تغییر یک تابع در یک نقطه مشخص و به عنوان حد افزایش تابع به افزایش آرگومان تعریف می شود که به سمت صفر میل می کند. برای پیدا کردن آن، از جدول مشتقات استفاده کنید. به عنوان مثال، مشتق تابع y = x3 برابر با y = x2 خواهد بود.

این مشتق را برابر با صفر کنید (در این مورد x2=0).

مقدار متغیر داده شده را پیدا کنید. اینها مقادیری خواهند بود که این مشتق برای آنها برابر با 0 خواهد بود. برای این کار به جای x اعداد دلخواه را در عبارت جایگزین کنید که در آن کل عبارت صفر می شود. مثلا:

2-2x2=0
(1-x)(1+x) = 0
x1=1، x2=-1

مقادیر به دست آمده را روی خط مختصات اعمال کنید و علامت مشتق را برای هر یک از موارد به دست آمده محاسبه کنید. نقاط روی خط مختصات مشخص می شوند که به عنوان مبدا در نظر گرفته می شوند. برای محاسبه مقدار در فواصل، مقادیر دلخواه را که با معیارها مطابقت دارند جایگزین کنید. به عنوان مثال، برای تابع قبلی تا بازه -1، می توانید مقدار -2 را انتخاب کنید. برای 1- تا 1، می توانید 0 و برای مقادیر بزرگتر از 1، 2 را انتخاب کنید. این اعداد را در مشتق جایگزین کنید و علامت مشتق را پیدا کنید. در این حالت، مشتق با x = -2 برابر با -0.24 خواهد بود، یعنی. منفی است و علامت منفی در این فاصله وجود خواهد داشت. اگر x=0 باشد، مقدار برابر با 2 خواهد شد و علامتی روی این بازه گذاشته می شود. اگر x=1 باشد، مشتق نیز برابر با 0.24- خواهد بود و منهای قرار داده می شود.

اگر هنگام عبور از نقطه ای در خط مختصات، مشتق علامت خود را از منهای به مثبت تغییر دهد، این یک نقطه حداقل است و اگر از مثبت به منفی، آنگاه این یک نقطه حداکثر است.

ویدیو های مرتبط

توصیه مفید

برای یافتن مشتق، خدمات آنلاینی وجود دارد که مقادیر مورد نیاز را محاسبه کرده و نتیجه را نمایش می دهد. در چنین سایت هایی می توانید مشتقاتی از حداکثر 5 سفارش پیدا کنید.

منابع:

• یکی از خدمات محاسبه مشتقات
• حداکثر نقطه تابع

نقاط ماکزیمم تابع به همراه حداقل نقاط را نقاط اکسترموم می نامند. در این نقاط، تابع رفتار خود را تغییر می دهد. Extrema در فواصل عددی محدود تعیین می شود و همیشه محلی است.

دستورالعمل

فرآیند یافتن افراط های محلیتابع نامیده می شود و با تجزیه و تحلیل مشتقات اول و دوم تابع انجام می شود. قبل از شروع کاوش، مطمئن شوید که محدوده مشخص شده از مقادیر آرگومان به مقادیر مجاز تعلق دارد. برای مثال، برای تابع F=1/x، مقدار آرگومان x=0 نامعتبر است. یا برای تابع Y=tg(x)، آرگومان نمی تواند مقدار x=90 درجه داشته باشد.

اطمینان حاصل کنید که تابع Y در کل بازه داده شده قابل تمایز است. اولین مشتق Y را پیدا کنید". بدیهی است که قبل از رسیدن به نقطه حداکثر محلی تابع افزایش می یابد و هنگام عبور از حداکثر تابع کاهشی می شود. اولین مشتق در معنای فیزیکی خود میزان تغییر تابع را مشخص می کند. در حالی که تابع در حال افزایش است، نرخ این فرآیند یک مقدار مثبت است، هنگام عبور از حداکثر محلی، تابع شروع به کاهش می‌کند و سرعت فرآیند تغییر تابع منفی می‌شود. انتقال نرخ تغییر تابع از طریق صفر در نقطه حداکثر محلی رخ می دهد.

گفته می شود که این تابع یک نقطه داخلی دارد
مناطق D حداکثر محلی(کمترین) اگر چنین همسایگی نقطه وجود داشته باشد
، برای هر نقطه
که نابرابری را ارضا می کند

اگر تابع در نقطه است
حداکثر محلی یا حداقل محلی، سپس می گوییم که در این نقطه دارد افراطی موضعی(یا فقط افراطی).

قضیه (شرط لازم برای وجود افراط). اگر تابع متمایز در نقطه به یک اکسترموم برسد
، سپس هر مشتق جزئی مرتبه اول تابع در این مرحله ناپدید می شود

نقاطی که در آن تمام مشتقات جزئی مرتبه اول ناپدید می شوند نامیده می شوند نقاط ثابت تابع
. مختصات این نقاط را می توان با حل سیستم از معادلات

.

شرط لازم برای وجود یک اکستروم در مورد یک تابع متمایز را می توان به طور خلاصه به صورت زیر فرموله کرد:

مواردی وجود دارد که در برخی از نقاط برخی از مشتقات جزئی دارای مقادیر بی نهایت هستند یا وجود ندارند (در حالی که بقیه برابر با صفر هستند). چنین نقاطی نامیده می شود نقاط بحرانی تابعاین نقاط را باید برای یک افراطی «مشکوک» و همچنین ثابت در نظر گرفت.

در مورد تابعی از دو متغیر، شرط لازم برای یک مادون، یعنی برابری با صفر مشتقات جزئی (دیفرانسیل) در نقطه منتهی، تفسیر هندسی دارد: صفحه مماس به سطح
در نقطه انتهایی باید موازی با هواپیما باشد
.

20. شرایط کافی برای وجود افراط

تحقق شرط لازم برای وجود افراط در مقطعی اصلاً وجود افراط در آنجا را تضمین نمی کند. به عنوان مثال، می‌توانیم تابع همه‌جا متفاوت را در نظر بگیریم
. هم مشتقات جزئی آن و هم خود تابع در نقطه ناپدید می شوند
. با این حال، در هر محله ای از این نقطه، هر دو مثبت (بزرگ
) و منفی (کوچکتر
) مقادیر این تابع. بنابراین، در این مرحله، طبق تعریف، هیچ افراطی وجود ندارد. بنابراین لازم است شرایط کافی را دانست که در آن نقطه مشکوک به اکستروم، نقطه منتهی تابع مورد مطالعه باشد.

حالت تابعی از دو متغیر را در نظر بگیرید. بیایید فرض کنیم که تابع
تعریف شده، پیوسته و دارای مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه دوم در همسایگی یک نقطه است.
، که نقطه ثابت تابع است
، یعنی شرایط را برآورده می کند

,
.

اجازه دهید نماد را معرفی کنیم:

قضیه (شرایط کافی برای وجود یک افراط). اجازه دهید تابع
شرایط فوق را برآورده می کند، یعنی: قابل تمایز در برخی از همسایگی های نقطه ثابت
و در خود نقطه دو برابر قابل تمایز است
. سپس اگر

اگر
سپس تابع
در نقطه
می رسد

حداکثر محلیدر
و

حداقل محلیدر
.

به طور کلی، برای یک تابع
شرط کافی برای وجود در یک نقطه
محلیکمترین(بیشترین) است مثبت(منفی) قطعیت دیفرانسیل دوم.

به عبارت دیگر، عبارت زیر صحیح است.

قضیه . اگر در نقطه
برای عملکرد

برای هر عددی که همزمان برابر با صفر نباشد
، سپس در این مرحله تابع است کمترین(مشابه بیشترین، اگر
).

مثال 18.نقاط انتهایی محلی یک تابع را پیدا کنید

راه حل. مشتقات جزئی تابع را بیابید و آنها را با صفر برابر کنید:

با حل این سیستم، دو نقطه افراطی ممکن را پیدا می کنیم:

بیایید مشتقات جزئی مرتبه دوم را برای این تابع پیدا کنیم:

در اولین نقطه ثابت، بنابراین، و
بنابراین تحقیقات بیشتری برای این نکته ضروری است. مقدار تابع
در این نقطه صفر است:
به علاوه،

در

آ

در

بنابراین، در هر محله از نقطه
عملکرد
مقادیر را بزرگ می گیرد
، و کوچکتر
، و از این رو در نقطه
عملکرد
طبق تعریف، اکستریم موضعی ندارد.

در نقطه ثابت دوم



بنابراین، بنابراین، از آنجا که
سپس در نقطه
تابع دارای حداکثر محلی است.

تعریف:نقطه x0 نقطه حداکثر (یا حداقل) محلی تابع نامیده می شود، اگر در نزدیکی نقطه x0 تابع بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار را بگیرد، یعنی. برای همه х از محله ای از نقطه x0، شرط f(x) f(x0) (یا f(x) f(x0)) برقرار است.

نقاط حداکثر یا حداقل محلی با یک نام مشترک - نقاط انتهایی محلی یک تابع - متحد می شوند.

توجه داشته باشید که در نقاط یک اکسترمم محلی، تابع تنها در برخی از ناحیه‌های محلی به حداکثر یا حداقل مقدار خود می‌رسد. مواردی وجود دارد که با توجه به مقدار umaxуmin .

یک معیار ضروری برای وجود اکستروم محلی یک تابع

قضیه . اگر یک عملکرد پیوسته y = f(x) در نقطه x0 یک انتها محلی دارد، پس در این نقطه اولین مشتق یا صفر است یا وجود ندارد، یعنی. افراط موضعی در نقاط بحرانی نوع اول اتفاق می افتد.

در نقاط انتهایی محلی، یا مماس موازی با محور 0x است یا دو مماس وجود دارد (شکل را ببینید). توجه داشته باشید که نقاط بحرانی شرط لازم اما کافی برای یک اکستروم موضعی نیستند. یک اکستروم موضعی فقط در نقاط بحرانی نوع اول اتفاق می افتد، اما همه نقاط بحرانی دارای اکسترمم موضعی نیستند.

به عنوان مثال: یک سهمی مکعبی y = x3، دارای یک نقطه بحرانی x0=0 است که در آن مشتق y/(0)=0، اما نقطه بحرانی x0=0 یک نقطه افراطی نیست، اما یک نقطه عطف در آن وجود دارد (به زیر مراجعه کنید).

یک معیار کافی برای وجود اکستروم محلی یک تابع

قضیه . اگر هنگام عبور از استدلال از طریق نقطه بحرانیمن از چپ به راست اولین مشتق y / (x) را تایپ می کنم

علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، سپس تابع پیوسته y(x) دارای حداکثر محلی در این نقطه بحرانی است.

علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، سپس تابع پیوسته y(x) در این نقطه بحرانی یک حداقل محلی دارد.

علامت تغییر نمی کند، پس در این نقطه بحرانی اکسترومم محلی وجود ندارد، یک نقطه عطف وجود دارد.

برای حداکثر محلی، ناحیه تابع افزایشی (y/0) با ناحیه تابع کاهشی (y/0) جایگزین می‌شود. برای حداقل محلی، ناحیه تابع کاهشی (y/0) با ناحیه تابع افزایشی (y/0) جایگزین می‌شود.

مثال: تابع y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 را برای یکنواختی، اکسترموم بررسی کنید و نموداری از تابع بسازید.

اجازه دهید نقاط بحرانی نوع اول را با تعریف مشتق (y/) و برابر کردن آن با صفر پیدا کنیم: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

مثلث مربع را با استفاده از ممیز حل می کنیم:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1، b=6، c=5) D=، x1k = -5، x2k = -1.

2) اجازه دهید محور عددی را بر اساس نقاط بحرانی به 3 ناحیه تقسیم کرده و نشانه های مشتق (y/) را در آنها مشخص کنیم. بر اساس این نشانه ها نواحی یکنواختی (افزایش و کاهش) توابع را می یابیم و با تغییر نشانه ها نقاط اکستروم موضعی (حداکثر و حداقل) را مشخص می کنیم.

نتایج تحقیق در قالب یک جدول ارائه شده است که از آن می توان نتایج زیر را استخراج کرد:

• 1. در بازه y /(-10) 0، تابع به طور یکنواخت افزایش می یابد (علامت مشتق y از نقطه کنترل x = -10 در این بازه تخمین زده شد).
• 2. در بازه (-5; -1) y /(-2) 0، تابع به طور یکنواخت کاهش می یابد (علامت مشتق y از نقطه کنترل x = -2 در این بازه تخمین زده شد).
• 3. در بازه y /(0) 0، تابع به طور یکنواخت افزایش می یابد (علامت مشتق y از نقطه کنترل x = 0 در این بازه تخمین زده شد).
• 4. هنگام عبور از نقطه بحرانی x1k \u003d -5، مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین این نقطه حداکثر نقطه محلی است.
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. هنگام عبور از نقطه بحرانی x2k \u003d -1، مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین این نقطه یک نقطه حداقل محلی است
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) ما یک نمودار را بر اساس نتایج مطالعه با مشارکت محاسبات اضافی مقادیر تابع در نقاط کنترل خواهیم ساخت:

ما یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy می سازیم.

مختصات حداکثر (-5; 16) و حداقل (-1; -16) امتیاز را نشان دهید.

برای اصلاح نمودار، مقدار تابع را در نقاط کنترل محاسبه می کنیم، آنها را در سمت چپ و راست نقاط حداکثر و حداقل و در داخل بازه میانی انتخاب می کنیم، به عنوان مثال: y(-6)=(-6)3 +9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) و (0;-9) - نقاط کنترل محاسبه شده، که برای ساخت یک نمودار رسم می شوند.

نمودار را به صورت منحنی با برآمدگی در نقطه حداکثر و برآمدگی پایین در نقطه حداقل و عبور از نقاط کنترل محاسبه شده نشان می دهیم.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. گفته می شود که $f$ دارد حداکثر محلیدر نقطه $x_(0) \در E$ اگر یک همسایگی $U$ از نقطه $x_(0)$ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x \in U$ نابرابری $f\left(x\راست) باشد. \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

حداکثر محلی نامیده می شود سخت گیرانه ، اگر همسایگی $U$ را بتوان طوری انتخاب کرد که برای همه $x \in U$ متفاوت از $x_(0)$ $f\left(x\right) باشد.< f\left(x_{0}\right)$.

تعریف
اجازه دهید $f$ یک تابع واقعی باشد مجموعه باز$E \subset \mathbb(R)^(n)$. گفته می شود که $f$ دارد حداقل محلیدر نقطه $x_(0) \در E$ اگر یک همسایگی $U$ از نقطه $x_(0)$ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x \in U$ نابرابری $f\left(x\راست) باشد. \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

اگر همسایگی $U$ را بتوان طوری انتخاب کرد که برای همه $x \in U$ متفاوت از $x_(0)$$f\left(x\right) > f\left(x_) حداقل محلی سخت‌گیرانه است. (0)\راست)$.

یک افراط محلی مفاهیم حداقل محلی و حداکثر محلی را ترکیب می کند.

قضیه (شرط لازم برای مادون تابع متمایزپذیر)
اجازه دهید $f$ یک تابع واقعی در یک مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ باشد. اگر در نقطه $x_(0) \در E$ تابع $f$ در این نقطه نیز یک اکسترموم محلی داشته باشد، آنگاه $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ تساوی به صفر دیفرانسیل معادل این واقعیت است که همه برابر با صفر هستند، یعنی. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

در حالت تک بعدی، این است. $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ را نشان می‌دهیم که $h$ یک بردار دلخواه است. تابع $\phi$ برای مقادیر ماژول به اندازه کافی کوچک $t$ تعریف شده است. علاوه بر این، با توجه به , قابل تفکیک است و $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
اجازه دهید $f$ حداکثر محلی در x $0$ داشته باشد. بنابراین، تابع $\phi$ در $t = 0$ دارای حداکثر محلی است و طبق قضیه فرما، $(\phi)' \left(0\right)=0$ است.
بنابراین، ما دریافت کردیم که $df \left(x_(0)\right) = 0$، یعنی. تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ برابر با صفر در هر بردار $h$ است.

تعریف
نقاطی که دیفرانسیل در آنها برابر با صفر است، یعنی. آنهایی که در آنها تمام مشتقات جزئی برابر با صفر است، ثابت نامیده می شوند. نقاط بحرانیتوابع $f$ آن نقاطی هستند که در آنها $f$ قابل تمایز نیست یا برابر با صفر است. اگر نقطه ثابت باشد، پس هنوز به این نتیجه نمی رسد که تابع در این نقطه دارای یک اکسترموم است.

مثال 1
اجازه دهید $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. سپس $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$، بنابراین $\left(0,0\right)$ یک نقطه ثابت است، اما تابع در این نقطه اکسترموم ندارد. در واقع، $f \left(0,0\right) = 0$، اما به راحتی می توان دید که در هر همسایگی نقطه $\left(0,0\right)$ تابع هم مقادیر مثبت و هم ارزش منفی را می گیرد.

مثال 2
تابع $f \left(x,y\right) = x^(2) - y^(2)$ مبدأ مختصات را به عنوان یک نقطه ثابت دارد، اما واضح است که در این نقطه اکسترومومی وجود ندارد.

قضیه ( شرایط کافینقاط بحرانی).
اجازه دهید یک تابع $f$ دو بار به طور پیوسته در یک مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ قابل تفکیک باشد. اجازه دهید $x_(0) \در E$ یک نقطه ثابت باشد و $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\جزئی^(2) f)(\x_(i) \جزئی x_(j)) \left(x_(0)\راست)h^(i)h^(j).$ $ سپس

1. اگر $Q_(x_(0))$ باشد، تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ دارای یک اکسترمم محلی است، یعنی حداقل اگر شکل مثبت-معین باشد و حداکثر اگر فرم باشد. منفی-معین;
2. اگر شکل درجه دوم $Q_(x_(0))$ نامعین باشد، تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ هیچ اکسترومومی ندارد.

بیایید از بسط مطابق فرمول تیلور استفاده کنیم (12.7 ص 292). با در نظر گرفتن اینکه مشتقات جزئی مرتبه اول در نقطه $x_(0)$ برابر با صفر است، $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) را دریافت می کنیم. )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\جزئی x_(i) \ x_(j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ جایی که $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$، و $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ برای $h \rightarrow 0$، سپس قسمت راستبرای هر بردار $h$ با طول به اندازه کافی کوچک مثبت است.
بنابراین، به این نتیجه رسیده‌ایم که در برخی از همسایگی‌های نقطه $x_(0)$، نابرابری $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ برآورده می‌شود اگر فقط $ باشد. x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\راست قرار می دهیم). این بدان معنی است که در نقطه $x_(0)$ تابع دارای یک حداقل محلی دقیق است و بنابراین اولین قسمت قضیه ما ثابت می شود.
حالا فرض کنید $Q_(x_(0))$ یک شکل نامشخص است. سپس بردارهای $h_(1)$، $h_(2)$ وجود دارند که $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 دلار سپس $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) دریافت می کنیم \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ برای $t>0$ به اندازه کافی کوچک، سمت راست مثبت این بدان معناست که در هر همسایگی نقطه $x_(0)$ تابع $f$ مقادیر $f \left(x\right)$ بزرگتر از $f \left(x_(0)\right)$ می گیرد.
به طور مشابه، دریافتیم که در هر همسایگی نقطه $x_(0)$ تابع $f$ مقادیر کمتر از $f \left(x_(0)\right)$ را می گیرد. این به همراه مورد قبلی به این معنی است که تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ اکسترموم ندارد.

اجازه دهید یک مورد خاص از این قضیه را برای تابع $f \left(x,y\right)$ از دو متغیری که در همسایگی نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right) تعریف شده است در نظر بگیریم. $ و داشتن مشتقات جزئی پیوسته از مرتبه اول و دوم. اجازه دهید $\left(x_(0),y_(0)\right)$ یک نقطه ثابت باشد و اجازه دهید $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ). $$ سپس قضیه قبلی به شکل زیر در می آید.

قضیه
اجازه دهید $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$. سپس:

1. اگر $\Delta>0$، تابع $f$ دارای یک اکسترموم محلی در نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right)$ است، یعنی حداقل اگر $a_(11)> باشد. 0$ و حداکثر اگر $a_(11)<0$;
2. اگر $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

نمونه هایی از حل مسئله

الگوریتمی برای یافتن حداکثر یک تابع متشکل از متغیرها:

1. نقاط ثابت را پیدا می کنیم.
2. ما دیفرانسیل مرتبه 2 را در تمام نقاط ثابت پیدا می کنیم
3. با استفاده از شرط کافی برای حداکثر یک تابع از چندین متغیر، دیفرانسیل مرتبه دوم را در هر نقطه ثابت در نظر می گیریم.

1. تابع را بررسی کنید.
   راه حل

   مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنید: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ سیستم را بنویسید و حل کنید: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\جزئی f)(\جزئی y)= 0\پایان(موارد) \Rightarrow \begin(موارد)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ از معادله 2، $x=4 \cdot y^(2)$ را بیان می کنیم — در معادله 1 جایگزین می کنیم: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ راست )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ در نتیجه 2 نقطه ثابت به دست می آید:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   اجازه دهید تحقق شرط اکستریم کافی را بررسی کنیم:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\جزئی x \جزئی y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) برای نقطه $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی ^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) برای نقطه $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(1,\frac(1)(2)\راست)=-6; C_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$، بنابراین در نقطه $M_(2)$ یک اکسترموم وجود دارد و از $A_(2)>0 $، سپس این حداقل است.
   پاسخ: نقطه $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ حداقل نقطه تابع $f$ است.
   

2. تابع extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ را بررسی کنید.
   راه حل

   نقاط ثابت را پیدا کنید: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   سیستم را بنویسید و حل کنید: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(موارد) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ یک نقطه ثابت است.
   بیایید برآورده شدن شرط extremum کافی را بررسی کنیم: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   پاسخ: افراطی وجود ندارد.
   

محدودیت زمانی: 0

ناوبری (فقط شماره های شغلی)

0 از 4 کار تکمیل شد

اطلاعات

این مسابقه را انجام دهید تا دانش خود را در مورد موضوعی که به تازگی خوانده اید، یعنی Local Extrema of Functions of Many Variables آزمایش کنید.

قبلاً در آزمون شرکت کرده اید. شما نمی توانید آن را دوباره اجرا کنید.

تست در حال بارگیری است...

برای شروع آزمون باید وارد شوید یا ثبت نام کنید.

برای شروع این تست باید تست های زیر را تکمیل کنید:

نتایج

پاسخ های صحیح: 0 از 4

زمان خود را:

زمان به پایان رسیده است

شما 0 امتیاز از 0 را کسب کردید (0 )

امتیاز شما در جدول امتیازات ثبت شده است

1. با جواب
2. بررسی شد

وظیفه 1 از 4

1 .

تعداد امتیاز: 1

تابع $f$ را برای اکسترنال بررسی کنید: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

به درستی


نه به درستی


1. وظیفه 2 از 4

   2 .

   تعداد امتیاز: 1

   آیا تابع $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

>> افراطی ها

عملکرد افراطی

تعریف افراط

عملکرد y = f(x) فراخوانی می شود افزایش می یابد (رو به زوال) در یک بازه زمانی اگر برای x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

اگر یک تابع قابل تمایز y \u003d f (x) روی یک قطعه افزایش یابد (کاهش یابد)، سپس مشتق آن در این بخش f " (ایکس )> 0

(f"(ایکس)< 0).

نقطه ایکس در باره تماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین) از تابع f (x ) اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد x o، برای تمام نقاطی که نابرابری f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o )).

حداکثر و حداقل امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراطی

نقاط افراطی

شرایط لازم برای افراط . اگر نقطه ایکس در باره یک نقطه منتهی تابع f (x) است، سپس یکی از آنها f است " (x o ) = 0 یا f(x o ) وجود ندارد. چنین نقاطی نامیده می شود بحرانی،جایی که خود تابع در نقطه بحرانی تعریف می شود. حداکثر یک تابع را باید در میان نقاط بحرانی آن جستجو کرد.

اولین شرط کافی اجازه دهید ایکس در باره - نقطه بحرانی. اگر f" (x) هنگام عبور از نقطه ایکس در باره علامت مثبت را به منفی و سپس در نقطه تغییر می دهد x oتابع دارای حداکثر است، در غیر این صورت دارای حداقل است. اگر مشتق هنگام عبور از یک نقطه بحرانی علامت تغییر نمی کند، در آن نقطه ایکس در باره افراطی وجود ندارد

شرط دوم کافی. اجازه دهید تابع f(x) داشته باشد
f" (x) در مجاورت نقطه ایکس در باره و مشتق دوم در همان نقطه x o. اگر f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oیک نقطه حداقل (حداکثر) محلی تابع f(x) است. اگر = 0، آنگاه باید یا از اولین شرط کافی استفاده کرد، یا شرط های بالاتر را در نظر گرفت.

در یک قطعه، تابع y \u003d f (x) می تواند به کوچکترین یا بزرگترین مقدار در نقاط بحرانی یا در انتهای قطعه برسد.

مثال 3.22.

راه حل.زیرا f " (

وظایف برای یافتن حداکثر یک تابع

مثال 3.23. آ

راه حل. ایکسو y y
0 ≤ ایکس≤
> 0، در حالی که x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение کارکرد مربع. واحدها).

مثال 3.24. p ≈

راه حل. pp
اس"
R = 2، H = 16/4 = 4.

مثال 3.22.حداکثر تابع f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 را بیابید.

راه حل.زیرا f " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3)، سپس نقاط بحرانی تابع x 1 \u003d 2 و x 2 \u003d 3. نقاط افراطی فقط می توانند در این موارد باشند. نکته ها. از آنجایی که هنگام عبور از نقطه x 1 \u003d 2 ، مشتق علامت مثبت به منفی را تغییر می دهد ، در این مرحله تابع دارای حداکثر است. هنگام عبور از نقطه x 2 \u003d 3 ، مشتق علامت منفی به مثبت را تغییر می دهد ، بنابراین در نقطه x 2 \u003d 3 ، تابع دارای حداقل است. محاسبه مقادیر تابع در نقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3، مازاد تابع را پیدا می کنیم: حداکثر f (2) = 14 و حداقل f (3) = 13.

مثال 3.23.لازم است در نزدیکی دیوار سنگی محوطه ای مستطیل شکل بسازید که از سه طرف با شبکه سیمی حصار کشی شده و از ضلع چهارم به دیوار مجاورت شود. برای این وجود دارد آمتر خطی شبکه سایت با چه نسبتی بیشترین مساحت را خواهد داشت؟

راه حل.طرفین سایت را از طریق مشخص کنید ایکسو y. مساحت سایت برابر با S = xy است. اجازه دهید yطول ضلع مجاور دیوار است. سپس، طبق شرط، برابری 2x + y = a باید برقرار باشد. بنابراین y = a - 2x و S = x (a - 2x)، که در آن
0 ≤ ایکس≤ a /2 (طول و عرض پد نمی تواند منفی باشد). S "= a - 4x، a - 4x = 0 برای x = a/4، از اینجاست
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. از آنجا که x = a /4 تنها نقطه بحرانی است، بیایید بررسی کنیم که آیا علامت مشتق هنگام عبور از این نقطه تغییر می کند یا خیر. برای x a /4 S"> 0، در حالی که x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение کارکرد S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (مربع. واحدها). از آنجایی که S روی پیوسته است و مقادیر آن در انتهای S(0) و S(a /2) برابر با صفر است، پس مقدار پیدا شده خواهد بود. بالاترین ارزشکارکرد. بنابراین، مطلوب ترین نسبت ابعاد سایت در شرایط داده شده مسئله، y = 2x است.

مثال 3.24.ساخت مخزن استوانه ای بسته با ظرفیت V=16 الزامی است p ≈ 50 متر 3. ابعاد مخزن (شعاع R و ارتفاع H) چقدر باید باشد تا از کمترین مواد برای ساخت آن استفاده شود؟

راه حل.مربع سطح کاملسیلندر S = 2 استپ R(R+H). حجم سیلندر را می دانیم V = p R 2 N Þ N \u003d V / P R 2 \u003d 16 p / p R 2 \u003d 16 / R 2. بنابراین S(R) = 2پ (R2+16/R). مشتق این تابع را پیدا می کنیم:
اس"(R) \u003d 2 p (2R- 16 / R 2) \u003d 4 p (R- 8 / R 2). اس" (R) = 0 برای R3 = 8، بنابراین،
R = 2، H = 16/4 = 4.