیرید ایکس+∆ ایکس. در شکل AM=∆ ایکس AM 1 =∆ دراز ∆MAV
، از این رو
، اما با توجه به معنای هندسی مماس
. از همین رو
. با مقایسه این فرمول با فرمول دیفرانسیل، به این نتیجه می رسیم
، یعنی دیفرانسیل عملکرد
در نقطه ایکسبرابر است با افزایش مختصات مماس بر نمودار تابع در آن نقطه، زمانی که ایکسافزایش می یابد ∆x.

قوانین محاسبه دیفرانسیل

از آنجایی که تابع دیفرانسیل
با مشتق یک عامل متفاوت است
، سپس تمام قوانین برای محاسبه مشتق نیز برای محاسبه دیفرانسیل استفاده می شود (از این رو اصطلاح "تمایز").

اجازه دهید دو تابع متمایز داده شود
و
، سپس دیفرانسیل طبق قوانین زیر پیدا می شود:

1)

2)
با -پایان

3)

4)
(
)

5) برای تابع پیچیده
، جایی که

(زیرا
).

دیفرانسیل یک تابع مختلط برابر است با حاصل ضرب مشتق این تابع نسبت به آرگومان میانی و دیفرانسیل این آرگومان میانی.

کاربردهای مشتق.

قضایای مقدار میانگین

قضیه رول. اگر تابع
پیوسته در بخش
و در بازه باز قابل تمایز است
و اگر در انتهای قطعه مقادیر مساوی بگیرد
، سپس در بازه زمانی
حداقل یک چنین نکته ای وجود دارد با، که در آن مشتق ناپدید می شود، i.e.
, آ< ج< ب.

از نظر هندسی، قضیه رول به این معنی است که در نمودار تابع
نقطه ای وجود دارد که مماس نمودار با محور موازی است اوه.

قضیه لاگرانژ. اگر تابع
پیوسته در بخش
و در بازه قابل تمایز است
، پس حداقل یک نکته وجود دارد
به طوری که برابری برقرار است.

فرمول را فرمول لاگرانژ یا فرمول افزایشی محدود می نامند: افزایش یک تابع قابل تمایز در بازه
برابر است با افزایش آرگومان ضرب در مقدار مشتق در برخی از نقاط داخلی این بخش.

معنای هندسی قضیه لاگرانژ: بر روی نمودار تابع
یک نکته وجود دارد C(s;f(ج)) ، که در آن مماس بر نمودار تابع موازی با سکنت است AB.

قضیه کوشی. اگر توابع
و
پیوسته در بخش
، در بازه قابل تمایز هستند
، و
برای
، پس حداقل یک نکته وجود دارد
به گونه ای که برابری
.

قضیه کوشی به عنوان مبنایی برای یک قانون جدید برای محاسبه حدود عمل می کند.

قانون L'Hopital.

قضیه:(قانون L'Hopital افشای عدم قطعیت های فرم ). اجازه دهید توابع
و
پیوسته و قابل تمایز در همسایگی یک نقطه هستند ایکس 0 و در این مرحله ناپدید می شوند
. رهایش کن
در مجاورت نقطه ایکس 0 . اگر محدودیتی وجود دارد
، سپس
.

اثبات: قابل اجرا برای توابع
و
قضیه کوشی برای بخش

خوابیده در همسایگی یک نقطه ایکس 0 . سپس
، جایی که ایکس 0 < ج< ایکس. زیرا
ما گرفتیم
. اجازه دهید از حد در عبور کنیم

. زیرا
، سپس
، از همین رو
.

پس حد نسبت دو b.m. برابر است با حد نسبت مشتقات آنها، در صورت وجود دومی
.

قضیه.(قانون L'Hopital برای افشای عدم قطعیت های فرم
) اجازه دهید توابع
و
پیوسته و قابل تمایز در همسایگی یک نقطه هستند ایکس 0 (به جز شاید نقطه ایکس 0 ) در این محله
,
. اگر محدودیتی وجود دارد

، سپس
.

عدم قطعیت فرم (
) به دو اصلی ( ),
از طریق دگرگونی های یکسان

مثال:

اجازه دهید ابتدا یک تابع ضمنی از یک متغیر را در نظر بگیریم. با معادله (1) مشخص می شود که به هر x از ناحیه X یک y مشخص اختصاص می دهد. سپس تابع y=f(x) روی X با این معادله تعریف می شود. به او زنگ می زنند ضمنییا به طور ضمنی داده شده است. اگر معادله (1) را بتوان با توجه به y حل کرد، یعنی. شکل y \u003d f (x) را دریافت کنید، سپس وظیفه تابع ضمنی تبدیل می شود صریحبا این حال، حل معادله همیشه امکان پذیر نیست و در این مورد همیشه مشخص نیست که آیا اصلاً یک تابع ضمنی y \u003d f (x) وجود دارد که با معادله (1) در برخی از همسایگی های نقطه تعریف شده است ( x 0، y 0).

مثلا معادله
نسبت به y غیر قابل حل است و مشخص نیست که برای مثال، تابع ضمنی را در برخی از همسایگی های نقطه (1,0) تعریف می کند یا خیر. توجه داشته باشید که معادلاتی هستند که هیچ تابعی را تعریف نمی کنند (x 2 +y 2 +1=0).

قضیه زیر درست است:

قضیه"وجود و تمایز پذیری یک تابع ضمنی" (بدون مدرک)

معادله را بگذارید
(1) و عملکرد
، شرایط را برآورده می کند:

سپس:

. (2)

از نظر هندسی، این قضیه بیان می کند که در همسایگی یک نقطه
، در جایی که شرایط قضیه برآورده می شود، تابع ضمنی تعریف شده توسط رابطه (1) را می توان به صراحت y=f(x) مشخص کرد، زیرا هر مقدار x یک y منحصر به فرد دارد. حتی اگر نتوانیم یک عبارت صریح برای تابع پیدا کنیم، مطمئن هستیم که در برخی از همسایگی های نقطه M 0 این در اصل امکان پذیر است.

همین مثال را در نظر بگیرید:
. بیایید شرایط را بررسی کنیم:

1)
,
- و تابع و مشتقات آن در مجاورت نقطه (1,0) پیوسته هستند (به صورت مجموع و حاصل ضرب ممتدها).

2)
.

3)
. بنابراین، تابع ضمنی y=f(x) در همسایگی نقطه (1,0) وجود دارد. ما نمی‌توانیم آن را به صراحت بنویسیم، اما همچنان می‌توانیم مشتق آن را پیدا کنیم، که حتی پیوسته خواهد بود:

اکنون در نظر بگیرید تابع ضمنی چندین متغیر. معادله را بگذارید

. (2)

اگر هر جفت مقادیر (x, y) از یک منطقه خاص، معادله (2) یک مقدار خاص از z را مرتبط می کند، آنگاه می گویند که این معادله به طور ضمنی یک تابع تک مقداری از دو متغیر را تعیین می کند.
.

قضیه وجود و تمایز متناظر برای تابع ضمنی چندین متغیر نیز معتبر است.

قضیه 2: اجازه دهید معادله داده شود
(2) و عملکرد
شرایط را برآورده می کند:

مثال:
. این معادله z را به عنوان یک تابع ضمنی دو مقدار x و y تعریف می کند
. اگر شرایط قضیه را در همسایگی یک نقطه بررسی کنیم، مثلاً (0،0،1)، تحقق همه شرایط را مشاهده می کنیم:

این بدان معنی است که یک تابع تک مقداری ضمنی در همسایگی نقطه (0،0،1) وجود دارد: بلافاصله می‌توان گفت که این
، نیمکره فوقانی را تعریف می کند.

مشتقات جزئی پیوسته وجود دارد
به هر حال، اگر مستقیماً یک تابع ضمنی را که به صراحت بیان شده است متمایز کنیم، آنها یکسان هستند.

تعریف و قضیه وجود و تمایز تابع ضمنی بیشتراستدلال ها مشابه هستند

اغلب، هنگام حل مسائل عملی (به عنوان مثال، در ژئودزی عالی یا فتوگرامتری تحلیلی)، توابع پیچیده چندین متغیر ظاهر می شوند، به عنوان مثال، آرگومان ها x، y، z یک تابع f(x,y,z) ) خود تابعی از متغیرهای جدید هستند U، V، W ).

بنابراین، برای مثال، هنگام حرکت از یک سیستم مختصات ثابت اتفاق می افتد Oxyz به سیستم موبایل O 0 UVW و برگشت. در این مورد، دانستن تمام مشتقات جزئی با توجه به متغیرهای "ثابت" - "قدیمی" و "متحرک" - "جدید" مهم است، زیرا این مشتقات جزئی معمولاً موقعیت یک شی را در این سیستم های مختصات مشخص می کنند. و به ویژه بر مطابقت عکس های هوایی با یک شی واقعی تأثیر می گذارد. در چنین مواردی، فرمول های زیر اعمال می شود:

یعنی یک تابع پیچیده داده می شود تی سه متغیر "جدید". U، V، W از طریق سه متغیر "قدیمی". x، y، z سپس:

اظهار نظر. تغییرات در تعداد متغیرها امکان پذیر است. به عنوان مثال: اگر

به ویژه، اگر z = f (xy)، y = y (x) ، سپس فرمول به اصطلاح "مشتق کل" را دریافت می کنیم:

همان فرمول برای "مشتق کل" در مورد:

شکل خواهد گرفت:

سایر تغییرات فرمول (1.27) - (1.32) نیز امکان پذیر است.

توجه: هنگام استخراج سیستم اساسی معادلات حرکت سیال از فرمول "مشتق کل" در درس فیزیک، بخش "هیدرودینامیک" استفاده می شود.

مثال 1.10. داده شده:

طبق (1.31):

§7 مشتقات جزئی یک تابع به طور ضمنی از چندین متغیر

همانطور که می دانید، یک تابع به طور ضمنی تعریف شده از یک متغیر به صورت زیر تعریف می شود: تابع متغیر مستقل ایکس اگر با معادله ای که با توجه به آن حل نشده است، داده شود ضمنی نامیده می شود y :

مثال 1.11.

معادله

به طور ضمنی دو عملکرد را تعریف می کند:

و معادله

هیچ تابعی را تعریف نمی کند.

قضیه 1.2 (وجود تابع ضمنی).

اجازه دهید تابع z \u003d f (x، y) و مشتقات جزئی آن f" ایکس و f" y تعریف شده و مستمر در برخی محله ها U M0 نکته ها م 0 (ایکس 0 y 0 ) . بعلاوه، f(x 0 ، y 0 )=0 و f" (x 0 ، y 0 )≠0 ، سپس معادله (1.33) در همسایگی تعیین می شود U M0 عملکرد ضمنی y= y(x) ، پیوسته و قابل تمایز در برخی بازه ها D متمرکز بر یک نقطه ایکس 0 ، و y(x 0 )=y 0 .

بدون مدرک

از قضیه 1.2 نتیجه می شود که در این بازه D :

یعنی یک هویت در وجود دارد

که در آن مشتق "کل" مطابق (1.31) یافت می شود.

یعنی (1.35) فرمولی برای یافتن مشتق به طور ضمنی می دهد عملکرد داده شدهیک متغیر ایکس .

یک تابع ضمنی از دو یا چند متغیر به طور مشابه تعریف شده است.

به عنوان مثال، اگر در برخی از مناطق V فضا Oxyz معادله برآورده می شود:

سپس تحت شرایط خاصی بر روی تابع اف به طور ضمنی یک تابع را تعریف می کند

علاوه بر این، بر اساس قیاس با (1.35)، مشتقات جزئی آن به شرح زیر یافت می شود.

ما یاد خواهیم گرفت که مشتقاتی از توابع داده شده به طور ضمنی را پیدا کنیم، یعنی توسط برخی معادلات که متغیرها را به یکدیگر مرتبط می کنند. ایکسو y. نمونه هایی از توابع تعریف شده به طور ضمنی:

,

,

یافتن مشتقات توابع ضمنی یا مشتقات توابع ضمنی نسبتاً آسان است. حال بیایید قانون و مثال مربوطه را تجزیه و تحلیل کنیم و سپس دریابیم که اصلاً چرا این مورد نیاز است.

برای یافتن مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده است، لازم است هر دو طرف معادله را نسبت به x متمایز کنیم. آن عباراتی که فقط x در آنها وجود دارد به مشتق معمول تابع x تبدیل می‌شوند. و اصطلاحات با y باید با استفاده از قانون تمایز یک تابع مختلط متمایز شوند، زیرا y تابعی از x است. اگر کاملاً ساده است، در مشتق حاصل از عبارت با x باید معلوم شود: مشتق تابع از y، ضرب در مشتق از y. به عنوان مثال، مشتق اصطلاح به صورت , مشتق اصطلاح به صورت نوشته می شود. علاوه بر این، از همه اینها لازم است که این "y Stroke" بیان شود و مشتق مورد نظر تابعی که به طور ضمنی داده شده است به دست می آید. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

مثال 1

راه حل. هر دو طرف معادله را نسبت به x متمایز می کنیم، با این فرض که y تابعی از x است:

از اینجا مشتق مورد نیاز در کار را دریافت می کنیم:

اکنون چیزی در مورد ویژگی مبهم توابع تعریف شده ضمنی و اینکه چرا قوانین خاصی برای تمایز آنها مورد نیاز است. در برخی موارد، می توان تأیید کرد که جایگزینی در معادله داده شده(به مثال های بالا مراجعه کنید) به جای y، بیان آن از طریق x منجر به این واقعیت می شود که این معادله به یک هویت تبدیل می شود. بنابراین. معادله فوق به طور ضمنی توابع زیر را تعریف می کند:

پس از جایگزینی عبارت y با مربع x در معادله اصلی، هویت را بدست می آوریم:

.

عباراتی که جایگزین کردیم با حل معادله y به دست آمد.

اگر بخواهیم تابع صریح مربوطه را متمایز کنیم

سپس ما پاسخی را مانند مثال 1 دریافت می کنیم - از تابعی که به طور ضمنی مشخص شده است:

اما هر تابعی که به طور ضمنی داده می شود را نمی توان در فرم نشان داد y = f(ایکس) . بنابراین، برای مثال، توابع به طور ضمنی تعریف شده

بر حسب توابع ابتدایی بیان نمی شوند، یعنی این معادلات را نمی توان با توجه به بازیکن حل کرد. بنابراین، قاعده‌ای برای تمایز یک تابع به طور ضمنی وجود دارد که قبلاً آن را مطالعه کرده‌ایم و به طور مداوم در مثال‌های دیگر اعمال خواهد شد.

مثال 2مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید:

.

y اول و - در خروجی - مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را بیان می کنیم:

مثال 3مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید:

.

راه حل. دو طرف معادله را نسبت به x متمایز کنید:

.

مثال 4مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید:

.

راه حل. دو طرف معادله را نسبت به x متمایز کنید:

.

مشتق را بیان می کنیم و می گیریم:

.

مثال 5مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید:

راه حل. عبارت های سمت راست معادله را به سمت چپ منتقل می کنیم و در سمت راست صفر می گذاریم. دو طرف معادله را نسبت به x متمایز کنید.

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده است.
مشتق از یک تابع تعریف شده پارامتری

در این مقاله، دو کار معمولی دیگر را که اغلب در آنها یافت می‌شوند، در نظر خواهیم گرفت کنترل کاردر ریاضیات عالی برای تسلط بر مواد، لازم است بتوان مشتقات را حداقل در سطح متوسط ​​پیدا کرد. نحوه یافتن مشتقات را به صورت عملی از ابتدا در دو درس پایه و مشتق تابع مختلط. اگر همه چیز با مهارت های تمایز درست است، پس بیایید برویم.

مشتق تابعی که به طور ضمنی تعریف شده است

یا به طور خلاصه مشتق یک تابع ضمنی. تابع ضمنی چیست؟ بیایید ابتدا تعریف تابع یک متغیر را به یاد بیاوریم:

تابع یک متغیراین قانون است که هر مقدار از متغیر مستقل مربوط به یک و تنها یک مقدار از تابع است.

متغیر نامیده می شود متغیر مستقلیا بحث و جدل.
متغیر نامیده می شود متغیر وابستهیا عملکرد .

تا اینجا توابع تعریف شده را در نظر گرفته ایم صریحفرم. چه مفهومی داره؟ بیایید در مورد نمونه‌های خاص یک جلسه توضیحی ترتیب دهیم.

تابع را در نظر بگیرید

می بینیم که در سمت چپ یک "y" تنها داریم و در سمت راست - فقط x ها. یعنی تابع به صراحتبر حسب متغیر مستقل بیان می شود.

بیایید یک تابع دیگر را در نظر بگیریم:

در اینجا متغیرها و "مخلوط" قرار می گیرند. و به هیچ وجه غیر ممکن"Y" را فقط از طریق "X" بیان کنید. این روش ها چیست؟ انتقال عبارات از جزء به جزء با تغییر علامت، پرانتز، عوامل پرتاب بر اساس قاعده تناسب و ... تساوی را بازنویسی کنید و سعی کنید به صراحت "y" را بیان کنید:. می توانید معادله را ساعت ها بچرخانید و بچرخانید، اما موفق نخواهید شد.

اجازه بدهید معرفی کنم: - یک مثال عملکرد ضمنی.

در جریان تحلیل ریاضی ثابت شد که تابع ضمنی وجود دارد(اما نه همیشه)، یک نمودار دارد (درست مانند یک تابع "عادی"). برای یک تابع ضمنی هم همینطور است. وجود داردمشتق اول، مشتق دوم و غیره همانطور که می گویند، تمام حقوق اقلیت های جنسی رعایت می شود.

و در این درس یاد خواهیم گرفت که چگونه مشتق تابعی را که به طور ضمنی داده شده است پیدا کنیم. آنقدرها هم سخت نیست! تمام قوانین تمایز، جدول مشتقات توابع ابتدایی به قوت خود باقی می مانند. تفاوت در یک نکته عجیب است که ما همین الان به آن خواهیم پرداخت.

بله، و من خبر خوب را به شما خواهم گفت - وظایف مورد بحث در زیر طبق یک الگوریتم نسبتاً سفت و سخت و واضح بدون سنگ در مقابل سه مسیر انجام می شود.

مثال 1

1) در مرحله اول، سکته ها را روی هر دو قسمت آویزان می کنیم:

2) از قواعد خطی بودن مشتق (دو قانون اول درس) استفاده می کنیم چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ نمونه های راه حل):

3) تمایز مستقیم.
نحوه تمایز و کاملا قابل درک. در جایی که "بازی" در زیر سکته مغزی وجود دارد چه باید کرد؟

- فقط برای رسوایی مشتق یک تابع با مشتق آن برابر است: .

چگونه متمایز کنیم
اینجا داریم تابع پیچیده. چرا؟ به نظر می رسد که زیر سینوس فقط یک حرف "Y" وجود دارد. اما واقعیت این است که فقط یک حرف "y" - یک تابع به خودی خود است(به تعریف ابتدای درس مراجعه کنید). بنابراین، سینوس یک تابع خارجی است، یک تابع داخلی است. ما از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده می کنیم :

محصول طبق قانون معمول قابل تمایز است :

توجه داشته باشید که همچنین یک تابع پیچیده است، هر "اسباب بازی پیچشی" یک عملکرد پیچیده است:

طراحی خود راه حل باید چیزی شبیه به این باشد:


اگر براکت وجود دارد، آنها را باز کنید:

4) در سمت چپ، عباراتی را جمع آوری می کنیم که در آنها یک "y" با سکته مغزی وجود دارد. AT سمت راست- ما هر چیز دیگری را منتقل می کنیم:

5) در سمت چپ، مشتق را از پرانتز خارج می کنیم:

6) و طبق قاعده تناسب، این براکت ها را در مخرج سمت راست می اندازیم:

مشتق آن پیدا شده است. آماده.

جالب است بدانید که هر تابعی را می توان به طور ضمنی بازنویسی کرد. به عنوان مثال، تابع می توان اینگونه بازنویسی کرد: . و با توجه به الگوریتمی که در نظر گرفته شده است آن را متمایز کنید. در واقع، عبارات "عملکرد ضمنی" و "عملکرد ضمنی" در یک تفاوت معنایی متفاوت هستند. عبارت "عملکرد ضمنی تعریف شده" کلی تر و صحیح تر است. - این تابع به طور ضمنی داده شده است، اما در اینجا می توانید "y" را بیان کنید و تابع را به طور صریح ارائه دهید. عبارت "عملکرد ضمنی" به معنای یک تابع ضمنی "کلاسیک" است، زمانی که "y" قابل بیان نیست.

راه دوم برای حل

توجه!فقط در صورتی می توانید با روش دوم آشنا شوید که بدانید چگونه با اطمینان پیدا کنید مشتقات جزئی. مبتدیان برای مطالعه تجزیه و تحلیل ریاضیو قوری لطفا این پاراگراف را نخوانید و از آن بگذرید، در غیر این صورت سر کاملاً به هم می خورد.

به روش دوم مشتق تابع ضمنی را بیابید.

همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

و تابعی از دو متغیر را در نظر بگیرید:

سپس مشتق ما را می توان با فرمول پیدا کرد
بیایید مشتقات جزئی را پیدا کنیم:

به این ترتیب:

راه حل دوم به شما امکان می دهد یک بررسی انجام دهید. اما تهیه نسخه نهایی کار برای آنها نامطلوب است ، زیرا مشتقات جزئی بعداً تسلط پیدا می کنند و دانش آموزی که مبحث "مشتق تابع یک متغیر" را مطالعه می کند نباید مشتقات جزئی را بداند.

بیایید به چند نمونه دیگر نگاه کنیم.

مثال 2

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

ما سکته مغزی را در هر دو قسمت آویزان می کنیم:

ما از قوانین خطی استفاده می کنیم:

یافتن مشتقات:

گسترش تمام پرانتزها:

همه اصطلاحات را به سمت چپ منتقل می کنیم، بقیه را به سمت راست منتقل می کنیم:

جواب نهایی:

مثال 3

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

راه حل کاملو نمونه طراحی در پایان درس.

ظاهر شدن کسرها پس از تمایز غیر معمول نیست. در چنین مواردی، کسری ها باید دور ریخته شوند. بیایید به دو مثال دیگر نگاه کنیم.

مثال 4

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

ما هر دو بخش را تحت strokes نتیجه می گیریم و از قانون خطی استفاده می کنیم:

ما با استفاده از قاعده تمایز یک تابع پیچیده، متمایز می کنیم و قاعده تمایز ضریب :

گسترش براکت ها:

اکنون باید از شر کسری خلاص شویم. این را می توان بعدا انجام داد، اما منطقی تر است که آن را بلافاصله انجام دهید. مخرج کسری است. تکثیر کردن بر روی . در جزئیات، به شکل زیر خواهد بود:

گاهی اوقات پس از تمایز، 2-3 کسر ظاهر می شود. به عنوان مثال، اگر یک کسر بیشتر داشتیم، عملیات باید تکرار می شد - ضرب هر ترم هر قسمتبر روی

در سمت چپ، آن را خارج از پرانتز قرار می دهیم:

جواب نهایی:

مثال 5

مشتق تابعی که به طور ضمنی داده شده را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. تنها چیزی که در آن وجود دارد، قبل از خلاص شدن از شر کسری، ابتدا باید از ساختار سه طبقه خود کسر خلاص شوید. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

مشتق از یک تابع تعریف شده پارامتری

فشار نیاورید، در این پاراگراف نیز همه چیز بسیار ساده است. شما می توانید فرمول کلی یک تابع داده شده به صورت پارامتری را بنویسید، اما برای روشن شدن آن، من بلافاصله یک مثال خاص را می نویسم. در فرم پارامتری، تابع با دو معادله به دست می آید: . غالباً معادلات نه در زیر پرانتزهای فرفری، بلکه به صورت متوالی نوشته می شوند:,.

متغیر را پارامتر می نامندو می تواند مقادیری از "منهای بی نهایت" تا "بعلاوه بی نهایت" بگیرد. به عنوان مثال، مقدار را در نظر بگیرید و آن را در هر دو معادله جایگزین کنید: . یا از نظر انسانی: "اگر x برابر با چهار باشد، پس y برابر با یک است." در هواپیمای مختصاتمی توانید یک نقطه را علامت گذاری کنید و این نقطه با مقدار پارامتر مطابقت دارد. به طور مشابه، شما می توانید یک نقطه برای هر مقدار از پارامتر "te" پیدا کنید. در مورد تابع "معمولی"، برای سرخپوستان آمریکایی یک تابع پارامتریک داده شده، همه حقوق نیز رعایت می شود: می توانید یک نمودار را رسم کنید، مشتقات را پیدا کنید، و غیره. به هر حال، اگر نیاز به ساخت یک نمودار از یک تابع داده شده به صورت پارامتری وجود دارد، می توانید از برنامه من استفاده کنید.

در ساده ترین موارد، می توان تابع را به طور صریح نشان داد. پارامتر را از معادله اول بیان می کنیم: و آن را با معادله دوم جایگزین کنید: . نتیجه یک تابع مکعب معمولی است.

در موارد "شدید" تر، چنین ترفندی کار نمی کند. اما این مهم نیست، زیرا یک فرمول برای یافتن مشتق یک تابع پارامتری وجود دارد:

ما مشتق "بازیکن با توجه به متغیر te" را پیدا می کنیم:

تمام قواعد تمایز و جدول مشتقات، البته برای حرف معتبر است، بنابراین، هیچ چیز جدیدی در روند یافتن مشتقات وجود ندارد. فقط به صورت ذهنی تمام "x" های جدول را با حرف "te" جایگزین کنید.

مشتق "x با توجه به متغیر te" را پیدا می کنیم:

اکنون تنها باقی مانده است که مشتقات یافت شده را در فرمول خود جایگزین کنیم:

آماده. مشتق، مانند خود تابع، به پارامتر نیز بستگی دارد.

در مورد علامت گذاری، به جای نوشتن در فرمول، می توان به سادگی آن را بدون زیرنویس نوشت، زیرا این مشتق "معمولی" "با x" است. اما همیشه یک نوع در ادبیات وجود دارد، بنابراین من از استاندارد منحرف نخواهم شد.

مثال 6

ما از فرمول استفاده می کنیم

در این مورد:

به این ترتیب:

یکی از ویژگی های یافتن مشتق تابع پارامتری این واقعیت است که در هر مرحله، ساده کردن نتیجه تا حد امکان مفید است. بنابراین، در مثال در نظر گرفته شده، هنگام یافتن، براکت های زیر ریشه را باز کردم (اگرچه ممکن است این کار را نکرده باشم). شانس زیادی وجود دارد که هنگام تعویض و وارد فرمول، بسیاری از چیزها به خوبی کاهش یابد. اگرچه البته نمونه هایی با پاسخ های ناشیانه وجود دارد.

مثال 7

مشتق تابعی که به صورت پارامتری داده شده را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است.

در مقاله ساده ترین مسائل معمولی با یک مشتقما نمونه هایی را در نظر گرفتیم که در آنها لازم بود مشتق دوم یک تابع را پیدا کنیم. برای یک تابع داده شده به صورت پارامتری، می توانید مشتق دوم را نیز پیدا کنید و با فرمول زیر پیدا می شود: . کاملاً بدیهی است که برای یافتن مشتق دوم ابتدا باید مشتق اول را پیدا کرد.

مثال 8

مشتق اول و دوم تابعی که به صورت پارامتری داده شده را پیدا کنید

بیایید اول مشتق را پیدا کنیم.
ما از فرمول استفاده می کنیم

در این مورد:

مشتقات یافت شده را در فرمول جایگزین می کنیم. برای سادگی، از فرمول مثلثاتی استفاده می کنیم: