تجزیه تابع انتقال پیچیده عملکرد انتقال

می توان با خارج کردن X(s) و Y(s) از براکت و تقسیم بر یکدیگر تبدیل کرد:

عبارت حاصل انتقال نامیده می شود

(2.4)

تابع انتقال نسبت تصویر عملکرد خروجی Y(s) به تصویر X ورودی در شرایط اولیه صفر است.

تابع انتقال یک تابع کسری - گویا از یک متغیر مختلط است:

تابع انتقال دارای نظمی است که با ترتیب چند جمله ای مخرج (n) تعیین می شود.

از (2.4) نتیجه می شود که تصویر سیگنال خروجی را می توان به صورت پیدا کرد

Y(s) = W(s)*X(s).

از آنجایی که تابع انتقال سیستم به طور کامل ویژگی های دینامیکی آن را تعیین می کند، وظیفه اولیه محاسبه ASR به تعیین آن کاهش می یابد. تابع انتقال.

نمونه هایی از پیوندهای معمولی

پیوند سیستم عنصر آن است که دارای ویژگی های خاصی به معنای پویا است. پیوندهای سیستم های کنترل می توانند ماهیت فیزیکی متفاوتی داشته باشند (لینک های الکتریکی، پنوماتیکی، مکانیکی و غیره) اما می توان آنها را با همان کنترل توصیف کرد و نسبت سیگنال های ورودی و خروجی در لینک ها را می توان با همان ها توصیف کرد. توابع انتقال در TAU، گروهی از ساده ترین پیوندها متمایز می شوند که معمولاً به آنها معمولی می گویند. خصوصیات استاتیکی و دینامیکی پیوندهای استاندارد کاملاً مورد مطالعه قرار گرفته است. پیوندهای معمولی به طور گسترده در تعیین ویژگی های دینامیکی اشیاء کنترلی استفاده می شوند. به عنوان مثال، با دانستن پاسخ گذرا ساخته شده با استفاده از یک ضبط کننده، اغلب می توان تعیین کرد که شی کنترل به چه نوع پیوندهایی تعلق دارد، و در نتیجه، تابع انتقال آن، معادله دیفرانسیلو غیره، یعنی مدل شی لینک های معمولی هر پیوند پیچیده را می توان به عنوان ترکیبی از ساده ترین پیوندها نشان داد.

ساده ترین پیوندهای معمولی عبارتند از:

تقویت کننده،

اینرسی (ناپریودیک از مرتبه 1)،

یکپارچه سازی (واقعی و ایده آل)،

تمایز (واقعی و ایده آل)،

مرتبه دوم غیر پریودیک،

نوسانی،

با تاخیر

1) پیوند تقویت کننده.

پیوند سیگنال ورودی را K بار تقویت می کند. معادله پیوند y \u003d K * x، تابع انتقال W (s) \u003d K. پارامتر K نامیده می شود ضریب تقویت

سیگنال خروجی چنین پیوندی دقیقاً سیگنال ورودی را تکرار می کند که با K بار تقویت شده است (شکل 1.18). y = Kx.

با اکشن مرحله ای h(t) = K.

نمونه هایی از این لینک ها عبارتند از: انتقال مکانیکی، حسگرها، تقویت کننده های بدون اینرسی و غیره.

2) یکپارچه سازی

2.1) یکپارچه ساز ایده آل.

مقدار خروجی یک انتگرالگر ایده آل با انتگرال مقدار ورودی متناسب است:

هنگامی که یک پیوند اقدام مرحله ای x(t) = 1 به ورودی اعمال می شود، سیگنال خروجی دائما افزایش می یابد (شکل 1.19):

h(t) = Kt.

این پیوند استاتیک است، یعنی. حالت ثابتی ندارد

نمونه ای از چنین پیوندی یک ظرف پر از مایع است. پارامتر ورودی میزان جریان مایع ورودی است، پارامتر خروجی سطح است. در ابتدا ظرف خالی است و در صورت عدم جریان، سطح صفر است، اما اگر منبع مایع را روشن کنید، سطح شروع به افزایش یکنواخت می کند.

2.2) ادغام واقعی

تابع انتقال این پیوند به شکل (شکل 1.20) است.

پاسخ گذرا، بر خلاف پیوند ایده آل، یک منحنی است

اگر ولتاژ تغذیه استاتور به عنوان عمل ورودی و زاویه چرخش روتور به عنوان عمل خروجی در نظر گرفته شود، یک نمونه از یک پیوند یکپارچه، یک موتور DC با تحریک مستقل است. اگر ولتاژ به موتور اعمال نشود، روتور حرکت نمی کند و زاویه چرخش آن را می توان برابر با صفر در نظر گرفت. هنگامی که ولتاژ اعمال می شود، روتور شروع به چرخش می کند و زاویه چرخش آن در ابتدا به آرامی به دلیل اینرسی، و سپس به سرعت افزایش می یابد تا به سرعت چرخش معینی برسد.

3) متمایز کردن

3.1) تمایز ایده آل.

مقدار خروجی متناسب با مشتق زمانی ورودی است:

با ورودی پلکانی، خروجی یک پالس است (تابع d): h(t) = Kδ(t).

3.2) تمایز واقعی.

پیوندهای تمایز ایده آل از نظر فیزیکی قابل تحقق نیستند. بیشتر اشیایی که پیوندهای متمایزکننده هستند به پیوندهای متمایز کننده واقعی اشاره می کنند که توابع انتقال آنها شکلی دارند.

پاسخ گذرا (شکل 1.21):

مثال پیوند: ژنراتور برق. پارامتر ورودی زاویه چرخش روتور است، پارامتر خروجی ولتاژ است. اگر روتور با زاویه خاصی بچرخد، ولتاژ روی ترمینال ها ظاهر می شود، اما اگر روتور بیشتر نچرخد، ولتاژ به صفر می رسد. به دلیل وجود اندوکتانس در سیم پیچ نمی تواند به شدت سقوط کند.

4) غیر پریودیک (اینرسی).

تصویر مرحله مرحله: X(s) = Xo / s سپس تصویر مقدار خروجی:

بیایید کسر را به کسرهای ساده تجزیه کنیم:

اصل کسر اول مطابق جدول:

ثابت T نامیده می شود ثابت زمانی. اکثر اجسام حرارتی پیوندهای غیر پریودیک هستند. به عنوان مثال، هنگامی که ولتاژ به ورودی یک کوره الکتریکی اعمال می شود، دمای آن مطابق قانون مشابه تغییر می کند (شکل 1.22).

5) پیوندهای مرتبه دوم (شکل 1.23)

پیوندها دارای DU و PF از فرم هستند.

هنگامی که یک عمل پلکانی با دامنه X0 به ورودی اعمال می شود، منحنی گذار یکی از دو نوع خواهد داشت: غیر پریودیک (در T1 ≥ 2T2) یا نوسانی (در T1).< 2Т2).

در این راستا، پیوندهای مرتبه دوم متمایز می شوند:

مرتبه دوم غیر پریودیک (T1 ≥ 2T2)،

اینرسی (T1< 2Т2),

محافظه کار (T1 = 0).

6) با تاخیر.

اگر هنگامی که سیگنال خاصی به ورودی یک شیء اعمال می شود، بلافاصله به این سیگنال پاسخ نمی دهد، اما پس از مدتی، آن شی دارای تاخیر است.

تاخیرفاصله زمانی از لحظه تغییر سیگنال ورودی تا شروع تغییر سیگنال خروجی است.

پیوند عقب ماندهپیوندی است که مقدار خروجی آن y دقیقاً مقدار ورودی x را با مقداری تاخیر t تکرار می کند.

هدف نهایی تجزیه و تحلیل ACS حل (در صورت امکان) یا مطالعه معادله دیفرانسیل سیستم به عنوان یک کل است. معمولاً معادلات پیوندهای منفرد که بخشی از ACS هستند شناخته شده است و یک مشکل میانی برای به دست آوردن معادله دیفرانسیل سیستم از DE شناخته شده پیوندهای آن ایجاد می شود. با شکل کلاسیک نمایش DE، این مشکل با مشکلات قابل توجهی همراه است. استفاده از مفهوم تابع انتقال تا حد زیادی آن را ساده می کند.

اجازه دهید برخی از سیستم ها توسط یک DE شکل توصیف شود.

با معرفی نماد = p، که در آن p عملگر یا نماد تمایز نامیده می شود و اکنون این نماد را به عنوان یک نماد معمولی در نظر می گیریم. عدد جبریپس از خارج کردن x و خارج کردن x داخل براکت، معادله دیفرانسیل این سیستم را به صورت عملگر بدست آورید:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x out = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3.38)

چند جمله ای در p، ایستاده در مقدار خروجی،

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

عملگر ویژه نامیده می شود و چند جمله ای در مقدار ورودی عملگر عمل نامیده می شود

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

تابع انتقال نسبت عملگر عمل به عملگر خودش است:

W(p) = K(p)/D(p) = x خارج / x در. (3.41)

در ادامه، تقریباً در همه جا از فرم عملگر نوشتن معادلات دیفرانسیل استفاده خواهیم کرد.

انواع اتصالات پیوند و جبر توابع انتقال.

به دست آوردن تابع انتقال ACS مستلزم آگاهی از قوانین برای یافتن عملکردهای انتقال گروهی از پیوندها است که در آنها پیوندها به روش خاصی به هم مرتبط هستند. سه نوع اتصال وجود دارد.

1. ترتیبی که در آن خروجی لینک قبلی ورودی لینک بعدی است (شکل 3.12):

x بیرون

برنج. 3.14. پیش رو - اتصال موازی.

بسته به اینکه سیگنال بازخورد x به سیگنال ورودی x اضافه شود یا از آن کم شود، بازخوردهای مثبت و منفی متمایز می شوند.

هنوز بر اساس ویژگی تابع انتقال، می توانیم بنویسیم

W 1 (p) \u003d x خارج / (x در ± x)؛ W 2 (p) \u003d x / x خارج؛ W c \u003d x خارج / x داخل. (3.44)

با حذف مختصات داخلی x از دو معادله اول، تابع انتقال را برای چنین اتصالی بدست می آوریم:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

توجه داشته باشید که در عبارت آخر علامت مثبت مربوط به منفیبازخورد.

در صورتی که هر پیوند دارای چندین ورودی باشد (مثلاً یک شی تنظیم)، چندین تابع انتقال این پیوند مربوط به هر یک از ورودی ها در نظر گرفته می شود، به عنوان مثال، اگر معادله پیوند دارای شکل باشد.

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)

که در آن K x (p) و K z (p) به ترتیب عملگرهای عمل برای ورودی‌های x و z هستند، سپس این پیوند دارای توابع انتقال برای ورودی‌های x و z است:

Wx(p) = Kx(p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D (p). (3.47)

در آینده، برای کاهش ورودی‌های عبارات توابع انتقال و عملگرهای مربوطه، آرگومان p را حذف می‌کنیم.

از بررسی مشترک عبارات (3.46) و (3.47) چنین بر می آید که

y = W x x + W z z، (3.48)

یعنی در مورد کلیمقدار خروجی هر پیوند با چندین ورودی برابر است با مجموع حاصل از مقادیر ورودی و توابع انتقال برای ورودی های مربوطه.

تابع انتقال ACS توسط اغتشاش.

شکل معمول ساختار ACS که بر روی انحراف مقدار کنترل شده کار می کند، به شرح زیر است:

W o z =K z /D شی W o x =K x /D

W p y

-ایکس

شکل 3.15. SAR بسته شد.

بیایید به این شرایط توجه کنیم که عمل تنظیمی با علامت تغییر یافته به جسم برسد. ارتباط بین خروجی شی و ورودی آن از طریق کنترلر، بازخورد اصلی نامیده می شود (برخلاف بازخوردهای اضافی احتمالی در خود کنترلر). توسط خودم حس فلسفیاقدام تنظیم کننده تنظیم کننده هدف است کاهش انحرافمقدار قابل تنظیم و بنابراین بازخورد اصلی همیشه منفی است.روی انجیر 3.15:

W o z - تابع انتقال جسم در آشفتگی.

W o x - تابع انتقال جسم بر روی تأثیر تنظیمی.

W p y - تابع انتقال کنترلر با انحراف y.

معادلات دیفرانسیل کارخانه و کنترلر به صورت زیر است:

y=W o x x + W o z z

x = - W p y y. (3.49)

با جایگزینی x از معادله دوم به معادله اول و گروه بندی، معادله CAP را بدست می آوریم:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

از این رو تابع انتقال ACS با توجه به اغتشاش

W c z \u003d y / z \u003d W o z / (1 + W o x W p y) . (3.51)

به روشی مشابه، می توانید تابع انتقال ACS را برای عمل کنترل دریافت کنید:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) ، (3.52)

که در آن W p u تابع انتقال کنترل کننده برای عمل کنترل است.

3.4 ارتعاشات اجباری و ویژگی های فرکانس ACS.

در شرایط عملیاتی واقعی، سیستم کنترل خودکار اغلب تحت تأثیر نیروهای مزاحم دوره ای قرار می گیرد که با تغییرات دوره ای در مقادیر کنترل شده و اقدامات کنترلی همراه است. به عنوان مثال، نوسانات کشتی در طول موج، نوسانات در فرکانس چرخش پروانه، و مقادیر دیگر. در برخی موارد، دامنه نوسان مقادیر خروجی سیستم می تواند به مقادیر غیرقابل قبول بزرگی برسد و این با پدیده رزونانس مطابقت دارد. عواقب رزونانس اغلب برای سیستمی که آن را تجربه می کند مضر است، به عنوان مثال، واژگونی یک کشتی، از بین بردن موتور. در سیستم های کنترل، چنین پدیده هایی زمانی امکان پذیر است که خواص عناصر به دلیل سایش، تعویض، پیکربندی مجدد و خرابی تغییر کند. سپس نیاز به تعریف محدوده های عملیاتی ایمن یا تنظیم صحیح ACS ایجاد می شود. این سوالات در اینجا به عنوان اعمال سیستم های خطی در نظر گرفته می شوند.

اجازه دهید برخی از سیستم ها ساختار زیر را داشته باشند:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

شکل 3.16. ACS در حالت نوسانات اجباری.

اگر سیستم تحت تأثیر یک عمل تناوبی x با دامنه A x و فرکانس دایره‌ای w باشد، پس از پایان فرآیند گذرا، نوسانات با همان فرکانس با دامنه A y و با زاویه فاز j نسبت به نوسانات ورودی جابجا می‌شوند. در خروجی ایجاد شود. پارامترهای نوسانات خروجی (دامنه و تغییر فاز) به فرکانس نیروی محرکه بستگی دارد. وظیفه تعیین پارامترهای نوسانات خروجی از پارامترهای شناخته شده نوسانات در ورودی است.

مطابق با تابع انتقال ACS نشان داده شده در شکل 3.14، معادله دیفرانسیل آن شکل دارد.

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

اجازه دهید عبارات x و y را در شکل (3.53) جایگزین کنیم. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

اگر الگوی نوسان را با یک چهارم دوره جابجا شده در نظر بگیریم، در رابطه (54/3) توابع سینوسی با توابع کسینوس جایگزین می‌شوند:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

معادله (3.54) را در i = ضرب کنید و نتیجه را با (3.55) جمع کنید:

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m + b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

استفاده از فرمول اویلر

exp(±ibt)=cosbt±isinbt،

معادله (3.56) را به فرم می آوریم

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

بیایید عملیات تمایز زمانی ارائه شده توسط عملگر p=d/dt را انجام دهیم:

A y exp=

Axexp (iwt). (3.58)

پس از تبدیل های ساده مربوط به کاهش توسط exp(iwt)، به دست می آوریم

قسمت راستعبارت (3.59) شبیه به عبارت تابع انتقال CAP است و با جایگزینی p=iw می توان از آن به دست آورد. بر اساس قیاس، تابع انتقال پیچیده W(iw)، یا مشخصه دامنه فاز (AFC) نامیده می شود. اغلب از عبارت پاسخ فرکانسی نیز استفاده می شود. واضح است که این کسری تابعی از آرگومان مختلط است و به این شکل نیز قابل نمایش است:

W(iw) = M(w) + iN(w)، (3.60)

که در آن M(w) و N(w) به ترتیب پاسخ های فرکانسی واقعی و خیالی هستند.

نسبت A y / A x ماژول AFC است و تابعی از فرکانس است:

A y / A x \u003d R (w)

و مشخصه دامنه فرکانس (AFC) نامیده می شود. فاز

shift j =j (w) نیز تابعی از فرکانس است و به آن پاسخ فرکانس فاز (PFC) می گویند. با محاسبه R(w) و j(w) برای محدوده فرکانس (0…¥)، می توان نمودار AFC را بر روی صفحه مختلط در مختصات M(w) و iN(w) رسم کرد (شکل 3.17).

R(ω)

ωcp

ω res

شکل 3.18. ویژگی های دامنه فرکانس

پاسخ فرکانسی سیستم 1 یک پیک رزونانس مربوط به بزرگترین دامنه نوسانات اجباری را نشان می دهد. کار در منطقه نزدیک فرکانس تشدید می تواند فاجعه آمیز باشد و اغلب به طور کلی توسط قوانین عملکرد یک موضوع تنظیم خاص غیرقابل قبول است. پاسخ فرکانسی نوع 2 پیک رزونانسی ندارد و برای سیستم های مکانیکی ارجحیت دارد. همچنین مشاهده می شود که با افزایش فرکانس، دامنه نوسانات خروجی کاهش می یابد. از نظر فیزیکی، این به راحتی توضیح داده می شود: هر سیستمی، به دلیل ویژگی های اینرسی ذاتی، آسان تر در نوسان است. فرکانس های پاییناز بالا با شروع از یک فرکانس مشخص، نوسانات در خروجی ناچیز می شود و این فرکانس را فرکانس قطع و محدوده فرکانس زیر فرکانس قطع را پهنای باند می نامند. در تئوری کنترل خودکار، فرکانس قطعی در نظر گرفته می شود که در آن مقدار پاسخ فرکانسی 10 برابر کمتر از فرکانس صفر باشد. خاصیت سیستم در تعدیل نوسانات فرکانس بالا را خاصیت فیلتر پایین گذر می نامند.

روش محاسبه پاسخ فرکانس را با استفاده از مثال یک پیوند مرتبه دوم، که معادله دیفرانسیل آن است، در نظر بگیرید.

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

در مسائل نوسانات اجباری، اغلب از شکل گویاتری معادله استفاده می شود

(p 2 + 2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

جایی که فرکانس طبیعی نوسانات در غیاب میرایی نامیده می شود، x =T 1 w 0/2 ضریب میرایی است.

سپس تابع انتقال به صورت زیر است:

با جایگزینی p = iw مشخصه دامنه فاز را بدست می آوریم

با استفاده از قانون تقسیم اعداد مختلط، یک عبارت برای پاسخ فرکانسی به دست می آوریم:

اجازه دهید فرکانس رزونانسی را تعیین کنیم که در آن پاسخ فرکانسی حداکثر دارد. این با حداقل مخرج بیان مطابقت دارد (3.66). با صفر کردن مشتق مخرج نسبت به فرکانس w، داریم:

2 (w 0 2 - w 2) (-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

از آنجا مقدار فرکانس تشدید را بدست می آوریم که برابر با صفر نیست:

w cut \u003d w 0 Ö 1 - 2x 2. (3.68)

اجازه دهید این عبارت را تجزیه و تحلیل کنیم، که برای آن موارد فردی را در نظر می گیریم که مطابق با آن است معانی مختلفضریب تضعیف

1. x = 0. فرکانس تشدید برابر با خود است و مدول پاسخ فرکانسی تا بی نهایت می رود. این یک مورد به اصطلاح رزونانس ریاضی است.

2. . از آنجایی که فرکانس به صورت یک عدد مثبت بیان می شود و از (68) برای این مورد یا صفر یا یک عدد خیالی به دست می آید، نتیجه می شود که برای چنین مقادیری از ضریب میرایی، پاسخ فرکانس پیک رزونانسی ندارد. منحنی 2 در شکل 3.18).

3. . پاسخ فرکانسی دارای پیک رزونانسی است و با کاهش ضریب تضعیف، فرکانس تشدید به خود نزدیک می شود و پیک تشدید بالاتر و تیزتر می شود.

1. توابع انتقال و ویژگی های فرکانس. دستگاه های آنالوگ تجهیزات ارتباطی

1. توابع انتقال و ویژگی های فرکانس

مدار الکتریکی با هر پیچیدگی که دارای دو جفت گیره برای اتصال به منبع و گیرنده انرژی الکتریکی باشد در فناوری ارتباطات نامیده می شود. چهارقطبی. پایانه هایی که منبع به آنها وصل است نامیده می شوند ورودیو گیره هایی که گیرنده به آنها متصل است (بار) - پایانه های خروجی (قطب ها).

AT نمای کلیچهارقطبی همانطور که در شکل نشان داده شده است نشان داده شده است. 1.1. یک منبع انرژی الکتریکی با مقدار ولتاژ موثر پیچیده و مقاومت داخلی به ورودی چهار قطبی 1-1 متصل می شود. یک بار با مقاومت به پایانه های خروجی 2-2 متصل می شود. ولتاژی با مقدار مؤثر پیچیده به پایانه های ورودی و ولتاژی با مقدار مؤثر پیچیده به پایانه های خروجی اعمال می شود. جریانی با مقدار مؤثر پیچیده از طریق پایانه های ورودی و جریانی با مقدار مؤثر پیچیده از طریق پایانه های خروجی می گذرد. توجه داشته باشید که سایر چهار قطبی ها می توانند به عنوان منبع و گیرنده انرژی الکتریکی عمل کنند.

روی انجیر 1.1 نماد نمادین برای ولتاژ و جریان استفاده می شود. این بدان معنی است که تجزیه و تحلیل مدار الکتریکی برای یک نوسان هارمونیک فرکانس مشخص انجام می شود. برای یک نوسان هارمونیک معین، می توان تعیین کرد تابع انتقال یک چهار قطبی بارگذاری شده، که نسبت مقدار مؤثر مختلط کمیت الکتریکی خروجی به مقدار مؤثر مختلط کمیت الکتریکی ورودی خواهد بود.

اگر ولتاژ ژنراتور را با مقدار مؤثر مختلط به عنوان یک عمل ورودی در نظر بگیریم و پاسخ چهار قطبی به این عمل ولتاژی با مقدار مؤثر مختلط یا جریانی با مقدار مؤثر مختلط باشد، به دست می‌آید. توابع انتقال پیچیده عمومی:

, (1.1)

. (1.2)

در موارد خاص، هنگامی که تأثیرات داده شده ولتاژ در پایانه های ورودی چهار قطبی یا جریان عبوری از این پایانه ها باشد، چهار نوع تابع انتقال زیر به دست می آید:

- ضریب انتقال ولتاژ پیچیده (برای شبکه های چهار ترمینال فعال، به عنوان مثال، تقویت کننده ها، به آن بهره ولتاژ می گویند).

- ضریب انتقال جریان پیچیده (برای مدارهای فعال - افزایش جریان)؛

- مقاومت انتقال پیچیده؛

رسانایی انتقال پیچیده است.

اغلب در تئوری مدار استفاده می شود عملکرد انتقال نرمال یا در حال کارچهارقطبی:

, (1.3)

که با نرمال کردن (1.1) توسط ضریب به دست می آید.

مانند هر کمیت پیچیده اچ را می توان به صورت نمایی نشان داد:

, (1.4)

مدول تابع انتقال مختلط کجاست و j آرگومان آن است.

تابع انتقال ولتاژ پیچیده را در نظر بگیرید

جایگزینی به (1.5) نماد مقادیر موثر پیچیده

مقایسه این عبارت با (1.4) نشان می دهد که

به عنوان مثال، ماژول تابع انتقال ولتاژ مختلط (یا بهره ولتاژ مختلط) نشان می دهد که مقدار مؤثر (دامنه) نوسان ولتاژ هارمونیک در خروجی مدار در مقایسه با مقدار مشابه در ورودی مدار چند برابر تغییر می کند و آرگومان این تابع تغییر فاز بین نوسانات ولتاژ هارمونیک در ورودی و خروجی را تعیین می کند.

به طور مشابه، می توانید پیدا کنید:

هر آنچه در بالا در مورد ضریب انتقال ولتاژ گفته شد برای ضریب انتقال جریان نیز صادق است.

اگر فرکانس نوسانات هارمونیک را تغییر دهیم، عبارت (1.4) باید به صورت زیر نوشته شود:

. (1.6)

تابع فرکانس نامیده می شود پاسخ فرکانسی مدار(AFC). این نشان می دهد که مدار در هر فرکانس چه تغییراتی در دامنه نوسانات هارمونیک ایجاد می کند.

تابع فرکانس نامیده می شود پاسخ فرکانس فاز مدار(PFC). بر این اساس، این مشخصه نشان می دهد که نوسان هارمونیک هر فرکانس در هنگام انتشار در مدار چه تغییر فازی را به دست می آورد.

تابع انتقال مختلط را می توان به شکل جبری نیز نشان داد:

که در آن Re و Im قسمت های واقعی و خیالی کمیت مختلط را نشان می دهند.

از تئوری کمیت های مختلط معلوم می شود که

مثال 1.1

ضریب انتقال ولتاژ، پاسخ فرکانس و پاسخ فاز مدار که در شکل نشان داده شده است را تعیین کنید. 1.2 آ.

مطابق (1.5) می نویسیم

تابع مختلط را در خروجی مدار پیدا کنید:

با جایگزینی در فرمول، یک تابع انتقال پیچیده بدست می آوریم:

;

با تغییر فرکانس w از 0 به Ґ، می توانیم نمودارهای پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز مدار را به تصویر بکشیم (شکل 1.2، بو که در).

پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز مدار را می توان نشان داد برنامه تک، اگر وابستگی تابع انتقال مختلط را به فرکانس w در صفحه مختلط بسازیم. در این حالت، انتهای بردار مقداری منحنی را توصیف می کند که به آن می گویند هودوگرافتابع انتقال پیچیده (شکل 1.3).

کارشناسان اغلب از این مفهوم استفاده می کنند پاسخ فرکانس لگاریتمی(LAH):

مقادیر کمیت بهدر دسی بل (dB) رتبه بندی می شود. در مدارهای فعال حاوی تقویت کننده، مقدار بههمچنین به نام سود ورود به سیستم. برای مدارهای غیرفعال، به جای بهره، مفهوم معرفی شده است شل شدن زنجیر:

, (1.7)

که با دسی بل نیز اندازه گیری می شود.

مثال 1.2

مشخص است که ماژول ضریب انتقال ولتاژ مدار مقادیر زیر را می گیرد:

f= 0 کیلوهرتز اچ(f) = 1

f= 1 کیلوهرتز اچ(f) = 0,3

f= 2 کیلوهرتز اچ(f) = 0,01

f= 4 کیلوهرتز اچ(f) = 0,001

f= 8 کیلوهرتز اچ(f) = 0,0001

نمودار تضعیف مدار رسم کنید.

مقادیر تضعیف مدار، محاسبه شده مطابق با (1.7)، در جدول آورده شده است:

f، کیلوهرتز
ولی(f), دسی بل

برنامه ولی(f) در شکل نشان داده شده است. 1.4.

اگر به جای مقاومت های پیچیده خازن و اندوکتانس، به مقاومت های اپراتور خازن و اندوکتانس بپردازیم. pl، سپس عبارت باید جایگزین شود آر.

تابع انتقال عملگر زنجیره را می توان به صورت کلی به عنوان یک تابع گویا-کسری با ضرایب واقعی نوشت:

یا در فرم

جایی که - صفرها؛ قطب های تابع انتقال هستند. .

جایگزین کردن اپراتور در (1.8). آربر روی jw، دوباره تابع انتقال پیچیده مدار را بدست می آوریم

پاسخ فرکانسی مدار کجاست

با توجه به اینکه تابع غیرمنطقی چیست، معمولاً در تحلیل و سنتز مدارها با مربع پاسخ فرکانسی سروکار دارند:

که در آن ضرایب با ترکیب ضرایب در توان های یکسان متغیر w بدست می آیند.

مثال 1.3

ضریب انتقال ولتاژ و مربع پاسخ فرکانس مدار را که در شکل نشان داده شده است، بیابید. 1.5، آ.

ضریب انتقال ولتاژ این مدار برابر است با

جایی که اچ = 1, , .

ریشه های صورتگر این کسر گویا، یعنی صفرهای تابع انتقال،

ریشه های مخرج یا قطب های تابع انتقال،

روی انجیر 1.5، بترتیب صفرها و قطب های تابع برای نشان داده شده است .

طبق قضیه ویتا

مشخصه دامنه فرکانس با جایگزینی تعیین می شود آرروشن و محاسبه مدول تابع حاصل

مربع پاسخ فرکانسی در فرم نوشته خواهد شد

جایی که ; ;

پاسخ فرکانسی مدار در شکل نشان داده شده است. 1.5، که در.

ما ویژگی های اصلی توابع انتقال اپراتور و مربع پاسخ فرکانسی مدارهای غیرفعال را فهرست می کنیم:

1. تابع انتقال یک تابع کسری - گویا با ضرایب واقعی است. واقعی بودن ضرایب با این واقعیت توضیح داده می شود که آنها توسط عناصر مدار تعیین می شوند.

2. قطب های تابع انتقال در نیمه صفحه سمت چپ متغیر مختلط قرار دارند آر. هیچ محدودیتی برای مکان صفرها وجود ندارد. بیایید این ویژگی را با مثال تابع انتقال ثابت کنیم. ما اقدام ورودی یا در فرم عملگر را انتخاب می کنیم. تصویر ولتاژ خروجی در این مورد از نظر عددی برابر است، یعنی.

چند جمله ای عددی تابع انتقال کجاست. ضرایب بسط یک تابع کسری - گویا به مجموع کسرهای ساده هستند.

بیایید از تصویر به تصویر اصلی حرکت کنیم:

جایی که در حالت کلی .

در چهار قطبی فعال غیرفعال و پایدار، نوسانات خروجی چهارقطبی پس از خاتمه عمل باید دارای یک کاراکتر میرایی باشد. این بدان معنی است که در (1.13) قسمت های واقعی قطب ها باید منفی باشند، یعنی قطب ها باید در نیم صفحه سمت چپ متغیر باشند. آر.

3. درجات چندجمله ای های شمارنده های تابع انتقال و مجذور پاسخ فرکانسی از درجات چند جمله ای مخرج ها تجاوز نمی کند. nاف متر. اگر این ویژگی برآورده نمی شد، در فرکانس های بی نهایت بالا پاسخ فرکانسی بی نهایت طول می کشد. پراهمیت(از آنجایی که شمارنده با افزایش فرکانس سریعتر از مخرج رشد می کند)، یعنی مدار تقویت بی نهایت خواهد داشت که با معنای فیزیکی در تضاد است.

4. مربع پاسخ فرکانسی یک تابع منطقی یکنواخت از متغیر w با ضرایب واقعی است. این ویژگی بدیهی است که از روش بدست آوردن مربع پاسخ فرکانسی از تابع انتقال ناشی می شود.

5. مربع پاسخ فرکانسی نمی تواند مقادیر منفی و بی نهایت بزرگ برای w > 0 بگیرد. غیر منفی بودن از ویژگی های مربع مدول یک کمیت مختلط ناشی می شود. محدود بودن مقادیر AFC در فرکانس های واقعی به همان شکلی که در ویژگی 3 توضیح داده شده است.

اکثر مدارها با منابع وابسته دارند حداقلدو مسیر سیگنال: مستقیم (از ورودی به خروجی) و معکوس (از خروجی به ورودی). مسیر سیگنال معکوس با استفاده از یک مدار خاص اجرا می شود بازخورد(OS). ممکن است چندین مسیر وجود داشته باشد، و از این رو زنجیره های سیستم عامل. وجود سیستم‌عامل در زنجیره‌هایی با منابع وابسته به آنها ویژگی‌های ارزشمند جدیدی می‌دهد که زنجیره‌های بدون سیستم‌عامل فاقد آن هستند. به عنوان مثال، با کمک مدارهای سیستم عامل، می توان تثبیت دمای حالت عملکرد مدار را انجام داد، اعوجاج های غیرخطی را که در مدارهایی با عناصر غیر خطی رخ می دهد و غیره کاهش داد.

هر مدار بازخوردی را می توان به صورت متشکل از دو چهار قطبی نشان داد (شکل 1.6).

یک شبکه چهار پایانه خطی فعال با تابع انتقال ولتاژ یک تقویت کننده است. گاهی اوقات از آن به عنوان عنصر اصلی مدار یاد می شود و گفته می شود که یک کانال تقویت مستقیم را تشکیل می دهد.

یک شبکه چهار پایانه غیرفعال با تابع انتقال ولتاژ، مدار فیدبک نامیده می شود. در ورودی مدار، جمع ولتاژ ورودی و ولتاژ فیدبک انجام می شود.

اجازه دهید فرمول تابع انتقال را برای ولتاژ مدار که در شکل نشان داده شده است استخراج کنیم. 1.6. بگذارید ولتاژ به ورودی اعمال شود. تصویر اپراتور او. یک ولتاژ در خروجی مدار ظاهر می شود. مطابق با شکل 1.6 تصویر اپراتور او

تصویر اپراتور را می توان از طریق تابع انتقال حلقه بازخورد نوشت

سپس عبارت (1.14) را می توان به صورت بازنویسی کرد

تابع انتقال اپراتور برای ولتاژ مدار با سیستم عامل (شکل 1.6 را ببینید).

. (1.16)

مثال 1.4

روی انجیر 1.7 مداری را روی یک تقویت کننده عملیاتی (op-amp) نشان می دهد که برای مقیاس ولتاژ طراحی شده است. تابع انتقال این مدار را پیدا کنید.

تابع انتقال این مدار را به عنوان یک مدار بازخورد با استفاده از فرمول (1.16) بدست می آوریم.

مدار بازخورد در نمودار شکل. 1.7 یک تقسیم کننده ولتاژ L شکل است که از مقاومت های مقاومتی و. ولتاژ خروجی تقویت کننده به ورودی مدار سیستم عامل تغذیه می شود. ولتاژ سیستم عامل از مقاومت حذف می شود. تابع انتقال برای ولتاژ مدار سیستم عامل

ما از فرمول (1.16) استفاده می کنیم و در نظر می گیریم که ولتاژ ورودی و ولتاژ فیدبک جمع نمی شوند، بلکه کم می شوند. سپس تابع انتقال تقویت کننده مقیاس را دریافت می کنیم:

با توجه به اینکه در آپ امپ های واقعی مقدار >> 1 وجود دارد، در نهایت داریم:

مثال 1.5

پیوند روی سیستم عامل با سیستم عامل وابسته به فرکانس در شکل نشان داده شده است. 1.8. تابع انتقال این لینک را پیدا کنید.

برای تجزیه و تحلیل مسیر سیگنال مستقیم و مسیر سیگنال سیستم عامل، لازم است از روش همپوشانی استفاده شود. برای انجام این کار، باید به طور متناوب منابع ولتاژ ورودی و ولتاژ بازخورد را حذف کرد و آنها را با مقاومت داخلی جایگزین کرد. در مورد منابع ولتاژ ایده آل، مقاومت داخلی آنها صفر است. ولتاژ اعمال شده به لینک توسط مدار ورودی ضعیف می شود که یک تقسیم کننده ولتاژ L شکل با مقاومت ها و در بازوها است. تابع انتقال ولتاژ چنین تقسیم کننده ای است

مدار بازخورد نیز یک شبکه چهار پایانه L شکل با عملکرد انتقال است.

بهره عملیات تقویت کننده.

مطابق با فرمول (1.16)، تابع انتقال پیوند را بدست می آوریم:

با توجه به اینکه >> 1، دریافت می کنیم:

این لینک بسته به نوع مقاومت و. در و پیوند به یک تقویت کننده مقیاس معکوس تبدیل می شود. برای و – در یکپارچه ساز؛ برای و - به متمایز کننده.

مثال 1.6

پیوند مرتبه دوم با بهره قابل تنظیم در شکل نشان داده شده است. 1.9 آ. تابع انتقال این لینک را پیدا کنید.

تجزیه و تحلیل عبور سیگنال ورودی و سیگنال در مدار سیستم عامل نشان می دهد که پیوند دارای مدار ورودی است که در شکل 1 نشان داده شده است. 1.9 بو مدار سیستم عامل نشان داده شده در شکل. 1.9 که در. توابع انتقال این مدارها را می توان به دست آورد روش ماتریسیبرای مثال، در نظر گرفتن هر مدار به عنوان یک اتصال آبشاری از چهار قطبی L شکل مربوطه.

برای مدار ورودی

برای زنجیره سیستم عامل

. (1.18)

با در نظر گرفتن (1.16)، تابع انتقال پیوند را به دست می آوریم

. (1.19)

بهره تقویت کننده. سپس با جایگزینی (1.17) و (1.18) به (1.19)، پس از تبدیل، داریم

انتقال به (1.16) از اپراتور آربه اپراتور، تابع انتقال پیچیده را به دست می آوریم

. (1.20)

محصول تابع انتقال پیچیده تقویت کننده و حلقه بازخورد است، مشروط بر اینکه بازخورد شکسته شود (شکل 1.10). این تابع تابع انتقال بر روی حلقه سیستم عامل یا نامیده می شود افزایش حلقه. اجازه دهید مفاهیم بازخورد مثبت و منفی را معرفی کنیم. این مفاهیم در نظریه مدارهای بازخورد نقش بسزایی دارند.

اجازه دهید ابتدا فرض کنیم که توابع انتقال، , به فرکانس بستگی ندارند و اعداد واقعی هستند. این وضعیت زمانی ممکن است که وجود نداشته باشد LC-عناصر. می تواند عدد مثبت یا منفی باشد. در حالت اول، تغییر فاز بین ولتاژ ورودی و خروجی، یا به عبارت دیگر، تغییر فاز در طول حلقه فیدبک صفر است یا ک= 0، 1، 2، ... در حالت دوم، زمانی که، تغییر فاز در طول این حلقه برابر یا است.

اگر در مدار فیدبک تغییر فاز در طول حلقه صفر باشد، بازخورد فراخوانی می شود مثبت، اگر تغییر فاز باشد، چنین بازخوردی نامیده می شود منفی.

تابع انتقال را می توان به صورت بردار نشان داد و در صفحه مختلط نشان داد. با بازخورد مثبت، بردار بر روی نیم محور واقعی مثبت و با بازخورد منفی، بر روی نیم محور واقعی منفی قرار دارد.

منحنی که انتهای بردار هنگام تغییر فرکانس w توصیف می کند (شکل 1.11) به عنوان هودوگراف شناخته می شود.

نمایش در قالب هودوگراف به شما امکان می دهد نوع بازخورد را در مورد بازخورد وابسته به فرکانس تعیین کنید.

اجازه دهید مفاهیم زنجیره پایدار و ناپایدار را معرفی کنیم. زنجیره نامیده می شود پایدار، اگر نوسانات آزاد با گذشت زمان به صفر تمایل داشته باشند. در غیر این صورت، مدار فراخوانی می شود ناپایدار. از تئوری فرآیندهای گذرا چنین برمی‌آید که اگر ریشه‌های معادله مشخصه در نیم صفحه سمت چپ متغیر مختلط p قرار گیرند، مدار پایدار است. اگر ریشه های چنین معادله ای در نیمه صفحه سمت راست قرار داشته باشد، آنگاه مدار ناپایدار است، یعنی در حالت خود تحریکی قرار دارد. بنابراین، برای تعیین شرایط پایداری زنجیره، یافتن کافی است معادله مشخصهو ریشه های آن همانطور که می بینیم، شرایط پایداری را می توان بدون معرفی مفهوم بازخورد تعیین کرد. با این حال، تعدادی از مشکلات در اینجا ایجاد می شود. واقعیت این است که استخراج معادله مشخصه و تعیین ریشه های آن، به ویژه برای مدارها، یک روش دست و پا گیر است. نظم بالا. معرفی مفهوم بازخورد به دست آوردن معادله مشخصه را آسان تر می کند یا حتی بدون آن امکان پذیر می شود. همچنین بسیار مهم است که مفهوم بازخورد برای فرآیندهای فیزیکی که در مدار اتفاق می‌افتد مناسب باشد، بنابراین بصری‌تر می‌شوند. درک عمیق فرآیندهای فیزیکی کار ایجاد خود نوسانگرها، تقویت کننده ها و غیره را تسهیل می کند.

مدار را در نظر بگیرید (شکل 1.6 را ببینید) و معادله مشخصه آن را استخراج کنید. اجازه دهید و بنابراین، . سپس از (1.15) چنین می شود:

. (1.22)

اگر تابع انتقال مدار اصلی را به صورت بنویسیم ، و زنجیره های سیستم عامل - ، سپس معادله (1.22) به صورت زیر بازنویسی می شود:

این برابری صدق می کند

عبارت سمت چپ این برابری یک چند جمله ای است، بنابراین (1.23) را می توان به شکل کلی نوشت:

این معادله مشخصه مدار است.

ریشه های معادله (1.24) در حالت کلی کمیت های مختلط هستند

جایی که . با دانستن ریشه های معادله مشخصه، می توانیم ولتاژ خروجی را بنویسیم:

به طوری که تنش بی حد و حصر افزایش نمی یابد، همه ریشه ها معادله مشخصه باید دارای قسمت های واقعی منفی باشد، یعنی ریشه ها باید در نیم صفحه سمت چپ متغیر مختلط قرار گیرند. مداری با سیستم عامل دارای چنین ویژگی هایی کاملاً پایدار نامیده می شود.

هنگام مطالعه مدارهای بازخورد، دو مشکل می تواند ایجاد شود. اگر مدار طراحی شده باید پایدار باشد، لازم است معیاری وجود داشته باشد که با توجه به نوع توابع، امکان قضاوت در مورد عدم وجود ریشه های معادله مشخصه در نیم صفحه سمت راست را فراهم کند. آر. اگر از بازخورد برای ایجاد یک مدار خود نوسان ناپایدار استفاده شود، باید مطمئن شد که ریشه های معادله (1.24) برعکس، در نیم صفحه سمت راست قرار دارند. در این مورد، لازم است چنین آرایشی از ریشه ها وجود داشته باشد که در آن خود تحریکی در فرکانس مورد نیاز رخ دهد.

اجازه دهید معیار پایداری زنجیره را در نظر بگیریم که معیار نایکیست نامیده می‌شود و به ما اجازه می‌دهد تا پایداری یک مدار بازخورد را با ویژگی‌های یک مدار باز قضاوت کنیم (شکل 1.10).

تابع انتقال مدار باز یا بهره حلقه در معادله مشخصه (1.22) گنجانده شده است:

, (1.26)

اگر چنین فرکانس w وجود داشته باشد که انتهای بردار در نقطه ای با مختصات بیفتد (1، j 0)، پس این بدان معنی است که شرط (1.26) برآورده می شود، یعنی در این فرکانس، خود تحریکی در مدار رخ می دهد. بنابراین، با توجه به هودوگراف، می توانید تعیین کنید که آیا زنجیره پایدار است یا خیر. برای این منظور از معیار Nyquist استفاده می شود که به صورت زیر فرموله شده است: اگر هودوگراف تابع انتقال مدار باز نقطه را با مختصات پوشش ندهد(1, j 0), سپس با یک حلقه بازخورد بسته، زنجیره پایدار است.در موردی که هودوگراف نقطه (1، j X 1 را می توان به صورت دو شرط نوشت: در حالت ثابت. به= 2، منحنی 1) و ناپایدار ( به= 3، منحنی 2; به= 4، منحنی 3) زنجیر.

سوالات و وظایف برای خودآزمایی

1. تابع انتقال پیچیده چیست؟ چه نوع توابع انتقال پیچیده یک چهارقطبی شناخته شده است؟

2. ضریب انتقال ولتاژ، پاسخ فرکانس و پاسخ فاز مدار نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 1.2 آاگر ولتاژ خروجی ولتاژ دو طرف مقاومت باشد آر. نمودارهای پاسخ فرکانسی و پاسخ فاز بسازید.

پاسخ: ; ; 90 درجه - آرکتان w RC.

3. تعیین ضریب انتقال ولتاژ در حالت بی باری و ضریب انتقال جریان در اتصال کوتاه برای یک شبکه چهار پایانه U شکل در شاخه طولی که اندوکتانس آن گنجانده شده است. L، و در شاخه های عرضی - ظرفیت از جانب. پاسخ: .

4. تعیین تضعیف وارد شده توسط مدار شکل. 1.2 آ، در آر\u003d 31.8 کیلو اهم و \u003d 10 کیلو اهم.

پاسخ: 12 دسی بل

5. تابع انتقال اپراتور چیست؟ چه ارتباطی با تابع انتقال پیچیده دارد؟ چگونه صفرها و قطب های تابع انتقال اپراتور را تعیین کنیم؟

6. تابع انتقال اپراتور، ضریب انتقال ولتاژ مختلط، پاسخ فرکانس و مربع پاسخ فرکانسی مدار نوسانی سری که در شکل نشان داده شده است را تعیین کنید. 1.5، آاگر ولتاژ خروجی ولتاژ دو طرف خازن باشد از جانب. نموداری از پاسخ فرکانسی مدار بسازید.

پاسخ: ; .

7. مشخصات اصلی توابع انتقال اپراتور مدارهای غیرفعال را فهرست کنید.

8. تابع انتقال یک مدار بازخورد چگونه محاسبه می شود؟

9. ثابت کنید که تابع انتقال اپراتور دیفرانسیل در تقویت کننده عملیاتی (- pRC). نموداری از پاسخ فرکانسی چنین متمایزکننده ای بسازید.

11. عملکرد انتقال فیلتر نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 1.13.

پاسخ: .

12. هودوگراف بهره حلقه چیست؟ چگونه می توان نوع بازخورد توسط هودوگراف را تعیین کرد؟

13. معیار پایداری نایکیست چگونه تدوین می شود؟ برای چه مدارهایی استفاده می شود؟

14. تابع انتقال پیچیده مدار باز نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 1.13. وابستگی پایداری مدار به بزرگی بهره را بررسی کنید به.

تبدیل لاپلاس DE امکان معرفی یک مفهوم راحت از تابع انتقال را که ویژگی‌های دینامیکی سیستم را مشخص می‌کند، می‌سازد.

به عنوان مثال، معادله عملگر

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

می توان با خارج کردن X(s) و Y(s) از براکت و تقسیم بر یکدیگر تبدیل کرد:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

عبارت به دست آمده تابع انتقال نامیده می شود.

تابع انتقال نسبت تصویر عملکرد خروجی Y(s) به تصویر X ورودی در شرایط اولیه صفر است.

(2.4)

تابع انتقال یک تابع کسری - گویا از یک متغیر مختلط است:

که در آن B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - چند جمله ای شمارنده،

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n مخرج چند جمله ای است.

تابع انتقال دارای نظمی است که با ترتیب چند جمله ای مخرج (n) تعیین می شود.

از (2.4) نتیجه می شود که تصویر سیگنال خروجی را می توان به صورت پیدا کرد

Y(s) = W(s)*X(s).

از آنجایی که تابع انتقال سیستم به طور کامل ویژگی های دینامیکی آن را تعیین می کند، وظیفه اولیه محاسبه ASR به تعیین تابع انتقال آن کاهش می یابد.

2.6.2 نمونه هایی از پیوندهای معمولی

در TAU، گروهی از ساده ترین پیوندها متمایز می شوند که معمولاً به آنها معمولی می گویند. خصوصیات استاتیکی و دینامیکی پیوندهای استاندارد کاملاً مورد مطالعه قرار گرفته است. پیوندهای معمولی به طور گسترده در تعیین ویژگی های دینامیکی اشیاء کنترلی استفاده می شوند. به عنوان مثال، با دانستن پاسخ گذرا ساخته شده با استفاده از یک دستگاه ضبط، اغلب می توان تعیین کرد که شی کنترل به چه نوع پیوندهایی تعلق دارد، و در نتیجه، تابع انتقال، معادله دیفرانسیل و غیره، یعنی. مدل شی پیوندهای معمولی هر پیوند پیچیده را می توان به عنوان ترکیبی از ساده ترین پیوندها نشان داد.

ساده ترین پیوندهای معمولی عبارتند از:

تقویت کننده،

اینرسی (ناپریودیک از مرتبه 1)،

یکپارچه سازی (واقعی و ایده آل)،

تمایز (واقعی و ایده آل)،

مرتبه دوم غیر پریودیک،

نوسانی،

عقب ماندن

1) پیوند تقویت کننده.

پیوند سیگنال ورودی را K بار تقویت می کند. معادله پیوند y \u003d K * x، تابع انتقال W (s) \u003d K. پارامتر K نامیده می شود کسب کردن .

سیگنال خروجی چنین پیوندی دقیقاً سیگنال ورودی را تکرار می کند که با K بار تقویت شده است (شکل 1.18 را ببینید).

تحت عمل مرحله h(t) = K.

نمونه هایی از این لینک ها عبارتند از: انتقال مکانیکی، حسگرها، تقویت کننده های بدون اینرسی و غیره.

2) یکپارچه سازی

2.1) یکپارچه ساز ایده آل.

مقدار خروجی یک انتگرالگر ایده آل با انتگرال مقدار ورودی متناسب است:

; W(s) =

هنگامی که یک پیوند عمل پلکانی x(t) = 1 به ورودی اعمال می شود، سیگنال خروجی دائما افزایش می یابد (شکل 1.19 را ببینید):

این پیوند استاتیک است، یعنی. حالت ثابتی ندارد

2.2) یکپارچه ساز واقعی.

پ تابع انتقال این لینک دارای فرم است

W(s) =
.

پاسخ گذرا، برخلاف پیوند ایده آل، یک منحنی است (شکل 1.20 را ببینید):

h(t) = K. (t – T) + K . تی. e - t / T .

3) متمایز کردن

3.1) تمایز ایده آل.

مقدار خروجی متناسب با مشتق زمانی ورودی است:

; W(s) = K*s

با یک سیگنال ورودی پله ای، سیگنال خروجی یک ضربه است (-تابع): h(t) = K . (t).

3.2) تمایز واقعی.

W(s) =
.

واكنش گذرا:
.

4) غیر پریودیک (اینرسی).

این پیوند با DE و PF فرم مطابقت دارد

; W(s) =
.

اجازه دهید ماهیت تغییر در مقدار خروجی این پیوند را زمانی که یک عمل مرحله ای با مقدار x 0 به ورودی اعمال می شود، تعیین کنیم.

تصویر اقدام مرحله ای: X(s) = . سپس تصویر کمیت خروجی:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

بیایید کسر را به کسرهای ساده تجزیه کنیم:

=
+ =
= -
= -

اصل کسر اول مطابق جدول: L -1 () = 1، دوم:

L -1 ( } = .

بعد بالاخره می گیریم

y(t) = K x 0 (1 - ).

ثابت T نامیده می شود ثابت زمانی.

اکثر اجسام حرارتی پیوندهای غیر پریودیک هستند. به عنوان مثال، هنگامی که ولتاژ به ورودی یک کوره الکتریکی اعمال می شود، دمای آن مطابق قانون مشابه تغییر می کند (شکل 1.22 را ببینید).

5) پیوندهای مرتبه دوم

پیوندها دارای DU و PF از فرم هستند

W(s) =
.

هنگامی که یک عمل پلکانی با دامنه x 0 به ورودی اعمال می شود، منحنی انتقال یکی از دو نوع خواهد داشت: غیر دوره ای (در T 1  2T 2) یا نوسانی (در T 1).< 2Т 2).

در این راستا، پیوندهای مرتبه دوم متمایز می شوند:

مرتبه دوم غیر پریودیک (T 1  2T 2)،

اینرسی (T1< 2Т 2),

محافظه کار (T 1 \u003d 0).

6) با تاخیر

تاخیرفاصله زمانی از لحظه تغییر سیگنال ورودی تا شروع تغییر سیگنال خروجی است.

پیوند عقب افتاده پیوندی است که مقدار خروجی آن y دقیقاً مقدار ورودی x را با مقداری تاخیر  تکرار می کند:

y(t) = x(t - ).

تابع انتقال لینک:

W(s) \u003d e -  s.

نمونه هایی از تاخیر: حرکت مایع از طریق خط لوله (چه مقدار مایع در ابتدای خط لوله پمپ شده است، در انتها مقدار زیادی از آن آزاد می شود، اما پس از مدتی، در حالی که مایع در لوله حرکت می کند)، حرکت محموله در امتداد نوار نقاله (تاخیر با طول نوار نقاله و سرعت تسمه تعیین می شود) و غیره .d.

سیستم های خطی

کنترل خودکار

انتشارات OmSTU

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

دولت موسسه تحصیلی

بالاتر آموزش حرفه ای

"ایالت اومسک دانشگاه فنی»

سیستم های خطی

کنترل خودکار

دستورالعمل های روشی برای کار عملی

انتشارات OmSTU

کامپایلر E. V. Shendaleva، شمرده فن آوری علوم

نسخه شامل دستورالعمل هابرای انجام کار عملی بر روی تئوری کنترل خودکار.

این برای دانشجویان تخصص 200503 "استانداردسازی و صدور گواهینامه" در نظر گرفته شده است که در رشته "مبانی کنترل خودکار" مطالعه می کنند.

با تصمیم شورای تحریریه و انتشارات منتشر شد

دانشگاه فنی دولتی اومسک

دانشگاه فنی، 1390

نیاز به استفاده از روش شناسی تئوری مدیریت برای متخصصان استانداردسازی و صدور گواهینامه هنگام تعیین موارد زیر ایجاد می شود:

1) ویژگی های کمی و (یا) کیفی ویژگی های جسم آزمایشی در نتیجه تأثیر بر روی آن در طول عملیات آن، هنگام مدل سازی جسم و (یا) تأثیرات، قانون تغییر آن باید با کمک ارائه شود. سیستم کنترل خودکار؛

2) خواص دینامیکی موضوع اندازه گیری و آزمایش.

3) تأثیر خواص دینامیکی ابزارهای اندازه گیری بر نتایج اندازه گیری ها و آزمایش های جسم.

روش های مطالعه اشیا در کارهای عملی در نظر گرفته می شود.

کار عملی 1

ویژگی های پویا

ورزش 1.1

تابع وزن را پیدا کنید w(تی) توسط تابع انتقال شناخته شده

ساعت(تی) = 2(1–e –0.2 تی).

راه حل

w(تی)=ساعت¢( تی)، بنابراین هنگام متمایز کردن عبارت اصلی

w(تی)=0.4e –0.2 تی .

ورزش 1.2

تابع انتقال سیستم را از معادله دیفرانسیل 4 بیابید y¢¢( تی) + 2y¢( تی) + 10y(تی) = 5ایکس(تی). شرایط اولیه صفر است.

راه حل

معادله دیفرانسیل تبدیل به فرم استانداردتقسیم بر ضریب در ترم y(تی)

0,4y¢¢( تی) + 0,2y¢( تی) + y(تی) = 0,5ایکس(تی).

معادله به دست آمده با توجه به لاپلاس تبدیل می شود

0,4س 2 y(س) + 0,2sy(س) + y(س) = 0,5ایکس(س)

و سپس به عنوان تابع انتقال نوشته می شود:

جایی که س= a + من w عملگر لاپلاس است.

ورزش 1.3

تابع انتقال را پیدا کنید دبلیو(س) سیستم با توجه به تابع وزن شناخته شده w(تی)=5–تی.

راه حل

تبدیل لاپلاس

. (1.1)

استفاده از رابطه بین تابع انتقال و تابع وزن دبلیو(س) = w(س)، ما گرفتیم

تبدیل لاپلاس را می توان با محاسبه (1.1)، با استفاده از جداول تبدیل لاپلاس یا با استفاده از بسته نرم افزاری Matlab به دست آورد. برنامه در Matlab در زیر نشان داده شده است.

syms s t

x=5-tتابع زمان %

y=laplace(x)% یک تابع تبدیل شده با لاپلاس است.

ورزش 1.4

با استفاده از تابع انتقال سیستم، پاسخ آن را به یک عمل تک مرحله ای (تابع انتقال) بیابید.

راه حل

تبدیل لاپلاس معکوس

, (1.2)

که در آن c ابسیسا همگرایی است ایکس(س).

با توجه به اصل برهم نهی، معتبر برای سیستم های خطی

ساعت(تی)=ساعت 1 (تی)+ساعت 2 (تی),

جایی که ساعت(تی) تابع انتقال کل سیستم است.

ساعت 1 (تی) تابع انتقال پیوند یکپارچه است

;

ساعت 2 (تی) تابع گذرا پیوند تقویت کننده است

مشخص است که ساعت 1 (تی)=ک 1× تی, ساعت 2 (تی)=ک 2×δ( تی)، سپس ساعت(تی)=ک 1× تی+ک 2×δ( تی).

تبدیل لاپلاس معکوس را می توان با محاسبه (1.2)، با استفاده از جداول تبدیل لاپلاس یا با استفاده از بسته نرم افزاری Matlab به دست آورد. برنامه در Matlab در زیر آورده شده است.

syms s k1 k2نماد ٪ برای متغیرهای نمادین

y=k1/s+k2% تابع تبدیل شده لاپلاس

x=ilaplace(y)% یک تابع موقت است.

ورزش 1.5

مشخصه های دامنه فرکانس و فرکانس فاز را از تابع انتقال شناخته شده سیستم بیابید

راه حل

برای تعیین مشخصه های فرکانس دامنه (AFC) و فرکانس فاز (PFC)، باید از تابع انتقال به مشخصه دامنه فاز حرکت کرد. دبلیو(من w) چرا استدلال را تغییر دهید س → من w

سپس AFC را در فرم نمایندگی کنید دبلیو(من w) = پ(w)+ iQ(w)، کجا پ(w) قسمت واقعی است، س(w) بخش خیالی AFC است. برای بدست آوردن قسمت های واقعی و خیالی AFC لازم است که صورت و مخرج را در ضرب کنیم. عدد مختلط، به عبارت مخرج مزدوج شود:

AFC و PFC به ترتیب با فرمول تعیین می شوند

, ;

مشخصه دامنه فاز دبلیو(j w) می تواند به صورت نمایش داده شود

ورزش 1.6

سیگنال را تعریف کنید y(تی) در خروجی سیستم با توجه به سیگنال ورودی شناخته شده و عملکرد انتقال سیستم

ایکس(تی)=2sin10 تی; .

مشخص است که وقتی در معرض سیگنال ورودی قرار می گیرد ایکس(تی)=بگناه کردن تیدر هر سیگنال خروجی سیستم y(تی) نیز هارمونیک خواهد بود، اما با دامنه و فاز ورودی متفاوت است

y(تی) = ب× آ(و) گناه،

جایی که آ(w) - پاسخ فرکانسی سیستم؛ j(w) - PFC سیستم.

با تابع انتقال، پاسخ فرکانس و پاسخ فاز را تعیین می کنیم

j(w)=- arctg0,1w.

در فرکانس w = 10s –1 آ(10) = 4/ = 2 و j(10) = –arctg1=–0.25p.

سپس y(تی) = 2×2 sin(10 تی-0.25p) = 4 sin(10 تی-0.25p).

سوالات تستی:

1. مفهوم تابع وزن را تعریف کنید.

2. مفهوم تابع انتقال را تعریف کنید.

3. هدف از استفاده از تبدیل لاپلاس هنگام توصیف پیوندهای پویا چیست؟

4. به چه معادلاتی دیفرانسیل خطی می گویند؟

5. برای چه منظوری هنگام عبور از معادله به صورت عملگر، معادله دیفرانسیل اصلی به فرم استاندارد تبدیل می شود؟

6. چگونه عبارت با عدد فرضی از مخرج مشخصه دامنه فاز حذف می شود؟

7. دستور تبدیل مستقیم لاپلاس را در بسته نرم افزاری Matlab مشخص کنید.

8. دستور تبدیل لاپلاس معکوس را در بسته نرم افزاری Matlab مشخص کنید.

کار عملی 2

توابع انتقال

ورزش 2.1

تابع انتقال سیستم را با توجه به بلوک دیاگرام آن بیابید.

راه حل

راه های اصلی اتصال لینک ها در بلوک دیاگرام ها عبارتند از: موازی، سریال و اتصال لینک ها با بازخورد (بخش های معمولی لینک ها).

تابع انتقال یک سیستم از پیوندهای موازی متصل برابر است با مجموع توابع انتقال پیوندهای جداگانه (شکل 2.1).

. (2.1)

برنج. 2.1. اتصال موازی پیوندها

تابع انتقال یک سیستم از پیوندهای متصل به سری برابر است با حاصلضرب توابع انتقال پیوندهای جداگانه (شکل 2.2).

(2.2)

برنج. 2.2. اتصال سریال لینک ها

بازخورد انتقال یک سیگنال از خروجی یک لینک به ورودی آن است که در آن سیگنال بازخورد به صورت جبری با یک سیگنال خارجی جمع می شود (شکل 2.3).

برنج. 2.3 ارتباط با بازخورد: الف) مثبت، ب) منفی

تابع انتقال ارتباط بازخورد مثبت

, (2.3)

عملکرد انتقال ارتباط بازخورد منفی

. (2.4)

عملکرد انتقال یک سیستم کنترل پیچیده گام به گام تعیین می شود. برای انجام این کار، بخش های حاوی اتصالات سریال، موازی و اتصالات با بازخورد (بخش های معمولی پیوندها) را انتخاب کنید (شکل 2.4).

دبلیو 34 (س)=دبلیو 3 (س)+دبلیو 4 (س); .

برنج. 2.4. نمودار ساختاری سیستم کنترل

سپس بخش معمولی انتخاب شده از پیوندها با یک پیوند با تابع انتقال محاسبه شده جایگزین می شود و روند محاسبه تکرار می شود (شکل 2.5 - 2.7).

برنج. 2.5. جایگزینی اتصال موازی و اتصال بازخورد با یک پیوند واحد

برنج. 2.6. جایگزینی ارتباط بازخورد با یک پیوند واحد

برنج. 2.7. جایگزینی اتصال سریال با یک لینک واحد

(2.5)

ورزش 2.2

اگر توابع انتقال پیوندهای موجود در آن باشد، تابع انتقال را تعیین کنید:

راه حل

هنگام جایگزینی (2.5) توابع انتقال پیوندها

تبدیل بلوک دیاگرام با توجه به عمل کنترل ورودی (شکل 2.7، 2.11) را می توان با محاسبه (2.5) یا با استفاده از بسته نرم افزاری Matlab به دست آورد. برنامه در Matlab در زیر آورده شده است.

W1=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 1

W2=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 2

W3=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 3

W4=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 4

W5=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 5

W34=موازی(W3,W4)% اتصال موازی ( دبلیو 3 + دبلیو 4)

W25 = بازخورد (W2, W5)

W134=بازخورد(W1,W34)٪ بازخورد منفی

W12345=سری(W134,W25)% اتصال سریال ( دبلیو 134× دبلیو 25)

W=بازخورد (W12345,1)

ورزش 2.3.

تابع انتقال یک سیستم بسته را با عمل اغتشاش پیدا کنید

راه حل

به منظور تعیین تابع انتقال یک سیستم پیچیده توسط یک عمل مزاحم، لازم است آن را ساده کرده و نسبت به عملکرد ورودی مزاحم در نظر بگیریم (شکل 2.8 - 2.12).

شکل 2.8. بلوک دیاگرام اولیه سیستم اتوماتیک

برنج. 2.9. ساده سازی بلوک دیاگرام

برنج. 2.10. بلوک دیاگرام ساده شده

برنج. 2.11. نمودار ساختاری نسبت به عمل کنترل ورودی

برنج. 2.12. نمودار ساختاری سیستم با توجه به عمل مزاحم

پس از آوردن بلوک دیاگرام به تابع انتقال تک حلقه ای برای عمل اغتشاش f(تی)

(2.6)

تبدیل بلوک دیاگرام با توجه به عمل اغتشاش (شکل 2.12) را می توان با محاسبه (2.6) یا با استفاده از بسته نرم افزاری Matlab به دست آورد.

W1=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 1

W2=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 2

W3=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 3

W4=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 4

W5=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 5

W34=موازی(W3,W4)% اتصال موازی

W25 = بازخورد (W2, W5)٪ بازخورد منفی

W134=بازخورد(W1,W34)٪ بازخورد منفی

Wf=بازخورد(W25,W134)٪ بازخورد منفی.

ورزش 2. 4

تابع انتقال حلقه بسته را برای خطا تعیین کنید.

راه حل

یک بلوک دیاگرام برای تعیین تابع انتقال یک سیستم بسته برای خطای کنترل در شکل نشان داده شده است. 2.13.

برنج. 2.13. نمودار ساختاری سیستم در رابطه با خطای کنترل

تابع انتقال حلقه بسته برای خطا

(2.7)

هنگام جایگزینی مقادیر عددی

تبدیل بلوک دیاگرام با توجه به سیگنال خطای کنترل (شکل 2.13) را می توان با محاسبه (2.7) یا با استفاده از بسته نرم افزاری Matlab به دست آورد.

W1=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 1

W2=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 2

W3=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 3

W4=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 4

W5=tf(,)% عملکرد انتقال دبلیو 5

W34=موازی(W3,W4)% اتصال موازی)

W25 = بازخورد (W2, W5)٪ بازخورد منفی

W134=بازخورد(W1,W34)٪ بازخورد منفی

ما=بازخورد(1,W134*W25)٪ بازخورد منفی

سوالات تستی:

1. راه های اصلی اتصال پیوندها را در بلوک دیاگرام ها فهرست کنید.

2. تابع انتقال سیستم پیوندهای موازی متصل را تعیین کنید.

3. تابع انتقال سیستم پیوندهای متصل به سری را تعیین کنید.

4. تابع انتقال را با بازخورد مثبت تعیین کنید.

5. تابع انتقال بازخورد منفی را تعیین کنید.

6. تابع انتقال خط ارتباطی را تعیین کنید.

7. کدام دستور Matlab برای تعیین تابع انتقال دو لینک متصل موازی استفاده می شود؟

8. کدام دستور Matlab برای تعیین تابع انتقال دو لینک متصل به سریال استفاده می شود؟

9. کدام دستور Matlab برای تعیین تابع انتقال یک لینک تحت پوشش بازخورد استفاده می شود؟

10. نمودار بلوکی سیستم را برای تعیین تابع انتقال برای عمل کنترل رسم کنید.

11. تابع انتقال را برای عمل کنترل بنویسید.

12. نمودار بلوکی سیستم را برای تعیین تابع انتقال از روی پارامتر اغتشاش رسم کنید.

13. تابع انتقال را برای پارامتر مزاحم بنویسید.

14. نمودار بلوکی سیستم را برای تعیین تابع انتقال برای خطای کنترل رسم کنید.

15. تابع انتقال خطای کنترل را بنویسید.

کار عملی 3

تجزیه تابع انتقال پیچیده